Площа проекції трикутника на площину. Теорема про площу ортогональної проекції. III. Домашнє завдання
Детальний доказ теореми про ортогональної проекції багатокутника
Якщо - проекція плоского n -угольніка на площину, то, де - кут між площинами багатокутників і. Іншими словами, площа проекції плоского багатокутника дорівнює добутку площі проектованого багатокутника на косинус кута між площиною проекції і площиною проектованого багатокутника.
Доведення. I етап. Проведемо доказ спочатку для трикутника. Розглянемо 5 випадків.
1 випадок. лежать в площині проекції .
Нехай - проекції точок на площину відповідно. У нашому випадку. Покладемо, що. Нехай - висота, тоді за теоремою про три перпендикуляри ми можемо зробити висновок, що - висота (- проекція похилої, - її основу і пряма проходить через підставу похилій, причому).
Розглянемо. Він прямокутний. За визначенням косинуса:
З іншого боку, так як і, тоді за визначенням - лінійний кут двогранного кута, утвореного напівплощиною площин і з граничною прямою, а, отже, його міра є також і мірою кута між площинами проекції трикутника і самого трикутника, тобто.
Знайдемо відношення площі до:
Зауважимо, що формула залишається вірною навіть коли. В цьому випадку
2 випадок. Тольколежіт в площині проекції і паралельна площині проекції .
Нехай - проекції точок на площину відповідно. У нашому випадку.
Проведемо через точку пряму. У нашому випадку пряма перетинає площину проекції, значить, по лемі, і пряма перетинає площину проекції. Нехай це буде в точці Так як, то точки лежать в одній площині, а так як паралельна площині проекції, то по слідству з ознаки паралельності прямої і площини слід, що. Отже, - паралелограм. Розглянемо і. Вони рівні за трьома сторонам (- загальна, як протилежні сторони паралелограма). Зауважимо, що чотирикутник - прямокутник і дорівнює (по катету і гіпотенузі), отже, дорівнює по трьом сторонам. Тому і.
Для застосуємо 1 випадок:, т. Е ..
3 випадок. Тольколежіт в площині проекції і не паралельна площині проекції .
Нехай точка - точка перетину прямої з площиною проекції. Зауважимо, що і. По 1 випадку: і. Таким чином отримуємо, що
4 випадок. Вершини не лежать в площині проекції . Розглянемо перпендикуляри. Візьмемо серед цих перпендикулярів найменший. Нехай це буде перпендикуляр. Може виявитися, що, або тільки, або тільки. Тоді все одно беремо.
Відкладемо від точки на відрізку точку, так, щоб і від точки на відрізку точку, так, щоб. Така побудова можливо, так як - найменший з перпендикулярів. Зауважимо, що є проекцією і, по побудові. Доведемо, що і рівні.
Розглянемо чотирикутник. За умовою - перпендикуляри до однієї площини, отже, по теоремі, тому. Так як з побудови, тоді за ознакою паралелограма (по паралельних і рівним протилежними сторонам) ми можемо зробити висновок, що - паралелограм. Значить,. Аналогічно доводиться, що,. Отже, і рівні за трьома сторонам. Тому. Зауважимо, що і, як протилежні сторони паралелограма, отже, за ознакою паралельності площин,. Так як ці площині паралельні, то вони утворюють один і той же кут з площиною проекції.
Для застосовні попередні випадки :.
5 випадок. Площина проекції перетинає сторони . Розглянемо прямі. Вони перпендикулярні до площини проекції, тому по теоремі вони паралельні. На сонаправленнимі променях з началами в точках відповідно відкладемо рівні відрізки, таким чином, щоб вершини лежали поза площиною проекції. Зауважимо, що є проекцією і, по побудові. Покажемо, що дорівнює.
Так як і, з побудови, тоді. Отже, за ознакою паралелограма (за двома рівним і паралельним сторонам), - паралелограм. Аналогічно доводиться, що і - паралелограми. Але тоді, і (як протилежні сторони), тому дорівнює за трьома сторонам. Значить,.
