Як знайти основу рівнобедреного трикутника знаючи периметр. Периметр та площа трикутника. Формула обчислення периметра

Попередні відомості

Периметр будь-якої плоскої геометричної фігур на площині визначається як сума довжин усіх сторін. Винятком із цього не є і трикутник. Спочатку наведемо поняття трикутника, і навіть види трикутників залежно від сторін.

Визначення 1

Трикутником називатимемо геометричну фігуру, яка складена з трьох точок, з'єднаних між собою відрізками (рис. 1).

Визначення 2

Крапки в рамках визначення 1 називатимемо вершинами трикутника.

Визначення 3

Відрізки у межах визначення 1 називатимемо сторонами трикутника.

Очевидно, що будь-який трикутник матиме 3 вершини, а також три сторони.

Залежно від відношення сторін один до одного, трикутники поділяються на різнобічні, рівностегнові та рівносторонні.

Визначення 4

Трикутник називатимемо різнобічним, якщо жодна з його сторін не дорівнює жодній іншій.

Визначення 5

Трикутник називатимемо рівнобедреним, якщо дві його сторони рівні один одному, але не дорівнюють третій стороні.

Визначення 6

Трикутник називатимемо рівностороннім, якщо всі його сторони дорівнюють один одному.

Усі види цих трикутників Ви можете побачити малюнку 2.

Як знайти периметр різностороннього трикутника?

Нехай нам дано різнобічний трикутник, у якого довжини сторін дорівнюватимуть $α$, $β$ і $γ$.

Висновок:Для знаходження периметра різнобічного трикутника треба всі довжини його сторін скласти між собою.

Приклад 1

Знайти периметр різнобічного трикутника дорівнюють $34$ см, $12$ см та $11$ см.

$ P = 34 +12 +11 = 57 $ см

Відповідь: $57$ див.

Приклад 2

Знайти периметр прямокутного трикутника, у якого катети дорівнюють $6$ і $8$ див.

Спочатку знайдемо довжину гіпотенуз цього трикутника за теоремою Піфагора. Позначимо її через $α$, тоді

$α=10$ За правилом обчислення периметра різнобічного трикутника, отримаємо

$ P = 10 +8 +6 = 24 $ см

Відповідь: $24$ див.

Як знайти периметр рівнобедреного трикутника?

Нехай нам дано рівнобедрений трикутник, у якого довжини бічних сторін дорівнюватимуть $α$, а довжина основи дорівнює $β$.

За визначенням периметра плоскою геометричної фігури, отримаємо, що

$P=α+α+β=2α+β$

Висновок:Для знаходження периметра рівнобедреного трикутникатреба подвоєну довжину його сторін скласти з довжиною його основи.

Приклад 3

Знайти периметр рівнобедреного трикутника, якщо його бічні сторони дорівнюють $12$ см, а основа $11$ см.

За розглянутим вище прикладом, бачимо, що

$P=2\cdot 12+11=35$ см

Відповідь: $35$ див.

Приклад 4

Знайти периметр рівнобедреного трикутника, якщо його висота, проведена на основу, дорівнює $8$ см, а основа $12$ см.

Розглянемо малюнок за умовою задачі:

Оскільки трикутник рівнобедрений, то $BD$ також і медіаною, отже, $AD=6$ див.

За теоремою Піфагора, з трикутника $ADB$ знайдемо бічну сторону. Позначимо її через $α$, тоді

За правилом обчислення периметра рівнобедреного трикутника, отримаємо

$P=2\cdot 10+12=32$ см

Відповідь: $32$ див.

Як знайти периметр рівностороннього трикутника?

Нехай нам дано рівносторонній трикутник, у якого довжини всіх сторін дорівнюватимуть $α$.

За визначенням периметра плоскої геометричної фігури отримаємо, що

$P=α+α+α=3α$

Висновок:Для знаходження периметра рівностороннього трикутникатреба довжину сторони трикутника помножити на $3$.

Приклад 5

Знайти периметр рівностороннього трикутника, якщо його сторона дорівнює $12$ див.

