Фізика коливальних рухів формули. Механічні коливання. Перетворення енергії в коливальних системах

4.2. Поняття та визначення розділу «коливання та хвилі»

Рівняння гармонійних коливаньта його рішення:

, x=Acos(ω 0 t+α ) ,

A- Амплітуда коливань;

α – початкова фаза коливань.

Період коливань матеріальної точки, що здійснює коливань під дією сили пружності:

де m- Маса матеріальної точки;

k- Коефіцієнт жорсткості.

Період коливань математичного маятника:

де l- Довжина маятника;

g= 9,8 м/с2 – прискорення вільного падіння.

Амплітуда коливань, одержуваних при додаванні двох однаково спрямованих гармонійних коливань:

де A 1 і А 2 – амплітуди складових коливань;

φ 1 і φ 2 – початкові фази доданків.

Початкова фаза коливань, одержуваних при додаванні двох однаково спрямованих гармонійних коливань:

.

Рівняння загасаючих коливаньта його рішення:

, ,

- Частота загасаючих коливань,

тут ω 0 – власна частота коливань.

Логарифмічний декремент згасання:

де - коефіцієнт загасання;

- Період загасаючих коливань.

Добротність коливальної системи:

де θ – логарифмічний декремент згасання

Рівняння вимушених коливань і його вирішення, що встановилося:

, x=A cos (ω t-φ ),

де F 0 – амплітудне значення сили;

- Амплітуда загасаючих коливань;

φ= - Початкова фаза.

Резонансна частотаколивань:

,

де 0 - власна циклічна частота коливань;

β – коефіцієнт загасання.

Загасні електромагнітні коливання в контурі, що складається з ємностіC, індуктивностіLта опоруR:

,

де q- Заряд на конденсаторі;

q m- Амплітудне значення заряду на конденсаторі;

β = R/2L- Коефіцієнт загасання,

тут R- Опір контуру;

L- Індуктивність котушки;

– циклічна частота коливань;

тут ω 0 – власна частота коливань;

α – початкова фаза коливань.

Період електромагнітних коливань:

,

де З- Місткість конденсатора;

L- Індуктивність котушки;

R- Опір контуру.

Якщо опір контуру мало, що ( R/2L) 2 <<1/LC, то період коливань:

Довжина хвилі:

де v –швидкість поширення хвилі;

T- Період коливань.

Рівняння плоскої хвилі:

ξ = A cos (ω t-kx),

де A- Амплітуда;

ω – циклічна частота;

- хвильове число.

Рівняння сферичної хвилі:

,

де A- Амплітуда;

ω – циклічна частота;

k- хвильове число;

r- Відстань від центру хвилі до розглянутої точки середовища.

? Вільні гармонійні коливання у контурі

Ідеальний контур - електричний ланцюг, що складається з послідовно з'єднаного конденсатора ємністю Зта котушки індуктивності L.За гармонійним законом змінюватимуться напруга на обкладках конденсатора та струм у котушці індуктивності.

? Гармонійний осцилятор. Пружинний, фізичний та математичний маятники, їх періоди коливань

Гармонічний осцилятор-будь-яка фізична система, що здійснює коливання. Класичні осцилятори - пружинний, фізичний та математичний маятники. Пружинний маятник - вантаж масою m, підвішений на абсолютно пружній пружині і здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили. Т=. Фізичний маятник - тверде тіло довільної форми, що робить коливання під дією сили тяжіння навколо горизонтальної осі, що не проходить через його центр тяжіння. Т=. Математичний маятник – ізольована система, що складається з матеріальної точки масою mпідвішеною на нерозтяжній невагомій нитці завдовжки Lі коливається під дією сили тяжіння. Т= .

? Вільні механічні коливання (рівняння, швидкість, прискорення, енергія). Графічне зображення гармонійних вагань.

Коливання називаються вільними, якщо вони відбуваються з допомогою спочатку повідомленої енергії за подальшої відсутності зовнішніх впливів на коливальну систему. Розмір змінюється згідно із законом синуса чи косинуса. , S- Зміщення від положення рівноваги, А-амплітуда, w 0 - циклічна частота, -початкова фаза коливань. Швидкість, прискорення. Енергія повна - Е=. Графічно - за допомогою синусоїди або косінусоїди.

