Дії зі ступенями теорія. Дії з одночленной. Ступінь з ірраціональним показником

Раніше ми вже говорили про те, що таке ступінь числа. Вона має певні властивості, корисні у вирішенні завдань: саме їх і всі можливі показники ступеня ми розберемо в цій статті. Також ми наочно покажемо на прикладах, як їх можна довести і правильно застосувати на практиці.

Згадаймо вже сформульоване нами раніше поняття ступеня з натуральним показником: це твір n -ного кількості множників, кожний з яких дорівнює а. Також нам знадобиться згадати, як правильно множити дійсні числа. Все це допоможе нам сформулювати для ступеня з натуральним показником такі властивості:

визначення 1

1. Головне властивість ступеня: a m · a n \u003d a m + n

Можна узагальнити до: a n 1 · a n 2 · ... · a n k \u003d a n 1 + n 2 + ... + n k.

2. Властивість приватного для ступенів, що мають однакові підстави: a m: a n \u003d a m - n

3. Властивість ступеня твори: (a · b) n \u003d a n · b n

Рівність можна розширити до: (a 1 · a 2 · ... · a k) n \u003d a 1 n · a 2 n · ... · a k n

4. Властивість приватного в натуральній ступеня: (a: b) n \u003d a n: b n

5. Будуємо ступінь в ступінь: (a m) n \u003d a m · n,

Можна узагальнити до: (((a n 1) n 2) ...) n k \u003d a n 1 · n 2 · ... · n k

6. Порівнюємо ступінь з нулем:

• якщо a\u003e 0, то при будь-якому натуральному n, a n буде більше нуля;
• при a, що дорівнює 0, a n також буде дорівнює нулю;
• при a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• при a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Рівність a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Нерівність a m\u003e a n буде вірним за умови, що m і n - натуральні числа, m більше n і а більше нуля і не менше одиниці.

У підсумку ми отримали кілька рівності; якщо дотримати всі умови, зазначені вище, то вони будуть тотожними. Для кожного з рівності, наприклад, для основного властивості, можна поміняти місцями праву і ліву частину: a m · a n \u003d a m + n - те ж саме, що і a m + n \u003d a m · a n. У такому вигляді воно часто використовується при спрощення виразів.

1. Почнемо з основного властивості ступеня: рівність a m · a n \u003d a m + n буде вірним при будь-яких натуральних m і n і дійсному a. Як довести це твердження?

Основне визначення ступенів з натуральними показниками дозволить нам перетворити рівність в твір множників. Ми отримаємо запис такого виду:

Це можна скоротити до (Згадаємо основні властивості множення). У підсумку ми отримали ступінь числа a з натуральним показником m + n. Таким чином, a m + n, значить, основна властивість ступеня доведено.

Розберемо конкретний приклад, що підтверджує це.

приклад 1

Отже, у нас є два ступені з основою 2. Їх натуральні показники - 2 і 3 відповідно. У нас вийшло рівність: 2 + 2 · 2 3 \u003d 2 2 + 3 \u003d 2 5 Обчислимо значення, щоб перевірити вірність цієї рівності.

Виконаємо необхідні математичні дії: 2 2 · 2 3 \u003d (2 · 2) · (2 \u200b\u200b· 2 · 2) \u003d 4 · 8 \u003d 32 і 2 +5 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 32

В результаті у нас вийшло: 2 + 2 • 2 3 \u003d 2 5. Властивість доведено.

В силу властивостей множення ми можемо виконати узагальнення властивості, сформулювавши його у вигляді трьох і більшого числа ступенів, у яких показники є натуральними числами, а підстави однакові. Якщо позначити кількість натуральних чисел n 1, n 2 та ін. Буквою k, ми отримаємо вірне рівність:

a n 1 · a n 2 · ... · a n k \u003d a n 1 + n 2 + ... + n k.

приклад 2

2. Далі нам необхідно довести наступне властивість, яке називається властивістю приватного і притаманне ступенями з однаковими підставами: це рівність am: an \u003d am - n, яке справедливо при будь-яких натуральним m і n (причому m більше n)) і будь-якому відмінному від нуля дійсне a .

Для початку пояснимо, який саме зміст умов, які згадані в формулюванні. Якщо ми візьмемо a, рівне нулю, то в результаті у нас вийде розподіл на нуль, чого робити не можна (адже 0 n \u003d 0). Умова, щоб число m обов'язково було більше n, потрібно для того, щоб ми могли втриматися в рамках натуральних показників ступеня: віднявши n з m, ми отримаємо натуральне число. Якщо умова не буде дотримана, у нас вийде негативне число або нуль, і знову ж таки ми вийдемо за межі вивчення ступенів з натуральними показниками.

Тепер ми можемо перейти до доведення. З раніше вивченого згадаємо основні властивості дробів і сформулюємо рівність так:

a m - n · a n \u003d a (m - n) + n \u003d a m

З нього можна вивести: a m - n · a n \u003d a m

Згадаймо про зв'язок ділення і множення. З нього випливає, що a m - n - приватна ступенів a m і a n. Це і є доказ другого властивості ступеня.

приклад 3

Підставами конкретні числа для наочності в показники, а підстава ступеня позначимо π: π 5: π 2 \u003d π 5 - 3 \u003d π 3

3. Наступним ми розберемо властивість ступеня твори: (a · b) n \u003d a n · b n при будь-яких дійсних a і b і натуральному n.

