У рівнянні гармонійного коливання величина стоїть. Рівняння гармонійних коливань. Основи теорії Максвелла для електромагнітного поля

Ми розглянули кілька фізично абсолютно різних систем, і переконалися, що рівняння руху приводяться до однієї і тієї ж формі

Відмінності між фізичними системами виявляються лише в різному визначенні величини і в різному фізичному сенсізмінної x: це може бути координата, кут, заряд, струм і т. д. Відзначимо, що при цьому, як випливає з самої структури рівняння (1.18), величина завжди має розмірність зворотного часу.

Рівняння (1.18) описує так звані гармонійні коливання.

Рівняння гармонійних коливань (1.18) є лінійним диференціальним рівнянням другого порядку (так як воно містить другу похідну від змінної x). Лінійність рівняння означає, що

якщо якась функція x (t)є вирішенням цього рівняння, то функція Cx (t)також буде його рішенням ( C- довільна постійна);

якщо функції x 1 (t)і x 2 (t)є рішеннями цього рівняння, то їх сума x 1 (t) + x 2 (t)також буде рішенням того ж рівняння.

Доведено також математична теорема, згідно з якою рівняння другого порядку має два незалежних рішення. Всі інші рішення, згідно з властивостями лінійності, можуть бути отримані як їх лінійні комбінації. Безпосереднім дифференцированием легко перевірити, що незалежні функції і задовольняють рівняння (1.18). значить, загальне рішенняцього рівняння має вигляд:

де C 1,C 2- довільні постійні. Це рішення може бути представлено і в іншому вигляді. введемо величину

і визначимо кут співвідношеннями:

Тоді загальне рішення (1.19) записується як

Відповідно до формул тригонометрії, вираз в дужках одно

Остаточно приходимо до спільного рішення рівняння гармонійних коливаньу вигляді:

ненегативна величина Aназивається амплітудою коливання, - початковою фазою коливання. Весь аргумент косинуса - комбінація - називається фазою коливання.

Вирази (1.19) і (1.23) абсолютно еквівалентні, так що ми можемо користуватися будь-яким з них, виходячи з міркувань простоти. Обидва рішення є періодичними функціямичасу. Дійсно, синус і косинус періодичні з періодом . Тому різні стани системи, що здійснює гармонічні коливання, повторюються через проміжок часу t *, За який фаза коливання чинить зріст, кратне :

Звідси слідує що

Найменше з цих часів

називається періодом коливань (Рис. 1.8), а - його кругової (циклічної) частотою.

Мал. 1.8.

Використовують також і частоту коливань

Відповідно, кругова частота дорівнює числу коливань за секунд.

Отже, якщо система в момент часу tхарактеризується значенням змінної x (t),то, те ж саме значення, змінна буде мати через проміжок часу (рис.1.9), тобто

Це ж значення, природно, повториться через час 2T, З tі т.д.

Мал. 1.9. період коливань

У загальне рішення входять дві довільні постійні ( C 1, C 2або A, a), Значення яких повинні визначатися двома початковими умовами. Зазвичай (хоча і не обов'язково) їх роль відіграють початкові значення змінної x (0)і її похідної.

Наведемо приклад. Нехай рішення (1.19) рівняння гармонійних коливань описує рух пружинного маятника. Значення довільних постійних залежать від способу, яким ми вивели маятник зі стану рівноваги. Наприклад, ми відтягнули пружину на відстань і відпустили кульку без початкової швидкості. В цьому випадку

підставляючи t = 0в (1.19), знаходимо значення постійної З 2

Рішення, таким чином, має вигляд:

Швидкість вантажу знаходимо диференціюванням за часом

підставляючи сюди t = 0, знаходимо постійну З 1:

остаточно

Порівнюючи з (1.23), знаходимо, що - це амплітуда коливань, а його початкова фаза дорівнює нулю:.