? Поняття про коливальні процеси. Гармонічні коливання та його характеристики. Період, амплітуда, частота та фаза коливань. Графічне зображення гармонійних вагань.

Періодичні процеси, що повторюються згодом, називають коливальними. Періодичні коливання, у яких координата тіла змінюється згодом згідно із законом синуса чи косинуса, називаються гармонійними. Період – час одного коливання. Амплітуда – максимальне усунення точки від положення рівноваги. Частота – кількість повних коливань за одиницю часу. Фаза - величина, що стоїть під знаком синуса чи косинуса. Рівняння: , тут S- величина, що характеризує стан системи, що коливається, - циклічна частота. Графічно - за допомогою синусоїди або косінусоїди.

? Загасні коливання. Диференційне рівняння цих коливань. Логарифмічний декремент згасання, час релаксації, добротність.

Коливання, амплітуда яких поступово зменшується, наприклад, з допомогою сили тертя. Рівняння: , тут S- величина, що характеризує стан системи, що коливається, - циклічна частота, -коефіцієнт згасання. Логарифмічний декремент згасання, де N- Число коливань, скоєних за час зменшення амплітуди в Nразів. Час релаксації t-протягом якого амплітуда зменшується в раз. Добротність Q = .

? Невигасні вимушені коливання. Диференційне рівняння цих коливань. Що називають резонансом? Амплітуда та фаза вимушених коливань.

Якщо втрати енергії коливань, що призводять до їх загасання, повністю компенсувати, встановлюються коливання, що не згасають. Рівняння: . Тут права частина – зовнішній вплив, що змінюється за гармонійним законом. Якщо власна частота коливань системи збігається із зовнішньою, має місце резонанс – різке зростання амплітуди системи. Амплітуда , .

? Опишіть складання коливань однакового напрямку та однакової частоти, взаємоперпендикулярних коливань. Що таке биття?

Амплітуда результуючого коливання, що виходить при додаванні двох гармонійних коливань однакового напрямку і однакової частоти, тут А- Амплітуди, j - початкові фази. Початкова фаза результуючого коливання . Взаємоперпендикулярні коливання – рівняння траєкторії , тут Аі Уамплітуди коливань, що складаються, j-різниця фаз.

? Охарактеризуйте релаксаційні коливання; автоколивання.

Релаксаційні – автоколивання, що різко відрізняються формою від гармонійних, завдяки значному розсіюванню енергії в автоколивальних системах (тертя в механічних системах). Автоколивання – незагасаючі коливання, що підтримуються зовнішніми джерелами енергії за відсутності зовнішньої змінної сили. На відміну від вимушених – частота та амплітуда автоколивань визначаються властивостями самої коливальної системи. Відмінність від вільних коливань – відрізняються незалежністю амплітуди від часу та від початкового короткочасного впливу, що збуджує процес коливань. Приклад автоколивальної системи – годинник.

? Хвилі (основні поняття). Поздовжні та поперечні хвилі. Стояча хвиля. Довжина хвилі, зв'язок її з періодом та частотою.

Процес поширення коливань у просторі називають хвилею. Напрямок перенесення хвилею енергії коливань – це напрямок руху хвилі. Поздовжня – коливання частинок середовища відбувається у напрямі поширення хвилі. Поперечна - коливання частинок середовища відбувається перпендикулярно до напряму поширення хвилі. Стояча хвиля - утворюється при накладенні двох хвиль, що біжать, що поширюються назустріч один одному з однаковими частотами і амплітудами, а у разі поперечних хвиль і однаковою поляризацією. Довжина хвилі - відстань, яку хвиля поширюється за період. ( довжина хвилі, v- Швидкість хвилі, Т- період коливань)

? Принцип суперпозиції хвиль. Групова швидкість та її зв'язок із фазовою швидкістю.

Принцип суперпозиції - при поширенні в лінійному середовищі декількох хвиль кожна поширюється так, ніби інші хвилі відсутні, а результуюче зміщення частинки середовища в будь-який момент часу дорівнює геометричній сумі зсувів, які отримують частки, беручи участь у кожному складових хвильових процесів. Групова швидкість – швидкість руху групи хвиль, що утворюють у кожен час у просторі локалізований хвильовий пакет. Швидкість переміщення фази хвилі – фазова швидкість. У недиспергованому середовищі вони збігаються.

? Електромагнітна хвиля та її властивості. Енергія електромагнітних хвиль.

