Производна на произведението на сложна функция. Производна на произведението на две функции. Геометричен и физически смисъл на производната

С коректорски материали на тема "производно". Ниво на основно училище.
Теоретична информация за студенти, учители и преподаватели по математика. За да помогна с уроците.

определение:производната на функция в дадена точка се нарича граница на съотношението на увеличението на функцията към нарастването на променливата, т.е.

Таблица на производните на основните математически функции:

Правила за изчисляване на деривати

Производна на суматана всеки два израза е равна на сумата от производните на тези изрази (производната на сумата е равна на сумата от производните)

Производна на разликатана всеки два израза е равна на разликата на производните на тези термини (производната на разликата е равна на разликата на производните).

Производно на продуктадва фактора е равно на произведението на производната на първия фактор по втория плюс произведението на първия фактор по производната на втория (сумата от производните на факторите, взети на свой ред).
Коментар на учителя по математика:когато аз в кратки изреченияНапомням на ученика за правилото за изчисляване на производната на продукта, казвам това: производната на първия фактор по втория плюс обмен на инсулти!

Производна на коефициентна два израза е равно на частното от разликата на алтернативно взети производни на факторите и квадрата на знаменателя.

Производна на произведението на число и функция. За да намерите производната на произведението на число и литерален израз (функция), трябва да умножите това число по производната на този литерален израз.

Производна на сложна функция:

За да изчислите производната на сложна функция, трябва да намерите производната на външната функция и да я умножите по производната на вътрешната функция.

Вашите коментари и отзиви за страницата с производни:
Александър С.
Наистина имах нужда от маса. Един от най-много в интернет. Благодаря ви много за обясненията и правилата. Поне още един пример за тях и като цяло би било страхотно. Благодаря отново.

Колпаков A.N., преподавател по математика:добре, скоро ще се опитам да актуализирам страницата с примери.

Виртуален математически справочник.
Колпаков Александър Николаевич, преподавател по математика.

Ако следваме дефиницията, тогава производната на функция в дадена точка е границата на съотношението на увеличение на функцията Δ гкъм нарастването на аргумента Δ х:

Всичко изглежда е ясно. Но опитайте да изчислите по тази формула, да речем, производната на функцията е(х) = х 2 + (2х+ 3) · д хгрях х. Ако направите всичко по дефиниция, тогава след няколко страници изчисления просто ще заспите. Следователно има по-прости и по-ефективни начини.

Като начало отбелязваме, че така наречените елементарни функции могат да бъдат разграничени от цялото разнообразие от функции. Относително е прости изрази, чиито производни отдавна са изчислени и въведени в таблицата. Такива функции са достатъчно лесни за запомняне, заедно с техните производни.

Производни на елементарни функции

Елементарните функции са всичко изброено по-долу. Производните на тези функции трябва да се знаят наизуст. Освен това не е трудно да ги запомните – затова са елементарни.

И така, производните на елементарните функции:

име	Функция	Производна
Постоянна	е(х) = ° С, ° С ∈ Р	0 (да, да, нула!)
Степен с рационален показател	е(х) = х н	н · х н − 1
Синус	е(х) = грях х	cos х
косинус	е(х) = cos х	− грях х(минус синус)
Тангента	е(х) = tg х	1/cos 2 х
Котангенс	е(х) = ctg х	− 1/sin2 х
естествен логаритъм	е(х) = дневник х	1/х
Произволен логаритъм	е(х) = дневник а х	1/(хвътрешен а)
Експоненциална функция	е(х) = д х	д х(Нищо не се промени)

Ако елементарна функция се умножи по произволна константа, тогава производната на новата функция също се изчислява лесно:

(° С · е)’ = ° С · е ’.

По принцип константите могат да бъдат извадени от знака на производната. Например:

(2х 3)' = 2 ( х 3)' = 2 3 х 2 = 6х 2 .

Очевидно елементарните функции могат да се добавят една към друга, умножават, разделят и много повече. Така ще се появят нови функции, вече не много елементарни, но и диференциращи се според определени правила. Тези правила са разгледани по-долу.