Згідно з базовим визначенням ступеня з натуральним показником ми можемо переформулювати рівність так:

Згадавши властивості множення, запишемо: . Це означає те ж саме, що і a n · b n.

приклад 4

2 3 · - 4 2 5 4 \u003d 2 3 4 · - 4 2 5 4

Якщо множників у нас три і більше, то це властивість також поширюється і на цей випадок. Введемо для числа множників позначення k і запишемо:

(A 1 · a 2 · ... · a k) n \u003d a 1 n · a 2 n · ... · a k n

приклад 5

З конкретними числами отримаємо наступне вірне рівність: (2 · (- 2, 3) · a) 7 \u003d 2 7 · (- 2, 3) 7 · a

4. Після цього ми спробуємо довести властивість приватного: (a: b) n \u003d a n: b n при будь-яких дійсних a і b, якщо b не дорівнює 0, а n - натуральне число.

Для доказу можна використовувати попереднє властивість ступеня. Якщо (a: b) n · bn \u003d ((a: b) · b) n \u003d an, а (a: b) n · bn \u003d an, то з цього виходить, що (a: b) n є частка від ділення an на bn.

приклад 6

Підрахуємо приклад: 3 1 2: - 0. 5 3 \u003d 3 1 2 3: (- 0, 5) 3

приклад 7

Почнемо відразу з прикладу: (5 2) 3 \u003d 5 2 · 3 \u003d 5 6

А тепер сформулюємо ланцюжок рівностей, яка доведе нам вірність рівності:

Якщо у нас в прикладі є мірою ступенів, то це властивість справедливо для них також. Якщо у нас є будь-які натуральні числа p, q, r, s, то вірно буде:

a p q y s \u003d a p · q · y · s

приклад 8

Додамо конкретики: (((5, 2) 3) 2) 5 \u003d (5, 2) 3 · 2 · 5 \u003d (5, 2) 30

6. Ще одна властивість ступенів з натуральним показником, яке нам потрібно довести, - властивість порівняння.

Для початку порівняємо ступінь з нулем. Чому a n\u003e 0 за умови, що а більше 0?

Якщо помножити одне позитивне число на інше, то ми отримаємо також позитивне число. Знаючи цей факт, ми можемо сказати, що від числа множників це не залежить - результат множення будь-якого числа позитивних чисел є число позитивне. А що ж таке ступінь, як не результат множення чисел? Тоді для будь-якого ступеня a n з позитивним підставою і натуральним показником це буде вірно.

приклад 9

3 5\u003e 0, (0, 00201) 2\u003e 0 і 34 9 13 51\u003e 0

Також очевидно, що ступінь з основою, рівним нулю, сама є нуль. В яку б ступінь ми не зводили нуль, він залишиться їм.

приклад 10

0 3 \u003d 0 і 0 762 \u003d 0

Якщо основа ступеня - негативне число, то тут доказ трохи складніше, оскільки важливим стає поняття парності / непарності показника. Візьмемо для початку випадок, коли показник ступеня парний, і позначимо його 2 · m, де m - натуральне число.

Згадаймо, як правильно множити негативні числа: твір a · a дорівнює добутку модулів, а, отже, воно буде позитивним числом. тоді і ступінь a 2 · m також позитивні.

приклад 11

Наприклад, (- 6) 4\u003e 0, (- 2, 2) 12\u003e 0 і - 2 9 6\u003e 0

А якщо показник ступеня з негативним підставою - непарне число? Позначимо його 2 · m - 1.

тоді

Всі твори a · a, згідно властивостям множення, позитивні, їх твір теж. Але якщо ми його помножимо на єдине що залишилося число a, то кінцевий результат буде негативний.

Тоді отримаємо: (- 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Як це довести?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

приклад 12

Наприклад, вірні нерівності 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Нам залишилося довести остання властивість: якщо у нас є два ступені, підстави яких однакові і позитивні, а показники є натуральними числами, то та з них більше, показник якої менше; а з двох ступенів з натуральними показниками і підставами, великими одиниці, більше того ступеня, показник якої більше.

Доведемо ці твердження.

Для початку нам потрібно переконатися, що a m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Винесемо a n за дужки, після чого наша різниця набуде вигляду a n · (a m - n - 1). Її результат буде негативний (оскільки негативний результат множення позитивного числа на негативне). Адже згідно початкових умов, m - n\u003e 0, тоді a m - n - 1-негативних, а перший множник позитивний, як і будь-яка натуральна ступінь з позитивним підставою.

У нас вийшло, що a m - a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Залишилося привести доказ другій частині затвердження, сформульованого вище: a m\u003e a справедливо при m\u003e n і a\u003e 1. Зазначимо різницю і винесемо a n за дужки: (a m - n - 1) .Ступінь a n при а, більшому одиниці, дасть позитивний результат; а сама різниця також виявиться позитивна в силу початкових умов, і при a\u003e 1 ступінь a m - n більше одиниці. Виходить, a m - a n\u003e 0 і a m\u003e a n, що нам і треба було довести.

приклад 13

Приклад з конкретними числами 3 7\u003e Параметри 3 2

Основні властивості ступенів з цілими показниками

Для ступенів з цілими позитивними показниками якості будуть аналогічні, тому що цілі позитивні числа є натуральними, а значить, все рівності, доведені вище, справедливі і для них. Також вони підходять і для випадків, коли показники негативні або дорівнюють нулю (за умови, що сама підстава ступеня нульове).

