Що потрібно щоб знайти центр ваги тіла. Визначення координат центру ваги плоских фігур. «Рішення задач комплексного характеру»

Мета роботи – визначити центр ваги складної фігури аналітичним і досвідченим шляхами.

Теоретичне обґрунтування. Матеріальні тіла складаються з елементарних частинок, Положення яких в просторі визначається їх координатами. Сили тяжіння кожної частки до Землі можна вважати системою паралельних сил, рівнодіюча цих сил називається силою тяжіння тіла або вагою тіла. Центр ваги тіла - це точка прикладання сили тяжіння.

Центр тяжкості - це геометрична точка, яка може бути розташована і поза тілом (наприклад, диск з отвором, порожниста куля і т.п.). велике практичне значення має визначення центру ваги тонких плоских однорідних пластин. Їх товщиною зазвичай можна знехтувати і вважати, що центр ваги розташований в площині. якщо координатну площину xOy поєднати з площиною фігури, то положення центра ваги визначається двома координатами:

де - площа частини фігури, ();

- координати центру ваги частин фігури, мм (см).

перетин фігури	А, мм 2	X c, мм	Y c, мм
	bh	b / 2	h / 2
	bh / 2	b / 3	h / 3
	R 2 a
При 2α \u003d π πR 2/2

Порядок проведення роботи.

Накреслити фігуру складної форми, що складається з 3-4 простих фігур (прямокутник, трикутник, коло і т.п.) в масштабі 1: 1 і проставити її розміри.

Провести осі координат так, щоб вони охоплювали всю фігуру, розбити складну фігуру на прості частини, визначити площу і координати центру ваги кожної простої фігури щодо обраної системи координат.

Обчислити координати центру ваги всієї фігури аналітично. Вирізати дану фігуру з тонкого картону або фанери. Просвердлити два отвори, краї отворів повинні бути гладкими, а діаметр отворів трохи більше діаметру голки для підвішування фігури.

Підвісити фігуру спочатку в одній точці (отворі), прокреслити олівцем лінію, збігається з ниткою виска. Те ж повторити при підвішуванні фігури в іншій точці. Центр ваги фігури, знайдений дослідним шляхом, повинні збігатися.

Визначити координати центра ваги тонкої однорідної пластини аналітично. Перевірку провести дослідним шляхом

алгоритм рішення

1. Аналітичний спосіб.

а) Креслення викреслити в масштабі 1: 1.

б) Складну фігуру розбити на прості

в) Вибрати й провести осі координат (якщо фігура симетрична, то - по осі симетрії, в іншому випадку - по контору фігури)

г) Обчислити площу простих фігур і всієї фігури

д) Відзначити положення центра ваги кожної простої фігури на кресленні

е) Обчислити координати центру ваги кожної фігури

(По осі x і y)

ж) Обчислити координати центру ваги всієї фігури за формулою

з) Відзначити положення центра ваги на кресленні С (

2. Дослідне визначення.

Правильність рішення завдання перевірити дослідним шляхом. Вирізати дану фігуру з тонкого картону або фанери. Просвердлити три отвори, краї отворів повинні бути гладкими, а діаметр отворів трохи більше діаметру голки для підвішування фігури.

Підвісити фігуру спочатку в одній точці (отворі), прокреслити олівцем лінію, збігається з ниткою виска. Те ж повторити при підвішуванні фігури в інших точках. Значення координат центру ваги фігури, знайдених при підвішуванні фігури в двох точках:. Центр ваги фігури, знайдений дослідним шляхом, повинні збігатися.

3.Заключеніе про становище центру ваги при аналітичному і дослідному визначенні.

завдання

Визначити центр ваги плоского перетину аналітичним і досвідченим шляхом.

приклад виконання

завдання

Визначити координати центра ваги тонкої однорідної пластини.

I Аналітичний спосіб

1. Креслення викреслюється в масштабі (розміри зазвичай дані в мм)

2. Складну фігуру розбиваємо на прості.

1 Прямокутник

2 Трикутник (прямокутник)

3 Площа півкола (її немає, знак мінус).

Знаходимо положення центра ваги простих фігур точок, і

3. Проводимо осі координат як зручно і відзначаємо початок координат т. О.

4. Обчислюємо площі простих фігур і площа всієї фігури. [Розмір в см]

(3. немає, знак -).

Площа всієї фігури

5. Знаходимо координату ц.т. , І на кресленні.

6. Обчислюємо координати точок C 1, C 2 і C 3

7. Обчислюємо координати точки C

8. На кресленні відзначаємо точку

II Дослідним шляхом

Координати центра ваги дослідним шляхом.

Контрольні питання.

1. Чи можна розглядати силу тяжіння тіла як рівнодіюча систему паралельних сил?

2. Чи може розташовуватися центр ваги все самого тіла?

3. У чому сутність досвідченого визначення центра ваги плоскої фігури?

4. Як визначається центр ваги складної фігури, що складається з декількох простих фігур?

5. Як слід раціонально проводити розбиття фігури складної форми на прості фігури при визначенні центру ваги всієї фігури?

6. Який знак має площу отворів у формулі для визначення центру ваги?

7. На перетині яких ліній трикутника знаходиться його центр ваги?

8. Якщо фігуру важко розбити на невелике число простих фігур, який спосіб визначення центру ваги може дати найбільш швидку відповідь?

Практична робота №6

«Рішення задач комплексного характеру»

Мета роботи: вміти вирішувати завдання комплексного характеру (кінематика, динаміка)

Теоретичне обґрунтування: Швидкість є кінематична міра руху точки, що характеризує швидкість зміни її положення. Швидкість точки являє собою вектор, що характеризує швидкість і напрямок руху точки в даний момент часу. При завданні руху точки рівняннями проекції швидкості на осі декартових координат рівні:

Модуль швидкості точки визначається за формулою

Напрямок швидкості визначається напрямними косинусами:

Характеристикою швидкості зміни швидкості є прискорення а. Прискорення точки одно похідною від вектора швидкості за часом:

При завданні руху точки рівняння проекції прискорення на координатні осі рівні:

Модуль прискорення:

Модуль повного прискорення

Модуль дотичного прискорення визначається за формулою

Модуль нормального прискорення визначається за формулою

де - радіус кривизни траєкторії в даній точці.

