Необхідно побудувати розгортку поверхонь і перенести лінію перетину поверхонь на розгортку. В основі даного завдання розглядаються поверхні ( конуса і циліндра) З їх лінією перетину, наведені в попередній задачі 8.

Для вирішення таких завдань з нарисної геометрії необхідно знати:

- порядок і методи побудови розгорток поверхонь;

- взаємна відповідність між поверхнею і її розгорткою;

- окремі випадки побудови розгорток.

порядок вирішеннязАдачі

1. Відзначимо, що розгорткою називається фігура, що отримується в
Внаслідок розрізу поверхні з якої-небудь утворює і поступового розгинання її до повного суміщення з площиною. Звідси розгортка, прямого кругового конуса - сектор з радіусом, рівним довжині утворює, і підставою, рівним довжині окружності підстави конуса. Все розгортки будуються тільки з натуральних величин.

рис.9.1

- довжину окружності підстави конуса, виражену в натуральній величині ділимо на ряд часткою: в нашому випадку - 10, від кількості часток залежить точність побудови розгортки ( ріс.9.1.а);

- відкладаємо отримані частки, замінюючи їх хордами, на довжині
дуги, проведеної радіусом, рівним довжині утворює конуса l = | Sb |. Початок і кінець відліку часток з'єднуємо з вершиною сектора - це і буде розгортка бічної поверхні конуса.

Другий спосіб:

- будуємо сектор з радіусом, рівним довжині утворює конуса.
Зауважимо, що як в першому, так і в другому випадку за радіус береться крайня права чи ліва утворюють конуса l = | Sb |, тому що вони виражені в натуральній величині;

- при вершині сектора відкладаємо кут а, який визначається за формулою:

ріс.9.2

де r- величина радіусу підстави конуса;

l- довжина твірної конуса;

360 - постійна перекладна в градуси величина.

До сектору-розгортці будуємо підставу конуса радіусу r.

2. За умовами завдання потрібно перенести лінію перетину
поверхонь конуса і циліндра на розгортку. Для цього використовуємо властивості взаємної однозначності між поверхнею і її розгорткою, зокрема, відзначимо, що кожній точці на поверхні відповідає точка на розгортці і кожної лінії на поверхні відповідає лінія на розгортці.

Звідси випливає послідовність перенесення точок і ліній
з поверхні на розгортку.

рис.9.3

Для розгортки конуса. Домовимося, що розріз поверхні конуса проведено по котра утворює S’ a’ . тоді точки 1, 2, 3,…6
лежатимуть на кіл (дугах на розгортці) з радіусами відповідно рівними величинам відстаней, узятим по котра утворює S’ A’ від вершини S’ до відповідної січної площини з точками 1’ , 2’, 3’…6’ -| S1|, | S2|, | S3|….| S6 | (Ріс.9.1.б).

Положення точок на цих дугах визначається відстанню, узятим з горизонтальної проекції від утворює Sa, по хорді до відповідної точки, наприклад до точки с, ас = 35мм ( ріс.9.1.а). Якщо відстань по хорді і дузі сильно різняться, то для зменшення похибки можна розділити більшу кількість часток і відкласти їх на відповідні дуги розгортки. Таким способом переносяться будь-які точки з поверхні на її розгортку. Отримані точки з'єднаються плавною кривою за лекалом ( рис.9.3).

Для розгортки циліндра.

Розгортка циліндра є прямокутник з висотою, що дорівнює висоті утворює, і довжиною, що дорівнює довжині окружності підстави циліндра. Таким чином, для побудови розгортки прямого кругового циліндра необхідно побудувати прямокутник з висотою, що дорівнює висоті циліндра, в нашому випадку 100мм, І довжиною, що дорівнює довжині окружності підстави циліндра, визначеної за відомими формулами: C=2 R= 220мм, Або розподілом окружності підстави на ряд часткою, як було зазначено вище. До верхньої і нижньої частини отриманої розгортки пристроюємо підставу циліндра.

