Як знайти периметр геометричної фігури. Уміння застосовувати знання в знаходженні периметра і площі геометричних фігур. Загальна для всіх фігур теорія

Досить дізнатися довжину всіх її сторін і знайти їх суму. Периметром називається сукупна довжина кордонів плоскої фігури. Іншими словами, це сума довжин її сторін. Одиниця виміру периметра повинна відповідати одиниці вимірювання його сторін. Формула периметра багатокутника має вигляд Р \u003d a + b + c ... + n, де Р - периметр, а ось а, b, с і n - довжина кожної зі сторін. Інакше обчислюється (або периметр кола): використовується формула р \u003d 2 * π * r, де r - радіус, а π - постійне число, приблизно рівне 3,14. Розглянемо кілька простих прикладів, які наочно демонструють, як знайти периметр. Як зразок візьмемо такі фігури як квадрат, паралелограм і окружність.

Як знайти периметр квадрата

Квадратом називається правильний чотирикутник, у якого рівні всі сторони і кути. Так як всі сторони квадрата рівні, суму довжин його сторін можна обчислити за формулою Р \u003d 4 * a, де а - довжина однієї із сторін. Таким чином, зі стороною 16,5 см дорівнює Р \u003d 4 * 16,5 \u003d 66 см. Так само можна обчислити периметр рівностороннього ромба.

Як знайти периметр прямокутника

Прямокутник - це чотирикутник, всі кути якого рівні 90 градусам. Відомо, що в такій фігурі, як прямокутник, довжини сторін дорівнюють попарно. Якщо ширина і висота прямокутника мають однакову довжину, то він називається квадратом. Зазвичай довжиною прямокутника називають найбільшу зі сторін, а шириною - найменшу. Таким чином, щоб отримати периметр прямокутника, необхідно подвоїти суму його ширини і висоти: P \u003d 2 * (а + b), де а - висота, а b - ширина. Маючи в наявності прямокутник, одна сторона якого є довжиною і дорівнює 15 см, а інша шириною до встановленого значенням в 5 см, ми отримаємо периметр, рівний Р \u003d 2 * (15 + 5) \u003d 40 см.

Як знайти периметр трикутника

Трикутник утворений трьома відрізками, які з'єднуються в точках (вершинах трикутника), які не лежать на одній і тій же прямій. Трикутник називається рівностороннім, якщо рівні всі три його сторони, і рівнобедреним, якщо рівних сторін дві. Щоб дізнатися периметр необхідно довжину його сторони помножити на 3: Р \u003d 3 * a, де а - одна з його сторін. Якщо сторони трикутника не рівні між собою, необхідно провести операцію складання: Р \u003d а + b + с. Периметр рівнобедреного трикутника зі сторонами 33, 33 і 44 відповідно буде дорівнює: P \u003d 33 + 33 + 44 \u003d 110 см.

Як знайти периметр паралелограма

Паралелограм - це чотирикутник з попарно паралельними протилежними сторонами. Квадрат, ромб і прямокутник є окремими випадками фігури. Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні, тому для обчислення його периметра скористаємося формулою P \u003d 2 (а + b). У параллелограмме зі сторонами 16 см і 17 см сума сторін, або периметр, дорівнює Р \u003d 2 * (16 + 17) \u003d 66 см.

Як знайти довжину кола

Окружність є замкнутої прямий, всі точки якої розташовані на рівній відстані від центру. Довжина кола і її діаметр завжди мають однакове ставлення. Це відношення виражено константою, записується за допомогою букви π і дорівнює приблизно 3,14159. Дізнатися периметр кола можна за твором радіусу на 2 і на π. Виходить, що довжина кола з радіусом в 15 см буде дорівнює Р \u003d 2 * 3,14159 * 15 \u003d 94,2477

Напевно кожен з нас вчив у школі таку важливу складову геометрії, як периметр. Знаходження периметра просто необхідно для вирішення безлічі завдань. Про те, як знайти периметр, розповість наша стаття.

Варто пам'ятати, що периметр будь-якої фігури це майже завжди сума її сторін. Давайте розглянемо декілька різних геометричних фігур.