Таким чином, властивості ступенів такі ж для будь-яких підстав a і b (за умови, що ці числа дійсні і не рівні 0) і будь-яких показників m і n (за умови, що вони є цілими числами). Запишемо їх коротко у вигляді формул:

визначення 2

1. a m · a n \u003d a m + n

2. a m: a n \u003d a m - n

3. (a · b) n \u003d a n · b n

4. (a: b) n \u003d a n: b n

5. (a m) n \u003d a m · n

6. a n< b n и a − n > b - n при умові цілого позитивного n, позитивних a і b, a< b

7. a m< a n , при условии целых m и n , m > n і 0< a < 1 , при a > 1 a m\u003e a n.

Якщо основа ступеня дорівнює нулю, то записи a m і a n мають сенс тільки лише в разі натуральних і позитивних m і n. В результаті отримаємо, що формулювання вище підходять і для випадків зі ступенем з нульовим підставою, якщо дотримуються всі інші умови.

Докази цих властивостей в даному випадку нескладні. Нам буде потрібно згадати, що таке ступінь з натуральним і цілим показником, а також властивості дій з дійсними числами.

Розберемо властивість ступеня в ступеня і доведемо, що воно вірне і для цілих позитивних, і для цілих непозитивним чисел. Почнемо з докази рівності (ap) q \u003d ap · q, (ap) q \u003d a (- p) · q, (ap) - q \u003d ap · (- q) і (ap) - q \u003d a (- p) · (- q)

Умови: p \u003d 0 або натуральне число; q - аналогічно.

Якщо значення p і q більше 0, то у нас вийде (a p) q \u003d a p · q. Подібне рівність ми вже доводили раніше. Якщо p \u003d 0, то:

(A 0) q \u003d 1 q \u003d 1 a 0 · q \u003d a 0 \u003d 1

Отже, (a 0) q \u003d a 0 · q

Для q \u003d 0 всі точно так же:

(A p) 0 \u003d 1 a p · 0 \u003d a 0 \u003d 1

Підсумок: (a p) 0 \u003d a p · 0.

Якщо ж обидва показники нульові, то (a 0) 0 \u003d 1 0 \u003d 1 і a 0 · 0 \u003d a 0 \u003d 1, значить, (a 0) 0 \u003d a 0 · 0.

Згадаймо доведене вище властивість приватного в ступені і запишемо:

1 a p q \u003d 1 q a p q

Якщо 1 p \u003d 1 · 1 · ... · 1 \u003d 1 і a p q \u003d a p · q, то 1 q a p q \u003d 1 a p · q

Цей запис ми можемо перетворити в силу основних правил множення в a (- p) · q.

Так само: a p - q \u003d 1 (a p) q \u003d 1 a p · q \u003d a - (p · q) \u003d a p · (- q).

І (a - p) - q \u003d 1 a p - q \u003d (a p) q \u003d a p · q \u003d a (- p) · (- q)

Решта властивості ступеня можна довести аналогічним чином, перетворивши наявні нерівності. Докладно зупинятися ми на цьому не будемо, зазначимо лише складні моменти.

Доказ передостаннього властивості: згадаймо, a - n\u003e b - n вірно для будь-яких цілих від'ємних значень NИ будь-яких позитивних a і b за умови, що a менше b.

Тоді нерівність можна перетворити в такий спосіб:

1 a n\u003e 1 b n

Запишемо праву і ліву частини у вигляді різниці і виконаємо необхідні перетворення:

1 a n - 1 b n \u003d b n - a n a n · b n

Згадаймо, що в умови a менше b, тоді, згідно з визначенням ступеня з натуральним показником: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n в результаті дає позитивний число, оскільки його множники позитивні. У підсумку ми маємо дріб b n - a n a n · b n, яка в підсумку також дає позитивний результат. Звідси 1 a n\u003e 1 b n звідки a - n\u003e b - n, що нам і потрібно було довести.

Остання властивість ступенів з цілими показниками доводиться аналогічно властивості ступенів з показниками натуральними.

Основні властивості ступенів з раціональними показниками

У попередніх статтях ми розбирали, що таке ступінь з раціональним (дробовим) показником. Їх властивості такі ж, що і у ступенів з цілими показниками. запишемо:

визначення 3

1. am 1 n 1 · am 2 n 2 \u003d am 1 n 1 + m 2 n 2 при a\u003e 0, а якщо m 1 n 1\u003e 0 і m 2 n 2\u003e 0, то при a ≥ 0 (якість праці ступенів з підставами).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 \u003d a m 1 n 1 - m 2 n 2, якщо a\u003e 0 (властивість приватного).

3. a · bmn \u003d amn · bmn при a\u003e 0 і b\u003e 0, а якщо m 1 n 1\u003e 0 і m 2 n 2\u003e 0, то при a ≥ 0 і (або) b ≥ 0 (якість праці в дробової ступеня).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n при a\u003e 0 і b\u003e 0, а якщо m n\u003e 0, то при a ≥ 0 і b\u003e 0 (властивість приватного в дробової ступеня).

5. am 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 · m 2 n 2 при a\u003e 0, а якщо m 1 n 1\u003e 0 і m 2 n 2\u003e 0, то при a ≥ 0 (властивість ступеня в ступеня).

