Функції та їх назви. Дослідження графіка функції. Властивості функції котангенс y \u003d ctgx

побудувати функцію

Ми пропонуємо вашій увазі сервіс по потроенію графіків функцій онлайн, всі права на який належать компанії Desmos. Для введення функцій скористайтеся лівої колонкою. Вводити можна вручну або за допомогою віртуальної клавіатури внизу вікна. Для збільшення вікна з графіком можна приховати як ліву колонку, так і віртуальну клавіатуру.

Переваги побудови графіків онлайн

• Візуальне відображення вводяться функцій
• Побудова дуже складних графіків
• Побудова графіків, заданих неявно (наприклад еліпс x ^ 2/9 + y ^ 2/16 \u003d 1)
• Можливість зберігати графіки і отримувати на них посилання, яка стає доступною для всіх в інтернеті
• Управління масштабом, кольором ліній
• Можливість побудови графіків по точках, використання констант
• Побудова одночасно декількох графіків функцій
• Побудова графіків в полярній системі координат (використовуйте r і θ (\\ theta))

З нами легко в режимі онлайн будувати графіки різної складності. Побудова проводиться миттєво. Сервіс затребуваний для знаходження точок перетину функцій, для зображення графіків для подальшого їх переміщення в Word документ в якості ілюстрацій при вирішенні завдань, для аналізу поведінкових особливостей графіків функцій. Оптимальним браузером для роботи з графіками на даній сторінці сайту є Google Chrome. При використанні інших браузерів коректність роботи не гарантовано.

Лінійною функцією називається функція виду y \u003d kx + b, де x-незалежна змінна, k і b-будь-які числа.
Графіком лінійної функції є пряма.

1. Щоб постороіть графік функції, нам потрібні координати двох точок, що належать графіку функції. Щоб їх знайти, потрібно взяти два значення х, підставити їх в рівняння функції, і по ним обчислити відповідні значення y.

Наприклад, щоб побудувати графік функції y \u003d x + 2, зручно взяти x \u003d 0 і x \u003d 3, тоді ординати ці точок будуть рівні y \u003d 2 і y \u003d 3. Отримаємо точки А (0; 2) і В (3; 3). З'єднаємо їх і отримаємо графік функції y \u003d x + 2:

2. У формулі y \u003d kx + b число k називається коефіцієнтом пропорційності:
якщо k\u003e 0, то функція y \u003d kx + b зростає
якщо k
Коефіцієнт b показує зміщення графіка функції вздовж осі OY:
якщо b\u003e 0, то графік функції y \u003d kx + b виходить з графіка функцііy \u003d kx зрушенням на b одиниць вгору вздовж осі OY
якщо b
На малюнку нижче зображені графіки функцій y \u003d 2x + 3; y \u003d ½ x + 3; y \u003d x + 3

Зауважимо, що у всіх цих функціях коефіцієнт k більше нуля, і функції є зростаючими. Причому, чим більше значення k, тим більше кут нахилу прямої до позитивного напрямку осі OX.

У всіх функціях b \u003d 3 - і ми бачимо, що всі графіки перетинають вісь OY в точці (0; 3)

Тепер розглянемо графіки функцій y \u003d -2x + 3; y \u003d - ½ x + 3; y \u003d -x + 3

На цей раз у всіх функціях коефіцієнт k меньше нуля, і функції зменшуються. Коефіцієнт b \u003d 3, і графіки також як в попередньому випадку перетинають вісь OY в точці (0; 3)

Розглянемо графіки функцій y \u003d 2x + 3; y \u003d 2x; y \u003d 2x-3

Тепер у всіх рівняннях функцій коефіцієнти k рівні 2. І ми отримали три паралельні прямі.

