Властивості періодичних функцій. Періодична функція Яка функція називається періодичною приклади

Повторює свої значення через деякий регулярний інтервал аргументу, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргументу деякого фіксованого ненульового числа ( періоду функції) на всій області визначення.

Говорячи більш формально, функція називається періодичною з періодом T ≠ 0 (\\ displaystyle T \\ neq 0), Якщо для кожної точки x (\\ displaystyle x) з її області визначення точки x + T (\\ displaystyle x + T) і x - T (\\ displaystyle x-T) також належать її області визначення, і для них виконується рівність f (x) \u003d f (x + T) \u003d f (x - T) (\\ displaystyle f (x) \u003d f (x + T) \u003d f (x-T)).

Виходячи з визначення, для періодичної функції справедливо також рівність f (x) \u003d f (x + n T) (\\ displaystyle f (x) \u003d f (x + nT)), де n (\\ displaystyle n) - будь-яке ціле число.

Однак якщо у безлічі періодів (T, T\u003e 0, T ∈ R) (\\ displaystyle \\ (T, T\u003e 0, T \\ in \\ mathbb (R) \\)) є найменше значення, то воно називається основним (або головним) періодом функції.

приклади

Sin \u2061 (x + 2 π) \u003d sin \u2061 x, cos \u2061 (x + 2 π) \u003d cos \u2061 x, ∀ x ∈ R. (\\ Displaystyle \\ sin (x + 2 \\ pi) \u003d \\ sin x, \\; \\ cos (x + 2 \\ pi) \u003d \\ cos x, \\ quad \\ forall x \\ in \\ mathbb (R).)

• Функція Діріхле є періодичною, її періодом є будь-який ненульовий раціональне число. Основного періоду вона також не має.

Деякі особливості періодичних функцій

і T 2 (\\ displaystyle T_ (2)) (Проте просто періодом це число буде). Наприклад, у функції f (x) \u003d sin \u2061 (2 x) - sin \u2061 (3 x) (\\ displaystyle f (x) \u003d \\ sin (2x) - \\ sin (3x)) основний період дорівнює 2 π (\\ displaystyle 2 \\ pi), У функції g (x) \u003d sin \u2061 (3 x) (\\ displaystyle g (x) \u003d \\ sin (3x)) період дорівнює 2 π / 3 (\\ displaystyle 2 \\ pi / 3), А у їх суми f (x) + g (x) \u003d sin \u2061 (2 x) (\\ displaystyle f (x) + g (x) \u003d \\ sin (2x)) основний період, очевидно, дорівнює π (\\ displaystyle \\ pi).

• Сума двох функцій з несумірними періодами не завжди є неперіодичної функцією.

УДК 517.17 + 517,51

ПЕРІОД СУМИ ДВОХ періодичних ФУНКЦІЙ

А / О. Евнін

У роботі повністю вирішене питання, яким може бути основною період періодичної функції, що є сумою двох періодичних функцій з відомими основними періодами. Вивчається також випадок відсутності основного періоду у періодичній суми періодичних функцій.

Ми розглядаємо действітельнозначние функції дійсної змінної. В енциклопедичному виданні в статті «Періодичні функції» можна прочитати: «Сума періодичних функцій з різними періодами є періодичної тільки тоді, коли їх періоди співмірні». Це твердження справедливе для безперервних функцій1, але не має місця в загальному випадку. Контрприклад досить загального вигляду був побудований в. У даній статті ми з'ясовуємо, яким може бути основною період періодичної функції, що є сумою двох періодичних функцій з відомими основними періодами.

попередні відомості

Нагадаємо, що функція / називається періодичної, якщо для деякого числа Т Ф О при будь-якому х з області визначення D (f) числа х + Т і х - Т належать D (f) і виконуються рівності f (x + T) \u003d f ( x) \u003d f (x ~ Т). При цьому число Г називають періодом функції.

Найменший позитивний період функції (якщо, звичайно, він існує) будемо називати основним періодом. Відомий такий факт.

Теорема 1. Якщо у функції є основною період Те, то будь-який період функції має вигляд ПТО, де п Ф 0 - ціле число.

Числа Т \\ і Т2 називають порівнянними, якщо існує таке число Т 0, яке ціле число раз «вкладається» і в Т \\, і в Т2: Т \\ \u003d Т2 \u003d п2Т0, щ, п2е Z. В іншому випадку числа Т \\ і Т2 називають непорівнянними. Соизмеримость (несумірність) періодів означає, таким чином, що їх ставлення є число раціональне (ірраціональне).

З теореми 1 випливає, що у функції, що має основний період, будь-які два періоди співмірні.

Класичним прикладом функції, не має найменшого періоду, є функція Діріхле, що дорівнює 1 в раціональних точках, і нулю - в ірраціональних. Будь-яке раціональне число, відмінне від нуля, є періодом функції Дирихле, а будь-який ірраціональне число не є її періодом. Як бачимо, і тут будь-які два періоди співмірні.

