Основні тригонометричні формули і тотожності sin, cos, tg, ctg. Формули тригонометрії Чому дорівнює cos2x формула

Основні формули тригонометрії - це формули, що встановлюють зв'язки між основними тригонометричними функціями. Синус, косинус, тангенс і котангенс пов'язані між собою безліччю співвідношень. Нижче наведемо основні тригонометричні формули, А для зручності згрупуємо їх за призначенням. З використанням даних формул можна вирішити практично будь-яке завдання з стандартного курсу тригонометрії. Відразу відзначимо, що нижче наведені лише самі формули, а не їх висновок, якому будуть присвячені окремі статті.

Основні тотожності тригонометрії

Тригонометричні тотожності дають зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом одного кута, дозволяючи висловити одну функцію через іншу.

тригонометричні тотожності

sin 2 a + cos 2 a \u003d 1 tg α \u003d sin α cos α, ctg α \u003d cos α sin α tg α · ctg α \u003d 1 tg 2 α + 1 \u003d 1 cos 2 α, ctg 2 α + 1 \u003d 1 sin 2 α

Ці тотожності безпосередньо випливають з визначень одиничному колі, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) і котангенс (ctg).

формули приведення

Формули приведення дозволяють переходити від роботи з довільними і як завгодно великими кутами до роботи з кутами в межах від 0 до 90 градусів.

формули приведення

sin α + 2 π z \u003d sin α, cos α + 2 π z \u003d cos α tg α + 2 π z \u003d tg α, ctg α + 2 π z \u003d ctg α sin - α + 2 π z \u003d - sin α, cos - α + 2 π z \u003d cos α tg - α + 2 π z \u003d - tg α, ctg - α + 2 π z \u003d - ctg α sin π 2 + α + 2 π z \u003d cos α, cos π 2 + α + 2 π z \u003d - sin α tg π 2 + α + 2 π z \u003d - ctg α, ctg π 2 + α + 2 π z \u003d - tg α sin π 2 - α + 2 π z \u003d cos α, cos π 2 - α + 2 π z \u003d sin α tg π 2 - α + 2 π z \u003d ctg α, ctg π 2 - α + 2 π z \u003d tg α sin π + α + 2 π z \u003d - sin α, cos π + α + 2 π z \u003d - cos α tg π + α + 2 π z \u003d tg α, ctg π + α + 2 π z \u003d ctg α sin π - α + 2 π z \u003d sin α, cos π - α + 2 π z \u003d - cos α tg π - α + 2 π z \u003d - tg α, ctg π - α + 2 π z \u003d - ctg α sin 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - cos α, cos 3 π 2 + α + 2 π z \u003d sin α tg 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - ctg α, ctg 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - tg α sin 3 π 2 - α + 2 π z \u003d - cos α, cos 3 π 2 - α + 2 π z \u003d - sin α tg 3 π 2 - α + 2 π z \u003d ctg α, ctg 3 π 2 - α + 2 π z \u003d tg α

Формули приведення є наслідком періодичності тригонометричних функцій.

Тригонометричні формули додавання

Формули додавання в тригонометрії дозволяють виразити тригонометричну функцію суми або різниці кутів через тригонометричні функції цих кутів.

Тригонометричні формули додавання

sin α ± β \u003d sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β \u003d cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β \u003d cos α · cos β + sin α · sin β tg α ± β \u003d tg α ± tg β 1 ± tg α · tg β ctg α ± β \u003d - 1 ± ctg α · ctg β ctg α ± ctg β

На основі формул складання виводяться тригонометричні формули кратного кута.

Формули кратного кута: подвійного, потрійного і т.д.

Формули подвійного і потрійного кута

sin 2 α \u003d 2 · sin α · cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 tg 2 α \u003d 2 · tg α 1 - tg 2 α з tg 2 α \u003d з tg 2 α - 1 2 · з tg α sin 3 α \u003d 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α \u003d cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α, cos 3 α \u003d - 3 cos α + 4 cos 3 α tg 3 α \u003d 3 tg α - tg 3 α 1 - 3 tg 2 α ctg 3 α \u003d ctg 3 α - 3 ctg α 3 ctg 2 α - 1

Формули половинного кута

Формули половинного кута в тригонометрії є наслідком формул подвійного кута і висловлюють співвідношення між основними функціями половинного кута і косинусом цілого кута.

