Проеціювання точки на три площині проекцій координатного кута починають з отримання зображення на площині H - горизонтальній площині проекцій. Для цього через точку А (рис. 4.12 а) проводять проецірующий промінь перпендикулярно площині H.

На малюнку перпендикуляр до площини Н паралельний осі Oz. Точку перетину променя з площиною Н (точку а) вибирають довільно. Відрізок Аа визначає, на якій відстані знаходиться точка А від площини Н, вказуючи цим однозначно положення точки А на малюнку по відношенню до площин проекцій. Точка є прямокутною проекцією точки А на площину Н і називається горизонтальною проекцією точки А (рис. 4.12, а).

Для отримання зображення точки А на площині V (рис. 4.12,б) через точку А проводять проєкуючий промінь перпендикулярно до фронтальної площини проекцій V. На малюнку перпендикуляр до площини V паралельний осі Оу. На площині Н відстань від точки А до площини V зобразиться відрізком аа х, паралельним осі Оу та перпендикулярним осі Ох. Якщо уявити, що проецирующий промінь і його зображення проводять одночасно в напрямку площини V, то коли зображення променя перетне вісь Ох в точці а х, промінь перетне площину V в точці а". Провівши з точки а х в площині V перпендикуляр до осі Ох , Який є зображенням проецирующего променя Аа на площині V, у перетині з проецирующим променем отримують точку а". Точка а є фронтальною проекцією точки А, тобто її зображенням на площині V.

Зображення точки А на профільній площині проекцій (рис. 4.12, в) будують за допомогою проекуючого променя, перпендикулярного площині W. На малюнку перпендикуляр до площини W паралельний осі Ох. Проецирующий промінь від точки А до площини W на площині Н зобразиться відрізком аа у паралельним осі Ох і перпендикулярним осі Оу. З точки Оу паралельно осі Oz і перпендикулярно осі Оу будують зображення проецірующего променя аА і в перетині з проецирующим променем отримують точку а". Точка а" є профільною проекцією точки А, тобто зображення точки А на площині W.

Точку а" можна побудувати, провівши від точки а" відрізок а"а z (зображення проецирующего променя Аа" на площині V) паралельно осі Ох, а від точки а z - відрізок а"а z паралельно осі Оу до перетину з проецирующим променем.

Отримавши три проекції точки на площинах проекцій, координатний кут розгортають в одну площину, як показано на рис. 4.11 б, разом з проекціями точки А і проектують променів, а точку А і проецірующие промені Аа, Аа" і Аа" прибирають. Краї суміщених площин проекцій не проводять, а проводять лише осі проекцій Oz, Оу та Ох, Оу 1 (рис. 4.13).

Аналіз ортогонального креслення точки показує, що три відстані - Аа", Аа і Аа" (рис. 4.12, в), що характеризують положення точки А в просторі, можна визначити, відкинувши сам об'єкт проектування - точку А на розгорнутому в одну площину координатному вугіллі (Рис. 4.13). Відрізки а"а z , аа y та Оа х рівні Аа" як протилежні сторони відповідних прямокутників (рис. 4.12,в та 4.13). Вони визначають відстань, де знаходиться точка А від профільної площини проекцій. Відрізки а"а х, а"а у1 та Оа у рівні відрізку Аа, визначають відстань від точки А до горизонтальної площини проекцій, відрізки аа х, а"а z і Оа y 1 рівні відрізку Аа", що визначає відстань від точки А до передньої поверхні проекцій.

Відрізки Оа х, Оа у і Оа z розташовані на осях проекцій, є графічним виразом розмірів координат X, Y і Z точки А. Координати точки позначають з індексом відповідної літери. Вимірявши величину цих відрізків, можна визначити положення точки у просторі, тобто встановити координати точки.

На епюрі відрізки а"а х і аа х розташовуються як одна лінія, перпендикулярна до осі Ох а відрізки а"а z і a"az - до осі Оz. Ці лінії називаються лініями проекційного зв'язку. Вони перетинають осі проекцій у точках а х і а z відповідно Лінія проекційного зв'язку, що з'єднує горизонтальну проекцію точки А з профільною, виявилася "розрізаною" у точці а у.

Дві проекції однієї і тієї ж точки завжди розташовуються на одній лінії проекційного зв'язку перпендикулярної до осі проекцій.

Для представлення положення точки у просторі достатньо двох її проекцій та заданого початку координат (точка) На рис. 4.14 б дві проекції точки повністю визначають її положення в просторі За цими двома проекціями можна побудувати профільну проекцію точки А. Тому в подальшому, якщо не буде необхідності в профільній проекції, епюри будуть побудовані на двох площинах проекцій: V і Н.

Рис. 4.14. Рис. 4.15.

Розглянемо кілька прикладів побудови та читання креслення точки.

приклад 1.Визначення координат точки J заданої на епюрі двома проекціями (рис. 4.14). Вимірюються три відрізки: відрізок Ов Х (координата X), відрізок b Х b (координата Y) і відрізок b Х b" (координата Z). Координати записують у наступному рядку: X, Y і Z, після літерного позначення точки, наприклад , В20;30;15.

