Функції на відрізку. Безперервність функції на відрізку. Властивості функцій, безперервних на відрізку. Шукаємо найменше та найбільше значення функції разом

На рисунках нижче показано, де функція може досягати найменшого та найбільшого значення. На лівому малюнку найменше та найбільше значення зафіксовані у точках локального мінімуму та максимуму функції. На правому малюнку – на кінцях відрізка.

Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [ a, b] , то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень . Це, як говорилося, може статися або в точках екстремуму, або кінцях відрізка. Тому для знаходження найменшого і найбільшого значень функції , безперервний на відрізку [ a, b] , потрібно обчислити її значення у всіх критичних точкахі на кінцях відрізка, а потім вибрати з них найменше та найбільше.

Нехай, наприклад, потрібно визначити найбільше значенняфункції f(x) на відрізку [ a, b]. Для цього слід знайти всі її критичні точки, що лежать на [ a, b] .

Критичною точкою називається точка, в якій функція визначена, а її похіднаабо дорівнює нулю, або немає. Потім слід обчислити значення функції у критичних точках. І, нарешті, слід порівняти між собою за величиною значення функції в критичних точках і кінцях відрізка ( f(a) та f(b)). Найбільше з цих чисел і буде найбільшим значенням функції на відрізку [a, b] .

Аналогічно вирішуються завдання на перебування найменших значень функції .

Шукаємо найменше та найбільше значення функції разом

Приклад 1. Знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку [-1, 2] .

Рішення. Знаходимо похідну цієї функції. Прирівняємо похідну нулю () та отримаємо дві критичні точки: і . Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізкудосить обчислити її значення кінцях відрізка й у точці , оскільки точка належить відрізку [-1, 2] . Ці значення функції - такі: , , . З цього виходить що найменше значенняфункції(На графіку нижче позначено червоним), рівне -7, досягається на правому кінці відрізка - у точці , а найбільше(теж червоне на графіку), дорівнює 9, - в критичній точці.

Якщо функція безперервна в деякому проміжку і цей проміжок не є відрізком (а є, наприклад, інтервалом; різниця між інтервалом та відрізком: граничні точки інтервалу не входять до інтервалу, а граничні точки відрізка входять у відрізок), то серед значень функції може і не бути найменшого та найбільшого. Так, наприклад, функція, зображена на малюнку нижче, безперервна на ]-∞, +∞[ і не має найбільшого значення.

Однак для будь-якого проміжку (закритого, відкритого чи нескінченного) справедлива наступна властивість безперервних функцій.

Для самоперевірки при розрахунках можна скористатися онлайн калькулятором похідних .

Приклад 4. Знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку [-1, 3] .

Рішення. Знаходимо похідну цієї функції як похідну приватного:

.

Прирівнюємо похідну нулю, що дає одну критичну точку: . Вона належить відрізку [-1, 3]. Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізку знаходимо її значення на кінцях відрізка та у знайденій критичній точці:

Порівнюємо ці значення. Висновок: , рівного -5/13, у точці та найбільшого значення, Рівного 1, у точці .

Продовжуємо шукати найменше та найбільше значення функції разом

Є викладачі, які на тему знаходження найменшого і максимального значень функції не дають студентам на вирішення приклади складніше щойно розглянутих, тобто таких, у яких функція - многочлен чи дріб, чисельник і знаменник якої - многочлены. Але ми не обмежимося такими прикладами, оскільки серед викладачів бувають любителі змусити студентів думати по повній (таблиці похідних). Тому в хід підуть логарифм та тригонометрична функція.

Приклад 8. Знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку .

Рішення. Знаходимо похідну даної функції як похідну твори :

Прирівнюємо похідну нулю, що дає одну критичну точку: . Вона належить відрізку. Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізку знаходимо її значення на кінцях відрізка та у знайденій критичній точці:

Результат усіх дій: функція досягає найменшого значення, рівного 0, у точці та у точці та найбільшого значення, рівного e², у точці.

Для самоперевірки при розрахунках можна скористатися онлайн калькулятором похідних .

Приклад 9. Знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку .

Рішення. Знаходимо похідну цієї функції:

Прирівнюємо похідну нулю:

Єдина критична точка належить відрізку. Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізку знаходимо її значення на кінцях відрізка та у знайденій критичній точці:

Висновок: функція досягає найменшого значення, рівного , у точці і найбільшого значення, рівного у точці .

У прикладних екстремальних задачах знаходження найменшого (найбільшого) значень функції, як правило, зводиться до знаходження мінімуму (максимуму). Але більший практичний інтерес мають самі мінімуми чи максимуми, а ті значення аргументу, у яких вони досягаються. При вирішенні прикладних завдань виникає додаткова труднощі - складання функцій, що описують явище, що розглядається, або процес.