Наведемо приклад непостійній періодичної функції, що має несумірні періоди.

Нехай функція / (х) в точках виду / і + ла / 2, m, п е Z, дорівнює 1, а в інших точках дорівнює

нулю. Серед періодів цієї функції є 1 і л

Період суми функцій з порівнянними періодами

Теорема 2. Нехай fug- періодичні функції з основними періодами тТ0 і «Те, де тип

Взаємно прості числа. Тоді основний період їх суми (якщо він існує), дорівнює -

де до - натуральне число, взаємно просте з числом тп.

Доведення. Нехай h \u003d / + g. Очевидно, що число тпТ0 є періодом h. В силу

теореми 1 основний період h має вигляд-де до- деяке натуральне число. припустити

жим, що до не є взаємно простим з числом m, тобто до - dku m \u003d dm \\, \u200b\u200bде d\u003e 1 - най-

1 Красиве доказ того, що сума будь-якого кінцевого числа безперервних функцій з попарно несумірними періодами неперіодичних, міститься в статті Див. Також.

більший загальний дільник чисел т і к. Тоді період функції до дорівнює

а функція f \u003d h-g

має період mxnTо, який не є кратним її основного періоду mTQ. Отримано протиріччя з теоремою 1. Значить, до взаємно просто з т. Аналогічно, взаємно простими є числа до і п. Таким чином, А: взаємно просто з тп. □

Теорема 3. Нехай т, п і до ~ попарно взаємно прості числа, а Т0 - позитивне число. Тоді існують такі періодичні функції fug, що основні періоди f, g і (f + g) рае-

ни відповідно ТТ $, nTQ и-

Доведення. Доказ теореми буде конструктивним: ми просто побудуємо відповідний приклад. Попередньо сформулюємо наступний результат. Затвердження. Нехай т - взаємно прості числа. тоді функції

fx - cos- + cos --- і f2 \u003d cos- m n m

cos- мають основним періодом число 2КТП. п

Доведення твердження. Очевидно, що число 2птп є періодом обох функцій. Легко можна перевірити, що цей період основний для функції Знайдемо її точки максимуму.

х \u003d 2лМ, te Z.

Маємо \u003d п !. З взаємної простоти тип слід, що 5 кратно / г, тобто я \u003d I е'. Значить, / г (х) \u003d 2 про х \u003d 2тстп1,1 е 2, а відстань між сусідніми точками максимуму функції / \\ одно 2КТП, і позитивний період / 1 не може бути меншою за кількість 2 ШПП.

Для функції ^ застосуємо міркування іншого роду (які підходять і для функції / ь але

проте елементарні). Як показує теорема 1, основний період Г функції / 2 має вигляд -,

де до- деяке натуральне число, взаємно просте з тип. Число Гбудет і періодом функції

(2 ^ 2 хп г т т / 2 + / 2 \u003d - -1 cos

всі періоди якої мають вигляд 2пп1. Отже,

2nnl, тобто т \u003d kl. Так як т і до взаємно про-

сти, це означає, що до \u003d 1.

Тепер для доведення теореми 3 можна побудувати шуканий приклад. Приклад. Нехай т, п і до - попарно взаємно прості числа і хоча б одне з чисел п або до відмінно від 1. Тоді пф до верб силу доведеного твердження функції

/ (Х) \u003d cos --- + cos- т до

І g (x) \u003d cos-cos - п до

мають основні періоди 2 ЛТК і 2 тк відповідно, а у їх суми

до (х) \u003d f (x) + \u003d cos- + cos-

основний період дорівнює 2 ТТП.

Якщо ж п \u003d к \u003d 1, то підійде пара функцій

f (x) -2 cos- + COS X і g (x) - COS X. m

Їх основні періоди, а також період функції до (х) - 2 рівні відповідно 2лм, 2 / ги 2тіп.

як легко перевірити.

Математика

Позначимо Т \u200b\u200b\u003d 2лк. Для довільних попарно взаємно простих чисел тп, п і до вказані функції / і £ такі, що основні періоди функцій /, g і / + g рівні відповідно ТТ, пт і

Умовою теореми задовольняють функції / - л;

Період суми функцій з несумірними періодами

Наступне твердження майже очевидно.

Теорема 4. Нехай fug- періодичні функції з непомірними основними періодами Т) і Т2, а сума цих функцій h \u003d f + g періодична і має основний період Т. Тоді число Т незрівнянно ні з Т], ні з Т2.

