Кінці відрізка. Ваш кор курс геометрія кував Лосєва Інструкція роботи з презентацією

Окружності рівні. Знайдіть площу паралелограма. Частина. Діагональ. Чотирикутник. Паралелограм. Кути. Центри кіл. Окружність. Доведення. Трикутники. Два кола. Властивість паралелограма. Висота паралелограма. Геометрія. Площа. Площа паралелограма. Властивості паралелограма. Рівність відрізків. Точки. Завдання. Дотична до кола. Гострий кут. Середня линяючи. Ознаки паралелограма.

«Двогранний кут, перпендикулярність площин» - Все шість граней - прямокутники. Відстань між перехресними прямими. Ознака перпендикулярності двох площин. Знайдіть відстань. Лінійний кут двогранного кута. Знайдіть кут. Площина, перпендикулярна до прямої. Планиметрия. Двогранні кути. Пряма а перпендикулярна до площини. Ребро куба. Паралелепіпед. Перетин. Площині АВС1 і А1В1D перпендикулярні. Знайдіть тангенс кута. Діагональ.

«Наслідки з аксіом стереометрії» - Розділ геометрії. Перетин прямої з площиною. Площина і пряма. Площині. Побудуйте зображення куба. Скільки граней проходить через одну, дві, три, чотири точки. Пояснення нового матеріалу. Проведіть пряму. Доведення. Рішення. Усна робота. Твердження. Аксіоми стереометрії та деякі наслідки з них. Що таке стереометрія. Аксіоми планіметрії. Знайдіть пряму перетину площин.

«Поняття піраміди» - Грані піраміди. Контрольні питання. Бічні ребра піраміди. Чудеса Гізи. Багатогранник. Рівні кути. Піраміда в економіці. Маршрут подорожі. В основі піраміди лежить мастаба. Бічна грань. Єгипетські піраміди. Піраміди в хімії. Підстава піраміди. Ступінчасті піраміди. Модель сучасного промислового підприємства. Віртуальна подорож у світ пірамід. Бічне ребро. Будова молекули метану. Суміжні бічні грані.

«Приклади центральної симетрії» - Візерунки на килимах. Відрізок. Кут із заданою градусною мірою. Площина. Відрізок заданої довжини. Центральна симетрія в шестикутної зірки. Центральна симетрія. Центральна симетрія в квадратах. Готель «Балтійська». Ромашка. Приклади симетрії в рослинах. Пряма. Центральна симетрія в прямокутній системі координат. Центральна симетрія в транспорті. Аксіоми стереометрії. Центральна симетрія в зоології.

«Аксіоми стереометрії 10 клас» - Аксіоми стереометрії. А, В, С? одній прямій А, В, С? ? ? - єдина площина. Через дві пересічні прямі проходить площину, і притому тільки одна. Завдання Дан тетраедр МАBC, кожне ребро якого дорівнює 6 см. Назвіть пряму, по якій перетинаються площини: А) (МАВ) і (MFC) Б) (MCF) і (АВС). Наслідки з аксіом стереометрії. 4. Обчисліть довжини відрізків АК і АВ1, якщо АD \u003d a. 2. Знайдіть довжину відрізка CF і площа трикутника АВС.

5. Зображення кола:

Зображенням кола з центром в точці О1 є еліпс з центром в точці О, що належить площині проекції α

Загальним перпендикуляром двох перехресних прямихназивається відрізок з кінцями на цих прямих, перпендикулярний кожної з них.

Відстанню між перехресними прямиминазивається довжина їх спільного перпендикуляра. Воно дорівнює відстані між паралельними площинами, що проходять через ці прямі.

Кутом між перехресними прямиминазивається кут між пересічними прямими, паралельними даними перехресних прямих.

Узагальнена теорема про три перпендикуляри

Будь-яка пряма на площині, перпендикулярна проекції похилій на цю площину, перпендикулярна і похилій.

І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна похилій, то вона перпендикулярна і проекції похилій.