Производна на сума и разлика

Нека функциите е(х) и ж(х), чиито производни са ни известни. Например, можете да вземете елементарните функции, обсъдени по-горе. След това можете да намерите производната на сбора и разликата на тези функции:

1. (е + ж)’ = е ’ + ж ’
2. (е − ж)’ = е ’ − ж ’

И така, производната на сбора (разликата) на две функции е равна на сумата (разликата) на производните. Може да има повече термини. Например, ( е + ж + з)’ = е ’ + ж ’ + з ’.

Строго погледнато, в алгебрата няма понятие за "изваждане". Има понятие за "отрицателен елемент". Следователно разликата е − жможе да се пренапише като сума е+ (−1) ж, а след това остава само една формула - производната на сбора.

е(х) = х 2 + sinx; ж(х) = х 4 + 2х 2 − 3.

Функция е(х) е сборът от две елементарни функции, така че:

е ’(х) = (х 2+ грях х)’ = (х 2)' + (грех х)’ = 2х+ cosx;

Ние спорим по подобен начин за функцията ж(х). Само че вече има три термина (от гледна точка на алгебрата):

ж ’(х) = (х 4 + 2х 2 − 3)’ = (х 4 + 2х 2 + (−3))’ = (х 4)’ + (2х 2)’ + (−3)’ = 4х 3 + 4х + 0 = 4х · ( х 2 + 1).

Отговор:
е ’(х) = 2х+ cosx;
ж ’(х) = 4х · ( х 2 + 1).

Производно на продукт

Математиката е логическа наука, така че много хора вярват, че ако производната на сбора е равна на сумата от производните, тогава производната на продукта стачка"\u003e равен на произведението на производните. Но смокини за вас! Производната на продукта се изчислява по съвсем различна формула. А именно:

(е · ж) ’ = е ’ · ж + е · ж ’

Формулата е проста, но често се забравя. И не само ученици, но и студенти. Резултатът е неправилно решени проблеми.

Задача. Намерете производни на функции: е(х) = х 3 cosx; ж(х) = (х 2 + 7х− 7) · д х .

Функция е(х) е продукт от две елементарни функции, така че всичко е просто:

е ’(х) = (х 3 cos х)’ = (х 3)' cos х + х 3 (кос х)’ = 3х 2 cos х + х 3 (-грях х) = х 2 (3кос х − хгрях х)

Функция ж(х) първият множител е малко по-сложен, но общата схема не се променя от това. Очевидно първият множител на функцията ж(х) е полином и неговата производна е производна на сбора. Ние имаме:

ж ’(х) = ((х 2 + 7х− 7) · д х)’ = (х 2 + 7х− 7)' · д х + (х 2 + 7х− 7) ( д х)’ = (2х+ 7) · д х + (х 2 + 7х− 7) · д х = д х(2 х + 7 + х 2 + 7х −7) = (х 2 + 9х) · д х = х(х+ 9) · д х .

Отговор:
е ’(х) = х 2 (3кос х − хгрях х);
ж ’(х) = х(х+ 9) · д х .

Имайте предвид, че в последната стъпка производната се разлага на множители. Формално това не е необходимо, но повечето производни не се изчисляват сами, а за изследване на функцията. Това означава, че по-нататък производната ще бъде приравнена на нула, ще се открият нейните знаци и т.н. За такъв случай е по-добре изразът да бъде разложен на фактори.

Ако има две функции е(х) и ж(х), и ж(х) ≠ 0 на множеството, което ни интересува, можем да дефинираме нова функция з(х) = е(х)/ж(х). За такава функция можете да намерите и производната:

Не е слаб, нали? Откъде дойде минусът? Защо ж 2? Но така! Това е едно от най сложни формулиНе можете да го разберете без бутилка. Затова е по-добре да го изучавате конкретни примери.

Задача. Намерете производни на функции:

В числителя и знаменателя на всяка дроб има елементарни функции, така че всичко, от което се нуждаем, е формулата за производната на частното:

По традиция разделяме числителя на фактори - това значително ще опрости отговора:

Сложната функция не е непременно формула с дължина половин километър. Например, достатъчно е да вземете функцията е(х) = грях хи заменете променливата х, да речем, на х 2+ln х. Оказва се е(х) = грях ( х 2+ln х) е сложна функция. Тя също има производно, но няма да работи да го намери според правилата, обсъдени по-горе.

Как да бъде? В такива случаи замяната на променлива и формулата за производната на сложна функция помагат:

е ’(х) = е ’(т) · т', ако хсе заменя с т(х).