Доведення. З одного боку, якщо числа ТНТ) сумірні, то функція g \u003d h-f має період, сумірний з Г]. З іншого боку, в силу теореми 1 будь-який період функції g кратний числу Т2. Отримуємо протиріччя з неспівмірністю чисел Т \\ і Т2. Несумірність чисел Т і Т2 доводиться аналогічно, d

Чудовим, і навіть в деякому роді дивним, є той факт, що справедливо і твердження, зворотне до теоремі 4. Широко поширена помилка про те, що сума двох періодичних функцій з несумірними періодами не може бути функцією періодичної. Насправді ж це не так. Більш того, період суми може бути будь-яким позитивним числом, що задовольняє твердженням теореми 4.

Теорема 5. Нехай Т \\, Т2іТ ~ попарно непорівнянні позитивні числа. Тоді існують такі періодичні функції fug, що їх сума h \u003d / + g періодична, а основні періоди функцііf guhравни відповідно Th Т2 і Т.

Доведення. Доказ знову буде конструктивним. Наші побудови будуть істотно залежати від того, представимо або НЕ представимо число Т у вигляді раціональної комбінації Т \u003d аТ \\ + Рт2 (а і Р - раціональні числа) періодів Т \\ і Т2.

I. Т не є раціональною комбінацією Тг і J2-

Нехай А \u003d (mT \\ + пТ2 + kT \\ m, n, k е Z) - безліч цілих лінійних комбінацій чисел гь Т2 і Т. Відзначимо відразу, що якщо число представимо у вигляді смт \\ + пТ2 + кТ, то таке подання єдино . Дійсно, якщо ТХТ \\ + п \\ Тг + к \\ Т m2Tx + п2Т2 + к2Т9 то

(К) - к2) Т- (від 2 - т \\) Т] + (п2 - щ) Т'і при до \\ * к2 отримуємо, що Т раціонально виражається через Т] і Т2. Значить, до \\ \u003d к2. Тепер з неспівмірності чисел Т \\ і Т2 безпосередньо виходять рівності т \\ \u003d т2 і щ \u003d п2.

Важливим є той легко перевіряється факт, що безлічі А і додаток до нього А замкнуті щодо додавання чисел з А: якщо х е А і у е А, то х + у е А; якщо х е А і у е А, тох + у е А.

Покладемо, що у всіх точках безлічі А функції / і g дорівнюють нулю, а на безлічі А поставимо ці функції наступним чином:

f (mTi + пТ2 + кТ) \u003d пТ2 + кТ g (mT1 + пТ2 + кТ) - ГПТ \\ - кТ.

Оскільки, як було показано, по числу х е А коефіцієнти т, пік лінійної комбінації періодів гь Т2 і Г відновлюються однозначно, зазначені завдання функцій / і g коректні.

Функція h \u003d / + g на безлічі А дорівнює нулю, а в точках безлічі А дорівнює

h (mT \\ + пТ2 + кТ) - тт \\ + пТ2.

Безпосередньою підстановкою легко переконатися, що число Т \\ - період функції f число Т2 - період g, а Т ~ період h. Покажемо, що ці періоди - основні.

Спочатку відзначимо, що будь-який період функції / належить множині А. Дійсно,

якщо 0 ФГ в А, у е А, т ох + у е А і f (x + y) \u003d 0 * f (x). Значить, у е А - трохи період функції /

Нехай тепер не рівні один одному числах \\, х2 належать ^ і f (x 1) ~ f (x2). З визначення функції / звідси отримуємо, що х \\ - х2 \u003d 1ть де I- деякий нульове ціле число. Стало бути, будь-який період функції / кратний Т \\. Таким чином, Тх - дійсно основний період /

Точно так же перевіряються твердження щодо Т2 і Т.

Зауваження. У книзі на с. 172-173 наводиться інша загальна конструкція для випадку I.

II. Т раціональна комбінація Т \\ і Т2.

Уявімо раціональну комбінацію періодів Т \\ і Т2 у вигляді Г \u003d - (кхТх + к2Т2), де кх і

к2 ™ взаємно прості цілі числа, до (Г \\ + к2Т2\u003e 0, а /? і д - натуральні числа. Введемо в розглянь, лeZ\u003e.

ширення безліч В ----

Покладемо, що у всіх точках безлічі В функцііfіg дорівнюють нулю, а на безлічі У задамо ці функції наступним чином:

^ ТТ \\ + пТ2 Л Я

^ MTx + пТ2 Л

Тут, як завжди, [х] і (х) позначають відповідно цілу і дробову частину числа. Функція к \u003d / + д на безлічі У дорівнює нулю, а в точках безлічі В дорівнює

fmTx + пт: л Ч

Безпосередньою підстановкою нескладно перевірити, що число Тх - період функції /, число Т2 - період g, а Т- період h. Покажемо, що ці періоди - основні.