Приклад 2. Побудова точки за заданими координатами. Точка З задана координатами С30; 10; 40. На осі Ох (рис. 4.15) знаходять точку з х, у якій лінія проекційного зв'язку перетинає вісь проекцій. Для цього по осі Ох від початку координат (точка) відкладають координату X (розмір 30) і отримують точку з х. Через цю точку перпендикулярно осі Ох проводять лінію проекційного зв'язку і від точки вниз відкладають координату (розмір 10), отримують точку з - горизонтальну проекцію точки С. Вгору від точки з х по лінії проекційного зв'язку відкладають координату Z (розмір 40), отримують точку с" - фронтальну проекцію точки С.

Приклад 3. Побудова профільної проекції точки за заданими проекціями. Задані проекції точки D - d і d". Через точку проводять осі проекцій Oz, Oy і Оу 1 (рис. 4.16, а). Для побудови профільної проекції точки D відточки d" проводять лінію проекційного зв'язку, перпендикулярну осі Oz, і продовжують її праворуч за вісь Oz. На цій лінії розташовуватиметься профільна проекція точки D. Вона перебуватиме на такій відстані від осі Oz, на якій горизонтальна проекція точки d розташовується: від осі Ох, тобто на відстані dd x . Відрізки d z d" і dd x однакові, так як визначають одну і ту ж відстань - відстань від точки D до фронтальної площини проекцій. Ця відстань є координатою точки D.

Графічно відрізок dzd" будують перенесенням відрізка dd x з горизонтальної площини проекцій на профільну. Для цього проводять лінію проекційного зв'язку паралельно осі Ох, отримують на осі Оу точку dy (рис. 4.16,б). Потім переносять розмір відрізка Od y на вісь Оу 1 , провівши з точки Про дугу радіусом, рівним відрізку Od y до перетину з віссю Оу 1 (рис. 4.16,б), отримують точку dy 1. Цю точку можна побудувати і як показано на рис.4.16, в, провівши пряму під кутом 45° до осі Оу з точки dy З точки d y1 проводять лінію проекційного зв'язку паралельно осі Oz і на ній відкладають відрізок, рівний відрізку d"dx , отримують точку d".

Перенесення величини відрізка d x d на профільну площину проекцій можна здійснити за допомогою постійного прямого креслення (рис. 4.16, г). У цьому випадку лінію проекційного зв'язку dd y проводять через горизонтальну проекцію точки паралельно осі Оу 1 до перетину з постійною прямою, а потім паралельно осі Оу до перетину з продовженням лінії проекційного зв'язку d"d z .

Окремі випадки розташування точок щодо площин проекцій

Положення точки щодо площини проекцій визначається відповідною координатою, тобто величиною відрізка лінії проекційного зв'язку від осі Ох до відповідної проекції. На рис. 4.17 координата У точки А визначається відрізком аа х - відстань від точки А до площини V. Координата Z точки А визначається відрізком а"а х - відстань від точки А до площини Н. Якщо одна з координат дорівнює нулю, то точка розташована на площині проекцій Координата Z точки В дорівнює нулю, точка знаходиться в площині Н. Її фронтальна проекція знаходиться на осі Ох і збігається з точкою b х. Координата У точки С дорівнює нулю, точка розташовується на площині V, її горизонтальна проекція знаходиться на осі Ох і збігається з точкою з х.

Отже, якщо точка знаходиться на площині проекцій, одна з проекцій цієї точки лежить на осі проекцій.

На рис. 4.17 координати Z та Y точки D дорівнюють нулю, отже, точка D знаходиться на осі проекцій Ох та дві її проекції збігаються.

Проекція(лат. projectio – викидання вперед) – зображення тривимірної фігури на так званій картинній (проекційній) площині.

Термін проекція також означає метод побудови такого зображення та технічні прийоми, основу яких лежить цей метод.

Принцип

Проекційний метод зображення предметів заснований на їх зоровому поданні. Якщо з'єднати всі точки предмета прямими лініями (проекційними променями) з постійною точкою S(центр проекції), в якій передбачається око спостерігача, то на перетині цих променів з будь-якою площиною виходить проекція всіх точок предмета. З'єднавши ці точки прямими лініями в тому ж порядку, як вони з'єднані у предметі, отримаємо на площині перспективне зображення предмета чи центральну проекцію.

Якщо центр проекції нескінченно віддалений від картинної площини, то говорять про паралельної проекції, а якщо при цьому проекційні промені падають перпендикулярно до площини - то про ортогональній проекції.

Проекція широко застосовується в інженерній графіці, архітектурі, живописі та картографії.

Вивченням проекцій та методів проектування займається накреслювальна геометрія.

Проекційне креслення– креслення, побудований шляхом проектування просторових об'єктів на площину. Є основним засобом аналізу властивостей просторових постатей.

Апарат проектування:

Центр проектування (S)

Проекційні промені

Об'єкт проектування

Проекція

Комплексне креслення- Епюр Монжа. Декартова система координат, вісь (x, y, z)

Площини:

Фронтальна – вид спереду;

Горизонтальна – вид зверху;

Профільна – вид збоку.

Склад комплексного креслення:

1) Площини проекцій

2) Осі проекцій (перетин площин проекцій)

3) Проекції

Лінії зв'язку.