6. a p< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p > 0; якщо p< 0 - a p > b p (властивість порівняння ступенів з рівними раціональними показниками).

7. a p< a q при условии рациональных чисел p и q , p > q при 0< a < 1 ; если a > 0 - a p\u003e a q

Для доказу зазначених положень нам знадобиться згадати, що таке ступінь з дробовим показником, які властивості арифметичного кореня n -ної ступеня і які властивості ступеня з цілими показником. Розберемо кожне властивість.

Згідно з тим, що з себе представляє ступінь з дробовим показником, отримаємо:

a m 1 n 1 \u003d a m 1 n 1 і a m 2 n 2 \u003d a m 2 n 2, отже, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 \u003d a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Властивості кореня дозволять нам вивести рівності:

a m 1 · m 2 n 1 · n 2 · a m 2 · m 1 n 2 · n 1 \u003d a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2

З цього отримуємо: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

перетворимо:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Показник ступеня можна записати у вигляді:

m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d m 1 · n 2 n 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d m 1 n 1 + m 2 n 2

Це і є доказ. Друге властивість доводиться абсолютно так само. Запишемо ланцюжок рівностей:

am 1 n 1: am 2 n 2 \u003d am 1 n 1: am 2 n 2 \u003d am 1 · n 2: am 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d \u003d am 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d am 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d am 1 · n 2 n 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 \u003d am 1 n 1 - m 2 n 2

Докази інших рівностей:

a · b m n \u003d (a · b) m n \u003d a m · b m n \u003d a m n · b m n \u003d a m n · b m n; (A: b) m n \u003d (a: b) m n \u003d a m: b m n \u003d \u003d a m n: b m n \u003d a m n: b m n; am 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 \u003d \u003d am 1 m 2 n 1 n 2 \u003d am 1 · m 2 n 1 n 2 \u003d \u003d am 1 · m 2 n 2 · n 1 \u003d am 1 · m 2 n 2 · n 1 \u003d am 1 n 1 · m 2 n 2

Наступне властивість: доведемо, що для будь-яких значень a і b більше 0, якщо а менше b, буде виконуватися a p< b p , а для p больше 0 - a p > b p

Уявімо раціональне число p як m n. При цьому m -метою число, n -натуральне. Тоді умови p< 0 и p > 0 поширюватимуться на m< 0 и m > 0. При m\u003e 0 і a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Використовуємо властивість коренів і виведемо: a m n< b m n

З огляду на позитивність значень a і b, перепишемо нерівність як a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Таким же чином при m< 0 имеем a a m > b m, отримуємо a m n\u003e b m n означає, a m n\u003e b m n і a p\u003e b p.

Нам залишилося привести доказ останнього властивості. Доведемо, що для раціональних чисел p і q, p\u003e q при 0< a < 1 a p < a q , а при a > 0 буде вірно a p\u003e a q.

Раціональні числа p і q можна привести до спільного знаменника і отримати дробу m 1 n і m 2 n

Тут m 1 і m 2 - цілі числа, а n - натуральне. Якщо p\u003e q, то m 1\u003e m 2 (з огляду на правило порівняння дробів). Тоді при 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a > 1 - нерівність a 1 m\u003e a 2 m.

Їх можна переписати в наступному вигляді:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n > a m 2 n

Тоді можна зробити перетворення і отримати в результаті:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n > a m 2 n

Підводимо підсумок: при p\u003e q і 0< a < 1 верно a p < a q , а при a > 0 - a p\u003e a q.

Основні властивості ступенів з ірраціональними показниками

На таку ступінь можна поширити всі описані вище властивості, якими володіє ступінь з раціональними показниками. Це випливає з самого її визначення, яке ми давали в одній з попередніх статей. Сформулюємо коротко ці властивості (умови: a\u003e 0, b\u003e 0, показники p і q - ірраціональні числа):

визначення 4

1. a p · a q \u003d a p + q

2. a p: a q \u003d a p - q

3. (a · b) p \u003d a p · b p

4. (a: b) p \u003d a p: b p

5. (a p) q \u003d a p · q

6. a p< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p > b p

7. a p< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a > 0, то a p\u003e a q.

Таким чином, всі ступені, показники яких p і q є дійсними числами, за умови a\u003e 0 мають ті ж властивості.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Як множити ступеня? Які міри можна перемножити, а які - ні? Як число помножити на ступінь?

В алгебрі знайти твір ступенів можна в двох випадках:

1) якщо мірі мають однакові підстави;

2) якщо мірі мають однакові показники.

При множенні ступенів з підставами треба підставу залишити колишнім, а показники - скласти:

При множенні ступенів з однаковими показниками загальний показник можна винести за дужки:

Розглянемо, як множити ступеня, на конкретних прикладах.

Одиницю в показнику ступеня не пишуть, але при множенні ступенів - враховують:

При множенні кількість ступенів може бути будь-який. Слід пам'ятати, що перед буквою знак множення можна не писати:

У виразах спорудження до рівня виконується в першу чергу.

Якщо потрібно число помножити на ступінь, спочатку слід виконати зведення в ступінь, а вже потім - множення:

www.algebraclass.ru

Додавання, віднімання, множення, і ділення степенів

Додавання і віднімання ступенів

Очевидно, що числа зі ступенями можуть складатися, як інші величини , Шляхом їх складання одна за одною зі своїми знаками.