Домовимося, що розріз зроблений по котра утворює AA 1 (A’ A’ 1 ; AA1) . Зауважимо, що розріз слід проводити за характерними (опорним) точкам для більш зручного побудови. З огляду на, що довжина розгортки є довжина кола основи циліндра C, Від точки A’= A’ 1 розрізу фронтальної проекції беремо відстань по хорді (якщо відстань велика, то необхідно його розділити на частки) до точки B’ (В нашому прикладі - 17мм) І відкладаємо його на розгортці (по довжині основи циліндра) від точки А. З отриманої точки В проводимо перпендикуляр (утворить циліндра). Крапка 1 повинна знаходитися на цьому перпендикуляре) на відстані від підстави, взятого з горизонтальної проекції до точки. У нашому випадку точка 1 лежить на осі симетрії розгортки на відстані 100/2 = 50мм (рис.9.4).

рис.9.4

І так чинимо для знаходження на розгортці всіх інших точок.

Підкреслимо, що відстань по довжині розгортки для визначення положення точок береться з фронтальної проекції, а відстань по висоті - з горизонтальною, що відповідає їх натуральним величинам. Отримані точки з'єднуємо плавною кривою за лекалом ( рис.9.4).

У варіантах завдань, коли лінія перетину розпадається на кілька гілок, що відповідає повному перетину поверхонь, способи побудови (перенесення) лінії перетину на розгортку аналогічні, описаним вище.

Розділ: Нарисна геометрія /

ем перпендикуляри до кожного відрізку, на них відкладаємо дійсні величини утворюють циліндра, взяті з фронтальної проекції. Поєднавши отримані точки між собою, отримуємо криву.

Для отримання повної розгортки до розгортці бічній поверхні додаємо окружність (підстава) і натуральну величину перерізу (еліпс), побудований за його великої і малої осі або по точкам.

5.3.4. Побудова розгортки усіченого конуса

В окремому випадку розгортка конуса являє собою плоску фігуру, що складається з кругового сектора і кола (підстави конуса).

В загальному випадку розгортання поверхні проводиться за принципом розгортання багатогранної піраміди (т. е. способом трикутників), вписаною в конічну поверхню. Чим більше число граней піраміди, вписаної в конічну поверхню, тим меншою буде різниця між дійсною і наближеною розгорненнями конічної поверхні.

Побудова розгортки конуса починається з нанесення з точки S 0 дуги кола радіусом, рівним довжині утворює конуса. На цій дузі відкладають 12 частин окружності підстави конуса і отримані точки з'єднують з вершиною. Приклад зображення повної розгортки усіченого конуса представлений на рис. 5.7.

Лекція 6 (початок)

ВЗАЄМНЕ ПЕРЕХРЕЩЕННЯ ПОВЕРХОНЬ. СПОСОБИ ПОБУДОВИ взаємного ПЕРЕТИНУ ПОВЕРХОНЬ.

СПОСІБ допоміжних січні площині І ПРИВАТНІ ВИПАДКИ

6.1. Взаємне перетинання поверхонь

Перетинаючись між собою, поверхні тіл утворюють різні ламані або криві лінії, які називають лініями взаємного перетину.

Для побудови ліній перетину двох поверхонь потрібно знайти такі точки, які одночасно належать двом заданим поверхням.

Коли одна з поверхонь повністю пронизує іншу, виходять 2 окремі лінії перетину, звані гілками. У разі отримання врізки, коли одна поверхня частково входить в іншу, лінія перетину поверхонь буде одна.

6.2. Перетин гранних поверхонь

Лінія перетину двох багатогранників являє собою замкнуту просторову ламану лінію. Її ланки є лініями перетину граней одного багатогранника з гранями іншого, а вершини - точки перетину ребер одного багатогранника з гранями іншого. Таким чином щоб побудувати лінію перетину двох багатогранників, потрібно вирішити задачу або на перетин двох площин (спосіб граней), або на перетин прямої з площиною (спосіб ребер). На практиці зазвичай використовуються обидва способи в комбінації.

Перетин піраміди з призмою. Розглянемо випадок пере-

ня піраміди з призмою, бокова поверхня якої проектується на π3 на нарисові підстави (чотирикутник). Побудова починаємо з профільної проекції. При нанесенні точок скористаємося способом ребер, т. Е. Коли ребра вертикальної піраміди перетинають межі горизонтальної призми (рис. 6.1).