Напрямок прискорення визначається напрямними косинусами

Рівняння обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі має вигляд

Кутова швидкість тіла:

Іноді кутову швидкість характеризують числом оборотів в хвилину і позначають буквою. Залежність між і має вигляд

Кутове прискорення тіла:

Сила, яка дорівнює добутку маси даній точці на її прискорення та напрямок в сторону прямопротівоположное прискоренню точки, називається силою інерції.

Потужністю називається робота, виконана силою в одиницю часу

Основне рівняння динаміки для обертального руху

- момент інерції тіла відносно осі обертання, є сума добутків мас матеріальних точок на квадрат відстаней їх до цієї осі

завдання

Тіло масою m за допомогою троса, намотуваного на барабан діаметром d, переміщається вгору або вниз по похилій площині з кутом нахилу α. Рівняння руху тіла S \u003d f (t), рівняння обертання барабана, де S в метрах; φ - в радіанах; t - в секундах. P і ω - відповідно потужність і кутова швидкість на валу барабана в момент кінця розгону або початку гальмування. Час t 1 - час розгону (зі стану спокою до заданої швидкості) або гальмування (від заданої швидкості до зупинки). Коефіцієнт тертя ковзання між тілом і площиною -f. Втратами на тертя на барабані, а також масою барабана знехтувати. При вирішенні завдань прийняти g \u003d 10 м / с 2

№ вар	α, град	закон руху	напр руху	m, кг	t 1, c	d, м	P, кВт	, Рад / с	f	Визна. величини
		S \u003d 0,8t 2	вниз	-	-	0,20	4,0		0,20	m, t 1
		φ \u003d 4t 2	вниз		1,0	0,30	-	-	0,16	P, ω
		S \u003d 1,5t-t 2	вгору	-	-	-	4,5		0,20	m, d
		ω \u003d 15t-15t 2	вгору	-	-	0,20	3,0	-	0,14	m, ω
		S \u003d 0,5t 2	вниз		-	-	1,76		0,20	d, t 1
		S \u003d 1,5t 2	вниз	-	0,6	0,24	9,9	-	0,10	m, ω
		S \u003d 0,9t 2	вниз		-	0,18	-		0,20	P, t 1
		φ \u003d 10t 2	вниз		-	0,20	1,92	-	0,20	P, t 1
		S \u003d t-1,25t 2	вгору		-	-	-		0,25	P, d
		φ \u003d 8t-20t 2	вгору		-	0,20	-	-	0,14	P, ω

приклад виконання

завдання 1(малюнок 1).

Рішення 1. Прямолінійний рух (рисунок 1, а). Точка, що рухалася рівномірно, в певний момент часу отримала новий закон руху, і через деякий проміжок часу зупинилася. Визначити всі кінематичні характеристики руху точки для двох випадків; а) рух по прямолінійній траєкторії; б) рух по криволінійній траєкторії постійного радіуса кривизни r \u003d 100см

Малюнок 1 (а).

Закон зміни швидкості точки

Початкову швидкість точки знайдемо з умови:

Час гальмування до зупинки знайдемо з умови:

при, звідси.

Закон руху точки в період рівномірного руху

Відстань, пройдена точкою по траєкторії за період гальмування,

Закон зміни дотичного прискорення точки

звідки випливає, що в період гальмування точка рухалася равнозамедленно, так як дотичне прискорення негативно і за значенням постійно.

Нормальне прискорення точки на прямолінійній траєкторії руху дорівнює нулю, тобто .

Рішення 2.Криволінійний рух (рисунок 1, б).

Малюнок 1 (б)

В цьому випадку в порівнянні з випадком прямолінійного руху залишаються без зміни все кінематичні характеристики, за винятком нормального прискорення.

Закон зміни нормального прискорення точки

Нормальне прискорення точки в початковий момент гальмування

Прийнята на кресленні нумерація положень точки на траєкторії: 1 - поточний стан точки в рівномірному русі до початку гальмування; 2 - положення точки в момент початку гальмування; 3 - поточний стан точки в період гальмування; 4 - кінцеве положення точки.

Завдання 2.

Вантаж (рис. 2, а) піднімається за допомогою барабанної лебідки. Діаметр барабана d \u003d 0,3 м, а закон його обертання.

Розгін барабана тривав до кутової швидкості . Визначити всі кінематичні характеристики руху барабана і вантажу.

Рішення. Закон зміни кутової швидкості барабана. Початкову кутову швидкість знайдемо з умови:; отже, розгін почався зі стану спокою. Час розгону знайдемо з умови:. Кут повороту барабана за період розгону.

Закон зміни кутового прискорення барабана, звідси випливає, що в період розгону барабан обертався равноускоренно.

Кінематичні характеристики вантажу дорівнюють відповідним характеристикам будь-якої точки тягового троса, а значить, і точки A, що лежить на ободі барабана (рис. 2, б). Як відомо, лінійні характеристики точки обертового тіла визначаються через його кутові характеристики.

Відстань, пройдена вантажем за період розгону,. Швидкість вантажу в кінці розгону.

Прискорення вантажу.

Закон руху вантажу.

Відстань, швидкість і прискорення вантажу можна було визначити й інакше, через знайдений закон руху вантажу:

Завдання 3. Вантаж, що переміщався рівномірно вгору по похилій опорній площині, в певний момент часу отримав гальмування відповідно до нового закону руху , Де s - у метрах і t - в секундах. Маса вантажу m \u003d 100кг, коефіцієнт тертя ковзання між вантажем і площиною f \u003d 0,25. Визначити силу F і потужність на тяговому тросі для двох моментів часу: а) рівномірний рух до початку гальмування;

б) початковий момент гальмування. При розрахунку прийняти g \u003d 10 м /.

Рішення.Визначаємо кінематичні характеристики руху вантажу.

Закон зміни швидкості вантажу

Початкова швидкість вантажу (при t \u003d 0)

прискорення вантажу

Так як прискорення негативно, то рух - уповільнене.

1. Рівномірний рух вантажу.

Для визначення рушійної сили F розглядаємо рівновагу вантажу, на який діє система сходяться сил: сила на тросі F, сила тяжіння вантажу G \u003d mg, нормальна реакція опорної поверхні N і сила тертя, спрямована назустріч руху тіла. Згідно із законом тертя,. Вибираємо напрям координатних осей, як показано на кресленні, і складаємо два рівняння рівноваги для вантажу:

Потужність на тросі до початку гальмування визначимо за відомою формулою

Де м / с.

2. Уповільнений рух вантажу.

