Метод рішення показового нерівності з найменшим ступенем. Показові рівняння і нерівності. Що таке показова функція

На даному уроці ми розглянемо різні показові нерівності і навчимося їх вирішувати, ґрунтуючись на методиці вирішення найпростіших показових нерівностей

1. Визначення та властивості показовою функції

Нагадаємо визначення та основні властивості показовою функції. Саме на властивостях базується рішення всіх показових рівнянь і нерівностей.

показова функція- це функція виду, де підставу ступеня і Тут х - незалежна змінна, аргумент; у - залежна змінна, функція.

Мал. 1. Графік показовою функції

На графіку показані зростаюча і спадна експоненти, що ілюструють показову функцію при підставі більшому одиниці і меншому одиниці, але великим нуля відповідно.

Обидві криві проходять через точку (0; 1)

Властивості показовою функції:

Область визначення: ;

Область значень:;

Функція монотонна, при зростає, при убуває.

Монотонна функція приймає кожне своє значення при єдиному значенні аргументу.

При, коли аргумент зростає від мінус до плюс нескінченності, функція зростає від нуля трохи включно до плюс нескінченності, т. Е. При даних значеннях аргументу ми маємо монотонно зростаючу функцію (). При навпаки, коли аргумент зростає від мінус до плюс нескінченності, функція спадає від нескінченності до нуля трохи включно, т. Е. При даних значеннях аргументу ми маємо монотонно спадну функцію ().

2. Найпростіші показові нерівності, методика рішення, приклад

На підставі вищесказаного наведемо методику рішення найпростіших показових нерівностей:

Методика рішення нерівностей:

Зрівняти підстави ступенів;

Порівняти показники, зберігши або змінивши на протилежний знак нерівності.

Рішення складних показових нерівностей полягає, як правило, в їх зведенні до найпростіших показовим неравенствам.

Підстава ступеня більше одиниці, значить, знак нерівності зберігається:

перетворимо праву частинузгідно властивостям ступеня:

Підстава ступеня менше одиниці, знак нерівності необхідно поміняти на протилежний:

Для вирішення квадратного нерівності вирішимо відповідне квадратне рівняння:

По теоремі Вієта знаходимо коріння:

Гілки параболи спрямовані вгору.

Таким чином, маємо розв'язок нерівності:

Нескладно здогадатися, що праву частину можна уявити як ступінь з нульовим показником:

Підстава ступеня більше одиниці, знак нерівності не змінюється, отримуємо:

Нагадаємо методику рішення таких нерівностей.

Розглядаємо дрібно-раціональну функцію:

Знаходимо область визначення:

Знаходимо корені функції:

Функція має єдиний корінь,

Виділяємо інтервали знакопостоянства і визначаємо знаки функції на кожному інтервалі:

Мал. 2. Інтервали знакопостоянства

Таким чином, отримали відповідь.

відповідь:

3. Рішення типових показових нерівностей

Розглянемо нерівності з однаковими показниками, Але різними підставами.

Одне з властивостей показовою функції - вона за будь-яких значеннях аргументу приймає строго позитивні значення, значить, на показову функцію можна розділити. Виконаємо розподіл заданої нерівності на праву його частину:

Підстава ступеня більше одиниці, знак нерівності зберігається.

Проілюструємо рішення:

На малюнку 6.3 зображені графіки функцій і. Очевидно, що коли аргумент більше нуля, графік функції розташований вище, ця функція більше. Коли ж значення аргументу негативні, функція проходить нижче, вона менше. При значенні аргументу функції рівні, значить, дана точкатакож є рішенням заданої нерівності.

Мал. 3. Ілюстрація до прикладу 4

Перетворимо задану нерівність згідно властивостям ступеня:

Наведемо подібні члени:

Розділимо обидві частини на:

Тепер продовжуємо вирішувати аналогічно прикладу 4, розділимо обидві частини на:

Підстава ступеня більше одиниці, знак нерівності зберігається:

4. Графічне рішення показових нерівностей

Приклад 6 - вирішити нерівність графічно:

Розглянемо функції, які стоять в лівій і правій частині і побудуємо графік кожної з них.

Функція - експонента, зростає на всій своїй області визначення, т. Е. При всіх дійсних значеннях аргументу.

Функція - лінійна, убуває на всій своїй області визначення, т. Е. При всіх дійсних значеннях аргументу.

Якщо ці функції перетинаються, тобто система має рішення, то таке рішення єдине і його легко можна вгадати. Для цього перебираємо цілі числа ()

Нескладно помітити, що коренем даної системи є:

Таким чином, графіки функцій перетинаються в точці з аргументом, рівним одиниці.

Тепер потрібно отримати відповідь. Сенс заданої нерівності в тому, що експонента повинна бути більше або дорівнює лінійної функції, Тобто бути вище або збігатися з нею. Очевидним є зміст відповіді: (рисунок 6.4)

Мал. 4. Ілюстрація до прикладу 6

Отже, ми розглянули рішення різних типових показових нерівностей. Далі перейдемо до розгляду більш складних показникових нерівностей.

Список літератури

Мордкович А. Г. Алгебра і початки математичного аналізу. - М .: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравіна О. В. Алгебра і початки математичного аналізу. - М .: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудніцин Ю. П. та ін. Алгебра і початки математичного аналізу. - М .: Просвещение.

Math. md. Mathematics-repetition. com. Diffur. kemsu. ru.

Домашнє завдання

1. Алгебра і початки аналізу, 10-11 клас (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин) 1990, № 472, 473;

2. Вирішити нерівність:

3. Вирішити нерівність.

Багато хто вважає, що показові нерівності - це щось таке складне і незбагненне. І що навчитися їх вирішувати - чи не велике мистецтво, осягнути яке здатні лише Вибрані ...

Повна брехня! Показові нерівності - це просто. І вирішуються вони завжди просто. Ну, майже завжди. :)

Сьогодні ми розберемо цю тему вздовж і впоперек. Цей урок буде дуже корисний тим, хто тільки починає розбиратися в даному розділі шкільної математики. Почнемо з простих завданьі будемо рухатися до більш складних питань. Ніякої жерсті сьогодні не буде, але того, що ви зараз прочитаєте, буде досить, щоб вирішити більшість нерівностей на всяких контрольних і самостійних роботах. І на цьому вашому ЄДІ теж.

Як завжди, почнемо з визначення. Показовий нерівність - це будь-який нерівність, що містить в собі показову функцію. Іншими словами, його завжди можна звести до нерівності виду

\ [((A) ^ (x)) \ gt b \]

Де в ролі $ b $ може бути звичайне число, а може бути і що-небудь жорсткіше. Приклади? Так будь ласка:

\ [\ Begin (align) & ((2) ^ (x)) \ gt 4; \ quad ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)); \ quad ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16; \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01; \ quad ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))). \\\ end (align) \]

Думаю, сенс зрозумілий: є показова функція$ ((A) ^ (x)) $, її з чимось порівнюють, а потім просять знайти $ x $. В особливо клінічних випадках замість змінної $ x $ можуть засунути якусь функцію $ f \ left (x \ right) $ і тим самим трохи ускладнити нерівність. :)

Звичайно, в деяких випадках нерівність може виглядати більш суворо. Ось наприклад:

\ [((9) ^ (x)) + 8 \ gt ((3) ^ (x + 2)) \]

Або навіть ось:

В цілому, складність таких нерівностей може бути найрізноманітнішою, але в підсумку вони все одно зводяться до простої конструкції $ ((a) ^ (x)) \ gt b $. А вже з такою конструкцією ми як-небудь розберемося (в особливо клінічних випадках, коли нічого не приходить в голову, нам допоможуть логарифми). Тому зараз ми научімя вирішувати такі прості конструкції.