Аналіз умови задачі показує, що лінія перетину піраміди і призми розпадається на 2 гілки, одна з гілок - плоский багатокутник, точки 1, 2, 3, 4 (точки перетину ребер піраміди з гранню призми). Горизонтальні, фронтальні і профільні їх проекції знаходяться на проекціях відповідних ребер і визначаються по лініях зв'язку. Аналогічно можуть бути знайдені точки 5, 6, 7 і 8, що належать іншій гілці. Точки 9, 10, 11, 12 визначаються з умови, що верхня і нижня межі призми паралельні між собою, т. Е. 1 "2" паралельна 5 "10" і т. Д.

Можна скористатися способом допоміжних січних площин. Допоміжна площина перетинає обидві поверхні по ламаним лініям. Взаємне перетинання цих ліній і дає нам точки, що належать шуканої лінії перетину. В якості допоміжних площин вибираємо α "" "і β" "". За допомогою площині α "" "

знаходимо проекції точок 1 ", 2", 3 ", 4", а площині β "" "- точки 5", 6 ", 9", 10 ", 11", 12 ". Точки 7 і 8 визначаємо як в попередньому способі .

6.3. Перетин гранних поверхонь

з поверхнями обертання

Більшість технічних деталей і предметів складається з поєднання різних геометричних тіл. Перетинаючись між собою, по-

поверхні цих тіл утворюють різні прямі або криві лінії, які називаються лініями взаємного перетину.

Для побудови лінії перетину двох поверхонь потрібно знайти такі точки, які одночасно належали б двох поверхонь.

При перетині многогранника з поверхнею обертання утворюється просторова крива лінія перетину.

Якщо відбувається повне перетин (проницание), то утворюються дві замкнуті криві лінії, а якщо неповне перетин - то одна замкнута просторова лінія перетину.

Для побудови лінії взаємного перетину многогранника з поверхнею обертання використовується спосіб допоміжних січних площин. Допоміжна площина перетинає обидві поверхні по кривій і по ламаній лініях. Взаємне перетинання цих ліній і дає нам точки, що належать шуканої лінії перетину.

Нехай потрібно побудувати проекції лінії перетину поверхонь циліндра і трикутної призми. Як видно з рис. 6.2, в перетині беруть участь всі три грані призми. Дві з них спрямовані під деяким кутом до осі обертання циліндра, отже, перетинають поверхню циліндра по еліпсам, одна грань перпендикулярна до осі циліндра, т. Е. Перетинає його по колу.

План рішення:

1) знаходимо точки перетину ребер з поверхнею циліндра;

2) знаходимо лінії перетину граней з поверхнею циліндра. Як видно з рис. 6.2, бокова поверхня циліндра - горизон-

тально-проектує, т. е. перпендикулярна горизонтальної площини проекцій. Бічна поверхня призми - профільно-проецірую- щая, т. Е. Кожна її грань перпендикулярна до профільної площини проекцій. Отже, горизонтальна проекція лінії перетину тел збігається з горизонтальною проекцією циліндра, а профільна - з профільної проекцією призми. Таким чином, на кресленні потрібно побудувати лише фронтальну проекцію лінії перетину.

Побудова починаємо з нанесення характерних точок, т. Е. Точок, які можна знайти без додаткових побудов. Такими є точки 1, 2 і 3. Вони знаходяться на перетині нарисових утворюють фронтальних проекцій циліндра з фронтальною проекцією відповідного ребра призми за допомогою ліній зв'язку.

Таким чином, точки перетину ребер призми з поверхнею циліндра побудовані.

Для того щоб знайти проміжні точки (всього таких точок чотири, але позначимо одну з них А) ліній перетину циліндра з гранями призми, перетинаємо обидві поверхні будь-якої проецирующей площиною або площиною рівня. Візьмемо, наприклад, горизонтальну площину α. Площина α перетинає грані призми по двом прямим, а циліндр - по колу. Ці лінії перетинаються в точці A "(одну точку підписали, а інші ні), яка належить одночасно і поверхні циліндра (лежить на окружності, яка належить циліндру) і поверхні призми (лежить на прямих лініях, які належать граням призми).

Прямі, за якими перетинаються грані призми з площиною α, знайдені спочатку на профільній проекції багатогранника (там вони спроектувати в точку A "" "і симетричну точку), а потім за допомогою ліній зв'язку побудовані на горизонтальній проекції призми. Точка A і симетричні точки отримані на перетині горизонтальної проекції ліній перетину (площині α з призмою) з колом і за допомогою ліній зв'язку знайдені на фронтальній проекції.

