Побудуйте графік функції 2x. Функції. Основні види, графіки, способи завдання. Що таке графік функцій

В золотий вік інформаційних технологій мало хто буде купувати міліметрівку і витрачати годинник для малювання функції або довільного набору даних, та й навіщо займатися настільки клопітно роботою, коли можна побудувати графік функції онлайн. Крім того, підрахувати мільйони значень виразу для правильного відображення практично нереально і складно, та й не дивлячись на всі зусилля вийде ламана лінія, а не крива. Тому комп'ютер в даному випадку - незамінний помічник.

Що таке графік функцій

Функція - це правило, за яким кожному елементу однієї множини ставиться у відповідність певний елемент іншої множини, наприклад, вираз y \u003d 2x + 1 встановлює зв'язок між множинами всіх значень x і всіх значень y, отже, це функція. Відповідно, графіком функції буде називатися безліч точок, координати яких задовольняють заданому вираженню.

На малюнку ми бачимо графік функції y \u003d x. Це пряма і у кожної її точки є свої координати на осі X і на осі Y. Виходячи з визначення, якщо ми підставимо координату X деякої точки в дане рівняння, то отримаємо координату цієї точки на осі Y.

Сервіси для побудови графіків функцій онлайн

Розглянемо кілька популярних і кращих за сервісів, що дозволяють швидко накреслити графік функції.

Відкриває список самий звичайний сервіс, що дозволяє побудувати графік функції за рівнянням онлайн. Umath містить тільки необхідні інструменти, такі як масштабування, пересування по координатної площини і перегляд координати точки на яку вказує миша.

Інструкція:

1. Введіть ваше рівняння в поле після знака «\u003d».
2. Натисніть кнопку "Побудувати графік".

Як бачите все гранично просто і доступно, синтаксис написання складних математичних функцій: з модулем, тригонометричних, показових - наведено прямо під графіком. Також при необхідності можна задати рівняння параметричним методом або будувати графіки в полярній системі координат.

У Yotx є всі функції попереднього сервісу, але при цьому він містить такі цікаві нововведення як створення інтервалу відображення функції, можливість будувати графік по табличних даних, а також виводити таблицю з цілими рішеннями.

Інструкція:

1. Виберіть необхідний спосіб завдання графіка.
2. Введіть рівняння.
3. Задайте інтервал.
4. Натисніть кнопку «Побудувати».

Для тих, кому лінь розбиратися, як записати ті чи інші функції, на цій позиції представлений сервіс з можливістю вибирати зі списку потрібну одним кліком миші.

Інструкція:

1. Знайдіть в списку необхідну вам функцію.
2. Клацніть на неї лівою кнопкою миші
3. При необхідності введіть коефіцієнти в поле «Функція:».
4. Натисніть кнопку «Побудувати».

У плані візуалізації є можливість змінювати колір графіка, а також приховувати його або зовсім видаляти.

Desmos безумовно - самий наворочений сервіс для побудови рівнянь онлайн. Пересуваючи курсор з затиснутою лівою клавішею миші по графіку можна детально подивитися всі рішення рівняння з точністю до 0,001. Вбудована клавіатура дозволяє швидко писати ступеня і дробу. Найважливішим плюсом є можливість записувати рівняння в будь-якому стані, не приводячи до виду: y \u003d f (x).

Інструкція:

1. У лівому стовпчику клацніть правою кнопкою миші по вільному рядку.
2. У нижньому лівому куті натисніть на значок клавіатури.
3. На панелі, що з'явилася наберіть потрібне рівняння (для написання назв функцій перейдіть в розділ «A B C»).
4. Графік будується в реальному часі.

Візуалізація просто ідеальна, адаптивна, видно, що над додатком працювали дизайнери. З плюсів можна відзначити велику різноманітність можливостей, для освоєння яких можна подивитися приклади в меню у верхньому лівому кутку.

Сайтів для побудови графіків функцій безліч, проте кожен може вибирати для себе виходячи з необхідного функціоналу та особистих уподобань. Список найкращих був сформований так, щоб задовольнити вимоги будь-якого математика від малого до великого. Успіхів вам у осягненні «цариці наук»!