Електромагнітна хвиля - електромагнітні коливання, що розповсюджуються у просторі. Експериментально отримані Герцем в 1880 р. Властивості-можуть поширюватися в середовищах і вакуумі, у вакуумі дорівнює, в середовищах менше, поперечні, E і B взаємноперпендикулярні та перпендикулярні напряму поширення. Інтенсивність збільшується із зростанням прискорення випромінюючої зарядженої частинки, у певних умовах проявляються типові хвильові властивості – дифракції та ін. Об'ємна щільність енергії .

Оптика

Основні формули оптики

Швидкість світла серед:

де c- Швидкість світла у вакуумі;

n- Показник заломлення середовища.

Оптична довжина шляху світлової хвилі:

L = ns,

де s– геометрична довжина шляху світлової хвилі в середовищі з показником заломлення n.

Оптична різниця ходу двох світлових хвиль:

∆ = L 1 – L 2 .

Залежність різниці фаз від оптичної різниці ходу світлових хвиль:

де λ – довжина світлової хвилі.

Умова максимального посилення світла при інтерференції:

∆ = kλ ( = 0, 1, 2, …).

Умова максимального ослаблення світла:

Оптична різниця ходу світлових хвиль, що виникає при відображенні монохроматичного світла від тонкої плівки:

∆ = 2d ,

де d- Товщина плівки;

n- Показник заломлення плівки;

I i- Кут заломлення світла в плівці.

Радіус світлих кілець Ньютона у відбитому світлі:

r k = , (k = 1, 2, 3, …),

де k- Номер кільця;

R- Радіус кривизни.

Радіус темних кілець Ньютона у відбитому світлі:

r k = .

Кут φ відхилення променів, що відповідає максимуму (світла смуга) при дифракції на одній щілині, визначається за умови

a sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

де a- Ширина щілини;

k- Порядковий номер максимуму.

Кутφвідхилення променів, що відповідає максимуму (світла смуга) при дифракції світла на дифракційній решітці, визначається за умови

d sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

де d- Період дифракційної решітки.

Роздільна здатність дифракційної решітки:

R= = kN,

де ∆λ – найменша різниця довжин хвиль двох сусідніх спектральних ліній (λ і λ+∆λ), при якій ці лінії можуть бути окремо окремо в спектрі, отриманому за допомогою даної решітки;

N- Повне число щілин решітки.

Формула Вульфа - Бреггов:

2d sin θ = κ λ,

де θ – кут ковзання (кут між напрямком паралельного пучка рентгенівського випромінювання, що падає на кристал, та атомною площиною в кристалі);

d- Відстань між атомними площинами кристала.

Закон Брюстера:

tg ε B = n 21 ,

де ε B- Кут падіння, при якому промінь, що відбився від діелектрика, повністю поляризований;

n 21 – відносний показник заломлення другого середовища щодо першого.

Закон Малюса:

I = I 0 cos 2 α ,

де I 0 – інтенсивність плоскополяризованого світла, що падає на аналізатор;

I- Інтенсивність цього світла після аналізатора;

α – кут між напрямом коливань електричного вектора світла, що падає на аналізатор, і площиною пропускання аналізатора (якщо коливання електричного вектора падаючого світла збігаються з цією площиною, аналізатор пропускає дане світло без ослаблення).

Кут повороту площини поляризації монохроматичного світла при проходженні через оптично активну речовину:

а) φ = αd(У твердих тілах),

де α - Постійна обертання;

d- Довжина шляху, пройденого світлом в оптично активній речовині;

б) φ = [α]pd(у розчинах),

де [α] - Питоме обертання;

p– масова концентрація оптично активної речовини у розчині.

Тиск світла при нормальному падінні на поверхню:

,

де її- Енергетична освітленість (опроміненість);

ω – об'ємна щільність енергії випромінювання;

ρ-коефіцієнт відображення.

4.2. Поняття та визначення розділу «оптика»

? хвилі інтерференції. Когерентність. Умова максимуму та мінімуму.

Інтерференція – взаємне посилення чи ослаблення когерентних хвиль за її накладенні (когерентні – мають однакову довжину і постійну різницю фаз у точці їх накладання).

Максимум;

мінімум .

Тут D-оптична різниця ходу, l-довжина хвилі.