Але коефіцієнти b різні, і ці графіки перетинають вісь OY в різних точках:
Графік функції y \u003d 2x + 3 (b \u003d 3) перетинає вісь OY в точці (0; 3)
Графік функції y \u003d 2x (b \u003d 0) перетинає вісь OY в точці (0; 0) - початку координат.
Графік функції y \u003d 2x-3 (b \u003d -3) перетинає вісь OY в точці (0; -3)

Отже, якщо ми знаємо знаки коефіцієнтів k і b, то можемо відразу уявити, як виглядає графік функції y \u003d kx + b.
якщо k 0

якщо k\u003e 0 і b\u003e 0 , То графік функції y \u003d kx + b має вигляд:

якщо k\u003e 0 і b , То графік функції y \u003d kx + b має вигляд:

якщо k, то графік функції y \u003d kx + b має вигляд:

якщо k \u003d 0 , То функція y \u003d kx + b перетворюється в функцію y \u003d b і її графік має вигляд:

Ординати всіх точок графіка функції y \u003d b рівні b Якщо b \u003d 0 , То графік функції y \u003d kx (пряма пропорційність) проходить через початок координат:

3. Окремо відзначимо графік рівняння x \u003d a. Графік цього рівняння являє собою пряму лінію, паралельний осі OY всі крапки якої мають абсциссу x \u003d a.

Наприклад, графік рівняння x \u003d 3 виглядає так:
Увага! Рівняння x \u003d a не є функцією, так одному значенню аргументу соотвутствующий різні значення функції, що не відповідає визначенню функції.

4. Умова паралельності двох прямих:

Графік функції y \u003d k 1 x + b 1 паралельний графіку функції y \u003d k 2 x + b 2, якщо k 1 \u003d k 2

5. Умова перепендикулярно двох прямих:

Графік функції y \u003d k 1 x + b 1 перепендікулярен графіка функції y \u003d k 2 x + b 2, якщо k 1 * k 2 \u003d -1 або k 1 \u003d -1 / k 2

6. Точки перетину графіка функції y \u003d kx + b з осями координат.

З віссю ОY. Абсциса будь-якої точки, що належить осі ОY дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОY потрібно в рівняння функції замість х підставити нуль. Отримаємо y \u003d b. Тобто точка перетину з віссю OY має координати (0; b).

З віссю ОХ: Ордината будь-якої точки, що належить осі ОХ дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОХ потрібно в рівняння функції замість y підставити нуль. Отримаємо 0 \u003d kx + b. Звідси x \u003d -b / k. Тобто точка перетину з віссю OX має координати (-b / k; 0):

Для початку спробуй знайти область визначення функції:

Впорався? Порівняємо відповіді:

Все вірно? Молодець!

Тепер спробуємо знайти область значень функції:

Знайшов? порівнюємо:

Зійшлося? Молодець!

Ще раз попрацюємо з графіками, тільки тепер трохи складніше - знайти і область визначення функції, і область значень функції.

Як знайти і область визначення і область значень функції (просунутий варіант)

Ось що вийшло:

З графіками, я думаю, ти розібрався. Тепер спробуємо відповідно до формулами знайти область визначення функції (якщо ти не знаєш як це зробити, прочитай розділ про):

Впорався? Звіримо відповіді:

1. , Так як подкоренное вираз повинен бути більше або дорівнює нулю.
2. , Так як на нуль ділити не можна і подкоренное вираз не може бути негативним.
3. , Так як, відповідно при всіх.
4. , Так як на нуль ділити не можна.

Однак, у нас залишився ще один не розібраний момент ...

Ще раз повторю визначення і зроблю на ньому акцент:

Помітив? Слово «єдиний» - це дуже-дуже важливий елемент нашого визначення. Постараюся пояснити тобі на пальцях.

Припустимо, у нас є функція, задана прямий. . При, ми підставляємо це значення в наше «правило» і отримуємо, що. Одному значенню відповідає одне значення. Ми навіть можемо скласти таблицю різних значень і побудувати графік даної функції, щоб переконається в цьому.

«Дивись! - скажеш ти, - «» зустрічається два рази! » Так можливо парабола не є функцією? Ні, є!

Те, що «» зустрічається два рази далеко не привід звинувачувати параболу в неоднозначності!

Справа в тому, що, при розрахунку для, ми отримали один ігрек. І при розрахунку з ми отримали один ігрек. Так що все вірно, парабола є функцією. Подивися на графік:

Розібрався? Якщо немає, ось тобі життєвий приклад сооовсем далекий від математики!

Припустимо, у нас є група абітурієнтів, які познайомилися при подачі документів, кожен з яких в розмові розповів, де він живе:

Погодься, цілком реально, що кілька хлопців живуть в одному місті, але неможливо, щоб одна людина жила в декількох містах одночасно. Це як би логічне представлення нашої «параболи» - кільком різним ікс відповідає один і той же ігрек.

