Затухаючі коливання диференціальне. Вільні затухаючі коливання. Рівняння руху кулі в цьому випадку мають вигляд

Зменшення енергії коливальної системи призводить до поступового зменшення амплітуди коливань, бо

У цьому випадку говорять, що коливання загасають .

Аналогічна ситуація складається в коливальному контурі. Реальна котушка, що входить до складу контуру, завжди має активним опором. При протіканні струму на активному опорі котушки буде виділятися джоулево тепло. Енергія контуру при цьому буде зменшуватися, що буде призводити до зменшення амплітуди коливань заряду, напруги і сили струму.

Наша задача- з'ясувати за яким законом відбувається зменшення амплітуди коливань, за яким законом змінюється сама величина, що коливається, з якою частотою відбуваються затухаючі коливання, як довго коливання «загасають».

§1 Загасання коливань в системах з в'язким тертям

Розглянемо коливальну систему, в якій діє сила в'язкого тертя.Прикладом такої коливальної системи може служити математичний маятник, що здійснює коливання в повітряному середовищі.

В цьому випадку при виведенні системи з положення рівноваги на

маятник будуть діяти дві сили: квазіупругая сила і сила опору (сила в'язкого тертя).

Другий закон Ньютона запишеться наступним чином:

Ми знаємо, що при малих швидкостях сила в'язкого тертя пропорційна швидкості руху:

Врахуємо, що проекція швидкості є перша похідна від координати тіла, а проекція прискорення - друга похідна від координати:

Тоді рівняння (2) набуде вигляду:

отримаємо рівняння руху в наступному вигляді:

де d - коефіцієнт загасання, він залежить від коефіцієнта тертя r,

w 0 - циклічна частота ідеальних коливань (під час відсутності тертя).

Перш ніж вирішувати рівняння (3), розглянемо коливальний контур. Активний опір котушки включено послідовно з ємністю С і індуктивністю L.

Запишемо другий закон Кірхгофа

Врахуємо, що,,.

Тоді другий закон Кірхгофа набуде вигляду:

Розділимо обидві частини рівняння на:

введемо позначення

остаточно отримуємо

Зверніть увагу на математичну тотожність диференціальних рівнянь(3) і (3 '). В цьому немає нічого дивного. Ми вже показували абсолютну математичну тотожність процесу коливання маятника і електромагнітних коливань в контурі. Очевидно, процеси загасання коливань в контурі і в системах з в'язким тертям теж відбуваються однаково.

Вирішивши рівняння (3), ми отримаємо відповіді на всі поставлені вище питання.

Рішення цього рівняння нам відомо

Тоді для шуканого рівняння (3) отримуємо остаточний результат

Неважко бачити, що заряд конденсатора в реальному коливальному контурі буде змінюватися за законом

Аналіз отриманого результату:

1 В результаті спільної дії квазіпружної сили і сили опору система може здійснювати коливальний рух. Для цього має виконуватися умова w 0 2 - d 2> 0. Іншими словами, тертя в системі має бути невелика.

2 Частота згасаючих коливань w не збігається з частотою коливань системи під час відсутності тертя w 2 = w 0 2 - d 2< w 0 2 . З протягом часу частота згасаючих коливань залишається незмінною.

Якщо коефіцієнт загасання d малий, то частота згасаючих коливань близька до власної частоти w 0.

Це спадання амплітуди відбувається за експоненціальним законом.

4 Якщо w 0 2 - d 2< 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида

Безпосередньою підстановкою легко переконатися, що функція (4) дійсно є рішенням рівняння (3). Очевидно, що сума двох експоненційних функцій не є періодичної функцією. З фізичної точки зору це означає, що коливання в системі не виникнуть. Після виведення системи з положення рівноваги вона буде повільно в нього повертатися. Такий процес називається апериодическим .

§2 Як швидко загасають коливання в системах з в'язким тертям?

декремент загасання

значення величини. Видно, що величина d характеризує швидкість загасання коливань. З цієї причини d називають коефіцієнтом загасання.

Для електричних коливань в контурі коефіцієнт загасання залежить від параметрів котушки: чим більше активний опір котушки, тим швидше зменшуються амплітуди заряду на конденсаторі, напруги, сили струму.

Функція є твором спадної показовою функції і гармонійної функції, тому функція не є гармонійної. Але володіє певним ступенем «повторюваності», що полягає в тому, що максимуми, мінімуми, нулі функції наступають через рівні проміжки часу. Графік функції є синусоїдою, обмежену двома експонентами.

Знайдемо відношення двох послідовних амплітуд, розділених проміжком часу в один період. Це відношення називають декрементом загасання

Зверніть увагу, що результат не залежить від того, які два послідовних періоди ви розглядаєте - на початку коливального рухуабо по закінченні якогось часу. За кожен період амплітуда коливань змінюється нема на однакову величину, а в однакову кількість разів !!

Неважко бачити, що за будь-які різні проміжки часу амплітуда згасаючих коливань зменшується в однакову кількість разів.

час релаксації

Часом релаксації називається час, за яке амплітуда згасаючих коливань зменшується в е раз:

Звідси неважко встановити фізичний змісткоефіцієнта загасання:

Таким чином, коефіцієнт загасання є величина, зворотна часу релаксації. Нехай, наприклад, в коливальному контурі коефіцієнт загасання дорівнює. Це означає, що через певний час з амплітуда коливань зменшиться в ераз.

Логарифмічний декремент загасання

Часто швидкість загасання коливань характеризують логарифмічним декрементом загасання. Для цього беруть натуральний логарифм від відношення амплітуд, розділених проміжком часу в період.

З'ясуємо фізичний зміст логарифмічного декремента загасання.

Нехай N - число коливань, що здійснюються системою за час релаксації, тобто число коливань, за яке амплітуда коливань зменшується в ераз. Очевидно,.

Видно, що логарифмічний декремент загасання - є величина, зворотна числу коливань, після чого вони амплітуда зменшується в ераз.

Припустимо,, це означає, що після 100 коливань амплітуда зменшиться в ераз.

Добротність коливальної системи

Крім логарифмічного декремента загасання і часу релаксації, швидкість загасання коливань можна характеризувати такою величиною, як добротність коливальної системи . під добротністю

Можна показати, що для слабо згасаючих коливань

Енергія коливальні системи в довільний момент часу дорівнює. Втрати енергії за період можна знайти як різниця енергії в момент часу і енергії через час, що дорівнює періоду:

показову функціюможна розкласти в ряд при<< 1. после подстановки получаем .