Будь період функції / належить множині В. Дійсно, якщо 0 * х е В, у е В, то f (x) Ф 0, j (x + y) \u003d 0 * / (*) ■ Значить, у е В _ Чи не період функції /

Отже, всякий період функції / має вигляд Ту \u003d

Де 5i і 52 - цілі числа. нехай

х \u003d -7] 4 -Г2, х е 5. Якщо я \u003d 0, то / (я) - раціональне число. Тепер з раціональності всіх / (х + 7)) випливає рівність -I - I - 0. Значить, маємо рівність 52 \u003d Хр, де X - деякий ціле

число. Співвідношення / (х + 7)) \u003d / (х) набуває вигляду

^ П + I + I ш +

Дане рівність має виконуватися при всіх цілих тип. При т-п ~ 0 права частина (1) рав-

на нулю. Оскільки дробові частини невід'ємні, отримуємо звідси, що -<0, а при

т \u003d п \u003d д -] сума дрібних частин в правій частині рівності (1) не менше суми дрібних годину-X

тей зліва. Значить, -\u003e 0. Таким чином, X \u003d 0 і 52 \u003d 0. Тому період функції / має вигляд

а рівність (1) переходить в

п \\ | і 52 - цілі числа. з співвідношень

й (0) \u003d 0 \u003d й (ГА) \u003d

отримуємо, що числа 51 і ^ повинні бути кратні р, тобто при деяких цілих Лх і Л2 маємо 51 \u003d Л \\ р, Е2 \u003d Л2р. Тоді співвідношення (3) можна переписати у вигляді

З рівності Л2кх \u003d к2Л \\ і взаємної простоти чисел до \\ і к2, випливає, що Л2 ділиться на к2. Звідси

для деякого цілого числа t справедливі рівності Л2 \u003d k2t і Лх ~ kxt, тобто Th ~ - (кхТх + к2Т2).

Показано, що будь-який період функції h кратний періоду Т \u003d - (до (Гх + к2Т2) 9 який, таким обра-

зом, є основним. □

Відсутність основного періоду

Теорема 6. Нехай Тх і Т2 ~ - довільні позитивні числа. Тоді існують такі періодичні функції fug, що їх основні періоди дорівнюють відповідно Т \\ і Т2, а їх сума h \u003d f + g періодична, але не має основного періоду.

Доведення. Розглянемо два можливих випадки.

I. Періоди Тх і Т2 несумірні.

Нехай A \u003d + пТ2 + kT \\. Як і вище, легко показати, що якщо число

представимо у вигляді ТТХ + пТ2 + кТ, то таке подання єдино.

Покладемо, що у всіх точках безлічі А функції / і g дорівнюють нулю, а на безлічі А поставимо ці функції наступним чином:

/ Від; + ПТ2 + кТ) \u003d пТ2 + кТ, g (mTx + пТ2 + кТ) \u003d ТТХ - кТ.

Нескладно переконатися в тому, що число Тх - основний період функції /, число Т2 - основний період g, і при будь-якому раціональному до число кТ - період функції h - f + g, у якій, таким чином, немає найменшого періоду.

II. Періоди Тх і Т2 порівнянні.

Нехай Тх \u003d тТ0, Т2 \u003d пТ0, де Т0\u003e О, m і п - натуральні числа. Введемо в розгляд безліч Я \u003d +.

Покладемо, що у всіх точках безлічі У функції fug дорівнюють нулю, а на безлічі У задамо ці функції так:

/ ((/ + ЩТ0) \u003d Щ + Jit, g ((/ + 4lk) T0) - Щ - 42К.

Функція h ~ / + g на безлічі У дорівнює нулю, а в точках безлічі В дорівнює

Неважко перевірити, що число 7j \u003d mTQ - основний період функції /, число Т2 ~ пТ0 - основний період g, в той час як серед періодів функції h ~ f + g є все числа виду л / 2кТ0, де до - довільне раціональне число. □

В основі конструкцій, які доводять теорему 6, лежить несумісність періодів функції h ~ / + g з періодами функцій / і g. Наведемо на закінчення приклад таких функцій fug, що все періоди функцій /, g і / + g порівнянні між собою, але у / і g є основні періоди, а у f + g - немає.

Нехай m - деяке фіксоване натуральне число, М - безліч нескоротних нецілих дробів, чисельники яких кратні m. покладемо

1, якщо Хем; 1

есліхе mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

Про в інших випадках; 1, якщо хеМU

~, Есліхе2 2

[Про інакше.

Легко бачити, що основні періоди функцій fug рівні відповідно m і 1, в той час як сума / + g має періодом будь-яке число виду m / n, де п - довільне натуральне число, взаємно просте з m.

література

1. Математичний енциклопедичний словник / Гол. ред. Ю.В. Прохоров - М .: Сов. енциклопедія, 1988.

2. Мікаелян Л.В., Седракян Н.М. Про періодичність суми періодичних функцій // Математична освіта. - 2000. - № 2 (13). - С. 29-33.