1. Прямокутник - це такий чотирикутник, у якого паралельні сторони рівні попарно між собою. Якщо одна сторона X, а інша Y, то ми отримаємо таку формулу для знаходження периметра цієї фігури:

   P \u003d 2 (X + Y) \u003d X + Y + X + Y \u003d 2X + 2Y.

   Приклад рішення задачі:

   Припустимо, що сторона X \u003d 5 см, сторона Y \u003d 10 см. Значить, підставивши ці значення в нашу формулу, ми отримаємо - P \u003d 2 * 5 см + 2 * 10см \u003d 30 см.

2. Трапеція - це чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні, але не рівні між собою. Периметр трапеції - це сума всіх чотирьох її сторін:

   P \u003d X + Y + Z + W, де X, Y, Z, W - сторони фігури.

   Приклад рішення задачі:

   Припустимо, що сторона X \u003d 5 см, сторона Y \u003d 10 см, сторона Z \u003d 8 см, сторона W \u003d 20 см. Значить, підставивши ці значення в нашу формулу, ми отримаємо - P \u003d 5 см + 10 см + 8 см + 20 см \u003d 43 см.

3. Периметр кола (довжину окружності) можна обчислити за формулою:

   P \u003d 2rπ \u003d dπ, де r - це радіус кола, d - діаметр кола.

   Приклад рішення задачі:

   Припустимо, що радіус r нашого кола дорівнює 5 см, тоді діаметр d дорівнюватиме 2 * 5 см \u003d 10 см. Відомо, що π \u003d 3,14. Значить, підставивши ці значення в нашу формулу, ми отримаємо - P \u003d 2 * 5 см * 3,14 \u003d 31,4 см.

4. Якщо Вам необхідно знайти периметр трикутника, то Ви можете зіткнутися з низкою проблем при цьому, оскільки трикутники можуть мати дуже різні форми. Наприклад, є гострий, тупий, рівнобедрений, прямокутний або рівносторонній трикутники. Хоча формула для всіх видів трикутників така:

   P \u003d X + Y + Z, де X, Y, Z - сторони фігури.

   Проблема в тому, що при вирішенні багатьох завдань на знаходження периметра цієї фігури Вам не завжди будуть відомі довжини всіх сторін. Наприклад, замість інформації про довжину однієї зі сторін Ви можете мати градус кута або довжину висоти конкретного трикутника. Це істотно ускладнить завдання, але не зробить її рішення нереальним. Про те, як знайти периметр трикутника, якої форми б він не був можна прочитати "".

5. Периметр такої фігури, як ромб знаходять також як і периметр квадрата, адже ромб - це паралелограм, який має рівні сторони. Дізнатися, як знайти периметр квадрата можна прочитавши статтю на нашому сайті "".

   Тепер Ви знаєте, як знайти сторону периметра тієї геометричної фігури, який Вам потрібно!

Знання про те, як знайти периметр, учні отримують ще в початковій школі. Потім ця інформація постійно використовується на протязі всього курсу математики і геометрії.

Загальна для всіх фігур теорія

Сторони прийнято позначати латинськими літерами. Причому їх можна позначати як відрізки. Тоді букв потрібно по дві для кожної сторони і записані великими. Або ввести позначення однією літерою, яка обов'язково буде маленькою.
Букви завжди вибирають за алфавітом. Для трикутника вони будуть першими трьома. У шестикутника їх буде 6 - від а до f. Це зручно для введення формул.

Тепер про те, як знайти периметр. Він є сумою довжин всіх сторін фігури. Кількість доданків залежить від її виду. Позначається периметр латинською буквою Р. Одиниці виміру збігаються з тими, які дані для сторін.

Формули периметрів різних фігур

Для трикутника: Р \u003d а + в + с. Якщо він рівнобедрений, то формула перетвориться: Р \u003d 2а + в. Як знайти периметр трикутника, якщо він рівносторонній? Допоможе така: Р \u003d 3а.

Для довільного чотирикутника: Р \u003d а + в + с + d. Його окремим випадком є \u200b\u200bквадрат, формула периметра: Р \u003d 4а. Є ще прямокутник, тоді потрібна така рівність: Р \u003d 2 (а + в).