Тепер придумаємо приклад, коли залежність не буде функцією. Припустимо, ці ж хлопці розповідали, на які спеціальності вони подали документи:

Тут у нас абсолютно інша ситуація: одна людина може спокійно подати документи як на одне, так і на кілька напрямків. Тобто одному елементу безлічі ставиться у відповідність кілька елементів безлічі. відповідно, це не функція.

Перевіримо твої знання на практиці.

Визнач за малюнками, що є функцією, а що ні:

Розібрався? А ось і відповіді:

• Функцією є - В, Е.
• Функцією не є - А, Б, Г, Д.

Ти запитаєш чому? Так ось чому:

На всіх малюнках крім В) і Е) на один доводиться кілька!

Впевнена, тепер, ти з легкістю відрізниш функцію від не функція, скажеш, що таке аргумент і що таке залежна змінна, а так само визначиш область допустимих значень аргументу і область визначення функції. Приступаємо до наступного розділу - як задати функцію?

Способи завдання функції

Як ти думаєш, що означають слова «Задати функцію»? Правильно, це означає пояснити всім охочим, про яку функції в даному випадку йде мова. Причому пояснити так, щоб кожен зрозумів тебе правильно і намальовані людьми на твою поясненню графіки функцій були однакові.

Як це можна зробити? Як задати функцію? Найпростіший спосіб, який вже не раз застосовувався в цій статті - за допомогою формули. Ми пишемо формулу, і, підставляючи в неї значення, вираховуємо значення. А як ти пам'ятаєш, формула - це закон, правило, за яким нам і іншій людині стає ясно, як ікс перетворюється в ігрек.

Зазвичай, саме так і роблять - в завданнях ми бачимо вже готові функції, задані формулами, однак, існують і інші способи задати функцію, про які всі забувають, в зв'язку з чим питання «як ще можна задати функцію?» ставить у глухий кут. Розберемося у всьому по порядку, а почнемо з аналітичного способу.

Аналітичний спосіб завдання функції

Аналітичний спосіб це і є завдання функції за допомогою формули. Це самий універсальний і вичерпний і однозначний спосіб. Якщо у тебе є формула, то ти знаєш про функції абсолютно все - ти можеш скласти по ній табличку значень, можеш побудувати графік, визначити, де функція зростає, а де убуває, в загальному, досліджувати її по повній програмі.

Розглянемо функцію. Чому дорівнює?

"Що це означає?" - запитаєш ти. Зараз поясню.

Нагадаю, що в запису вираз в дужках називається аргументом. І цей аргумент може бути будь-яким виразом, не обов'язково просто. Відповідно, яким би не був аргумент (вираз в дужках), ми його запишемо замість в вираженні.

У нашому прикладі вийде так:

Розглянемо ще завдання, пов'язане з аналітичним способом завдання функції, яке буде у тебе на іспиті.

Знайдіть значення виразу, при.

Впевнена, що спочатку, ти злякався, побачивши такий вислів, але в ньому немає абсолютно нічого страшного!

Все як і в попередньому випадку: яким би не був аргумент (вираз в дужках), ми його запишемо замість в вираженні. Наприклад, для функції.

Що ж потрібно зробити в нашому прикладі? Замість треба написати, а замість -:

скоротити вийшло вираз:

От і все!

Самостійна робота

Тепер спробуй самостійно знайти значення наступних виразів:

1. , якщо
2. , якщо

Впорався? Порівняємо наші відповіді: Ми звикли, що функція має вигляд

Навіть в наших прикладах ми задаємо функцію саме таким чином, однак аналітично можна задати функцію в неявному вигляді, наприклад.

Спробуй побудувати цю функцію самостійно.

Впорався?

Ось як будувала її я.

Яке рівняння ми в підсумку вивели?

Правильно! Лінійне, а це значить, що графіком буде пряма лінія. Зробимо табличку, щоб визначити, які точки належать нашим прямим:

Ось якраз те, про що ми говорили ... Одному відповідає кілька.

Спробуємо намалювати те, що вийшло:

Чи є то, що у нас вийшло функцією?