3. Геренштейн A.B., Евнін А.Ю. Про суму періодичних функцій // Математика в школі. -2002. - № 1. - С. 68-72.

4. Івлєв Б.М. та ін. Збірник завдань з алгебри і початків аналізу для 9 та 10 кл. - М .: Просвещение, 1978.

Мета: узагальнити і систематизувати знання учнів по темі "Періодичність функцій"; формувати навички застосування властивостей періодичної функції, знаходження найменшого позитивного періоду функції, побудови графіків періодичних функцій; сприяти підвищенню інтересу до вивчення математики; виховувати спостережливість, акуратність.

Обладнання: комп'ютер, мультимедійний проектор, картки із завданнями, слайди, годинник, таблиці орнаментів, елементи народного промислу

"Математика - це те, за допомогою чого люди керують природою і собою"
А.Н. Колмогоров

Хід уроку

I. Організаційний етап.

Перевірка готовності учнів до уроку. Повідомлення теми і завдань уроку.

II. Перевірка домашнього завдання.

Домашнє завдання перевіряємо за зразками, найбільш складні моменти обговорюємо.

III. Узагальнення і систематизація знань.

1. Усна фронтальна робота.

Питання теорії.

1) Сформуйте визначення періоду функції
2) Назвіть найменший позитивний період функцій y \u003d sin (x), y \u003d cos (x)
3). Назвіть найменший позитивний період функцій y \u003d tg (x), y \u003d ctg (x)
4) Доведіть за допомогою кола вірність співвідношень:

y \u003d sin (x) \u003d sin (x + 360º)
y \u003d cos (x) \u003d cos (x + 360º)
y \u003d tg (x) \u003d tg (x + 18 0º)
y \u003d ctg (x) \u003d ctg (x + 180º)

tg (x + π n) \u003d tgx, n € Z
ctg (x + π n) \u003d ctgx, n € Z

sin (x + 2π n) \u003d sinx, n € Z
cos (x + 2π n) \u003d cosx, n € Z

5) Як побудувати графік періодичної функції?

Усні вправи.

1) Довести наступні співвідношення

a) sin (740º) \u003d sin (20º)
b) cos (54º) \u003d cos (-1026º)
c) sin (-1000º) \u003d sin (80º)

2. Довести, що кут в 540º є одним з періодів функції y \u003d cos (2x)

3. Довести, що кут в 360º є одним з періодів функції y \u003d tg (x)

4. Дані вирази перетворити так, щоб вхідні в них кути по абсолютній величині не перевищували 90º.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos (-7363º)

5. Де ви зустрічалися зі словами ПЕРІОД, ПЕРІОДИЧНІСТЬ?

Відповіді учнів: Період в музиці - побудова, в якому викладено більш-менш завершена музична думка. Геологічний період - частина ери і розділяється на епохи з періодом від 35 до 90 млн. Років.

Період напіврозпаду радіоактивного речовини. Періодична дріб. Періодична преса - друковані видання, що з'являються в строго визначені терміни. Періодична система Менделєєва.

6. На малюнках зображені частини графіків періодичних функцій. Визначте період функції. Визначити період функції.

відповідь: Т \u003d 2; Т \u003d 2; Т \u003d 4; Т \u003d 8.

7. Де в житті ви зустрічалися з побудовою повторюваних елементів?

Відповідь учнів: Елементи орнаментів, народна творчість.

IV. Колективне рішення задач.

(Рішення задач на слайдах.)

Розглянемо один із способів дослідження функції на періодичність.

При цьому способі обходяться труднощі, пов'язані з доказом того, що той чи інший період є найменшим, а також відпадає необхідність стосуватися питань про арифметичні дії над періодичними функціями і про періодичність складної функції. Міркування спирається лише на визначення періодичної функції і на такий факт: якщо Т - період функції, то і nT (n? 0) - її період.

Завдання 1. Знайдіть найменший позитивний період функції f (x) \u003d 1 + 3 (x + q\u003e 5)

Рішення: Припустимо, що Т-період даної функції. Тоді f (x + T) \u003d f (x) для всіх x € D (f), тобто

1 + 3 (x + T + 0,25) \u003d 1 + 3 (x + 0,25)
(X + T + 0,25) \u003d (x + 0.25)

Покладемо x \u003d -0,25 отримаємо

(T) \u003d 0<=> T \u003d n, n € Z

Ми отримали, що всі періоди даної функції (якщо вони існують) знаходяться серед цілих чисел. Виберемо серед цих чисел найменше позитивне число. це 1 . Перевіримо, чи не буде воно і насправді періодом 1 .

f (x + 1) \u003d 3 (x + 1 + 0,25) +1

Так як (T + 1) \u003d (T) при будь-якому Т, то f (x + 1) \u003d 3 ((x + 0.25) +1) + 1 \u003d 3 (x + 0,25) + 1 \u003d f (x ), тобто 1 - період f. Так як 1 - найменше з усіх цілих позитивних чисел, то T \u003d 1.