Урок на тему: "Графік і властивості функції $ y \u003d x ^ 3 $. Приклади побудови графіків"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Всі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 7 класу
Електронний навчальний посібник для 7 класу "Алгебра за 10 хвилин"
Освітній комплекс 1С "Алгебра, 7-9 класи"

Властивості функції $ y \u003d x ^ 3 $

Давайте опишемо властивості даної функції:

1. x - незалежна змінна, y - залежна змінна.

2. Область визначення: очевидно, що для будь-якого значення аргументу (x) можна обчислити значення функції (y). Відповідно, область визначення даної функції - вся числова пряма.

3. Область значень: y може бути будь-яким. Відповідно, область значень - також вся числова пряма.

4. Якщо x \u003d 0, то і y \u003d 0.

Графік функції $ y \u003d x ^ 3 $

1. Складемо таблицю значень:

2. Для позитивних значень x графік функції $ y \u003d x ^ 3 $ дуже схожий на параболу, гілки якої більш "притиснуті" до осі OY.

3. Оскільки для від'ємних значень x функція $ y \u003d x ^ 3 $ має протилежні значення, то графік функції симетричний відносно початку координат.

Тепер відзначимо точки на координатній площині і побудуємо графік (див. Рис. 1).

Ця крива називається кубічної параболою.

приклади

I. На невеликому кораблі повністю закінчилася прісна вода. Необхідно привезти достатню кількість води з міста. Вода замовляється заздалегідь і оплачується за повний куб, навіть якщо залити її трохи менше. Скільки кубів треба замовити, що б не переплачувати за зайвий куб і повністю заповнити цистерну? Відомо, що цистерна має однакові довжину, ширину і висоту, які дорівнюють 1,5 м. Вирішимо цю задачу, не виконуючи обчислень.

Рішення:

1. Побудуємо графік функції $ y \u003d x ^ 3 $.
2. Знайдемо точку А, координата x, якої дорівнює 1,5. Ми бачимо, що координата функції знаходиться між значеннями 3 і 4 (див. Рис. 2). Значить треба замовити 4 куба.

Побудова графіків функцій, що містять модулі, зазвичай викликає чималі труднощі у школярів. Однак, все не так погано. Досить запам'ятати кілька алгоритмів рішення таких задач, і ви зможете без праці побудувати графік навіть самої на вигляд складної функції. Давайте розберемося, що ж це за алгоритми.

1. Побудова графіка функції y \u003d | f (x) |

Зауважимо, що безліч значень функцій y \u003d | f (x) | : Y ≥ 0. Таким чином, графіки таких функцій завжди розташовані повністю у верхній півплощині.

Побудова графіка функції y \u003d | f (x) | складається з наступних простих чотирьох етапів.

1) Побудувати акуратно і уважно графік функції y \u003d f (x).

2) Залишити без зміни всі крапки графіка, які знаходяться вище осі 0x або на ній.

3) Частина графіка, яка лежить нижче осі 0x, відобразити симетрично щодо осі 0x.

Приклад 1. Зобразити графік функції y \u003d | x 2 - 4x + 3 |

1) Будуємо графік функції y \u003d x 2 - 4x + 3. Очевидно, що графік даної функції - парабола. Знайдемо координати всіх точок перетину параболи з осями координат і координати вершини параболи.

x 2 - 4x + 3 \u003d 0.

x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1.

Отже, парабола перетинає вісь 0x в точках (3, 0) і (1, 0).

y \u003d 0 2 - 4 · 0 + 3 \u003d 3.

Отже, парабола перетинає вісь 0y в точці (0, 3).

Координати вершини параболи:

x в \u003d - (- 4/2) \u003d 2, y в \u003d 2 2 - 4 · 2 + 3 \u003d -1.

Отже, точка (2, -1) є вершиною даної параболи.

Малюємо параболу, використовуючи отримані дані (Рис. 1)

2) Частина графіка, що лежить нижче осі 0x, відображаємо симетрично щодо осі 0x.

3) Отримуємо графік вихідної функції ( мал. 2, Зображений пунктиром).