Основні властивості ортогонального проектування.

2 пов'язані між собою ортогональні проекції однозначно визначають положення точки щодо площин проекції. 3-я проекція може бути задана довільно.

Ортогональні проекції.

Ортогональне (прямокутне) проектування є окремим випадком проектування паралельного, коли всі проецірующие промені перпендикулярні площині проекцій. Ортогональним проекціям притаманні всі властивості паралельних проекцій, але при прямокутному проектуванні проекція відрізка, якщо він не паралельний площині проекцій, завжди менший від самого відрізка (рис. 58). Це пояснюється тим, що сам відрізок у просторі є гіпотенузою прямокутного трикутника, а його проекція – катетом: А "В" = ABcosa.

При прямокутному проектуванні прямий кут проектується в натуральну величину, коли обидві сторони його паралельні площині проекцій, і тоді, коли одна з його сторін паралельна площині проекцій, а друга сторона не перпендикулярна цій площині проекцій.

Теорема про проектування прямого кута. Якщо одна сторона прямого кута паралельна площині проекцій, а друга їй не перпендикулярна, то при ортогональному проектуванні прямий кут проектується на цю площину в прямий кут.

Нехай дано прямий кут ABC, у якого сторона АВ паралельна площині п" (рис. 59). Проецуюча площина перпендикулярна площині п". Отже, АВ _|_S, оскільки АВ _|_ ВС і АВ _|_ ВВ, звідси АВ _|_ В "С". Але оскільки АВ || А"В" _|_ В"С", тобто на площині п" кут між А"В" і В"С дорівнює 90 °.

Оборотність креслення. Проеціювання однією площину проекцій дає зображення, яке дозволяє однозначно визначити форму і розміри зображеного предмета. Проекція А (див. рис. 53) не визначає положення самої точки в просторі, так як не відомо, на яку відстань вона віддалена від площини проекцій п". . Наявність однієї проекції створює невизначеність зображення. У таких випадках говорять про незворотність креслення, оскільки за таким кресленням неможливо відтворити оригінал. Для унеможливлення невизначеності зображення доповнюють необхідними даними. На практиці застосовують різні способи доповнення однопроекційного креслення. В даному курсі будуть розглянуті креслення, які отримують ортогональне проектування на дві або більше взаємно перпендикулярні площиніпроекцій (комплексні креслення) та шляхом перепроектування допоміжної проекції предмета на основну аксонометричну площину проекцій (аксонометричні креслення).

Комплексне креслення.

Пряма на комплексному кресленні:

Проекціями 2 точок

Безпосередньо проекціями найпрямішої

Пряма загального становища – не паралельна та не перпендикулярна до площин проекції.

Лінії рівня- Лінії, паралельні площинам проекції:

Горизонталь

Фронталь

Профільна

Загальна властивість: у ліній рівня одна проекція дорівнює натуральній величині, інші проекції паралельні до осей проекцій.

Проєкуючі прямі– двічі лінії рівня (якщо перпендикулярні до однієї з площин, то паралельні 2 іншим):

Горизонтально-проекційна

Фронтально-проекційна

Профільно-проєційна

Конкуруючі точки- Точки, що лежать на одній лінії зв'язку.

Взаємне розташування 2 прямих:

Пересічний – мають 1 загальну точку та загальні проекції цієї точки

Паралельні – проекції завжди паралельні у 2 паралельних прямих

Перехрещені – не мають загальних точок, перетинаються лише проекції, а не самі прямі

Конкуруючі – прямі лежать у площині перпендикулярній до однієї з площин проекцій (н-р, горизонтально-конкуруючі)

4. Крапка на комплексному кресленні.

Елементи трипроекційного комплексного креслення точки.

Для визначення положення геометричного тіла у просторі та отримання додаткових відомостей на їх зображеннях може виникнути потреба у побудові третьої проекції. Тоді третю площину проекцій мають праворуч від спостерігача перпендикулярно одночасно горизонтальної площини проекцій П1 і фронтальної площини проекцій П2 (рис. 62, а). В результаті перетину фронтальної П2 і профільної П3 площин проекцій отримуємо нову вісь П2/П3, яка розташовується на комплексному кресленні паралельно до вертикальної лінії зв'язку A1A2 (рис. 62, б). Третя проекція точки А – профільна – виявляється пов'язаною з фронтальною проекцією А2 новою лінією зв'язку, яку називають горизонталь-

ної. Фронтальна та профільна проекції точки завжди лежать на одній горизонтальній лінії зв'язку. Причому A1A2 _|_ А2А1 та А2А3, _|_ П2/П3.

Положення точки у просторі у разі характеризується її широтою - відстанню від неї до профільної площині проекцій П3, яке позначимо літерою р.

Отриманий комплексний креслення точки називається трипроекційним.

У трипроекційному кресленні глибина точки АА2 проектується без спотворень на площині П1 і П2 (рис. 62 а). Ця обставина дозволяє побудувати третю - фронтальну проекцію точки А за її горизонтальною А1 та фронтальною А2 проекціями (рис. 62, в). Для цього через фронтальну проекцію точки необхідно провести горизонтальну лінію зв'язку A2A3 _|_A2A1. Потім у будь-якому місці на кресленні провести вісь проекцій П2/П3 А2А3, виміряти глибину точки на горизонтальному полі проекції і відкласти її по горизонтальній лінії зв'язку від осі проекцій П2/П3. Отримаємо профільну проекцію А3 точки А.