Кутом між прямою і площиноюназивається кут між прямою і її проекцією на площині (кут φ).

Кутом між двома пересічними площинаминазивається кут між прямою перетину цих площин з

площиною, перпендикулярної лінії перетину даних площин (кут φ ').

Площа ортогональної проекції багатокутника на площинудорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною багатокутника і площею проекції.

Завдання 1. Через точку Про перетину діагоналей квадрата АВСD проведено до його площини перпендикуляр МО довжиною 15 см. Знайдіть відстань від точки М до сторін квадрата, якщо його сторона дорівнює 16 см.

Відповідь: 17 см.

Завдання 2. Відрізок AS, рівний 12 см, перпендикулярний площині трикутника АВС, в якому АВ \u003d АС \u003d 20 см, ВС \u003d 24 см. Знайдіть відстань від точки S до прямої ВС.

Відповідь: 20 см.

Завдання 3. До площині прямокутника ABCD, площа якого 180 см2, проведено перпендикуляр SD, SD \u003d 12 см, ВС \u003d 20 см. Знайдіть відстань від точки S до сторін прямокутника.

Відповідь: 12 см, 12 см, 15 см, 4 34 см.

Завдання 4. Катет АС прямокутного трикутника дорівнює а, кут В дорівнює φ. Через вершину прямого кута проведено до площини цього трикутника перпендикуляр МС довжиною а. Знайдіть відстань від кінців перпендикуляра до гіпотенузи.

Відповідь: a cosφ; a 1+ cos2 φ.

Завдання 5. У трикутнику АВС сторони АВ \u003d 13 см, ВС \u003d 14 см, АС \u003d 15 см. З вершини А проведено до його площини перпендикуляр AD довжиною 5 см. Знайдіть відстань від точки D до сторони ВС.

Відповідь: 13 см.

Завдання 6. До площині ромба ABCD, у якого Ð А \u003d 45 °, АВ \u003d 8 см, проведено перпендикуляр МС довжиною 7 см. Знайдіть відстань від точки М до сторін ромба.

Відповідь: 7 см, 7 см, 9 см, 9 см.

Завдання 7. Побудуйте загальні перпендикуляри до прямих АВ і CD на зображенні куба.

Завдання 8. Через сторону АС рівностороннього трикутника АВС проведена площину α. Кут між висотою BD трикутника і цією площиною дорівнює φ. Знайдіть кут між прямою АВ і площиною α.

Відповідь: arcsinç				sinφ ÷.

Завдання 9. Через центр Про правильного трикутника АВС проведено до його площини

перпендикуляр МО. АВ \u003d а 3. Кут між прямою МА і площиною трикутника дорівнює 45 °. Знайдіть кут між площинами: 1) АМО і ВМО; 2) ВМС і АВС.

Відповідь: 1) 60 °; 2) arctg 2.

Завдання 10. Площини рівносторонніх трикутників АВС і ABD перпендикулярні. Знайдіть кут:

1) між прямою DC і площиною АВС; між площинами ADC і BDC.

Відповідь: 1) 45 °; 2) arccos 1 5.

Завдання 11. Доведіть теорему про площу проекції багатокутника для випадку, коли многоугольником є \u200b\u200bтрикутник, у якого ні одна зі сторін не паралельна площині проекції.

Завдання 12. Ребро куба дорівнює а. Знайдіть площу перерізу куба площиною, що проходить через вершину основи під кутом 30 ° до цього підстави і перетинає всі бічні ребра.

Відповідь: 2 3 a 2.

Завдання 13. Сторони прямокутника дорівнюють 20 і 25 см. Його проекція на площину подібна йому. Знайдіть периметр проекції.

Відповідь: 72 см або 90 см.

Завдання 14. Рівнобедрений трикутник з висотою 16 см перегнули по середньої лінії MN, паралельною основі АС, так, що вершина В віддалена від площини чотирикутника ACNM на 4 см.