Завдання 2. Показати, що функція f (x) \u003d cos 2 (x) періодична і знайти її основний період.

Завдання 3. Знайдіть основний період функції

f (x) \u003d sin (1,5x) + 5cos (0,75x)

Припустимо Т-період функції, тоді для будь-якого х справедливо співвідношення

sin1,5 (x + T) + 5cos0,75 (x + T) \u003d sin (1,5x) + 5cos (0,75x)

Якщо х \u003d 0, то

sin (1,5T) + 5cos (0,75T) \u003d sin0 + 5cos0

sin (1,5T) + 5cos (0,75T) \u003d 5

Якщо х \u003d -Т, то

sin0 + 5cos0 \u003d sin (-1,5Т) + 5cos0,75 (-Т)

5 \u003d - sin (1,5 т) + 5cos (0,75Т)

sin (1,5 т) + 5cos (0,75Т) \u003d 5 - sin (1,5 т) + 5cos (0,75Т) \u003d 5

Склавши, отримаємо:

10cos (0,75Т) \u003d 10

2π n, n € Z

Виберемо з усіх "підозрілих" на період чисел найменше позитивне і перевіримо, чи є воно періодом для f. це число

f (x +) \u003d sin (1,5x + 4π) + 5cos (0,75x + 2π) \u003d sin (1,5x) + 5cos (0,75x) \u003d f (x)

Значить - основний період функції f.

Завдання 4. Перевіримо чи є періодичної функція f (x) \u003d sin (x)

Нехай Т - період функції f. Тоді для будь-якого х

sin | x + Т | \u003d sin | x |

Якщо х \u003d 0, то sin | Т | \u003d sin0, sin | Т | \u003d 0 Т \u003d π n, n € Z.

Припустимо. Що при деякому n число π n є періодом

розглянутої функції π n\u003e 0. Тоді sin | π n + x | \u003d sin | x |

Звідси випливає, що n повинно бути одночасно і парних і непарних числом, а це неможливо. Тому дана функція не є періодичною.

Завдання 5. Перевірити, чи є періодичної функція

f (x) \u003d

Нехай Т - період f, тоді

, Звідси sinT \u003d 0, Т \u003d π n, n € Z. Припустимо, що при деякому n число π n дійсно є періодом даної функції. Тоді і число 2π n буде періодом

Так як чисельники рівні, то рівні і їх знаменники, тому

Значить, функція f НЕ періодична.

Робота в групах.

Завдання для групи 1.

Завдання для групи 2.

Перевірте чи є функція f періодичної і знайдіть її основний період (якщо існує).

f (x) \u003d cos (2x) + 2sin (2x)

Завдання для групи 3.

Після закінчення роботи групи презентують свої рішення.

VI. Підведення підсумків уроку.

Рефлексія.

Учитель видає учням картки з малюнками і пропонує зафарбувати частина першого малюнка відповідно до того, в якому обсязі, як їм здається, вони оволоділи способами дослідження функції на періодичність, а в частині другого малюнка - відповідно до свого внеском в роботу на уроці.

VII. Домашнє завдання

1). Перевірте, чи є функція f періодичної і знайдіть її основний період (якщо він існує)

b). f (x) \u003d x 2 -2x + 4

c). f (x) \u003d 2tg (3x + 5)

2). Функція y \u003d f (x) має період Т \u003d 2 і f (x) \u003d x 2 + 2x при х € [-2; 0]. Знайдіть значення виразу -2f (-3) -4f (3,5)

література /

1. Мордкович А.Г. Алгебра і початки аналізу з поглибленим вивченням.
2. Математика. Підготовка до ЄДІ. Під ред. Лисенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
3. Шереметьєва Т.Г. , Тарасова Е.А. Алгебра і початки аналізу для 10-11 класів.

У звичайних шкільних завданнях довести періодичність тієї чи іншої функції зазвичай неважко: так, щоб переконатися, що функція $ y \u003d sin \\ frac34 x + sin \\ frac27 x $ є періодичною, досить просто відзначити, що твір $ T \u003d 4 \\ times7 \\ times 2 \\ pi $ є її періодом: якщо ми додамо до х число Т, то цей твір «з'їсть» обидва знаменника і під знаком синуса виявляться зайвими тільки цілі кратні числа $ 2 \\ pi $, які «з'їсть» сам синус.

