Площа круга: формула. Чому дорівнює площа кола, описаного і вписаного в квадрат, прямокутний і рівнобедрений трикутник, прямокутну, рівнобедрений трапецію? Як знайти площу кола

Кругом називається частина площини, обмежена колом. Основним показником і для окружності, і для кола є радіус. Якщо він заданий, площа кола можна обчислити по основній формулі S \u003d πR2, де S - площа кола, R - радіус кола, що обмежує коло, а π - константа, рівна 3,14. В умовах задачі може бути дана довжина кола. Вона дорівнює L \u003d 2πR. У цьому випадку спочатку необхідно обчислити радіус, розділивши задану величину L на 2π, тобто скористатися формулою R \u003d L / 2π.

По боках вписаного чотирикутника

В коло, що обмежує коло, може бути вписаний чотирикутник, сума протилежних кутів якого становить 180 °, тобто це квадрат або прямокутник. В цьому випадку діаметр описаного навколо чотирикутника кола є одночасно діагоналлю. Якщо в умовах задані розміри сторін чотирикутника, знайти цю діагональ не складе особливих труднощів, скориставшись теоремою Піфагора. Діагональ ділить квадрат або прямокутник на два прямокутних трикутника, тобто є гіпотенузою кожного з цих трикутників. Відповідно, знайти її можна, склавши квадрати сторін чотирикутника, тобто за формулою d2 \u003d a2 + b2. Щоб знайти площу кола, навіть не потрібно з отриманого результату витягувати квадратний корінь, оскільки R \u003d d / 2. Щоб знайти квадрат радіуса, досить квадрат діаметра розділити на 4.

За параметрами вписаного в коло трикутника

Спосіб вирішення цього варіанту завдання залежить від того, який трикутник вписаний і які його параметри задані. Якщо трикутник прямокутні, алгоритм вирішення буде таким же, як для квадрата або, оскільки сторона, протилежна прямому куті, завжди є діаметром описаної окружності. Якщо дані розміри катетів, зведіть кожен з них в квадрат і знайдіть суму, а потім отриманий результат розділіть на 4 і помножте на число π. Якщо трикутник рівносторонній, доведеться виконати кілька додаткових побудов, щоб в результаті вийшли прямокутні трикутники, параметри яких вам відомі. Наприклад, в коло з центром О вписаний рівносторонній трикутник АВС, сторона якого вам задана. Проведіть висоти AN, ВM і СQ. Розгляньте, наприклад, прямокутний трикутник AQO. Вам відома його гіпотенуза AQ, яка дорівнює половині сторони вихідного трикутника, а також всі кути, так що знайти довжину відрізка AQ, який одночасно є радіусом кола, площа якого вам треба знайти, можна по теоремі синусів або косинусів.

Щоб формула знаходження радіуса вписаного кола в квадрат r була правильно розрахована, необхідно спочатку згадати якими властивостями володіє дана фігура. У квадрата:

• всі кути прямі, тобто, рівні 90 °;
• всі сторони, як і кути, рівні;
• діагоналі рівні, точкою перетину б'ються строго навпіл і перетинаються під кутом 90 °.

При цьому вписана в опуклий багатокутник окружність обов'язково стосується всіх його сторін. позначимо квадрат ABCD, Точку заходу його діагоналей O. Як видно на малюнку 1, перетин ліній АС і ВD дають трикутник АОВ, В якому сторони АТ=ОВ, кути ОАВ=АВО\u003d 45 °, а кут АОВ\u003d 90 °. Тоді радіусом вписаного кола в квадрат буде не що інше, як висота ОЕ отриманого рівнобедреного трикутника АОВ.

Якщо припустити, що сторона квадрата дорівнює у, То формула знаходження радіуса вписаного кола в квадрат буде виглядати наступним чином:

пояснення : В трикутник АОВ висота ОЕ або радіус r ділять підставу АВ навпіл (властивості), утворюючи при цьому прямокутний трикутник з прямим кут ОЕВ. У маленькому трикутнику ЄВО заснування ОВ утворює зі сторонами ОЕ і ЕВ кути по 45 °. значить трикутник ЄВО ще й рівнобедрений. сторони ОЕ і ЕВ рівні.

Для наочності наведемо чисельний приклад знаходження величини радіуса вписаного кола в квадрат зі стороною рівною 13 см. В даному випадку значення вписаного радіусу дорівнюватиме:

Легко вирішити і зворотну задачу. Припустимо, що відомий радіус вписаного кола - 9 см, тоді аналізуючи приклад знаходження величини радіуса вписаного кола в квадрат, можна знайти сторону квадрата:
Знаходимо з цього рівняння невідоме значення: .