Формули половинного кута

sin 2 α 2 \u003d 1 - cos α 2 cos 2 α 2 \u003d 1 + cos α 2 t g 2 α 2 \u003d 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 \u003d 1 + cos α 1 - cos α

Формули пониження степеня

Формули пониження степеня

sin 2 α \u003d 1 - cos 2 α 2 cos 2 α \u003d 1 + cos 2 α 2 sin 3 α \u003d 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α \u003d 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α \u003d 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α \u003d 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Часто при розрахунках діяти з громоздктмі ступенями незручно. Формули пониження степеня дозволяють знизити ступінь тригонометричної функції зі як завгодно великий до першої. Наведемо їх загальний вигляд:

Загальний вигляд формул зниження ступеня

для парних n

sin n α \u003d C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 Σ k \u003d 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C kn · cos ((n - 2 k) α) cos n α \u003d C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 Σ k \u003d 0 n 2 - 1 C kn · cos ((n - 2 k) α)

для непарних n

sin n α \u003d 1 2 n - 1 Σ k \u003d 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k · C kn · sin ((n - 2 k) α) cos n α \u003d 1 2 n - 1 Σ k \u003d 0 n - 1 | 2 C kn · cos ((n - 2 k) α)

Сума і різниця тригонометричних функцій

Різниця і суму тригонометричних функцій можна представити у вигляді добутку. Розкладання на множники різниць синусів і косинусів дуже зручно застосовувати при вирішенні тригонометричних рівнянь і спрощення виразів.

Сума і різниця тригонометричних функцій

sin α + sin β \u003d 2 sin α + β 2 · cos α - β 2 sin α - sin β \u003d 2 sin α - β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β \u003d 2 cos α + β 2 · cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 · sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 · sin β - α 2

Твір тригонометричних функцій

Якщо формули суми і різниці функцій дозволяють перейти до їх твору, то формули добутку тригонометричних функцій здійснюють зворотний перехід - від добутку до суми. Розглядаються формули твори синусів, косинусів і синуса на косинус.

Формули добутку тригонометричних функцій

sin α · sin β \u003d 1 2 × (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β \u003d 1 2 × (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α · cos β \u003d 1 2 · (sin (α - β) + sin (α + β))

Універсальна тригонометрическая підстановка

Всі основні тригонометричні функції - синус, косинус, тангенс і котангенс, - можуть бути виражені через тангенс половинного кута.

Універсальна тригонометрическая підстановка

sin α \u003d 2 tg α 2 1 + tg 2 α 2 cos α \u003d 1 - tg 2 α 2 1 + tg 2 α 2 tg α \u003d 2 tg α 2 1 - tg 2 α 2 ctg α \u003d 1 - tg 2 α 2 2 tg α 2

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Формул в тригонометрії багато.

Запам'ятати їх механічно дуже складно, майже неможливо. На заняттях багато школярів і студенти користуються роздруківками на форзацах підручників і зошитів, плакатами на стінах, шпаргалками, нарешті. А як бути на іспиті?

Однак, якщо Ви придивіться до цих формул уважніше, то виявите, що всі вони взаємопов'язані і мають певну симетрію. Давайте проаналізуємо їх з урахуванням визначень і властивостей тригонометричних функцій, щоб визначити той мінімум, який дійсно варто вивчити напам'ять.

I група. Основні тотожності

sin 2 α + cos 2 α \u003d 1;

tgα \u003d ____ sinα cosα; ctgα \u003d ____ cosα sinα ;

tgα · ctgα \u003d 1;

1 + tg 2 α \u003d _____ 1 cos 2 α; 1 + ctg 2 α \u003d _____ 1 sin 2 α.

Ця група містить найпростіші і найбільш затребувані формули. Більшість учнів їх знає. Але якщо все-таки є труднощі, то щоб запам'ятати перші три формули, подумки уявіть собі прямокутний трикутник з гіпотенузою що дорівнює одиниці. Тоді його катети будуть рівні, відповідно, sinα за визначенням синуса (відношення протилежного катета до гіпотенузи) і cosα за визначенням косинуса (відношення прилеглого катета до гіпотенузи).