Виведемо тепер маятник з рівноваги іншим способом. Вдаримо по вантажу, так що він придбає початкову швидкість, але практично не зміститься за час удару. Маємо тоді інші початкові умови:

наше рішення має вигляд

Швидкість вантажу буде змінюватися за законом:

Підставами сюди:

коливаннями називають такі процеси, при яких система з більшою або меншою періодичністю багаторазово проходить через положення рівноваги.

Класифікація коливань:

а) за своєю природою (Механічні, електромагнітні, коливання концентрації, температури і т.п.);

б) за формою (Прості = гармонійні; складні, що є сумою простих гармонійних коливань);

в) за ступенем періодичності = Періодичні (характеристики системи повторюються через строго певний проміжок часу (період)) і апериодические;

г) по відношенню до часу (Незгасаючі = з постійною амплітудою; затухаючі = з зменшується амплітудою);

г) по енергетиці - вільні (одноразове надходження енергії в систему ззовні = одноразове зовнішній вплив); вимушені (багаторазове (періодичне) надходження енергії в систему ззовні = періодичне зовнішнє вплив); автоколебания (незгасаючі коливання, що виникають за рахунок наявної у системи здатності регулювати надходження енергії від постійного джерела).

Умови виникнення коливань.

а) Наявність коливальні системи (маятник на підвісі, пружинний маятник, коливальний контур і т.п.);

б) Наявність зовнішнього джерела енергії, який здатний хоча б 1 раз вивести систему з положення рівноваги;

в) Виникнення в системі квазіпружної повертає сили (тобто сили, пропорційної зміщенню);

г) Наявність в системі інерції (инерциального елемента).

Як наочний приклад розглянемо рух математичного маятника. математичним маятникомназивають тіло невеликих розмірів, підвішене на тонкій нерастяжимой нитки, маса якої дуже мала в порівнянні з масою тіла. У положенні рівноваги, коли маятник висить по схилу, сила тяжіння врівноважується силою натягу нитки
. При відхиленні маятника від положення рівноваги на деякий кут α з'являється дотична складова сили тяжіння F=- mg sinα. Знак «мінус» у цій формулі означає, що дотична складова спрямована в бік, протилежний відхиленню маятника. Вона є повертає силою. При невеликих кутах α (близько 15-20 о) ця сила пропорційна зсуву маятника, тобто є квазіпружної, а коливання маятника є гармонічними.

При відхиленні маятника він піднімається на певну висоту, тобто йому повідомляється певний запас потенційної енергії ( Е піт = mgh). При русі маятника до положення рівноваги відбувається перехід потенційної енергії в кінетичну. У момент, коли маятник проходить положення рівноваги, потенційна енергія дорівнює нулю, а кінетична енергія максимальна. За рахунок наявності маси m(Маса - фізична величина, яка визначає інерційні та гравітаційні властивості матерії) маятник проходить положення рівноваги і відхиляється в протилежному напрямку. При відсутності тертя в системі коливання маятника будуть тривати нескінченно довго.

Рівняння гармонійного коливання має вигляд:

x (t) = x m cos (ω 0 t +φ 0 ),

де х- зміщення тіла від положення рівноваги;

x m (А) - амплітуда коливань, тобто модуль максимального зсуву,

ω 0 - циклічна (або кругова) частотаколебаній,

t- час.

Величина, що стоїть під знаком косинуса φ = ω 0 t + φ 0 називається фазоюгармонійного коливання. Фаза визначає зміщення в даний момент часу t. Фазу висловлюють в кутових одиницях (радіанах).

при t= 0 φ = φ 0 , тому φ 0 називають початковою фазою.

Проміжок часу, через який повторюються певні стану коливальної системи, називається періодом коливань T.

Фізична величина, зворотна періоду коливань, називається частотою коливань:
. частота коливань ν показує, скільки коливань відбувається за одиницю часу. Одиниця виміру частоти - герц (Гц) -одноколебаніе в секунду.