При виведенні нами було накладено обмеження<< 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.

Формули, отримані нами для добротності системи, поки ні про що не говорять. Припустимо, розрахунки дають значення добротності Q = 10. Що це означає? Як швидко загасають коливання? Це добре чи погано?

Зазвичай умовно вважають, що коливання практично припинилися, якщо їх енергія зменшилася в 100 раз (амплітуда - в 10). З'ясуємо, скільки коливань зробила система до цього моменту:

Чи можемо відповісти на поставлене раніше запитання: N = 8.

Яка коливальна система краще - з великою або малою добротністю? Відповідь на це питання залежить від того, що ви хочете отримати від коливальної системи.

Якщо ви бажаєте, щоб система зробила якомога більше коливань до зупинки, добротність системи потрібно збільшувати. Як? Оскільки добротність визначається параметрами самої коливальної системи, то необхідно правильно ці параметри підібрати.

Наприклад, маятник Фуко, встановлений в Ісаакієвському соборі, повинен був здійснювати слабо затухаючі коливання. тоді

Найпростіший спосіб збільшити добротність маятника - зробити його важче.

У практиці нерідко виникають і зворотні завдання: необхідно по можливості швидше погасити виникли коливання (наприклад, коливання стрілки вимірювального приладу, коливання кузова автомобіля, коливання судна і т.д.) пристосування, що дозволяють збільшити загасання в системі, називаються демпферами (або амортизаторами). Наприклад, амортизатор автомобіля в першому наближенні є циліндр, заповнений маслом (в'язкою рідиною), в якому може рухатися поршень, який має ряд дрібних отворів. Шток поршня з'єднаний з кузовом, а циліндр - з віссю колеса. Виниклі коливання кузова швидко згасають, так як рухається поршень зустрічає на своєму шляху великий опір з боку в'язкої рідини, що заповнює циліндр.

§ 3 Згасання коливань в системах з сухим тертям

Принципово інакше відбувається загасання коливань, якщо в системі діє сила тертя ковзання. Саме вона є причиною зупинки пружинного маятника, що здійснює коливання уздовж будь-якої поверхні.

Припустимо, пружинний маятник, розташований на горизонтальній поверхні, привели в коливальний рух, стиснувши пружину і відпустивши вантаж, тобто з крайнього положення. У процесі руху вантажу з одного крайнього положення в інше на нього діють сила тяжіння і сила реакції опори (по вертикалі), сила пружності і сила тертя ковзання (уздовж поверхні).

Зауважимо, що в процесі руху зліва направо сила тертя незмінна у напрямку і модулю.

Цей дозволяє стверджувати, що протягом першої половини періоду пружинний маятник знаходиться в постійному силовому полі.

Зсув положення рівноваги можна розрахувати з умови рівності рівнодіюча нулю в положенні рівноваги:
Важливо, що протягом першої половини періоду коливання маятника гармонійні !

При русі в зворотному напрямку - справа наліво сила тертя змінить напрямок, але протягом всього переходу буде залишатися постійною за модулем і напрямком. Ця ситуація знову таки відповідає коливанням маятника в постійному силовому полі. Тільки тепер це поле інше! Воно змінило напрямок. Отже, положення рівноваги при русі справа наліво теж змінилося. Тепер воно змістилося вправо на величину D l 0 .

Зобразимо залежність координати тіла від часу. Оскільки за кожну половину періоду рух являє собою гармонійне коливання, то графік буде являти собою половинки синусоид, кожна з яких побудована щодо свого положення рівноваги. Ми будемо робити операцію «зшивання рішень».

Покажемо, як це робиться на конкретному прикладі.

Нехай маса вантажу, прикріпленого до пружини, дорівнює 200 г, жорсткість пружини 20 Н / м, коефіцієнт тертя між вантажем і поверхнею столу 0,1. Маятник привели в коливальний рух, розтягнувши пружину на

6,5 см.

На відміну від коливальних систем з в'язким тертям в системах з сухим тертям амплітуда коливань зменшується з плином часу за лінійним законом - за кожен період вона зменшується на дві ширини зони застою.

Інша відмінна риса - коливання в системах з сухим тертям навіть теоретично не можуть відбуватися нескінченно довго. Вони припиняються, як тільки тіло зупиняється в «зоні застою».

§4 Приклади розв'язання задач

Завдання 1 Характер зміни амплітуди затухаючих коливань в системах з в'язким тертям

Амплітуда згасаючих коливань маятника за час t 1 = 5 хв зменшилася в 2 рази. За якийсь час t 2 амплітуда коливань зменшиться в 8 разів? Через якийсь час t 3 можна вважати, що коливання маятника припинилися?

Рішення:

Амплітуда коливань в системах з в'язким тертям з плином време-

ні зменшується по експоненті, де - амплітуда коливань в початковий момент часу, - коефіцієнт загасання.

1 Запишемо закон зміни амплітуда два рази

2 Вирішуємо рівняння спільно. Логарифмуючи кожне рівняння і отримуємо

Ділимо друге рівняння не перше і знаходимо час t 2

Після перетворень отримуємо

Ділимо останнє рівняння на рівняння (*)

Завдання 2 Період затухаючих коливань в системах з в'язким тертям

Визначте період згасаючих коливань системи Т, якщо період власних коливань Т 0 = 1 с, а логарифмічний декремент загасання. Скільки коливань здійснить ця система до повної зупинки?

Рішення:

1 Період затухаючих коливань в системі з в'язким тертям більше періоду власних коливань (при відсутності тертя в системі). Частота згасаючих коливань, навпаки, менше частоти власних і дорівнює, де - коефіцієнт загасання.

2 Висловимо циклічну частоту через період. і врахуємо, що логарифмічний декремент загасання дорівнює:

3 Після перетворень отримуємо.

Енергія системи дорівнює максимальної потенційної енергії маятника

Після перетворень отримуємо

5 Висловлюємо коефіцієнт загасання через логарифмічний декремент, отримуємо

Число коливань, яке зробить система до зупинки, так само

Завдання 3 Число коливань, що здійснюються маятником до зменшення амплітуди в два рази

Логарифмічний декремент загасання маятника дорівнює q = 3 × 10 -3. Визначте число повних коливань, яку повинен зробити маятник, щоб амплітуда його коливань зменшилася в 2 рази.