2. Побудова графіка функції y \u003d f (| x |)

Зауважимо, що функції виду y \u003d f (| x |) є парними:

y (-x) \u003d f (| -x |) \u003d f (| x |) \u003d y (x). Значить, графіки таких функцій симетричні відносно осі 0y.

Побудова графіка функції y \u003d f (| x |) складається з наступної нескладної ланцюжка дій.

1) Побудувати графік функції y \u003d f (x).

2) Залишити ту частину графіка, для якої x ≥ 0, тобто частина графіка, розташовану в правій півплощині.

3) Показати зазначену в пункті (2) частину графіка симетрично осі 0y.

4) Як остаточного графіка виділити об'єднання кривих, отриманих в пунктах (2) і (3).

Приклад 2. Зобразити графік функції y \u003d x 2 - 4 · | x | + 3

Так як x 2 \u003d | x | 2, то вихідну функцію можна переписати в наступному вигляді: y \u003d | x | 2 - 4 · | x | + 3. А тепер можемо застосовувати запропонований вище алгоритм.

1) Будуємо акуратно і уважно графік функції y \u003d x 2 - 4 · x + 3 (див. Також мал. 1).

2) Ми залишаємо ту частину графіка, для якої x ≥ 0, тобто частина графіка, розташовану в правій півплощині.

3) Відображаємо праву частину графіка симетрично осі 0y.

(Рис. 3).

Приклад 3. Зобразити графік функції y \u003d log 2 | x |

Застосовуємо схему, дану вище.

1) Будуємо графік функції y \u003d log 2 x (Рис. 4).

3. Побудова графіка функції y \u003d | f (| x |) |

Зауважимо, що функції виду y \u003d | f (| x |) | теж є парними. Дійсно, y (-x) \u003d y \u003d | f (| -x |) | \u003d Y \u003d | f (| x |) | \u003d Y (x), і тому, їх графіки симетричні щодо осі 0y. Безліч значень таких функцій: y ≥ 0. Значить, графіки таких функцій розташовані повністю у верхній півплощині.

Щоб побудувати графік функції y \u003d | f (| x |) |, необхідно:

1) Побудувати акуратно графік функції y \u003d f (| x |).

2) Залишити без змін ту частину графіка, яка знаходиться вище осі 0x або на ній.

3) Частина графіка, розташовану нижче осі 0x, відобразити симетрично щодо осі 0x.

4) Як остаточного графіка виділити об'єднання кривих, отриманих в пунктах (2) і (3).

Приклад 4. Зобразити графік функції y \u003d | -x 2 + 2 | x | - 1 |.

1) Зауважимо, що x 2 \u003d | x | 2. Значить, замість вихідної функції y \u003d -x 2 + 2 | x | - 1

можна використовувати функцію y \u003d - | x | 2 + 2 | x | - 1, так як їх графіки збігаються.

Будуємо графік y \u003d - | x | 2 + 2 | x | - 1. Для цього застосовуємо алгоритм 2.

a) Будуємо графік функції y \u003d -x 2 + 2x - 1 (Рис. 6).

b) Ми залишаємо ту частину графіка, яка розташована в правій півплощині.

c) Відображаємо отриману частину графіка симетрично осі 0y.

d) Отриманий графік зображений на малюнку пунктиром (Рис. 7).

2) Вище осі 0х точок немає, точки на осі 0х залишаємо без зміни.

3) Частина графіка, розташовану нижче осі 0x, відображаємо симетрично щодо 0x.

4) Отриманий графік зображений на малюнку пунктиром (Рис. 8).

Приклад 5. Побудувати графік функції y \u003d | (2 | x | - 4) / (| x | + 3) |

1) Спочатку необхідно побудувати графік функції y \u003d (2 | x | - 4) / (| x | + 3). Для цього повертаємося до алгоритму 2.

a) Акуратно будуємо графік функції y \u003d (2x - 4) / (x + 3) (Рис. 9).

Зауважимо, що дана функція є дрібно-лінійної і її графік є гіпербола. Для побудови кривої спочатку необхідно знайти асимптоти графіка. Горизонтальна - y \u003d 2/1 (відношення коефіцієнтів при x в чисельнику і знаменнику дробу), вертикальна - x \u003d -3.

2) Ту частину графіка, яка знаходиться вище осі 0x або на ній, залишимо без змін.

