Чому дорівнює синус формула. Всі формули з тригонометрії. Універсальна тригонометрическая підстановка

Для вирішення деяких завдань буде корисною таблиця тригонометричних тотожностей, яка дозволить набагато простіше здійснювати перетворення функцій:

Найпростіші тригонометричні тотожності

Частка від ділення синуса кута альфа на косинус того ж кута одно тангенсу цього кута (Формула 1). Див. Також доказ правильності перетворення найпростіших тригонометричних тотожностей.
Частка від ділення косинуса кута альфа на синус того ж кута одно котангенс цього ж кута (Формула 2)
Секанс кута дорівнює одиниці, поділеній на косинус цього ж самого кута (Формула 3)
Сума квадратів синуса і косинуса одного і того ж кута дорівнює одиниці (Формула 4). см. також доказ суми квадратів косинуса і синуса.
Сума одиниці і тангенса кута дорівнює відношенню одиниці до квадрату косинуса цього кута (Формула 5)
Одиниця плюс котангенс кута дорівнює частці від ділення одиниці на синус квадрат цього кута (Формула 6)
Твір тангенса на котангенс одного і того ж кута дорівнює одиниці (Формула 7).

Перетворення негативних кутів тригонометричних функцій (парність і непарність)

Для того, щоб позбутися від від'ємного значення градусної міри кута при обчисленні синуса, косинуса або тангенса, можна скористатися наступними тригонометричними перетвореннями (тотожністю), заснованими на принципах парності або непарності тригонометричних функцій.

Як видно, косинус і секанс є парною функцією, синус, тангенс і котангенс - непарні функції.

Синус негативного кута дорівнює від'ємного значення синуса цього ж самого позитивного кута (мінус синус альфа).
Косинус "мінус альфа" дасть теж саме значення, що і косинус кута альфа.
Тангенс мінус альфа дорівнює мінус тангенс альфа.

Формули приведення подвійного кута (синус, косинус, тангенс і котангенс подвійного кута)

Якщо необхідно розділити кут навпіл, або навпаки, перейти від подвійного кута до одинарному, можна скористатися наступними тригонометричними тотожністю:

Перетворення подвійного кута (синуса подвійного кута, косинуса подвійного кута і тангенса подвійного кута) В одинарний відбувається за такими правилами:

Синус подвійного кута дорівнює подвоєному добутку синуса на косинус одинарного кута

Косинус подвійного кута дорівнює різниці квадрата косинуса одинарного кута і квадрата синуса цього кута

Косинус подвійного кута дорівнює подвоєному квадрату косинуса одинарного кута мінус одиниця

Косинус подвійного кута дорівнює одиниці мінус подвійний синус квадрат одинарного кута

Тангенс подвійного кута дорівнює дробу, чисельник якого - подвоєний тангенс одинарного кута, а знаменник дорівнює одиниці мінус тангенс квадрат одинарного кута.

Котангенс подвійного кута дорівнює дробу, чисельник якого - квадрат котангенс одинарного кута мінус одиниця, а знаменник дорівнює подвоєному Котангенс одинарного кута

Формули універсальної тригонометричної підстановки

Зазначені нижче формули перетворення можуть стати в нагоді, коли потрібно аргумент тригонометричної функції (sin α, cos α, tg α) розділити на два і привести вираз до значення половини кута. З значення α отримуємо α / 2.

Дані формули називаються формулами універсальної тригонометричної підстановки. Їх цінність полягає в тому, що тригонометрическое вираз з їх допомогою зводиться до вираження тангенса половини кута, незалежно від того, які тригонометричні функції (sin cos tg ctg) були в вираженні спочатку. Після цього рівняння з тангенсом половини кута вирішити набагато простіше.

Тригонометричні тотожності перетворення половини кута

Зазначені нижче формули тригонометричного перетворення половинної величини кута до його цілого значень.
Значення аргументу тригонометричної функції α / 2 приводиться до значення аргументу тригонометричної функції α.

Тригонометричні формули додавання кутів

cos (α - β) \u003d cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) \u003d sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α - β) \u003d sin α · cos β - sin β · cos α
cos (α + β) \u003d cos α · cos β - sin α · sin β

Тангенс і котангенс суми кутівальфа і бета можуть бути перетворені за такими правилами перетворення тригонометричних функцій:

Тангенс суми кутів дорівнює дробу, чисельник якого - сума тангенса першого і тангенса другого кута, а знаменник - одиниця мінус твір тангенса першого кута на тангенс другого кута.