Навколо квадрата також можна описати коло. У цьому випадку кожна вершина фігури стосуватиметься окружності. Наступна формула знаходження радіуса описаного кола близько квадрата буде перебувати ще простіше. В цьому випадку R описаного кола дорівнюватиме половині діагоналі квадрата. У буквеному вигляді формула виглядає так (малюнок 2):

пояснення : Після проведення діагоналей ABCD утворилися два однакових прямокутних трикутника АВС = CDA. Розглянемо один з них. У трикутнику CAD:

• кут CDA \u003d 90 °;
• боку AD=CD. Ознака рівнобедреного трикутника;
• кут DAC дорівнює ACD. Вони рівні за 45 °.

Щоб знайти в цьому прямокутному трикутнику гіпотенузу АС, Необхідно скористатися теоремою Піфагора:
, звідси
Оскільки окружність стосується вершин квадрата, а точка перетину його діагоналей є центром описаного кола (властивості), то відрізок ОС і буде радіусом окружності. Він є половинкою гіпотенузи. Це твердження випливає з властивостей рівнобедреного трикутника або властивостей діагоналей квадрата. Тому формула знаходження радіуса описаного кола близько квадрата в нашому випадку має такий вигляд:

оскільки AD=CD, А властивості квадратного кореня дозволяють винести одне з підкореневих виразів, тоді формула набуває вигляду:

Чисельний приклад знаходження величини радіуса описаного кола близько квадрата буде таким.
Припустимо, що діагональ квадрата дорівнює, тоді:

Коло - це видима сукупність безлічі точок, які знаходяться на однаковій відстані від центру. Щоб знайти його площа, необхідно знати, що таке радіус, діаметр, число π і окружність.

Величини, що беруть участь в розрахунку площі круга

Відстань, обмежене центральною точкою кола і будь-який з точок кола, називається радіусом цієї геометричної фігури. Довжини всіх радіусів одного кола однакові. Відрізок між 2 будь-якими точками кола, який проходить через центральну точку, називається діаметром. Довжина діаметра дорівнює довжині радіуса, помноженої на 2.

Для підрахунку площі кола застосовується значення числа π. Ця величина дорівнює відношенню довжини кола до довжини діаметра кола і має незмінне значення. Π \u003d 3,1415926. Довжина кола вираховується за формулою L \u003d 2πR.

Знайти площу круга через радіус

Отже, площа кола дорівнює добутку числа π на радіус кола, зведений у 2 ступінь. Як приклад візьмемо довжину радіусу кола дорівнює 5 см. Тоді площа кола S дорівнюватиме 3,14 * 5 ^ 2 \u003d 78,5 кв. см.

Площа круга через діаметр

Площа круга можна також підрахувати, знаючи величину діаметра кола. В такому випадку S \u003d (π / 4) * d ^ 2, де d - діаметр кола. Візьмемо той же приклад, де радіус дорівнює 5 см. Тоді його діаметр буде дорівнює 5 * 2 \u003d 10 см. Площа круга S \u003d 3,14 / 4 * 10 ^ 2 \u003d 78,5 кв.см. Результат, рівний підсумку обчислень в першому прикладі, підтверджує правильність розрахунків в обох випадках.

Площа круга через довжину кола

Якщо радіус кола уявити через довжину кола, то формула буде мати такий вигляд: R \u003d (L / 2) π. Підставами цей вислів в формулу площі круга і в результаті отримаємо S \u003d (L ^ 2) / 4π. Розглянемо приклад, в якому довжина кола дорівнює 10 см. Тоді площа кола S \u003d (10 ^ 2) / 4 * 3,14 \u003d 7,96 кв. см.

Площа круга через довжину сторони вписаного квадрата

Якщо в коло вписаний квадрат, то довжина діаметра кола дорівнює довжині діагоналі квадрата. Знаючи величину сторони квадрата, можна легко дізнатися діаметр кола за формулою: d ^ 2 \u003d 2a ^ 2. Іншими словами діаметр у 2 ступеня дорівнює стороні квадрата в 2 ступеня, помноженої на 2.

Обчисливши значення довжини діаметра кола, можна дізнатися і його радіус, після чого скористатися однією їх формул визначення площі кола.