Крім того, і, тому, за ознакою паралельності площин. Так як ці площині паралельні, то вони утворюють один і той же кут з площиною проекції.
Для застосуємо 4 випадок :.
II етап. Розіб'ємо плоский багатокутник на трикутники за допомогою діагоналей, проведених з вершини: Тоді по попереднім випадкам для трикутників:.
Що і потрібно було довести.
Розгляну питання про формулу проекцій граней прямокутного тетраедра. Попередньо розгляну ортогональное проектування відрізка, що лежить в площині α, виділивши два випадки розташування цього відрізка відносно прямої l \u003d α∩π.
Випадок 1.
AB∥l (Рис. 8). Відрізок A 1 B 1, який є ортогональної проекцією відрізка AB, дорівнює і паралельний відрізку АВ.
Мал. 8
Випадок 2.
CD⊥l (Рис. 8). По теоремі про три перпендикуляри пряма C 1 D 1, що є ортогональною проекцією прямої CD, також перпендикулярна прямий l. Отже, ∠CEC 1 - кут між площиною α і площиною проекцій π, т. Е., Де C 0 D \u003d C 1 D 1. Тому | C 1 D 1 | \u003d | CD | ∙ cosφ
Тепер розгляну питання про ортогональному проектуванні трикутника.
Площа ортогональної проекції трикутника на площину дорівнює площі проектованого трикутника, помноженої на косинус кута між площиною трикутника і площиною проекцій.
Доведення.Площа проекції трикутника. По теоремі про три перпендикуляри пряма B 1 H 1 - ортогональна проекція прямої ВН - перпендикулярна прямий l, отже, відрізок В 1 Н 1 - висота трикутника A 1 B 1 C 1. Тому. Таким чином, .
а) Нехай одна зі сторін, наприклад АС, проектованого трикутника ABC паралельна прямій l \u003d α∩π (рис. 9) або лежить на ній.
Тоді його висота ВН перпендикулярна прямий l, а площа дорівнює, т. Е.
Мал. 9
б) Жодна зі сторін проектованого трикутника ABC не паралельна прямій l (рис. 10). Проведу через кожну вершину трикутника пряму, паралельну прямій l. Одна з цих прямих лежить між двома іншими (на малюнку - це пряма m), і, отже, розбиває трикутник ABC на трикутники ABD і ACD з висотами відповідно ВН і РЄ, проведеними до їх загальної стороні AD (або її продовження), яка паралельна l. Пряма m 1 - ортогональна проекція прямої m - також розбиває трикутник А 1 В 1 С 1 - ортогональную проекцію трикутника ABC - на трикутники A 1 B 1 D 1 і A 1 C 1 D 1, де. Беручи до уваги (9) і (10), отримую
Розглянемо площину p і перетинає її пряму . нехай А - довільна точка простору. Через цю точку проведемо пряму , Паралельну прямий . нехай . Крапка називається проекцією точки А на площину p при паралельному проектуванні по заданій прямій . площина p , На яку проектуються точки простору називається площиною проекції.
p - площину проекції;
- пряма проектування; ;
; ; ;
ортогональное проектування є окремим випадком паралельного проектування. Ортогональное проектування - це таке паралельне проектування, при якому пряма проектування перпендикулярна площині проекції. Ортогональное проектування широко застосовується в технічному кресленні, Де фігура проектується на три площини - горизонтальну і дві вертикальні.
визначення:
Ортогональної проекцією точки М на площину pназивається підстава М 1перпендикуляра ММ 1, Опущеного з точки М на площину p.
позначення: , 
, .
визначення: Ортогональні проекції фігури F на площину pназивається безліч всіх точок площині, є ортогональними проекціями безлічі точок фігури F на площину p.
Ортогональное проектування, як окремий випадок паралельного проектування, має ті ж властивості:
p - площину проекції;
- пряма проектування; ;
1) ;
2) , .
- Проекції паралельних прямих паралельні.
ПЛОЩА ПРОЕКЦІЇ ПЛОСКОЇ ФІГУРИ
теорема: Площа проекції плоского багатокутника на деяку площину дорівнює площі проектованого багатокутника, помноженою на косинус кута між площиною багатокутника і площиною проекції.