Тангенс різниці кутів дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює різниці тангенса зменшуваного кута і тангенса від'ємника кута, а знаменник - одиниці плюс твір тангенсов цих кутів.

Котангенс суми кутів дорівнює дробу, числівник якого дорівнює добутку котангенс цих кутів плюс одиниця, а знаменник дорівнює різниці котангенс другого кута і котангенс першого кута.

Котангенс різниці кутів дорівнює дробу, чисельник якого - твір котангенсів цих кутів мінус одиниця, а знаменник дорівнює сумі котангенсів цих кутів.

Дані тригонометричні тотожності зручно застосовувати, коли потрібно обчислити, наприклад, тангенс 105 градусів (tg 105). Якщо його представити як tg (45 + 60), то можна скористатися наведеними тотожними перетвореннями тангенса суми кутів, після чого просто підставити табличні значення тангенса 45 і тангенса 60 градусів.

Формули перетворення суми або різниці тригонометричних функцій

Вирази, що представляють собою суму виду sin α + sin β можна перетворити за допомогою наступних формул:

Формули потрійного кута - перетворення sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Іноді необхідно перетворити потрійну величину кута так, щоб аргументом тригонометричної функції замість 3α став кут α.
В цьому випадку можна скористатися формулами (тотожністю) перетворення потрійного кута:

Формули перетворення добутку тригонометричних функцій

Якщо виникає необхідність перетворити твір синусів різних кутів косинусів різних кутів або навіть твори синуса на косинус, то можна скористатися наступними тригонометричними тотожністю:


В цьому випадку твір функцій синуса, косинуса або тангенса різних кутів буде перетворено в суму або різницю.

Формули приведення тригонометричних функцій

Користуватися таблицею приведення потрібно в такий спосіб. У рядку вибираємо функцію, яка нас цікавить. У стовпці - кут. Наприклад, синус кута (α + 90) на перетині першого рядка та першого стовпчика з'ясовуємо, що sin (α + 90) \u003d cos α.

| BD | - довжина дуги кола з центром в точці A.
α - кут, виражений в радіанах.

тангенс ( tg α) - це тригонометрическая функція, що залежить від кута α між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, що дорівнює відношенню довжини протилежного катета | BC | до довжини прилеглого катета | AB | .
котангенс ( ctg α) - це тригонометрическая функція, що залежить від кута α між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, що дорівнює відношенню довжини прилеглого катета | AB | до довжини протилежного катета | BC | .

тангенс

де n - ціле.

У західній літературі тангенс позначається так:
.
;
;
.

Графік функції тангенс, y \u003d tg x

котангенс

де n - ціле.

У західній літературі котангенс позначається так:
.
Також прийняті наступні позначення:
;
;
.

Графік функції котангенс, y \u003d ctg x

Властивості тангенса і котангенс

періодичність

Функції y \u003d tg x і y \u003d ctg x періодичні з періодом π.

парність

Функції тангенс і котангенс - непарні.

Області визначення та значень, зростання, спадання

Функції тангенс і котангенс безперервні на своїй області визначення (див. Доказ безперервності). Основні властивості тангенса і котангенс представлені в таблиці ( n - ціле).

	y \u003d tg x	y \u003d ctg x
Область визначення і безперервність
область значень	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
зростання		-
Зменшення	-
екстремуми	-	-
Нулі, y \u003d 0
Точки перетину з віссю ординат, x \u003d 0	y \u003d 0	-

формули

Вирази через синус і косинус

; ;
; ;
;

Формули тангенса і котангенс від суми і різниці

Інші формули легко отримати, наприклад

твір тангенсов

Формула суми і різниці тангенсів

В даній таблиці представлені значення тангенсів і котангенсів при деяких значеннях аргументу.

Вирази через комплексні числа

Вирази через гіперболічні функції

;
;

похідні

; .

.
Похідна n-го порядку по змінній x від функції:
.
Висновок формул для тангенса\u003e\u003e\u003e; для котангенс\u003e\u003e\u003e

інтеграли

Розкладання в ряди

Щоб отримати розкладання тангенса за ступенями x, потрібно взяти кілька членів розкладання в статечної ряд для функцій sin x і cos x і розділити ці многочлени один на одного,. При цьому виходять такі формули.

При.