Так, сума a 3 і b 2 є a 3 + b 2.
Сума a 3 - b n і h 5 -d 4 є a 3 - b n + h 5 - d 4.

коефіцієнти однакових ступенів однакових змінних можуть складатися або відніматися.

Так, сума 2a 2 і 3a 2 дорівнює 5a 2.

Це так само очевидно, що якщо взяти два квадрата а, або три квадрата а, або п'ять квадратів а.

але ступеня різних змінних і різні ступені однакових змінних, Повинні складатися їх складанням з їх знаками.

Так, сума a 2 і a 3 є сума a 2 + a 3.

Це очевидно, що квадрат числа a, і куб числа a, не дорівнює ні подвоєному квадрату a, але подвоєному кубу a.

Сума a 3 b n і 3a 5 b 6 є a 3 b n + 3a 5 b 6.

віднімання ступенів проводиться таким же чином, що і додавання, за винятком того, що знаки віднімаються повинні відповідно бути змінені.

або:
2a 4 - (-6a 4) \u003d 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 \u003d 3 (a - h) 6

множення ступенів

Числа зі ступенями можуть бути помножені, як і інші величини, шляхом написання їх одне за іншим, зі знаком множення або без нього між ними.

Так, результат множення a 3 на b 2 дорівнює a 3 b 2 або aaabb.

або:
x -3 ⋅ a m \u003d a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) \u003d -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y \u003d a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в останньому прикладі може бути впорядкований шляхом складання однакових змінних.
Вираз прийме вигляд: a 5 b 5 y 3.

Порівнюючи кілька чисел (змінних) зі ступенями, ми можемо побачити, що якщо будь-які два з них множаться, то результат - це число (змінна) зі ступенем, що дорівнює сумі ступенів доданків.

Так, a 2 .a 3 \u003d aa.aaa \u003d aaaaa \u003d a 5.

Тут 5 - це ступінь результату множення, рівна 2 + 3, сумі ступенів доданків.

Так, a n .a m \u003d a m + n.

Для a n, a береться як множник стільки раз, скільки дорівнює ступінь n;

І a m, береться як множник стільки раз, скільки дорівнює ступінь m;

Тому, ступеня з однаковими основами можуть бути помножені шляхом додавання показників ступенів.

Так, a 2 .a 6 \u003d a 2 + 6 \u003d a 8. І x 3 .x 2 .x \u003d x 3 + 2 + 1 \u003d x 6.

або:
4a n ⋅ 2a n \u003d 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y \u003d b 6 y 4
(B + h - y) n ⋅ (b + h - y) \u003d (b + h - y) n + 1

Помножте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (xy).
Відповідь: x 4 - y 4.
Помножте (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Це правило справедливо і для чисел, показники ступеня яких - негативні.

1. Так, a -2 .a -3 \u003d a -5. Це можна записати у вигляді (1 / aa). (1 / aaa) \u003d 1 / aaaaa.

2. y -n .y -m \u003d y -n-m.

3. a -n .a m \u003d a m-n.

Якщо a + b множаться на a - b, результат буде дорівнює a 2 - b 2: тобто

Результат множення суми або різниці двох чисел дорівнює сумі або різниці їх квадратів.

Якщо множиться сума і різниця двох чисел, зведених в квадрат, Результат буде дорівнює сумі або різниці цих чисел в четвертої ступеня.

Так, (a - y). (A + y) \u003d a 2 - y 2.
(A 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) \u003d a 4 - y 4.
(A 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) \u003d a 8 - y 8.

розподіл ступенів

Числа зі ступенями можуть бути поділені, як і інші числа, шляхом віднімаючи від діленого дільника, або розміщенням їх у формі дробу.

Таким чином a 3 b 2 поділене на b 2, так само a 3.

Запис a 5, поділеній на a 3, виглядає як $ \\ frac $. Але це так само a 2. У ряді чисел
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a 1, a 2, a -3, a -4.
будь-яке число може бути поділено на інше, а показник ступеня буде дорівнює різниці показників подільних чисел.

При розподілі ступенів з однаковим підставою їх показники віднімаються..

Так, y 3: y 2 \u003d y 3-2 \u003d y 1. Тобто, $ \\ frac \u003d y $.

І a n + 1: a \u003d a n + 1-1 \u003d a n. Тобто $ \\ frac \u003d a ^ n $.

або:
y 2m: y m \u003d y m
8a n + m: 4a m \u003d 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 \u003d 4 (b + y) n-3

Правило також справедливо і для чисел з негативними значеннями ступенів.
Результат ділення a -5 на a -3, дорівнює a -2.
Також, $ \\ frac: \\ frac \u003d \\ frac. \\ Frac \u003d \\ frac \u003d \\ frac $.

h 2: h 1 \u003d h 2 + 1 \u003d h 3 або $ h ^ 2: \\ frac \u003d h ^ 2. \\ frac \u003d h ^ 3 $

Необхідно дуже добре засвоїти множення і ділення степенів, так як такі операції дуже широко застосовуються в алгебрі.

Приклади розв'язання прикладів з дробами, що містять числа зі ступенями

1. Зменшіть показники ступенів в $ \\ frac $ Відповідь: $ \\ frac $.

2. Зменшіть показники ступенів в $ \\ frac $. Відповідь: $ \\ frac $ або 2x.