Як бути, якщо невідома довжина однієї або декількох сторін трикутника?

Скористатися теоремою косинусів, якщо серед даних є дві сторони і кут між ними, який позначається буквою А. Тоді до того, як знайти периметр, доведеться порахувати третю сторону. Для цього знадобиться така формула: с? \u003d А² + в² - 2 ав cos (А).

Окремим випадком зазначеної теореми є сформульована Пифагором для прямокутного трикутника. У ній значення косинуса прямого кута стає рівним нулю, а значить, останній доданок просто зникає.

Бувають ситуації, коли дізнатися, як знайти периметр трикутника, можна по одній стороні. Але при цьому відомі ще і кути фігури. Тут на допомогу приходить теорема синусів, коли відносини довжин сторін до синусів відповідних протилежних кутів рівні.

У ситуації, коли периметр фігури потрібно дізнатися по площі, стануть в нагоді інші формули. Наприклад, якщо відомий радіус вписаного кола, то в питанні про те, як знаходити периметр трикутника, стане в нагоді наступна формула: S \u003d р * r, тут р - напівпериметр. Його потрібно вивести з цієї формули і помножити на два.

приклади завдань

Умова першої. Дізнатися периметр трикутника, сторони у якого 3, 4 і 5 см.
Рішення. Потрібно скористатися рівністю, яке зазначено вище, і просто підставити в нього дані в завданні значення. Розрахунки легкі, вони призводять до числа 12 см.
Відповідь. Периметр трикутника дорівнює 12 см.

Умова другий. Одна сторона трикутника дорівнює 10 см. Відомо, що друга на 2 см більше першої, а третя в 1,5 рази більше першої. Потрібно обчислити його периметр.
Рішення. Для того щоб його дізнатися, потрібно порахувати дві сторони. Друга визначиться як сума 10 і 2, третя дорівнює добутку 10 і 1,5. Потім залишиться тільки порахувати суму трьох значень: 10, 12 і 15. Результатом буде 37 см.
Відповідь. Периметр дорівнює 37 см.

Умова третьої. Є прямокутник і квадрат. Одна сторона прямокутника дорівнює 4 см, а інша на 3 см більше. Потрібно обчислити значення боку квадрата, якщо його периметр менше на 6 см, ніж у прямокутника.
Рішення. Друга сторона прямокутника дорівнює 7. Знаючи це, легко обчислити його периметр. Розрахунок дає 22 см.
Щоб дізнатися сторону квадрата, потрібно спочатку відняти 6 з периметра прямокутника, а потім розділити отримане число на 4. В результаті маємо число 4.
Відповідь. Сторона квадрата 4 см.

Уміння знаходити периметр прямокутника дуже важливо для вирішення багатьох геометричних задач. Нижче наведена докладна інструкція по знаходженню периметра різних прямокутників.

Як знайти периметр звичайного прямокутника

Звичайний прямокутник - чотирикутник, у якого паралельні сторони рівні і всі кути \u003d 90º. Для знаходження його периметра існує 2 способи:

Складаємо все боку.

Обчисліть периметр прямокутника, є його ширина дорівнює 3 см., А довжина - 6.

Рішення (послідовність дій і міркування):

• Так як ми знаємо ширина і довжина прямокутника, знайти його периметр не складе труднощів. Ширина паралельна ширині, а довжина довжині. Таким чином, в звичайному прямокутнику 2 ширини і 2 довжини.
• Складаємо все боку (3 + 3 + 6 + 6) \u003d 18 см.

Відповідь: P \u003d 18 см.

Другий спосіб полягає в наступному:

Потрібно скласти ширину і довжину, і помножити на 2. Формула цього способу має наступний вигляд: 2 × (a + b), де a - ширина, b - довжина.

В рамках даного завдання отримаємо таке рішення:

2 × (3 + 6) \u003d 2 × 9 \u003d 18.

Відповідь: P \u003d 18.

Як знайти периметр прямокутника - квадрат

Квадрат є правильним чотирикутником. Знову ж правильним тому, що всі його сторони і кути рівні. Для знаходження його периметра так само існує два способи:

• Скласти все його боку.
• Помножити його сторону на 4.