частота коливань ν пов'язана з циклічною частотою ω і періодом коливань Tспіввідношеннями:
.

Тобто кругова частота - це число повних коливань, що відбуваються за 2π одиниць часу.

Графічно гармонійні коливання можна зображувати у вигляді залежності хвід t і методом векторних діаграм.

Метод векторних діаграм дозволяє наочно уявити всі параметри, що входять в рівняння гармонійних коливань. Дійсно, якщо вектор амплітуди А розташований під кутом φ до осі х, То його проекція на вісь хбуде дорівнює: x = Acos (φ ) . кут φ і є початкова фаза. якщо вектор Апривести в обертання з кутовий швидкістюω 0, рівної круговій частоті коливань, то проекція кінця вектора буде переміщатися по осі хі набувати значень, що лежать в межах від -Aдо + A, Причому координата цієї проекції буде змінюватися з часом за законом: x(t) = Аcos(ω 0 t+ φ) . Час, за яке вектор амплітуди робить один повний оборот, так само періоду Тгармонійних коливань. Число оборотів вектора в секунду одно частоті коливань ν .

Гармонійні коливання - коливання, при яких фізична величина змінюється з часом за гармонічним (синусоидальному, косинусоидальной) закону. Рівняння гармонійного коливання можна записати таким чином:
X (t) = A ∙ cos (ω t + φ)
або
X (t) = A ∙ sin (ω t + φ)

X - відхилення від положення рівноваги в момент часу t
A - амплітуда коливання, розмірність A збігається з розмірністю X
ω - циклічна частота, рад / c (радіан в секунду)
φ - початкова фаза, радий
t - час, з
T - період коливання, з
f - частота коливань, Гц (Герц)
π - константа, яка дорівнює 3.14, 2π = 6.28

Період коливань, частота в герцах і циклічна частота зв'язані співвідношеннями.
ω = 2πf, T = 2π / ω, f = 1 / T, f = ω / 2π
Щоб запам'ятати ці співвідношення потрібно зрозуміти наступне.
Кожен з параметрів ω, f, T однозначно визначає інші. Для опису коливань досить використовувати якийсь один з цих параметрів.

Період T - час одного коливання, зручно використовувати для побудови графіків коливань.
Циклічна частота ω - використовується для запису рівнянь коливань, дозволяє проводити математичні обчислення.
Частота f - кількість коливань в одиницю часу, застосовується повсюдно. У герцах ми вимірюємо частоту на яку налаштовані радіоприймачі, а також діапазон роботи мобільних телефонів. У герцах вимірюється частота коливань струн, під час налаштування музичних інструментів.

Вираз (ωt + φ) - називається фазою коливання, а величина φ - початковою фазою, так як вона дорівнює фазі коливання в момент часу t = 0.

Функції синуса і косинуса описують відносини сторін в прямокутному трикутнику. Тому багато хто не розуміє, яким чином ці функції пов'язані з гармонійними коливаннями. Цей зв'язок демонструє рівномірно обертається вектор. Проекція рівномірно обертового вектора здійснює гармонійні коливання.
На зображенні нижче, показаний приклад трьох гармонійних коливань. Однакових по частоті, але різних за фазі і по амплітуді.

Рівняння гармонійного коливання

Рівняння гармонійного коливання встановлює залежність координати тіла від часу

Графік косинуса в початковий момент має максимальне значення, а графік синуса має в початковий момент нульове значення. Якщо коливання починаємо досліджувати з положення рівноваги, то коливання буде повторювати синусоїду. Якщо коливання починаємо розглядати з положення максимального відхилення, то коливання опише косинус. Або таке коливання можна описати формулою синуса з початковою фазою.

Зміна швидкості і прискорення при гармонійному коливанні

Не тільки координата тіла змінюється з часом за законом синуса або косинуса. Але і такі величини, як сила, швидкість і прискорення, теж змінюються аналогічно. Сила і прискорення максимальні, коли тіло, що коливається знаходиться в крайніх положеннях, де зсув максимально, і дорівнюють нулю, коли тіло проходить через положення рівноваги. Швидкість, навпаки, в крайніх положеннях дорівнює нулю, а при проходженні тілом положення рівноваги - досягає максимального значення.

