Прискорення тіла по похилій площині. Рух по похилій площині. Альтернативний спосіб вирішення

Нехай невелике тіло знаходиться на похилій площині з кутом нахилу a (рис. 14.3, а). З'ясуємо: 1) чому дорівнює сила тертя, якщо тіло ковзає по похилій площині; 2) чому дорівнює сила тертя, якщо тіло лежить нерухомо; 3) при якому мінімальному значенні кута нахилу a тіло починає зісковзувати з похилій площині.

а) б)

Сила тертя буде перешкоджати руху, отже, вона буде спрямована вгору по похилій площині (рис. 14.3, б). Крім сили тертя, на тіло діють ще сила тяжіння і сила нормальної реакції. Введемо систему координат ХОУ, Як показано на малюнку, і знайдемо проекції всіх зазначених сил на координатні осі:

Х: F тр Х = –F тр, N X = 0, mg X \u003d mgsina;

Y: F тр Y = 0, N Y \u003d N, mg Y \u003d -mgcosa.

Оскільки прискорюватися тіло може тільки по похилій площині, тобто вздовж осі X, То очевидно, що проекція вектора прискорення на вісь Y завжди буде дорівнює нулю: а Y \u003d 0, а значить, сума проекцій всіх сил на вісь Y також повинна дорівнювати нулю:

F тр Y + N Y + mg Y\u003d 0 Þ 0 + N - mgcosa \u003d 0 Þ

N \u003d mgcosa. (14.4)

Тоді сила тертя ковзання відповідно до формули (14.3) дорівнює:

F тр.ск \u003d m N \u003d m mgcosa. (14.5)

якщо тіло спочиває, То сума проекцій всіх сил, що діють на тіло, на вісь Х повинна дорівнювати нулю:

F тр Х + N Х + mg Х= 0 Þ – F тр + 0 + mgsina \u003d 0 Þ

F тр.п \u003d mgsina. (14.6)

Якщо ми будемо поступово збільшувати кут нахилу, то величина mgsina буде поступово збільшуватися, а значить, буде збільшуватися і сила тертя спокою, яка завжди «автоматично підлаштовується» під зовнішній вплив і компенсує його.

Але, як ми знаємо, «можливості» сили тертя спокою не безмежні. При якомусь куті a 0 весь «ресурс» сили тертя спокою буде вичерпано: вона досягне свого максимального значення, рівного силі тертя ковзання. Тоді буде справедливо рівність:

F тр.ск \u003d mgsina 0.

Підставивши в цю рівність значення F тр.ск з формули (14.5), отримаємо: m mgcosa 0 \u003d mgsina 0.

Розділивши обидві частини останнього рівності на mgcosa 0, отримаємо:

Þ a 0 \u003d arctgm.

Отже, кут a, при якому починається ковзання тіла по похилій площині, задається формулою:

a 0 \u003d arctgm. (14.7)

Зауважимо, що якщо a \u003d a 0, то тіло може або лежати нерухомо (якщо до нього не торкатися), або ковзати з постійною швидкістю вниз по похилій площині (якщо його трохи штовхнути). якщо a< a 0 , то тело «стабильно» неподвижно, и легкий толчок не произведет на него никакого «впечатления». А если a > a 0, то тіло буде зісковзувати з похилій площині з прискоренням і без жодних поштовхів.

Завдання 14.1. Людина везе двоє пов'язаних між собою саней (рис. 14.4, а), Прикладаючи силу F під кутом a до горизонту. Маси саней однакові і рівні т. Коефіцієнт тертя полозів по снігу m. Знайти прискорення саней і силу натягу Т мотузки між саньми, а також силу F 1, з якої повинен тягнути мотузку людина для того, щоб сани рухалися рівномірно.

F a m m	а)	б) Мал. 14.4
а = ? Т = ? F 1 = ?

Рішення. Запишемо другий закон Ньютона для кожних саней в проекціях на осі х і у (Рис. 14.4, б):

I у: N 1 + Fsina - mg = 0, (1)

x: Fcosa - T - m N 1 = ma; (2)

II у: N 2 – mg = 0, (3)

x: T - m N 2 = ma. (4)

З (1) знаходимо N 1 = mg - Fsina, з (3) і (4) знаходимо Т \u003dm mg + + ma. Підставляючи ці значення N 1 і Т в (2), отримуємо

.