Рішення:

3 Неважко бачити, що - логарифмічний декремент загасання. отримуємо

Знаходимо число коливань

Завдання 4 Добротність коливальної системи

Визначте добротність маятника, якщо за час, протягом якого було скоєно 10 коливань, амплітуда зменшилася в 2 рази. Через якийсь час маятник зупиниться?

Рішення:

1 Амплітуда коливань в системах з в'язким тертям з плином часу зменшується по експоненті, де - амплітуда коливань в початковий момент часу, - коефіцієнт загасання.

Оскільки амплітуда коливань зменшується в 2 рази, отримуємо

2 Час коливань можна представити як добуток періоду коливань на їх кількість:

Підставляємо отримане значення часу в вираз (*)

3 Неважко бачити, що - логарифмічний декремент загасання. Отримуємо Логарифмический декремент загасання дорівнює

4 Добротність коливальної системи

Енергія системи дорівнює максимальної потенційної енергії маятника

Після перетворень отримуємо

Знаходимо час, через яке коливання припиняться.

Завдання 5 Коливання магніту

Вася Лисичкін, відомий на всю школу експериментатор, вирішив змусити коливатися магнітну фігурку улюбленого літературного героя Колобка по стінці холодильника. Він прикріпив фігурку до пружини жорсткістю k = 10 H / м, розтягнув її на 10 см і відпустив. Скільки коливань здійснить Колобок, якщо маса фігурки m = 10 г, коефіцієнт тертя між фігуркою і стінкою дорівнює μ = 0,4, а відірвати її від стінки можна силою F = 0,5 Н.

Рішення:

1 При русі з крайнього нижнього в крайнє верхнє положення, коли швидкість вантажу спрямована вгору, сила тертя ковзання спрямована вниз і чисельно дорівнює. Таким чином, пружинний маятник знаходиться в постійному силовому полі, створеному силами тяжкості і тертя. У постійному силовому полі у маятника зміщується положення рівноваги:

де - розтягнення пружини в новому «положенні рівноваги».

2 При русі з крайнього верхнього в крайнє нижнє положення, коли швидкість вантажу спрямована вниз, сила тертя ковзання спрямована вгору і чисельно дорівнює. Таким чином, пружинний маятник знову-таки знаходиться в постійному силовому полі, створеному силами тяжкості і тертя. У постійному силовому полі у маятника зміщується положення рівноваги:

де - деформація пружини в новому «положенні рівноваги», знак «-» говорить, що в цьому положенні пружина стиснута.

3 Зона застою обмежена деформаціями пружини від - 1 см до 3 см і становить 4 см. Середина зони застою, в якій деформація пружини дорівнює 1 см, відповідає положенню вантажу, в якому сила тертя відсутнє. У зоні застою сила пружності пружини по модулю менше рівнодіюча максимальної сили тертя спокоюі сили тяжіння. Якщо маятник зупиняється в зоні застою, коливання припиняються.

4 За кожен період деформація пружини зменшується на дві ширини зони застою, тобто на 8 см. Після одного коливання деформація пружини стане рівною 10 см - 8 см = 2 см. Це означає, що після одного коливання фігурка Колобка потрапляє в зону застою і її коливання припиняються.

§5 Завдання для самостійного рішення

Тест «Рівняння коливання»

1 Під загасанням коливань розуміють ...

А) зменшення частоти коливань; Б) зменшення періоду коливань;

В) зменшення амплітуди коливань; Г) зменшення фази коливань.

2 Причина загасання вільних коливань -

А) дію на систему випадкових факторів, що гальмують коливання;

Б) дію періодично мінливого зовнішнього сили;

В) наявність в системі сили тертя;

Г) поступове зменшення квазіпружної сили, яка прагне повернути маятник в положення рівноваги.

?

А) 5 см; Б) 4 см; В) 3 см;

Г) Відповідь дати не можливо, оскільки невідомо час.

6 Два однакових маятника, перебуваючи в різних вузьких середовищах, роблять коливання. Амплітуда цих коливань змінюється з плином часу так, як показано на малюнку. В якому середовищі тертя більше?

7 Два маятника, перебуваючи в однакових середовищах, роблять коливання. Амплітуда цих коливань змінюється з плином часу так, як показано на малюнку. Який маятник має велику масу?

В) Відповідь дати неможливо, оскільки по осях координат не проставлено масштаб і виконати розрахунки не можна.

8 На якому малюнку правильно показана залежність координати згасаючих коливань в системі з в'язким тертям від часу?

А) 1; Б) 2; У 3; Г) Всі графіки вірні.

9 Установіть відповідність між фізичними величинами, що характеризують загасання коливань в системах з в'язким тертям, і їх визначенням та фізичним змістом. Заповніть таблицю

А) Це відношення амплітуд коливань через час, що дорівнює періоду;

Б) Це натуральний логарифм відношення амплітуд коливань через час, що дорівнює періоду;

В) Це час, протягом якого амплітуда коливань зменшується в е раз;

Ж) Ця величина обернено числу коливань, за яке амплітуда коливань зменшується в е раз;

З) Ця величина показує у скільки разів зменшується амплітуда коливань за час, що дорівнює періоду коливань.

10 Складіть правильне твердження.

Під добротністю розуміють ...

А) збільшене в 2p раз відношення повної енергії системи E до енергії W, розсіяною за період;

Б) відношення амплітуд через проміжок часу, що дорівнює періоду;

В) кількість коливань, яке здійснює система до того моменту, коли амплітуда зменшиться в е раз.

Добротність розраховують за формулою ...

Добротність коливальної системи залежить від ...

А) енергії системи;

Б) втрат енергії за період;

В) параметрів коливальної системи і тертя в ній.

Чим більше добротність коливальної системи, тим ...

А) повільніше загасають коливання;

Б) швидше загасають коливання.

11 Математичний маятник призводять в коливальний рух, відхиливши підвіс від положення рівноваги в першому випадку на 15 °, у другому - на 10 °. В якому випадку маятник здійснить більше коливань до зупинки?

А) Коли підвіс відхилили на 15 °;

Б) Коли підвіс відхилили на 10 °;

В) В обох випадках маятник здійснить однакове число коливань.

12 До двох ниток однакової довжини прикріпили кульки однакового радіусу - алюмінієвий і мідний. Маятники призводять в коливальний рух, відхиливши їх на однакові кути. Який з маятників зробить більшу кількість коливань до зупинки?