? Принцип Ґюйгенса-Френеля. Явище дифракції. Дифракція на щілини, дифракційні грати.

Принцип Гюйгенса-Френеля - кожна точка простору, якої досягла хвиля, що в даний момент часу поширюється, стає джерелом елементарних когерентних хвиль. Дифракція – огинання хвилями перешкод, якщо розмір перешкоди можна порівняти з довжиною хвилі, відхилення світла від прямолінійного поширення. Дифракція на щілини – у паралельних променях. На перешкоду падає плоска хвиля, дифракційна картина спостерігається на екрані, який знаходиться у фокальній площині лінзи, що збирає, встановленої на шляху минулого через перешкоду світла. На екрані виходить дифракційне зображення віддаленого джерела світла. Дифракційні грати - система паралельних щілин рівної ширини, що лежать в одній площині, розділених рівними по ширині непрозорими проміжками. Використовується для розкладання світла у спектр та вимірювання довжин хвиль.

? Дисперсія світла (нормальна та аномальна). Закон Бугер. Сенс коефіцієнта поглинання.

Дисперсія світла – залежність абсолютного показника заломлення речовини nвід частоти (або довжини хвилі λ) падаючого на речовину світла (). Швидкість світла у вакуумі не залежить від частоти, тому у вакуумі дисперсії немає. Нормальна дисперсія світла - якщо показник заломлення монотонно зростає зі збільшенням частоти (зменшується зі збільшенням довжини хвилі). Аномальна дисперсія – якщо показник заломлення монотонно зменшується зі збільшенням частоти (зростає зі збільшенням довжини хвилі). Наслідок дисперсії – розкладання білого світла спектр при його заломленні в речовині. Поглинання світла у речовині описується законом Бугера

I 0 та I– інтенсивності плоскої монохроматичної світлової хвилі на вході та виході шару поглинається речовини товщиною х, a - коефіцієнт поглинання, що залежить від довжини хвилі, для різних речовин різний.

? Що називають поляризацією хвиль? Отримання поляризованих хвиль. Закон Малюса.

Поляризація полягає у придбанні переважної орієнтації напрямку коливань у поперечних хвилях. Упорядкованість в орієнтації векторів напруженостей електричних та магнітних полів електромагнітної хвилі у площині, перпендикулярній до напряму поширення світлового променя. E , B -перпендикулярні. Природне світло можна перетворити на поляризований за допомогою поляризаторів. Закон Малюса ( I 0 - пройшов через аналізатор, I- Пройшов через поляризатор).

? Корпускулярно - хвильовий дуалізм. Гіпотеза де Бройлі.

Історично були висунуті дві теорії світла: корпускулярна – тіла, що світяться, випускають частки-корпускули (доказ – випромінювання чорного тіла, фотоефект) і хвильова – тіло, що світиться, викликає в навколишньому середовищі пружні коливання, що поширюються подібно до звукових хвиль у повітрі (доказ – явища і інтер поляризації світла). Гіпотеза Бройля – корпускулярно-хвильові властивості притаманні як фотонам, а й часткам, мають масу спокою – електронам, протонам, нейтронам, атомам, молекулам. ? Фотоефект. Рівняння Ейнштейна.

Фотоефект- явище взаємодії світла з речовиною, у результаті якого енергія фотонів передається електронам речовини. Рівняння: (Енергія фотона витрачається на роботу виходу електрона та повідомлення електрону кінетичної енергії)

Будь-які коливання є рухом зі змінним прискоренням. Відхилення, швидкість і прискорення у разі є функціями часу. Для будь-яких коливань характерна періодичність, тобто. рух повторюється після часу T, що називається тривалістю або періодом коливання. Коливання виникають у випадках, коли системі здатної здійснювати коливання, повідомляється енергія.
Необхідно розрізняти:

Незагасні коливання

Незагасні коливання відбуваються з постійною амплітудою Y m. Передбачається, що в даному випадку енергія, що підводиться, зберігається. Приблизно такі умови мають місце при малих втратах енергії та малому часі спостереження. Для отримання дійсно незагасних коливань необхідно регулярно заповнювати енергію, що втрачається.

Затухаючі коливання

Затухаючі коливання поступово зменшують свою амплітуду Y m. Без поповнення енергії будь-які коливання згасають.