Як відомо, при нерівномірному поступальному русі тіла система діючих на нього сил у напрямку руху не є врівноваженою. Згідно з принципом Даламбера (метод кінетостатікі), тіло в цьому випадку можна вважати знаходяться в умовному рівновазі, якщо до всіх діючих на нього сил додати силу інерції, вектор якої спрямований протилежно вектору прискорення. Вектор прискорення в нашому випадку спрямований протилежно вектору швидкості, так як вантаж рухається уповільнено. Складаємо два рівняння рівноваги для вантажу:

Потужність на тросі в момент початку гальмування

Контрольні питання.

1. Як визначити чисельне значення і напрям швидкості точки в даний момент?

2. Що характеризує нормальна і дотична складові повного прискорення?

3. Як перейти від виразу кутової швидкості в хв -1 до її висловом рад / с?

4. Що називають масою тіла? Назвіть одиницю вимірювання маси

5. При якому русі матеріальної точки виникає сила інерції? Чому дорівнює її чисельне значення, як вона спрямована?

6. Сформулюйте принцип Даламбера

7. Чи виникає сила інерції при рівномірному криволінійному русі матеріальної точки?

8. Що таке крутний момент?

9. Як виражається залежність між крутним моментом і кутової швидкості при даній переданої потужності?

10. Основне рівняння динаміки для обертального руху.

Практична робота №7

«Розрахунок конструкцій на міцність»

Мета роботи: визначати міцність, розміри перетину і допустиме навантаження

Теоретичне обґрунтування.

Знаючи силові фактори і геометричні характеристики перерізу при деформації розтягування (стиснення), ми можемо визначити напругу за формулами. А що б зрозуміти, чи витримає наша деталь (вал, шестерня і т. Д.) Зовнішнє навантаження. Необхідно цю величину порівняти з допустимою напругою.

Отже, рівняння статичної міцності

На його підставі вирішують 3 типи завдань:

1) перевірка міцності

2) визначення розмірів перетину

3) визначення допустимої навантаження

Отже, рівняння статичної жорсткості

На його підставі вирішують також 3 типи завдань

Рівняння статичної міцності при розтягуванні (стисканні)

1) Перший тип - перевірка міцності

,

т. е. вирішуємо ліву частину і порівнюємо з допускаються напругою.

2) Другий тип - визначення розмірів перетину

з правої частини площа поперечного перерізу

перетин коло

звідси діаметр d

перетин прямокутник

перетин квадрат

A \u003d a² (мм²)

перетин півколо

Перетину швелер, двутавр, уголок і т. Д.

Значення площі - з таблиці, приймається по ГОСТ

3) Третій тип - визначення допустимого навантаження;

приймається в меншу сторону, ціле число

ЗАВДАННЯ

завдання

А) Перевірка міцності (перевірочний розрахунок)

Для заданого бруса побудувати епюру поздовжніх сил і перевірити міцність на обох ділянках. Для матеріалу бруса (сталь Ст3) прийняти

№ варіанту
	12,5	5,3	-			-
		2,3			-	-
		4,2		-	-

Б) Підбір перерізу (проектний розрахунок)

Для заданого бруса побудувати епюру поздовжніх сил і визначити розміри поперечного перерізу на обох ділянках. Для матеріалу бруса (сталь Ст3) прийняти

№ варіанту
	1,9	2,5
	2,8	1,9
	3,2

В) Визначення допустимої поздовжньої сили

Для заданого бруса визначити допустимі значення навантажень і,

побудувати епюру поздовжніх сил. Для матеріалу бруса (сталь Ст3) прийняти. При вирішенні задачі вважати, що на обох ділянках бруса вид навантаження однаковий.

№ варіанту
	-	-
			-	-
	-	-

Приклад виконання завдання

завдання 1(малюнок 1).

Перевірити міцність колони, виконаної з двотаврових профілів заданого розміру. Для матеріалу колони (сталь Ст3) прийняти допустимі напруження при розтягуванні і при стисканні . У разі наявності перезавантаження або значною недовантаження підібрати розміри двутавров, що забезпечують оптимальну міцність колони.

Рішення.

Заданий брус має дві ділянки 1, 2. Межами ділянок є перетину, в яких прикладені зовнішні сили. Так як сили, що навантажують брус, розташовані по його центральній поздовжній осі, то в поперечних перетинах виникає лише один внутрішній силовий фактор - поздовжня сила, тобто має місце розтягнення (стиснення) бруса.

Для визначення поздовжньої сили застосовуємо метод перерізів метод перетинів. Проводячи подумки перетин в межах кожного з ділянок, будемо відкидати нижню закріплену частину бруса і залишати для розгляду верхню частину. На ділянці 1 поздовжня сила постійна і дорівнює

Знак мінус вказує на те, що на обох ділянках брус стиснутий.

Будуємо епюру поздовжніх сил. Провівши паралельно осі бруса базову (нульову) лінію епюри, відкладаємо перпендикулярно їй в довільному масштабі отримані значення. Як бачимо, епюра виявилася окреслена прямими лініями, паралельними базової.

Виконуємо перевірку міцності бруса, тобто визначаємо розрахункове напруження (для кожної ділянки окремо) і порівнюємо його з допускаються. Для цього використовуємо умову міцності при стисненні

де площа є геометричною характеристикою міцності поперечного перерізу. З таблиці прокатної стали беремо:

для двутавра
для двутавра

Перевірка міцності:

Значення поздовжніх сил взяті за абсолютною величиною.

Міцність бруса забезпечена, проте має місце значна (більше 25%) недовантаження, що неприпустимо внаслідок перевитрати матеріалу.

З умови міцності визначаємо нові розміри двутавра для кожного з ділянок бруса:
Звідси необхідна площа

По таблиці ГОСТу вибираємо двутавр № 16, для якого;

Звідси необхідна площа

По таблиці ГОСТу вибираємо двутавр №24, для якого;

При обраних розмірах двутавров також має місце недовантаження, однак незначна (менше 5%)

Завдання №2.

Для бруса з заданими розмірами поперечного перерізу визначити допустимі значення навантажень і. Для матеріалу бруса (сталь Ст3) прийняти допустимі напруження при розтягуванні і при стисканні .

Рішення.

Заданий брус має дві ділянки 1, 2. Має місце розтягнення (стиснення) бруса.

Застосовуючи метод перетинів, визначаємо поздовжню силу, висловлюючи її через шукані сили і. Проводячи в межах кожного з ділянок перетин, будемо відкидати ліву частину бруса і залишати для розгляду праву частину. На ділянці 1 поздовжня сила постійна і дорівнює

На ділянці 2 поздовжня сила також є сталою і дорівнює

Знак плюс вказує на те, що на обох участкахбрус розтягнутий.