а) Знайдіть кут між площинами AMC і MBN;

б) Побудуйте лінійний кут двогранного кута BMNC і знайдіть кутову міру, якщо ортогональна проекція вершини В на площину чотирикутника AMNC лежить за його межами;

в) Порівняйте кутові заходи двогранного кута BMNC і кута BMA; г) Знайдіть відстань від точки В до прямої АС;

д) Знайдіть відстань від прямої MN до площини АВС;

е) Побудуйте лінію перетину площин АМВ і BNC.

3. Завдання для самоконтролю

1. Ребро куба дорівнює 10 см. Знайдіть відстань між прямими а і b.

2. Через вершину А трикутника АВС проведена пряма а, перпендикулярна площині трикутника. Знайдіть відстань між прямими а і ВС, якщо АВ \u003d 13 см, ВС \u003d 14 см, АС \u003d 15 см.

Відповідь: 12 см.

3. До площині квадрата ABCD проведено перпендикуляр KD. Сторона квадрата дорівнює 5 см. Знайдіть відстань між прямими: 1) АВ і KD; 2) KD і АС.

Відповідь: 1) 5 см; 2) 5 2 2 см.

4. Кут між площинами α і β дорівнює 30 °. Точка А, що лежить в площині α, віддалена від лінії перетину площин на 12 см. Знайдіть відстань від точки А до площини β.

Відповідь: 6 см.

5. Через центр Про квадрата ABCD проведено до його площини перпендикуляр SO. Кут між прямою SC і площиною квадрата дорівнює 60 °, АВ \u003d 18 см. Знайдіть кут між площинами АВС і BSC.

Відповідь: arctg 6.

6. Квадрат зі стороною 4 2 см перегнули по прямій, яка проходить через середини М і N сторін DC і ВС, так, що вершина З віддалена від площини

AMN на 1 см.

а) знайдіть кут між площинами ADM і СMN;

б) побудуйте лінійний кут двогранного кута BMNC і знайдіть його кутову міру, якщо ортогональна проекція вершини С на площину п'ятикутника ABNMD лежить за його межами;

в) порівняйте кутові заходи двогранного кута BMNC і кута CNB; г) знайдіть відстань від точки С до прямої BD;

д) знайдіть відстань від прямої MN до площини BDC;

е) побудуйте лінію перетину площин BNC і DMC.

Відповідь: а) 30 °; г) 2 × 2 + 3 см; д) 2 - 3 см.

7. Вершини А і D паралелограма ABCD лежать в площині α, а дві інші - поза цій площині, АВ \u003d 15 см, ВС \u003d 19 см. Проекції діагоналей паралелограма на площину α рівні 20 см і 22 см. Знайдіть відстань від сторони ВС до площині α.

Вказівки: скористайтеся теоремою про суму квадратів діагоналей паралелограма.

Відповідь: 12 см.

8. Точка М віддалена від кожної сторони рівнобедреної трапеції на відстань, рівну 12 см. Підстави трапеції рівні 18 см і 32 см. Знайдіть відстань від точки М до площини трапеції.

Відповідь: точка М лежить в площині трапеції.

9. Через вершину А прямокутника ABCD проведена похила АМ до площини прямокутника, складова кут 50 ° зі сторонами AD і АВ. Знайдіть кут між цією похилій і площиною прямокутника.

Відповідь: 32 ° 57 '.

10. Кінці відрізка АВ \u003d 25 см лежать на гранях двогранного кута, рівного 60 °. З точок А і В перпендикуляри АС і BD на ребро двогранного кута, АС \u003d 5 см, BD \u003d 8 см. Знайдіть СD.

Відповідь: 24 см.

Заняття № 7

Тема заняття: «Декартові система координат в просторі»

- закріпити шкільні знання студентів про прямокутній системі координат в просторі;

- систематизувати знання про рівняння фігур в просторі;

- закріпити навички розв'язання задач за допомогою рівнянь геометричних образів в просторі.