Приклад 10Резервуар ємністю 4 має форму паралелепіпеда з квадратною основою і відкритий зверху, потрібно вилудити оловом. Які мають бути розміри резервуара, щоб його покриття пішло найменшу кількість матеріалу?

Рішення. Нехай x- сторона основи, h- Висота резервуара, S- площа поверхні без кришки, V- Його обсяг. Площа поверхні резервуару виражається формулою, тобто. є функцією двох змінних. Щоб виразити Sяк функцію однієї змінної, скористаємося тим, що , звідки . Підставивши знайдений вираз hу формулу для S:

Досліджуємо цю функцію на екстремум. Вона визначена і диференційована всюди ]0, +∞[ , причому

.

Прирівнюємо похідну нулю () і знаходимо критичну точку. Крім того, похідна не існує, але це значення не входить в область визначення і тому не може бути точкою екстремуму. Отже, – єдина критична точка. Перевіримо її на наявність екстремуму, використовуючи другу достатню ознаку. Знайдемо другу похідну. При другому похідному більше нуля (). Значить, при функція досягає мінімуму . Оскільки цей мінімум - єдиний екстремум цієї функції, і є її найменшим значенням. Отже, сторона підстави резервуара повинна дорівнювати 2 м, а його висота .

Для самоперевірки при розрахунках можна скористатися

Визначення та формулювання основних теорем для функцій, безперервних на відрізку. Сюди входять: перша теорема Вейєрштраса про обмеженість безперервної на відрізку функції; друга теорема Вейєрштрасса про максимум і мінімум безперервної функції; теорема Больцано - Коші про проміжне значення.

Зміст

Див. також: Безперервність функції у точці - властивості та теореми

Визначення та теореми

Визначення функції, безперервної на відрізку
Функція називається безперервною на відрізку (при ), якщо вона безперервна у всіх точках відкритого інтервалу (при ) і безперервна справа і ліворуч у точках a і b відповідно.

Перша теорема Вейєрштраса про обмеженість безперервної на відрізку функції

Якщо функція безперервна на відрізку , вона обмежена у цьому відрізку.
Доказ

Визначення досяжності максимуму (мінімуму)
Функція досягає свого максимуму (мінімуму) на множині , якщо існує такий аргумент , для якого
для всіх .

Визначення досяжності верхньої (нижньої) грані
Функція досягає своєї верхньої (нижньої) грані на безлічі, якщо існує такий аргумент, для якого
.

Легко помітити, що це визначення еквівалентні. Якщо за ,
, то.
Якщо то .

Відмінність між максимумом (мінімумом) і верхньою (нижньою) гранню в тому, що максимум (мінімум) належить множині (в даному випадку безлічі значень функції), а верхня (нижня) грань може не належати цій множині. Нехай, наприклад, на відкритому інтервалі встановлено функцію . На цьому інтервалі функція має верхню та нижню грані:
.
Але максимуму та мінімуму не має. Дійсно, для будь-якого завжди можна вказати такі числа і, що належать, значення функції від яких будуть більшими і меншими:
.
На відрізку функція має як верхню та нижню грані, так максимум і мінімум:
.
Також верхня (нижня) грань може дорівнювати плюс (мінус) нескінченності: , а максимум (мінімум) не може бути нескінченним числом.

Будь-яка множина, в якій визначені операції порівняння, має верхню та нижню грані.

Друга теорема Вейєрштрасса про максимум і мінімум безперервної функції

Безперервна на відрізку функція досягає на ньому своїх верхніх і нижніх граней або, що теж саме, досягає на відрізку свого максимуму і мінімуму.
Доказ

Ця теорема означає, що існують такі точки і , що належать відрізку : значення функції в яких рівні, відповідно, нижній і верхній граням:
.
Оскільки, виходячи з визначень верхньої та нижньої граней:
при ,
при ,
і оскільки, то є мінімумом і максимумом функції на відрізку.

Друга теорема Больцано - Коші про проміжне значення

Нехай функція безперервна на відрізку. І нехай C є довільне число, що знаходиться між значеннями функції кінцях відрізка: і . Тоді існує точка, для якої
.
безперервна на відрізку. І нехай . Тоді функція приймає на відрізку всі значення і тільки ці значення:
при .

Використана література:
О.І. Бісів. Лекції з математичного аналізу. Частина 1. Москва, 2004.
С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.