Будуємо епюру поздовжніх сил. Епюра окреслена прямими лініями, паралельними базової.

З умови міцності при розтягуванні визначаємо допустимі значення навантажень і попередньо обчисливши площі заданих поперечних перерізів:

Контрольні питання.

1. Які внутрішні силові фактори виникають в перетині бруса при розтягуванні і стисненні?

2. Запишіть умову міцності при розтягуванні і стисненні.

3. Як призначають знаки поздовжньої сили і нормального напруги?

4. Як зміниться величина напруги, якщо площа поперечного перерізу зросте в 4 рази?

5. Чи відрізняються умови міцності при розрахунку на розтяг і розрахунку на стиск?

6. В яких одиницях вимірюється напруга?

7. Яка з механічних характеристик вибирається в якості граничного напруження для пластичних і крихких матеріалів?

8. У чому різниця між граничним і допускаються напругою?

Практична робота №8

«Рішення задач по визначенню головних центральних моментів інерції плоских геометричних фігур»

Мета роботи: визначити аналітичним шляхом моменти інерції плоских тіл складної форми

Теоретичне обґрунтування. Координати центра ваги перерізу можна виразити через статичний момент:

де відносно осі Оx

щодо осі Оy

Статичний момент площі фігури відносно осі, що лежить в цій же площині, дорівнює добутку площі фігури на відстань її центра ваги до цієї осі. Статичний момент має розмірність. Статичний момент може бути величиною позитивною, негативною і дорівнює нулю (щодо будь-якої центральної осі).

Осьовим моментом інерції перерізу називається взята по всьому перетину сума добутків або інтеграл елементарних майданчиків на квадрати їх відстаней до деякої осі, що лежить в площині розглядуваного перерізу

Осьової момент інерції виражається в одиницях -. Осьової момент інерціі- величина завжди позитивна і не дорівнює нулю.

Осі, що проходять через центр ваги фігури, називаються центральними. Момент інерції відносно центральної осі називається центральним моментом інерції.

Момент інерції щодо будь-якої осі дорівнює центру

Тема відносно проста для засвоєння, однак вкрай важлива при вивченні курсу опору матеріалів. Головну увагу тут слід звернути на вирішення завдань як з плоскими і геометричними фігурами, так і зі стандартними прокатними профілями.

Питання для самоконтролю

1. Що таке центр паралельних сил?

Центр паралельних сил є точка, через яку проходить лінія рівнодіюча системи паралельних сил, прикладених в заданих точках, При будь-якій зміні напрямку цих сил в просторі.

2. Як знайти координати центру паралельних сил?

Для визначення координат центру паралельних сил скористаємося теоремою Варіньона.

щодо осі x

M x (R) \u003d ΣM x (F k), - y C R \u003d Σy kFk і y C \u003d Σy kFk / Σ Fk .

щодо осі y

M y (R) \u003d ΣM y (F k), - x C R \u003d Σx kFk і x C \u003d Σx kFk / Σ Fk .

Щоб визначити координату z C , Повернемо всі сили на 90 ° так, щоб вони стали паралельні осі y (Рисунок 1.5, б). тоді

M z (R) \u003d ΣM z (F k), - z C R \u003d Σz kFk і z C \u003d Σz kFk / Σ Fk .

Отже, формула для визначення радіус-вектора центру паралельних сил набирає вигляду

r C \u003d Σr kFk / Σ Fk.

3. Що таке центр ваги тіла?

Центр ваги - незмінно пов'язана з твердим тілом точка, через яку проходить рівнодіюча сил ваги, що діють на частинки цього тіла при будь-якому положенні тіла в просторі. У однорідного тіла, що має центр симетрії (коло, куля, куб і т. Д.), Центр тяжіння знаходиться в центрі симетрії тіла. Положення центра ваги твердого тіла збігається з положенням його центру мас.

4. Як знайти центр ваги прямокутника, трикутника, кола?

Для знаходження центру ваги трикутника, необхідно намалювати трикутник - фігуру, що складається з трьох відрізків, з'єднаних між собою в трьох точках. Перед тим, як знайти центр ваги фігури, необхідно, використовуючи лінійку, виміряти довжину одного боку трикутника. В середині боку поставте позначку, після чого протилежну вершину і середину відрізка з'єднайте лінією, яка називається медіаною. Той же самий алгоритм повторіть з другою стороною трикутника, а потім і з третьої. Результатом вашої роботи стануть три медіани, які перетинаються в одній точці, яка буде центром тяжіння трикутника. Якщо необхідно визначити центр ваги круглого диска однорідної структури, то для початку знайдіть точку перетину діаметрів кола. Вона і буде центром тяжіння даного тіла. Розглядаючи такі фігури, як куля, обруч і однорідний прямокутний паралелепіпед, Можна з упевненістю сказати, що центр ваги обруча буде знаходитися в центрі фігури, але поза нею точок, центр ваги кулі - геометричний центр сфери, і в останньому випадку, центром вагою вважається перетин діагоналей прямоугольногопараллелепіпеда.

5. Як знайти координати центру ваги плоского складеного перерізу?

Метод розбивки: якщо плоску фігуру можна розбити на кінцеве число таких частин, для кожної з яких положення центра ваги відомо, то координати центру ваги всієї фігури опредляет за формулами:

Х C \u003d (s k x k) / S; Y C \u003d (s k y k) / S,

де x k, y k - координати центрів ваги частин фігури;

s k - їх площі;

S \u003d s k - площа всієї фігури.

6. Центр ваги

1. В якому випадку для визначення центру ваги досить визначити одну координату розрахунковим шляхом?

У першому випадку для визначення центру ваги досить визначити одну координату Тіло розбивається на кінцеве число частин, для кожної з яких положення центра ваги C і площа S відомі. Наприклад, проекцію тіла на площину xOy (Малюнок 1.) можна представити у вигляді двох плоских фігур з площами S 1 і S 2 (S \u003d S 1 + S 2 ). Центри ваги цих фігур знаходяться в точках C 1 (x 1, y 1) і C 2 (x 2, y 2) . Тоді координати центра ваги тіла рівні

Так як центри фігур лежать на осі ординат (х \u003d 0), то знаходимо тільки координату Ус.

