Квадратні нерівності. Як вирішувати кубічні рівняння Правила застосовуються до калькулятору, розрахованому на сервері

У кубічному рівнянні найвищим показником ступеня є 3, у такого рівняння 3 кореня (рішення) і воно має вигляд. Деякі кубічні рівняння не так просто вирішити, але якщо застосувати правильний метод (при хорошій теоретичній підготовці), можна знайти коріння навіть самого складного кубічного рівняння - для цього скористайтеся формулою для вирішення квадратного рівняння, знайдіть цілі коріння або обчисліть дискриминант.

кроки

Як вирішити кубічне рівняння без вільного члена

З'ясуйте, чи є в кубічному рівнянні вільний член d (\\ Displaystyle d) . Кубічне рівняння має вигляд a x 3 + b x 2 + c x + d \u003d 0 (\\ displaystyle ax ^ (3) + bx ^ (2) + cx + d \u003d 0). Щоб рівняння вважалося кубічним, досить, щоб в ньому був присутній лише член x 3 (\\ displaystyle x ^ (3)) (Тобто інших членів може взагалі не бути).

Винесіть за дужки x (\\ Displaystyle x) . Так як в рівнянні немає вільного члена, кожен член рівняння включає змінну x (\\ displaystyle x). Це означає, що один x (\\ displaystyle x) можна винести за дужки, щоб спростити рівняння. Таким чином, рівняння запишеться так: x (a x 2 + b x + c) (\\ displaystyle x (ax ^ (2) + bx + c)).

Розкладіть на множники (на твір двох биномом) квадратне рівняння (якщо можливо). Багато квадратні рівняння виду a x 2 + b x + c \u003d 0 (\\ displaystyle ax ^ (2) + bx + c \u003d 0) можна розкласти на множники. Таке рівняння вийде, якщо винести x (\\ displaystyle x) за дужки. У нашому прикладі:

Вирішіть квадратне рівняння за допомогою спеціальної формули. Зробіть це, якщо квадратне рівняння можна розкласти на множники. Щоб знайти два кореня рівняння, значення коефіцієнтів a (\\ displaystyle a), b (\\ displaystyle b), c (\\ displaystyle c) підставте в формулу.

• У нашому прикладі підставте значення коефіцієнтів a (\\ displaystyle a), b (\\ displaystyle b), c (\\ displaystyle c) ( 3 (\\ displaystyle 3), - 2 (\\ displaystyle -2), 14 (\\ displaystyle 14)) В формулу: - b ± b 2 - 4 a c 2 a (\\ displaystyle (\\ frac (-b \\ pm (\\ sqrt (b ^ (2) -4ac))) (2a))) - (- 2) ± ((- 2) 2 - 4 (3) (14) 2 (3) (\\ displaystyle (\\ frac (- (- 2) \\ pm (\\ sqrt (((-2) ^ (2 ) -4 (3) (14)))) (2 (3)))) 2 ± 4 - (12) (14) 6 (\\ displaystyle (\\ frac (2 \\ pm (\\ sqrt (4- (12) (14)))) (6))) 2 ± (4 - 168 6 (\\ displaystyle (\\ frac (2 \\ pm (\\ sqrt ((4-168))) (6))) 2 ± - 164 6 (\\ displaystyle (\\ frac (2 \\ pm (\\ sqrt (-164))) (6)))
• Перший корінь: 2 + - 164 6 (\\ displaystyle (\\ frac (2 + (\\ sqrt (-164))) (6))) 2 + 12, 8 i 6 (\\ displaystyle (\\ frac (2 + 12,8i) (6)))
• Другий корінь: 2 - 12, 8 i 6 (\\ displaystyle (\\ frac (2-12,8i) (6)))

1. Використовуйте нуль і коріння квадратного рівняння в якості рішень кубічного рівняння. У квадратних рівнянь два кореня, а у кубічних - три. Два рішення ви вже знайшли - це коріння квадратного рівняння. Якщо ж ви винесли «х» за дужки, третім рішенням буде.