Приклад: Знайти периметр квадрата, якщо його сторона \u003d 5 см.

Так як нам відома сторона квадрата, ми зможемо знайти його периметр.

Складаємо все боку: 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20.

Відповідь: P \u003d 20 см.

Множимо сторону квадрата на 4 (бо всі рівні): 4 × 5 \u003d 20.

Відповідь: P \u003d 20 см.

Як знайти периметр прямокутника - онлайн-ресурси

Незважаючи на те, що вищезазначені дії легкі для розуміння і освоєння, вам може стати в нагоді кілька онлайн-калькуляторів, які допоможуть вам обчислити периметри (площа, обсяг) різних фігур. Просто вбийте необхідні значення і міні-програма розрахує периметр потрібної вам фігури. Нижче наведено невеликий список.

Побудова уроку:

1. Організація і мотивація учнів до діяльності на уроці.
2. Організація сприйняття нового матеріалу на основі наочного матеріалу
3. Організація осмислення.
4. Первинна перевірка розуміння нового матеріалу.
5. Організація первинного закріплення і самостійний аналіз навчальної інформації.
6. Застосування отриманих знань на практикумі.

Мета уроку:

1. Навчальна. Забезпечити засвоєння учнями знаходження площі і периметра геометричних фігур;

візуального сприйняття матеріалу на уроці; осмислено розуміти, що таке площа і периметр.

2. Розвиваюча. Використовувати на уроці розвиваючі вправи, активізувати

розумову діяльність школярів.

3. Виховна. Забезпечити розвиток ціннісно-смисловий культури учнів;

мотивації на вміння правильно досягати поставленої мети -

збіг очікування і результату.

устаткування:

1. М.І.Моро і ін. "Математика" - підручник для 3 класу початкової школи, 1 частина.
2. Робочий зошит з математики.
3. Ручка, лінійка, простий олівець, трикутник, ножиці.
4. Моделі геометричних фігур для знаходження площі.
5. Над дошкою плакати з формулами знаходження площі і периметра.

Засоби навчання:

1. Дидактичний матеріал.
2. Наочні посібники.

Прийоми навчання:

1. Порівняння предметів.
2. Зіставлення способів знаходження площі однієї і тієї ж фігури.

Хід уроку.

1. Організаційний момент і повідомлення теми уроку.

Учитель: Доброго дня, хлопці. Сьогодні ми продовжимо вивчення великої теми під назвою "Площа і периметр". Тема нашого уроку сьогодні: "Уміння застосовувати знання в знаходженні периметра і площі складної фігури".Складна фігура - це геометрична фігура, що складається з декількох простих фігур. Перш за все, повторимо те, що ми з вами вивчили на минулих уроках.

II. Усний рахунок.

Завдання на розвиток.

Учитель: Знайдіть площу даної фігури, якщо сторона квадрата 1 см.

Фігура зображена на дошці.

Учень: Якщо 1 квадрат має площу 1 см 2, а квадратів зображено 5, то площа цієї фігури дорівнює 5 см 2.

Учитель: Правильно. Наступне завдання. Приберіть 3 палички, щоб залишилося 3 таких квадрата.

Учень виходить до дошки і прибирає 3 палички.

Учитель: Приберіть 4 палички, щоб залишилося 3 таких же квадрата.

Учень виходить до дошки і прибирає 4 палички. Рішення.

III. Робота по темі уроку

Учитель: Які геометричні фігури ви вже знаєте?

Учень: Прямокутник.

Учень: Квадрат.

Учитель: Правильно. Що ми знаємо про квадраті?

Учень: У квадрата 4 сторони і 4 кута.

Учитель: Правильно. Яким властивістю володіють сторони квадрата?

Учень: Вони рівні.

Учитель: Правильно. А які кути у квадрата?

Учень: Вони прямі.

Учитель: За допомогою чого ми можемо побудувати прямий кут?

Учень: За допомогою трикутника.

Учитель: Давайте побудуємо квадрат зі стороною 4 см у вашій зошити. За допомогою яких інструментів ми будемо креслити квадрат?