2 Як враховується площа отвору в фігурі 4 у формулі для визначення центру ваги фігури?

Метод негативних мас

Цей метод полягає в тому, що тіло, яке має вільні порожнини, вважають суцільним, а масу вільних порожнин - негативною. Вид формул для визначення координат центру ваги тіла при цьому не змінюється.

Таким чином, при визначенні центру ваги тіла, що має вільні порожнини, слід застосовувати метод розбиття, але вважати масу порожнин негативною.

мати уявлення про центр паралельних сил і його властивості;

знатиформули для визначення координат центру ваги плоских фігур;

вмітивизначати координати центра ваги плоских фігур простих геометричних фігур і стандартних прокатних профілів.

ЕЛЕМЕНТИ кінематики і динаміки
Вивчивши кинематику точки, зверніть увагу на те, що прямолінійний рух точки як нерівномірне, так і рівномірне завжди характеризується наявністю нормального (доцентровий) прискорення. При поступальному русі тіла (яке характеризується рухом будь-якої його точки) застосовні всі формули кінематики точки. Формули для визначення кутових величин тіла, що обертається навколо нерухомої осі, мають повну смислове аналогію з формулами для визначення відповідних лінійних величин поступально рухомого тіла.

Тема 1.7. кінематика
При вивченні теми зверніть увагу на основні поняття кінематики: прискорення, швидкість, шлях, відстань.

Питання для самоконтролю

1. У чому полягає відносність понять спокою і руху?

механічний рух це зміна руху тіла, або (його частин) в просторі щодо ін. тел з плином часу. Політ кинутого каменя, обертання колеса-приклади механічного руху.

2. Дайте визначення основних понять кінематики: траєкторії, віддалі, шляхи, швидкості, прискорення, часу.

Швидкість - це кінематична міра руху точки, що характеризує швидкість зміни її положення в просторі. швидкість є векторною величиною, Т. Е. Вона характеризується не тільки модулем (скалярної складової), а й напрямком в просторі.

Як відомо з фізики, при рівномірному русі швидкість може бути визначена довжиною шляху, пройденого за одиницю часу: v \u003d s / t \u003d const (передбачається, що початок відліку шляху і часу збігаються). При прямолінійному русі швидкість постійна і по модулю, і по напрямку, а її вектор збігається з траєкторією.

Одиниця швидкості в системі СІ визначається співвідношенням довжина / час, т. е. м / с.

Прискорення є кінематична міра зміни швидкості точки в часі. Іншими словами - прискорення - це швидкість зміни швидкості.
Як і швидкість, прискорення є величиною векторною, т. Е. Характеризується не тільки модулем, але і напрямком в просторі.

При прямолінійному русі вектор швидкості завжди збігається з траєкторією і тому вектор зміни швидкості теж збігається з траєкторією.

З курсу фізики відомо, що прискорення являє собою зміну швидкості в одиницю часу. Якщо за невеликий проміжок часу Δt швидкість точки змінилася на Δv, то середнє прискорення за даний проміжок часу склало: а ср \u003d Δv / Δt.

Середнє прискорення не дає уявлення про справжню величиною зміни швидкості в кожен момент часу. При цьому очевидно, що чим менше розглянутий проміжок часу, під час якого відбулася зміна швидкості, тим ближче значення прискорення буде до істинного (миттєвого).
Звідси визначення: справжнє (миттєве) прискорення є межа, до якого прагне середнє прискорення при Δt, яка прагне до нуля:

а \u003d lim а ср при t → 0 або lim Δv / Δt \u003d dv / dt.

З огляду на, що v \u003d ds / dt, отримаємо: а \u003d dv / dt \u003d d 2 s / dt 2.

Істинне прискорення в прямолінійному русі одно першої похідної швидкості або другій похідній координати (відстані від початку відліку переміщення) за часом. Одиниця прискорення - метр, поділений на секунду в квадраті (м / с 2).

траєкторія - лінія в просторі, вздовж якої рухається матеріальна точка.
шлях - це довжина траєкторії. Пройдений шлях l дорівнює довжині дуги траєкторії, пройденої тілом за деякий час t. Шлях - скалярна величина.

відстань визначає положення точки на її траєкторії і відраховується від деякого початку відліку. Відстань є алгебраїчною величиною, так як в залежності від положення точки відносно початку відліку і від прийнятого напрямку осі відстаней воно може бути і позитивним, і негативним. На відміну від відстані шлях, пройдений точкою, завжди визначається позитивним числом. Шлях збігається з абсолютним значенням відстані лише в тому випадку, коли рух точки починається від початку відліку і відбувається по траєкторії в одному напрямку.

У загальному випадку руху точки шлях дорівнює сумі абсолютних значень пройдених точкою відстаней за даний проміжок часу:

3. Якими способами може бути заданий закон руху точки?

1.Естественний спосіб завдання руху точки.

За природного способу завдання руху передбачається визначення параметрів руху точки в рухомій системі відліку, початок якої збігається з рухомої точкою, а осями служать дотична, нормаль і бінормаль до траєкторії руху точки в кожному її положенні. Щоб задати закон руху точки природним способом необхідно:

1) знати траєкторію руху;

2) встановити початок відліку на цій кривій;

3) встановити позитивний напрямок руху;

4) дати закон руху точки по цій кривій, тобто висловити відстань від початку відліку до положення точки на кривій в даний момент часу ∪OM \u003d S (t) .

2.Векторний спосіб завдання руху точки

У цьому випадку положення точки на площині або в просторі визначається вектором-функцією. Цей вектор відкладається від нерухомої точки, обраної за початок відліку, його кінець визначає положення рухається точки.

3.Коордінатний спосіб завдання руху точки

У вибраній системі координат задаються координати рухається точки як функції від часу. У прямокутній декартовій системі координат це будуть рівняння:

4. Як спрямований вектор істинної швидкості точки при криволінійному русі?

При нерівномірному русі точки модуль її швидкості з плином часу змінюється.
Уявімо собі точку, рух якої задано природним способом рівнянням s \u003d f (t).

Якщо за невеликий проміжок часу Δt точка пройшла шлях Δs, то її середня швидкість дорівнює:

vср \u003d Δs / Δt.

Середня швидкість не дає уявлення про справжню швидкості в кожен даний момент часу (справжню швидкість інакше називають миттєвою). Очевидно, що чим менше проміжок часу, за який визначається середня швидкість, тим ближче її значення буде до миттєвої швидкості.