Якщо коливання описувати за законом косинуса

Якщо коливання описувати за законом синуса

Максимальні значення швидкості і прискорення

Проаналізувавши рівняння залежності v (t) і a (t), можна здогадатися, що максимальні значення швидкість і прискорення приймають в тому випадку, коли тригонометричний множник дорівнює 1 або -1. Визначаються за формулою

« Фізика - 11 клас »

Прискорення - друга похідна координати за часом.

Миттєва швидкість точки - це похідна координати точки за часом.
Прискорення точки - це похідна її швидкості за часом, або друга похідна координати за часом.
Тому рівняння руху маятника можна записати так:

де х "- друга похідна координати за часом.

При вільних коливаннях координата хзмінюється з часом так, що друга похідна координати за часом прямо пропорційна самої координаті і протилежна їй за знаком.

Гармонійні коливання

З математики: другі похідні синуса і косинуса по їх аргументу пропорційні самих функцій, взятим з протилежним знаком, і ніякі інші функції таким властивістю не володіють.
Тому:
Координата тіла, що здійснює вільні коливання, змінюється з плином часу за законом синуса або косинуса.

періодичні зміни фізичної величинив залежності від часу, що відбуваються за законом синуса або косинуса, називаються гармонійними коливаннями.

амплітуда коливань

амплітудоюгармонійних коливань називається модуль найбільшого зміщення тіла від положення рівноваги.

Амплітуда визначається початковими умовами, а точніше енергією, що повідомляється тілу.

Графік залежності координати тіла від часу являє собою косинусоид.

х = x m cos ω 0 t

Тоді рівняння руху, що описує вільні коливання маятника:

Період і частота гармонійних коливань.

При коливаннях руху тіла періодично повторюються.
Проміжок часу Т, за який система робить один повний цикл коливань, називається періодом коливань.

Частота коливань - це число коливань в одиницю часу.
Якщо одне коливання відбувається за час Т то число коливань за секунду

У Міжнародній системі одиниць (СІ) одиниця частоти називається герцем(Гц) в честь німецького фізикаГ. Герца.

Число коливань за 2π з одно:

Величина ω 0 - це циклічна (або кругова) частота коливань.
Через проміжок часу, рівний одному періоду, коливання повторюються.

частоту вільних коливаньназивають власною частотоюколивальні системи.
Часто для стислості циклічну частоту називають просто частотою.

Залежність частоти і періоду вільних коливань від властивостей системи.

1.для пружинного маятника

Власна частота коливань пружинного маятника дорівнює:

Вона тим більше, чим більше жорсткість пружини k, і тим менше, чим більше маса тіла m.
Жорстка пружина повідомляє тілу більше прискорення, швидше змінює швидкість тіла, а ніж тіло масивніше, тим повільніше воно змінює швидкість під впливом сили.

Період коливань дорівнює:

Період коливань пружинного маятника не залежить від амплітуди коливань.

2.для ниткового маятника

Власна частота коливань математичного маятника при малих кутах відхилення нитки від вертикалі залежить від довжини маятника і прискорення вільного падіння:

Період же цих коливань дорівнює

Період коливань нитяного маятника при малих кутах відхилення не залежить від амплітуди коливань.

Період коливань зростає зі збільшенням довжини маятника. Від маси маятника він не залежить.

Чим менше g, тим більше період коливань маятника і, отже, тим повільніше йдуть годинник з маятником. Так, годинник з маятником у вигляді вантажу на стрижні відстануть за добу майже на 3 с, якщо їх підняти з підвалу на верхній поверх Московського університету (висота 200 м). І це тільки за рахунок зменшення прискорення вільного падіння з висотою.