Рішення найпростіших показових нерівностей

Розглянемо що-небудь зовсім просте. Наприклад, ось це:

\ [((2) ^ (x)) \ gt 4 \]

Очевидно, що число праворуч можна переписати у вигляді ступеня двійки: $ 4 = ((2) ^ (2)) $. Таким чином, вихідне нерівність перепишеться в дуже зручній формі:

\ [((2) ^ (x)) \ gt ((2) ^ (2)) \]

І ось вже руки чешуться «закреслити» двійки, що стоять в підставах ступенів, щоб отримати відповідь $ x \ gt 2 $. Але перед тим як що там закреслює, давайте згадаємо ступеня двійки:

\ [((2) ^ (1)) = 2; \ quad ((2) ^ (2)) = 4; \ quad ((2) ^ (3)) = 8; \ quad ((2) ^ ( 4)) = 16; ... \]

Як бачимо, чим більше числоварто в показнику ступеня, тим більше виходить число на виході. "Дякую кеп!" - вигукне хтось із учнів. Хіба буває по-іншому? На жаль, буває. наприклад:

\ [((\ Left (\ frac (1) (2) \ right)) ^ (1)) = \ frac (1) (2); \ quad ((\ left (\ frac (1) (2) \ right)) ^ (2)) = \ frac (1) (4); \ quad ((\ left (\ frac (1) (2) \ right)) ^ (3)) = \ frac (1) (8 ); ... \]

Тут теж все логічно: чим більше ступінь, тим більше разів число 0,5 множиться саме на себе (тобто ділиться навпіл). Таким чином, отримана послідовність чисел убуває, а різниця між першою і другою послідовністю складається тільки на підставі:

• Якщо основа ступеня $ a \ gt 1 $, то в міру зростання показника $ n $ число $ ((a) ^ (n)) $ теж буде рости;
• І навпаки, якщо $ 0 \ lt a \ lt 1 $, то в міру зростання показника $ n $ число $ ((a) ^ (n)) $ буде спадати.

Підсумовуючи ці факти, ми отримуємо найголовніше твердження, на якому і засновано все рішення показових нерівностей:

Якщо $ a \ gt 1 $, то нерівність $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ рівносильна нерівності $ x \ gt n $. Якщо $ 0 \ lt a \ lt 1 $, то нерівність $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ рівносильна нерівності $ x \ lt n $.

Іншими словами, якщо підстава більше одиниці, його можна просто прибрати - знак нерівності при цьому не зміниться. А якщо підстава менше одиниці, то його теж можна прибрати, але при цьому доведеться поміняти і знак нерівності.

Зверніть увагу: ми не розглянули варіанти $ a = 1 $ і $ a \ le 0 $. Тому що в цих випадках виникає невизначеність. Припустимо, як вирішити нерівність виду $ ((1) ^ (x)) \ gt 3 $? Одиниця в будь-якого ступеня знову дасть одиницю - ми ніколи не отримаємо трійку або більше. Тобто рішень немає.

З негативними підставами все ще цікавіше. Розглянемо для прикладу ось така нерівність:

\ [((\ Left (-2 \ right)) ^ (x)) \ gt 4 \]

На перший погляд, все просто:

Правильно? А ось і ні! Досить підставити замість $ x $ парочку парних і парочку непарних чисел, щоб переконатися що рішення невірно. Погляньте:

\ [\ Begin (align) & x = 4 \ Rightarrow ((\ left (-2 \ right)) ^ (4)) = 16 \ gt 4; \\ & x = 5 \ Rightarrow ((\ left (-2 \ right)) ^ (5)) = - 32 \ lt 4; \\ & x = 6 \ Rightarrow ((\ left (-2 \ right)) ^ (6)) = 64 \ gt 4; \\ & x = 7 \ Rightarrow ((\ left (-2 \ right)) ^ (7)) = - 128 \ lt 4. \\\ end (align) \]

Як бачите, знаки чергуються. Але ж є ще дробові ступеня та інша жесть. Як, наприклад, накажете вважати $ ((\ left (-2 \ right)) ^ (\ sqrt (7))) $ (мінус двійка в ступеня корінь з семи)? Та ніяк!

Тому для визначеності вважають, що у всіх показових нерівностях (і рівняннях, до речі, теж) $ 1 \ ne a \ gt 0 $. І тоді все вирішується дуже просто:

\ [((A) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) \ Rightarrow \ left [\ begin (align) & x \ gt n \ quad \ left (a \ gt 1 \ right), \\ & x \ lt n \ quad \ left (0 \ lt a \ lt 1 \ right). \\\ end (align) \ right. \]

Загалом, ще раз запам'ятайте головне правило: якщо підстава в показовому рівнянні більше одиниці, його можна просто прибрати; а якщо підстава менше одиниці, його теж можна прибрати, але при цьому зміниться знак нерівності.

приклади розв'язання

Отже, розглянемо кілька простих показових нерівностей:

\ [\ Begin (align) & ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)); \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01; \\ & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16; \\ & ((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25). \\\ end (align) \]

Першочергова задача в усіх випадках одна і та ж: звести нерівностей до найпростішого виду $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $. Саме це ми зараз і зробимо з кожним нерівністю, а заодно повторимо властивості ступенів і показовою функції. Отже, поїхали!

\ [((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \]

Що тут можна зробити? Ну, зліва у нас і так стоїть показове вираження - нічого змінювати не треба. А ось справа стоїть якась хрень: дріб, та ще й в знаменнику корінь!

Однак згадаємо правила роботи з дробом і ступенями:

\ [\ Begin (align) & \ frac (1) (((a) ^ (n))) = ((a) ^ (- n)); \\ & \ sqrt [k] (a) = ((a) ^ (\ frac (1) (k))). \\\ end (align) \]

Що це означає? По-перше, ми легко можемо позбутися від дробу, перетворивши її в ступінь з негативним показником. А по-друге, оскільки в знаменнику стоїть корінь, було б непогано перетворити і його в ступінь - на цей раз з дробовим показником.

Застосуємо ці дії послідовно до правої частини нерівності і подивимося, що вийде:

\ [\ Frac (1) (\ sqrt (2)) = ((\ left (\ sqrt (2) \ right)) ^ (- 1)) = ((\ left (((2) ^ (\ frac ( 1) (3))) \ right)) ^ (- 1)) = ((2) ^ (\ frac (1) (3) \ cdot \ left (-1 \ right))) = ((2) ^ (- \ frac (1) (3))) \]

Не забуваємо, що при зведенні ступеня в ступінь показники цих ступенів складаються. І взагалі, при роботі з показовими рівняннями і нерівностями абсолютно необхідно знати хоча б найпростіші правила роботи зі ступенями:

\ [\ Begin (align) & ((a) ^ (x)) \ cdot ((a) ^ (y)) = ((a) ^ (x + y)); \\ & \ frac (((a) ^ (x))) (((a) ^ (y))) = ((a) ^ (x-y)); \\ & ((\ left (((a) ^ (x)) \ right)) ^ (y)) = ((a) ^ (x \ cdot y)). \\\ end (align) \]

Власне, останнє правило ми тільки що і застосували. Тому наше вихідне нерівність перепишеться так:

\ [((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \ Rightarrow ((2) ^ (x-1)) \ le ((2) ^ (- \ frac (1) (3))) \]

Тепер позбавляємося від двійки в підставі. Оскільки 2> 1, знак нерівності залишиться тим самим:

\ [\ Begin (align) & x-1 \ le - \ frac (1) (3) \ Rightarrow x \ le 1 \ frac (1) (3) = \ frac (2) (3); \\ & x \ in \ left (- \ infty; \ frac (2) (3) \ right]. \\\ end (align) \]

Ось і все рішення! Основна складність - зовсім не в показовою функції, а в грамотному перетворенні вихідного вираження: потрібно акуратно і максимально швидко привести його до найпростішого виду.