Таким чином, на комплексному кресленні, що складається з трьох ортогональних проекційточки, дві проекції перебувають у одній лінії зв'язку; лінії зв'язку перпендикулярні до відповідних осей проекцій; Дві проекції точки цілком визначають положення її третьої проекції.

Необхідно відзначити, що на комплексних кресленнях, як правило, не обмежують площини проекцій та положення їх задають осями (рис. 62, в). У тих випадках, коли умовами завдання цього не вимагають.

ється, проекції точок можуть бути дані без зображення осей (рис. 63, а, б). Така система називається безосновою. Лінії зв'язку можуть проводитися з розривом (рис. 63, б).

5. Пряма на комплексному кресленні. Основні положення.

Комплексне креслення прямої лінії.

Враховуючи те, що пряму лінію у просторі можна визначити положенням двох її точок, для побудови її на кресленні достатньо виконати комплексне креслення цих двох точок, а потім з'єднати однойменні проекції точок прямими лініями. При цьому отримуємо відповідно горизонтальну та фронтальну проекції прямої.

На рис. 69, а показані пряма l і точки А і В, що належать їй. Для побудови фронтальної проекції прямої l2 достатньо побудувати фронтальні проекції точок А2 і В2 і з'єднати їх прямий. Аналогічно будується горизонтальна проекція, що проходить через горизонтальні проекції точок А1 та В1. Після суміщення площини П1 з площиною П2 отримаємо комплексний двопроекційний креслення прямий l (рис. 69, б).

Профільну проекцію прямої можна побудувати за допомогою профільних проекцій точок А та В. Крім того, профільну проекцію прямої можна побудувати, використовуючи різницю відстаней двох її точок до фронтальної площини проекцій, тобто різницю глибин точок (рис. 69, в). І тут відпадає необхідність наносити осі проекцій на креслення. Цей спосіб, як точніший, і використовується в практиці виконання технічних креслень.

6. Визначення натуральної величини відрізка прямого загального стану.

Визначення натуральної величини відрізка прямої лінії.

При розв'язанні задач інженерної графіки у ряді випадків виникає потреба у визначенні натуральної величини відрізка прямої лінії. Вирішити це завдання можна декількома способами: способом прямокутного трикутника, способом обертання, плоскопаралельного переміщення, заміною площин проекцій.

Розглянемо приклад побудови зображення відрізка справжню величину на комплексному кресленні способом прямокутного трикутника. Якщо відрізок розташований паралельно до будь-якої з площин проекцій, то на цю площину він проектується в натуральну величину. Якщо ж відрізок представлений прямий загального положення, то на одній із площин проекцій не можна визначити його справжню величину (див. рис. 69).

Візьмемо відрізок загального положення АВ (A ^ П1) та побудуємо його ортогональну проекцію на горизонтальній площині проекцій (рис. 78, а). У просторі при цьому утворюється прямокутник А1ВВ1, в якому гіпотенузою є сам відрізок, одним катетом - горизонтальна проекція цього відрізка, а другим катетом - різниця висот точок А і відрізка. Так як за кресленням прямої визначити різницю висот точок її відрізка не складає труднощів, то можна побудувати по горизонтальній проекції відрізка (рис. 78 б) прямокутний трикутник, взявши другим катетом перевищення однієї точки над другою. Гіпотенуза цього трикутника буде натуральною величиною відрізка АВ.

Аналогічну побудову можна зробити на фронтальній проекції відрізка, тільки як другий катет треба взяти різницю глибин його кінців (рис. 78 в), заміряну на площині П1.

Для визначення натуральної величини відрізка прямої можна скористатися поворотом її щодо площин проекцій, щоб вона розташувалася паралельно одній з них (див. § 36) або введенням нової площини проекцій (заміною однієї з площин проекцій) так, щоб вона була паралельна одній з проекцій відрізка ( див. §§58, 59).

трикутник.

Для визначення натуральної величини відрізка прямої лінії загального положення за її проекціями застосовують метод прямокутного трикутника.

Вербальна форма	Графічна форма
1. Визначити на комплексному кресленні Аz, Bz, Ay, By: D z – різниця відстаней від точок А та В до площини p1; D y – різниця відстаней від точок А та В до площини p2
2. Взяти будь-яку точку проекції прямої АВ, провести через неї перпендикуляр до відрізка: а) або перпендикуляр до А2В2 через точку В2 або А2; б) або перпендикуляр до А1В1 через точку В1 або А1
3. На цьому перпендикулярі від точки В2 відкласти D y або від точки B1 відкласти D z
4. З'єднати A2 і В2; A1 і В1
5. Визначити натуральну величину відрізка АВ (гіпотенузу трикутника): |АВ| = А1В"1 = А2В"2
6. Відзначити кути нахилу до площини проекції p1 та p2: a – кут нахилу відрізка АВ до площини p1; б – кут нахилу відрізка АВ до площини p2

При вирішенні подібного завдання знаходити натуральну величину відрізка можна лише один раз (або на p 1 або на p 2). Якщо потрібно визначити кути нахилу прямої до площин проекцій, то ця побудова виконується двічі – на фронтальній та горизонтальній проекціях відрізка.