при.
де B n - числа Бернуллі. Вони визначаються або з рекурентного співвідношення:
;
;
де.
Або за формулою Лапласа:

Зворотні функції

Зворотними функціями до тангенсу і котангенс є арктангенс і арккотангенс, відповідно.

Арктангенс, arctg

, де n - ціле.

Арккотангенс, arcctg

, де n - ціле.

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяев, Довідник з математики для інженерів і учнів втузів, «Лань», 2009.
Г. Корн, Довідник з математики для науковців та інженерів, 2012.

Див. також:

завдання.
Знайти значення х при.

Рішення.
Знайти значення аргументу функції, при якому він дорівнює якомусь значенню, означає визначити, за яких аргументах значення синуса буде саме таким, як зазначено в умові.
В даному випадку нам потрібно з'ясувати, при яких значеннях значення синуса буде рівним 1/2. Це можна зробити декількома способами.
Наприклад, використовувати, по якому визначити при яких значеннях х функція синус дорівнюватиме 1/2.
Іншим способом є використання. Нагадаю, що значення синусів лежать на осі Оу.
Найпоширенішим способом є звернення до, особливо якщо мова йде про таких стандартних для цієї функції значеннях, як 1/2.
У всіх випадках не варто забувати про один з найважливіших властивостей синуса - про його періоді.
Знайдемо в таблиці значення 1/2 для синуса і подивимося які аргументи йому відповідають. Цікавлять нас аргументи рівні Пі / 6 і 5Пі / 6.
Запишемо всі корені, які задовольняють задане рівняння. Для цього записуємо цікавий для нас невідомий аргумент х і одне зі значень аргументу, отримане з таблиці, тобто Пі / 6. Запишемо для нього, враховуючи період синуса, все значення аргументу:

Візьмемо друге значення, і виконаємо ті ж кроки, що і в попередньому випадку:

Повним рішенням вихідного рівняння буде:
і
q може приймати значення будь-якого цілого числа.

Значення синуса укладені в проміжку [-1; 1], тобто -1 ≤ sin α ≤ 1. Тому якщо | а | \u003e 1, то рівняння sin x \u003d a не має коренів. Наприклад, рівняння sin x \u003d 2 коренів не має.

Звернемося до деяких задач.

Вирішити рівняння sin x \u003d 1/2.

Рішення.

Відзначимо, що sin x - це ордината точки одиничного кола, яка отримана в результаті повороту точки Р (1; 0) на кут х навколо початку координат.

Ордината, рівна ½, присутній у двох точок кола М 1 і М 2.

Так як 1/2 \u003d sin π / 6, то точка М 1 виходить з точки Р (1; 0) за допомогою повороту на кут х 1 \u003d π / 6, а також на кути х \u003d π / 6 + 2πk, де k \u003d +/- 1, +/- 2, ...

Точка М 2 виходить з точки Р (1; 0) в результаті повороту на кут х 2 \u003d 5π / 6, а також на кути х \u003d 5π / 6 + 2πk, де k \u003d +/- 1, +/- 2, ... , тобто на кути х \u003d π - π / 6 + 2πk, де k \u003d +/- 1, +/- 2, ....

Отже, все коріння рівняння sin х \u003d 1/2 можна знайти за формулами х \u003d π / 6 + 2πk, х \u003d π - π / 6 + 2πk, де k € Z.

Ці формули можуть об'єднатися в одну: х \u003d (-1) n π / 6 + πn, де n € Z (1).

Дійсно, якщо n - парне число, тобто n \u003d 2k, то з формули (1) отримуємо х \u003d π / 6 + 2πk, а якщо n - непарне число, тобто n \u003d 2k + 1, то з формули (1) отримуємо х \u003d π - π / 6 + 2πk.

Відповідь. х \u003d (-1) n π / 6 + πn, де n € Z.

Вирішити рівняння sin x \u003d -1/2.

Рішення.

Ординату -1/2 мають дві точки одиничного кола М 1 і М 2, де х 1 \u003d -π / 6, х 2 \u003d -5π / 6. Отже, все коріння рівняння sin x \u003d -1/2 можна знайти за формулами х \u003d -π / 6 + 2πk, х \u003d -5π / 6 + 2πk, k € Z.

Ці формули ми можемо об'єднати в одну: х \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).

Дійсно, якщо n \u003d 2k, то за формулою (2) отримуємо х \u003d -π / 6 + 2πk, а якщо n \u003d 2k - 1, то за формулою (2) знаходимо х \u003d -5π / 6 + 2πk.