А) Алюмінієвий; Б) Мідний;

В) Обидва маятника зроблять однакову кількість коливань.

13 Пружинний маятник, розташований на горизонтальній поверхні, привели в коливання, розтягнувши пружину на 9 см. Після скоєння трьох повних коливань маятник виявився на відстані 6 см від положення недеформованою пружини. На якій відстані від положення недеформованою пружини виявиться маятник після наступних трьох коливань?

А) 5 см; Б) 4 см; В) 3 см.

І отримаєте два безкоштовних урокув школі англійської мови SkyEng!
Займаюся там сам - дуже круто. Прогрес в наявності.

У додатку можна вчити слова, тренувати аудіювання та вимову.

Спробуйте. Два уроку безкоштовно по моїй посиланням!
тисніть

загасання коливань

Вільні коливання в реальних умовах не можуть тривати вічно. Для механічних систем завжди має місце опір середовища, внаслідок чого енергія руху об'єкта розсіюється при терті. В електромагнітних контурах коливання загасають за рахунок опору провідників.

Рівняння згасаючих коливань

Рівняння згасаючих коливань описує рух реальних коливальних систем. У диференціальної формі воно записується в такий спосіб:

З цього виразу можна отримати ще одну канонічну форму:

Тут x і t - координати простору і часу, А - початкова амплітуда. - коефіцієнт загасання, який залежить від опору середовища r і маси коливається об'єкта m:

Чим більше опір середовища, тим більше енергії розсіюється при в'язкому терті. І навпаки - чим більше маса (а значить, інерційність) тіла, тим довше воно буде продовжувати рух.

Циклічна частота вільних коливань (такої ж системи, але без тертя) враховує силу пружності в системі (наприклад, жорсткість пружини k):

Строго кажучи, в разі згасаючих коливань не можна говорити про період - час між повторюваними рухами системи постійно збільшується. Однак якщо коливання загасають повільно, для них з достатньою точністю можна визначити період Т:

Циклічна частота згасаючих коливань

Ще одна характеристика згасаючих коливань - циклічна частота:

Час релаксації - це коефіцієнт, що показує, за який час амплітуда коливань зменшиться в е раз:

Ставлення амплітуди змінюється величини в двох послідовних періодах називають декрементом загасання:

Цю ж характеристику при розрахунках часто представляють у вигляді логарифма:

Добротність Q характеризує, наскільки сили пружності системи перевищують сили опору середовища, перешкоджаючи дисипації енергії:

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

завдання	Після того, як до пружини підвісили вантаж, вона розтяглася на 9,8 см. Пружина коливається у вертикальному напрямку,. Визначити період коливань.
Рішення	Так як пружина розтягується під вагою, то на неї діє сила тяжіння: Силі тяжіння протидіє сила пружності пружини: З двох виразів знайдемо коефіцієнт пружності: Підставами коефіцієнт пружності в формулу для періоду затухаючих коливань: Знаючи, що логарифмічний декремент загасання висловимо з нього невідому величину, підставимо в знаменник формули і висловимо Т:
відповідь

У реальних коливальних системах крім квазіупругіх сил присутні сили опору середовища. Наявність сил тертя призводить до розсіювання (дисипації) енергії і зменшення амплітуди коливань. Сповільнюючи рух, сили тертя збільшують період, тобто зменшує частоту коливань. Такі коливання не будуть гармонійними.

Коливання з безперервно зменшується в часі амплітудою внаслідок розсіювання енергії називаються затухаючими . При досить малих швидкостях сила тертя пропорційна швидкості тіла і спрямована проти руху

де r- коефіцієнт тертя, що залежить від властивостей середовища, форми і розмірів тіла, що рухається. Диференціальне рівняння затухаючих коливань при наявності сил тертя матиме вигляд:

або
(21)

де
- коефіцієнт загасання,

- власна кругова частота вільних коливань при відсутності сил тертя.

Спільним рішенням рівняння (21) в разі малих затуханий (
) Є:

Воно відрізняється від гармонійного (8) тим, що амплітуда коливань:

(23)

є спадною функцією часу, а кругова частота пов'язана з власною частотою і коефіцієнтом загасання співвідношенням:

. (24)

Період затухаючих коливань дорівнює:

. (25)

Залежність зміщення Х від tзатухающіх коливань представлена ​​на рис.4.

C тепенно убування амплітуди визначається коефіцієнтом загасання .

За час
амплітуда (23) зменшується в е ≈ 2,72 раз. Це час природного загасання називають часом релаксації. Отже, коефіцієнт загасання є величина, зворотна часу релаксації:

.(26)

Швидкість зменшення амплітуди коливань характеризується логарифмическим декрементом загасання. Нехай (t) і А (t + T) - амплітуди двох послідовних коливань, відповідних моментам часу, що відрізняється на один період. Тоді відношення:

(27)

називається декрементом загасання, Який показує, у скільки разів зменшується амплітуда коливань за час, що дорівнює періоду. Натуральний логарифм цього відношення:

(28)

називається логарифмічним декрементом загасання. Тут, N e - число коливань, що здійснюються за час зменшення амплітуди в е раз, тобто за час релаксації.

Таким чином, логарифмічний декремент загасання є величина, зворотна числу коливань, після чого вони амплітуда коливань зменшується в е раз.

Швидкість зменшення енергії коливальної системи характеризується добротністю Q. Добротність коливальної системи- величина, пропорційна відношенню повної енергії Е (t) коливальні системи до енергії (- Е), що втрачається за період Т:

(29)

Повна енергія коливальної системи в довільний момент часу і при будь-якому значенні Х має вигляд:

(30)

Так як енергія пропорційна квадрату амплітуди, енергія згасаючих коливань зменшується пропорційно величині
, Можна написати:

. (31)

Тоді, згідно з визначенням, вираз для добротності коливальної системи матиме вигляд:

Тут враховано, що при малих загасання (1): 1-е -2   ​​2.

Отже, добротність пропорційна числу коливань N e, що здійснюються системою за час релаксації.

Добротність коливальних систем може сильно відрізнятися, наприклад, добротність фізичного маятника Q ~ 10 2, а добротність атома, який теж є коливальні системою, достігаетQ ~ 10 8.