Учень: За допомогою лінійки, олівця і трикутника.

Учні в зошитах будують квадрат і розфарбовують його.

Учитель: Ця геометрична фігура. Як знайти периметр і площа цього квадрата?

Учень: Периметр - це сума всіх його сторін. Сторін у квадрата 4. Значить, 4 складемо 4 рази.

Учитель: Як це записати?

Учні роблять запис у зошиті: " Знайти площу фігури F1 ".

Учня викликають до дошки, і він пише: Р \u003d 4 + 4 + 4 + 4 \u003d 16 (см)

Учні роблять запис у зошити.

Учитель: У яких одиницях ще вимірюється периметр?

Учень: У сантиметрах, в міліметрах, в метрах, в дециметрах, в кілометрах.

Учитель: Молодець! Як ще можна записати периметр?

Учень: За допомогою множення.

Учень записує на дошці: Р \u003d 4 · 4 \u003d 16 (см)

Учні записують в зошити.

Учитель: А чому дорівнює площа квадрата?

Учень: Довжину квадрата множимо на його ширину. Так як сторони у квадрата рівні, то

S \u003d 4 · 4 \u003d 16 (см 2)

Учні роблять запис у зошиті і записують - " Відповідь: S \u003d 16 см 2 ".

Учитель: Які ще одиниці вимірювання площі ви знаєте?

Учень: квадратний сантиметр, квадратний дециметр, квадратний метр, квадратний міліметр.

Учитель: А тепер ускладнити завдання. Перед вами лежить картка.

На цій картці зображено квадрат такої ж, що і у вас в зошиті. В середині цього квадрата - ще один квадрат зі стороною 2 см. Зараз ви візьмете ножиці і виріже акуратно цей маленький квадрат.

Учні виконують цю роботу і роблять запис у зошиті: " Знайти площу фігури F2 ".

Учитель: У нас вийшла фігура "з віконцем" - F2. Як можна знайти площу цієї цікавої фігури? Площа квадрата вже відома і дорівнює 16 см 2.

Учень: Потрібно знайти площу маленького квадратика зі стороною 2 см.

Учень виходить до дошки і записує - S2 \u003d 2 · 2 \u003d 4 (см 2)

Учні роблять запис у зошиті

Учень: З площі великого квадратика відняти площу маленького.

Учитель: Правильно.

Учень записує на дошці - S \u003d S1 - S2 \u003d 16 - 4 \u003d 12 (См2)

Учні роблять запис у зошиті.

Учитель: Уважно подивіться на цю фігурку і скажіть, як ще можна виміряти площа? Чи можна цю фігуру як-то розрізати, щоб отримати фігури, вже знайомі вам?

Учні думають і говорять різні варіанти.

Один з варіантів виявився дуже цікавим.

Учень: Можна так розрізати, щоб вийшли прямокутники і показує на дошці, як це можна зробити.

Учні розрізають фігуру, як показано на дошці.

Учитель: А як знаходиться площа прямокутника?

Учень: Потрібно довжину помножити на ширину.

Учитель: У вас вийшло чотири фігури. Що можна сказати про них?

Учень: Дві фігурки, як близнюки - однакові, і другі дві - теж однакові.

Можна знайти площу однієї фігури і помножити на 2.

Учень вирішує на дошці: S1 \u003d 1 · 4 \u003d 4 (см 2)

S2 \u003d 1 · 2 \u003d 2 (см 2)

S \u003d 2 · S1 + 2 · S2 \u003d 2 · 4 + 2 · 2 \u003d 8 + 4 \u003d 12 (см 2)

Учитель: Молодець! У нас вийшла те ж значення площі, що і раніше.

Учні пишуть у зошиті - " Відповідь: S \u003d 12 см 2. "

Учитель: Ви, напевно, втомилися?

Настав час відпочивати.

Пропоную втому

Фізкультхвилинки зняти.

IV. Физкультминутка.

Кожен день вранці
Робимо зарядку (ходьба на місці).
Дуже подобається нам робити по порядку:
Весело крокувати (ходьба),
Руки піднімати (руки вгору),
Присідати і вставати (присідання 4-6 раз),
Стрибати і скакати (10 стрибків).