Правильно, нема! Чому? Спробуй відповісти на це питання за допомогою малюнка. Що у тебе вийшло?

«Тому що одному значенню відповідає кілька значень!»

Який висновок ми можемо з цього зробити?

Правильно, функція не завжди може бути виражена явно, і не завжди те, що «замасковано» під функцію є функцією!

Табличний спосіб завдання функції

Як випливає з назви, цей спосіб є простою табличку. Так Так. На зразок тієї, якою ми з тобою вже складали. наприклад:

Тут ти відразу помітив закономірність - ігрек в три рази більше ніж ікс. А тепер завдання на «дуже добре подумати»: як ти вважаєш, рівносильна чи функція, задана у вигляді таблиці, функції?

Не будемо довго розмірковувати, а будемо малювати!

Отже. Малюємо функцію, задану шпалерами способами:

Бачиш різницю? Справа зовсім не в зазначених точках! Придивись уважніше:

Тепер побачив? Коли ми задаємо функцію табличним способом, ми на графіку відображаємо лише ті точки, які є у нас в таблиці і лінія (як в нашому випадку) проходить тільки через них. Коли ми задаємо функцію аналітичним способом, ми можемо взяти будь-які точки, і наша функція ними не обмежується. Ось така ось особливість. Запам'ятовуй!

Графічний спосіб побудови функції

Графічний спосіб побудови функції не менш зручний. Ми малюємо нашу функцію, а інший зацікавлена \u200b\u200bлюдина може знайти чому дорівнює ігрек при певному ікс і так далі. Графічний і аналітичний способи одні з найпоширеніших.

Однак, тут потрібно пам'ятати про що ми з тобою говорили на самому початку - не кожна «закарлюка» намальована в системі координат є функцією! Згадав? Про всяк випадок скопіюють тобі сюди визначення, що функцією є:

Як правило, люди зазвичай називають саме ті три способи завдання функції, які ми розібрали - аналітичний (за допомогою формули), табличний і графічний, геть забуваючи про те, що функцію можна словесно описати. Як це? Та дуже просто!

Словесний опис функції

Як же описати функцію словесно? Візьмемо наш недавній приклад -. Дану функцію можна описати «кожному дійсного значення ікс відповідає його потроєною значення». От і все. Нічого складного. Ти, звичайно, заперечиш - «є настільки складні функції, які словесно задати просто неможливо!» Так, є і такі, але є функції, які описати словесно легше, ніж задати формулою. Наприклад: «кожному натуральному значенням ікс відповідає різниця між цифрами, з яких він складається, при цьому за зменшуване береться найбільше цифра, що містяться в запису числа». Тепер розглянемо, як наше словесне опис функції реалізується на практиці:

Найбільша цифра в даному числі -, відповідно, - зменшуване, тоді:

Основні види функцій

Тепер перейдемо до найцікавішого - розглянемо основні види функцій, з якими ти працював / працюєш і будеш працювати в курсі шкільної та університетської математики, тобто познайомимося з ними, так би мовити і дамо їм коротку характеристику. Більш докладно про кожну функцію читай у відповідному розділі.

лінійна функція

Функція виду, де, - дійсні числа.

Графіком даної функції служить пряма, тому побудова лінійної функції зводиться до знаходження координат двох точок.

Положення прямої на координатної площині залежить від кутового коефіцієнта.

Область визначення функції (aka область допустимих значень аргументу) -.

Область значень -.

квадратична функція

Функція виду, де

Графіком функції є парабола, при гілки параболи спрямовані вниз, при - вгору.

Багато властивостей квадратичної функції залежать від значення дискриминанта. Дискримінант обчислюється за формулою

Положення параболи на координатній площині щодо значення і коефіцієнта показані на малюнку:

Область визначення

Область значень залежить від екстремуму даної функції (точки вершини параболи) і коефіцієнта (напрямки гілок параболи)

Зворотній пропорційність

Функція, що задається формулою, де

Число називається коефіцієнтом зворотної пропорційності. Залежно від того, яке значення, гілки гіперболи знаходяться в різних квадратах:

Область визначення - .

Область значень -.

КОРОТКИЙ ВИКЛАД ТА ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

1. Функцією називається правило, за яким кожному елементу множини ставиться у відповідність єдиний елемент множини.