Перша формула являє собою теорему Піфагора для такого трикутника - сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи (1 2 \u003d 1), друга і третя - це визначення тангенса (відношення протилежного катета до прилеглого) і котангенс (відношення прилеглого катета до протилежного).
Твір тангенса на котангенс дорівнює 1 тому, що котангенс, записаний у вигляді дробу (формула третя) є перевернутий тангенс (формула друга). Останнє міркування, до речі, дозволяє виключити з числа формул, які необхідно обов'язково завчити, всі наступні довгі формули з котангенсом. Якщо в будь-якому складному завданні Вам зустрінеться ctgα, просто замініть його на дріб ___ 1 tgα і користуйтеся формулами для тангенса.

Останні дві формули годі й запам'ятовувати досімвольно. Вони зустрічаються рідше. І якщо будуть потрібні, то Ви завжди зможете вивести їх на чернетці заново. Для цього достатньо підставити замість тангенса або контангенса їх визначення через дріб (формули друга і третя, відповідно) і привести вираз до спільного знаменника. Але важливо пам'ятати, що такі формули, які пов'язують квадрати тангенса і косинуса, і квадрати котангенс і синуса існують. Інакше, Ви можете не здогадатися, які перетворення необхідні для вирішення тієї чи іншої конкретної задачі.

II група. формули додавання

sin (α + β) \u003d sinα · cosβ + cosα · sinβ;

sin (α - β) \u003d sinα · cosβ - cosα · sinβ;

cos (α + β) \u003d cosα · cosβ - sinα · sinβ;

cos (α - β) \u003d cosα · cosβ + sinα · sinβ;

tg (α + β) \u003d tgα + tgβ _________ 1 - tgα · tgβ;

tg (α - β) \u003d

Згадаймо властивості парності / непарності тригонометричних функцій:

sin (-α) \u003d - sin (α); cos (-α) \u003d cos (α); tg (-α) \u003d - tg (α).

З усіх тригонометричних функцій тільки косинус є парною функцією і не змінює свій знак при зміні знаку аргументу (кута), інші функції є непарними. Непарність функції, фактично, означає, що знак мінус можна вносити і виносити за знак функції. Тому, якщо Вам зустрінеться тригонометрическое вираз з різницею двох кутів, завжди можна буде розуміти його як суму позитивного і негативного кутів.

наприклад, sin ( x - 30º) \u003d sin ( x + (-30º)).
Далі користуємося формулою суми двох кутів і розбираємося зі знаками:
sin ( x + (-30º)) \u003d sin x· Cos (-30º) + cos x· Sin (-30º) \u003d
\u003d sin x· Cos30º - cos x· Sin30º.

Таким чином всі формули, що містять різницю кутів, можна просто пропустити при першому заучуванні. Потім варто навчитися відновлювати їх у загалом вигляді спочатку на чернетці, а потім і в думках.

Наприклад, tg (α - β) \u003d tg (α + (-β)) \u003d tgα + tg (-β) ___________ 1 - tgα · tg (-β) = tgα - tgβ _________ 1 + tgα · tgβ.

Це допоможе в подальшому швидше здогадуватися про те, які перетворення потрібно застосувати для вирішення тієї чи іншої задачі з тригонометрії.

Ш група. Формули кратних аргументів

sin2α \u003d 2 · sinα · cosα;

cos2α \u003d cos 2 α - sin 2 α;

tg2α \u003d 2tgα _______ 1 - tg 2 α;

sin3α \u003d 3sinα - 4sin 3 α;

cos3α \u003d 4cos 3 α - 3cosα.

Необхідність у використанні формул для синуса і косинуса подвійного кута виникає дуже часто, для тангенса теж нерідко. Ці формули слід знати напам'ять. Тим більше, що труднощів у їх заучуванні немає. По-перше, формули короткі. По-друге, їх легко контролювати за формулами попередньої групи, виходячи з того, що 2α \u003d α + α.
наприклад:
sin (α + β) \u003d sinα · cosβ + cosα · sinβ;
sin (α + α) \u003d sinα · cosα + cosα · sinα;
sin2α \u003d 2sinα · cosα.

Однак, якщо Ви швидше вивчили ці формули, а не попередні, то можна зробити і навпаки: згадувати формулу для суми двох кутів можна за відповідною формулою для подвійного кута.