3) Частина графіка, розташовану нижче осі 0x, відобразимо симетрично щодо 0x.

4) Остаточний графік зображений на малюнку (Рис. 11).

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Побудова графіка залежності функції є характерною математичної завданням. Всі, хто хоча б на рівні школи знайомий з математикою, виконували побудову таких залежностей на папері. У графіку відображається зміна функції в залежності від значення аргументу. Сучасні електронні додатки дозволяють здійснити цю процедуру за кілька кліків мишею. Microsoft Excel допоможе вам в побудові точного графіка для будь-якої математичної функції. Давайте розберемо по кроках, як побудувати графік функції в excel по її формулою

Побудова графіка лінійної функції в Excel

Побудова графіків в Excel 2016 значно покращився і стало ще простіше ніж в попередніх версіях. Розберемо приклад побудови графіка лінійної функції y \u003d kx + b на невеликому інтервалі [-4; 4].

Підготовка розрахункової таблиці

У таблицю заносимо імена постійних k і b в нашій функції. Це необхідно для швидкої зміни графіка без переробки розрахункових формул.

Установка кроку значень аргументу функції

• В осередку A5 і A6 вводимо відповідно позначення аргументу і саму функцію. Запис у вигляді формули буде використана в якості назви діаграми.
• Вводимо в осередки B5 і С5 два значення аргументу функції з заданим кроком (в нашому прикладі крок дорівнює одиниці).
• Виділяємо ці осередки.
• Наводимо покажчик миші на нижній правий кут виділення. При появі хрестика (дивись малюнок вище), затискаємо ліву кнопку миші і простягаємо вправо до стовпчика J.

Осередки автоматично будуть заповнені числами, значення яких розрізняються заданим кроком.

Заповнити форму значень аргументу функції

Увага! Запис формули починається зі знака рівності (\u003d). Адреси осередків записуються на англійській розкладці. Зверніть увагу на абсолютні адреси зі знаком долара.

Запис розрахункової формули для значень функції

Щоб завершити введення формули натисніть клавішу Enter або галочку зліва від рядка формул вгорі над таблицею.

Копіюємо цю формулу для всіх значень аргументу. Простягаємо вправо рамку від вічка з формулою до стовпчика з кінцевими значеннями аргументу функції.

копіювання формули

Побудова графіка функції

Виділяємо прямокутний діапазон комірок A5: J6.

Виділення таблиці функції

Переходимо на вкладку вставка в стрічці інструментів. В розділі діаграма вибираємо Точкова з гладкими кривими (Див. Рисунок нижче) .Одержимо діаграму.

Побудова діаграми типу "Графік"

Після побудови координатна сітка має різні по довжині поодинокі відрізки. Змінимо її перетягуючи бічні маркери до отримання квадратних клітин.

Графік лінійної функції

Тепер можна ввести нові значення постійних k і b для зміни графіка. І бачимо, що при спробі змінити коефіцієнт графік залишається незмінним, а змінюються значення на осі. Виправляємо. Натисніть на діаграмі, щоб її активувати. Далі на стрічці інструментів у вкладці Робота з діаграмами на вкладці конструктор вибираємо Додати елемент діаграми - Осі - Розширені можливості пошуку осі ..

Вхід в режим зміни параметрів координатних осей

У правій частині вікна з'явитися бічна панель налаштувань формат осі.

Редагування параметрів координатної осі

• Натисніть на список, що розкривається Параметри осі.
• Виберіть Вертикальна вісь (значень).
• Натисніть зелений значок діаграми.
• Задайте інтервал значень осі і одиниці виміру (обведено червоною рамкою). Ставимо одиниці виміру Максимум і мінімум (Бажано симетричні) і однакові для вертикальної і горизонтальної осей. Таким чином, ми робимо дрібніше одиничний інтервал і відповідно спостерігаємо більший діапазон графіка на діаграмме.І головну одиницю виміру - значення 1.
• Повторіть теж для горизонтальній осі.

Тепер, якщо поміняти значення K і b, то отримаємо новий графік з фіксованою сіткою координат.