Справжня (миттєва) швидкість є межа, до якої прагне середня швидкість при Δt, яка прагне до нуля:

v \u003d lim v ср при t → 0 або v \u003d lim (Δs / Δt) \u003d ds / dt.

Таким чином, числове значення істинної швидкості одно v \u003d ds / dt.
Справжня (миттєва) швидкість при будь-якому русі точки дорівнює першої похідної координати (т. Е. Відстані від початку відліку переміщення) за часом.

При Δt прагне до нуля, Δs теж прагне до нуля, і, як ми вже з'ясували, вектор швидкості буде направлений по дотичній (т. Е. Збігається з вектором істинної швидкості v). З цього випливає, що межа вектора умовної швидкості v п, рівний межі відносини вектора переміщення точки до нескінченно малому проміжку часу, дорівнює вектору істинної швидкості точки.

5. Як спрямовані дотичне і нормальне прискорення точки?

Напрямок вектора прискорення збігається з напрямком зміни швидкості Δ \u003d - 0

Дотичне прискорення в даній точці направлено по дотичній до траєкторії руху точки; якщо рух прискорений, то напрямок вектора дотичного прискорення збігається з напрямком вектора швидкості; якщо рух уповільнене - то напрям вектора дотичного прискорення протилежно напрямку вектора швидкості.

6. Який рух здійснює точка, якщо дотичне прискорення дорівнює нулю, а нормальне не змінюється з плином часу?

Рівномірний криволінійний рух характеризується тим, що чисельне значення швидкості постійно ( v \u003d const), Швидкість змінюється лише за напрямком. В цьому випадку дотичне прискорення дорівнює нулю, так як v \u003d const (Ріс.б),

а нормальне прискорення не дорівнює нулю, так як r - кінцева величина.

7. Як виглядають кінематичні графіки при рівномірному і равнопеременное русі?

При рівномірному русі тіло за будь-які рівні проміжки часу проходить рівні шляхи. Для кінематичного опису рівномірного прямолінійного руху координатну вісь OX зручно розташувати по лінії руху. Положення тіла при рівномірному русі визначається завданням однієї координати x. Вектор переміщення і вектор швидкості завжди спрямовані паралельно координатної осі OX. Тому переміщення і швидкість при прямолінійній русі можна спроектувати на вісь OX і розглядати їх проекції як алгебраїчні величини.

При рівномірному русі шлях змінюється, відповідно до лінійної залежності. У координатах. Графіком є \u200b\u200bпохила лінія.

В результаті вивчення теми студент повинен:

мати уявленняпро простір, час, траєкторії; середньої та істиною швидкості;

знатиспособи завдання руху точки; параметри руху точки по заданій траєкторії.

6.1. Загальні відомості

Центр паралельних сил
Розглянемо дві паралельні, спрямовані в одну сторону сили, і, прикладені до тіла в точках А1 і А2 (рис.6.1). Ця система сил має рівнодіюча, лінія дії якої проходить через деяку точку З. положення точки З можна знайти за допомогою теореми Варіньона:

Якщо повернути сили і близько точок А1 і А2 в одну сторону і на один і той же кут, то отримаємо нову систему паралельних сал, що мають ті ж модулі. При цьому їх рівнодіюча буде також проходити через точку З. Така точка називається центром паралельних сил.
Розглянемо систему паралельних і однаково спрямованих сил, прикладених до твердого тіла в точках. Ця система має рівнодіюча.
Якщо кожну силу системи повернути близько точок їх застосування в одну і ту ж сторону і на один і той же кут, то вийдуть нові системи однаково спрямованих паралельних сил з тими ж модулями і точками програми. Рівнодіюча таких систем буде мати той же модуль R, Але всякий раз інший напрямок. склавши сили F1 і F2 знайдемо що їх рівнодіюча R1, яка завжди буде проходити через точку З1, положення якої визначається рівністю. склавши далі R1 і F3, знайдемо їх рівнодіюча, яка завжди буде проходити через точку З2, що лежить на прямій А3 З2. Довівши процес складання сил до кінця прийдемо до висновку, що рівнодіюча всіх сил дійсно завжди буде проходити через одну і ту ж точку З, Положення якої щодо точкам буде незмінним.
Крапка З, Через яку проходить лінія дії рівнодіючої системи паралельних сил при будь-яких поворотах цих сил близько точок їх застосування в одну і ту ж сторону на один і той же кут називається центром паралельних сил (рис. 6.2).

рис.6.2

Визначимо координати центру паралельних сил. Оскільки положення точки З по відношенню до тіла є незмінним, то її координати від вибору системи координат не залежать. Повернемо всі сили близько їх застосування так, щоб вони стали паралельні осі Оу і застосуємо до поверненим силам теорему Варіньона. Так як R " є рівнодіюча цих сил, то, відповідно до теореми Варіньона, маємо , Тому що ,, Отримаємо

Звідси знаходимо координату центру паралельних сил zc:

Для визначення координати xcскладемо вираз моменту сил щодо осі Oz.

Для визначення координати yc повернемо всі сили, щоб вони стали паралельні осі Oz.

Положення центру паралельних сил щодо початку координат (рис. 6.2) можна визначити його радіусом-вектором:

6.2. Центр ваги твердого тіла

центром тяжіння твердого тіла називається незмінно пов'язана з цим тілом точка З, Через яку проходить лінія дії рівнодіючої сил тяжкості даного тіла, при будь-якому положенні тіла в просторі.
Центр тяжкості застосовується при дослідженні стійкості положень рівноваги тіл і суцільних середовищ, що знаходяться під дією сил тяжіння і в деяких інших випадках, а саме: в опорі матеріалів і в будівельній механіці - при використанні правила Верещагіна.
Існують два способи визначення центру ваги тіла: аналітичний і експериментальний. Аналітичний спосіб визначення центру ваги безпосередньо випливає з поняття центру паралельних сил.
Координати центра ваги, як центру паралельних сил, визначаються формулами:

де Р - вага всього тіла; pk- вага частинок тіла; xk, yk, zk - координати частинок тіла.
Для однорідного тіла вага всього тіла і будь-який її частини пропорційний обсягу P \u003d Vγ, pk \u003d vk γ , де γ - вага одиниці об'єму, V - обсяг тіла. підставляючи вирази P, pk в формули визначення координат центру ваги і, скорочуючи на загальний множник γ , Отримаємо:

Крапка З, Координати якої визначаються отриманими формулами, називається центром тяжіння обсягу.
Якщо тіло являє собою тонку однорідну пластину, то центр ваги визначається формулами:

де S - площа всієї пластини; sk - площа її частини; xk, yk - координати центру ваги частин пластини.
Крапка З в даному випадку носить назву центра ваги площі.
Чисельники виразів, що визначають координати центру ваги плоских фігур, називаються з татіческімі моментами площі щодо осей у і х:

Тоді центр ваги площі можна визначити за формулами:

Для тіл, довжина яких у багато разів перевищує розміри поперечного перерізу, визначають центр ваги лінії. Координати центра ваги лінії визначають формулами:

де L - довжина лінії; lk- довжина її частин; xk, yk, zk - координата центра ваги частин лінії.