Побудувати розгортку конуса можна 2 шляхами:

• Розділити підставу конуса на 12 частин (вписуємо правильний багатогранник - піраміду). Можете розділити підставу конуса і на більшу або менше кількість частин, тому що чим менше хорда, тим точніше побудова розгортки конуса. Потім на дугу кругового сектора перенести хорди.
• Побудова розгортки конуса, по формулі визначальною кут кругового сектора.

Так як нам необхідно нанести на розгортку конуса лінії перетину конуса і циліндра, то нам все одно доведеться ділити підставу конуса на 12 частин і вписувати піраміду, тому ми підемо одразу по 1 шляху побудови розгортки конуса.

Алгоритм побудови розгортки конуса

• Ділимо підставу конуса на 12 рівних частин (вписуємо правильну піраміду).
• Будуємо бічну поверхню конуса, яка представляє собою круговий сектор. Радіус кругового сектора конуса дорівнює довжині утворює конуса, а довжина дуги сектора дорівнює довжині окружності підстави конуса. На дугу сектора переносимо 12 хорд, які визначать її довжину, а також кут кругового сектора.
• До будь-якій точці дуги сектора пристроюємо підставу конуса.
• Через характерні точки перетину конуса і циліндра проводимо утворюють.
• Знаходимо натуральну величину утворюють.
• Будуємо дані утворюють на розгортці конуса.
• З'єднуємо характерні точки перетину конуса і циліндра на розгортці.

Більш докладно в відеоуроці з нарисної геометрії в Автокад.

Під час побудови розгортки конуса ми будемо використовувати Масив в Автокад - Круговий масив і масив по траєкторії. Рекомендую до перегляду дані відеоуроки Автокад. Відеокурс Автокад 2D на момент написання статті містить класичний спосіб побудови кругового масиву і інтерактивний при побудові масиву по траєкторії.

Розгортка поверхні конуса - це плоска фігура, отримана шляхом поєднання бічній поверхні і підстави конуса з деякою площиною.

Варіанти побудови розгортки:

Розгортка прямого кругового конуса

Розгортка бічної поверхні прямого кругового конуса являє собою круговий сектор, радіус якого дорівнює довжині утворює конічної поверхні l, а центральний кут φ визначається за формулою φ = 360 * R / l, де R - радіус кола підстави конуса.

У ряді завдань нарисної геометрії кращим рішенням є апроксимація (заміна) конуса вписаною в нього пірамідою і побудова наближеної розгортки, на яку зручно наносити лінії, що лежать на конічної поверхні.

алгоритм побудови

1. Вписуємо в конічну поверхню многокутну піраміду. Чим більше бічних граней у вписаною піраміди, тим точніше відповідність між дійсною і наближеною розгорткою.
2. Будуємо розгортку бічної поверхні піраміди способом трикутників. Точки, що належать основи конуса, з'єднуємо плавною кривою.

приклад

На малюнку нижче в прямий круговий конус вписано правильна шестикутна піраміда SABCDEF, і наближена розгортка його бічній поверхні складається з шести рівнобедрених трикутників - граней піраміди.

Розглянемо трикутник S 0 A 0 B 0. Довжини його сторін S 0 A 0 і S 0 B 0 рівні утворює l конічної поверхні. Величина A 0 B 0 відповідає довжині A'B '. Для побудови трикутника S 0 A 0 B 0 в довільному місці креслення відкладаємо відрізок S 0 A 0 = l, після чого з точок S 0 і A 0 проводимо окружності радіусом S 0 B 0 = l і A 0 B 0 = A'B ' відповідно. З'єднуємо точку перетину кіл B 0 з точками A 0 і S 0.

Грані S 0 B 0 C 0, S 0 C 0 D 0, S 0 D 0 E 0, S 0 E 0 F 0, S 0 F 0 A 0 піраміди SABCDEF будуємо аналогічно трикутнику S 0 A 0 B 0.

Точки A, B, C, D, E і F, що лежать в основі конуса, з'єднуємо плавною кривою - дугою кола, радіус якої дорівнює l.

Розгортка похилого конуса

Розглянемо порядок побудови розгортки бічної поверхні похилої конуса методом апроксимації (наближення).