На закінчення відзначимо, що при коефіцієнті затухання β = ω 0 період стає нескінченним Т = ∞ (критичне загасання). При подальшому збільшенні β період Т стає уявним, а загасання руху відбувається без коливань, як кажуть, аперіодично. Цей випадок руху зображений на рис.5. Критичне загасання (заспокоєння) відбувається за мінімальний час і має важливе значення в вимірювальних приладах, наприклад, в балістичних гальванометрах .

В ИНУЖДЕННИЕКОЛИВАННЯ І РЕЗОНАНС

Якщо на тіло з масою m діють пружна сила F у = -kX, сила тертя
і зовнішня періодична сила
, То воно здійснює вимушені коливання. В цьому випадку диференціальне рівняння руху має вигляд:

де
,
- коефіцієнт загасання,
- власна частота вільних незгасаючих коливань тіла, F 0 - амплітуда, ω - частота періодичної сили.

У початковий момент часу робота зовнішньої сили перевершує енергію, яка витрачається на тертя (рис. 6). Енергія і амплітуда коливань тіла буде зростати до тих пір, поки вся повідомляється зовнішньою силою енергія не буде повністю витрачатися на подолання тертя, яке пропорційно швидкості. Тому встановлюється рівновага, при якому сума кінетичної і потенційної енергії виявляється постійною. Ця умова характеризує стаціонарний стан системи.

В такому стані рух тіла буде гармонійним з частотою, рівній частоті зовнішнього збудження, але внаслідок інерції тіла його коливання будуть зрушені по фазі по відношенню до миттєвому значенню зовнішньої періодичної сили:

X = AСos (ωt + φ). (34)

На відміну від вільних коливань амплітуда А і фаза  вимушених коливань залежать не від початкових умов руху, а визначатимуться лише властивостями коливної системи, амплітудою і частотою сили, що вимушує:

, (35)

. (36)

Видно, що амплітуда і зсув по фазі залежать від частоти змушує сили (рис.7, 8).

Характерною особливістю вимушених коливань є наявність резонансу. явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти змушує сили до власної частоти вільних незгасаючих коливань тіла ω 0 носить назву механічного резонансу . Амплітуда коливань тіла при резонансній частоті
досягає максимального значення:

(37)

З приводу резонансних кривих (див. Рис. 7) можна зробити такі зауваження. Якщо ω → 0, то всі криві (див. Також (35)) приходять до одного і того ж, відмінному від нуля, граничного значення
, Так званого статистичному відхиленню. Якщо ω → ∞, то всі криві асимптотично наближаються до нуля.

За умови малого загасання (β 2 << ω 0 2) резонансна амплітуда (див. (37))

(37а)

При цьому умови візьмемо відношення резонансного зміщення до статичного відхилення:

з якого видно, що відносне збільшення амплітуди коливань при резонансі визначається добротністю коливальної системи. Тут добротність є, по суті, коефіцієнтом посилення відгуку
системи і при малому загасанні може досягати великих значень.

Ця обставина обумовлює величезне значення явища резонансу у фізиці і техніці. Його використовують, якщо хочуть посилити коливання, наприклад, в акустиці - для посилення звучання музичних інструментів, в радіотехніці - для виділення потрібного сигналу з безлічі інших, що відрізняються по частоті. Якщо резонанс можетпрівесті до небажаного зростання коливань, користуються системою з малою добротністю.

ПОВ'ЯЗАНІ КОЛЕБАНИЯ

Джерелом зовнішньої періодичної сили може служити друга коливальна система, пружно пов'язана з першою. Обидві коливальні системи можуть діяти одна на іншу. Так, наприклад, випадок двох зв'язаних маятників (рис. 9).

Система може здійснювати як синфазних (рис. 9б), так і протифазні (рис. 9с) коливання. Такі коливання називаються нормальним типом або нормальної модою коливань і характеризуються своїм власним нормальною частотою. При синфазних коливаннях зміщення маятників в усі моменти часу Х 1 = Х 2, а частота ω 1 точно така ж, як частота окремо взятого маятника
. Це пояснюється тим, що легка пружина знаходиться у вільному стані і не робить ніякого впливу на рух. При протифазних коливаннях в усі моменти часу - Х 1 = Х 2. Частота таких коливань більше і дорівнює
, Так як пружина, що володіє жесткостьюk і здійснює зв'язок, весь час лежить колекція в розтягнутому, то в стислому стані.

Л
юбое стан нашої пов'язаної системи, в тому числі і початковий зсув Х (рис. 9а), можна представити у вигляді суперпозиції двох нормальних мод:

Якщо привести систему в рух з початкового стану Х 1 = 0,
, Х 2 = 2А,
,

то зміщення маятників будуть описуватися виразами:

На рис. 10 представлено зміна зсуву окремих маятників в часі.

Частота коливань маятників дорівнює середній частоті двох нормальних мод:

, (39)

а їх амплітуда змінюється за законом синуса або конуса з меншою частотою, яка дорівнює половині різниці частоти нормальних мод:

. (40)

Повільне зміна амплітуди з частотою, яка дорівнює половині різниці частот нормальних мод, називається “ биттям ” двох коливань з майже однаковими частотами. Частота "биття" дорівнює різниці ω 1 -ω 2 частот, (а не половині цієї різниці), оскільки максимум амплітуди 2А досягається двічі за період, відповідний частоті

Звідси період биття виявляється рівним:

(41)

При биття між маятника відбувається обмін енергією. Однак повний обмін енергією можливий тільки тоді, коли обидві маси однакові і ставлення (ω 1 + ω 2 / ω 1 -ω 2) дорівнює цілому числу. Необхідно відзначити один важливий момент: хоча окремі маятники можуть обмінюватися енергією, обмін енергією між нормальними модами відсутня.

Наявність таких, хто вагається систем, які взаємодіють між собою і здатні передавати один одному свою енергію, становлять основу хвильового руху.

Нестійке матеріальне тіло, поміщене в пружну середу, захоплює за собою і призводить в коливальний рух прилеглі до нього частинки середовища. Завдяки наявності пружних зв'язків між частинками коливання поширюються з характерною для даного середовища швидкістю по всій середовищі.

Процес поширення коливань у пружному середовищі називається хвилею .

Розрізняють два основних типи хвиль: поздовжні і поперечні. У поздовжніх хвиляхчастинки середовища коливаються вздовж напрямку поширення хвилі, а в поперечних- перпендикулярно до напрямку поширення хвилі. Чи не в кожній пружною середовищі можливе поширення поперечної хвилі. Поперечна пружна хвиля можлива лише в таких середовищах, в яких має місце пружна деформація зсуву. Наприклад, в газах і рідинах поширюються тільки поздовжні пружні хвилі (звук).