1 етап: Проектована фігура - трикутник АВС, сторона якого АС лежить в площині проекції a (паралельна площині проекції a).
дано:
довести:
Доведення:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. По теоремі про три перпендикуляри;
ВD - висота; В 1 D - висота;
5. - лінійний кут двогранного кута;
6. ; ; ; 
;
2 етап: Проектована фігура - трикутник АВС, жодна зі сторін якого не лежить в площині проекції a і не паралельна їй.
дано:
довести:
Доведення:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(1 етап);
5. ; ; ;
(1 етап);
Етап: Проектована фігура - довільний багатокутник.
Доведення:
Багатокутник розбивається діагоналями, проведеними з однієї вершини, на кінцеве число трикутників, для кожного з яких теорема вірна. Тому теорема буде вірна і для суми площ всіх трикутників, площини яких утворюють один і той же кут з площиною проекції.
зауваження: Доведена теорема справедлива для будь-якої плоскої фігури, Обмеженій замкненій кривій.
вправи:
1. Знайти площу трикутника, площина якого нахилена до площини проекції під кутом, якщо проекція його - правильний трикутник зі стороною а.
2. Знайти площу трикутника, площина якого нахилена до площини проекції під кутом, якщо проекція його - рівнобедрений трикутник з бічною стороною 10 см і підставою 12 см.
3. Знайти площу трикутника, площина якого нахилена до площини проекції під кутом, якщо проекція його - трикутник зі сторонами 9, 10 і 17 см.
4. Обчислити площу трапеції, площина якої нахилена до площини проекції під кутом, якщо проекція її - рівнобедрена трапеція, більше підставу якої 44 см, бічна сторона 17 см і діагональ 39 см.
5. Обчислити площу проекції правильного шестикутника зі стороною 8 см, площина якого нахилена до площини проекції під кутом.
6. Ромб зі стороною 12 см і гострим кутом утворює з цією площиною кут. Обчислити площу проекції ромба на цю площину.
7. Ромб зі стороною 20 см і діагоналлю 32 см утворює з цією площиною кут. Обчислити площу проекції ромба на цю площину.
8. Проекція навісу на горизонтальну площину є прямокутник зі сторонами і. Знайти площу навісу, якщо бічні грані - рівні прямокутники, нахилені до горизонтальної площини під кутом, а середня частина навісу - квадрат, паралельний площині проекції.
11. Вправи на тему «Прямі та площини в просторі»:
Сторони трикутника дорівнюють 20 см, 65 см, 75 см. З вершини більшого кута трикутника проведено до його площини перпендикуляр, рівний 60 см. Знайти відстань від кінців перпендикуляра до більшої сторони трикутника.
2. З точки, віддаленої від площини на відстані см, проведено дві похилі, які утворюють з площиною кути, рівні, а між собою - прямий кут. Знайти відстань між точками перетину похилих з площиною.
3. Сторона правильного трикутника дорівнює 12 см. Точка М обрана так, що відрізки, що з'єднують точку М з усіма вершинами трикутника, утворюють з його площиною кути. Знайти відстань від точки М до вершин і сторін трикутника.
4. Через сторону квадрата проведено площину під кутом до діагоналі квадрата. Знайти кути, під якими нахилені до площини дві сторони квадрата.
5. Катет рівнобедреного прямокутного трикутника нахилений до площини a, що проходить через гіпотенузу, під кутом. Довести, що кут між площиною a і площиною трикутника дорівнює.
6. Двогранний кут між площинами трикутників АВС і DВС дорівнює. Знайти АD, якщо АВ \u003d АС \u003d 5 см, ВС \u003d 6 см, ВD \u003d DС \u003d см.
Контрольні питання по темі «Прямі та площини в просторі»
1. Перерахувати основні поняття стереометрії. Сформулювати аксіоми стереометрії.
2. Довести слідства з аксіом.
3. Яке взаємне розташування двох прямих у просторі? Дати визначення пересічних, паралельних, перехресних прямих.