Важливі характеристики коливань

Гармонічні коливання відбуваються згідно із законом:

x = A cos(ω t + φ 0),

де x- Зміщення частки від положення рівноваги, А– амплітуда коливань, ω – кругова частота, φ 0 – початкова фаза, t- Час.

Період коливань T = .

Швидкість частинки, що коливається:

υ = = – Aω sin (ω t + φ 0),

прискорення a = = –Aω 2 cos (ω t + φ 0).

Кінетична енергія частки, що здійснює коливальний рух: E k = =
sin 2 (ω t+ φ 0).

Потенціальна енергія:

E n =
cos 2 (ω t + φ 0).

Періоди коливань маятників

– пружинного T =
,

де m- Маса вантажу, k- Коефіцієнт жорсткості пружини,

– математичного T = ,

де l- Довжина підвісу, g- прискорення вільного падіння,

- фізичного T =
,

де I- момент інерції маятника щодо осі, що проходить через точку підвісу, m- Маса маятника, l- Відстань від точки підвісу до центру мас.

Наведена довжина фізичного маятника перебуває з умови: l np = ,

позначення ті ж, що й для фізичного маятника.

При додаванні двох гармонійних коливань однієї частоти та одного напрямку виходить гармонійне коливання тієї ж частоти з амплітудою:

A = A 1 2 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos(φ 2 – φ 1)

та початковою фазою: φ = arctg
.

де А 1 , A 2 – амплітуди, φ 1 , φ 2 – початкові фази коливань, що складаються.

Траєкторія результуючого руху при складанні взаємноперпендикулярних коливань однієї частоти:

+ – cos (φ 2 - φ 1) = sin 2 (φ 2 - φ 1).

Затухаючі коливання відбуваються згідно із законом:

x = A 0 e - β t cos(ω t + φ 0),

де β – коефіцієнт загасання, сенс інших параметрів той самий, що й гармонійних коливань, А 0 - Початкова амплітуда. У момент часу tамплітуда коливань:

A = A 0 e - β t .

Логарифмічним декрементом згасання називають:

λ = ln
= β T,

де Т- Період коливання: T = .

Добротністю коливальної системи називають:

Рівняння плоскої хвилі, що біжить, має вигляд:

y = y 0 cos ω( t ± ),

де у- Зміщення коливається від положення рівноваги, у 0 – амплітуда, ω – кругова частота, t- Час, х– координата, вздовж якої поширюється хвиля, υ - Швидкість поширення хвилі.

Знак + відповідає хвилі, що поширюється проти осі X, знак «–» відповідає хвилі, що розповсюджується по осі. Х.

Довжиною хвилі називають її просторовий період:

λ = υ T,

де υ -швидкість поширення хвилі, T- Період поширених коливань.

Рівняння хвилі можна записати:

y = y 0 cos 2π (+).

Стояча хвиля описується рівнянням:

y = (2y 0 cos ) cos ω t.

У дужки укладено амплітуда стоячої хвилі. Крапки з максимальною амплітудою називаються пучностями,

xп = n ,

крапки з нульовою амплітудою – вузлами,

xу = ( n + ) .

Приклади розв'язання задач

Завдання 20

Амплітуда гармонійних коливань дорівнює 50 мм, період 4 с і початкова фаза . а) Записати рівняння цього коливання; б) знайти зміщення точки, що коливається від положення рівноваги при t=0 і при t= 1,5; в) накреслити графік цього руху.

Рішення

Рівняння коливання записується як x = a cos( t+  0).

За умовою відомий період коливань. Через нього можна виразити кругову частоту  = . Інші параметри відомі:

а) x= 0,05 cos ( t + ).

б) Зміщення xпри t= 0.

x 1 = 0,05 cos = 0,05 = 0,0355 м-коду.

При t= 1,5 c

x 2 = 0,05 cos ( 1,5 + )= 0,05 cos  = - 0,05 м.

в ) графік функції x=0,05cos ( t + ) виглядає наступним чином:

Визначимо положення кількох точок. Відомі х 1 (0) та х 2 (1,5), і навіть період коливань. Отже, через  t= 4 c значення хповторюється, а через  t = 2 c змінює знак. Між максимумом та мінімумом посередині – 0 .

Завдання 21

Крапка здійснює гармонійне коливання. Період коливань 2, амплітуда 50 мм, початкова фаза дорівнює нулю. Знайти швидкість точки в момент часу, коли її усунення від положення рівноваги дорівнює 25 мм.