Наприклад, якщо потрібна формула косинуса суми двох кутів:
1) згадуємо формулу для косинуса подвійного кута: cos2 x \u003d Cos 2 x - sin 2 x;
2) розписуємо її довго: cos ( x + x) \u003d Cos x· cos x - sin x· sin x;
3) замінюємо один х на α, другий на β: cos (α + β) \u003d cosα · cosβ - sinα · sinβ.

Потренуйтеся аналогічно відновлювати формули для синуса суми і тангенса суми. У відповідальних випадках, таких як наприклад ЄДІ, перевіряйте точність відновлених формул по відомим першої чверті: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Перевірка попередньої формули (отриманої заміною в рядку 3):
нехай α \u003d 60 °, β \u003d 30 °, α + β \u003d 90 °,
тоді cos (α + β) \u003d cos90 ° \u003d 0, cosα \u003d cos60 ° \u003d 1/2, cosβ \u003d cos30 ° \u003d √3 _ / 2, sinα \u003d sin60 ° \u003d √3 _ / 2, sinβ \u003d sin30 ° \u003d 1/2;
підставляємо значення в формулу: 0 \u003d (1/2) · ( √3_ /2) − (√3_ / 2) · (1/2);
0 ≡ 0, помилок не виявлено.

Формули для потрійного кута, на мій погляд, спеціально "зубрити" не потрібно. Вони досить рідко зустрічаються на іспитах типу ЄДІ. Вони легко виводяться з формул, які були вище, тому що sin3α \u003d sin (2α + α). А тим учням, яким з якихось причин все ж буде потрібно вивчити ці формули напам'ять, раджу звернути увагу на їх деяку "симетричність" і запам'ятовувати не власними формули, а мнемонічні правила. Наприклад, порядок в якому розташовані числа в двох формулах "33433433" і т.п.

IV група. Сума / різниця - в твір

sinα + sinβ \u003d 2 · sin α + β ____ 2· cos α - β ____ 2 ;

sinα - sinβ \u003d 2 · sin α - β ____ 2· cos α + β ____ 2 ;

cosα + cosβ \u003d 2 · cos α + β ____ 2· cos α - β ____ 2 ;

cosα - cosβ \u003d -2 · sin α - β ____ 2· sin α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ \u003d sin (α + β) ________ cosα · cosβ ;

tgα - tgβ \u003d sin (α - β) ________ cosα · cosβ .

Скориставшись властивостями непарності функцій синус і тангенс: sin (-α) \u003d - sin (α); tg (-α) \u003d - tg (α),
можна формули для різниць двох функцій звести до формул для їх сум. наприклад,

sin90º - sin30º \u003d sin90º + sin (-30º) \u003d 2 · sin 90º + (-30º) __________ 2· cos 90º - (-30º) __________ 2 =

2 · sin30º · cos60º \u003d 2 · (1/2) · (1/2) \u003d 1/2.

Таким чином, формули різниці синусів і тангенсів не обов'язково відразу заучувати напам'ять.
З сумою і різницею косинусів справа йде складніше. Ці формули не взаємозамінні. Але знову ж таки, користуючись парністю косинуса, можна запам'ятати наступні правила.

Сума cosα + cosβ не може змінити свій знак ні при яких змінах знаків кутів, тому твір також має складатися з парних функцій, тобто двох косинусів.

Знак різниці cosα - cosβ залежить від значень самих функцій, значить знак твори повинен залежати від співвідношення кутів, тому твір має складатися з непарних функцій, тобто двох синусів.

І все-таки ця група формул не сама легка для запам'ятовування. Це той випадок, коли краще менше зубрити, але більше перевіряти. Щоб не допустити помилки у формулі на відповідальному іспиті, обов'язково спочатку запишіть її на чернетці і перевірте двома способами. Спочатку підстановками β \u003d α і β \u003d -α, потім по відомими значеннями функцій для простих кутів. Для цього найкраще брати 90º і 30º, як це було зроблено в прикладі вище, тому що полусумма і полуразность цих значень, знову дають прості кути, і Ви легко можете побачити, як рівність стає тотожністю для вірного варіанту. Або, навпаки, не виконується, якщо Ви помилилися.