підставляючи а в (4), отримуємо

T \u003d m N 2 + ma\u003d m mg + та =

M mg + т .

Щоб знайти F 1, прирівняємо вираз для а до нуля:

відповідь: ; ;

.

СТОП! Вирішіть самостійно: В1, В6, С3.

Завдання 14.2. Два тіла масами т і М пов'язані ниткою, як показано на рис. 14.5, а. З яким прискоренням рухається тіло М, Якщо коефіцієнт тертя об поверхню столу m. Яке натяг нитки Т? Яка сила тиску на вісь блоку?

т М m	Рішення. Запишемо другий закон Ньютона в проекціях на осі х 1 і х 2 (рис. 14.5, б), враховуючи що : х 1: Т - m Mg = ма, (1) х 2: mg - T \u003d ma. (2) Вирішуючи систему рівнянь (1) і (2), знаходимо:
а = ? Т = ? R = ?

Якщо вантаж не рухаються, то.

відповідь: 1) якщо т < mМ, то а = 0, Т = mg,; 2) якщо т ³ m М, То, , .

СТОП! Вирішіть самостійно: В9-В11, С5.

Завдання 15.3. Два тіла масами т 1 і т 2 пов'язані ниткою, перекинутою через блок (рис. 14.6). тіло т 1 знаходиться на похилій площині з кутом нахилу a. Коефіцієнт тертя об площину m. тіло масою т 2 висить на нитці. Знайти прискорення тіл, силу натягу нитки і силу тиску блоку на вісь за умови, коли т 2 < т 1. Вважати tga\u003e m.

Мал. 14.7

Запишемо другий закон Ньютона в проекціях на осі х 1 і х 2, з огляду на, що і:

х 1: т 1 gsina - Т - m m 1 g cosa \u003d m 1 a,

х 2: T - m 2 g \u003d m 2 a.

, .

Так як а \u003e 0, то

Якщо нерівність (1) не виконується, то вантаж т 2 точно не рухається вгору! Тоді можливі ще два варіанти: 1) система нерухома; 2) вантаж т 2 рухається вниз (а вантаж т 1, відповідно, вгору).

Припустимо, що вантаж т 2 рухається вниз (рис. 14.8).

Мал. 14.8

Тоді рівняння другого закону Ньютона на осі х 1 і х 2 матимуть вигляд:

х 1: Т - т 1 gsina – m m 1 gcosa \u003d m 1 a,

х 2: m 2 g - Т \u003d m 2 a.

Вирішуючи цю систему рівнянь, знаходимо:

, .

Так як а \u003e 0, то

Отже, якщо виконується нерівність (1), то вантаж т 2 їде вгору, а якщо виконується нерівність (2), то - вниз. Отже, якщо не виконується жодна з цих умов, тобто

,

система нерухома.

Залишилося знайти силу тиску на вісь блоку (рис. 14.9). Силу тиску на вісь блоку R в даному випадку можна знайти як діагональ ромба АВСD. Так як

Ð ADC \u003d 180 ° - 2,

де b \u003d 90 ° - a, то по теоремі косинусів

R 2 = .

Звідси .

відповідь:

1) якщо , то , ;

2) якщо , то , ;

3) якщо , то а = 0; Т = т 2 g.

У всіх випадках .

СТОП! Вирішіть самостійно: В13, В15.

Завдання 14.4. На візок масою М діє горизонтальна сила F (Рис. 14.10, а). Коефіцієнт тертя між вантажем т і візком дорівнює m. Визначити прискорення вантажів. Якою має бути мінімальна сила F 0, щоб вантаж т почав ковзати по візку?

M, т F m	а)	б) Мал. 14.10
а 1 = ? а 2 = ? F 0 = ?

Рішення. Спочатку зауважимо, що сила, яка веде вантаж т в рух, - це сила тертя спокою, з якої візок діє на вантаж. Максимально можливе значення цієї сили дорівнює m mg.