Розглянемо друга нерівність:

\ [((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01 \]

Так Так. Тут нас чекають десяткові дроби. Як я вже багато разів говорив, в будь-яких виразах зі ступенями слід позбавлятися від десяткових дробів - найчастіше тільки так можна побачити швидке і просте рішення. Ось і ми позбудемося:

\ [\ Begin (align) & 0,1 = \ frac (1) (10); \ quad 0,01 = \ frac (1) (100) = ((\ left (\ frac (1) (10) \ right)) ^ (2)); \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01 \ Rightarrow ((\ left (\ frac (1) (10) \ right)) ^ (1-x)) \ lt ( (\ left (\ frac (1) (10) \ right)) ^ (2)). \\\ end (align) \]

Перед нами знову найпростіше нерівність, та ще й з повним правом 1/10, тобто меншим одиниці. Що ж, прибираємо підстави, попутно змінюючи знак з «менше» на «більше», і отримуємо:

\ [\ Begin (align) & 1-x \ gt 2; \\ & -x \ gt 2-1; \\ & -x \ gt 1; \\ & x \ lt -1. \\\ end (align) \]

Отримали остаточну відповідь: $ x \ in \ left (- \ infty; -1 \ right) $. Зверніть увагу: відповіддю є саме безліч, а ні в якому разі не конструкція виду $ x \ lt -1 $. Тому що формально така конструкція - це зовсім не багато, а нерівність щодо змінної $ x $. Так, воно дуже просте, але це не відповідь!

важливе зауваження. Дане нерівність можна було вирішити і по-іншому - шляхом приведення обох частин до ступеня з основою, великим одиниці. Погляньте:

\ [\ Frac (1) (10) = ((10) ^ (- 1)) \ Rightarrow ((\ left (((10) ^ (- 1)) \ right)) ^ (1-x)) \ lt ((\ left (((10) ^ (- 1)) \ right)) ^ (2)) \ Rightarrow ((10) ^ (- 1 \ cdot \ left (1-x \ right))) \ lt ((10) ^ (- 1 \ cdot 2)) \]

Після такого перетворення ми знову отримаємо показове нерівність, але з основою 10> 1. А це означає, що можна просто закреслити десятку - знак нерівності при цьому не зміниться. отримаємо:

\ [\ Begin (align) & -1 \ cdot \ left (1-x \ right) \ lt -1 \ cdot 2; \\ & x-1 \ lt -2; \\ & x \ lt -2 + 1 = -1; \\ & x \ lt -1. \\\ end (align) \]

Як бачите, відповідь вийшла точь-в-точь такий же. При цьому ми позбавили себе від необхідності міняти знак і взагалі пам'ятати якісь там правила. :)

\ [((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16 \]

Однак нехай вас це не лякає. Щоб не знаходилося в показниках, технологія вирішення самого нерівності залишається колишньою. Тому зауважимо для початку, що 16 = 2 4. Перепишемо вихідне нерівність з урахуванням цього факту:

\ [\ Begin (align) & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt ((2) ^ (4)); \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 14 \ lt 4; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 10 \ lt 0. \\\ end (align) \]

Ура! Ми отримали звичайне квадратне нерівність! Знак ніде не змінювався, оскільки в основі стоїть двійка - число, більше одиниці.

Нулі функції на числовій прямій

Розставляємо знаки функції $ f \ left (x \ right) = ((x) ^ (2)) - 7x + 10 $ - очевидно, її графіком буде парабола гілками вгору, тому з боків будуть «плюси». Нас цікавить та область, де функція менше нуля, тобто $ X \ in \ left (2; 5 \ right) $ - це і є відповідь до вихідної задачі.

Нарешті, розглянемо ще одне нерівність:

\ [((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \]

Знову бачимо показову функцію з десятковим дробом в підставі. Переводимо цю дріб в звичайну:

\ [\ Begin (align) & 0,2 = \ frac (2) (10) = \ frac (1) (5) = ((5) ^ (- 1)) \ Rightarrow \\ & \ Rightarrow ((0 , 2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) = ((\ left (((5) ^ (- 1)) \ right)) ^ (1 + ((x) ^ (2) ))) = ((5) ^ (- 1 \ cdot \ left (1 + ((x) ^ (2)) \ right))) \ end (align) \]

В даному випадку ми скористалися наведеними раніше зауваженням - звели підставу до числа 5> 1, щоб спростити собі подальше рішення. Точно так само зробимо і з правою частиною:

\ [\ Frac (1) (25) = ((\ left (\ frac (1) (5) \ right)) ^ (2)) = ((\ left (((5) ^ (- 1)) \ right)) ^ (2)) = ((5) ^ (- 1 \ cdot 2)) = ((5) ^ (- 2)) \]

Перепишемо вихідне нерівність з урахуванням обох перетворень:

\ [((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \ Rightarrow ((5) ^ (- 1 \ cdot \ left (1 + ((x) ^ (2)) \ right))) \ ge ((5) ^ (- 2)) \]

Підстави з обох сторін однакові і перевершують одиницю. Ніяких інших доданків праворуч і ліворуч немає, тому просто «закреслює» п'ятірки і отримуємо зовсім простий вислів:

\ [\ Begin (align) & -1 \ cdot \ left (1 + ((x) ^ (2)) \ right) \ ge -2; \\ & -1 - ((x) ^ (2)) \ ge -2; \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -2 + 1; \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -1; \ quad \ left | \ Cdot \ left (-1 \ right) \ right. \\ & ((x) ^ (2)) \ le 1. \\\ end (align) \]

Ось тут треба бути акуратніше. Багато учнів люблять просто витягти квадратний коріньїх обох частин нерівності і записати що-небудь в дусі $ x \ le 1 \ Rightarrow x \ in \ left (- \ infty; -1 \ right] $. Робити цього у жодному разі не можна, оскільки корінь з точного квадрата - це модуль, а ні в якому разі не вихідна змінна:

\ [\ Sqrt (((x) ^ (2))) = \ left | x \ right | \]

Однак працювати з модулями - не найприємніше заняття, правда? Ось і ми не будемо працювати. А замість цього просто перенесемо всі складові вліво і вирішимо звичайне нерівність методом інтервалів:

$ \ Begin (align) & ((x) ^ (2)) - 1 \ le 0; \\ & \ left (x-1 \ right) \ left (x + 1 \ right) \ le 0 \\ & ((x) _ (1)) = 1; \ quad ((x) _ (2)) = -1; \\\ end (align) $

Знову відзначаємо отримані точки на числовій прямій і дивимося знаки:

Зверніть увагу: точки зафарбовані

Оскільки ми вирішували Нечитка нерівність, всі крапки на графіку зафарбовані. Тому відповідь буде такою: $ x \ in \ left [-1; 1 \ right] $ - НЕ інтервал, а саме відрізок.

В цілому хотів би зауважити, що нічого складного в показових нерівностях немає. Сенс всіх перетворень, які ми сьогодні виконували, зводиться до простого алгоритму:

• Знайти підставу, до якого будемо приводити все ступеня;
• Акуратно виконати перетворення, щоб вийшло нерівність виду $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $. Зрозуміло замість змінних $ x $ і $ n $ можуть стояти набагато більше складні функції, Але сенс від цього не зміниться;
• Закреслити підстави ступенів. При цьому може змінитися знак нерівності, якщо підстава $ a \ lt 1 $.