4. Довести ознака перехресних прямих.
5. Яке взаємне розміщення прямої і площини? Дати визначення пересічних, паралельних прямої і площини.
6. Довести ознака паралельності прямої і площини.
7. Яке взаємне розташування двох площин?
8. Дати визначення паралельних площин. Довести ознака паралельності двох площин. Сформулювати теореми про паралельних площинах.
9. Дати визначення кута між прямими.
10. Довести ознака перпендикулярності прямої і площини.
11. Дати визначення підстави перпендикуляра, підстави похилій, проекції похилої на площину. Сформулювати властивості перпендикуляра і похилих, опущених на площину з однієї точки.
12. Дати визначення кута між прямою і площиною.
13. Довести теорему про три перпендикуляри.
14. Дати визначення двогранного кута, лінійного кута двогранного кута.
15. Довести ознака перпендикулярності двох площин.
16. Дати визначення відстані між двома різними точками.
17. Дати визначення відстані від точки до прямої.
18. Дати визначення відстані від точки до площини.
19. Дати визначення відстані між прямою і паралельною їй площиною.
20. Дати визначення відстані між паралельними площинами.
21. Дати визначення відстані між перехресними прямими.
22. Дати визначення ортогональної проекції точки на площину.
23. Дати визначення ортогональної проекції фігури на площину.
24. Сформулювати властивості проекцій на площину.
25. Сформулювати і довести теорему про площу проекції плоского багатокутника.
В останнім часом в завданні С2 зустрічаються завдання, в яких необхідно побудувати перетин многогранника площиною і знайти його площу. Таке завдання запропонована в демоверсії. Часто буває зручно знаходити площа перетину через площу його ортогональної проекції. У презентації приведена формула для такого рішення і докладний розбір завдання, який супроводжується серією креслень.
Завантажити:
Попередній перегляд:
щоб користуватися попереднім переглядом презентацій створіть собі аккаунт (обліковий запис) Google і увійдіть в нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Підготовка до ЄДІ - 2014 з математики. Знаходження площі перетину через площу його ортогональної проекції. Завдання С2 Учитель математики МБОУ ЗОШ № 143 м Красноярська Князькина Т. В.
Розглянемо рішення такого завдання: В прямокутному паралелепіпеді,. Перетин паралелепіпеда проходить через точки B і D і утворює з площиною ABC кут. Знайдіть площу перерізу. Ч асто буває зручно знаходити площа перетину через площу його ортогональної проекції. Знаходження площі трикутника через площу його ортогональної проекції легко ілюструється таким малюнком:
CH- висота трикутника ABC, C 'H - висота трикутника ABC ", який є ортогональною проекцією трикутника ABC. З прямокутного трикутника CHC": Площа трикутника ABC "дорівнює Площа трикутника ABC дорівнює Cледовательно, площа трикутника ABC дорівнює площі трикутника ABC', поділеній на косинус кута між площинами трикутника ABC і трикутника ABC ", який є ортогональною проекцією трикутника ABC.
Оскільки площа будь-якого багатокутника можна представити у вигляді суми площ трикутників, площа багатокутника дорівнює площі його ортогональної проекції на площину поділеній на косинус кута між площинами багатокутника і його проекції. Використовуємо цей факт для вирішення нашої задачі (див. Слайд 2) План вирішення такого: А) Будуємо розтин. Б) Знаходимо його ортогональну проекцію на площину підстави. В) Знаходимо площа ортогональної проекції. Г) Знаходимо площа перерізу.
1. Спочатку нам потрібно побудувати це перетин. Очевидно, що відрізок BD належить площині перетину і площини підстави, тобто належить лінії перетину площин:
Кут між двома площинами - це кут між двома перпендикулярами, які проведені до лінії перетину площин і лежать в цих площинах. Нехай точка O - точка перетину діагоналей підстави. OC - \u200b\u200bперпендикуляр до лінії перетину площин, який лежить в площині підстави:
2. Визначимо положення перпендикуляра, який лежить в площині перетину. (Пам'ятаємо, що якщо пряма перпендикулярна проекції похилій, то вона перпендикулярна і самої похилої. Шукаємо похилу по її проекції (OC) і розі між проекцією і похилій). Знайдемо тангенс кута COC ₁ між OC ₁ і OC
Отже, кут між площиною перерізу і площиною основи більше, ніж між OC ₁ і OC. Тобто перетин розташоване якось так: K - точка перетину OP і A ₁C₁, LM || B₁D₁.