За третім законом Ньютона вантаж діє на візок з такою ж по величині силою - (рис. 14.10, б). Прослизання починається в той момент, коли вже досягла свого максимального значення, але система ще рухається як одне тіло масою т+М з прискоренням. Тоді за другим законом Ньютона

На поверхні Землі сила тяжіння (гравітація) Постійна і дорівнює добутку маси падаючого тіла на прискорення вільного падіння: F g \u003d mg

Слід зауважити, що прискорення вільного падіння величина постійна: g \u003d 9,8 м / с 2, і спрямована до центру Землі. Виходячи з цього можна сказати, що тіла з різною масою будуть падати на Землю однаково швидко. Як же так? Якщо кинути з однакової висоти шматочок вати і цегла, то останній зробить свій шлях до землі швидше. Не забувайте про опір повітря! Для вати воно буде істотним, оскільки її щільність дуже мала. У безповітряному просторі цегла і вата впадуть одночасно.

Куля рухається по похилій площині довжиною 10 метрів, кут нахилу площини 30 °. Яка буде швидкість кулі в кінці площині?

На кулю діє тільки сила тяжіння F g, спрямована вниз перпендикулярно до основи площині. Під дією цієї сили (складової, спрямованої уздовж поверхні площини) куля буде рухатися. Чому буде дорівнювати складова сили тяжіння, що діє уздовж похилій площині?

Для визначення складової необхідно знати кут між вектором сили F g і похилою площиною.

Визначити кут досить просто:

• сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 °;
• кут між вектором сили F g і підставою похилій площині дорівнює 90 °;
• кут між похилою площиною і її підставою дорівнює α

Виходячи з вищесказаного, шуканий кут дорівнюватиме: 180 ° - 90 ° - α \u003d 90 ° - α

З тригонометрії:

F g накл \u003d F g · cos (90 ° -α)

Sinα \u003d cos (90 ° -α)

F g накл \u003d F g · sinα

Це дійсно так:

• при α \u003d 90 ° (вертикальна площина) F g накл \u003d F g
• при α \u003d 0 ° (горизонтальна площина) F g накл \u003d 0

Визначимо прискорення кулі з відомої формули:

F g · sinα \u003d m · a

A \u003d F g · sinα / m

A \u003d m · g · sinα / m \u003d g · sinα

Прискорення кулі вздовж похилій площині не залежить від маси кулі, а тільки від кута нахилу площини.

Визначаємо швидкість кулі в кінці площині:

V 1 2 - V 0 2 \u003d 2 · a · s

(V 0 \u003d 0) - куля починає рух з місця

V 1 2 \u003d √2 · a · s

V \u003d 2 · g · sinα · S \u003d √2 · 9,8 · 0,5 · 10 \u003d √98 \u003d 10 м / с

Зверніть увагу на формулу! Швидкість тіла в кінці похилій площині буде залежати тільки від кута нахилу площини і її довжини.

У нашому випадку швидкість 10 м / с в кінці площині буде мати і більярдна куля, і легковий автомобіль, і самоскид, і школяр на санках. Звичайно ж, тертя ми не враховуємо.

Динаміка є одним з важливих розділів фізики, який вивчає причини руху тіл в просторі. У цій статті розглянемо з точки зору теорії одну з типових задач динаміки - рух тіла по похилій площині, а також наведемо приклади рішень деяких практичних проблем.

Основна формула динаміки

Перш ніж переходити до вивчення фізики руху тіла по площині похилої, наведемо необхідні теоретичні відомості для вирішення цього завдання.

У XVII Ісаак Ньютон завдяки практичним спостереженням за рухом макроскопічних оточуючих тел вивів три закони, що носять в даний час його прізвище. На цих законах грунтується вся класична механіка. Нас цікавить в даній статті лише другий закон. Його математичний вигляд наведений нижче:

Вам буде цікаво:

Формула говорить про те, що дія зовнішньої сили F¯ додасть прискорення a¯ тілу масою m. Це просте вираження будемо далі використовувати для вирішення завдань руху тіла по площині похилої.

Відзначимо, що сила і прискорення - це величини векторні, спрямовані в одну і ту ж сторону. Крім того, сила - це аддитивная характеристика, тобто в наведеній формулі F¯ можна розглядати як результуючий вплив на тіло.