учитель: А тепер сіли за парти і

подивіться на наступну модель. фігура F3

Як знайти площу цієї цікавої фігури?

Учень: Трикутник, який виступає

можна відрізати і підставити в ту частину, де

трикутник "йде" всередину.

Учитель: Давайте візьмемо ножиці, відріжемо трикутник і підставимо в верхню частину.

Що за фігура у нас вийшла?

Учень: Прямокутник!

Учитель: Як знайти площу цього прямокутника,

Якщо сторони нам невідомі.

Учень: Ми можемо взяти лінійку і виміряти

довжину і ширину прямокутника.

Учні роблять запис - " Знайти площу фігури F3 ".

Учні лінійкою вимірюють довжину і ширину. Виходить довжина, а \u003d 6 см, ширина в \u003d 2 см.

Учень: Площа даної фігури дорівнює S \u003d 6 · 2 \u003d 12 (см 2).

Учні роблять запис у зошиті і записують - " Відповідь: S \u003d 12 см 2.

Учитель: Але це ще не все. Перед вами наступна фігура. Необхідно знайти її площа.

Що за постать перед вами?

учень:Трикутник. Але площа трикутника

ми не вміємо знаходити!

Учитель: Це правда. З цього трикутника

зробимо прямокутник. Я вам підкажу. фігура F4

Спочатку ми цей трикутник складемо навпіл

Учні: Ми зрозуміли! праву

сторону перевертаємо.

Вийде прямокутник.

Учень: За допомогою лінійки вимірюємо

довжину а й ширину в, і по S \u003d а · в,

знаходимо площа.

Учитель: Якщо ми при вимірі, ми

отримаємо, що довжина

буде виражена в мм, а ширина в см,

що нам робити?

Учень: Обов'язково довжину і ширину перевести в одну одиницю виміру.

Учні записують в зошиті: " Знайти площу фігури F4 ".

V. Робота в парах.

Учитель: А тепер я пропоную попрацювати в парі. Вас за партою двоє. Один учень (I варіант) знаходить периметр даної фігури, а другий (II варіант) - площа.

Для цього накреслив в зошиті цю фігуру. Після того, як ви виконаєте завдання, помінялися зошитами і перевірите результати друг у друга.

Учні виконують завдання і результати

записують в зошит.

Учитель: Що у вас вийшло?

Учень: Квадрат зі стороною 3 см. Р \u003d 3 · 4 \u003d 12 (см)

S \u003d 3 · 3 \u003d 9 (см2) 3 см

Учні записують: " Відповідь: P \u003d 12 см, S \u003d 9 см 2.

Учитель: Молодці! А тепер я вам пропоную попрацювати самостійно.

Знайти площу наступній фігури. Вона лежить перед вами.

VI. Самостійна робота по закріпленню вивченого матеріалу.

Учитель роздає заздалегідь заготовлені фігури.

Учні самостійно, без допомоги вчителя, розрізають цю фігури, отримують три прямокутника.

Учні роблять запис: " Знайти площу фігури F5 ".

Учні знаходять S1 \u003d 4 · 3 \u003d 12 (см 2), S2 \u003d 2 · 1 \u003d 2 (см 2), потім знаходять площа даної фігури: S \u003d S1 + S2 + S2 \u003d 12 + 2 + 2 \u003d 16 (см 2 ) і роблять запис у зошиті, потім

записують: " Відповідь: S \u003d 16 см 2 ".

Учитель: Сподобався урок?

Учні: Так.

Учитель: Що ви нового дізналися на цьому уроці?

Учень: Ми навчилися знаходити площа і периметр складних фігур. Це виявилося дуже просто. Треба трохи подумати і цю фігуру перебудувати або переробити в ту, периметр і площа, яку, ми вже вміємо знаходити.

Учитель: Я дуже рада, що вам сподобалося. Будинки ще раз повторити формули знаходження периметра і площі квадрата і прямокутника; згадати, як переводити одну одиницю

в іншу. Сьогодні добре відповідали наступні учні. . .

Учитель виставляє оцінки.

VII. Домашнє завдання: підручник стор. 77 № 8.