Див. також:

Визначення

Нехай функція `y=f(x)` визначена на деякому інтервалі, що містить точку `ainR`. Крапка `a` називається точкою локального максимумуфункції `f`, якщо існує `epsilon` - околиця точки `a` що для будь-якого `x!=a` з цієї околиці `f(x)

Якщо виконано нерівність `f(x)>f(a)`, то `a` називається точкою локального мінімумуфункції `f`.

Точки локального максимуму та локального мінімуму називають точками локального екстремуму.

Теорема 5.1 (Ферма)

Якщо точка `a` є точкою локального екстремуму функції `y=f(x)` та функція `f` має похідну в цій точці, то `f^"(a)=0`.

Фізичний сенс: при одномірному русі з поверненням у точці максимального видалення має бути зупинка. Геометричний сенс: дотична у точці локального екстремуму горизонтальна.

Зауваження.

З теореми Ферма слід, що й функція має екстремум у точці `a`, то цій точці похідна функції або дорівнює нулю, або немає. Наприклад, функція `y=|x|` має мінімум у точці `x=0`, а похідна у цій точці немає (див. приклад 4.2). Точки, в яких функція визначена, а похідна дорівнює нулю чи не існує, називатимемо критичними.

Отже, якщо функції мають точки екстремуму, то вони лежать серед критичних точок (критичні точки «підозрілі» на екстремум). Для формулювання умов, що забезпечують наявність екстремуму в критичній точці, нам потрібне таке поняття.

Нагадаємо, що під проміжком розуміється інтервал (кінцевий або нескінченний), напівінтервал або відрізок числової прямої.

Визначення

Нехай функція `y=f(x)` визначена на проміжку `I`.

1) Функція `y=f(x)` зростає

2) Функція `y=f(x)` зменшуєтьсяна `I`, якщо для будь-яких `x,yinI`, `x f(y)`.

Якщо функція зростає або зменшується на `I`, то кажуть, що функція монотоннана проміжку `I`.

Умови монотонності. Нехай функція `y=f(x)` визначена на проміжку `I` з кінцями `a`, `b`, що диференціюється на `(a, b)` і безперервна в кінцях, якщо вони належать `I`. Тоді

1) якщо `f^"(x)>0` на `(a, b)`, то функція зростає на `I`;

2) якщо `f^"(x)<0` на `(a, b)`, то функция убывает на `I`.

Умови екстремуму. Нехай функція `y=f(x)` визначена на інтервалі `(ab)`, безперервна в точці `x_0 in(a, b)` і диференційована на `(a,x_0) uu(x_0,b)`. Тоді

1) якщо `f^"(x)>0` на `(a;x_0)` та `f^"(x)<0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального максимума функции `f`;

2) якщо `f^"(x)<0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)>0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального мінімуму функції `f`.

Приклад 5.1

Дослідити функцію `y=x^3-3x` на монотонність та екстремуми на області визначення.

Ця функція визначена на `R` і диференційована в кожній точці (див. наслідок теореми 4.2), причому `y^"=3(x^2-1)`.<0` при `x in(-1,1)`; `y^">0` при `x in(-oo,-1)uu(1,+oo)`, то функція зростає на променях `(-oo,-1]` і ``. За умовою екстремуму `x=-1` - точка локального максимуму, а `x=1` - точка локального мінімуму.Так як `y^"=0` тільки в точках `x=1` і `x=-1`, то за теоремою Ферма інших точок екстремуму у функції немає .

Розглянемо важливий клас завдань, у яких використовується поняття похідної – задачі знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку.

Приклад 5.2

Знайти найбільше та найменше значення функції `y=x^3-3x` на відрізку: а) `[-2;0]`; б) ``.

а) З прикладу 5.1 слід, що функція зростає на `(-oo,-1]` і убуває на `[-1,1]`.Так що `y(-1)>=y(x)` при всіх ` x in[-2;0]` та `y_"наиб"=y(-1)=2` - найбільше значення функції на відрізку `[-2;0]`. Щоб знайти найменше значення, потрібно порівняти значення функції на кінцях відрізка Оскільки `y(-2)=-2`, а `y(0)=0`, то `y_"найм"=-2` - найменше значення функції на відрізку `[-2;0]`.

б) Оскільки на промені ``, тому `y_"найм"=y(1)=-2`, `y_"наиб"=y(3)=18`.

Зауваження

Зазначимо, що безперервна функція на відрізку завжди має найбільше і найменше значення.

Приклад 5.3

Знайти найбільше та найменше значення функції `y=x^3-12|x+1|` на відрізку `[-4;3]`.