Площа сектора кола

Сектор - це частина круга, обмежена 2 радіусами і дугою між ними. Щоб дізнатися його площа, потрібно виміряти кут сектора. Після цього необхідно скласти дріб, у чисельнику якого буде значення кута сектора, а в знаменнику - 360. Щоб вирахувати площу сектора, значення, отримане в результаті поділу дробу, потрібно помножити на площу кола, обчислену по одній з перерахованих вище формул.

Читайте статтю, щоб знати, як знаходити площа квадрата різними способами.

Квадрат - це рівносторонній прямокутник. У даного правильного і плоского чотирикутника рівність у всіх сторонах, кутах і діагоналях. Через те що існує така рівність, формула для обчислення площі та інших характеристик, трохи видозмінюється в порівнянні з іншими математичними фігурами. Але це не робить завдання занадто складними. Давайте розберемо все формули і рішення задач в цій статті.

Площа S прямого і квадратного кутників обчислюється за формулою: a помножити на b. Але так як у квадрата повну рівність сторін, то його площа буде дорівнює: S \u003d (a) в другому ступені. Як дізнатися величину сторони квадрата, знаючи його площу?

• Якщо відома площа квадратного кутника, то сторону знаходимо шляхом обчислення площі з-під квадратного кореня.
• Наприклад, площа кутника дорівнює 49, то чому дорівнює сторона?
• 49 \u003d (а) в другому ступені. Рішення: а \u003d корінь з 49 \u003d 7. Відповідь: 7.

Якщо потрібно знайти сторону квадратного кутника, площа якого складається занадто довгого числа, тоді скористайтеся калькулятором. Наберіть спочатку число площі, а потім натисніть знак кореня на клавіатурі калькулятора. Число, що вийшло і буде відповіддю.

У цьому прикладі будемо використовувати теорему Піфагора. У квадрата всі сторони рівні, а діагональ d ми будемо розглядати як гіпотенузу прямокутного рівнобедреного трикутника з катетом а. Тепер знаходимо діагональ квадрата, якщо відома його площа:

• Щоб не розписувати всю теорему Піфагора будемо вирішувати за другим варіантом: d \u003d a√2, де а - це сторона квадрата.
• Отже, нам відома площа квадрата, наприклад, вона дорівнює 64. Значить одна сторона а \u003d √64 \u003d 8.
• виходить d \u003d 8√2. Корінь з 2 не виходить цілим числом, тому у відповіді можна написати саме так: d \u003d 8√2. Але, якщо хочеться обчислити значення, тоді скористайтеся калькулятором: √2 \u003d +1,41421356237 і помножте на 8, виходить 11, 3137084.

важливо: Зазвичай в математиці не залишають у відповіді цифри з великою кількістю чисел після коми. Потрібно округляти або залишити з коренем. Тому відповідь на знаходження діагоналі, якщо площа дорівнює 64 буде таким: d \u003d 8√2.

Формула знаходження площі квадрата через діагональ проста:

Тепер напишемо рішення по знаходженню площі квадрата через діагональ:

• Діагональ d \u003d 8.
• 8 в квадраті дорівнює 64.
• 64 розділити на 2 дорівнює 32.
• Площа квадрата дорівнює 32.

Порада: У цій задачі є ще одне рішення через теорему Піфагора, але воно більш складне. Тому використовуйте рішення, яке ми розглянули.

Периметр квадратного кутника P - це сума всіх сторін. Щоб знайти його площа, знаючи його периметр, потрібно спочатку вирахувати сторону квадратного кутника. Рішення:

• Припустимо периметр дорівнює 24. Ділимо 24 на 4 сторони, виходить 6 - це одна сторона.
• Тепер використовуємо формулу знаходження площі, знаючи чому дорівнює сторона квадратного кутника: S \u003d а в квадраті, S \u003d 6 в квадраті \u003d 36.
• відповідь: 36

Як бачите, знаючи периметр квадрата, просто знайти його площу.

радіус R - це половина діагоналі квадрата, вписаного в коло. Тепер можемо знайти діагональ за формулою: d \u003d 2 * R. Далі знаходимо площа квадрата вписаного в коло з заданим радіусом:

• Діагональ дорівнює 2 помножити на радіус. Наприклад радіус дорівнює 5, тоді діагональ дорівнює 2*5=10 .
• Вище було описано, як знаходити площа квадрата, якщо відома діагональ: S \u003d діагональ в квадраті розділити на 2. S \u003d 10 * 10 і розділити на 2 \u003d 50.
• відповідь - 50 .