Положення точки в просторі може бути задане двома її ортогональними проекціями, наприклад, горизонтальною та фронтальною, фронтальною та профільною. Поєднання будь-яких двох ортогональних проекцій дозволяє дізнатися про значення всіх координат точки, побудувати третю проекцію, визначити октант, в якому вона знаходиться. Розглянемо кілька типових завдань із курсу накреслювальної геометрії.

За заданим комплексним кресленням точок A та B необхідно:

Визначимо спочатку координати т. A, які можна записати як A (x, y, z). Горизонтальна проекція т. A – точка A", що має координати x, y. Проведемо з т. A" перпендикуляри до осей x, y і знайдемо відповідно A х, A у. Координата х для т. A дорівнює довжині відрізка A х O зі знаком плюс, тому що A х лежить у ділянці позитивних значень осі х. З урахуванням масштабу креслення знаходимо х = 10. Координата у дорівнює довжині відрізка A у O зі знаком мінус, тому що т. A у лежить в області негативних значень осі у. З урахуванням масштабу креслення у = -30. Фронтальна проекція т. A – т. A" має координати х і z. Опустимо перпендикуляр з A" на вісь z і знайдемо A z . Координата z точки A дорівнює довжині відрізка A z O зі знаком мінус, тому що A z лежить в області негативних значень осі z. З огляду на масштаб креслення z = –10. Отже, координати т. A (10, –30, –10).

Координати т. B можна записати як B (x, y, z). Розглянемо горизонтальну проекцію точки B – т. В". Оскільки вона лежить на осі х, то B x = B" і координата B у = 0. Абсцис x точки B дорівнює довжині відрізка B х O зі знаком плюс. З урахуванням масштабу креслення x = 30. Фронтальна проекція точки B – т. B має координати х, z. Проведемо перпендикуляр із B"" до осі z, таким чином знайдемо B z . Апліката z точки B дорівнює довжині відрізка B z O зі знаком мінус, тому що B z лежить в області негативних значень осі z. З урахуванням масштабу креслення визначимо значення z = -20. Отже, координати B (30, 0, -20). Усі необхідні побудови представлені на малюнку нижче.

Побудова проекцій точок

Точки A і B у площині П 3 мають такі координати: A""(y, z); B""(y, z). При цьому A"" і A""" лежать одному перпендикулярі до осі z, так як координата z у них загальна. Так само на загальному перпендикулярі до осі z лежать B"" і B""". Щоб знайти профільну проекцію т. A, відкладемо по осі значення відповідної координати, знайдене раніше. На малюнку це зроблено за допомогою дуги кола радіусу A у O. Після цього проведемо перпендикуляр з A до перетину з перпендикуляром, відновленим з точки A"" до осі z. Точка перетину цих двох перпендикулярів визначає положення A""".

Точка B""" лежить на осі z, так як ордината y цієї точки дорівнює нулю. Для знаходження профільної проекції т. B у даному завданні необхідно лише провести перпендикуляр з B"" до осі z. Точка перетину цього перпендикуляра з віссю z є B """.

Визначення положення точок у просторі

Наочно уявляючи собі просторовий макет, складений з площин проекцій П 1 , П 2 і П 3 , розташування октантів , а також порядок трансформації макета в епюр, можна безпосередньо визначити, що A розташована в III октанті, а B лежить в площині 2 .

Іншим варіантом вирішення цього завдання є спосіб винятків. Наприклад, координати точки A (10, -30, -10). Позитивна абсцис x дозволяє судити про те, що точка розташована в перших чотирьох октантах. Негативна ордината y свідчить, що точка перебуває у другому чи третьому октантах. Нарешті, негативна апліката z вказує на те, що A розташована в третьому октанті. Наведені міркування наочно ілюструє таку таблицю.

Октанти	Знаки координат
	x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Координати точки B (30, 0, -20). Оскільки ордината т. B дорівнює нулю, ця точка розташована у площині проекцій П 2 . Позитивна абсцис і негативна апліката т. B вказують на те, що вона розташована на межі третього та четвертого октантів.

Побудова наочного зображення точок у системі площин П 1, П 2, П 3

Використовуючи фронтальну ізометричну проекцію, ми збудували просторовий макет III октанта. Він є прямокутним тригранником, у якого гранями є площини П 1 , П 2 , П 3 , а кут (-y0x) дорівнює 45 º. У цій системі відрізки по осях x, y, z відкладатимуться в натуральну величину без спотворень.

Побудова наочного зображення т. A (10, -30, -10) почнемо з її горизонтальної проекції A". Відклавши по осі абсцис і ординат відповідні координати, знайдемо точки A х і A у. Перетин перпендикулярів, відновлених з A х і A у відповідно до осей x та y визначає положення т. A". Відклавши від A" паралельно осі z у бік її негативних значень відрізок AA", довжина якого дорівнює 10, знаходимо положення точки A.

Наочне зображення т. B (30, 0, -20) будується аналогічно – у площині П 2 по осях x і потрібно відкласти відповідні координати. Перетин перпендикулярів, відновлених з B х і B z визначить положення точки B.