3. Зменшіть показники ступенів a 2 / a 3 і a -3 / a -4 і приведіть до спільного знаменника.
a 2 .a -4 є a -2 перший чисельник.
a 3 .a -3 є a 0 \u003d 1, другий чисельник.
a 3 .a -4 є a -1, загальний чисельник.
Після спрощення: a -2 / a -1 і 1 / a -1.

4. Зменшіть показники ступенів 2a 4 / 5a 3 і 2 / a 4 і приведіть до спільного знаменника.
Відповідь: 2a 3 / 5a 7 і 5a 5 / 5a 7 або 2a 3 / 5a 2 і 5 / 5a 2.

5. Помножте (a 3 + b) / b 4 на (a - b) / 3.

6. Помножте (a 5 + 1) / x 2 на (b 2 - 1) / (x + a).

7. Помножте b 4 / a -2 на h -3 / x і a n / y -3.

8. Розділіть a 4 / y 3 на a 3 / y 2. Відповідь: a / y.

властивості ступеня

Нагадуємо, що в даному уроці розбираються властивості ступенів з натуральними показниками і нулем. Ступеня з раціональними показниками та їх властивості будуть розглянуті в уроках для 8 класів.

Ступінь з натуральним показником володіє декількома важливими властивостями, які дозволяють спрощувати обчислення в прикладах зі ступенями.

Властивість № 1
твір ступенів

При множенні ступенів з підставами підставу залишається без змін, а показники ступенів складаються.

a m · a n \u003d a m + n, де «a» - будь-яке число, а «m», «n» - будь-які натуральні числа.

Дана властивість ступенів також діє на твір трьох і більше ступенів.

Спростити вираз.
b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 \u003d b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u003d b 15

Представити у вигляді ступеня.
6 15 · 36 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 17

Представити у вигляді ступеня.
(0,8) 3 · (0,8) 12 \u003d (0,8) 3 + 12 \u003d (0,8) 15

Зверніть увагу, що в зазначеному властивості йшлося тільки про примноження ступенів з підставами . Воно не відноситься до їх складання.

Не можна замінювати суму (3 +3 +3 2) на 3 5. Це зрозуміло, якщо
порахувати (3 +3 +3 2) \u003d (27 + 9) \u003d 36, а 3 +5 \u003d 243

Властивість № 2
Приватне ступенів

При розподілі ступенів з підставами підставу залишається без змін, а з показника ступеня діленого віднімають показник ступеня дільника.

Записати приватне у вигляді ступеня
(2b) 5: (2b) 3 \u003d (2b) 5 - 3 \u003d (2b) 2

Обчислити.

11 3 - 2 · 4 2 - 1 \u003d 11 · 4 \u003d 44
Приклад. Розв'язати рівняння. Використовуємо властивість приватного ступенів.
3 8: t \u003d 3 4

Відповідь: t \u003d 3 +4 \u003d 81

Користуючись властивостями № 1 і № 2, можна легко спрощувати вирази і робити обчислення.

Приклад. Спростити вираз.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 6m + 8 - 4m - 3 \u003d 4 2m + 5

Приклад. Знайти значення виразу, використовуючи властивості ступеня.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Зверніть увагу, що у властивості 2 йшлося тільки про розподіл ступенів з підставами.

Не можна замінювати різницю (4 3 -4 2) на 4 1. Це зрозуміло, якщо порахувати (4 3 -4 2) \u003d (64 - 16) \u003d 48, а 4 +1 \u003d 4

Властивість № 3
Зведення ступеня в ступінь

При зведенні ступеня в ступінь підставу ступеня залишається без зміни, а показники ступенів перемножуються.

(A n) m \u003d a n · m, де «a» - будь-яке число, а «m», «n» - будь-які натуральні числа.

Зверніть увагу, що властивість № 4, як і інші властивості ступенів, застосовують і в зворотному порядку.

(A n · b n) \u003d (a · b) n

Тобто, щоб перемножити ступеня з однаковими показниками можна перемножити підстави, а показник ступеня залишити незмінним.

Приклад. Обчислити.
2 4 · 5 4 \u003d (2 · 5) 4 \u003d 10 4 \u003d 10 000

Приклад. Обчислити.
0,5 16 · 2 16 \u003d (0,5 · 2) 16 \u003d 1

У більш складних прикладах можуть зустрітися випадки, коли множення і ділення треба виконати над ступенями з різними підставами і різними показниками. В цьому випадку радимо поступати таким чином.

Наприклад, 4, 5 · 3 2 \u003d 4 3 · 4 2 · 3 2 \u003d 4 3 · (4 · 3) 2 \u003d 64 · 12 2 \u003d 64 · 144 \u003d 9216

Приклад зведення в ступінь десяткового дробу.

4 21 · (-0,25) 20 \u003d 4 · 4 20 · (-0,25) 20 \u003d 4 · (4 · (-0,25)) 20 \u003d 4 · (-1) 20 \u003d 4 · 1 \u003d 4

властивості 5
Ступінь приватного (дробу)

Щоб звести в ступінь приватне, можна звести до цього степеня окремо ділене і дільник, і перший результат розділити на другий.

(A: b) n \u003d a n: b n, де «a», «b» - будь-які раціональні числа, b ≠ 0, n - будь-яке натуральне число.