   Як знайти цілі коріння за допомогою множників

   1. Переконайтеся, що в кубічному рівнянні є вільний член d (\\ Displaystyle d) . Якщо в рівнянні виду a x 3 + b x 2 + c x + d \u003d 0 (\\ displaystyle ax ^ (3) + bx ^ (2) + cx + d \u003d 0) є вільний член d (\\ displaystyle d) (Який не дорівнює нулю), винести «х» за дужки не вийде. В даному випадку скористайтеся методом, викладеним в цьому розділі.

      Випишіть множники коефіцієнта a (\\ Displaystyle a) і вільного члена d (\\ Displaystyle d) . Тобто знайдіть множники числа при x 3 (\\ displaystyle x ^ (3)) і числа перед знаком рівності. Нагадаємо, що множителями числа є числа, при перемножуванні яких виходить це число.

      Розділіть кожен множник a (\\ Displaystyle a) на кожен множник d (\\ Displaystyle d) . У підсумку вийде безліч дробів і кілька цілих чисел; корінням кубічного рівняння буде одне з цілих чисел або від'ємне значення одного з цілих чисел.

      • У нашому прикладі розділіть множники a (\\ displaystyle a) (1 і 2 ) На множники d (\\ displaystyle d) (1 , 2 , 3 і 6 ). Ви отримаєте: 1 (\\ displaystyle 1), , , , 2 (\\ displaystyle 2) і. Тепер до цього списку додайте негативні значення отриманих дробів і чисел: 1 (\\ displaystyle 1), - 1 (\\ displaystyle -1), 1 2 (\\ displaystyle (\\ frac (1) (2))), - 1 2 (\\ displaystyle - (\\ frac (1) (2))), 1 3 (\\ displaystyle (\\ frac (1) (3))), - 1 3 (\\ displaystyle - (\\ frac (1) (3))), 1 6 (\\ displaystyle (\\ frac (1) (6))), - 1 6 (\\ displaystyle - (\\ frac (1) (6))), 2 (\\ displaystyle 2), - 2 (\\ displaystyle -2), 2 3 (\\ displaystyle (\\ frac (2) (3))) і - 2 3 (\\ displaystyle - (\\ frac (2) (3))). Цілими корінням кубічного рівняння є якісь числа з цього списку.

   2. Підставте цілі числа в кубічне рівняння. Якщо при цьому рівність дотримується, підставлену число є коренем рівняння. Наприклад, підставте в рівняння 1 (\\ displaystyle 1):

      Скористайтеся методом ділення многочленів по схемою Горнера , Щоб швидше знайти корені рівняння. Зробіть це, якщо не хочете вручну підставляти числа в рівняння. У схемі Горнера цілі числа діляться на значення коефіцієнтів рівняння a (\\ displaystyle a), b (\\ displaystyle b), c (\\ displaystyle c) і d (\\ displaystyle d). Якщо числа діляться без остачі (тобто залишок дорівнює), ціле число є коренем рівняння.

число е є важливою математичної константою, яка є основою натурального логарифма. число е приблизно дорівнює 2,71828 з межею (1 + 1/n)n при n , Що прагне до нескінченності.

Введіть значення х, щоб знайти значення експоненційної функції ex

Для обчислення чисел з буквою E використовуйте калькулятор перетворення експоненціального числа в ціле число

Повідомити про помилку

'; setTimeout (function () ($ ( 'form: first: button: first, #form_ca: first: button: first, form: first: submit: first, #form_ca: first: submit: first'). css (( 'display ':' inline-block ')); $ ( «# boxadno»). remove (); $ (' form: first: button: first, #form_ca: first: button: first, form: first: submit: first, #form_ca: first: submit: first '). click (); $ (' form: first: button: first, #form_ca: first: button: first, form: first: submit: first, #form_ca: first: submit: first '). css ((' display ':' none ')); $ (' form: first: button: first, #form_ca: first: button: first, form: first: submit: first, #form_ca: first: submit: first '). parent (). prepend ( »);), 32000); ) Вам допоміг цей калькулятор?
Поділіться цим калькулятором зі своїми друзями на форумі або в мережі.