алгоритм

1. Вписуємо в окружність підстави конуса шестикутник 123456. З'єднуємо точки 1, 2, 3, 4, 5 і 6 з вершиною S. Піраміда S123456, побудована таким чином, з деякою мірою наближення є заміною конічної поверхні і використовується в цій якості в подальших побудовах.
2. Визначаємо натуральні величини ребер піраміди, використовуючи спосіб обертання навколо проецирующей прямий: у прикладі використовується вісь i, перпендикулярна горизонтальної площини проекцій і проходить через вершину S.
   Так, в результаті обертання ребра S5 його нова горизонтальна проекція S'5 '1 займає положення, при якому вона паралельна фронтальній площині π 2. Відповідно, S''5 '' 1 - натуральна величина S5.
3. Будуємо розгортку бічної поверхні піраміди S123456, що складається з шести трикутників: S 0 1 0 6 0, S 0 6 0 5 0, S 0 5 0 4 0, S 0 4 0 3 0, S 0 3 0 2 0, S 0 2 0 1 0. Побудова кожного трикутника виконується за трьома сторонами. Наприклад, у △ S 0 1 0 6 0 довжина S 0 1 0 = S''1 '' 0, S 0 6 0 = S''6 '' 1, 1 0 6 0 = 1'6 '.

Ступінь відповідності наближеною розгортки дійсної залежить від кількості граней вписаною піраміди. Число граней вибирають, виходячи зі зручності читання креслення, вимог до його точності, наявності характерних точок і ліній, які потрібно перенести на розгортку.

Перенесення лінії з поверхні конуса на розгортку

Лінія n, що лежить на поверхні конуса, утворена в результаті його перетину з деякою площиною (малюнок нижче). Розглянемо алгоритм побудови лінії n на розгортці.

алгоритм

1. Знаходимо проекції точок A, B і C, в яких лінія n перетинає ребра вписаної в конус піраміди S123456.
2. Визначаємо натуральну величину відрізків SA, SB, SC способом обертання навколо проецирующей прямий. У розглянутому прикладі SA = S''A '', SB = S''B '' 1, SC = S''C '' 1.
3. Знаходимо положення точок A 0, B 0, C 0 на відповідних їм ребрах піраміди, відкладаючи на розгортці відрізки S 0 A 0 = S''A '', S 0 B 0 = S''B '' 1, S 0 C 0 = S''C '' 1.
4. З'єднуємо точки A 0, B 0, C 0 плавною лінією.

Розгортка усіченого конуса

Описуваний нижче спосіб побудови розгортки прямого кругового усіченого конуса заснований на принципі подоби.

Іноді виникає завдання - виготовити захисний зонт для витяжної або пічної труби, витяжною дефлектор для вентиляції і т.п. Але перш ніж приступити до виготовлення, треба зробити викрійку (або розгорнення) для матеріалу. В інтернеті є всякі програми для розрахунку таких розгорток. Однак завдання настільки просто вирішується, що ви швидше розрахуєте її за допомогою калькулятора (в комп'ютері), ніж будете шукати, завантажувати і розбиратися з цими програмами.

Почнемо з простого варіанту - розгортка простого конуса. Найпростіше пояснити принцип розрахунку викрійки на прикладі.

Припустимо, нам треба виготовити конус діаметром D см і заввишки H сантиметрів. Цілком зрозуміло, що в якості заготовки буде виступати коло з вирізаним сегментом. Відомі два параметра - діаметр і висота. По теоремі Піфагора розрахуємо діаметр кола заготовки (не плутайте з радіусом готовогоконуса). Половина діаметру (радіус) і висота утворюють прямокутний трикутник. Тому:

Отже, тепер ми знаємо радіус заготовки і можемо вирізати коло.

Обчислимо кут сектора, який треба вирізати з кола. Міркуємо таким чином: Діаметр заготовки дорівнює 2R, значить, довжина кола дорівнює Пі * 2 * R - тобто 6.28 * R. Позначимо її L. Окружність повна, тобто 360 градусів. А довжина кола готового конуса дорівнює Пі * D. Позначимо її Lm. Вона, природно, менше ніж довжина кола заготовки. Нам потрібно вирізати сегмент з довжиною дуги дорівнює різниці цих довжин. Застосуємо правило співвідношення. Якщо 360 градусів дають нам повне коло заготовки, то шуканий кут повинен дати довжину окружності готового конуса.