прикладперевірки формули cosα - cosβ \u003d 2 · sin α - β ____ 2· sin α + β ____ 2 для різниці косинусів з помилкою !

1) Нехай β \u003d α, тоді cosα - cosα \u003d 2 · sin α - α _____ 2· sin α + α _____ 2 \u003d 2sin0 · sinα \u003d 0 · sinα \u003d 0. cosα - cosα ≡ 0.

2) Нехай β \u003d - α, тоді cosα - cos (- α) \u003d 2 · sin α - (-α) _______ 2· sin α + (-α) _______ 2 \u003d 2sinα · sin0 \u003d 0 · sinα \u003d 0. cosα - cos (- α) \u003d cosα - cosα ≡ 0.

Ці перевірки показали, що функції у формулі використані правильно, але через те, що тотожність виходило виду 0 ≡ 0, могла бути пропущена помилка зі знаком або коефіцієнтом. Робимо третю перевірку.

3) Нехай α \u003d 90º, β \u003d 30º, тоді cos90º - cos30º \u003d 2 · sin 90º - 30º ________ 2· sin 90º + 30º ________ 2 \u003d 2sin30º · sin60º \u003d 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cos90 - cos30 \u003d 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

Помилка була дійсно в знаку і тільки в знаку перед твором.

V група. Твір - в суму / різницю

sinα · sinβ \u003d 1 _ 2 · (Cos (α - β) - cos (α + β));

cosα · cosβ \u003d 1 _ 2 · (Cos (α - β) + cos (α + β));

sinα · cosβ \u003d 1 _ 2 · (Sin (α - β) + sin (α + β)).

Сама назва п'ятої групи формул підказує, що ці формули є зворотними по відношенню до попередньої групи. Зрозуміло, що в цьому випадку простіше відновити формулу на чернетці, ніж вчити її заново, збільшуючи ризик створення "каші в голові". Єдине, на чому має сенс загострити увагу для більш швидкого відновлення формули, це такі рівності (перевірте їх):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

Розглянемо приклад: потрібно перетворити твір sin5 x· cos3 x в суму двох тригонометричних функцій.
Оскільки в твір входять і синус, і косинус, то беремо з попередньої групи формулу для суми синусів, яку вже вивчили, і записуємо її на чернетці.

sinα + sinβ \u003d 2 · sin α + β ____ 2· cos α - β ____ 2

нехай 5 x = α + β ____ 2 і 3 x = α - β ____ 2 , Тоді α \u003d α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5x + 3x = 8x, β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5x − 3x = 2x.

Замінюємо у формулі на чернетці значення кутів, виражені через змінні α і β, на значення кутів, виражені через змінну x.
отримаємо sin8 x + sin2 x \u003d 2 · sin5 x· cos3 x

Ділимо обидві частини равества на 2 і записуємо його на чистовик справа наліво sin5 x· cos3 x = 1 _ 2 (sin8 x + sin2 x). Відповідь готовий.

Як вправа: Поясніть, чому в підручнику формул для перетворення суми / різниці в твір 6, а зворотних (для перетворення твори в суму або різницю) - всього 3?

VI група. Формули пониження степеня

cos 2 α \u003d 1 + cos2α _________ 2;

sin 2 α \u003d 1 - cos2α _________ 2;

cos 3 α \u003d 3cosα + cos3α ____________ 4;

sin 3 α \u003d 3sinα - sin3α ____________ 4.

Перші дві формули цієї групи дуже потрібні. Застосовуються часто при вирішенні тригонометричних рівнянь, в тому числі рівня єдиного іспиту, а також при обчисленні інтегралів, що містять подинтегральную функції тригонометричного типу.

Можливо, буде легше запам'ятати їх в наступній "одноповерхової" формі
2cos 2 α \u003d 1 + cos2α;
2 sin 2 α \u003d 1 - cos2α,
а розділити на 2 завжди можна в розумі чи на чернетці.