Це завдання трохи складніше, але теж легко вирішується, якщо знати всі формули.

На зображенні видно, що радіус вписаного кола дорівнює половині сторони. Сторона знаходиться за формулою зворотного тієї, яка зображена на зображенні: а \u003d 2 * r. Потім вже знаходимо площа квадрата описаного близько окружності з заданим радіусом по формулі S \u003d а в квадраті. Рішення:

• Припустимо, радіус дорівнює 7. Сторона квадрата а дорівнює 2 * 7 \u003d 14.
• S \u003d 14 в квадраті \u003d 196.

Якщо зрозуміти суть рішення подібних завдань, то можна вирішувати їх швидко і просто. Давайте розглянемо ще кілька прикладів.

Приклади розв'язання задач на тему «Площа квадрата»

Щоб закріпити пройдений матеріал і запам'ятати все формули, необхідно вирішити кілька прикладів завдань на тему «Площа квадрата». Починаємо з простого завдання і рухаємося до вирішення складніших: Приклади розв'язання складних задач на тему «Площа квадрата»

Тепер ви знаєте, як користуватися формулою площі квадрата, а значить, вам будь-яке завдання під силу. Успіхів у подальшому навчанні!

Відео: Обчислення площі квадрата

Як знайти площу кола? Спочатку знайдіть радіус. Вчіться вирішувати прості і складні завдання.

Коло - це замкнута крива. Будь-яка точка на лінії окружності буде перебувати на однаковій відстані від центральної точки. Коло - це плоска фігура, тому вирішувати завдання з перебуванням площі просто. У цій статті ми розглянемо, як знайти площу кола, вписаного в трикутник, трапецію, квадрат, і описаного близько цих фігур.

Щоб знайти площу даної фігури, потрібно знати, що таке радіус, діаметр і число π.

радіус R - це відстань, обмежену центром кола. Довжини всіх R-радіусів одному колі будуть рівними.

Діаметр D - це лінія між двома будь-якими точками кола, яка проходить через центральну точку. Довжина цього відрізка дорівнює довжині R-радіусу, помноженої на 2.

число π - це незмінна величина, яка дорівнює 3,1415926. В математиці зазвичай це число округляється до 3,14.

Формула знаходження площі круга через радіус:

Приклади розв'язання завдань по знаходженню S-площі кола через R-радіус:

завдання: Знайдіть площу кола, якщо її радіус дорівнює 7 см.

Рішення: S \u003d πR², S \u003d 3,14 * 7², S \u003d 3,14 * 49 \u003d 153,86 см².

відповідь: Площа кола дорівнює 153,86 см².

Формула знаходження S-площі кола через D-діаметр:

Приклади розв'язання завдань по знаходженню S, якщо відомий D:

————————————————————————————————————————-

завдання: Знайдіть S кола, якщо його D дорівнює 10 см.

Рішення: P \u003d π * d² / 4, P \u003d 3,14 * 10² / 4 \u003d 3,14 * 100/4 \u003d 314/4 \u003d 78,5 см².

відповідь: Площа плоскої круглої фігури дорівнює 78,5 см².

Знаходження S кола, якщо відома довжина кола:

Спочатку знаходимо, чому дорівнює радіус. Довжина кола розраховується за формулою: L \u003d 2πR, відповідно радіус R буде дорівнює L / 2π. Тепер знаходимо площа кола по формулі через R.

Розглянемо рішення на прикладі задачі:

———————————————————————————————————————-

завдання: Знайдіть площу круга, якщо відома довжина кола L - 12 см.

Рішення: Спочатку знаходимо радіус: R \u003d L / 2π \u003d 12/2 * 3,14 \u003d 12 / 6,28 \u003d 1,91.

Тепер знаходимо площа через радіус: S \u003d πR² \u003d 3,14 * 1,91² \u003d 3,14 * 3,65 \u003d 11,46 см².

відповідь: Площа круга дорівнює 11,46 см².

Знайти площу круга, вписаного в квадрат просто. Сторона квадрата - це діаметр кола. Щоб знайти радіус, потрібно сторону розділити на 2.

Формула знаходження площі круга, вписаного в квадрат:

Приклади розв'язання задач по знаходженню площі кола, вписаного в квадрат:

———————————————————————————————————————

Завдання №1: Відома сторона квадратної фігури, яка дорівнює 6 сантиметрів. Знайдіть S-площа вписаного кола.