З формули співвідношення отримуємо розмір кута X. А вирізали сектор знаходимо шляхом віднімання 360 - Х.

З круглої заготовки з радіусом R треба вирізати сектор з кутом (360-Х). Не забудьте залишити невелику смужку матеріалу для нахлеста (якщо кріплення конуса буде внахлест). Після з'єднання сторін вирізаного сектора отримаємо конус заданого розміру.

Наприклад: Нам потрібен конус для парасольки витяжної труби висотою (Н) 100 мм і діаметром (D) 250 мм. За формулою Піфагора отримуємо радіус заготовки - 160 мм. А довжина кола заготовки відповідно 160 x 6,28 = 1005 мм. У той же час довжина кола потрібного нам конуса - 250 x 3,14 = 785 мм.

Тоді отримуємо, що співвідношення кутів буде таке: 785/1005 x 360 = 281 градус. Відповідно вирізати треба сектор 360 - 281 = 79 градусів.

Розрахунок заготовки викрійки для усіченого конуса.

Така деталь буває потрібна при виготовленні перехідників з одного діаметра на інший або для дефлекторів Вольперт-Григоровича або Ханженкова. Їх застосовують для поліпшення тяги в комині або трубі вентиляції.

Завдання трохи ускладнюється тим, що нам невідома висота всього конуса, а тільки його усіченої частини. Взагалі ж вихідних цифр тут три: висота усіченого конуса Н, діаметр нижнього отвору (підстави) D, і діаметр верхнього отвори Dm (в місці перетину повного конуса). Але ми вдамося до тих же простим математичним побудов на основі теореми Піфагора і подоби.

Справді, очевидно, що величина (D-Dm) / 2 (половина різниці діаметрів) буде ставитися з висотою усіченого конуса Н так само, як і радіус підстави до висоти всього конуса, як якщо б він не був усічений. Знаходимо повну висоту (P) з цього співвідношення.

(D - Dm) / 2H = D / 2P

Звідси Р = D x H / (D-Dm).

Тепер знаючи загальну висоту конуса, ми можемо звести рішення задачі до попередньої. Розрахувати розгортку заготовки як би для повного конуса, а потім «відняти» з неї розгортку його верхньої, непотрібної нам частини. А можемо розрахувати безпосередньо радіуси заготовки.

Отримаємо по теоремі Піфагора більший радіус заготовки - Rz. Це квадратний корінь з суми квадратів висоти P і D / 2.

Менший радіус Rm - це квадратний корінь з суми квадратів (P-H) і Dm / 2.

Довжина кола нашої заготовки дорівнює 2 х Пі х Rz, або 6,28 х Rz. А довжина кола основи конуса - Пі х D, або 3,14 х D. Співвідношення їх довжин і дадуть співвідношення кутів секторів, якщо прийняти, що повний кут в заготівлі - 360 градусів.

Тобто Х / 360 = 3,14 x D / 6.28 x Rz

Звідси Х = 180 x D / Rz (Це кут, який треба залишити, що б отримати довжину кола основи). А вирізати треба відповідно 360 - Х.

Наприклад: Нам треба виготовити усічений конус висотою 250 мм, діаметр підставу 300 мм, діаметр верхнього отвори 200 мм.

Знаходимо висоту повного конуса Р: 300 х 250 / (300 - 200) = 600 мм

За т. Піфагора знаходимо зовнішній радіус заготовки Rz: Корінь квадратний з (300/2) ^ 2 + 6002 = 618,5 мм

З тієї ж теоремі знаходимо менший радіус Rm: Корінь квадратний з (600 - 250) ^ 2 + (200/2) ^ 2 = 364 мм.

Визначаємо кут сектора нашої заготовки: 180 х 300 / 618,5 = 87.3 градуса.

На матеріалі креслимо дугу з радіусом 618,5 мм, потім з того ж центру - дугу радіусом 364 мм. Кут дуги може має приблизно 90-100 градусів розкриття. Проводимо радіуси з кутом розкриття 87.3 градуса. Наша заготовка готова. Не забудьте дати припуск на стиковку країв, якщо вони з'єднуються внахлест.