Отже, ось наше перетин: 3. Знайдемо проекцію перетину BLMD на площину підстави. Для цього знайдемо проекції точок L і M.
Чотирикутник BL ₁M₁D - проекція перетину на площину підстави. 4. Знайдемо площу чотирикутника BL ₁M₁D. Для цього з площі трикутника BCD віднімемо площа трикутника L ₁CM₁ Знайдемо площу трикутника L ₁CM₁. Трикутник L ₁CM₁ подібний трикутнику BCD. Знайдемо коефіцієнт подібності.
Для цього розглянемо т реугольнікі OPC та OKK₁: Отже, і площа трикутника L₁CM₁ становить 4/25 площі трикутника BCD (відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності). Тоді площа чотирикутника BL₁M₁D дорівнює 1-4 / 25 \u003d 21/25 площі трикутника BCD і дорівнює
5. Тепер знайдемо 6. І, нарешті, отримуємо: Відповідь: 112
По темі: методичні розробки, презентації та конспекти
Перевірочна робота з дисципліни "Інженерна комп'ютерна графіка" складається з чотирьох тестових завдань на встановлення відповідності. На виконання завдань відводиться 15-20 хвилин ....
Підготовка до ЄДІ-2014 з математики. Застосування похідної і первісної (прототипи В8 з відкритого банку завдань ЄДІ)
презентація з коротким курсом теорії та рішеннями різних прототипів В8 з відкритого банку завдань ЄДІ. Можливе застосування для інтерактивної дошки або ПК учнів для самостійної підготовки ....
Підготовка до ЄДІ-2014 з математики. Рішення завдання С1.
У матеріалі наведено рішення завдання С1 (тригонометричного рівняння) і 4 способи відбору коренів, що належать проміжку: за допомогою тригонометричної окружності, за допомогою графіка функції, перебір ...
ГЕОМЕТРІЯ
Плани-конспекти уроків для 10 класів
урок 56
Тема. Площа ортогональної проекції багатокутника
Мета уроку: вивчення теореми про площі ортогональної проекції багатокутника, формування вмінь учнів застосовувати вивчену теорему до вирішення завдань.
Устаткування: стереометричних набір, модель куба.
Хід уроку
І. Перевірка домашнього завдання
1. Два учні відтворюють розв'язування задач № 42, 45 на дошці.
2. Фронтальне опитування.
1) Дайте визначення кута між двома площинами, які перетинаються.
2) Чому дорівнює кут між:
а) паралельними площинами;
б) перпендикулярними площинами?
3) В яких межах може змінюватися кут між двома площинами?
4) вірно Лі, що площина, яка перетинає паралельні площині, Перетинає їх під однаковими кутами?
5) вірно Лі, що площина, яка перетинає перпендикулярні площині, Перетинає їх під однаковими кутами?
3. Перевірка правильності вирішення завдань № 42, 45, яке відтворили учні на дошці.
II. Сприйняття і усвідомлення нового матеріалу
завдання учням
1. Доведіть, що площа проекції трикутника, у якого одна сторона знаходиться в площині проекції, дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною багатокутника і площиною проекції.
2. Доведіть теорему для випадку, коли граткову є трикутник, у якого одна сторона паралельна площині проекцій.
3. Доведіть теорему для випадку, коли граткову є трикутник, у якого ні одна зі сторін не паралельна площині проекцій.
4. Доведіть теорему для будь-якого багатокутника.
Розв'язання задач
1. Знайти площу ортогональної проекції багатокутника, площа якого дорівнює 50 см2, а кут між площиною багатокутника і його проекції - 60 °.