Побудова графіків інших функцій

Тепер, коли у нас є основа у вигляді таблиці і діаграми, можна будувати графіки інших функцій, вносячи невеликі коректування в нашу таблицю.

Квадратична функція y \u003d ax 2 + bx + c

Виконайте наступні дії:

• \u003d $ B3 * B5 * B5 + $ D3 * B5 + $ F3

отримуємо результат

Графік квадратичної функції

Кубічна парабола y \u003d ax 3

Для побудови виконайте наступні дії:

• У першому рядку міняємо заголовок
• У третьому рядку вказуємо коефіцієнти і їх значення
• У осередок A6 записуємо позначення функції
• У осередок B6 вписуємо формулу \u003d $ B3 * B5 * B5 * B5
• Копіюємо її на весь діапазон значень аргументу вправо

отримуємо результат

Графік кубічної параболи

Гіпербола y \u003d k / x

Для побудови гіперболи заповніть таблицю вручну (дивись малюнок нижче). Там де раніше було нульове значення аргументу залишаємо вільну позицію.

• У першому рядку міняємо заголовок.
• У третьому рядку вказуємо коефіцієнти і їх значення.
• У осередок A6 записуємо позначення функції.
• У осередок B6 вписуємо формулу \u003d $ B3 / B5
• Копіюємо її на весь діапазон значень аргументу вправо.
• Видаляємо формулу з комірки I6.

Для коректного відображення графіка потрібно поміняти для діаграми діапазон вихідних даних, так як в цьому прикладі він більше ніж в попередніх.

• натисніть діаграму
• на вкладці Робота з діаграмами перейдіть в конструктор і в розділі дані натисніть вибрати дані.
• Відкриється вікно майстра введення даних
• Виділіть мишкою прямокутний діапазон комірок A5: P6
• натисніть ОК у вікні майстра.

отримуємо результат

Графік гіперболи

Побудова тригонометричних функцій sin (x) і cos (x)

Розглянемо приклад побудови графіка тригонометричної функції y \u003d a * sin (b * x).
Спочатку заповніть таблицю як на малюнку нижче

Таблиця значень функції sin (x)

У першому рядку записано назву тригонометричної функції.
У третьому рядку прописані коефіцієнти і їх значення. Зверніть увагу на осередки, в які вписані значення коефіцієнтів.
У п'ятому рядку таблиці прописуються значення кутів в радіанах. Ці значення будуть використовуватися для підписів на графіку.
У шостому рядку записані числові значення кутів в радіанах. Їх можна прописати вручну або використовуючи формули відповідного виду \u003d -2 * ПІ (); \u003d -3 / + 2 * ПІ (); \u003d Пі (); \u003d Пі () / 2; ...
У сьомому рядку записуються розрахункові формули тригонометричної функції.

Запис розрахункової формули функції sin (x) в Excel

У нашому прикладі \u003d $ B $ 3 * SIN ($ D $ 3 * B6). адреси B3 і D3 є абсолютними. Їх значення - коефіцієнти a і b, які за умовчанням встановлюються рівними одиниці.
Після заповнення таблиці приступаємо до побудови графіка.

Виділяємо діапазон комірок А6: J7. У стрічці вибираємо вкладку вставка в розділі діаграми вказуємо тип точкова і вид Точкова з гладкими кривими і маркерами.

Побудова діаграми Точкова з гладкими кривими

В результаті отримаємо діаграму.

Графік sin (x) після вставки діаграми

Тепер налаштуємо правильне відображення сітки, так щоб точки графіка лежали на перетині ліній сітки. Виконайте послідовність дій Робота з діаграмами конструктор - Додати елемент діаграми - Сітка івключите три режими відображення ліній як на малюнку.

Налаштування сітки при побудові графіка

Тепер зайдіть в пункт Розширені можливості пошуку ліній сітки. У вас з'явиться бічна панель Формат області побудови. Зробимо налаштування тут.

Клікніть в діаграмі на головну вертикальну вісь Y (повинна виділиться рамкою). У бічній панелі налаштуйте формат осі як на малюнку.

Натисніть головну горизонтальну вісь Х (повинна виділиться) і також зробіть настройки відповідно до малюнка.