По правило ситуацията с разбирането на тази формула е още по-тъжна, отколкото с производната на частното. Ето защо е по-добре да го обясните с конкретни примери, с подробно описание на всяка стъпка.

Задача. Намерете производни на функции: е(х) = д 2х + 3 ; ж(х) = грях ( х 2+ln х)

Имайте предвид, че ако във функцията е(х) вместо израз 2 х+ 3 ще бъде лесно х, тогава получаваме елементарна функция е(х) = д х. Следователно правим заместване: нека 2 х + 3 = т, е(х) = е(т) = д т. Търсим производната на сложна функция по формулата:

е ’(х) = е ’(т) · т ’ = (д т)’ · т ’ = д т · т ’

А сега - внимание! Извършване на обратна замяна: т = 2х+ 3. Получаваме:

е ’(х) = д т · т ’ = д 2х+ 3 (2 х + 3)’ = д 2х+ 3 2 = 2 д 2х + 3

Сега нека разгледаме функцията ж(х). Очевидно трябва да се смени. х 2+ln х = т. Ние имаме:

ж ’(х) = ж ’(т) · т' = (грях т)’ · т' = cos т · т ’

Обратна подмяна: т = х 2+ln х. Тогава:

ж ’(х) = cos ( х 2+ln х) · ( х 2+ln х)' = cos ( х 2+ln х) · (2 х + 1/х).

Това е всичко! Както се вижда от последния израз, целият проблем е сведен до изчисляване на производната на сбора.

Отговор:
е ’(х) = 2 д 2х + 3 ;
ж ’(х) = (2х + 1/х) cos( х 2+ln х).

Много често в уроците си вместо термина „производна“ използвам думата „инсулт“. Например, ходът на сбора е равен на сбора от ударите. Това по-ясно ли е? Е, това е добре.

По този начин изчисляването на производната се свежда до премахване на тези щрихи според правилата, обсъдени по-горе. Като последен пример, нека се върнем към производната степен с рационален показател:

(х н)’ = н · х н − 1

Малцина знаят това в ролята нможе и да е дробно число. Например коренът е х 0,5 . Но какво ще стане, ако има нещо сложно под корена? Отново ще се окаже сложна функция - те обичат да дават такива конструкции контролна работаи изпити.

Задача. Намерете производната на функция:

Първо, нека пренапишем корена като степен с рационален показател:

е(х) = (х 2 + 8х − 7) 0,5 .

Сега правим замяна: нека х 2 + 8х − 7 = т. Намираме производната по формулата:

е ’(х) = е ’(т) · т ’ = (т 0,5)' т' = 0,5 т−0,5 т ’.

Правим обратна замяна: т = х 2 + 8х− 7. Имаме:

е ’(х) = 0,5 ( х 2 + 8х−7) −0,5 ( х 2 + 8х− 7)' = 0,5 (2 х+ 8) ( х 2 + 8х − 7) −0,5 .

И накрая, обратно към корените:

Много е лесно да се запомни.

Е, няма да стигнем далеч, веднага ще разгледаме обратната функция. Коя функция е обратна на експоненциална функция? логаритъм:

В нашия случай основата е число:

Такъв логаритъм (тоест логаритъм с основа) се нарича „естествен“ и ние използваме специална нотация за него: вместо това пишем.

На какво е равно? Разбира се, .

Производната на естествения логаритъм също е много проста:

Примери:

1. Намерете производната на функцията.
2. Каква е производната на функцията?

Отговори: Показателят и естественият логаритъм са функции, които са уникално прости по отношение на производната. Експоненциалните и логаритмичните функции с всяка друга база ще имат различна производна, която ще анализираме по-късно, след като преминем през правилата за диференциране.

Правила за диференциране

Какви правила? Пак нов мандат?!...

Диференциацияе процесът на намиране на производната.

Само и всичко. Каква е друга дума за този процес? Не производство... Диференциалът на математиката се нарича самото приращение на функцията at. Този термин идва от латинското differentia - разлика. Тук.

Когато извеждаме всички тези правила, ще използваме две функции, например и. Ще ни трябват и формули за техните увеличения:

Има общо 5 правила.

Константата се изважда от знака на производната.

Ако - някакво постоянно число (константа), тогава.

Очевидно това правило работи и за разликата: .

Нека го докажем. Нека или по-лесно.