Рішення

1 спосіб. Записуємо рівняння коливання точки:

x= 0,05 cos  t, т. до.  = =.

Знаходимо швидкість у момент часу t:

υ = = – 0,05 cos  t.

Знаходимо момент часу, коли зсув дорівнює 0,025 м:

0,025 = 0,05 cos  t 1 ,

звідси cos  t 1 = ,  t 1 = . Підставляємо це значення у вираз для швидкості:

υ = – 0,05  sin = – 0,05  = 0,136 м/с.

2 спосіб. Повна енергія коливального руху:

E =
,

де а– амплітуда,  – кругова частота, m – маса частки.

У кожний момент часу вона складається з потенційної та кінетичної енергії точки

E k = , Eп = , але k = m 2 , отже, Eп =
.

Запишемо закон збереження енергії:

= +
,

звідси отримуємо: a 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 м/с.

Завдання 22

Амплітуда гармонійних коливань матеріальної точки А= 2 см, повна енергія Е= 3∙10 -7 Дж. При якому зміщенні від положення рівноваги на точку, що коливається, діє сила F = 2,25∙10 -5 Н?

Рішення

Повна енергія точки, що здійснює гармонічні коливання, дорівнює: E =
. (13)

Модуль пружної сили виражається через усунення точок від положення рівноваги xнаступним чином:

F = k x (14)

До формули (13) входять маса mі кругова частота , а (14) – коефіцієнт жорсткості k. Але кругова частота пов'язана з mі k:

 2 = ,

звідси k = m 2 та F = m 2 x. Виразивши m 2 із співвідношення (13) отримаємо: m 2 = , F = x.

Звідки і отримуємо вираз для усунення x: x = .

Підстановка числових значень дає:

x =
= 1,5 ∙ 10 -2 м = 1,5 см.

Завдання 23

Крапка бере участь у двох коливаннях з однаковими періодами та початковими фазами. Амплітуди коливань А 1 = 3 см та А 2 = 4 см. Знайти амплітуду результуючого коливання, якщо: 1) коливання відбуваються в одному напрямку; 2) коливання взаємно перпендикулярні.

Рішення

Якщо коливання відбуваються в одному напрямку, то амплітуда результуючого коливання визначиться як:

де А 1 і А 2 – амплітуди коливань, що складаються,  1 і  2 –початкові фази. За умовою початкові фази однакові, отже  2 –  1 = 0, а cos 0 = 1.

Отже:

A =
=
= А 1 +А 2 = 7 див.

Якщо коливання взаємно перпендикулярні, рівняння результуючого руху буде:

cos(2 – 1) = sin 2 (2 – 1).

Оскільки за умовою  2 –  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, то рівняння запишеться у вигляді:
=0,

або
=0,

або
.

Отримане співвідношення між xі уможна зобразити на графіку. З графіка видно, що результуючим буде коливання точки на прямій MN. Амплітуда цього коливання визначиться як: A =
= 5 див.

Завдання 24

Період загасаючих коливань Т=4 с, логарифмічний декремент згасання  = 1,6, початкова фаза дорівнює нулю. Зміщення точки при t = одно 4,5 см. 1) Написати рівняння цього коливання; 2) Побудувати графік цього руху на два періодів.

Рішення

Рівняння загасаючих коливань з нульовою початковою фазою має вигляд:

x = A 0 e -  t cos2 .

Для встановлення числових значень не вистачає величин початкової амплітуди А 0 та коефіцієнта згасання .

Коефіцієнт згасання можна визначити із співвідношення для логарифмічного декременту згасання:

 = Т.

Таким чином  = = = 0,4 з -1.

Початкову амплітуду можна визначити, підставивши другу умову:

4,5 см = A 0
cos 2 = A 0
cos = A 0
.

Звідси знаходимо:

A 0 = 4,5∙

(см) = 7,75 см.

Остаточно рівняння руху:

x = 0,0775
cost.

Завдання 25

Чому дорівнює логарифмічний декремент згасання математичного маятника, якщо за t = 1 хв амплітуда коливань зменшилася вдвічі? Довжина маятника l = 1 м.

Рішення

Логарифмічний декремент згасання можна знайти із співвідношення: =  Т,

де  - коефіцієнт загасання, Т- Період коливань. Власна кругова частота математичного маятника:

 0 =
= 3,13 з -1.