Налаштування формату горизонтальній осі Х графіка функції

Тепер зробимо підписи даних над точками. знову виконуємо Робота з діаграмами конструктор - Додати елемент діаграми - Підписи даних - Зверху.У вас підставили значення числами 1 і 0, але ми замінимо їх значеннями з діапазону B5: J5.
Натисніть на будь-якому значенні 1 або 0 (рисунок крок 1) і в параметрах підпису поставте галочку Значення з осередків (рисунок крок 2). Вам буде відразу ж запропоновано вказати діапазон з новими значеннями (рисунок крок 3). вказуємо B5: J5.

От і все. Якщо зробили правильно, то і графік буде чудовим. Ось такий.

Щоб отримати графік функції cos (x), Замініть в розрахунковій формулі і в назві sin (x) на cos (x).

Аналогічним способом можна будувати графіки інших функцій. Головне правильно записати обчислювальні формули і побудувати таблицю значень функції. Сподіваюся, що вам була корисна дана інформація.

PS: Цікаві факти про логотипи відомих компаній

Дорогий читач! Ви подивилися статтю до кінця.
Отримали ви відповідь на своє питання? Напишіть в коментарях пару слів.
Якщо відповіді не знайшли, вкажіть що шукали.

Для початку спробуй знайти область визначення функції:

Впорався? Порівняємо відповіді:

Все вірно? Молодець!

Тепер спробуємо знайти область значень функції:

Знайшов? порівнюємо:

Зійшлося? Молодець!

Ще раз попрацюємо з графіками, тільки тепер трохи складніше - знайти і область визначення функції, і область значень функції.

Як знайти і область визначення і область значень функції (просунутий варіант)

Ось що вийшло:

З графіками, я думаю, ти розібрався. Тепер спробуємо відповідно до формулами знайти область визначення функції (якщо ти не знаєш як це зробити, прочитай розділ про):

Впорався? Звіримо відповіді:

1. , Так як подкоренное вираз повинен бути більше або дорівнює нулю.
2. , Так як на нуль ділити не можна і подкоренное вираз не може бути негативним.
3. , Так як, відповідно при всіх.
4. , Так як на нуль ділити не можна.

Однак, у нас залишився ще один не розібраний момент ...

Ще раз повторю визначення і зроблю на ньому акцент:

Помітив? Слово «єдиний» - це дуже-дуже важливий елемент нашого визначення. Постараюся пояснити тобі на пальцях.

Припустимо, у нас є функція, задана прямий. . При, ми підставляємо це значення в наше «правило» і отримуємо, що. Одному значенню відповідає одне значення. Ми навіть можемо скласти таблицю різних значень і побудувати графік даної функції, щоб переконається в цьому.

«Дивись! - скажеш ти, - «» зустрічається два рази! » Так можливо парабола не є функцією? Ні, є!

Те, що «» зустрічається два рази далеко не привід звинувачувати параболу в неоднозначності!

Справа в тому, що, при розрахунку для, ми отримали один ігрек. І при розрахунку з ми отримали один ігрек. Так що все вірно, парабола є функцією. Подивися на графік:

Розібрався? Якщо немає, ось тобі життєвий приклад сооовсем далекий від математики!

Припустимо, у нас є група абітурієнтів, які познайомилися при подачі документів, кожен з яких в розмові розповів, де він живе:

Погодься, цілком реально, що кілька хлопців живуть в одному місті, але неможливо, щоб одна людина жила в декількох містах одночасно. Це як би логічне представлення нашої «параболи» - кільком різним ікс відповідає один і той же ігрек.

Тепер придумаємо приклад, коли залежність не буде функцією. Припустимо, ці ж хлопці розповідали, на які спеціальності вони подали документи:

Тут у нас абсолютно інша ситуація: одна людина може спокійно подати документи як на одне, так і на кілька напрямків. Тобто одному елементу безлічі ставиться у відповідність кілька елементів безлічі. відповідно, це не функція.

Перевіримо твої знання на практиці.

Визнач за малюнками, що є функцією, а що ні:

Розібрався? А ось і відповіді:

• Функцією є - В, Е.
• Функцією не є - А, Б, Г, Д.

Ти запитаєш чому? Так ось чому:

На всіх малюнках крім В) і Е) на один доводиться кілька!