Тим самим ви допоможете нам в розробці нових калькуляторів і доопрацювання старих.

Калькулятор алгебри Розрахунок

Число e є важливою математичної константою, що лежить в основі натурального логарифма.

0,3 при потужності x, помноженої на 3 по потужності x, однакові

Число е складає приблизно 2,71828 з межею (1 + 1 / n) n для n, яке прямує до нескінченності.

Це число також називається числом Ейлера або числом Непера.

Експоненціальна - експоненціальна функція f (x) \u003d exp (x) \u003d ex, де e - число Ейлера.

Введіть значення x, щоб знайти значення експоненційної функції ex

Обчислення значення експоненційної функції в мережі.

Коли число Ейлера (e) піднімається до нуля, відповідь дорівнює 1.

Коли ви піднімаєте до рівня більше одного, відповідь буде більше, ніж вихідний. Якщо швидкість більше нуля, але менше 1 (наприклад, 0,5), відповідь буде більше 1, але менше оригіналу (відмітка E). Коли показник зростає до негативної потужності, 1 потрібно розділити на число е на задану потужність, але зі знаком «плюс».

визначення

експонент Це експоненціальна функція y (x) \u003d e x, похідна якої збігається з самою функцією.

Показник відзначений як, або.

номер e

Підставою експоненти є число е.

Це ірраціональне число. Це приблизно те ж саме
е ≈ 2,718281828459045 …

Число e визначається за кордоном послідовності. Це, так званий, інший винятковий межа:
.

Число e також може бути представлено у вигляді ряду:
.

Графік експонент

На графіку показаний показник ступеня, е в стадії х.
y (x) \u003d ex
Графік показує, що він монотонно зростає експоненціально.

формула

Основні формули ті ж, що і для експоненційної функції з базою рівня e.

Вираз експоненційних функцій з довільним базисом а в сенсі експоненти:
.

також відділ "Експоненціальна функція" \u003e\u003e\u003e

Приватні цінності

Нехай y (x) \u003d e x.

5 до потужності x і дорівнює 0

експонентні властивості

Показник має властивості експоненційної функції з базисом ступеня е \u003e перший

Поле визначення, набір значень

Для x визначається показник y (x) \u003d e x.
Його обсяг:
— ∞ < x + ∞.
Його значення:
0 < Y < + ∞.

Крайнощі, збільшення, зменшення

Експонента є монотонною зростаючою функцією, тому вона не має екстремумів.

Його основні властивості показані в таблиці.

зворотна функція

Зворотний показник є природним логарифмом.
;
.

похідні показників

похідне е в стадії х це е в стадії х :
.
Похідний N-порядок:
.
Виконання формул\u003e\u003e\u003e

інтеграл

також відділ "Таблиця невизначених інтегралів" \u003e\u003e\u003e

комплексні номера

Операції з комплексними числами виконуються за допомогою Формула Ейлера:
,
де уявна одиниця:
.

Вирази через гіперболічні функції

Вирази через тригонометричні функції

Розширення статечних рядів

Коли x дорівнює нулю?

Звичайний або онлайн-калькулятор

звичайний калькулятор

Стандартний калькулятор дає вам прості операції в калькуляторі, такі як додавання, віднімання, множення і ділення.

Ви можете використовувати швидкий математичний калькулятор

Науковий калькулятор дозволяє виконувати більш складні операції, а також калькулятор, такий як синус, косинус, інверсний синус, зворотний косинус, який стосується, тангенс, показник експоненти, показник, логарифм, інтерес, а також бізнес в веб-калькуляторі пам'яті.

Ви можете вводити безпосередньо з клавіатури, спочатку натисніть на область за допомогою калькулятора.