1. Короткий виклад теоретичного матеріалу

т.О - початок координат; Ох - вісь абсцис; Оу - вісь ординат; Оz - вісь аплікат. xy, xz u yz - координатні площині

Відстань між двома точками

Координати середини відрізка

Фігура F задається даними рівнянням в прямокутних координатах, Якщо точка належить фігурі F тоді і тільки тоді, коли координати цієї точки задовольняють даному рівнянню. Це означає, що виконуються 2 умови:

1) якщо точка належить фігурі F, то її координати задовольняють рівняння;

2) якщо числа x, y, z задовольняють даному рівнянню, то точка з такими координатами належить фігурі F.

Рівняння сфери Сферою називається безліч точок простору, віддалених від даної точки на

заданий позитивне відстань. При цьому дана точка називається центром сфери, а дана відстань - її радіусом.

Сфера радіуса R з центром в точці А (a; b; c) задається рівнянням (за визначенням)

(X - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 \u003d R 2.

Якщо центр сфери співпадає з початком координат, то a \u003d b \u003d c \u003d 0 і рівняння сфери має вигляд:x 2 + y 2 + z 2 \u003d R 2.

рівняння площини

Теорема. Площина в просторі задається в системі прямокутних координат x, y, z рівнянням виду Ax + By + Cz + D \u003d 0, за умови, що А2 + В2 + С2\u003e 0.

Вірно і зворотне твердження: рівняння Ax + By + Cz + D \u003d 0 за умови, що А2 + В2 + С2\u003e 0 задає в просторі площину в системі прямокутних координат.

рівняння прямої

Пряма в просторі - лінія перетину двох площин.

ì A1 x + B1 y + C1 z + D1 \u003d 0; í î A2 x + B2 y + C2 z + D2 \u003d 0.

Якщо пряма АВ, що проходить через точки А (x1; y1; z1) і B (x2; y2; z2), не паралельна жодної координатної площині, то її рівняння має вигляд:

x - x1				y - y1				z - z1

2. Система завдань для аудиторних занять

Завдання 1. Сторона куба дорівнює 10. Знайдіть координати його вершин.

Завдання 2. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо А (7; 1; -5), В (4; -3; -4), С (1; 3; -2).

Відповідь: 14 + 26.

Завдання 3. Лежать чи три точки А, В, С на одній прямій, якщо А (3; 2; 2), В (1; 1; 1),

Відповідь: Так.

Завдання 4. Яка з точок - А (2; 1; 5) або В (-2; 1; 6) - лежать ближче до початку координат? Відповідь: Точка А.

Завдання 5. Дано точки К (0; 2; 1), Р (2; 0; 3) і Т (-1; y; 0). Знайдіть таке значення у, щоб виконувалася умова: КТ \u003d РТ.

Відповідь: -3.

Завдання 6. Знайдіть координати середин сторін трикутника АВС, якщо А (2; 0; 2),

В (2; 2; 0), С (2; 2; 2).

Відповідь: А1 (2; 2; 1), В1 (2; 1; 2), С1 (2; 1; 1).

Завдання 7. Знайдіть довжину медіани АМ трикутника АВС, якщо А (2; 1; 3), В (2; 1; 5),

Відповідь: АМ \u003d 1.

Завдання 8. Які з наведених нижче рівнянь є рівняннями сфери:

а) x 2 - y 2				x 2 + y 2 + z 2 \u003d 1;	в) x 2 + y 2 + z 2 \u003d a 2;
г) x 2 + y 2		1+ x;		2x 2 + y 2 + z 2 \u003d 1;	е) x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 3y - 4z \u003d 1?

Завдання 9. Напишіть рівняння площини, що проходить через: а) вісь Ох і точку А (1; 1; 1);

б) точки О (0; 0; 0); А (1; 2; -3) і В (2; -2; 5).

Завдання 10. Площина і сфера задані рівняннями 4х + 3у-4 \u003d 0 і x2 + y2 + z2 -2x + 8y + 8 \u003d 0. Чи належить центр сфери даної площині?