Необхідність у використанні таких двох формул (з кубами функцій) на іспитах зустрічається набагато рідше. В іншій обстановці у Вас завжди буде час скористатися чернеткою. При цьому можливі наступні варіанти:
1) Якщо Ви пам'ятаєте останні дві формули III-ї групи, то користуйтеся ними, щоб висловлювати sin 3 α і cos 3 α шляхом нескладних перетворень.
2) Якщо в останніх двох формулах цієї групи Ви помітили елементи симетрії, які сприяють їх запам'ятовування, то записуйте "ескізи" формул на чернетці та перевіряйте їх за значеннями основних кутів.
3) Якщо, крім того, що такі формули пониження степеня існують, Ви про них нічого не знаєте, то вирішуйте завдання поетапно, виходячи з того, що sin 3 α \u003d sin 2 α · sinα і інших вчинених формул. Будуть потрібні формули пониження степеня для квадрата і формули перетворення добутку в суму.

VII група. половинний аргумент

sin α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 2;_____

cos α _ 2 = ± √ 1 + cosα ________ 2;_____

tg α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 1 + cosα._____

Не бачу сенсу в заучуванні напам'ять цієї групи формул в тому вигляді, в якому вони представлені в підручниках і довідниках. Якщо Ви розумієте, що α є половина від 2α, то цього достатньо, щоб швидко вивести потрібну формулу половинного аргументу, виходячи з перших двох формул зниження ступеня.

Це стосується також тангенса половинного кута, формула для якого виходить розподілом вираження для синуса на відповідний вираз для косинуса.

Не забудьте тільки при добуванні квадратного кореня поставити знак ± .

VIII група. Універсальна підстановка

sinα \u003d 2tg (α / 2) _________ 1 + tg 2 (α / 2);

cosα \u003d 1 - tg 2 (α / 2) __________ 1 + tg 2 (α / 2);

tgα \u003d 2tg (α / 2) _________ 1 - tg 2 (α / 2).

Ці формули можуть виявитися надзвичайно корисними для вирішення тригонометричних задач всіх видів. Вони дозволяють реалізувати принцип "один аргумент - одна функція", який дозволяє робити заміни змінних, що зводять складні тригонометричні вирази до алгебраїчних. Недарма ця підстановка названа універсальною.
Перші дві формули вчимо обов'язково. Третю можна отримати поділом перших двох друг на друга за визначенням тангенса tgα \u003d sinα ___ cosα

IX група. Формули приведення.

Щоб розібратися з цією групою тригонометричних формул, перед

X група. Значення для основних кутів.

Значення тригонометричних функцій для основних кутів першої чверті наведені

Отже, робимо висновок: Формули тригонометрії знати треба. Чим більше тим краще. Але на що витрачати свій час і зусилля - на заучування формул або на їх відновлення в процесі вирішення завдань, кожен повинен вирішити самостійно.

Приклад завдання на використання формул тригонометрії

Розв'язати рівняння sin5 x· cos3 x - sin8 x· cos6 x = 0.

Маємо дві різні функції sin () і cos () і чотири! різних аргументу 5 x, 3x, 8x і 6 x. Без попередніх перетворень звести до найпростіших типів тригонометричних рівнянь не вийде. Тому спочатку пробуємо замінити твори на суми або різниці функцій.
Робимо це так само, як в прикладі вище (див. Розділ).

sin (5 x + 3x) + Sin (5 x − 3x) \u003d 2 · sin5 x· cos3 x
sin8 x + sin2 x \u003d 2 · sin5 x· cos3 x

sin (8 x + 6x) + Sin (8 x − 6x) \u003d 2 · sin8 x· cos6 x
sin14 x + sin2 x \u003d 2 · sin8 x· cos6 x

Висловлюючи з цих рівностей твори, підставляємо їх в рівняння. отримаємо:

(sin8 x + sin2 x) / 2 - (sin14 x + sin2 x)/2 = 0.

Множимо на 2 обидві частини рівняння, розкриваємо дужки і наводимо подібні члени

Sin8 x + sin2 x - sin14 x - sin2 x = 0;
sin8 x - sin14 x = 0.

Рівняння значно спростилося, але вирішувати його так sin8 x \u003d sin14 x, Отже 8 x = 14x + T, де Т - період, невірно, так як ми не знаємо значення цього періоду. Тому скористаємося тим, що в правій частині рівності стоїть 0, з яким легко порівнювати множники в будь-якому вираженні.
Щоб розкласти sin8 x - sin14 x на множники, потрібно перейти від різниці до твору. Для цього можна скористатися формулою різниці синусів, або знову формулою суми синусів і непарність функції синус (див. Приклад в розділі).

sin8 x - sin14 x \u003d sin8 x + Sin (-14 x) \u003d 2 · sin 8x + (−14x) __________ 2 · cos 8x − (−14x) __________ 2 \u003d Sin (-3 x) · Cos11 x \u003d -sin3 x· cos11 x.