Він виконує прості операції з числами, а також більш складні, такі як
математичний калькулятор онлайн.
0 + 1 = 2.
Ось два калькулятора:

1. Вирахувати перших як зазвичай
2. Інший обчислює його як інженерна

Правила застосовуються до калькулятору, розрахованому на сервері

Правила введення термінів і функцій

Навіщо мені цей онлайн-калькулятор?

Онлайн-калькулятор - як він відрізняється від звичайного калькулятора?

По-перше, стандартний калькулятор не підходить для транспорту, а по-друге - тепер інтернет практично всюди, це не означає, що є проблеми, зайдіть на наш сайт і використовуйте веб-калькулятор.
Онлайн-калькулятор - як він відрізняється від java-калькулятора, а також від інших калькуляторів для операційних систем?

- знову - мобільність. Якщо ви перебуваєте на іншому комп'ютері, вам не потрібно його встановлювати заново
Отже, використовуйте цей сайт!

Вирази можуть складатися з функцій (запис в алфавітному порядку):

абсолютний (x) Абсолютне значення х
(модуль х або | x |) arccos (x) Функція - аркоксін з хarccosh (x) Арксозін є гіперболічним з хarcsin (x) окремий син хarcsinh (x) HyperX гіперболічний хarctg (x) Функція - арктангенс з хarctgh (x) Арктангенс є гіперболічним хее число - близько 2,7 exp (x) Функція - показник х (як е^х) log (x) або ln (x) природний логарифм х
(Так log7 (x), Необхідно ввести log (x) / log (7) (або, наприклад, для log10 (x)\u003d Log (x) / log (10)) пі Число «Pi», яке становить близько 3,14 sin (x) Функція - Синус хcos (x) Функція - Конус від хsinh (x) Функція - Синус гіперболічний хcosh (x) Функція - косинус-гіперболічний хsqrt (x) Функція являє собою квадратний корінь з хsqr (x) або x ^ 2 Функція - квадрат хtg (x) Функція - Тангенс від хtgh (x) Функція - дотична гіперболічна від хcbrt (x) Функція являє собою кубічний корінь хгрунт (х) функція округлення х на нижньому боці (приклад грунту (4.5) \u003d\u003d 4.0) символ (x) Функція - символ хerf (x) Функція помилки (Лаплас або інтеграл ймовірності)

Наступні операції можна використовувати в термінах:

реальні числа введіть в форму 7,5 , що не 7,5 2 * x - множення 3 / x - поділ x ^ 3 - eksponentiacija x + 7 - Крім того, x - 6 - Зворотній відлік

завантажити PDF

Показові рівняння - це рівняння виду

x-невідомо показник ступеня,

a і b- деякі числа.

Приклади показового рівняння:

А рівняння:

вже не будуть показовими.

Розглянемо приклади розв'язання показових рівнянь:

Приклад 1.
Знайдіть корінь рівняння:

Наведемо ступеня до однакового основи, щоб скористатися властивістю ступеня з дійсним показником

Тоді можна буде прибрати підставу ступеня і перейти до рівності показників.

Перетворимо ліву частину рівняння:

Перетворимо праву частину рівняння:

Використовуємо властивість ступеня

Відповідь: 4,5.

Приклад 2.
Вирішіть нерівність:

Розділимо обидві частини рівняння на

Зворотній заміна:

Відповідь: x \u003d 0.

Розв'яжіть рівняння і знайдіть коріння на заданому проміжку:

Наводимо всі складові до однакового основи:

заміна:

Шукаємо коріння рівняння, шляхом підбору кратних вільному члену:

- підходить, тому що

рівність виконується.
- підходить, тому що

Як вирішити? e ^ (x-3) \u003d 0 е в ступені х-3

рівність виконується.
- підходить, тому що рівність виконується.
- не підходить, тому що рівність не виконується.