Завдання 11. Складіть рівняння прямої що проходить через точки А (1; 3; 2) і

Знайдіть їх точки перетину.

Завдання 13. Знайдіть відстань від вершини D тетраедра ABCD до його межі АВС,

якщо АС \u003d СВ \u003d 10, АВ \u003d 12, DA \u003d 7, DB \u003d 145, DC \u003d 29.

Відповідь: 3.

Завдання 14. Знайдіть довжину ребра AD тетраедра ABCD, якщо АВ \u003d АС \u003d ВС \u003d 10,

DB \u003d 2 29, DC \u003d 46 і відстань від вершини D до площини грані АВС дорівнює

Відповідь: 214 або 206.

3. Завдання для самоконтролю

1. Дано точки К (0; 1; 1); Р (2; -1; 3) і Т (-1; у; 0). Знайдіть таке значення у, щоб виконувалася умова: КТ \u003d РТ.

2. Дано точки А (1; 2; 3) і В (3; -6; 7). Знайдіть координати середини відрізка АВ.

3. Знайдіть координати точки, яка лежить на осі Оу і рівновіддалена від точок А (4; -1; 3) і В (1; 3; 0).

4. Знайдіть точки, рівновіддалені від точок А (0; 0; 1), В (0; 1; 0), С (1; 0; 0) і віддаленій від площини yz на відстань 2.

5. Точки А (а; 0; 0), В (0; а; 0),			С (0; 0; а) - вершини трикутника. Знайдіть координати
	точки перетину медіан цього трикутника.
	належить				сфері, рівняння якої
	x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4y - 6z - 2 \u003d 0?
	Знайдіть точку	перетину сфери,		заданої	рівнянням x 2 + y 2 + z 2 - 4 x \u003d 12 з

8. Складіть рівняння площини, паралельної площині ху і проходить через точку А (2; 3; 4).

9. Точки О (0; 0; 0); А (3; 0; 0); В (0; 4; 0) і Про1 (0; 0; 5) - вершини прямокутного паралелепіпеда. Складіть рівняння площин всіх його граней.

10. Складіть рівняння прямої, що проходить через точки А (1; 1; 2) іВ (-3; 2; 7).

11. На якій відстані від підстави куба розташований паралельний основи відрізок завдовжки b, якщо один кінець відрізка лежить на діагоналі куба, інший - на скрещивающейся з нею діагоналі бічної грані? Довжина ребра куба а.

Відповідь: (2a ± 5b 2a 2) ÷ 5.

12. ABCDA1 B1 C1 D1 - прямокутний паралелепіпед, АВ \u003d ВС \u003d а, Аа1 \u003d 2а. Знайдіть довжину відрізка МК, паралельно грані АВВ1 А1, якщо М AD1, K DB1, AM: AD1 \u003d 2: 3.

Відповідь: a 3 5.

Заняття № 8

Тема заняття: «Вектори в просторі і векторний метод вирішення стереометричних задач»

- узагальнити і поглибити шкільні знання студентів про вектори, дії над ними;

- продовжити вивчення векторного методу вирішення планіметричних і стереометричних задач;a для "a, b.

Властивість 2: (xa) × b \u003d x (a × b) для "a, b, x. Властивість 3: (a + b) × c \u003d a × c + b × c для" a, b, c.

Два окремих випадки:

1) a \u003d b; a × a \u003d a2 \u003d a 2.

2) a × b \u003d 0 тоді і тільки тоді, коли вектори a і b перпендикулярні. Якщо a або b є нульовий вектор, то він за визначенням, перпендикулярний будь-якому вектору.

Якщо a \u003d (а1; а2; а3); b \u003d (b1; b2; b3), то a × b \u003d a 1 × b 1 + a 2 × b 2 + a 3 × b 3.

слайд 2

Відкритий урок: «Двогранні кути» для учнів 10-11 класів, які вивчають геометрію за підручником Л.С. Атанасян

слайд 3

Інструкція роботи з презентацією:

Слайди виводяться за допомогою мишки. Можна починати роботу з будь-якого слайда. Можна вибирати частину слайдів. Можна копіювати необхідний матеріал.