Отже, рівняння sin8 x - sin14 x \u003d 0 рівносильне рівнянню sin3 x· cos11 x \u003d 0, яке, в свою чергу, рівносильно сукупності двох найпростіших рівнянь sin3 x \u003d 0 і cos11 x \u003d 0. Вирішуючи останні, отримуємо дві серії відповідей
x 1 \u003d π n/3, nεZ
x 2 \u003d π / 22 + π k/11, kεZ

Якщо Ви виявили помилку або друкарську помилку в тексті, повідомте про неї, будь ласка, на електронну адресу [Email protected] . Буду вельми вдячна.

Увага, © mathematichka. Пряме копіювання матеріалів на інших сайтах заборонено. Ставте посилання.

Основні формули тригонометрії. заняття №1

Кількість формул, які використовуються в тригонометрії, досить велике (під «формулами» ми на увазі не визначення (наприклад, tgx \u003d sinx / cosx), а тотожні рівності типу sin2x \u003d 2sinxcosx). Щоб легше орієнтуватися в цьому велика кількість формул і не втомлювати учнів безглуздою зубрінням, необхідно виділити серед них найбільш важливі. Їх небагато - всього три. З цих трьох формул слідують всі інші. Це - основне тригонометричну тотожність і формули для синуса і косинуса суми і різниці:

Sin 2 x + cos 2 x \u003d 1 (1)

Sin (x ± y) \u003d sinxcosy ± sinycosx (2)

Cos (x ± y) \u003d cosxcosy ± sinxsiny (3)

З цих трьох формул слідують абсолютно все властивості синуса і косинуса (періодичність, величина періоду, значення синуса 30 0 \u003d π / 6 \u003d 1/2 і т.д.) З цієї точки зору в шкільній програмі використовується багато формально зайвої, надлишкової інформації. Отже, формули «1-3» - правительки тригонометричного царства. Перейдемо до формул-наслідків:

1) Синуси і косинуси кратних кутів

Якщо підставити в (2) і (3) значення x \u003d y, отримаємо:

Sin2x \u003d 2sinxcosх; sin0 \u003d sinxcosx-sinxcosx \u003d 0

Cos2x \u003d cos 2 x-sin 2 x; cos0 \u003d cos 2 x + sin 2 x \u003d 1

Ми вивели, що sin0 \u003d 0; cos0 \u003d 1, не звертаючись до геометричної інтерпретації синуса і косинуса. Точно також, застосувавши формули «2-3» двічі, ми можемо вивести вирази для sin3x; cos3x; sin4x; cos4x і т.д.

Sin3x \u003d sin (2x + x) \u003d sin2xcosx + sinxcos2x \u003d 2sinxcos 2 x + sinx (cos 2 x-sin 2 x) \u003d 2sinx (1-sin 2 x) + sinx (1-2sin 2 x) \u003d 3sinx-4sin 3 x

Завдання для учнів: вивести подібні вирази для cos3x; sin4x; cos4x

2) Формули пониження степеня

Вирішують зворотну задачу, висловлюючи ступеня синуса і косинуса через косинуси і синуси кратних кутів.

Наприклад: cos2x \u003d cos 2 x-sin 2 x \u003d 2cos 2 x-1, звідси: cos 2 x \u003d 1/2 + cos2x / 2

Cos2x \u003d cos 2 x-sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x, звідси: sin 2 x \u003d 1/2-cos2x / 2

Ці формули використовуються дуже часто. Щоб краще їх зрозуміти, раджу зобразити графіки їх лівих і правих частин. Графіки квадратів косинуса і синуса «обвиваються» навколо графіка прямої «у \u003d 1/2» (таке середнє за багато періодів значення cos 2 x і sin 2 x). При цьому частота коливань подвоюється в порівнянні з початковою (період функцій cos 2 x sin 2 x дорівнює 2π / 2 \u003d π), а амплітуда коливань зменшується вдвічі (коефіцієнт 1/2 перед cos2x).