Похила площина і сили, що діють на тіло, що знаходиться на ній

Ключовим моментом, від якого залежить успіх вирішення завдань руху тіла по площині похилої, є визначення діючих на тіло сил. Під визначенням сил розуміють знання їх модулів і напрямків дії.

Нижче дан малюнок, де показано, що тіло (автомобіль) знаходиться в спокої на нахиленою під кутом до горизонту площині. Які сили на нього діють?

Список нижче перераховує ці сили:

• тяжкості;
• реакції опори;
• тертя;
• натягу нитки (якщо є).

Сила тяжіння

В першу чергу це сила тяжіння (Fg). Вона спрямована вертикально вниз. Оскільки тіло має можливість рухатися тільки вздовж поверхні площини, то при вирішенні задач силу тяжіння розкладають на дві взаємно перпендикулярні складові. Одна зі складових спрямована уздовж площини, інша - перпендикулярна їй. Тільки перша з них призводить до появи у тіла прискорення і, по суті, є єдиним рушійним фактором для даного тіла. Друга складова зумовлює виникнення сили реакції опори.

Аналогічно важеля, похилі площини зменшують зусилля, необхідне для підйому тіл. Наприклад, бетонний блок вагою 45 кілограмів підняти руками досить складно, однак витягти його нагору по похилій площині цілком можливо. Вага тіла, розміщеного на похилій площині, розкладається на дві складові, одна з яких паралельна, а інша перпендикулярна її поверхні. Для переміщення блоку вгору по похилій площині людина повинна подолати тільки паралельну складову, величина якої зростає зі збільшенням кута нахилу площини.

Похилі площини вельми різноманітні за конструктивним виконанням. Наприклад, гвинт складається з похилій площині (різьблення), що обвиває по спіралі його циліндричну частину. При закручування гвинта в деталь, його різьблення проникає в тіло деталі, утворюючи дуже міцне з'єднання за рахунок великого тертя між деталлю і витками різьби. Лещата перетворять дію важеля і обертальний рух гвинта в лінійну здавлюючу силу. За таким же принципом працює і домкрат, який використовується для підйому важких вантажів.

Сили на похилій площині

У тіла, що знаходиться на похилій площині, сила тяжіння діє паралельно і перпендикулярно її поверхні. Для переміщення тіла вгору по похилій площині необхідна сила, яка дорівнює за величиною складовою сили тяжіння, паралельній поверхні площині.

Похилі площини і гвинти

Спорідненість гвинта з похилою площиною легко простежити, якщо обернути циліндр розрізаним по діагоналі аркушем паперу. Утвориться спіраль ідентична по розташуванню різьбі гвинта.

Сили, що діють на гвинт

При повороті гвинта його різьблення створює дуже велику силу, прикладену до матеріалу деталі, в яку він ввернуть. Ця сила тягне гвинт вперед, якщо він повертається за годинниковою стрілкою, і тому, якщо він повертається проти годинникової стрілки.

Гвинт для підйому важких предметів

Обертові гвинти домкратів розвивають величезну силу, дозволяючи їм піднімати настільки важкі тіла як легкові або вантажні автомобілі. При повороті центрального гвинта важелем два кінця домкрата стягуються разом, виробляючи необхідний підйом.

Похилі площини для розщеплення

Клин складається з двох похилих площин, з'єднаних своїми підставами. При забиванні клину в дерево похилі площини розвивають бічні сили, достатні для розщеплення найміцніших пиломатеріалів.

Сила і робота

Незважаючи на те, що похила площина може полегшити завдання, вона не зменшує кількість роботи, що вимагається для її виконання. Підйом бетонного блоку вагою 45 кг (W) на 9 метрів вертикально вгору (дальній малюнок справа) вимагає здійснення роботи 45x9 кілограмометрах, що відповідає добутку ваги блоку на величину переміщення. Коли блок знаходиться на похилій площині з кутом нахилу 44,5 °, сила (F), необхідна для втягуванні блоку, зменшується до 70 відсотків від його ваги. Хоча це і полегшує переміщення блоку, зате тепер, щоб, підняти блок на висоту 9 метрів, його необхідно тягнути по площині 13 метрів. Іншими словами виграш в силі дорівнює висоті підйому (9 метрів), поділеній на довжину переміщення по похилій площині (13 метрів).