слайд 4

Двогранні кути. 10-ий клас 2008 рік

слайд 5

Мета уроку: 1. Розширити поняття: «Кут» 2.Вивесті визначення двогранні углов.3. Навчитися вимірювати двогранні угли4. Навчитися застосовувати властивості двогранні кутів при вирішенні завдань.

слайд 6

Повтореніе.1. Визначення лінійного угла.2.Теорема трьох перпендікуляров.3.Наклонние і проекція.4.Определеніе тригонометричних функцій.4. Властивості прямокутного трикутника.

слайд 7

Кути виводимо поступово, по команді мишки, тому повторюємо визначення і властивості Лінійний кут (гострий, прямий, тупий) Вертикальні кути Суміжні кути Центральний кут Вписаний кут.

слайд 8

слайд 9

Перпендикуляр, похила і проекція. Теорема трьох перпендикулярів. Властивості похилих і проекцій. Повторити дані питання в задачах.

слайд 10

В С А К Н Перпендикуляр, похила і проекція пов'язані теоремою Піфагора Теорема трьох перпендикулярів для прямої КС. Площина АВС КС Рівні похилі мають ...... .. Велика похила .........

слайд 11

А В С D V H P N A B C D E F M H S O P R Знайдіть кут між прямою HD (AO) і площиною основи і бічною гранню

слайд 12

А D C B F Провести перпендикуляр до DC і AD з точки F ABCD -квадрат, ромб. Як пов'язані між собою перпендикуляр, похила і проекція похилої?

слайд 13

A B C D F Де можна побачити теорему трьох перпендикулярів?

слайд 14

Завдання.

Через вершину В квадрата ABCD проведено перпендикуляр ВМ. Відомо, що МА \u003d 4 см MD \u003d 5 см, Знайти відстань від М до площини; Відстань між МВ і DC. A B C D M

слайд 15

Основна частина уроку.

Завдання практичні: Всі взяли файловий лист, зігнули на дві нерівні частини, зробили висновок-дві пересічні півплощини з загальної прямої називають двогранним кутом. Як його виміряти? Проведемо загальну пряму, згадаємо аксіому площин, Відзначимо на ребрі точку. Проведемо перпендикуляри до ребра з даної точки в кожній грані. Знову згинаємо по ребру і робимо висновок, що кути різні, значить їх потрібно відрізняти, як? Беремо ножиці і робимо зріз-щілинку по перпендикулярам, \u200b\u200bвставляємо лист в щілину і бачимо лінійний кут. Переглядаємо слайди, що дають відповіді на отримані пропозиції. Даємо визначення виміру двогранні кутів. Показуємо двугое-е кути на моделях пірамід, призм і на таблицях.

слайд 16

Двогранні кути Відомо, що мірою двогранного кута називають міру його лінійного кута. Якщо на ребрі двогранного кута відзначити якусь точку в кожній грані з цієї точки провести промені перпендикулярно ребру, то отримаємо лінійний кут. М

слайд 17

Точка на ребрі може бути довільна ...

слайд 18

визначення:

α β В А С М N P

слайд 19

Побудова лінійного кута двогранного кута іноді зручно виконувати так: з будь-якої точки А межі αопустім на ребро а AC┴а, перпендикуляр на іншу грань AB┴β СВ буде проекцією АС на площину β. Так як AC┴а, то BC┴апо зворотної теоремі про 3х перпендикулярах. ACB - лінійний кут двогранного кута з ребром а. А В С а α β

слайд 20

Перпендикулярні площині. Дві пересічні площині називаються перпендикулярними, якщо кут між ними 90 °.

слайд 21

властивості:

Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну іншій площині, то такі площини перпендикулярні.

слайд 22

Розв'язання задач:

слайд 23

Зауваження до вирішення завдань.