Геометричне місце точок середовища, до яких до даного моменту часу дійшло коливання, називається фронтом хвилі . Фронт хвилі відокремлює частину простору, уже залучену в хвильової процес, від області, в якій коливання ще не виникали. Залежно від форми фронту розрізняють хвилі плоскі, сферичні, циліндричні і т.д.

Рівняння плоскої хвилі, що розповсюджується без втрат в однорідному середовищі, має вигляд:
, (42)

де ξ (Х, t) - зміщення частинок середовища з координатою Х від положення рівноваги в момент часу t, А - амплітуда,
- фаза хвилі,
- кругова частота коливання частинок середовища, v - швидкість поширення хвилі.

довжиною хвилі λ називається відстань між точками, що коливаються з різницею фаз 2π, іншими словами, довжиною хвилі називається шлях, прохідний будь фазою хвилі за один період коливань:

фазова швидкість, тобто швидкість поширення даної фази:

λ / Т (44)

хвильове число - число довжин хвиль, що укладаються на довжині 2π одиниць:

k = ω / v = 2π / λ. (45)

Підставляючи ці позначення в (42), рівняння плоскої біжучої монохроматичної хвиліможна представити у вигляді:

(46)

Відзначимо, що рівняння хвилі (46) виявляєподвійну періодичність по координаті і часу. Дійсно, фази коливань збігаються при зміні координати на λ і при зміні часу на період Т. Тому зобразити графічно хвилю на площині не можна. Часто фіксують час t і на графіку представляють залежність зміщення ξ від координати Х, тобто миттєве розподіл зсувів частинок середовища вздовж напрямку поширення хвилі (рис.11). Різниця фаз Δφ коливань точок середовища залежить від відстані ΔХ = Х 2 - Х 1 між цими точками:

(47)

Якщо хвиля поширюється протилежно напрямку Х, то рівняння зворотної хвилі запишеться у вигляді:

ξ (Х, t) = АСos (ωt + kX). (48)

Стоячі хвилі - це результат особливого виду інтерференції хвиль. Вони утворюються при накладенні двох хвиль, що біжать, поширюються назустріч один одному з однаковими частотами і амплітудами.

Рівняння двох плоских хвиль, що поширюються уздовж осі Х в протилежних напрямках, мають вигляд:

ξ 1 = АСos (ωt - kX)

ξ 2 = AСos (ωt + kX). (49)

Складаючи ці рівняння за формулою суми косинусів і враховуючи, що k = 2π / λ, отримаємо рівняння стоячої хвилі:

. (50)

Множник сos ωt показує, що в точках середовища виникає коливання тієї ж частоти ω з амплітудою
, Що залежить від координати Х розглянутої точки. В точках середовища, де:
, (51)

амплітуда коливань досягає максимального значення, рівного 2А. Ці точки називаються пучностями.

З виразу (51) можна знайти координати пучностей:
(52)

У точках, де
(53) амплітуда коливань звертається в нуль. Ці точки називаються вузлами.

Координати вузлів:
. (54)

Р асстоянія між сусідніми пучностями і сусідніми вузлами однакові і рівні λ / 2. Відстань між вузлом і сусідній пучності одно λ / 4. При переході через вузол множник
змінює знак, тому фази коливань по різні боки від вузла відрізняються на π, тобто точки, що лежать по різні боки від вузла, коливаються в протифазі. Точки, укладені між двома сусідніми вузлами, коливаються з різними амплітудами, але з однаковими фазами.

Розподіл вузлів і пучностей в стоячій хвилі залежить від умов, що мають місце на межі поділу двох середовищ, від якої відбувається відображення. Якщо відображення хвилі походить від середовища більш щільною, то фаза коливань в місці відображення хвилі змінюється на протилежну або, як кажуть, втрачається половина хвилі. Тому, в результаті складання коливань протилежних напрямків зміщення на кордоні дорівнює нулю, тобто має місце вузол (рис. 12). При відображенні хвилі від кордону менш щільного середовища фаза коливань в місці відображення залишається без зміни і біля кордону складаються коливання з однаковими фазами - виходить пучность.

У стоячій хвилі немає переміщення фаз, немає поширення хвилі, немає перенесення енергії, з чим і пов'язана назва такого типу хвиль.

ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ

коливанняминазиваються руху або процеси, які характеризуються певною повторюваністю в часі. коливання називаються вільними, Якщо вони відбуваються за рахунок спочатку повідомленої енергії при подальшому відсутності зовнішніх впливів на коливальну систему. Найпростішим типом коливань є гармонійні коливання - коливання, при яких коливається величина змінюється в часі за законом синуса або косинуса.

Диференціальне рівняння гармонійних коливань має вигляд:

де - величина, що коливається, - циклічна частота.

- рішення цього рівняння. Тут - амплітуда, - початкова фаза.

Фаза коливань.

Амплітуда - максимальне значення коливається величини.

Період коливань - проміжок часу, через який відбувається повторення руху тіла. Фаза коливання за період від нього бере зріст. . , - число коливань.

Частота коливань - число повних коливань, що здійснюються в одиницю часу. . . Вимірюється в герцах (Гц).

Циклічна частота - число коливань, що здійснюються за секунд. . Одиниця виміру .

Фаза коливань - величина, що стоїть під знаком косинуса і характеризує стан коливальної системи в будь-який момент часу.

Початкова фаза - фаза коливань в початковий момент часу. Фаза і початкова фаза вимірюються в радіанах ().

Вільні затухаючі коливання- коливання, амплітуда яких через втрат енергії реальної коливальної системою з плином часу зменшується. Найпростішим механізмом зменшення енергії коливань є її перетворення в теплоту внаслідок тертя в механічних коливальних системах, а також омічних втрат і випромінювання електромагнітної енергії в електричних коливальних системах.

- логарифмическим декрементом загасання.

величина N e- це число коливань, що здійснюються за час зменшення амплітуди в ераз. Логарифмічний декремент загасання - постійна величина для даної коливальної системи.

Для характеристики коливальної системи використовують поняття добротності Q, Яка при малих значеннях логарифмічного декремента дорівнює

.

Добротність пропорційна числу коливань, що здійснюються системою за час релаксації.