Коефіцієнт загасання коливань можна визначити за умови: A 0 = A 0 e -  t ,

t= ln2 = 0,693,

 =
= 0,0116c -1.

Оскільки <<  0 , то в формуле  =
можна знехтувати порівняно з  0 та період коливань визначити за формулою: T = = 2c.

Підставляємо  і Ту вираз для логарифмічного декременту згасання та отримуємо:

 = T= 0,0116 с -1 ∙ 2 с = 0,0232.

Завдання 26

Рівняння незагасаючих коливань дано у вигляді x= 4 sin600  tдив.

Знайти усунення положення рівноваги точки, що знаходиться на відстані l= 75 см від джерела коливань, через t= 0,01 з після початку коливань. Швидкість поширення коливань υ = 300 м/с.

Рішення

Запишемо рівняння хвилі, що поширюється від джерела: x= 0,04 sin 600 ( t– ).

Знаходимо фазу хвилі в даний момент часу в цьому місці:

t– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0,0075 = 4,5 ,

sin 4,5 = sin = 1.

Отже, зміщення точки x= 0,04 м-код, тобто. на відстані l =75 см від джерела на момент часу t= 0,01 c зміщення точки максимально.

Список літератури

Волькенштейн В.С. Збірник завдань із загального курсу фізики. - СПб.: СпецЛіт, 2001.

Савельєв І.В. Збірник питань та завдань із загальної фізики. - М.: Наука, 1998.

Гармонічні коливання - коливання, які здійснюються за законами синуса та косинуса. На наступному малюнку представлений графік зміни координати точки з часом за законом косинуса.

малюнок

Амплітуда коливань

Амплітудою гармонійного коливання називається найбільше значення усунення тіла від положення рівноваги. Амплітуда може набувати різних значень. Вона залежатиме від того, наскільки ми змістимо тіло в початковий час від положення рівноваги.

Амплітуда визначається початковими умовами, тобто енергією тілу, що повідомляється в початковий момент часу. Так як синус і косинус можуть набувати значення в діапазоні від -1 до 1, то в рівнянні повинен бути множник Xm, що виражає амплітуду коливань. Рівняння руху при гармонійних коливаннях:

x = Xm * cos (ω0 * t).

Період коливань

Період коливань – це час здійснення одного повного коливання. Період коливання позначається буквою Т. Одиниці виміру періоду відповідають одиницям часу. Тобто у СІ – це секунди.

Частота коливань – кількість коливань скоєних за одиницю часу. Частота коливань позначається буквою ν. Частоту коливань можна виразити через період коливання.

ν = 1/Т.

Одиниці вимірювання частоти СІ 1/сек. Ця одиниця виміру отримала назву Герца. Число коливань за час 2*pi секунд дорівнюватиме:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Частота коливань

Ця величина називається циклічною частотою коливань. У деякій літературі трапляється назва кругова частота. Власна частота коливальної системи – частота вільних коливань.

Частота власних коливань розраховується за такою формулою:

Частота своїх коливань залежить від властивостей матеріалу та маси вантажу. Чим більша жорсткість пружини, тим більша частота власних коливань. Чим більша маса вантажу, тим менша частота власних коливань.

Ці два висновки очевидні. Чим жорсткіша пружина, тим більше прискорення вона повідомить тілу, при виведенні системи з рівноваги. Чим більша маса тіла, тим повільніше змінюватиметься ця швидкість цього тіла.

Період вільних коливань:

T = 2 * pi / ω0 = 2 * pi * √ (m / k)

Примітний той факт, що при малих кутах відхилення період коливання тіла на пружині та період коливання маятника не залежатимуть від амплітуди коливань.

Запишемо формули періоду та частоти вільних коливань для математичного маятника.

тоді період дорівнюватиме

T = 2*pi*√(l/g).

Ця формула буде справедлива лише малих кутів відхилення. З формули бачимо, що період коливань зростає із збільшенням довжини нитки маятника. Чим більше буде довжина, тим повільніше тіло коливатиметься.

Від маси вантажу період коливань не залежить. Натомість залежить від прискорення вільного падіння. При зменшенні g період коливань буде збільшуватися. Ця властивість широко використовують на практиці. Наприклад, вимірювання точного значення вільного прискорення.