Відповідь. х \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.

Таким чином, кожне з рівнянь sin x \u003d 1/2 і sin x \u003d -1/2 має безліч коренів.

На відрізку -π / 2 ≤ х ≤ π / 2 кожне з цих рівнянь має тільки один корінь:
х 1 \u003d π / 6 - корінь рівняння sin x \u003d 1/2 і х 1 \u003d -π / 6 - корінь рівняння sin x \u003d -1/2.

Число π / 6 називають арксинуса числа 1/2 і записують: arcsin 1/2 \u003d π / 6; число -π / 6 називають арксинуса числа -1/2 і пишуть: arcsin (-1/2) \u003d -π / 6.

Взагалі рівняння sin x \u003d а, де -1 ≤ а ≤ 1, на відрізку -π / 2 ≤ х ≤ π / 2 має лише один корінь. Якщо а ≥ 0, то корінь укладений в проміжку; якщо а< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

Таким чином, арксинуса числа а € [-1; 1] називається таке число а € [-π / 2; π / 2], синус якого дорівнює а.

аrcsin а \u003d α, якщо sin α \u003d а і -π / 2 ≤ х ≤ π / 2 (3).

Наприклад, аrcsin √2 / 2 \u003d π / 4, так як sin π / 4 \u003d √2 / 2 і - π / 2 ≤ π / 4 ≤ π / 2;
аrcsin (-√3 / 2) \u003d -π / 3, так як sin (-π / 3) \u003d -√3 / 2 і - π / 2 ≤ - π / 3 ≤ π / 2.

Аналогічно тому, як це зроблено при вирішенні завдань 1 і 2, можна показати, що корені рівняння sin х \u003d а, де | а | ≤ 1, виражаються формулою

х \u003d (-1) n аrcsin а + πn, n € Z (4).

Також ми можемо довести, що для будь-якого а € [-1; 1] справедлива формула аrcsin (-а) \u003d -аrcsin а.

З формули (4) випливає, що корені рівняння
sin х \u003d а при а \u003d 0, а \u003d 1, а \u003d -1 можна знаходити по більш простими формулами:

sin х \u003d 0 х \u003d πn, n € Z (5)

sin х \u003d 1 х \u003d π / 2 + 2πn, n € Z (6)

sin х \u003d -1 х \u003d -π / 2 + 2πn, n € Z (7)

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

У тригонометрії багато формули легше вивести, ніж визубрити. Косинус подвійного кута - чудова формула! Вона дозволяє отримати формули пониження степеня і формули половинного кута.

Отже, нам потрібні косинус подвійного кута і тригонометрическая одиниця:

Вони навіть схожі: у формулі косинуса подвійного кута - різниця квадратів косинуса і синуса, а в тригонометричної одиниці - їх сума. Якщо з тригонометричної одиниці висловити косинус:

і підставити його в косинус подвійного кута, то отримаємо:

Це - ще одна формула косинуса подвійного кута:

Ця формула - ключ до отримання формули пониження степеня:

Отже, формула зниження ступеня синуса:

Якщо в ній кут альфа замінити на половинний кут альфа навпіл, а подвійний кут два альфа - на кут альфа, то отримаємо формулу половинного кута для синуса:

Тепер з тригонометричної одиниці висловимо синус:

Підставами цей вислів в формулу косинуса подвійного кута:

Отримали ще одну формулу косинуса подвійного кута:

Ця формула - ключ до знаходження формули пониження степеня косинуса і половинного кута для косинуса.

Таким чином, формула зниження ступеня косинуса:

Якщо в ній замінити α на α / 2, а 2α - на α, то отримаємо формулу половинного аргументу для косинуса:

Так як тангенс - відношення синуса до косинусу то формула для тангенса:

Котангенс - відношення косинуса до синуса. Тому формула для котангенса:

Звичайно, в процесі спрощення тригонометричних виразів формули половинного кута або зниження ступеня немає сенсу кожен раз виводити. Набагато простіше перед собою покласти листочок з формулами. І спрощення просунеться швидше, і зорова пам'ять включиться на запам'ятовування.

Але кілька разів вивести ці формули все ж варто. Тоді ви будете абсолютно впевнені в тому, що на іспиті, коли немає можливості скористатися шпаргалкою, ви без праці їх отримаєте, якщо виникне необхідність.