Зворотній заміна:

Число звертається в 1, якщо його показник дорівнює 0

Не підходить, тому що

Права частина дорівнює 1, тому що

Звідси:

Розв'яжіть рівняння:

Заміна:, тоді

Зворотній заміна:

1 рівняння:

якщо підстави чисел рівні, то їх показники будуть рівні, то

2 рівняння:

Логарифмуючи обидві частини за основою 2:

Показник ступеня встає перед вираз, тому що

Ліва частина дорівнює 2x, тому що

Звідси:

Розв'яжіть рівняння:

Перетворимо ліву частину:

Перемножуємо ступеня за формулою:

Спростимо: за формулою:

Уявімо у вигляді:

заміна:

Переведемо дріб в неправильну:

a2 -не підходить, тому що

Зворотній заміна:

Наводимо до загального основи:

якщо

Відповідь: x \u003d 20.

Розв'яжіть рівняння:

О.Д.З.

Перетворимо ліву частину за формулою:

заміна:

Обчислюємо корінь з дискриминанта:

a2-не підходить, тому що

а не приймає негативні значення

Наводимо до загального основи:

якщо

Зводимо в квадрат обидві частини:

Редактори статті: Гавриліна Анна Вікторівна, Агєєва Любов Олександрівна

Повернуться до тем

Переклад великий статті «An Intuitive Guide To Exponential Functions & e»

Число e завжди хвилювало мене - не як буква, а як математична константа.

Що число е означає насправді?

Різні математичні книги і навіть моя улюблена Вікіпедія описує цю величну константу абсолютно безглуздим науковим жаргоном:

Математична константа е є підставою натурального логарифма.

Якщо зацікавитесь, що таке натуральний логарифм, знайдете таке визначення:

Натуральний логарифм, раніше відомий як гіперболічний логарифм, є логарифмом з підставою е, де е - ірраціональна константа, приблизно рівна 2.718281828459.

Визначення, звичайно, правильні.

Але зрозуміти їх украй складно. Звичайно, Вікіпедія в цьому не винна: \u200b\u200bзазвичай математичні пояснення сухі і формальні, складаються за всією суворістю науки. Через це новачкам складно освоювати предмет (а колись кожен був новачком).

З мене досить! Сьогодні я ділюся своїми високоінтелектуальними міркуваннями про те, що таке число е, І чим воно так круто! Відкладіть свої товсті, навідні страх математичні книжки в сторону!

Число е - це не просто число

Описувати е як «константу, приблизно рівну 2,71828 ...» - це все одно, що називати число пі «ірраціональним числом, приблизно рівним 3,1415 ...».

Безсумнівно, так і є, але суть і раніше вислизає від нас.

Число пі - це співвідношення довжини кола до діаметру, однакове для всіх кіл. Це фундаментальна пропорція, властива всім колах, а отже, вона бере участь в обчисленні довжини окружності, площі, обсягу і площі поверхні для кіл, сфер, циліндрів і т.д.

Пі показує, що все окружності пов'язані, не кажучи вже про тригонометричні функції, що виводяться з околиць (синус, косинус, тангенс).

Число е є базовим співвідношенням зростання для всіх безперервно зростаючих процесів. Число е дозволяє взяти простий темп приросту (де різниця видна тільки в кінці року) і обчислити складові цього показника, нормальний ріст, при якому з кожної наносекунди (або навіть швидше) все виростає ще на трохи.

Число е бере участь як в системах з експоненціальним, так і постійним зростанням: населення, радіоактивний розпад, підрахунок відсотків, і багато-багато інших.

Навіть ступінчасті системи, які не ростуть рівномірно, можна апроксимувати за допомогою числа е.

Також, як будь-яке число можна розглядати у вигляді «масштабированной» версії 1 (базової одиниці), будь-яку окружність можна розглядати у вигляді «масштабированной» версії одиничному колі (з радіусом 1).

Дано рівняння: е в ступені х \u003d 0. Чому дорівнює х?

І будь-який коефіцієнт зростання може бути розглянутий у вигляді «масштабированной» версії е ( «одиничного» коефіцієнта зростання).