Можна вирішувати на комп'ютерах, використовуючи «Автофігури» можна вирішувати на «інтердоске». Можна проектувати прямо на звичайну дошку або білу. Виводимо на екран умови задачі і домальовували і вирішуємо прямо на кадрі. Кожен учень може зберегти рішення задачі, а вчитель потім оцінить. Можна вивести на загальний екран рішення учнів і розглянути різні способи.

слайд 24

В одній з граней двогранного кута, рівного 30, розташована точка М. Відстань від точки до ребра двогранного кута дорівнює 18 см. Обчисліть відстань від проекції точки М на другу грань до ребра двогранного кута.

слайд 25

Відрізки АС і ВС, що лежать в гранях прямого двогранного кута, перпендикулярні до його ребру. Обчисліть відстань між точками А і В, якщо АС \u003d 10см, ВС \u003d 24см.

слайд 26

Точка К, в межі двогранного кута, віддалена від іншої межі на 12 см, а від ребра на Обчислити величину двогранного кута.

слайд 27

На ребрі двогранного кута, рівного розташована точка А. В його гранях проведені перпендикуляри до ребра АВ і АС, рівні відповідно 10 см, і 8см. Обчисліть відстань між точками В і С.

слайд 28

Знайдіть відстань від точки D до прямої АВ, якщо АС \u003d CB \u003d 10, AB \u003d 16, CD \u003d 6. Зобразіть перпендикуляр з точки D до прямої АВ. Знайдіть величину двогранного кута при ребрі АВ. ▲ ABC, CD╨ABC D

слайд 29

▲ ABC, CD ╨ ABC). Знайдіть відстань від точки D до прямої АВ, (знайдіть величину двогранного кута при ребрі АВ) АСВ прямий, АС \u003d 15, СВ \u003d 20, СД \u003d 35. A D

слайд 30

Точки М і К лежать в різних гранях прямого двогранного кута. Відстань від цих точок до ребра рівні 20см і 21 см. Обчисліть відстань між відрізками МК і ребром двогранного кута.

слайд 31

Кінці відрізка лежать в гранях двогранного кута і віддалені від його ребра на 6 см і. Відстань між даними відрізком і ребром дорівнює 3 см. Обчисліть величину двогранного кута.

слайд 32

Точка К віддалена від кожної сторони рівностороннього трикутника АВС на 8 см, АВ \u003d 24 см. Обчисліть величину двогранного кута, ребром якого є пряма ВС, а межі містять точки К і А.

До А В С А В С

слайд 33

а) Площина М проходить через сторону AD квадрата ABCD .Діагональ BD утворює з площиною М кут 45 градусів. Знайдіть кут між площиною квадрата і площиною М. б) Площина М проходить через сторону АD квадрата ABCD і утворює з площиною кут в 30 градусів. Знайдіть кут, який утворює з площиною М діагональ BD.

слайд 34

Підстава піраміди PABCD - прямокутник ABCD, сторони якого рівні Площини РАВ і РВС перпендикулярні площині АВС, а площину РАС нахилена до неї під кутом. Знайдіть висоту і обсяг піраміди.

слайд 35

Властивість тригранного кута.

Якщо два плоских кути рівні, то їх спільне ребро проектується на бісектрису третього плоского кута. А В С D

слайд 36

Всі грані паралелепіпеда - рівні ромби, зі стороною а і гострим углом.Найдіте висоту паралелепіпеда.

слайд 37

відповідь:

слайд 38

* Підставою піраміди служить ромб. Дві бічні грані перпендикулярні площині підстави і двогранний кут, утворений ними дорівнює 120 °; дві інші грані нахилені до площини основи під кутом в 30 °. Висота піраміди h. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

слайд 39

MABCD - дана піраміда, ABCD - ромб; (ABM) ┴ (ABC) і (МСВ) ┴ (АВС), значить МВ┴АВС). MB \u003d Н, ABC - лінійний кут двогранного кута з ребром MB, ABC \u003d 120 °. А В С D