За розглянутим вище прикладом, бачимо, що

$ P = 3 \ cdot 12 = 36 $ см

Периметром трикутника, як і будь-який постаті, називається сума довжин всіх сторін. Досить часто це значення допомагає знайти площу чи використовується до розрахунку інших параметрів фігури.
Формула периметра трикутника виглядає так:

Приклад розрахунків периметра трикутника. Нехай дано трикутник із сторонами a = 4см, b = 6 см, c = 7 см. підставимо дані у формулу: см

Формула розрахунку периметра рівнобедреного трикутникавиглядатиме так:

Формула розрахунку периметра рівностороннього трикутника:

Приклад розрахунків периметра рівностороннього трикутника. Коли всі сторони фігури рівні, їх можна просто помножити на три. Припустимо, дано правильний трикутник зі стороною 5 см у такому разі: см

Загалом, коли всі сторони дані, знайти периметр досить просто. В інших ситуаціях потрібно знайти розмір сторони, що бракує. У прямокутному трикутнику можна знайти третю сторону по теоремі Піфагора. Наприклад, якщо відомі довжини катетів, можна знайти гіпотенузу за формулою:

Розглянемо приклад розрахунку периметра рівнобедреного трикутника за умови, що ми знаємо довжину катетів у прямокутному рівнобедреному трикутнику.
Дано трикутник з катетами a = b = 5 см. Знайти периметр. Для початку знайдемо сторону з . см
Тепер порахуємо периметр: см
Периметр прямокутного рівнобедреного трикутника дорівнюватиме 17 см.

У разі коли відома гіпотенуза і довжина одного катета, можна знайти недостатній за формулою:
Якщо в прямому трикутнику відома гіпотенуза і один з гострих кутів, то сторона, що бракує, знаходиться за формулою.

Попередні відомості

Периметр будь-якої плоскої геометричної фігур на площині визначається як сума довжин усіх сторін. Винятком із цього не є і трикутник. Спочатку наведемо поняття трикутника, і навіть види трикутників залежно від сторін.

Визначення 1

Трикутником називатимемо геометричну фігуру, яка складена з трьох точок, з'єднаних між собою відрізками (рис. 1).

Визначення 2

Крапки в рамках визначення 1 називатимемо вершинами трикутника.

Визначення 3

Відрізки у межах визначення 1 називатимемо сторонами трикутника.

Очевидно, що будь-який трикутник матиме 3 вершини, а також три сторони.

Залежно від відношення сторін один до одного, трикутники поділяються на різнобічні, рівностегнові та рівносторонні.

Визначення 4

Трикутник називатимемо різнобічним, якщо жодна з його сторін не дорівнює жодній іншій.

Визначення 5

Трикутник називатимемо рівнобедреним, якщо дві його сторони рівні один одному, але не дорівнюють третій стороні.

Визначення 6

Трикутник називатимемо рівностороннім, якщо всі його сторони дорівнюють один одному.

Усі види цих трикутників Ви можете побачити малюнку 2.

Як знайти периметр різностороннього трикутника?

Нехай нам дано різнобічний трикутник, у якого довжини сторін дорівнюватимуть $α$, $β$ і $γ$.

Висновок:Для знаходження периметра різнобічного трикутника треба всі довжини його сторін скласти між собою.

Приклад 1

Знайти периметр різнобічного трикутника дорівнюють $34$ см, $12$ см та $11$ см.

$ P = 34 +12 +11 = 57 $ см

Відповідь: $57$ див.

Приклад 2

Знайти периметр прямокутного трикутника, у якого катети дорівнюють $6$ і $8$ див.

Спочатку знайдемо довжину гіпотенуз цього трикутника за теоремою Піфагора. Позначимо її через $α$, тоді

$α=10$ За правилом обчислення периметра різнобічного трикутника, отримаємо

$ P = 10 +8 +6 = 24 $ см

Відповідь: $24$ див.

Як знайти периметр рівнобедреного трикутника?

Нехай нам дано рівнобедрений трикутник, у якого довжини бічних сторін дорівнюватимуть $α$, а довжина основи дорівнює $β$.

За визначенням периметра плоскої геометричної фігури отримаємо, що

$P=α+α+β=2α+β$

Висновок:Для знаходження периметра рівнобедреного трикутника треба подвоєну довжину його сторін скласти з довжиною його основи.

Приклад 3

Знайти периметр рівнобедреного трикутника, якщо його бічні сторони дорівнюють $12$ см, а основа $11$ см.

За розглянутим вище прикладом, бачимо, що

$P=2\cdot 12+11=35$ см

Відповідь: $35$ див.

Приклад 4

Знайти периметр рівнобедреного трикутника, якщо його висота, проведена на основу, дорівнює $8$ см, а основа $12$ см.