Впевнена, тепер, ти з легкістю відрізниш функцію від не функція, скажеш, що таке аргумент і що таке залежна змінна, а так само визначиш область допустимих значень аргументу і область визначення функції. Приступаємо до наступного розділу - як задати функцію?

Способи завдання функції

Як ти думаєш, що означають слова «Задати функцію»? Правильно, це означає пояснити всім охочим, про яку функції в даному випадку йде мова. Причому пояснити так, щоб кожен зрозумів тебе правильно і намальовані людьми на твою поясненню графіки функцій були однакові.

Як це можна зробити? Як задати функцію? Найпростіший спосіб, який вже не раз застосовувався в цій статті - за допомогою формули. Ми пишемо формулу, і, підставляючи в неї значення, вираховуємо значення. А як ти пам'ятаєш, формула - це закон, правило, за яким нам і іншій людині стає ясно, як ікс перетворюється в ігрек.

Зазвичай, саме так і роблять - в завданнях ми бачимо вже готові функції, задані формулами, однак, існують і інші способи задати функцію, про які всі забувають, в зв'язку з чим питання «як ще можна задати функцію?» ставить у глухий кут. Розберемося у всьому по порядку, а почнемо з аналітичного способу.

Аналітичний спосіб завдання функції

Аналітичний спосіб це і є завдання функції за допомогою формули. Це самий універсальний і вичерпний і однозначний спосіб. Якщо у тебе є формула, то ти знаєш про функції абсолютно все - ти можеш скласти по ній табличку значень, можеш побудувати графік, визначити, де функція зростає, а де убуває, в загальному, досліджувати її по повній програмі.

Розглянемо функцію. Чому дорівнює?

"Що це означає?" - запитаєш ти. Зараз поясню.

Нагадаю, що в запису вираз в дужках називається аргументом. І цей аргумент може бути будь-яким виразом, не обов'язково просто. Відповідно, яким би не був аргумент (вираз в дужках), ми його запишемо замість в вираженні.

У нашому прикладі вийде так:

Розглянемо ще завдання, пов'язане з аналітичним способом завдання функції, яке буде у тебе на іспиті.

Знайдіть значення виразу, при.

Впевнена, що спочатку, ти злякався, побачивши такий вислів, але в ньому немає абсолютно нічого страшного!

Все як і в попередньому випадку: яким би не був аргумент (вираз в дужках), ми його запишемо замість в вираженні. Наприклад, для функції.

Що ж потрібно зробити в нашому прикладі? Замість треба написати, а замість -:

скоротити вийшло вираз:

От і все!

Самостійна робота

Тепер спробуй самостійно знайти значення наступних виразів:

1. , якщо
2. , якщо

Впорався? Порівняємо наші відповіді: Ми звикли, що функція має вигляд

Навіть в наших прикладах ми задаємо функцію саме таким чином, однак аналітично можна задати функцію в неявному вигляді, наприклад.

Спробуй побудувати цю функцію самостійно.

Впорався?

Ось як будувала її я.

Яке рівняння ми в підсумку вивели?

Правильно! Лінійне, а це значить, що графіком буде пряма лінія. Зробимо табличку, щоб визначити, які точки належать нашим прямим:

Ось якраз те, про що ми говорили ... Одному відповідає кілька.

Спробуємо намалювати те, що вийшло:

Чи є то, що у нас вийшло функцією?

Правильно, нема! Чому? Спробуй відповісти на це питання за допомогою малюнка. Що у тебе вийшло?

«Тому що одному значенню відповідає кілька значень!»

Який висновок ми можемо з цього зробити?

Правильно, функція не завжди може бути виражена явно, і не завжди те, що «замасковано» під функцію є функцією!

Табличний спосіб завдання функції

Як випливає з назви, цей спосіб є простою табличку. Так Так. На зразок тієї, якою ми з тобою вже складали. наприклад:

Тут ти відразу помітив закономірність - ігрек в три рази більше ніж ікс. А тепер завдання на «дуже добре подумати»: як ти вважаєш, рівносильна чи функція, задана у вигляді таблиці, функції?

Не будемо довго розмірковувати, а будемо малювати!