Динаміка є одним з важливих розділів фізики, який вивчає причини руху тіл в просторі. У цій статті розглянемо з точки зору теорії одну з типових задач динаміки - рух тіла по похилій площині, а також наведемо приклади рішень деяких практичних проблем.

Основна формула динаміки

Перш ніж переходити до вивчення фізики руху тіла по площині похилої, наведемо необхідні теоретичні відомості для вирішення цього завдання.

У XVII Ісаак Ньютон завдяки практичним спостереженням за рухом макроскопічних оточуючих тел вивів три закони, що носять в даний час його прізвище. На цих законах грунтується вся класична механіка. Нас цікавить в даній статті лише другий закон. Його математичний вигляд наведений нижче:

Формула говорить про те, що дія зовнішньої сили F¯ додасть прискорення a¯ тілу масою m. Це просте вираження будемо далі використовувати для вирішення завдань руху тіла по площині похилої.

Відзначимо, що сила і прискорення - це величини векторні, спрямовані в одну і ту ж сторону. Крім того, сила - це аддитивная характеристика, тобто в наведеній формулі F¯ можна розглядати як результуючий вплив на тіло.

Похила площина і сили, що діють на тіло, що знаходиться на ній

Ключовим моментом, від якого залежить успіх вирішення завдань руху тіла по площині похилої, є визначення діючих на тіло сил. Під визначенням сил розуміють знання їх модулів і напрямків дії.

Нижче дан малюнок, де показано, що тіло (автомобіль) знаходиться в спокої на нахиленою під кутом до горизонту площині. Які сили на нього діють?

Список нижче перераховує ці сили:

• тяжкості;
• реакції опори;
• тертя;
• натягу нитки (якщо є).

Сила тяжіння

В першу чергу це сила тяжіння (F g). Вона спрямована вертикально вниз. Оскільки тіло має можливість рухатися тільки вздовж поверхні площини, то при вирішенні задач силу тяжіння розкладають на дві взаємно перпендикулярні складові. Одна зі складових спрямована уздовж площини, інша - перпендикулярна їй. Тільки перша з них призводить до появи у тіла прискорення і, по суті, є єдиним рушійним фактором для даного тіла. Друга складова зумовлює виникнення сили реакції опори.

реакція опори

Другий діючої на тіло силою є реакція опори (N). Причина її появи пов'язана з третім законом Ньютона. Величина N показує, з якою силою площину впливає на тіло. Вона спрямована вгору перпендикулярно площині похилої. Якби тіло знаходилося на горизонтальній поверхні, то N дорівнювала б його вазі. В даному ж випадку N дорівнює лише другої складової, отриманої при розкладанні сили тяжіння (див. Абзац вище).

Реакція опори не має прямого впливу на характер руху тіла, оскільки вона перпендикулярна площині нахилу. Проте вона зумовлює появу тертя між тілом і поверхнею площині.

Сила тертя

Третьою силою, яку слід враховувати при дослідженні руху тіла по похилій площині, є тертя (F f). Фізична природа тертя є непростим. Її поява пов'язана з мікроскопічними взаємодіями дотичних тіл, що мають неоднорідні поверхні контакту. Виділяють три види цієї сили:

• спокою;
• ковзання;
• кочення.

Тертя спокою і ковзання описуються однією і тією ж формулою:

де μ - це безрозмірний коефіцієнт, значення якого визначається матеріалами тіл, що труться. Так, при терті ковзання дерева об дерево μ \u003d 0,4, а льоду об лід - 0,03. Коефіцієнт для тертя спокою завжди більше такого для ковзання.

Тертя кочення описується за відмінною від попередньої формули. Вона має вигляд:

Тут r - радіус колеса, f - коефіцієнт, який має розмірність зворотної довжини. Ця сила тертя, як правило, набагато менше попередніх. Зауважимо, що на її значення впливає радіус колеса.

Сила F f, якого б типу вона не була, завжди спрямована проти руху тіла, тобто F f прагне зупинити тіло.