6.3. Способи визначення координат центрів ваги тіл

Грунтуючись на отриманих формулах, можна запропонувати практичні способи визначення центрів ваги тіл.
1. симетрія. Якщо тіло має центр симетрії, то центр тяжіння знаходиться в центрі симетрії.
Якщо тіло має площину симетрії. Наприклад, площина ХОУ, то центр ваги лежить в цій площині.
2. розбиття. Для тіл, що складаються з простих за формою тіл, використовується спосіб розбиття. Тіло розбивається на частини, центр ваги яких знаходиться методом симетрії. Центр ваги всього тіла визначається за формулами центру ваги обсягу (площі).

приклад. Визначити центр ваги пластини, зображеної на вміщеному нижче рисунку (рис. 6.3). Пластину можна розбити на прямокутники різним способом і визначити координати центра ваги кожного прямокутника і їх площі.

рис.6.3

відповідь: xc \u003d 17.0см; yc \u003d 18.0см.

3. доповнення. Цей спосіб є окремим випадком способу розбиття. Він використовується, коли тіло має вирізи, зрізи та ін., Якщо координати центру ваги тіла без вирізу відомі.

приклад. Визначити центр ваги круглої пластини має виріз радіусом r = 0,6 R (Рис. 6.4).

рис.6.4

Кругла пластина має центр симетрії. Помістимо початок координат в центрі пластини. Площа пластини без вирізу, площа вирізу. Площа пластини з вирізом; .
Пластина з вирізом має вісь симетрії О1 x, Отже, yc=0.

4. інтегрування. Якщо тіло не можна розбити на кінцеве число частин, положення центрів тяжкості яких відомі, тіло розбивають на довільні малі обсяги, для яких формула з використанням методу розбиття набирає вигляду: .
Далі переходять до межі, спрямовуючи елементарні обсяги до нуля, тобто стягуючи обсяги в точки. Суми замінюють інтегралами, поширеними на весь обсяг тіла, тоді формули визначення координат центра ваги обсягу приймають вид:

Формули для визначення координат центру ваги площі:

Координати центра ваги площі необхідно визначати при вивченні рівноваги пластинок, при обчисленні інтеграла Мора в будівельній механіці.

приклад. Визначити центр ваги дуги кола радіуса R з центральним кутом АОВ\u003d 2α (рис. 6.5).

Мал. 6.5

Дуга кола симетрична осі Ох, Отже, центр ваги дуги лежить на осі Ох, yс = 0.
Відповідно до формули для центра ваги лінії:

6. експериментальний метод. Центри ваги неоднорідних тіл складної конфігурації можна визначати експериментально: методом підвішування і зважування. Перший спосіб полягає в тому, що тіло підвішується на тросі за різні точки. Напрямок троса на якому підвішено тіло, буде давати напрямок сили тяжіння. Точка перетину цих напрямків визначає центр ваги тіла.
Метод зважування полягає в тому, що спочатку визначається вага тіла, наприклад автомобіля. Потім на вагах визначається тиск заднього моста автомобіля на опору. Склавши рівняння рівноваги щодо будь-якої точки, наприклад осі передніх коліс, можна обчислити відстань від цієї осі до центра ваги автомобіля (рис. 6.6).

рис.6.6

Іноді при вирішенні завдань слід застосовувати одночасно різні методи визначення координат центра ваги.

6.4. Центри ваги деяких найпростіших геометричних фігур

Для визначення центрів ваги тіл часто зустрічається форми (треуголніка, дуги окружності, сектора, сегмента) зручно використовувати довідкові дані (табл. 6.1).

Таблиця 6.1

Координати центра ваги деяких однорідних тіл

№	Найменування фігури	малюнок
	дуга окружності: Центр ваги дуги однорідної окружності знаходиться на осі симетрії (координата уc=0). R - радіус кола.
	Однорідний кругової сектор уc=0). де α - половина центрального кута; R - радіус кола.
	сегмент: Центр ваги розташований на осі симетрії (координата уc=0). де α - половина центрального кута; R - радіус кола.
	півколо:
	трикутник: Центр ваги однорідного трикутника знаходиться в точці перетину його медіан. де x1, y1, x2, y2, x3, y3 - координати вершин трикутника
	конус: Центр ваги однорідного кругового конуса лежить на його висоті і відстоїть на відстань 1/4 висоти від підстави конуса.

Прямокутник. Так як прямокутник має дві осі симетрії, то його центр тяжіння знаходиться на перетині осей симетрії, тобто в точці перетину діагоналей прямокутника.

Трикутник. Центр ваги лежить в точці перетину його медіан. З геометрії відомо, що медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться у відношенні 1: 2 від заснування.

Коло. Так як коло має дві осі симетрії, то його центр тяжіння знаходиться на перетині осей симетрії.

Півколо. Півколо має одну вісь симетрії, то центр ваги лежить на цій осі. Інша координата центра ваги обчислюється за формулою:.

Багато конструктивні елементи виготовляють з стандартного прокату - куточків, двутавров, швелерів та інших. Всі розміри, а так само геометричні характеристики прокатних профілів це табличні дані, які можна знайти в довідковій літературі в таблицях нормального сортаменту (ГОСТ 8239-89, ГОСТ 8240-89).

Приклад 1. Визначити положення центра ваги фігури, представленої на малюнку.

Рішення:

Вибираємо осі координат, так щоб вісь Ох пройшла по крайнього нижнього габаритному розміром, а вісь Оу - по крайньому лівому габаритному розміром.

Розбиваємо складну фігуру на мінімальна кількість простих фігур:

прямокутник 20х10;

трикутник 15х10;

коло R \u003d 3 см.