Приклад. Уявити вираження у вигляді приватного ступенів.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Нагадуємо, що приватна можна представити у вигляді дробу. Тому на темі зведення дробу до степеня ми зупинимося більш детально на наступній сторінці.

Ступеня і коріння

Операції зі ступенями і корінням. Ступінь з негативним ,

нульовим і дробовим показником. Про виразах, які не мають сенсу.

Операції зі ступенями.

1. При множенні ступенів з однаковим підставою їх показники складаються:

a m · a n \u003d a m + n.

2. При розподілі ступенів з однаковим підставою їх показники віднімаються .

3. Ступінь твори двох або кількох співмножників дорівнює добутку ступенів цих співмножників.

4. Ступінь відносини (дробу) дорівнює відношенню ступенів діленого (чисельника) і дільника (знаменника):

(a / b) n \u003d a n / b n.

5. При зведенні ступеня в ступінь їх показники перемножуються:

Всі вищенаведені формули читаються і виконуються в обох напрямках зліва направо і навпаки.

П р и м і р. (2 · 3 · 5/15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² \u003d 900/225 \u003d 4 .

Операції з корінням. У всіх наведених нижче формулах символ означає арифметичний корінь (Подкоренное вираз позитивно).

1. Корінь з твору декількох співмножників дорівнює добутку коренів з цих співмножників:

2. Корінь з відносини дорівнює відношенню коренів діленого і дільника:

3. При зведенні кореня в ступінь досить звести до цього степеня підкореневе число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в m раз і одночасно звести в m -у ступінь подкоренное число, то значення кореня не зміниться:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в m раз і одночасно витягти корінь m-го ступеня з подкоренного числа, то значення кореня не зміниться:

Розширення поняття ступеня. До сих пір ми розглядали ступеня тільки з натуральним показником; але дії зі ступенями і корінням можуть призводити також до негативним, нульовим і дробовим показниками. Всі ці показники ступенів вимагають додаткового визначення.

Ступінь з негативним показником. Ступінь деякого числа з негативним (цілим) показником визначається як одиниця, поділена на ступінь того ж числа з показником, рівним абсолютної велечіни негативного показника:

Т Тепер формула a m : a n = a m - n може бути використана не тільки при m , Більшому, ніж n , Але і при m , Меншому, ніж n .

П р и м і р. a 4: a 7 \u003d a 4 — 7 \u003d a — 3 .

Якщо ми хочемо, щоб формула a m : a n = a m — n була справедлива при m \u003d n , Нам необхідно визначення нульової ступеня.

Ступінь з нульовим показником. Ступінь будь-якого ненульового числа з нульовим показником дорівнює 1.

П р и м і р и. 2 0 \u003d 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Ступінь з дробовим показником. Для того, щоб звести дійсне число а в ступінь m / n, потрібно витягти корінь n-го ступеня з m-го ступеня цього числа а:

Про виразах, які не мають сенсу. Є кілька таких виразів.

де a ≠ 0 , не існує.

Справді, якщо припустити, що x - деяке число, то відповідно до визначення операції ділення маємо: a = 0· x, Т.e. a \u003d 0, що суперечить умові: a ≠ 0

— будь-яке число.

Справді, якщо припустити, що цей вислів дорівнює деякому числу x, То згідно з визначенням операції ділення маємо: 0 \u003d 0 · x . Але це рівність має місце при будь-якій кількості x, що і потрібно було довести.

0 0 — будь-яке число.

Р і ш е н і е. Розглянемо три основних випадку:

1) x = 0 – це значення не задовольняє даному рівнянню

2) при x \u003e 0 отримуємо: x / x \u003d 1, т.e. 1 \u003d 1, звідки випливає,

що x - будь-яке число; але беручи до уваги, що в

нашому випадку x \u003e 0, відповіддю є x > 0 ;

Правила множення ступенів з різних підставою

РІВЕНЬ З РАЦІОНАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ,

Статечної функції IV

§ 69. Множення і ділення степенів з однаковими підставами

Теорема 1. Щоб перемножити ступеня з однаковими підставами, досить показники ступенів скласти, а підстава залишити колишнім, тобто

Доведення. За визначенням ступеня

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Ми розглянули твір двох ступенів. Насправді ж доведене властивість вірно для будь-якого числа ступенів з підставами.

Теорема 2. Щоб розділити ступеня з однаковими підставами, коли показник діленого більше показника подільника, досить з показника діленого відняти показник дільника, а підстава залишити колишнім, тобто при т\u003e п

(a =/= 0)

Доведення. Нагадаємо, що приватним від ділення одного числа на інше називається число, яке при множенні на дільник дає ділене. Тому довести формулу, де a \u003d / \u003d 0, це все одно, що довести формулу

якщо т\u003e п , То число т - п буде натуральним; отже, по теоремі 1

Теорема 2 доведена.

Слід звернути увагу на те, що формула

доведена нами лише в припущенні, що т\u003e п . Тому з доведеного поки не можна робити, наприклад, таких висновків:

До того ж ступеня з негативними показниками нами ще не розглядалися і ми поки що не знаємо, який сенс можна надати висловом 3 - 2 .

Теорема 3. Щоб звести ступінь в ступінь, досить перемножити показники, залишивши підстава ступеня колишнім, тобто

Доведення. Використовуючи визначення ступеня і теорему 1 цього параграфа, отримуємо:

що і потрібно було довести.