ВИЗНАЧЕННЯ КОЕФІЦІЄНТА ТЕРТЯ за допомогою похилого маятника

Теоретичне обґрунтування методики визначення коеффіціентатренія

Похилий маятник являє собою кулю, підвішений на довгій нитці і що лежить на похилій площині.

Якщо куля відвести з положення рівноваги (вісь OO 1) на кут a, а потім відпустити, то виникнуть коливання маятника. При цьому куля буде кататися по похилій площині біля положення рівноваги (рис. 1, а). Між кулею і похилою площиною буде діяти сила тертя кочення. В результаті коливання маятника будуть поступово затухати, тобто буде спостерігатися зменшення в часі амплітуди коливань.

Можна припустити, що за величиною загасання коливань можуть бути визначені сила тертя і коефіцієнт тертя кочення.

Виведемо формулу, яка пов'язує зменшення амплітуди коливань з коефіцієнтом тертя кочення m.Прі коченні кулі по площині сила тертя здійснює роботу. Ця робота зменшує повну енергію кулі. Повна енергія складається з кінетичної і потенційної енергій. У тих положеннях, де маятник максимально відхилений від положення рівноваги, його швидкість, а отже, і кінетична енергія дорівнюють нулю.

Ці точки називаються точками повороту. У них маятник зупиняється, повертається і рухається назад. У момент повороту енергія маятника дорівнює потенційної енергії, тому зменшення потенційної енергії маятника при його русі від однієї точки повороту до іншого дорівнює роботі сили тертя на шляху між точками повороту.

нехай А- точка повороту (рис. 1, а). У цьому положенні нитка маятника становить кут a з віссю OO 1 .Якщо б тертя не було, то через половину періоду маятник виявився б в точці N, А кут відхилення дорівнював би a. Але через тертя куля дещо не докотиться до точки Nі зупиниться в точці В.Це і буде нова точка повороту. У цій точці кут нитки звіссю OO 1 буде дорівнює. За половину періоду кут повороту маятника зменшився на. Крапка Врозташована трохи нижче, ніж точка А,і тому потенційна енергія маятника в точці Вменше, ніж в точці А.Отже, маятник втратив висоту при переміщенні з точки Ав ціль В.

Знайдемо зв'язок між втратою кута і втратою висоти. Для цього спроеціруем точки Aі Bна вісь OO 1 (див. Рис. 1, а). Це будуть точки A 1 і B 1 відповідно. Очевидно, що довжина відрізка А 1 В 1

де - довжина нитки.

Так як вісь OO 1 нахилена під кутом до вертикалі, проекція відрізка на вертикальну вісь і є втрата висоти (рис. 1, б):

При цьому зміна потенційної енергії маятника при переході його з положення Aв положення Водно:

, (3)

де m- маса кулі;

g- прискорення вільного падіння.

Обчислимо роботу сили тертя.

Сила тертя визначається за формулою:

Шлях, пройдений кулею за половину періоду коливань маятника, дорівнює довжині дуги AB:

.

Робота сили тертя на шляху:

Але, тому з урахуванням рівнянь (2), (3), (4) виходить

. (6)

Вираз (6) істотно спрощується з урахуванням того, що кут дуже малий (близько 10 -2 радіан). Отже,. Але. Тому.

Таким чином, формула (6) набуває вигляду:

,

. (7)

З формули (7) видно, що втрата кута за половину періоду визначається коефіцієнтом тертя m і кутом a. Однак можна знайти такі умови, при яких від кута a не залежить. Врахуємо, що коефіцієнт тертя кочення малий (близько 10 -3). Якщо розглядати досить великі амплітуди коливань маятника a, такі, при яких , То складовою в знаменнику формули (7) можна знехтувати і тоді:

.

З іншого боку, нехай кут a буде малим настільки, щоб можна було вважати, що. Тоді втрата кута за половину періоду коливань буде визначатися формулою:

. (8)

Формула (8) справедлива, якщо:

. (9)

Через те, що m має порядок 10 -2, нерівності (9) задовольняють кути a порядку 10 -2 -10 -1 радіан.

Отже, за час одного повного коливання втрата кута складе:

,

а за nколивань - .

Формула (10) дає зручний спосіб визначення коефіцієнта тертя кочення. Необхідно виміряти зменшення кута Da nза 10-15 ко-лебанія, а потім за формулою (10) обчислити m.

У формулі (10) величина Da виражена в радіанах. Щоб використовувати значення Da в градусах, формулу (10) необхідно видозмінити:

. (11)

З'ясуємо фізичний зміст коефіцієнта тертя кочення. Розглянемо спочатку більш загальну задачу. куля масою mі моментом інерції I cщодо осі, що проходить через центр мас, рухається по гладкій поверхні (рис. 2).

Мал. 2

До центру мас Cприкладена сила, спрямована уздовж осі oxі є функцією координати x. З боку поверхні на тіло діє сила тертя FТР. Нехай момент сили тертя щодо осі, що проходить через центр Cкулі, дорівнює MТР.

Рівняння руху кулі в цьому випадку мають вигляд:

; (12)

, (13)

де - швидкість центpa мас;

w - кутова швидкість.

У рівняннях (12) і (13) чотири невідомих: , W, FТР, MТР . У загальному випадку задача не визначена.

Припустимо, що:

1) тіло котиться без проковзування. тоді:

де R -радіус кулі;

2) тіло і площину є абсолютно жорсткими, тобто тіло не деформується, а стосується площині в одній точці Про(Точковий контакт), тоді між моментом сили тертя і силою тертя є зв'язок:

. (15)

З урахуванням формул (14) і (15) з рівнянь (12) і (13) отримуємо вираз для сили тертя:

. (16)

Вираз (16) не містить коефіцієнта тертя m, який визначається фізичними властивостями дотичних поверхонь кулі і площини, такими, як шорсткість, або вид матеріалів, з яких виготовлені куля і площину. Цей результат - прямий наслідок прийнятої ідеалізації, що відображається зв'язками (14) і (15). Крім того, легко показати, що в прийнятій моделі сила тертя не робить роботи. Дійсно, помножимо рівняння (12) на , А рівняння (13) - на w. Враховуючи що

і

і складаючи вирази (12) і (13), отримуємо

де W(x) - потенційна енергія кулі в полі сили F(x). Слід врахувати, що

Якщо взяти до уваги формули (14) і (15), то права частина рівності (17) звертається в нуль. У лівій частині рівності (17) варто похідна за часом від повної енергії системи, яка складається з кінетичної енергії поступального руху кулі , кінетичної енергії обертального руху і потенційної енергії W(х). Це означає, що повна енергія системи - постійна величина, тобто сила тертя не робить роботи.