Апарат проектування

Апарат проектування (рис. 1) включає три площини проекцій:

π 1 –горизонтальна площина проекцій;

π 2 –фронтальна площина проекцій;

π 3– профільна площина проекцій .

Площини проекцій розташовуються взаємно перпендикулярно ( π 1^ π 2^ π 3), які лінії перетину утворюють осі:

Перетин площин π 1і π 2утворюють вісь 0Х (π 1∩ π 2 = 0Х);

Перетин площин π 1і π 3утворюють вісь 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Перетин площин π 2і π 3утворюють вісь 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Точка перетину осей (ОХ∩OY∩OZ=0) вважається точкою початку відліку (точка 0).

Оскільки площини і осі взаємно перпендикулярні, такий апарат аналогічний декартової системі координат.

Площини проекцій весь простір поділяють на вісім октантів (на рис. 1 вони позначені римськими цифрами). Площини проекцій вважаються непрозорими, а глядач завжди знаходиться в Iом октанті.

Проектування ортогональне з центрами проектування S 1, S 2і S 3відповідно для горизонтальної, фронтальної та профільної площин проекцій.

А.

З центрів проектування S 1, S 2і S 3виходять проєкуючі промені l 1, l 2і l 3 А

- А 1 А;

- А 2– фронтальна проекція точки А;

- А 3– профільна проекція точки А.

Крапка у просторі характеризується своїми координатами A(x,y,z). Крапки A x, A yі A zвідповідно на осях 0X, 0Yі 0Zпоказують координати x, yі zточки А. На рис. 1 дано всі необхідні позначення та показані зв'язки між точкою Апростору, її проекціями та координатами.

Епюр точки

Щоб отримати епюр точки А(рис. 2), в апараті проектування (рис. 1) площина π 1 А 1 0Х π 2. Потім площина π 3з проекцією точки А 3, обертають проти годинникової стрілки навколо осі 0Zдо поєднання її з площиною π 2. Напрямок поворотів площин π 2і π 3показано на рис. 1 стрілки. При цьому прямі А 1 А хі А 2 А х 0Хперпендикулярі А 1 А 2, а прямі А 2 А хі А 3 А хстануть розташовуватися на загальному осі 0Zперпендикулярі А 2 А 3. Ці прямі надалі називатимемо відповідно вертикальною і горизонтальною лініями зв'язків.

Слід зазначити, що при переході від апарату проектування до епюру проектований об'єкт зникає, але вся інформація про його форму, геометричні розміри та місце його положення в просторі зберігаються.

А(x A , y A , z Ax A , y Aі z Aу наступній послідовності (рис. 2). Ця послідовність називається методикою побудови епюра точки.

1. Ортогонально викреслюються осі OX, OYі OZ.

2. На осі OX x Aточки Аі отримують положення точки Ах.

3. Через точку Ахперпендикулярно до осі OX

Аху напрямку осі OYвідкладається чисельне значення координати y Aточки А А 1на епюрі.

Аху напрямку осі OZвідкладається чисельне значення координати z Aточки А А 2на епюрі.

6. Через точку А 2паралельно осі OXпроводиться горизонтальна лінія зв'язку. Перетин цієї лінії та осі OZдасть положення точки А z.

7. На горизонтальній лінії зв'язку від точки А zу напрямку осі OYвідкладається чисельне значення координати y Aточки Ата визначається положення профільної проекції точки А 3на епюрі.

Характеристика точок

Усі точки простору поділяються на точки приватного та загального положень.

Крапки приватного становища. Крапки, що належать апарату проектування, називаються точками приватного становища. До них відносяться точки, що належать площин проекцій, осях, початку координат і центрам проектування. Характерними ознаками точок приватного стану є:

Метаматематичний – одна, дві чи всі чисельні значення координат дорівнюють нулю та (або) нескінченності;

На епюрі – дві або всі проекції точки розташовуються на осях та (або) розташовуються у нескінченності.

Точки загального стану. До точок загального стану належать точки, що не належать апарату проектування. Наприклад, точка Ана рис. 1 та 2.

Загалом чисельні значення координат точки характеризує її віддалення від площини проекцій: координата хвід площини π 3; координата yвід площини π 2; координата zвід площини π 1. Слід зазначити, що знаки при чисельних значеннях координат вказують напрям видалення точки від площин проекцій. Залежно від поєднання знаків при чисельних значеннях координат точки залежить, у якому з октанів вона.

Метод двох зображень

Насправді, крім методу повного проектування використовують метод двох зображень. Він відрізняється тим, що у цьому методі виключається третя проекція об'єкта. Для отримання апарату проектування методу двох зображень з апарату повного проектування виключається профільна площину проекцій з її центром проектування (рис. 3). Крім того, на осі 0Хпризначається початок відліку (точка 0 ) і з нього перпендикулярно до осі 0Ху площинах проекцій π 1і π 2проводять осі 0Yі 0Zвідповідно.

У цьому апараті весь простір ділиться на чотири квадранти. На рис. 3 вони позначені римськими цифрами.

Площини проекцій вважаються непрозорими, а глядач завжди знаходиться в I-ом квадранті.