Отже. Малюємо функцію, задану шпалерами способами:

Бачиш різницю? Справа зовсім не в зазначених точках! Придивись уважніше:

Тепер побачив? Коли ми задаємо функцію табличним способом, ми на графіку відображаємо лише ті точки, які є у нас в таблиці і лінія (як в нашому випадку) проходить тільки через них. Коли ми задаємо функцію аналітичним способом, ми можемо взяти будь-які точки, і наша функція ними не обмежується. Ось така ось особливість. Запам'ятовуй!

Графічний спосіб побудови функції

Графічний спосіб побудови функції не менш зручний. Ми малюємо нашу функцію, а інший зацікавлена \u200b\u200bлюдина може знайти чому дорівнює ігрек при певному ікс і так далі. Графічний і аналітичний способи одні з найпоширеніших.

Однак, тут потрібно пам'ятати про що ми з тобою говорили на самому початку - не кожна «закарлюка» намальована в системі координат є функцією! Згадав? Про всяк випадок скопіюють тобі сюди визначення, що функцією є:

Як правило, люди зазвичай називають саме ті три способи завдання функції, які ми розібрали - аналітичний (за допомогою формули), табличний і графічний, геть забуваючи про те, що функцію можна словесно описати. Як це? Та дуже просто!

Словесний опис функції

Як же описати функцію словесно? Візьмемо наш недавній приклад -. Дану функцію можна описати «кожному дійсного значення ікс відповідає його потроєною значення». От і все. Нічого складного. Ти, звичайно, заперечиш - «є настільки складні функції, які словесно задати просто неможливо!» Так, є і такі, але є функції, які описати словесно легше, ніж задати формулою. Наприклад: «кожному натуральному значенням ікс відповідає різниця між цифрами, з яких він складається, при цьому за зменшуване береться найбільше цифра, що містяться в запису числа». Тепер розглянемо, як наше словесне опис функції реалізується на практиці:

Найбільша цифра в даному числі -, відповідно, - зменшуване, тоді:

Основні види функцій

Тепер перейдемо до найцікавішого - розглянемо основні види функцій, з якими ти працював / працюєш і будеш працювати в курсі шкільної та університетської математики, тобто познайомимося з ними, так би мовити і дамо їм коротку характеристику. Більш докладно про кожну функцію читай у відповідному розділі.

лінійна функція

Функція виду, де, - дійсні числа.

Графіком даної функції служить пряма, тому побудова лінійної функції зводиться до знаходження координат двох точок.

Положення прямої на координатної площині залежить від кутового коефіцієнта.

Область визначення функції (aka область допустимих значень аргументу) -.

Область значень -.

квадратична функція

Функція виду, де

Графіком функції є парабола, при гілки параболи спрямовані вниз, при - вгору.

Багато властивостей квадратичної функції залежать від значення дискриминанта. Дискримінант обчислюється за формулою

Положення параболи на координатній площині щодо значення і коефіцієнта показані на малюнку:

Область визначення

Область значень залежить від екстремуму даної функції (точки вершини параболи) і коефіцієнта (напрямки гілок параболи)

Зворотній пропорційність

Функція, що задається формулою, де

Число називається коефіцієнтом зворотної пропорційності. Залежно від того, яке значення, гілки гіперболи знаходяться в різних квадратах:

Область визначення - .

Область значень -.

КОРОТКИЙ ВИКЛАД ТА ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

1. Функцією називається правило, за яким кожному елементу множини ставиться у відповідність єдиний елемент множини.

• - це формула, що позначає функцію, тобто залежність однієї змінної від іншої;
• - змінна величина, або, аргумент;
• - залежна величина - змінюється при зміні аргументу, тобто відповідно до якої-небудь певної формулі, що відбиває залежність однієї величини від іншої.

2. Допустимі значення аргументу, Або область визначення функції - це те, що пов'язано з можливими, при яких функція має сенс.

3. Область значень функції - це те, які значення приймає, при допустимих значеннях.

4. Існує 4 способи завдання функції:

• аналітичний (за допомогою формул);
• табличний;
• графічний
• словесний опис.

5. Основні види функцій:

• :, Де, - дійсні числа;
• :, Де;
• :, Де.