Очевидно, що і цей дещо дивний результат також наслідок прийнятої ідеалізації. Це свідчить про те, що прийнята ідеалізація не відповідає фізичної реальності. Справді, в процесі русі куля взаємодіє з площиною, тому його механічна енергія повинна спадати, а це значить, що зв'язку (14) і (15) можуть бути вірні лише настільки, наскільки можна знехтувати диссипацией енергії.

Абсолютно ясно, що в даному випадку не можна прийняти таку ідеалізацію, оскільки наша мета - визначити по зміні енергії маятника коефіцієнт тертя. Тому будемо вважати справедливим припущення про абсолютну жорсткості кулі і поверхні, а значить, і справедливою зв'язку (15). Однак відмовимося від припущення, що куля рухається без прослизання. Ми припустимо, що має місце слабке прослизання.

Нехай швидкість точок дотику (на рис. 2 точка О) кулі (швидкість ковзання):

. (19)

Тоді, підставляючи в рівняння (17) і з огляду на умови (15) і (20), приходимо до рівняння:

, (21)

з якого видно, що швидкість дисипації енергії дорівнює потужності сили тертя. Результат цілком природний, тому що тіло ковзає по поверхні зі швидкістю і,нанего діє сила тертя, яка здійснює роботу, внаслідок чого повна енергія системи зменшується.

Виконуючи в рівнянні (21) диференціювання і з огляду на співвідношення (18), отримуємо рівняння руху центру мас кулі:

. (22)

Воно аналогічно рівнянню руху матеріальної точки масою:

, (23)

під дією зовнішньої сили Fі сили тертя кочення:

.

причому, FТР - звичайна сила тертя ковзання. Отже, при коченні кулі ефективна сила тертя, яку називають силою тертя кочення, є просто звичайна сила тертя ковзання, помножена на відношення швидкості проковзування до швидкості центру мас тіла. На практиці часто спостерігається випадок, коли сила тертя кочення не залежить від швидкості тіла.

Мабуть, в цьому випадку швидкість проковзування іпропорційна швидкості тіла:

Всі реальні коливальні системи є диссипативними. Енергія механічних коливань системи з плином часу витрачається на роботу проти сил тертя, тому власні коливання завжди затухають - їх амплітуда поступово зменшується. Втрата енергії відбувається і при деформаціях тіл, так як цілком пружних тіл не існує, а деформації не цілком пружних тіл супроводжуються частковим переходом механічної енергії в енергію хаотичного теплового руху частинок цих тіл.

У багатьох випадках в першому наближенні можна вважати, що при невеликих швидкостях руху сили, що викликають загасання механічних коливань, пропорційні величині швидкості. Будемо називати ці сили, незалежно від їх походження, силами тертя або опору і обчислювати їх за такою формулою:. Тут r - коефіцієнт опору середовища, - швидкість руху тіла. Знак мінус вказує на те, що сили тертя завжди спрямовані в бік, протилежний напрямку руху тіла.

Запишемо рівняння другого закону Ньютона для згасаючих прямолінійних коливань пружинного маятника

Тут: m - маса вантажу, k - жорсткість пружини, - проекція швидкості на вісь ОХ, - проекція прискорення на вісь ОХ. Поділимо обидві частини рівняння (13) на масу m і перепишемо його у вигляді:

. (14)

Введемо позначення:

, (15)

. (16)

Назвемо коефіцієнтом загасання, а ми раніше назвали власної циклічною частотою. З урахуванням введених позначень (15 і 16) рівняння (14) запишеться

. (17)

Це диференціальне рівняння затухаючих коливань будь-якої природи. Вид вирішення цього лінійного диференціального рівняння другого порядку залежить від співвідношення між величиною - власною частотою незатухаючих коливань і коефіцієнтом загасання.

Якщо тертя дуже велике (в цьому випадку), то система, виведена з положення рівноваги, повертається в нього, не здійснюючи коливань ( «повзе»). Такий рух (крива 2 на рис.3) називають апериодическим.

Якщо ж в початковий момент система з великим тертям знаходиться в положенні рівноваги і їй повідомляється деяка початкова швидкість, то система досягає найбільшого відхилення від положення рівноваги, зупиняється і після цього зміщення асимптотично прагне до нуля (рис.4).

рис.3 Рис.4

Якщо система виведена з положення рівноваги за умови та відпущена без початкової швидкості, то система також не переходить положення рівноваги. Але в цьому випадку час практичного наближення до нього виявляється менше, ніж в разі великого тертя (крива 1 на рис 3). Такий режим називається критичним і до нього прагнуть при використанні різних вимірювальних приладів (для якнайшвидшого відліку показань).

при малому терті (в цьому випадку) рух носить коливальний характер (рис.5) і рішення рівняння (17) має вигляд:

(19)

описує зміна амплітуди затухаючих коливаньз часом. Амплітуда згасаючих коливань зменшується з плином часу (рис.5) і тим швидше, чим більше коефіцієнт опору і чим менше маса тіла, що коливається, тобто чим менше інертність системи.

рис.5

величину

називають циклічною частотою загасаючих коливань. Затухаючі коливання являють собою неперіодичні коливання, так як в них ніколи не повторюються, наприклад, максимальні значення зсуву, швидкості і прискорення. Тому назвати частотою можна лише умовно в тому сенсі, що вона показує, скільки разів за секунд коливається система проходить через положення рівноваги. З цієї ж причини величину

(21)

можна назвати умовним періодом згасаючих коливань.

Для характеристики загасання введемо такі величини:

Логарифмічний декремент загасання;

Час релаксації;

Добротність.

Відношення двох будь-яких послідовних зсувів, розділених в часі одним періодом називають декрементом загасання.

Логарифмическим декрементом загасанняназивається натуральний логарифм відношення значень амплітуди затухаючих коливань в моменти часу t і t + T (натуральний логарифм відношення двох будь-яких послідовних зсувів, розділених в часі одним періодом):

Оскільки і, то .

Скористаємося формулою залежності амплітуди від часу (19) і отримаємо

З'ясуємо фізичний зміст величин і. Позначимо через проміжок часу, за який амплітуда згасаючих коливань убуває в е раз і назвемо його часом релаксації. тоді . звідси слідує що