• - це формула, що позначає функцію, тобто залежність однієї змінної від іншої;
• - змінна величина, або, аргумент;
• - залежна величина - змінюється при зміні аргументу, тобто відповідно до якої-небудь певної формулі, що відбиває залежність однієї величини від іншої.

2. Допустимі значення аргументу, Або область визначення функції - це те, що пов'язано з можливими, при яких функція має сенс.

3. Область значень функції - це те, які значення приймає, при допустимих значеннях.

4. Існує 4 способи завдання функції:

• аналітичний (за допомогою формул);
• табличний;
• графічний
• словесний опис.

5. Основні види функцій:

• :, Де, - дійсні числа;
• :, Де;
• :, Де.

1. Дрібно-лінійна функція і її графік

Функція виду y \u003d P (x) / Q (x), де P (x) і Q (x) - многочлени, називається дрібно-раціональної функцією.

З поняттям раціональних чисел ви вже напевно знайомі. аналогічно раціональні функції - це функції, які можна уявити як приватна двох многочленів.

Якщо дрібно-раціональна функція являє собою частку двох лінійних функцій - многочленів першого ступеня, тобто функцію виду

y \u003d (ax + b) / (cx + d), то її називають дрібно-лінійної.

Зауважимо, що у функції y \u003d (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (інакше функція стає лінійної y \u003d ax / d + b / d) і що a / c ≠ b / d (інакше функція константа ). Дрібно-лінійна функція визначена при всіх дійсних числах, крім x \u003d -d / c. Графіки дрібно-лінійних функцій за формою не відрізняються від відомого вам графіка y \u003d 1 / x. Крива, що є графіком функції y \u003d 1 / x, називається гіперболою. При необмеженому збільшенні x по абсолютній величині функція y \u003d 1 / x необмежено зменшується за абсолютною величиною і обидві гілки графіка наближаються до осі абсцис: права наближається зверху, а ліва - знизу. Прямі, до яких наближаються гілки гіперболи, називаються її асимптотами.

Приклад 1.

y \u003d (2x + 1) / (x - 3).

Рішення.

Виділимо цілу частину: (2x + 1) / (x - 3) \u003d 2 + 7 / (x - 3).

Тепер легко бачити, що графік цієї функції виходить з графіка функції y \u003d 1 / x наступними перетвореннями: зрушенням на 3 одиничних відрізка вправо, розтягуванням уздовж осі Oy в 7 разів і зрушенням на 2 одиничних відрізка вгору.

Будь-яку дріб y \u003d (ax + b) / (cx + d) можна записати аналогічним чином, виділивши «цілу частину». Отже, графіки всіх дрібно-лінійних функцій є гіперболи, різним чином зрушені уздовж координатних осей і розтягнуті по осі Oy.

Для побудови графіка який-небудь довільній дрібно-лінійної функції зовсім не обов'язково дріб, що задає цю функцію, перетворювати. Оскільки ми знаємо, що графік є гіпербола, буде досить знайти прямі, до яких наближаються її гілки - асимптоти гіперболи x \u003d -d / c і y \u003d a / c.

Приклад 2.

Знайти асимптоти графіка функції y \u003d (3x + 5) / (2x + 2).

Рішення.

Функція не визначена, при x \u003d -1. Значить, пряма x \u003d -1 служить вертикальної асимптотой. Для знаходження горизонтальної асимптоти, з'ясуємо, до чого наближаються значення функції y (x), коли аргумент x зростає за абсолютною величиною.

Для цього розділимо чисельник і знаменник дробу на x:

y \u003d (3 + 5 / x) / (2 + 2 / x).

При x → ∞ дріб буде прагнути до 3/2. Значить, горизонтальна асимптота - це пряма y \u003d 3/2.

Приклад 3.

Побудувати графік функції y \u003d (2x + 1) / (x + 1).

Рішення.

Виділимо у дробу «цілу частину»:

(2x + 1) / (x + 1) \u003d (2x + 2 - 1) / (x + 1) \u003d 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) \u003d

2 - 1 / (x + 1).

Тепер легко бачити, що графік цієї функції виходить з графіка функції y \u003d 1 / x наступними перетвореннями: зрушенням на 1 одиницю вліво, симетричним відображенням відносно Ox і зрушенням на 2 одиничних відрізка вгору по осі Oy.