По суті, це універсальний алгоритм вирішення всіх таких нерівностей. А все, що вам ще будуть розповідати по цій темі - лише конкретні прийоми і хитрості, що дозволяють спростити і прискорити перетворення. Ось про один з таких прийомів ми зараз і поговоримо. :)

метод раціоналізації

Розглянемо ще одну партію нерівностей:

\ [\ Begin (align) & ((\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ text () \! \! \ Pi \! \! \ text ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)); \\ & ((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ right)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1; \\ & ((\ left (\ frac (1) (3) \ right)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ left (\ frac (1) (9) \ right)) ^ (16-x)); \\ & ((\ left (3-2 \ sqrt (2) \ right)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt 1. \\\ end (align) \]

Ну і що в них такого особливого? Вони ж легкі. Хоча, стоп! Число π зводиться в певний рівень? Що за маячня?

А як звести в ступінь число $ 2 \ sqrt (3) -3 $? Або $ 3-2 \ sqrt (2) $? Укладачі завдань, очевидно, перепили «Глоду» перед тим, як сісти за роботу. :)

Насправді нічого страшного в цих завданнях немає. Нагадаю: показовою функцією називається вираз виду $ ((a) ^ (x)) $, де підставу $ a $ - це будь-яке позитивне число, за винятком одиниці. Число π позитивно - це ми і так знаємо. Числа $ 2 \ sqrt (3) -3 $ і $ 3-2 \ sqrt (2) $ теж позитивні - в цьому легко переконатися, якщо порівняти їх з нулем.

Виходить, що всі ці «страхітливі» нерівності нічим не відрізняються вирішуються від простих, розглянутих вище? І вирішуються точно так же? Так цілком вірно. Однак на їхньому прикладі я хотів би розглянути один прийом, який здорово економить час на самостійних роботах і іспитах. Мова піде про метод раціоналізації. Отже, увага:

Будь-яке показове нерівність виду $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ рівносильна нерівності $ \ left (xn \ right) \ cdot \ left (a-1 \ right) \ gt 0 $.

Ось і весь метод. :) А ви думали, що буде якась чергова дичину? Нічого подібного! Але цей простий факт, записаний буквально в один рядок, значно спростить нам роботу. Погляньте:

\ [\ Begin (matrix) ((\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ text () \! \! \ Pi \ ! \! \ text ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)) \\ \ Downarrow \\ \ left (x + 7- \ left (((x) ^ (2)) -3x + 2 \ right) \ right) \ cdot \ left (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () -1 \ right) \ gt 0 \\\ end (matrix) \]

Ось і немає більше показових функцій! І не треба пам'ятати: змінюється знак чи ні. Але виникає нова проблема: що робити з гребанний множником \ [\ left (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ right) \]? Адже ми не знаємо, чому дорівнює точне значення числа π. Втім, капітан очевидність як би натякає:

\ [\ Text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () \ approx 3,14 ... \ gt 3 \ Rightarrow \ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text ( ) -1 \ gt 3-1 = 2 \]

Загалом, точне значення π нас особливо-то і не колише - нам лише важливо розуміти, що в будь-якому випадку $ \ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ gt 2 $, т . Е. це позитивна константа, і ми можемо розділити на неї обидві частини нерівності:

\ [\ Begin (align) & \ left (x + 7- \ left (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ right) \ right) \ cdot \ left (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () -1 \ right) \ gt 0 \\ & x + 7- \ left (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ right) \ gt 0; \\ & x + 7 - ((x) ^ (2)) + 3x-2 \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ gt 0; \ quad \ left | \ Cdot \ left (-1 \ right) \ right. \\ & ((x) ^ (2)) - 4x-5 \ lt 0; \\ & \ left (x-5 \ right) \ left (x + 1 \ right) \ lt 0. \\\ end (align) \]

Як бачите, в певний момент довелося розділити на мінус одиницю - при цьому знак нерівності змінився. В кінці я розклав квадратний тричлен по теоремі Вієта - очевидно, що коріння рівні $ ((x) _ (1)) = 5 $ і $ ((x) _ (2)) = - 1 $. Далі все вирішується класичним методом інтервалів:

Вирішуємо нерівність методом інтервалів

Всі точки виколоті, оскільки вихідне нерівність суворе. Нас цікавить область з негативними значеннями, тому відповідь: $ x \ in \ left (-1; 5 \ right) $. Ось і все рішення. :)

Перейдемо до наступної задачі:

\ [((\ Left (2 \ sqrt (3) -3 \ right)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 \]

Тут взагалі все просто, тому що справа стоїть одиниця. А ми пам'ятаємо, що одиниця - це будь-яке число в нульовому ступені. Навіть якщо цим числом є ірраціональне вираз, що стоїть в основі зліва:

\ [\ Begin (align) & ((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ right)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 = ((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ right)) ^ (0)); \\ & ((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ right)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt ((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ right)) ^ (0)); \\\ end (align) \]

Що ж, виконуємо раціоналізацію:

\ [\ Begin (align) & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot \ left (2 \ sqrt (3) -3-1 \ right) \ lt 0; \\ & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot \ left (2 \ sqrt (3) -4 \ right) \ lt 0; \\ & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 0. \\\ end (align) \ ]

Залишилося лише розібратися зі знаками. Множник $ 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) $ не містить змінної $ x $ - це просто константа, і нам необхідно з'ясувати її знак. Для цього зазначимо таке:

\ [\ Begin (matrix) \ sqrt (3) \ lt \ sqrt (4) = 2 \\ \ Downarrow \\ 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 2 \ cdot \ left (2 -2 \ right) = 0 \\\ end (matrix) \]

Виходить, що другий множник - не просто константа, а негативна константа! І при розподілі на неї знак вихідної нерівності зміниться на протилежний:

\ [\ Begin (align) & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 2x-0 \ gt 0; \\ & x \ left (x-2 \ right) \ gt 0. \\\ end (align) \]

Тепер все стає зовсім очевидно. Коріння квадратного тричлена, що стоїть праворуч: $ ((x) _ (1)) = 0 $ і $ ((x) _ (2)) = 2 $. Відзначаємо їх на числовій прямій і дивимося знаки функції $ f \ left (x \ right) = x \ left (x-2 \ right) $:

Випадок, коли нас цікавлять бічні інтервали

Нас цікавлять інтервали, відмічені знаком «плюс». Залишилося лише записати відповідь:

Переходимо до наступного прикладу:

\ [((\ Left (\ frac (1) (3) \ right)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ left (\ frac (1) (9) \ right)) ^ (16-x)) \]

Ну, тут зовсім все очевидно: в підставах стоять ступеня одного і того ж числа. Тому я розпишу все коротко:

\ [\ Begin (matrix) \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1)); \ quad \ frac (1) (9) = \ frac (1) (((3) ^ ( 2))) = ((3) ^ (- 2)) \\ \ Downarrow \\ ((\ left (((3) ^ (- 1)) \ right)) ^ (((x) ^ (2) ) + 2x)) \ gt ((\ left (((3) ^ (- 2)) \ right)) ^ (16-x)) \\\ end (matrix) \]

\ [\ Begin (align) & ((3) ^ (- 1 \ cdot \ left (((x) ^ (2)) + 2x \ right))) \ gt ((3) ^ (- 2 \ cdot \ left (16-x \ right))); \\ & ((3) ^ (- ((x) ^ (2)) - 2x)) \ gt ((3) ^ (- 32 + 2x)); \\ & \ left (- ((x) ^ (2)) - 2x- \ left (-32 + 2x \ right) \ right) \ cdot \ left (3-1 \ right) \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) - 2x + 32-2x \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) - 4x + 32 \ gt 0; \ quad \ left | \ Cdot \ left (-1 \ right) \ right. \\ & ((x) ^ (2)) + 4x-32 \ lt 0; \\ & \ left (x + 8 \ right) \ left (x-4 \ right) \ lt 0. \\\ end (align) \]

Як бачите, в процесі перетворень довелося множити на від'ємне число, Тому змінився знак нерівності. В самому кінці я знову застосував теорему Вієта для розкладання на множники квадратного тричлена. В результаті відповідь буде наступний: $ x \ in \ left (-8; 4 \ right) $ - бажаючі можуть переконатися в цьому, намалювавши числову пряму, зазначивши точки і порахувавши знаки. А ми тим часом перейдемо до останнього нерівності з нашого «комплекту»:

\ [((\ Left (3-2 \ sqrt (2) \ right)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt 1 \]

Як бачимо, в основі знову стоїть ірраціональне число, а справа знову стоїть одиниця. Тому перепишемо наше показове нерівність наступним чином:

\ [((\ Left (3-2 \ sqrt (2) \ right)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt ((\ left (3-2 \ sqrt (2) \ right)) ^ (0)) \]

Застосовуємо раціоналізацію:

\ [\ Begin (align) & \ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot \ left (3-2 \ sqrt (2) -1 \ right) \ lt 0; \\ & \ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot \ left (2-2 \ sqrt (2) \ right) \ lt 0; \\ & \ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot 2 \ left (1 \ sqrt (2) \ right) \ lt 0. \\\ end (align) \ ]

Однак цілком очевидно, що $ 1 \ sqrt (2) \ lt 0 $, оскільки $ \ sqrt (2) \ approx 1,4 ... \ gt 1 $. Тому другий множник - знову негативна константа, на яку можна розділити обидві частини нерівності:

\ [\ Begin (matrix) \ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot 2 \ left (1 \ sqrt (2) \ right) \ lt 0 \\ \ Downarrow \ \\ end (matrix) \]

\ [\ Begin (align) & 3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ gt 0; \\ & 3x - ((x) ^ (2)) \ gt 0; \ quad \ left | \ Cdot \ left (-1 \ right) \ right. \\ & ((x) ^ (2)) - 3x \ lt 0; \\ & x \ left (x-3 \ right) \ lt 0. \\\ end (align) \]

Перехід до іншого підставі

Окремою проблемою при вирішенні показових нерівностей є пошук «правильного» підстави. На жаль, далеко не завжди при першому погляді на завдання очевидно, що брати за основу, а що робити ступенем цього підстави.

Але не переживайте: тут немає ніякої магії і «секретних» технологій. В математиці будь-який навик, який можна алгоритмизировать, можна легко виробити за допомогою практики. Але для цього доведеться вирішувати завдання різного рівня складності. Наприклад, ось такі:

\ [\ Begin (align) & ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))); \\ & ((\ left (\ frac (1) (3) \ right)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)); \\ & ((\ left (0,16 \ right)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ left (6,25 \ right)) ^ (x)) \ ge 1; \\ & ((\ left (\ frac (27) (\ sqrt (3)) \ right)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81. \\\ end (align) \]

Складно? Страшно? Так це ж простіше, ніж курчати об асфальт! Давайте спробуємо. Перше нерівність:

\ [((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))) \]

Ну, я думають, тут і їжаку все зрозуміло:

Переписуємо вихідне нерівність, зводячи все до основи «два»:

\ [((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((2) ^ (\ frac (8) (x))) \ Rightarrow \ left (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ right) \ cdot \ left (2-1 \ right) \ lt 0 \]

Так, так, ви все правильно зрозуміли: я тільки що застосував метод раціоналізації, описаний вище. Тепер потрібно працювати акуратно: у нас вийшло дрібно-раціональне нерівність (це таке, у якого в знаменнику стоїть змінна), тому перш ніж щось прирівнювати до нуля, необхідно привести все до спільного знаменника і позбутися від множника-константи.

\ [\ Begin (align) & \ left (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ right) \ cdot \ left (2-1 \ right) \ lt 0; \\ & \ left (\ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ right) \ cdot 1 \ lt 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ lt 0. \\\ end (align) \]

Тепер використовуємо стандартний метод інтервалів. Нулі чисельника: $ x = \ pm 4 $. Знаменник звертається в нуль тільки при $ x = 0 $. Разом три точки, які треба відзначити на числовій прямій (всі точки виколоті, тому що знак нерівності строгий). отримаємо:

Більш складний випадок: три кореня

Як неважко здогадатися, штрихуванням відзначені ті інтервали, на яких вираз зліва приймає негативні значення. Тому в остаточну відповідь підуть відразу два інтервали:

Кінці інтервалів не входять до відповідь, оскільки вихідне нерівність було суворим. Ніяких додаткових перевірок цієї відповіді не потрібно. У цьому плані показові нерівності набагато простіше логарифмічних: ніяких ОДЗ, ніяких обмежень і т.д.

Переходимо до наступної задачі:

\ [((\ Left (\ frac (1) (3) \ right)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)) \]

Тут теж ніяких проблем, оскільки ми вже знаємо, що $ \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1)) $, тому все нерівність можна переписати так:

\ [\ Begin (align) & ((\ left (((3) ^ (- 1)) \ right)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x )) \ Rightarrow ((3) ^ (- \ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)); \\ & \ left (- \ frac (3) (x) - \ left (2 + x \ right) \ right) \ cdot \ left (3-1 \ right) \ ge 0; \\ & \ left (- \ frac (3) (x) -2-x \ right) \ cdot 2 \ ge 0; \ quad \ left | : \ Left (-2 \ right) \ right. \\ & \ frac (3) (x) + 2 + x \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 3) (x) \ le 0. \\\ end (align) \]

Зверніть увагу: в третьому рядку я вирішив не розмінюватися на дрібниці і відразу розділити все на (-2). Минув пішов в першу дужку (тепер там всюди плюси), а двійка скоротилася з множником-константою. Саме так і слід чинити при оформленні реальних викладок на самостійних і контрольних роботах- не треба розписувати прям кожна дія і перетворення.

Далі в справу вступає знайомий нам метод інтервалів. Нулі чисельника: а їх немає. Тому що дискримінант буде негативний. У свою чергу знаменник обнуляється лише при $ x = 0 $ - як і в минулий раз. Ну і зрозуміло, що праворуч від $ x = 0 $ дріб буде приймати позитивні значення, а зліва - негативні. Оскільки нас цікавлять саме негативні значення, то остаточну відповідь: $ x \ in \ left (- \ infty; 0 \ right) $.

\ [((\ Left (0,16 \ right)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ left (6,25 \ right)) ^ (x)) \ ge 1 \]

А що потрібно робити з десятковими дробами в показових нерівностях? Правильно: позбавлятися від них, переводячи в звичайні. Ось і ми переведемо:

\ [\ Begin (align) & 0,16 = \ frac (16) (100) = \ frac (4) (25) \ Rightarrow ((\ left (0,16 \ right)) ^ (1 + 2x)) = ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (1 + 2x)); \\ & 6,25 = \ frac (625) (100) = \ frac (25) (4) \ Rightarrow ((\ left (6,25 \ right)) ^ (x)) = ((\ left (\ frac (25) (4) \ right)) ^ (x)). \\\ end (align) \]

Ну і що ми отримали в підставах показових функцій? А отримали ми два взаємно зворотних числа:

\ [\ Frac (25) (4) = ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (- 1)) \ Rightarrow ((\ left (\ frac (25) (4) \ right)) ^ (x)) = ((\ left (((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (- 1)) \ right)) ^ (x)) = ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (- x)) \]

Таким чином вихідне нерівність можна переписати так:

\ [\ Begin (align) & ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ left (\ frac (4) (25) \ right) ) ^ (- x)) \ ge 1; \\ & ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (1 + 2x + \ left (-x \ right))) \ ge ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (0)); \\ & ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (0) ). \\\ end (align) \]

Зрозуміло, при множенні ступенів з однаковим підставою їх показники складаються, що і відбулося в другій сходинці. Крім того, ми представили одиницю, що стоїть праворуч, теж у вигляді ступеня по підставі 4/25. Залишилося лише виконати раціоналізацію:

\ [((\ Left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (0)) \ Rightarrow \ left (x + 1-0 \ right) \ cdot \ left (\ frac (4) (25) -1 \ right) \ ge 0 \]

Зауважимо, що $ \ frac (4) (25) -1 = \ frac (4-25) (25) \ lt 0 $, тобто другий множник є негативною константою, і при розподілі на неї знак нерівності зміниться:

\ [\ Begin (align) & x + 1-0 \ le 0 \ Rightarrow x \ le -1; \\ & x \ in \ left (- \ infty; -1 \ right]. \\\ end (align) \]

Нарешті, остання нерівність з поточного «комплекту»:

\ [((\ Left (\ frac (27) (\ sqrt (3)) \ right)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81 \]

В принципі, ідея рішення тут теж зрозуміла: все показові функції, що входять до складу нерівності, необхідно звести до основи «3». Але для цього доведеться трохи повозитися з корінням і ступенями:

\ [\ Begin (align) & \ frac (27) (\ sqrt (3)) = \ frac (((3) ^ (3))) (((3) ^ (\ frac (1) (3)) )) = ((3) ^ (3 \ frac (1) (3))) = ((3) ^ (\ frac (8) (3))); \\ & 9 = ((3) ^ (2)); \ quad 81 = ((3) ^ (4)). \\\ end (align) \]

З урахуванням цих фактів вихідне нерівність можна переписати так:

\ [\ Begin (align) & ((\ left (((3) ^ (\ frac (8) (3))) \ right)) ^ (- x)) \ lt ((\ left (((3) ^ (2)) \ right)) ^ (4-2x)) \ cdot ((3) ^ (4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x)) \ cdot ((3) ^ (4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x + 4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (4-4x)). \\\ end (align) \]

Зверніть увагу на 2-ю і 3-ю сходинку викладок: перш ніж щось робити з нерівністю, обов'язково приведіть його до того виду, про який ми говорили з самого початку уроку: $ ((a) ^ (x)) \ lt ((a) ^ (n)) $. До тих пір, поки у вас зліва чи справа є якісь ліві множники, додаткові константи і т.д., ніяку раціоналізацію і «закреслення» підстав виконувати не можна! Сила-силенна завдань було виконано неправильно через нерозуміння цього простого факту. Я сам постійно спостерігаю цю проблему у моїх учнів, коли ми тільки-тільки приступаємо до розбору показових і логарифмічних нерівностей.

Але повернемося до нашого завдання. Спробуємо в цей раз обійтися без раціоналізації. Згадуємо: підстава ступеня більше одиниці, тому трійки можна просто закреслити - знак нерівності при цьому не зміниться. отримаємо:

\ [\ Begin (align) & - \ frac (8x) (3) \ lt 4-4x; \\ & 4x- \ frac (8x) (3) \ lt 4; \\ & \ frac (4x) (3) \ lt 4; \\ & 4x \ lt 12; \\ & x \ lt 3. \\\ end (align) \]

От і все. Відповідь: $ x \ in \ left (- \ infty, 3 \ right) $.

Виділення сталого виразу і заміна змінної

На закінчення пропоную вирішити ще чотири показових нерівності, які вже є досить складними для непідготовлених учнів. Щоб впоратися з ними, необхідно згадати правила роботи зі ступенями. Зокрема - винесення загальних множників за дужки.

Але найголовніше - навчитися розуміти: що саме можна винести за дужки. Такий вираз називається стійким - його можна позначити нової змінної і таким чином позбутися показовою функції. Отже, подивимося на завдання:

\ [\ Begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \ ge 6; \\ & ((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90; \\ & ((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \ gt 2500; \\ & ((\ left (0,5 \ right)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1,5)) \ gt 768. \\\ end (align) \]

Почнемо з самої першої сходинки. Випишемо це нерівність окремо:

\ [((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \ ge 6 \]

Зауважимо, що $ ((5) ^ (x + 2)) = ((5) ^ (x + 1 + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \ cdot 5 $, тому праву частину можна переписати:

Зауважимо, що ніяких інших показових функцій, крім $ ((5) ^ (x + 1)) $, в нерівності немає. І взагалі, ніде більше не зустрічається змінна $ x $, тому введемо нову змінну: $ ((5) ^ (x + 1)) = t $. Отримаємо наступну конструкцію:

\ [\ Begin (align) & 5t + t \ ge 6; \\ & 6t \ ge 6; \\ & t \ ge 1. \\\ end (align) \]

Повертаємося до вихідної змінної ($ t = ((5) ^ (x + 1)) $), а заодно згадуємо, що 1 = 5 0. маємо:

\ [\ Begin (align) & ((5) ^ (x + 1)) \ ge ((5) ^ (0)); \\ & x + 1 \ ge 0; \\ & x \ ge -1. \\\ end (align) \]

Ось і все рішення! Відповідь: $ x \ in \ left [-1; + \ infty \ right) $. Переходимо до другого нерівності:

\ [((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90 \]

Тут все те ж саме. Зауважимо, що $ ((3) ^ (x + 2)) = ((3) ^ (x)) \ cdot ((3) ^ (2)) = 9 \ cdot ((3) ^ (x)) $ . Тоді ліву частину можна переписати:

\ [\ Begin (align) & ((3) ^ (x)) + 9 \ cdot ((3) ^ (x)) \ ge 90; \ quad \ left | ((3) ^ (x)) = t \ right. \\ & t + 9t \ ge 90; \\ & 10t \ ge 90; \\ & t \ ge 9 \ Rightarrow ((3) ^ (x)) \ ge 9 \ Rightarrow ((3) ^ (x)) \ ge ((3) ^ (2)); \\ & x \ ge 2 \ Rightarrow x \ in \ left [2; + \ infty \ right). \\\ end (align) \]

Ось приблизно так і потрібно оформляти рішення на справжніх контрольних і самостійних роботах.

Що ж, спробуємо що-небудь складніше. Наприклад, ось така нерівність:

\ [((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \ gt 2500 \]

У чому тут проблема? Перш за все, підстави показових функцій, що стоять зліва, різні: 5 і 25. Однак 25 = 5 2, тому перший доданок можна перетворити:

\ [\ Begin (align) & ((25) ^ (x + 1,5)) = ((\ left (((5) ^ (2)) \ right)) ^ (x + 1,5)) = ((5) ^ (2x + 3)); \\ & ((5) ^ (2x + 3)) = ((5) ^ (2x + 2 + 1)) = ((5) ^ (2x + 2)) \ cdot 5. \\\ end (align ) \]

Як бачите, спочатку ми все привели до однакового основи, а потім помітили, що перший доданок легко зводиться до другого - досить лише розкласти показник. Тепер можна сміливо вводити нову змінну: $ ((5) ^ (2x + 2)) = t $, і все нерівність перепишеться так:

\ [\ Begin (align) & 5t-t \ ge 2500; \\ & 4t \ ge 2500; \\ & t \ ge 625 = ((5) ^ (4)); \\ & ((5) ^ (2x + 2)) \ ge ((5) ^ (4)); \\ & 2x + 2 \ ge 4; \\ & 2x \ ge 2; \\ & x \ ge 1. \\\ end (align) \]

І знову ніяких труднощів! Відповідь: $ x \ in \ left [1; + \ infty \ right) $. Переходимо до заключного нерівності в сьогоднішньому уроці:

\ [((\ Left (0,5 \ right)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1,5)) \ gt 768 \]

Перше, на що слід звернути увагу - це, звичайно, десятковий дрібв підставі першого ступеня. Від неї необхідно позбутися, а заодно привести все показові функції до одного і того ж підстави - числу «2»:

\ [\ Begin (align) & 0,5 = \ frac (1) (2) = ((2) ^ (- 1)) \ Rightarrow ((\ left (0,5 \ right)) ^ (- 4x- 8)) = ((\ left (((2) ^ (- 1)) \ right)) ^ (- 4x-8)) = ((2) ^ (4x + 8)); \\ & 16 = ((2) ^ (4)) \ Rightarrow ((16) ^ (x + 1,5)) = ((\ left (((2) ^ (4)) \ right)) ^ ( x + 1,5)) = ((2) ^ (4x + 6)); \\ & ((2) ^ (4x + 8)) - ((2) ^ (4x + 6)) \ gt 768. \\\ end (align) \]

Відмінно, перший крок ми зробили - все привели до одного і того ж підстави. Тепер необхідно виділити стійкий вираз. Зауважимо, що $ ((2) ^ (4x + 8)) = ((2) ^ (4x + 6 + 2)) = ((2) ^ (4x + 6)) \ cdot 4 $. Якщо ввести нову змінну $ ((2) ^ (4x + 6)) = t $, то вихідне нерівність можна переписати так:

\ [\ Begin (align) & 4t-t \ gt 768; \\ & 3t \ gt 768; \\ & t \ gt 256 = ((2) ^ (8)); \\ & ((2) ^ (4x + 6)) \ gt ((2) ^ (8)); \\ & 4x + 6 \ gt 8; \\ & 4x \ gt 2; \\ & x \ gt \ frac (1) (2) = 0,5. \\\ end (align) \]

Природно, може виникнути питання: яким це чином ми виявили, що 256 = 2 8 € На жаль, тут потрібно просто знати ступеня двійки (а заодно ступеня трійки і п'ятірки). Ну, або ділити 256 на 2 (ділити можна, оскільки 256 - парне число) до тих пір, поки не отримаємо результат. Виглядати це буде приблизно так:

\ [\ Begin (align) & 256 = 128 \ cdot 2 = \\ & = 64 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 32 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 16 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 8 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 4 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = ((2) ^ (8)). \ end (align ) \]

Те ж саме і з трійкою (числа 9, 27, 81 і 243 є її ступенями), і з сімкою (числа 49 і 343 теж було б непогано запам'ятати). Ну, і у п'ятірки теж є «красиві» ступеня, які потрібно знати:

\ [\ Begin (align) & ((5) ^ (2)) = 25; \\ & ((5) ^ (3)) = 125; \\ & ((5) ^ (4)) = 625; \\ & ((5) ^ (5)) = 3125. \\\ end (align) \]

Звичайно, всі ці числа при бажанні можна відновити в розумі, просто послідовно множачи їх один на одного. Однак, коли вам треба буде розв'язати кілька показових нерівностей, причому кожне наступне складніше попереднього, то останнє, про що хочеться думати - це ступеня якихось там чисел. І в цьому сенсі дані завдання є більш складними, ніж «класичні» нерівності, які вирішуються методом інтервалів.

Сподіваюся, цей урок допоміг вам в освоєнні даної теми. Якщо щось незрозуміло - питайте в коментарях. І побачимося в наступних уроках. :)

Показовими рівняннями і нерівностями вважають такі рівняння і нерівності, в яких невідоме міститься в показнику ступеня.

Рішення показових рівнянь часто зводиться до вирішення рівняння а х = а b, де а> 0, а ≠ 1, х - невідоме. Це рівняння має єдиний корінь х = b, так як справедлива наступна теорема:

Теорема. Якщо а> 0, а ≠ 1 і а х 1 = а х 2, то х 1 = х 2.

Обґрунтуємо розглянуте твердження.

Припустимо, що рівність х 1 = х 2 не виконується, тобто х 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, то показова функція у = а х зростає і тому має виконуватися нерівність а х 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >а х 2. В обох випадках ми отримали протиріччя умові а х 1 = а х 2.

Розглянемо кілька задач.

Вирішити рівняння 4 ∙ 2 х = 1.

Рішення.

Запишемо рівняння у вигляді 2 2 ∙ 2 х = 2 0 - 2 х + 2 = 2 0, звідки отримуємо х + 2 = 0, тобто х = -2.

Відповідь. х = -2.

Вирішити рівняння 2 3х ∙ 3 х = 576.

Рішення.

Так як 2 3х = (2 3) х = 8 х, 576 = 24 2, то рівняння можна записати у вигляді 8 х ∙ 3 х = 24 2 або у вигляді 24 х = 24 2.

Звідси отримуємо х = 2.

Відповідь. х = 2.

Вирішити рівняння 3 х + 1 - 2 ∙ 3 ​​х - 2 = 25.

Рішення.

Виносячи в лівій частині за дужки загальний множник 3 х - 2, отримуємо 3 х - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 х - 2 ∙ 25 = 25,

звідки 3 х - 2 = 1, тобто х - 2 = 0, х = 2.

Відповідь. х = 2.

Вирішити рівняння 3 х = 7 х.

Рішення.

Так як 7 х ≠ 0, то рівняння можна записати у вигляді 3 х / 7 х = 1, звідки (3/7) х = 1, х = 0.

Відповідь. х = 0.

Вирішити рівняння 9 х - 4 ∙ 3 х - 45 = 0.

Рішення.

Заміною 3 х = а дане рівняння зводиться до квадратного рівняння а 2 - 4а - 45 = 0.

Вирішуючи це рівняння, знаходимо його корені: а 1 = 9, а 2 = -5, звідки 3 х = 9, 3 х = -5.

Рівняння 3 х = 9 має корінь 2, а рівняння 3 х = -5 не має коренів, так як показова функція не може приймати негативні значення.

Відповідь. х = 2.

Рішення показових нерівностей часто зводиться до вирішення нерівностей а х> а b або а х< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Розглянемо деякі завдання.

Вирішити нерівність 3 х< 81.

Рішення.

Запишемо нерівність у вигляді 3 х< 3 4 . Так как 3 >1, то функція у = 3 х є зростаючою.

Отже, при х< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Таким чином, при х< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 х< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Відповідь. х< 4.

Вирішити нерівність 16 х +4 х - 2> 0.

Рішення.

Позначимо 4 х = t, тоді отримаємо квадратне нерівність t2 + t2> 0.

Це нерівність виконується при t< -2 и при t > 1.

Так як t = 4 х, то отримаємо два нерівності 4 х< -2, 4 х > 1.

Перше нерівність не має рішень, так як 4 х> 0 при всіх х € R.

Друге нерівність запишемо у вигляді 4 х> 4 0, звідки х> 0.

Відповідь. х> 0.

Графічно вирішити рівняння (1/3) х = х - 2/3.

Рішення.

1) Побудуємо графіки функцій у = (1/3) х і у = х - 2/3.

2) Спираючись на наш малюнок, можна зробити висновок, що графіки розглянутих функцій перетинаються в точці з абсцисою х ≈ 1. Перевірка доводить, що

х = 1 - корінь даного рівняння:

(1/3) 1 = 1/3 і 1 - 2/3 = 1/3.

Іншими словами, ми знайшли один з коренів рівняння.

3) Знайдемо інші коріння або доведемо, що таких немає. Функція (1/3) х спадна, а функція у = х - 2/3 зростаюча. Отже, при х> 1 значення першої функції менше 1/3, а другий - більше 1/3; при х< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 і х< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Відповідь. х = 1.

Зауважимо, що з вирішення цього завдання, зокрема, випливає, що нерівність (1/3) х> х - 2/3 виконується при х< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Урок і презентація на тему: "Показові рівняння і показові нерівності"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Всі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
Інтерактивний посібник для 9-11 класів "Тригонометрія"
Інтерактивний посібник для 10-11 класів "Логарифми"

Визначення показових рівнянь

Хлопці, ми вивчили показові функцій, дізналися їх властивості та побудували графіки, розібрали приклади рівнянь, в яких зустрічалися показові функції. Сьогодні ми будемо вивчати показові рівняння і нерівності.

Визначення. Рівняння виду: $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, де $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $ називаються показовими рівняннями.