Розглянемо малюнок за умовою задачі:

Оскільки трикутник рівнобедрений, то $BD$ також і медіаною, отже, $AD=6$ див.

За теоремою Піфагора, з трикутника $ADB$ знайдемо бічну сторону. Позначимо її через $α$, тоді

За правилом обчислення периметра рівнобедреного трикутника, отримаємо

$P=2\cdot 10+12=32$ см

Відповідь: $32$ див.

Як знайти периметр рівностороннього трикутника?

Нехай нам дано рівносторонній трикутник, у якого довжини всіх сторін дорівнюватимуть $α$.

За визначенням периметра плоскої геометричної фігури отримаємо, що

$P=α+α+α=3α$

Висновок:Для знаходження периметра рівностороннього трикутника треба довжину сторони трикутника помножити на $3$.

Приклад 5

Знайти периметр рівностороннього трикутника, якщо його сторона дорівнює $12$ див.

За розглянутим вище прикладом, бачимо, що

$ P = 3 \ cdot 12 = 36 $ см

Периметр – це сума всіх сторін фігури. Ця характеристика, нарівні з площею, однаково потрібна всім фігур. Формула периметра рівнобедреного трикутника логічно випливає з його властивостей, але формула не така складна, як отримання та закріплення практичних навичок.

Формула обчислення периметра

Бічні сторони рівнобедреного трикутника рівні між собою. Це випливає з визначення та добре видно навіть із назви фігури. Саме з цієї властивості і виникає формула периметра:

P=2a+b, де b-це основа трикутника, a-значення бічної сторони.

Мал. 1. Рівностегновий трикутник

З формули видно, що знаходження периметра досить знати величину основи і з бокових сторін. Розглянь декілька завдань на знаходження периметра рівнобедреного трикутника. Завдання вирішуватимемо у міру зростання складності, це дозволить краще зрозуміти спосіб роздуми, якому потрібно слідувати для знаходження периметра.

Завдання 1

• У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 6, а висота, проведена до цієї основи, дорівнює 4. Необхідно знайти периметр фігури.

Мал. 2. Малюнок завдання 1

Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною і висотою. Ця властивість дуже часто використовується при вирішенні завдань, пов'язаних із рівнобедреними трикутниками.

Трикутник АВС заввишки ВM ділиться на два прямокутні трикутники: АВM та ВСM. У трикутнику АВM катет ВM відомий, катет АM дорівнює половині основи трикутника АВС, оскільки ВM є медіаною бісектрисою та висотою. За теоремою Піфагора знайдемо значення гіпотенузи АВ.

$$АВ^2=AM^2+BM^2$$

$$AB=\sqrt(AM^2+BM^2)=\sqrt(3^2+4^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

Знайдемо периметр: P=AC+AB*2=6+5*2=16

Завдання 2

• У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, дорівнює 10, а гострий кут при підставі 30 градусів. потрібно знайти периметр трикутника.

Мал. 3. Малюнок завдання 2

Ця задача ускладнена відсутністю відомостей про сторони трикутника, але, знаючи значення висоти та кута, у прямокутному трикутнику ABH можна знайти катет AH, а після рішення піде за тим же сценарієм, що і в задачі 1.

Знайдемо AH через значення синуса:

$$sin (ABH)=(BH\over AB)=(1\over2)$$ - синус 30 градусів є табличним значенням.

Виразимо потрібну сторону:

$$AB=((BH\over (1\over 2))) =BH*2=10*2=20$$

Через котангенс знайдемо значення AH:

$$ctg(BAH)=(AH\over BH)=(1\over\sqrt(3))$$

$$AH=(BH\over\sqrt(3))=10*\sqrt(3)=17,32$$ - вийшло значення округлим до сотих.

Знайдемо основу:

AC=AH*2=17,32*2=34,64

Тепер, коли знайдено всі необхідні значення, визначимо периметр:

P=AC+2*AB=34,64+2*20=74,64

Завдання 3

• У рівнобедреному трикутнику ABC відома площа, яка дорівнює $$16\over\sqrt(3)$$ і гострий кут при основі в 30 градусів. Знайти периметр трикутника.

Значення за умови часто наводяться у вигляді добутку кореня на число. Це робиться, щоб максимально убезпечити подальше рішення від похибок. Округлювати результат краще наприкінці обчислень

За такої постановки завдання може здатися, що рішень немає, адже складно висловити одну зі сторін або висоту з даних. Спробуємо вирішити інакше.