Наприклад, (2 3) 2 \u003d 2 6 \u003d 64;

518 (Усно.) Визначити х з рівнянь:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (У с т н о.) Спростити:

520. (У с т н о.) Спростити:

521. Дані вирази представити у вигляді ступенів з підставами:

1) 32 і 64; 3) 8 5 і 16 3; 5) 4. 100 і 32 50;

2) -1000 і 100; 4) -27 і -243; 6) 81 75 8 200 і 3 600 4 150.

формули ступенів використовують в процесі скорочення та спрощення складних виразів, в рішенні рівнянь і нерівностей.

число c є n-ної ступенем числа a коли:

Операції зі ступенями.

1. Примножуючи ступеня з однаковим підставою їх показники складаються:

a m· A n \u003d a m + n.

2. У розподілі ступенів з однаковим підставою їх показники вираховуються:

3. Ступінь твори 2-х або більшої кількості множників дорівнює добутку ступенів цих співмножників:

(Abc ...) n \u003d a n · b n · c n ...

4. Ступінь дробу дорівнює відношенню ступенів діленого і дільника:

(A / b) n \u003d a n / b n.

5. Зводячи ступінь в ступінь, показники ступенів перемножують:

(A m) n \u003d a m n.

Кожна вищенаведена формула вірна в напрямках зліва направо і навпаки.

наприклад. (2 · 3 · 5/15) ² \u003d 2² · 3² · 5² / 15² \u003d 900/225 \u003d 4.

Операції з корінням.

1. Корінь з твору декількох співмножників дорівнює добутку коренів з цих співмножників:

2. Корінь з відносини дорівнює відношенню діленого і дільника коренів:

3. При зведенні кореня в ступінь досить звести до цього степеня подкоренное число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в n раз і в той же час звести в n-у ступінь подкоренное число, то значення кореня не поміняється:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в n раз і в той же час витягти корінь n-го ступеня з подкоренного числа, то значення кореня не поміняється:

Ступінь з негативним показником.Ступінь деякого числа з непозитивним (цілим) показником визначають як одиницю, поділену на ступінь того ж числа з показником, рівним абсолютній величині непозитивним показника:

формулу a m: A n \u003d a m - n можна використовувати не тільки при m> n , Але і при m< n.

наприклад. a 4: a 7 \u003d a 4 - 7 \u003d a -3.

щоб формула a m: A n \u003d a m - n стала справедливою при m \u003d n, Потрібна присутність нульової ступеня.

Ступінь з нульовим показником.Ступінь всякого числа, які не рівного нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці.

наприклад. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Ступінь з дробовим показником.Щоб звести дійсне число а в ступінь m / n, Необхідно витягти корінь n-го ступеня з m-го ступеня цього числа а.

Якщо вам потрібно звести якесь конкретне число в ступінь, можете скористатися. А зараз ми більш детально зупинимося на властивості ступенів.

експонентні числа відкривають великі можливості, вони дозволяють нам перетворити множення в складання, а складати набагато легше, ніж множити.

Наприклад, нам треба помножити 16 на 64. Твір від множення цих двох чисел одно 1024. Але 16 - це 4 × 4, а 64 - це 4х4х4. Тобто 16 на 64 \u003d 4x4x4x4x4, що також дорівнює 1024.

Число 16 можна уявити також у вигляді 2х2х2х2, а 64 як 2х2х2х2х2х2, і якщо зробити множення, ми знову отримаємо тисяча двадцять чотири.

А тепер використовуємо правило. 16 \u003d 4 2, або 2 4, 64 \u003d 4 3, або 2 6, в той же час 1024 \u003d 6 4 \u003d 4 5, або 2 10.

Отже, наше завдання можна записати по-іншому 4 2 х4 3 \u003d 4 5 або 2 4 х2 6 \u003d 2 10, і кожен раз ми отримуємо 1024.

Ми можемо вирішити ряд аналогічних прикладів і побачимо, що множення чисел зі ступенями зводиться до додаванню показників ступеня, Або експонент, зрозуміло, за тієї умови, що підстави сомножителей рівні.

Таким чином, ми можемо, не виробляючи множення, відразу сказати, що 2 4 х2 2 х2 14 \u003d 2 20.

Це правило справедливо також і при діленні чисел зі ступенями, але в цьому випадку е кспонента подільника віднімається з експоненти діленого. Таким чином, 2 5 2 3 \u003d 2 + 2, що в звичайних числах дорівнює 32: 8 \u003d 4, тобто 2 + 2. Підведемо підсумки:

a m х a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, де m і n - цілі числа.

З першого погляду може здатися, що таке множення і ділення чисел зі ступенями не дуже зручно, адже спочатку треба уявити число в експоненційної формі. Неважко уявити в такій формі числа 8 і 16, тобто 2 3 і 2 4, але як це зробити з числами 7 і 17? Або що робити в тих випадках, коли число можна представити в експоненційної формі, але підстави експоненційних виразів чисел сильно розрізняються. Наприклад, 8 × 9 - це 2 3 х3 2, і в цьому випадку ми не можемо підсумувати експоненти. Ні 2 5 і ні 3 5 Не є відповіддю, відповідь також не лежить в інтервалі між цими двома числами.

Тоді чи варто взагалі возитися з цим методом? Безумовно варто. Він дає величезні переваги, особливо при складних і трудомістких обчисленнях.