Область визначення D (y) \u003d (-∞; -1) ᴗ (-1; + ∞).

Область значень E (y) \u003d (-∞; 2) ᴗ (2; + ∞).

Точки перетину з осями: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функція зростає на кожному із проміжків області визначення.

Відповідь: малюнок 1.

2. Дрібно-раціональна функція

Розглянемо дрібно-раціональну функцію виду y \u003d P (x) / Q (x), де P (x) і Q (x) - многочлени, ступеня вище першої.

Приклади таких раціональних функцій:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) або y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Якщо функція y \u003d P (x) / Q (x) являє собою частку двох многочленів ступеня вище першої, то її графік буде, як правило, складніше, і побудувати його точно, з усіма деталями буває іноді важко. Однак, часто досить застосувати прийоми, аналогічні тим, з якими ми вже познайомилися вище.

Нехай дріб - правильна (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P (x) / Q (x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + ... +

L 1 / (x - K s) ms + L 2 / (x - K s) ms-1 + ... + L ms / (x - K s) + ... +

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 + ... + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) + ... +

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Очевидно, що графік дрібно-раціональної функції можна отримати як суму графіків елементарних дробів.

Побудова графіків дрібно-раціональних функцій

Розглянемо кілька способів побудови графіків дрібно-раціональної функції.

Приклад 4.

Побудувати графік функції y \u003d 1 / x 2.

Рішення.

Використовуємо графік функції y \u003d x 2 для побудови графіка y \u003d 1 / x 2 і скористаємося прийомом «поділу» графіків.

Область визначення D (y) \u003d (-∞; 0) ᴗ (0; + ∞).

Область значень E (y) \u003d (0; + ∞).

Точок перетину з осями немає. Функція парна. Зростає при все х з інтервалу (-∞; 0), убуває при x від 0 до + ∞.

Відповідь: малюнок 2.

Приклад 5.

Побудувати графік функції y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Рішення.

Область визначення D (y) \u003d (-∞; 3) ᴗ (3; + ∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \u003d -x / 3 + 1/3.

Тут ми використовували прийом розкладання на множники, скорочення і приведення до лінійної функції.

Відповідь: малюнок 3.

Приклад 6.

Побудувати графік функції y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Рішення.

Область визначення D (y) \u003d R. Так як функція парна, то графік симетричний відносно осі ординат. Перш ніж будувати графік, знову перетворимо вираз, виділивши цілу частину:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Зауважимо, що виділення цілої частини у формулі дрібно-раціональної функції є одним з основних при побудові графіків.

Якщо x → ± ∞, то y → 1, тобто пряма y \u003d 1 є горизонтальною асимптотой.

Відповідь: малюнок 4.

Приклад 7.

Розглянемо функцію y \u003d x / (x 2 + 1) і спробуємо точно знайти найбільше її значення, тобто найвищу точку правої половини графіка. Щоб точно побудувати цей графік, сьогоднішніх знань недостатньо. Очевидно, що наша крива не може «піднятися» дуже високо, тому що знаменник досить швидко починає «обганяти» чисельник. Подивимося, чи може значення функції дорівнювати 1. Для цього потрібно вирішити рівняння x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Це рівняння не має дійсних коренів. Значить, наше припущення не вірне. Щоб знайти найбільше значення функції, треба дізнатися, при якому найбільшому А рівняння А \u003d x / (x 2 + 1) буде мати рішення. Замінимо вихідне рівняння квадратним: Аx 2 - x + А \u003d 0. Це рівняння має рішення, коли 1 - 4А 2 ≥ 0. Звідси знаходимо найбільше значення А \u003d 1/2.

Відповідь: малюнок 5, max y (x) \u003d ½.

Залишилися питання? Не знаєте, як будувати графіки функцій?
Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.
Перший урок - безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Із завданням побудови графіка функції школярі стикаються на самому початку вивчення алгебри і продовжують будувати їх з року в рік. Починаючи з графіка лінійної функції, для побудови якої потрібно знати всього дві точки, до параболи, для якої потрібно вже 6 точок, гіперболи і синусоїді. З кожним роком функції стають все складніше і побудови їх графіків вже неможливо виконати за шаблоном, необхідно проводити більш складні дослідження, користуючись похідними і межами.