Розглянемо роботу апарату з прикладу проектування точки А.

З центрів проектування S 1і S 2виходять проєкуючі промені l 1і l 2. Ці промені проходять через точку Аі перетинаючи з площинами проекцій утворюють її проекції:

- А 1- горизонтальна проекція точки А;

- А 2– фронтальна проекція точки А.

Щоб отримати епюр точки А(рис. 4), в апараті проектування (рис. 3) площина π 1з отриманою проекцією точки А 1обертають за годинниковою стрілкою навколо осі 0Хдо поєднання її з площиною π 2. Напрямок повороту площини π 1показано на рис. 3 стрілки. При цьому на епюрі точки отриманої методом двох зображень залишається лише одна вертикальналінія звязку А 1 А 2.

На практиці побудова епюра точки А(x A , y A , z A) здійснюється за чисельними значеннями її координат x A , y Aі z Aу наступній послідовності (рис. 4).

1. Викреслюється вісь OXта призначається початок відліку (точка 0 ).

2. На осі OXвідкладається чисельне значення координати x Aточки Аі отримують положення точки Ах.

3. Через точку Ахперпендикулярно до осі OXпроводиться вертикальна лінія зв'язку.

4. На вертикальній лінії зв'язку від точки Аху напрямку осі OYвідкладається чисельне значення координати y Aточки Ата визначається положення горизонтальної проекції точки А 1 OYне викреслюється, а передбачається, що її позитивні значення розташовуються нижче за осі OXа негативні вище.

5. На вертикальній лінії зв'язку від точки Аху напрямку осі OZвідкладається чисельне значення координати z Aточки Ата визначається положення фронтальної проекції точки А 2на епюрі. Слід зазначити, що на епюрі вісь OZне викреслюється, а передбачається, що її позитивні значення розташовуються вище за осі OXа негативні нижче.

Конкуруючі точки

Крапки одному проецирующем промені називаються конкуруючими. Вони у напрямі проецирующего променя мають загальну їм проекцію, тобто. їх проекції тотожно збігаються. Характерною ознакою конкуруючих точок на епюрі є тотожний збіг їх однойменних проекцій. Конкуренція полягає у видимості цих проекцій щодо спостерігача. Іншими словами, у просторі для спостерігача одна з точок видима, інша – ні. І, відповідно, на кресленні: одна з проекцій точок, що конкурують, видима, а проекція іншої точки – невидима.

На просторовій моделі проектування (рис. 5) із двох конкуруючих точок Аі Ввидима точка Аза двома взаємно доповнювальними ознаками. Судячи з ланцюжка S 1 →А→Вкрапка Аближче до спостерігача, ніж точка В. І, відповідно, – далі від площини проекцій π 1(Тобто. z A > z A).

Рис. 5 Рис.6

Якщо видима сама точка A, то бачимо і її проекція A 1. По відношенню до збігається з нею проекцією B 1. Для наочності і за необхідності на епюрі невидимі проекції точок прийнято укладати у дужки.

Приберемо на моделі точки Аі В. Залишаться їх збігаються проекції на площині π 1та роздільні проекції – на π 2. Умовно залишимо і фронтальну проекцію спостерігача (⇩), що у центрі проектування S 1. Тоді по ланцюжку зображень ⇩ → A 2 → B 2можна буде судити про те, що z A > z Bі що видно і сама точка Ата її проекція А 1.

Аналогічно розглянемо конкуруючі точки Зі Dмабуть щодо площини π 2 . Оскільки загальний проеціюючий промінь цих точок l 2паралельний осі 0Y, то ознака видимості конкуруючих точок Зі Dвизначається нерівністю y C > y D. Отже, що точка Dзакрита точкою Зі відповідно проекція точки D 2буде закрито проекцією точки З 2на площині π 2.

Розглянемо, як визначається видимість конкуруючих точок на комплексному кресленні (рис. 6).

Судячи з проекцій, що збігаються А 1≡В 1самі точки Аі Взнаходяться на одному проекційному промені, паралельному осі 0Z. Значить, порівнянню підлягають координати z Aі z Bцих точок. Для цього використовуємо передню площину проекцій з роздільними зображеннями точок. В даному випадку z A > z B. З цього випливає, що видима проекція А 1.

Крапки Cі Dна аналізованому комплексному кресленні (рис. 6) також знаходяться на одному проецірующем промені, але тільки паралельному осі 0Y. Тому з порівняння y C > y Dробимо висновок, що видима проекція 2 .

Загальне правило . Видимість для збігаються проекцій конкуруючих точок визначається порівнянням координат цих точок у напрямі загального проецирующего променя. Видима та проекція точки, у якої ця координата більша. При цьому порівняння координат ведеться на поверхні проекцій з роздільними зображеннями точок.

Уявимо за допомогою просторового макету. Нехай дані в просторі крапка Aі три взаємно перпендикулярні площині проекції.

Побудуємо проекції точки А, що у першому октанті простору. Для цього через точку проведемо проецірующие промені, що йдуть перпендикулярно до площин проекцій. На перетині цих променів із площинами проекцій H, V, Wзнаходяться проекції самої точки А (A, A, A).