але доказ неперіодичних тієї чи іншої функції безпосередньо за визначенням може виявитися зовсім не простим. Так, для доказу неперіодичних розглянутої вище функції $ y \u003d \\ sin x ^ 2 $ можна виписати рівність $ sin (x + T) ^ 2 \u003d \\ sin x ^ 2 $, але не вирішувати за звичкою це тригонометрическое рівняння, а здогадатися підставити в нього х \u003d 0, після чого подальше вийде майже автоматично: $ \\ sin T ^ 2 \u003d 0 $, $ T ^ 2 \u003d k \\ pi $, де k - деяке ціле число, більше 0, тобто $ T \u003d \\ sqrt (k \\ pi) $, а якщо тепер здогадатися підставити в нього $ x \u003d \\ sqrt (\\ pi) $, то вийде, що $ \\ sin (\\ sqrt (\\ pi) + \\ sqrt (k \\ 2 \\ sqrt (k) \u003d n ^ 2 \\ pi $, $ 2 \\ sqrt (k) \u003d n ^ 2 \\ pi-1-k \u003d n ^ 2 \\ pi \u003d m $, $ 4k \u003d n ^ 4 (\\ pi) ^ 2 + 2mn ^ 2x + m ^ 2 $, і таким чином, число р є коренем рівняння $ n ^ 4x ^ 2 + 2mn ^ 2 \\ pi + m ^ 2-4k \u003d 0 $, тобто є алгебраїчним, що невірно: $ \\ pi $ є, як ми знаємо, трансцендентним, тобто не є коренем ніякого алгебраічской рівняння з цілими коефіцієнтами. Втім, в майбутньому ми отримаємо набагато більш простий доказ цього твердження - але вже за допомогою засобів математичного аналізу.

При доказі неперіодичних функцій часто допомагає елементарний логічний трюк: якщо все періодичні функції мають деяким властивістю, а дана функція їм не володіє, то вона, природно, не є періодичною. Так, періодична функція всяке своє значення приймає нескінченно багато разів, і тому, наприклад, функція $ y \u003d \\ frac (3x ^ 2-5x + 7) (4x ^ 3x + 2) $ не є періодичною, так як значення 7 вона приймає тільки в двох точках. Часто для доказу неперіодичних зручно використовувати особливості її області визначення, А для знаходження необхідної якості періодичних функцій іноді доводиться проявляти певну фантазію.

Зауважимо ще, що дуже часто на питання, що ж таке неперіодичних функція, доводиться чути відповідь в стилі, про який ми говорили в зв'язку з парними і непарними функціями, - це коли $ f (x + T) \\ neq f (x) $, що, звичайно ж, неприпустимо.

А правильну відповідь залежить від конкретного визначення періодичної функції, і, виходячи з даного вище визначення, можна, звичайно, сказати, що функція є неперіодичної, якщо вона не має жодного періоду, але це буде «погане» визначення, яке не дає напрямки докази неперіодичних. А якщо його розшифрувати далі, описавши, що означає пропозицію «функція f не має жодного періоду», або, що те ж саме, «ніяке число $ T \\ neq 0 $ не є періодом функції f», то отримаємо, що функція f не є періодичною в тому і тільки в тому випадку, коли для будь-якого $ T \\ neq 0 $ існує число $ x \\ in D (f) $ таке, що або хоча б одне з чисел $ x + T $ і $ xT $ не належить D (f), або $ f (x + T) \\ neq f (x) $.

Можна сказати й інакше: «Існує число $ x \\ in D (f) $ таке, що рівність $ f (x + T) \u003d f (x) $ не виконується» - це рівність може не виконуватися з двох причин: або воно не має сенсу, Тобто одна з його частин не визначена, або - в іншому випадку, бути невірним. Для інтересу додамо, що мовне ефект, про який ми говорили вище, тут проявляється теж: для рівності «же не бути вірним» і «бути невірним» - не одне й те саме - рівність ще може не мати сенсу.

Детальний з'ясування причин і наслідків цього мовного ефекту в дійсності є предмет не математики, а теорії мови, лінгвістики, точніше, її особливого розділу: семантики - науки про сенс, де, втім, ці питання є досить складними і не мають однозначного рішення. А математика, в тому числі і шкільна, змушена миритися з цими труднощами і долати мовні «негаразди» - поки і оскільки вона використовує, поряд із символічною, і природна мова.

За шкільним урокам математики всякий пам'ятає графік синуса, рівномірними хвилями йде вдалину. Аналогічним властивістю - повторюватися через певний інтервал - володіють і багато інших функцій. Вони іменуються періодичними. Періодичність - дюже значуща якість функції, часто зустрічається в різних завданнях. Слідчо благотворно вміти визначати, чи є функція періодичною.

Інструкція

1. Якщо F (x) - функція аргументу x, то вона називається періодичної, якщо є таке число T, що для будь-якого x F (x + T) \u003d F (x). Це число T і іменується періодом функціі.Періодов може бути і декілька. Скажімо, функція F \u003d const для будь-яких значень аргументу приймає одне і те ж значення, а тому будь-яке число може вважатися її періодом.Традіціонно математика хвилює мінімальний не дорівнює нулю період функції. Його для стислості і називають примітивно періодом.