Давайте розберемося, як знайти графік функції? Для цього почнемо з найпростіших функцій, графіки яких будуються по точкам, а потім розглянемо план для побудови більш складних функцій.

Побудова графіка лінійної функції

Для побудови найпростіших графіків використовують таблицю значень функції. Графіком лінійної функції є пряма. Давайте спробуємо знайти точки графіка функції y \u003d 4x + 5.

1. Для це візьмемо два довільних значення змінної x, підставимо їх по черзі в функцію, знайдемо значення змінної y і занесемо всі в таблицю.
2. Візьмемо значення x \u003d 0 і підставимо в функцію замість x - 0. Отримаємо: y \u003d 4 * 0 + 5, тобто y \u003d 5 запишемо це значення в таблицю під 0. Аналогічно візьмемо x \u003d 0 отримаємо y \u003d 4 * 1 + 5 , y \u003d 9.
3. Тепер, щоб побудувати графік функції потрібно нанести на координатну площину ці точки. Потім необхідно провести пряму.

Побудова графіка квадратичної функції

Квадратична функція - це функція виду y \u003d ax 2 + bx + c, де x-змінна, a, b, c - числа (a не дорівнює 0). Наприклад: y \u003d x 2, y \u003d x 2 +5, y \u003d (x-3) 2, y \u003d 2x 2 + 3x + 5.

Для побудови найпростішої квадратичної функції y \u003d x 2 зазвичай беруть 5-7 точок. Візьмемо значення для змінної x: -2, -1, 0, 1, 2 і знайдемо значення y також як і при побудові першого графіка.

Графік квадратичної функції називають параболою. Після побудови графіків функції у учнів з'являються нові завдання, пов'язані з графіком.

Приклад 1: знайдіть абсциссу точки графіка функції y \u003d x 2, якщо ордината дорівнює 9. Для вирішення завдання необхідно в функцію замість y підставити її значення 9. Отримаємо 9 \u003d x 2 і вирішити це рівняння. x \u003d 3 і x \u003d -3. Це можна побачити і на графіку функції.

Дослідження функції та побудова її графіка

Для побудови графіків більш складних функцій необхідно виконати кілька кроків, спрямованих на її дослідження. Для цього необхідно:

1. Знайти область визначення функції. Область визначення - це все значення які може приймати змінна x. З області визначення слід виключити ті точки, в яких знаменник звертається в 0 або подкоренное вираз стає негативним.
2. Встановити парність або непарність функції. Нагадаємо, що парної є та функція, яка відповідає умові f (-x) \u003d f (x). Її графік є симетричним щодо Оу. Функція буде непарної, якщо вона відповідає умові f (-x) \u003d - f (x). У цьому випадку графік симетричний відносно початку координат.
3. Знайти точки перетину з осями координат. Для того, щоб знайти абсциссу точки перетину з віссю Ох, необхідно вирішити рівняння f (x) \u003d 0 (ордината при цьому дорівнює 0). Щоб знайти ординату точки перетину з віссю Оу, необхідно в функцію замість змінної x підставити 0 (абсциса дорівнює 0).
4. Знайти асимптоти функції. Асіптота - пряма, до якої графік нескінченно наближається, але ніколи її не перетне. Давайте розберемося, як знайти асимптоти графіка функції.
   • Вертикальна асимптота пряма виду х \u003d а
   • Горизонтальна асимптота - пряма виду у \u003d а
   • Похила асимптота - пряма виду y \u003d kx + b
5. Знайти точки екстремуму функції, проміжки зростання і спадання функції. Знайдемо точки екстремуму функції. Для цього необхідно знайти першу похідну і прирівняти її до 0. Саме в цих точках функція може помінятися зі зростаючою на спадаючу. Визначимо знак похідної на кожному інтервалі. Якщо похідна позитивна, то графік функції зростає, якщо негативна - убуває.
6. Знайти точки перегину графіка функції, проміжки опуклості вгору і вниз.

Знайти точки перегину тепер простіше простого. Потрібно лише знайти другу похідну, потім прирівняти її до нуля. Слідом знаходимо знак другої похідної на кожному інтервалі. Якщо позитивний, то графік функції опуклий вниз, якщо негативна - вгору.