Так що число е - це не випадкове, взяте навмання число. Число е втілює в собі ідею, що все безперервно зростаючі системи є масштабувати версіями одного і того ж показника.

Поняття експоненціального зростання

Давайте почнемо з розгляду базової системи, яка подвоюється за певний період часу.

наприклад:

• Бактерії діляться і «подвоюються» в кількості кожні 24 години
• Ми отримуємо вдвічі більше лапшінок, якщо розламуємо їх навпіл
• Ваші гроші щороку збільшуються вдвічі, якщо ви отримуєте 100% прибутку (везунчик!)

І виглядає це приблизно так:

Розподіл на два або подвоєння - це дуже проста прогресія. Звичайно, ми можемо потроїти або почетверити, але подвоєння більш зручно для пояснення.

Математично, якщо у нас є х поділів, ми отримуємо в 2 ^ x разів більше добра, ніж було спочатку.

Якщо зроблено тільки 1 розбиття, отримуємо в 2 ^ 1 рази більше. Якщо розбиття 4, у нас вийде 2 ^ 4 \u003d 16 частин. Загальна формула виглядає так:

Іншими словами, подвоєння - це 100% зростання.

Ми можемо переписати цю формулу так:

зростання \u003d (1 + 100%) x

Це те ж рівність, ми тільки розділили «2» на складові частини, якими по суті і є це число: початкове значення (1) плюс 100%. Розумно, так?

Звичайно, ми можемо підставити і будь-яке інше число (50%, 25%, 200%) замість 100% і отримати формулу росту для цього нового коефіцієнта.

Загальна формула для х періодів тимчасового ряду матиме вигляд:

зростання \u003d (1 + приріст) x

Це просто означає, що ми використовуємо норму повернення, (1 + приріст), «х» раз поспіль.

Придивімося ближче

Наша формула передбачає, що приріст відбувається дискретними кроками. Наші бактерії чекають, чекають, а потім бац !, і в останню хвилину вони подвоюються в кількості. Наша прибуток за відсотками від депозиту магічним чином з'являється рівно через 1 рік.

На основі формули, написаної вище, прибуток зростає поступово. Зелені точки з'являються раптово.

Але світ не завжди такий.

Якщо ми збільшимо картинку, ми побачимо, що наші друзі-бактерії діляться постійно:

Зелений малий не виникає з нічого: він повільно виростає з синього батька. Після 1 періоду часу (24 години в нашому випадку), зелений друг вже повністю дозрів. Подорослішавши, він стає повноцінним синім членом стада і може створювати нові зелені клітинки сам.

Ця інформація якось змінить наше рівняння?

У випадку з бактеріями, полусформірованние зелені клітини все ж не можуть нічого робити, поки не виростуть і зовсім не відокремляться від своїх синіх батьків. Так що рівняння справедливо.

Наступного статті ми подивимося на приклад експоненціального зростання ваших грошей.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже ..."
І для тих, хто "дуже навіть ...")

Що таке "Квадратне нерівність"? Не питання!) Якщо взяти будь-який квадратне рівняння і замінити в ньому знак "=" (Так само) на будь-який значок нерівності ( > ≥ < ≤ ≠ ), Вийде квадратне нерівність. наприклад:

1. x 2 -8x + 12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Ну ви зрозуміли...)

Я не дарма тут пов'язав рівняння і нерівності. Справа в тому, що перший крок у вирішенні будь-якого квадратного нерівності - вирішити рівняння, з якого це нерівність зроблено. З цієї причини - нездатність вирішувати квадратні рівняння автоматично призводить до повного провалу і в нерівностях. Натяк зрозумілий?) Якщо що, подивіться, як вирішувати будь-які квадратні рівняння. Там все детально розписано. А в цьому уроці ми займемося саме нерівностями.

Готове для вирішення нерівність має вигляд: зліва - квадратний тричлен ax 2 + bx + c, Праворуч - нуль. Знак нерівності може бути абсолютно будь-який. Перші два приклади тут вже готові до вирішення. Третій приклад треба ще підготувати.

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.