Рішення: S \u003d π (a / 2) ² \u003d 3,14 (6/2) ² \u003d 3,14 * 9 \u003d 28,26 см².

відповідь: Площа плоскої круглої фігури дорівнює 28,26 см².

————————————————————————————————————————

завдання №2Знайдіть S кола, вписаного в квадратну фігуру і його радіус, якщо одна сторона дорівнює a \u003d 4 см.

вирішуйте так: Спочатку знайдемо R \u003d a / 2 \u003d 4/2 \u003d 2 см.

Тепер знайдемо площа кола S \u003d 3,14 * 2² \u003d 3,14 * 4 \u003d 12,56 см².

відповідь: Площа плоскої круглої фігури дорівнює 12,56 см².

Трохи складніше знаходити площа круглої фігури, описаного навколо квадрата. Але, знаючи формулу, можна швидко підрахувати дане значення.

Формула знаходження S кола, описаного близько квадратної фігури:

Приклади розв'язання завдань по знаходженню площі кола, описаного навколо квадратної фігури:

завдання

Окружність, яка вписана в трикутну фігуру - це коло, який стосується всіх трьох сторін трикутника. У будь-яку трикутну фігуру можна вписати коло, але тільки один. Центром кола буде точка перетину биссектрис кутів трикутника.

Формула знаходження площі круга, вписаного в трикутник:

Коли буде відомий радіус, площа можна обчислити за формулою: S \u003d πR².

Формула знаходження площі круга, вписаного в прямокутний трикутник:

Приклади розв'язання завдань:

завдання №1

Якщо в цьому завданні потрібно знайти ще й площа кола з радіусом 4 см, то зробити це можна за формулою: S \u003d πR²

завдання №2

Рішення:

Тепер, коли відомий радіус, можна знайти площу кола через радіус. Формулу дивіться вище по тексту.

завдання №3

Площа круга, описаного близько прямокутного і рівнобедреного трикутника: формула, приклади розв'язання задач

Всі формули по знаходженню площі кола зводяться до того, що спочатку потрібно знайти його радіус. Коли відомий радіус, то знайти площу просто, як було описано вище.

Площа круга, описаного близько прямокутного і рівнобедреного трикутника знаходиться за такою формулою:

Приклади розв'язання задач:

Ось ще приклади розв'язання задач з використанням формули Герона.

Вирішувати такі завдання складно, але їх можна осилити, якщо знати всі формули. Такі завдання школярі вирішують в 9 класі.

Площа круга, вписаного в прямокутну і рівнобедрений трапецію: формула, приклади розв'язання задач

У рівнобедреної трапеції дві сторони рівні. У прямокутної трапеції один кут дорівнює 90º. Розглянемо, як знайти площу кола, вписаного в прямокутну і рівнобедрений трапецію на прикладі рішення задач.

Наприклад, в рівнобедрений трапецію вписане коло, яка в точці дотику ділить одну сторону на відрізки m і n.

Для вирішення цього завдання потрібно використовувати такі формули:

Знаходження площі кола, вписаного в прямокутну трапецію, проводиться за такою формулою:

Якщо відома бічна сторона, то можна знайти радіус через це значення. Висота бічної сторони трапеції дорівнює діаметру кола, а радіус - це половина діаметру. Відповідно, радіус дорівнює R \u003d d / 2.

Приклади розв'язання задач:

Трапецію можна вписати в коло, коли сума її протилежних кутів дорівнює 180º. Тому вписати можна тільки равнобокой трапецію. Радіус для обчислення площа кола, описаного близько прямокутної або рівнобедреної трапеції, розраховується за такими формулами:

Приклади розв'язання задач:

Рішення: Велике підставу в даному випадку проходить через центр, так як в окружність вписана рівнобедрена трапеція. Центр ділить це підстава рівно навпіл. Якщо основа АС дорівнює 12, тоді радіус R можна знайти так: R \u003d 12/2 \u003d 6.

відповідь: Радіус дорівнює 6.

В геометрії важливо знати формули. Але все їх неможливо запам'ятати, тому навіть на багатьох іспитах дозволяється користуватися спеціальним формуляром. Однак важливо вміти знаходити правильну формулу для вирішення того чи іншого завдання. Тренуйтеся у вирішенні різних завдань на знаходження радіуса і площі кола, щоб вміти правильно підставляти формули і отримувати точні відповіді.

Відео: Математика | Обчислення площ кола і його частин