2. Типовий приклад періодичних функцій - тригонометричні: синус, косинус і тангенс. Їх період ідентичний і дорівнює 2 ?, тобто sin (x) \u003d sin (x + 2) \u003d sin (x + 4?) І так далі. Втім, зрозуміло, тригонометричні функції - не тільки періодичні.

3. Відносно примітивних, базових функцій винятковий метод встановити їх періодичність або неперіодичних - обчислення. Але для важких функцій тісніше є кілька примітивних правил.

4. Якщо F (x) - періодична функція з періодом T, і для неї визначена похідна, то ця похідна f (x) \u003d F? (X) - теж періодична функція з періодом T. Чай значення похідної в точці x одно тангенсу кута нахилу дотичної графіка її первісної в цій точці до осі абсцис, а від того що первісна періодично повторюється, то повинна повторюватися і похідна. Скажімо, похідна від функції sin (x) дорівнює cos (x), і вона періодична. Беручи похідну від cos (x), ви отримаєте -sin (x). Періодичність зберігається постоянно.Впрочем протилежне не незмінно правильно. Так, функція f (x) \u003d const періодична, а її Первісна F (x) \u003d const * x + C - немає.

5. Якщо F (x) - періодична функція з періодом T, то G (x) \u003d a * F (kx + b), де a, b, і k - константи і k не дорівнює нулю - теж періодична функція, і її період дорівнює T / k. Скажімо sin (2x) - періодична функція, і її період дорівнює ?. Наочно це можна представити так: примножуючи x на якесь число, ви як би стискаєте графік функції по горизонталі саме в стільки разів

6. Якщо F1 (x) і F2 (x) - періодичні функції, і їх періоди рівні T1 і T2 відповідно, то сума цих функцій теж може бути періодичною. Втім її період не буде легким сумою періодів T1 і T2. Якщо підсумок поділу T1 / T2 - розумне число, то сума функцій періодична, і її період дорівнює найменшому загальному кратному (НОК) періодів T1 і T2. Скажімо, якщо період першої функції дорівнює 12, а період 2-й - 15, то період їх суми буде дорівнює НОК (12, 15) \u003d 60.Наглядно це дозволено змалювати таку картину: функції йдуть з різною «шириною кроку», але якщо відношення їх ширини осмислено, то рано чи пізно (а вірніше, саме через НОК кроків), вони знову зрівняються, і їх сума почне новітній період.

7. Втім якщо співвідношення періодів ірраціонально, то сумарна функція не періодичної зовсім. Скажімо, нехай F1 (x) \u003d x mod 2 (залишок від ділення x на 2), а F2 (x) \u003d sin (x). T1 тут буде дорівнює 2, а T2 дорівнює 2 ?. Співвідношення періодів дорівнює? - ірраціонального числа. Слідчо, функція sin (x) + x mod 2 не є періодичною.

Багато математичні функції мають одну специфіка, яка полегшує їх побудова, - це періодичність , Тобто повторюваність графіка на координатної сітки через рівні інтервали.

Інструкція

1. Найбільш звісно періодичними функціями математики є синусоїда і косинусоид. Ці функції мають хвилеподібний характер і стрижневою період, рівний 2П. Також окремим випадком періодичної функції є f (x) \u003d const. На позицію х підходить будь-яке число, основного періоду дана функція не має, тому що являє собою пряму.

2. Взагалі функція є періодичною, якщо існує таке ціле число N, яке чудово від нуля і задовольняє правилу f (x) \u003d f (x + N), таким чином забезпечуючи повторюваність. Період функції - це і є найменше число N, але не нуль. Тобто, скажімо, функція sin x дорівнює функції sin (x + 2ПN), де N \u003d ± 1, ± 2 і т.д.

3. Зрідка при функції може стояти множник (скажімо sin 2x), той, що збільшить або зменшить період функції. Для того щоб виявити період з графіком , Потрібно визначити екстремуми функції - найвищу і найнижчу точки графіка функції. Тому що синусоїда і косинусоид мають хвилеподібний характер, це досить легко зробити. Від даних точок побудуйте перпендикулярні прямі до перетину з віссю Х.

4. Відстань від верхнього екстремуму до нижнього буде половиною періоду функції. Комфортніше кожного обчислювати період від перетину графіка з віссю Y і, відповідно, нульової позначки по осі х. Пізніше цього потрібно помножити отримане значення на два і отримати стрижневий період функції.

5. Для простоти побудови графіків синусоїди і косинусоид необхідно відзначити, що якщо при функції варто ціле число, то її період подовжиться (тобто 2П необхідно помножити на цей показник) і графік буде виглядати більше м'яко, плавно; а якщо число дробове, навпаки, скоротиться і графік стане більше «гострим», стрибкоподібним на вигляд.

Відео по темі