Зазначимо, що функція безперервна на всій числовій прямій. Позначимо `f_1(x)=x^3+12(x+1)`, `f_2(x)=x^3-12(x+1)`. Тоді `y=f_1(x)` при `-4<=x<=-1` и `y=f_2(x)` при `-1<=x<=3`. Находим `f_1^"(x)=3x^2+12`, `f_2^"(x)=3x^2-12`. Уравнение `f_1^"(x)=0` не имеет действительных корней, а уравнение `f_2^"(x)=0` имеет два действительных корня `x_1=-2`, `x_2=2`, из которых интервалу `(-1;3)` принадлежит только точка `x_2`. В точке `x=-1` функция определена, но не имеет производной (можно, например, провести рассуждения, аналогичные рассуждениям примера 4.2). Итак, имеется две критические точки: `x=-1` и `x=2`. Производная `y^"(x)=f_1^"(x)>0` на `(-4;-1)`, `y^"(x)=f_2^"(x)<0` на `(-1;2)` и `y^"(x)=f_2^"(x)>0` на `(2;3)`. Запишемо всі дослідження у таблиці:

`y_"наиб"=-1`; `y_"найм"=-100`.

Визначення. Якщо функція f(x) визначено на відрізку [ a, b], безперервна в кожній точці інтервалу ( a, b), у точці aбезперервна справа, у точці bбезперервна зліва, то кажуть, що функція f(x) безперервна на відрізку [a, b].

Іншими словами, функція f(x) безперервна на відрізку [ a, b], якщо виконано три умови:

1) "x 0 Î( a, b): f(x) = f(x 0);

2) f(x) = f(a);

3) f(x) = f(b).

Для функцій, безперервних на відрізку, розглянемо деякі властивості, які сформулюємо як наступних теорем, не проводячи доказів.

Теорема 1. Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [ a, b], то вона досягає на цьому відрізку свого найменшого та свого найбільшого значення.

Ця теорема стверджує (рис. 1.15), що у відрізку [ a, b] знайдеться така точка x 1 , що f(x 1) £ f(x) для будь-яких xз [ a, b] і що знайдеться точка x 2 (x 2 Î[ a, b]) така, що " xÎ[ a, b] (f(x 2) ³ f(x)).

Значення f(x 1) є найбільшим для цієї функції на [ a, b], а f(x 2) – найменшим. Позначимо: f(x 1) = M, f(x 2) =m. Тому що для f(x) виконується нерівність: " xÎ[ a, b] m£ f(x) £ M, То отримуємо наступне слідство з теореми 1.

Слідство. Якщо функція f(x) безперервна на відрізку, вона обмежена у цьому відрізку.

Теорема 2. Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [ a,b] і на кінцях відрізка набуває значень різних знаків, то знайдеться така внутрішня точка x 0 відрізка [ a, b], у якій функція звертається до 0, тобто. $ x 0 Î ( a, b) (f(x 0) = 0).

Ця теорема стверджує, що графік функції y = f(x), безперервної на відрізку [ a, b], перетинає вісь Oxхоча б один раз, якщо значення f(a) та f(b) мають протилежні знаки. Так, (рис. 1.16) f(a) > 0, f(b) < 0 и функция f(x) звертається до 0 у точках x 1 , x 2 , x 3 .

Теорема 3. Нехай функція f(x) безперервна на відрізку [ a, b], f(a) = A, f(b) = Bі A¹ B. (Рис. 1.17). Тоді для будь-якого числа C, укладеного між числами Aі B, знайдеться така внутрішня точка x 0 відрізка [ a, b], що f(x 0) = C.

Слідство. Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [ a, b], m- Найменше значення f(x), M- Найбільше значення функції f(x) на відрізку [ a, b], то функція приймає (хоча б один раз) будь-яке значення m, укладене між mі M, а тому відрізок [ m, M] є безліччю всіх значень функції f(x) на відрізку [ a, b].

Зауважимо, що якщо функція безперервна на інтервалі ( a, b) або має на відрізку [ a, b] точки розриву, теореми 1, 2, 3 для такої функції перестають бути вірними.

На закінчення розглянемо теорему існування зворотної функції.

Нагадаємо, що під проміжком розуміється відрізок або інтервал або напівінтервал кінцевий або нескінченний.

Теорема 4. Нехай f(x) безперервна на проміжку X, зростає (або зменшується) на Xі має безліч значень проміжок Y. Тоді для функції y = f(x) існує зворотна функція x= j(y), визначена на проміжку Y, безперервна і зростаюча (або спадна) на Yз безліччю значень X.

Зауваження. Нехай функція x= j(y) є зворотною для функції f(x). Оскільки зазвичай аргумент позначають через x, а функцію через y, то запишемо зворотну функцію у вигляді y =j(x).

Приклад 1. Функція y = x 2 (рис. 1.8, а) на множині X= }