Згадавши теореми, які ми вивчали в темі "Показова функція", можна ввести нову теорему:
Теорема. Показовий рівняння $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, де $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $ рівносильне рівнянню $ f (x) = g (x) $.

Приклади показових рівнянь

Приклад.
Вирішити рівняння:
а) $ 3 ^ (3x-3) = 27 $.
б) $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0,2) = \ sqrt (\ frac (2) (3)) $.
в) $ 5 ^ (x ^ 2-6x) = 5 ^ (- 3x + 18) $.
Рішення.
а) Ми добре знаємо, що $ 27 = 3 ^ 3 $.
Перепишемо наше рівняння: $ 3 ^ (3x-3) = 3 ^ 3 $.
Скориставшись теоремою вище, отримуємо, що наше рівняння зводиться до рівняння $ 3х-3 = 3 $, вирішивши це рівняння, отримаємо $ х = 2 $.
Відповідь: $ x = 2 $.

Б) $ \ sqrt (\ frac (2) (3)) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5)) $.
Тоді наше рівняння можна переписати: $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0,2) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5) ) = ((\ frac (2) (3))) ^ (0,2) $.
$ 2х + 0,2 = 0,2 $.
$ Х = 0 $.
Відповідь: $ x = 0 $.

В) Початкове рівняння рівносильне рівнянню: $ x ^ 2-6x = -3x + 18 $.
$ X ^ 2-3x-18 = 0 $.
$ (X-6) (x + 3) = 0 $.
$ X_1 = 6 $ і $ x_2 = -3 $.
Відповідь: $ x_1 = 6 $ і $ x_2 = -3 $.

Приклад.
Вирішити рівняння: $ \ frac (((0,25)) ^ (x-0,5)) (\ sqrt (4)) = 16 * ((0,0625)) ^ (x + 1) $.
Рішення:
Послідовно виконаємо ряд дій і наведемо обидві частини нашого рівняння до однакових підставах.
Виконаємо ряд операцій в лівій частині:
1) $ ((0,25)) ^ (x-0,5) = ((\ frac (1) (4))) ^ (x-0,5) $.
2) $ \ sqrt (4) = 4 ^ (\ frac (1) (2)) $.
3) $ \ frac (((0,25)) ^ (x-0,5)) (\ sqrt (4)) = \ frac (((\ frac (1) (4))) ^ (x-0 , 5)) (4 ^ (\ frac (1) (2))) = \ frac (1) (4 ^ (x-0,5 + 0,5)) = \ frac (1) (4 ^ x) = ((\ frac (1) (4))) ^ x $.
Перейдемо до правої частини:
4) $16=4^2$.
5) $ ((0,0625)) ^ (x + 1) = \ frac (1) ((16) ^ (x + 1)) = \ frac (1) (4 ^ (2x + 2)) $.
6) $ 16 * ((0,0625)) ^ (x + 1) = \ frac (4 ^ 2) (4 ^ (2x + 2)) = 4 ^ (2-2x-2) = 4 ^ (- 2x ) = \ frac (1) (4 ^ (2x)) = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
Початкове рівняння рівносильне рівнянню:
$ ((\ Frac (1) (4))) ^ x = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
$ X = 2x $.
$ X = 0 $.
Відповідь: $ x = 0 $.

Приклад.
Вирішити рівняння: $ 9 ^ x + 3 ^ (x + 2) -36 = 0 $.
Рішення:
Перепишемо наше рівняння: $ ((3 ^ 2)) ^ x + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
$ ((3 ^ x)) ^ 2 + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
Давайте зробимо заміну змінних, нехай $ a = 3 ^ x $.
У нових змінних рівняння набуде вигляду: $ a ^ 2 + 9a-36 = 0 $.
$ (A + 12) (a-3) = 0 $.
$ A_1 = -12 $ і $ a_2 = 3 $.
Виконаємо зворотну заміну змінних: $ 3 ^ x = -12 $ і $ 3 ^ x = 3 $.
На минулому уроці ми дізналися, що показові вирази можуть приймати тільки позитивні значення, згадайте графік. Значить, перше рівняння не має рішень, друге рівняння має одне рішення: $ x = 1 $.
Відповідь: $ x = 1 $.

Давайте складемо пам'ятку способів вирішення показових рівнянь:
1. Графічний метод.Представляємо обидві частини рівняння у вигляді функцій і будуємо їх графіки, знаходимо точки перетину графіків. (Цим методом ми користувалися на минулому уроці).
2. Принцип рівності показників.Принцип заснований на тому, що два вирази з підставамирівні, тоді і тільки тоді, коли рівні ступеня (показники) цих підстав. $ A ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $ $ f (x) = g (x) $.
3. Метод заміни змінних.Даний метод варто застосовувати, якщо рівняння при заміні змінних спрощує свій вигляд і його набагато легше вирішити.

Приклад.
Вирішити систему рівнянь: $ \ begin (cases) (27) ^ y * 3 ^ x = 1, \\ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12. \ End (cases) $.
Рішення.
Розглянемо обидва рівняння системи окремо:
$ 27 ^ y * 3 ^ x = 1 $.
$ 3 ^ (3y) * 3 ^ x = 3 ^ 0 $.
$ 3 ^ (3y + x) = 3 ^ 0 $.
$ X + 3y = 0 $.
Розглянемо друге рівняння:
$ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12 $.
$ 2 ^ (2 (x + y)) - 2 ^ (x + y) = 12 $.
Скористаємося методом заміни змінних, нехай $ y = 2 ^ (x + y) $.
Тоді рівняння набуде вигляду:
$ Y ^ 2-y-12 = 0 $.
$ (Y-4) (y + 3) = 0 $.
$ Y_1 = 4 $ і $ y_2 = -3 $.
Перейдемо до початкових змінних, з першого рівняння отримуємо $ x + y = 2 $. Друге рівняння не має рішень. тоді наша початкова системарівнянь, рівносильна системі: $ \ begin (cases) x + 3y = 0, \\ x + y = 2. \ End (cases) $.
Віднімемо від першого рівняння друге, одержимо: $ \ begin (cases) 2y = -2, \\ x + y = 2. \ End (cases) $.
$ \ Begin (cases) y = -1, \\ x = 3. \ End (cases) $.
Відповідь: $ (3; -1) $.

показові нерівності

Перейдемо до нерівностей. При вирішенні нерівностей необхідно звертати увагу на підставу ступеня. Можливі два варіанти розвитку подій при вирішенні нерівностей.

Теорема. Якщо $ а> 1 $, то показове нерівність $ a ^ (f (x))> a ^ (g (x)) $ рівносильна нерівності $ f (x)> g (x) $.
Якщо $ 0 a ^ (g (x)) $ рівносильна нерівності $ f (x)

Приклад.
Вирішити нерівності:
а) $ 3 ^ (2x + 3)> 81 $.
б) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) в) $ (0,3) ^ (x ^ 2 + 6x) ≤ (0,3) ^ (4x + 15) $ .
Рішення.
а) $ 3 ^ (2x + 3)> 81 $.
$ 3 ^ (2x + 3)> 3 ^ 4 $.
Наше нерівність рівносильна нерівності:
$ 2x + 3> 4 $.
$ 2x> 1 $.
$ X> 0,5 $.

Б) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) У нашому рівнянні підставу при ступеня менше 1, тоді при заміні нерівності на еквівалентну необхідно поміняти знак.
$ 2x-4> 2 $.
$ X> 3 $.

В) Наше нерівність еквівалентно нерівності:
$ X ^ 2 + 6x≥4x + 15 $.
$ X ^ 2 + 2x-15≥0 $.
$ (X-3) (x + 5) ≥0 $.
Скористаємося інтервальним методом вирішення:
Відповідь: $ (- ∞; -5] U)