Обчислюємо площу кожної простої фігури, її координати центру ваги. Результати обчислень заносимо в таблицю

№ фігури	Площа фігури А,	Координати центра ваги

відповідь: С (14,5; 4,5)

приклад 2 . Визначити координати центра ваги складеного перерізу, що складається з листа і прокатних профілів.

Рішення.

Вибираємо осі координат, так як показано на малюнку.

Позначимо фігури номерами і випишемо з таблиці необхідні дані:

№ фігури	Площа фігури А,	Координати центра ваги

Обчислюємо координати центру ваги фігури за формулами:

відповідь: С (0; 10)

Лабораторна робота №1 «Визначення центру ваги складових плоских фігур»

мета: Визначити центр ваги заданої плоскої складної фігури досвідченим і аналітичним способами і порівняти їх результати.

Порядок виконання роботи

Накреслити в зошитах свою плоску фігуру за розмірами, із зазначенням осей координат.

Визначити центр ваги аналітичним способом.

1. Розбити фігуру на мінімальну кількість фігур, центри тяжкості яких, ми знаємо, як визначити.

   Вказати номера площ і координати центру ваги кожної фігури.

   Обчислити координати центру ваги кожної фігури.

   Обчислити площу кожної фігури.

   Обчислити координати центру ваги всієї фігури за формулами (положення центра ваги нанести на креслення фігури):

Установка для досвідченого визначення координат центра ваги способом підвішування складається з вертикальної стійки 1 (Див. Рис.), До якої прикріплено голка 2 . плоска фігура 3 виготовлена \u200b\u200bз картону, в якому легко проколоти отвір. отвори А і В проколюються в довільно розташованих точках (краще на найбільш віддаленій відстані один від одного). Плоска фігура підвішується на голку спочатку в точці А , А потім в точці В . За допомогою схилу 4 , Закріпленого на тій же голці, на фігурі прокреслюють олівцем вертикальну лінію, відповідну нитки схилу. Центр ваги З фігури буде знаходитися в точці перетину вертикальних ліній, нанесених при підвішуванні фігури в точках А і В .

Визначення центру ваги довільного тіла шляхом послідовного складання сил, що діють на окремі його частини, - важке завдання; вона полегшується тільки для тел порівняно простої форми.

Нехай тіло складається тільки з двох вантажів маси і, з'єднаних стрижнем (рис. 125). Якщо маса стрижня мала в порівнянні з масами і, то нею можна знехтувати. На кожну з мас діють сили тяжіння, рівні відповідно і; обидві вони спрямовані вертикально вниз, т. е. паралельно один одному. Як ми знаємо, рівнодіюча двох паралельних сил прикладена в точці, яка визначається з умови

Мал. 125. Визначення центра ваги тіла, що складається з двох вантажів

Отже, центр ваги ділить відстань між двома вантажами в відношенні, зворотному відношенню їх мас. Якщо це тіло підвісити в точці, воно залишиться в рівновазі.

Так як дві рівні маси мають загальний центр ваги в точці, що ділить навпіл відстань між цими масами, то відразу ясно, що, наприклад, центр ваги однорідного стержня лежить в середині стрижня (рис. 126).

Оскільки будь-який діаметр однорідного круглого диска ділить його на дві абсолютно однакові симетричні частини (рис. 127), то центр ваги повинен лежати на кожному діаметрі диска, т. Е. В точці перетину діаметрів - в геометричному центрі диска. Міркуючи подібним чином, можна знайти, що центр ваги однорідної кулі лежить в його геометричному центрі, центр ваги однорідного прямокутного паралелепіпеда лежить на перетині його діагоналей і т. Д. Центр тяжкості обруча або кільця лежить в його центрі. Останній приклад показує, що центр ваги тіла може лежати поза тілом.

Мал. 126. Центр тяжкості однорідного стержня лежить в його середині

Мал. 127. Центр однорідного диска лежить в його геометричному центрі

Якщо тіло має неправильну форму або якщо воно неоднорідне (наприклад, в ньому є порожнечі), то розрахунок положення центра ваги часто скрутний і це положення зручніше знайти за допомогою досвіду. Нехай, наприклад, потрібно знайти центр ваги шматка фанери. Підвісимо його на нитки (рис. 128). Очевидно, в положенні рівноваги центр ваги тіла повинен лежати на продовженні нитки, інакше сила тяжіння буде мати момент щодо точки підвісу, який почав би обертати тіло. Тому, провівши на нашому шматку фанери пряму, що представляє продовження нитки, можемо стверджувати, що центр ваги лежить на цій прямій.

Дійсно, підвішуючи тіло в різних точках і проводячи вертикальні прямі, ми переконаємося, що всі вони перетнуться в одній точці. Ця точка і є центр ваги тіла (так як він повинен лежати одночасно на всіх таких прямих). Подібним чином можна визначити положення центра ваги не тільки плоскої фігури, але і більш складного тіла. Положення центра ваги літака визначають, вкативая його колесами на платформи ваг. Рівнодіюча сил ваги, що припадають на кожне колесо, буде направлена \u200b\u200bпо вертикалі, і знайти лінію, по якій вона діє, можна за законом складання паралельних сил.

Мал. 128. Точка перетину вертикальних ліній, проведених через точки підвісу і є центр ваги тіла

При зміні мас окремих частин тіла або при зміні форми тіла положення центра ваги змінюється. Так, центр ваги літака переміщається при витрачанні пального з баків, при завантаженні багажу і т. П. Для наочного досвіду, що ілюструє переміщення центру ваги при зміні форми тіла, зручно взяти два однакових бруска, з'єднаних шарніром (рис. 129). У тому випадку, коли бруски утворюють продовження один одного, центр ваги лежить на осі брусків. Якщо бруски зігнути в шарнірі, то центр ваги виявляється поза брусків, на бісектрисі кута, який вони утворюють. Якщо на один з брусків надіти додатковий вантаж, то центр ваги переміститься в бік цього вантажу.

Мал. 129. а) Центр тяжкості з'єднаних шарніром брусків, розташованих на одній прямій, лежить на осі брусків, б) Центр тяжкості зігнутою системи брусків лежить поза брусків

81.1. Де знаходиться центр ваги двох однакових тонких стрижнів, що мають довжину 12 см і скріплених у вигляді букви Т?

81.2. Доведіть, що центр ваги однорідної трикутної пластини лежить на перетині медіан.

Мал. 130. До вправі 81.3

81.3. Однорідна дошка маси 60 кг лежить на двох опорах, як показано на рис. 130. Визначте сили, що діють на опори.