Визначається трьома координатами ( x, y, z), що показують величини відстаней, на які вона віддалена від площин проекцій.
Щоб визначити ці відстані, достатньо через точку Aпровести прямі, перпендикулярні до площин проекцій, визначити точки A`, A", A"`зустрічі цих прямих з площинами проекцій та виміряти величини відрізків [ AA`], [AA"], [AA"`], які вкажуть відповідно значення аплікати z, ординати y, абсциси xточки A.

Крапки A`, A", A"`називають ортогональними проекціями точки A, при цьому згідно з прийнятими позначеннями:
A`- горизонтальна проекція точки A;
A"- фронтальна проекція точки A;
A'`- профільна проекція точки A.

Відрізки:
[AA`] - [OA x] - абсцис точки A;
[AA"] - [OA y] - ордината точки A;
[AA"`] - [OA z] - аплікату точки A.

Прямі ( AA` ⊥ H), (AA" ⊥ V), (AA"` ⊥ W) називають проеціюючими прямимиабо проеціюючими променями.
Пряму ( AA`), що проектує точку Aна горизонтальну площину проекцій, називають горизонтально проеціює прямий (променем).
Пряму ( AA") проектує точку Aна фронтальну площину проекційназивають фронтально проеціює прямий (променем).
Пряму ( AA"`) проектує точку Aна профільну площину проекційназивають профільно-проєкуючої прямої (променем).
Дві проєкуючі прямі, що проходять через точку A, Визначають площину, яку прийнято називати проецирующей.

Щоб отримати епюр точки A, Виконаємо перетворення просторового макета в епюр Монжа:
- фронтальна проекція точки Aзалишається на місці, як належить площині V, яка змінює свого становища при аналізованому перетворенні.
- горизонтальна проекція A`разом із горизонтальною площиною проекції опуститься вниз і розташується на одному перпендикулярі до осі. xз фронтальною проекцією A".
- профільна проекція AA"`буде обертатися разом із профільною площиною проекції та до кінця перетворення займе положення, вказане на малюнку. При цьому AA"`належатиме перпендикуляру до осі z, проведеному через A"і віддалена від осі zна таку ж відстань, на яку горизонтальна проекція A`віддалена від осі x.

Зв'язок між горизонтальною та профільною проекціями точки може бути встановлений за допомогою двох ортогональних відрізків [ A`A y] та [ A y A"`] і сполучає їх дуги кола, з центром у точці перетину координатних осей.
Зазначеним зв'язком користуються для знаходження недостатньої профільної або горизонтальної проекції.

Положення профільної (горизонтальної) проекції за заданими горизонтальною (профільною) та фронтальною проекціями може бути знайдено і без проведення дуги кола. У цьому випадку зв'язок між горизонтальною та профільною проекціями може бути встановлений за допомогою ламаної лінії A`,A o ,A```з вершиною A oна бісектрисі кута, утвореного осями y.
Бісектрису O,A o ,A"`називають постійною прямою k oепюра Монжа.

Представлена ​​малюнку плоска модель (эпюр) несе таку інформацію, яка міститься у просторовому макеті.
Справді: щоб визначити положення точки у просторі, необхідно знати три координати точки A - (x, y, z) - це довжини відрізків [ AA"`], [AA"], [AA`].
Величини цих відрізків можуть бути легко визначені на епюрі:
[AA"`] ≅ [A`A y] ≅ [A"A z];
[AA"] ≅ [A`A x] ≅ [A'`A z];
[AA`] ≅ [A"A x] ≅ [A'`A y].

Горизонтальна проекція точки Aвизначається абсцисою xта ординатою y
Фронтальна проекція – абсцисою xта аплікати z
Профільна проекція - ординатою yта аплікати z

A[A`(x, y); A"(x, z); A'`(y, z)]

Із запису випливає:
1. Точка у просторі видалена:
а) від площини проекції W Aвіддалена від осі y(або фронтальна проекція Aвід осі z);
б) від площини проекції Vна таку саму величину, на яку горизонтальна проекція цієї точки Aвіддалена від осі x(або її профільна проекція A'`від осі z);
в) від площини проекції Hна таку ж величину, яку її фронтальна проекція A"віддалена від осі x(або її профільна проекція A'`від осі y).

2. цілком визначається положенням її двох ортогональних проекцій.
Як наслідок з цього - по двох будь-яких заданих ортогональних проекціях точки завжди можна побудувати третю ортогональну проекцію, що її бракує.
Справді: хоч би яке поєднання з двох ортогональних проекцій ми не взяли, вони завжди дають нам значення всіх трьох координат точки.
3. a) горизонтальна та фронтальна проекції будь-якої точки належать одному перпендикуляру до осі x.

Якщо взяти до уваги, що на епюрі прямі, перпендикулярні до осей проекцій і що з'єднують різноіменні проекції точок, називають лініями зв'язку (проекційного зв'язку), то пункт 3 а) може бути сформульований інакше:
горизонтальна та фронтальна проекції будь-якої точки належать одній лінії зв'язку.

б) горизонтальна та профільна проекції будь-якої точки належать одному перпендикуляру (одній лінії зв'язку) до осі y;
в) фронтальна та профільна проекції будь-якої точки належать одному перпендикуляру (одній лінії зв'язку) до осі z.