2. Знайти площу багатокутника, якщо площа ортогональної проекції цього багатокутника дорівнює 50 см2, а кут між площиною багатокутника і його проекцією дорівнює 45 °.
3. Площа багатокутника дорівнює 64 см2, а площа ортогональної проекції - 32 см2. Знайдіть кут між площинами багатокутника і його проекції.
4. Чи може площа ортогональної проекції багатокутника дорівнює площі цього багатокутника?
5. Ребро куба дорівнює а. Знайти площу перерізу куба площиною, що проходить через вершину основи під кутом 30 ° до цієї основи і перетинає всі бічні ребра. (Відповідь.)
6. Завдання № 48 (1, 3) з підручника (с. 58).
7. Завдання № 49 (2) з підручника (с. 58).
8. Сторони прямокутника дорівнюють 20 і 25 см. Його проекція на площину подібна йому. Знайти периметр проекції. (Відповідь. 72 см або 90 см.)
III. Домашнє завдання
§4, п. 34; контрольне питання № 17; задачі№ 48 (2), 49 (1) (с. 58).
IV. Підбиття підсумку уроку
Питання до класу
1) Сформулюйте теорему про площу ортогональної проекції багатокутника.
2) може Лі площа ортогональної проекції багатокутника бути більшої площі багатокутника?
3) Через гіпотенузу АВ прямокутного трикутника АВС проведена площину α під кутом 45 ° до площини трикутника і перпендикуляр CO до площини α. АС \u003d 3 см, ВС \u003d 4 см. Вкажіть, які з наведених тверджень правильні, а які - неправильні:
а) кут між площинами АВС і α дорівнює куту СМО, де точка Н - основа висоти СМ трикутника АВС;
б) СО \u003d 2,4 см;
в) трикутник АОС є ортогональною проекцією трикутника АВС на площину α;
г) площа трикутника АОВ дорівнює 3 см2.
(Відповідь. А) Правильне; б) неправильно; в) неправильне; г) правильне.)
Схожі статті
-
Skyrim - Фікс вильотів при завантаженні збереження Завантажити мод на Скайрім краш фікс
Примітка: Якщо ви відчуваєте проблеми після установки (вильоти при відкритті меню, збільшення підвисань, графічні неполадки, тоді спробуйте вписати "EnableOnlyLoading \u003d true" в data / SKSE / Plugins / SafetyLoad.ini. Це змусить ...
-
Що вище місяця. Вище місяця. Спеціально для групи world of different books переклади книг
Висока і низька Місяць сайт - "Спостерігач" 22-07-2007 Влітку повний Місяць над горизонтом ходить низько над горизонтом. Іноді її важко розглянути за деревами і будівлями. Кожна людина знає, що фаза Місяця змінюється день у день. Ось ...
-
Видано указ про створення колегій
Всю державну діяльність Петра I умовно можна розділити на два періоди: 1695-1715 роки та 1715-1725. Особливістю першого етапу були поспіх і не завжди продуманий характер, що пояснювалося веденням Північної війни. Реформи були ...
-
Громадянська війна - Брати Бурі
Після недовгого ради з Галмар, ярл Ульфрік віддасть наказ штурмувати непокірне місто. Нас він відсилає до табору, який Брати Бурі вже розбивають неподалік від Вайтрана (при цьому саме місто з карти пропаде, щоб не було спокуси ...
-
Квест «Без вісті зниклий»: «Скайрім»
Звільнити Торальда в Скайрім виникає необхідність в сторонньому квесті фракції Сірі Гриви. Сам квест почнеться після діалогу з фрейле Сіра Голова в Вайтране, та розповість Довакін, що її син живий, хоч чутки ходять прямо ...
-
Skyrim - Магія Як знайти заклинання в Скайріме
Магія - невід'ємна частина світу Нірн, вона дозволяє управляти стихіями, закликати істот, зцілювати рани, змінювати матерію і створювати ілюзії. Все це доступно для вивчення і в Скайріме. Щоб подивитися доступні вам заклинання, ...