Завдання: висловити sin 3 x; cos 3 x; sin 4 x; cos 4 x через косинуси і синуси кратних кутів.

3) формули приведення

Використовують періодичність тригонометричних функцій, дозволяючи обчислювати їх значення в будь-яких чвертях тригонометричного кола за значеннями в першій чверті. Формули приведення є вельми окремі випадки «головних» формул (2-3) .Наприклад: cos (x + π / 2) \u003d cosxcos π / 2-sinxsin π / 2 \u003d cosx * 0-sinx * 1 \u003d sinx

Отже, Cos (x + π / 2) \u003d sinx

Завдання: вивести формули приведення для sin (x + π / 2); cos (x + 3 π / 2)

4) Формули, що перетворюють суму або різницю косинуса і синуса в твір і назад.

Випишемо формулу для синуса суми і різниці двох кутів:

Sin (x + y) \u003d sinxcosy + sinycosx (1)

Sin (x-y) \u003d sinxcosy-sinycosx (2)

Складемо ліві і праві частини цих рівностей:

Sin (x + y) + sin (x-y) \u003d sinxcosy + sinycosx + sinxcosy -sinycosx

Подібні доданки скорочуються, тому:

Sin (x + y) + sin (x-y) \u003d 2sinxcosy (*)

а) при читанні (*) справа наліво отримаємо:

Sinxcosy \u003d 1/2 (sin (x + y) + sin (x-y)) (4)

Твір синусів двох кутів дорівнює напівсумі синусів суми і різниці цих кутів.

б) при читанні (*) зліва направо зручно позначати:

х-у \u003d с. Звідси знайдемо х і у через р і з, Складаючи і віднімаючи ліві і праві частини цих двох рівностей:

х \u003d (р + с) / 2, у \u003d (р-с) / 2, підставляючи в (*) замість (х + у) і (х-y) виведені нові змінні р і з, Уявімо суму синусів через твір:

sinp + sinc \u003d 2sin (p + c) / 2cos (p-c) / 2 (5)

Отже, прямим наслідком основної формули для синуса суми і різниці кутів виявляються два нових співвідношення (4) і (5).

в) тепер замість того, щоб складати ліві і праві частини рівностей (1) і (2), будемо віднімати їх один з одного:

sin (x + y) - sin (x-y) \u003d 2sinycosx (6)

Читання цієї тотожності справа наліво призводить до формули, аналогічної (4), яка виявляється нецікавою, тому що ми вже вміємо розкладати твори синуса і косинуса в суму синусів (див. (4)). Читання (6) зліва направо дає формулу, згортають різницю синусів в твір:

sinp - sinc \u003d 2sin ((p-c) / 2) * cos ((p + c) / 2) (7)

Отже, з одного фундаментального тотожності sin (x ± y) \u003d sinxcosy ± sinycosx, ми отримали цілих три нових (4), (5), (7).

Аналогічна робота, виконана з іншим фундаментальним тотожністю cos (x ± y) \u003d cosxcosy ± sinxsiny, призводить вже до чотирьох нових:

Cosxcosy \u003d ½ (cos (x + y) + cos (x-y)); cosp + cosc \u200b\u200b\u003d 2cos ((p + c) / 2) cos ((p-c) / 2);

Sinxsiny \u003d ½ (cos (x-y) - cos (x + y)); cosp-cosc \u003d -2sin ((p-c) / 2) sin ((p + c) / 2)

Завдання: перетворити на витвір суму синуса і косинуса:

Sinx + cosy \u003d? Рішення: якщо спробувати не виводити формулу, а відразу підглянути відповідь в який-небудь таблиці тригонометричних формул, то можна і не знайти готового результату. Учні повинні розуміти, що немає потреби заучувати і заносити в таблицю ще одну формулу для sinx + cosy \u003d ..., так як будь-який косинус можна представити у вигляді синуса і, навпаки, за допомогою формул приведення, наприклад: sinx \u003d cos (π / 2 - x), cosy \u003d sin (π / 2 - y). Тому: sinx + cosy \u003d sinx + sin (π / 2 - y) \u003d 2sin ((x + π / 2 - y) / 2) cos ((x - π / 2 + y) / 2.