натяг нитки

При вирішенні завдань руху тіла по похилій площині ця сила не завжди присутня. Її поява залежить від того, що знаходиться на похилій площині тіло пов'язане з допомогою нерастяжимой нитки з іншим тілом. Часто друге тіло звисає на нитки через блок за межами площини.

На знаходиться на площині предмет, сила натягнення нитки впливає або прискорюючи його, або сповільнюючи. Все залежить від модулів сил, що діють у фізичній системі.

Поява цієї сили в завданні значно ускладнює процес вирішення, оскільки доводиться розглядати одночасно рух двох тіл (на площині і звисає).

Завдання на визначення критичного кута

Тепер прийшов час застосувати описану теорію для вирішення реальних завдань руху по похилій площині тіла.

Припустимо, що брус з дерева має масу 2 кг. Він знаходиться на дерев'яній площині. Слід визначити, при якому критичному куті нахилу площини брус почне по ній ковзати.

Ковзання бруса настане тільки тоді, коли сумарна діюча вниз вздовж площині сила на нього виявиться більше нуля. Таким чином, щоб вирішити цю задачу, досить визначити результуючу силу і знайти кут, при якому вона стане більше нуля. Згідно з умовою задачі на брус будуть уздовж площини впливати тільки дві сили:

• складова сили тяжіння F g1;
• тертя спокою F f.

Щоб почалося ковзання тіла, повинна виконуватися умова:

Відзначимо, що якщо складова сили тяжіння перевищить тертя спокою, то вона також буде більше сили тертя ковзання, тобто початок руху триватиме з постійним прискоренням.

Малюнок нижче показує напрямки всіх діючих сил.

Позначимо критичний кут символом θ. Нескладно показати, що сили F g1 і F f дорівнюватимуть:

F g1 \u003d m × g × sin (θ);

F f \u003d μ × m × g × cos (θ).

Тут m × g - це вага тіла, μ - коефіцієнт сили тертя спокою для пари матеріалів дерево-дерево. З відповідною таблиці коефіцієнтів можна знайти, що він дорівнює 0,7.

Підставляємо знайдені величини в нерівність, отримуємо:

m × g × sin (θ) ≥ μ × m × g × cos (θ).

Перетворюючи це рівність, приходимо до умови руху тіла:

tg (θ) ≥ μ \u003d\u003e

θ ≥ arctg (μ).

Ми отримали дуже цікавий результат. Виявляється, значення критичного кута θ не залежить від маси тіла на похилій площині, а однозначно визначається коефіцієнтом тертя спокою μ. Підставляючи його значення в нерівність, отримаємо величину критичного кута:

θ ≥ arctg (0,7) ≈ 35 o.

Завдання на визначення прискорення при русі по похилій площині тіла

Тепер вирішимо дещо іншу задачу. Нехай на скляній похилій площині знаходиться брус з дерева. Площина до горизонту нахилена під кутом 45 o. Слід визначити, з яким прискоренням рухатиметься тіло, якщо його маса дорівнює 1 кг.

Запишемо головне рівняння динаміки для цього випадку. Оскільки сила F g1 буде спрямована вздовж руху, а F f проти нього, то рівняння набуде вигляду:

F g1 - F f \u003d m × a.

Підставляємо отримані в попередній задачі формули для сил F g1 і F f, маємо:

m × g × sin (θ) - μ × m × g × cos (θ) \u003d m × a.

Звідки отримуємо формулу для прискорення:

a \u003d g × (sin (θ) - μ × cos (θ)).

Знову ми отримали формулу, в якій немає маси тіла. Цей факт означає, що бруски будь-якої маси будуть зісковзувати за одне і те ж час по похилій площині.

З огляду на, що коефіцієнт μ для труться матеріалів дерево-скло дорівнює 0,2, підставимо всі параметри в рівність, отримаємо відповідь:

Таким чином, методика рішення задач з похилою площиною полягає у визначенні результуючої сили, що діє на тіло, і в подальшому застосуванні другого закону Ньютона.

Фізика: рух тіла по похилій площині. Приклади розв'язання і завдання - все цікаві факти і досягнення науки і освіти на сайт