Позначимо висоту та половину основи латинськими літерами: BH=h та AH=a

Тоді основа дорівнюватиме: AC=AH+HC=AH*2=2a

Площа: $$S=(1\over 2)*AC*BH=(1\over 2)*2a*h=ah$$

З іншого боку, значення h можна виразити із трикутника ABH через тангенс гострого кута. Чому саме тангенс? Тому що в трикутнику ABH ми вже позначили два катети a і h. Потрібно висловити одне через інше. Два катети разом пов'язують тангенс та котангенс. Традиційно до котангенсу і косінус звертаються, тільки якщо не підходить тангенс або синус. Це не правило, можна вирішувати так, як зручно, просто так заведено.

$$tg(BAH)=(h\over(a))=(1\over\sqrt(3))$$

$$h=(a\over\sqrt(3))$$

Підставимо отримане значення формулу площі.

$$S=a*h=a*(a\over\sqrt(3))=((a^2)\over\sqrt(3))$$

Виразимо a:

$$a=\sqrt(S*\sqrt(3))=\sqrt(16\over\sqrt(3)*\sqrt(3))=\sqrt(16)=4$$

Підставимо значення a у формулу площі та визначимо значення висоти:

$$S=a*h=(16\over\sqrt(3))$$

$$h=(S\over(a))=((16\over\sqrt(3))\over(4))=(4\over\sqrt(3))=2,31$$- отримане значення округлим до сотих.

Через теорему Піфагора знайдемо бічну сторону трикутника:

$$AB^2=AH^2+BH^2$$

$$AB=\sqrt(AH^2+BH^2)=\sqrt(4^2+2,31^2)=4,62$$

Підставимо значення формулу периметра:

P=AB*2+AH*2=4,62*2+4*2=17,24

Що ми дізналися?

Ми докладно розібралися у всіх тонкощах знаходження периметра рівнобедреного трикутника. Вирішили три завдання різного рівня складності, показавши з прикладу, як вирішуються типові завдання вирішення рівнобедреного трикутника.

Тест на тему

Оцінка статті

Середня оцінка: 4.4. Усього отримано оцінок: 83.

Будь-якого трикутника дорівнює сумі довжин трьох сторін. Загальна формула для знаходження периметра трикутників:

P = a + b + c

де P- це периметр трикутника, a, bі c- Його сторони.

Можна знайти склавши послідовно довжини його сторін або помноживши довжину бокової сторони на 2 і додавши до твору довжину основи. Загальна формула для знаходження периметра рівнобедрених трикутників виглядатиме так:

P = 2a + b

де P- це периметр рівнобедреного трикутника, a- будь-яка з бічних сторін, b- основа.

Можна знайти склавши послідовно довжини його сторін або помноживши довжину будь-якої сторони на 3. Загальна формула для знаходження периметра рівносторонніх трикутників буде виглядати так:

P = 3a

де P- це периметр рівностороннього трикутника, a- Будь-яка з його сторін.

Площа

Для вимірювання площі трикутника можна порівняти його з паралелограмом. Розглянемо трикутник ABC:

Якщо взяти рівний йому трикутник і приставити його так, щоб вийшов паралелограм, то вийде паралелограм з тією самою висотою та основою, що й у даного трикутника:

У разі загальна сторона складених разом трикутників є діагоналлю утвореного паралелограмма. З властивості паралелограмів відомо, що діагональ завжди ділить паралелограм на два рівні трикутники, отже площа кожного трикутника дорівнює половині площі паралелограма.

Так як площа паралелограма дорівнює добутку його підстави на висоту, то площа трикутника дорівнюватиме половині цього добутку. Значить для Δ ABCплоща дорівнюватиме

Тепер розглянемо прямокутний трикутник:

Два рівні прямокутні трикутники можна скласти в прямокутник, якщо притулити їх один до одного гіпотенузою. Оскільки площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін, то площа цього трикутника дорівнює:

З цього можна дійти невтішного висновку, що площа будь-якого прямокутного трикутника дорівнює добутку катетів, розділеному на 2.

З даних прикладів можна дійти невтішного висновку, що площа будь-якого трикутника дорівнює добутку довжин основи та висоти, опущеної на основу, розділеному на 2. Загальна формула для знаходження площі трикутників виглядатиме так:

S =	ah a
	2

де S- Це площа трикутника, a- Його основа, h a- висота, опущена на основу a.