Примери.

Намерете производни на функции:

1. в точката;
2. в точката;
3. в точката;
4. в точката.

Решения:

1. (производната е една и съща във всички точки, тъй като е линейна функция, помня?);

Производно на продукт

Тук всичко е подобно: въвеждаме нова функция и намираме нейното увеличение:

производно:

Примери:

1. Намерете производни на функции и;
2. Намерете производната на функция в точка.

Решения:

Производна на експоненциална функция

Сега вашите знания са достатъчни, за да научите как да намерите производната на всяка експоненциална функция, а не само на степента (забравихте ли още какво е?).

И така, къде е някакво число.

Вече знаем производната на функцията, така че нека се опитаме да пренесем нашата функция на нова база:

За това използваме просто правило: . Тогава:

Е, проработи. Сега се опитайте да намерите производната и не забравяйте, че тази функция е сложна.

Се случи?

Ето, проверете сами:

Формулата се оказа много подобна на производната на степента: както беше, така и остана, се появи само фактор, който е просто число, но не и променлива.

Примери:
Намерете производни на функции:

Отговори:

Това е просто число, което не може да се изчисли без калкулатор, тоест няма как да се запише в повече проста форма. Следователно в отговора е оставено в този вид.

Имайте предвид, че тук е частното от две функции, така че прилагаме подходящото правило за диференциране:

В този пример продуктът на две функции:

Производна на логаритмична функция

Тук е подобно: вече знаете производната на естествения логаритъм:

Следователно, за да намерите произволен от логаритъма с различна основа, например:

Трябва да приведем този логаритъм към основата. Как се променя основата на логаритъм? Надявам се да помните тази формула:

Само сега вместо ще напишем:

Знаменателят се оказа просто константа (постоянно число, без променлива). Производната е много проста:

Производни на експоненциални и логаритмични функциипочти никога не се появяват на изпита, но няма да е излишно да ги знаете.

Производна на сложна функция.

Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм и не е дъгова допирателна. Тези функции може да са трудни за разбиране (въпреки че ако логаритъмът ви се струва труден, прочетете темата "Логаритми" и всичко ще се получи), но от гледна точка на математиката думата "сложен" не означава "труден".

Представете си малък конвейер: двама души седят и правят някакви действия с някакви предмети. Например, първият увива шоколадов блок в обвивка, а вторият го завързва с панделка. Оказва се такъв композитен обект: шоколадова лента, увита и вързана с панделка. За да изядете шоколадов блок, трябва да направите обратните стъпки в обратен ред.

Нека създадем подобен математически тръбопровод: първо ще намерим косинуса на число, а след това ще квадратурираме полученото число. И така, те ни дават число (шоколад), аз намирам неговия косинус (обвивка) и след това квадратирате това, което имам (завържете го с панделка). Какво стана? Функция. Това е пример за сложна функция: когато, за да намерим нейната стойност, правим първото действие директно с променливата, а след това друго второ действие с това, което се е случило в резултат на първото.

С други думи, Сложната функция е функция, чийто аргумент е друга функция: .

За нашия пример,.

Можем да направим същите стъпки в обратен ред: първо квадратирате, а след това аз търся косинуса на полученото число:. Лесно е да се досетите, че резултатът почти винаги ще бъде различен. Важна характеристика на сложните функции: когато редът на действията се промени, функцията се променя.

Втори пример: (същото). .

Последното действие, което правим, ще бъде извикано "външна" функция, а извършеното първо действие – респ "вътрешна" функция(това са неформални имена, използвам ги само за да обясня материала на прост език).

Опитайте се сами да определите коя функция е външна и коя вътрешна:

Отговори:Разделянето на вътрешните и външните функции е много подобно на променящите се променливи: например във функцията

1. Какви действия ще предприемем първо? Първо изчисляваме синуса и едва след това го повишаваме до куб. Така че това е вътрешна функция, а не външна.
   И първоначалната функция е техният състав: .
2. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .
3. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .
4. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .
5. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .

променяме променливи и получаваме функция.

Е, сега ще извлечем нашия шоколад - потърсете производното. Процедурата винаги е обратна: първо търсим производната на външната функция, след това умножаваме резултата по производната на вътрешната функция. За оригиналния пример това изглежда така:

Друг пример:

И така, нека най-накрая формулираме официалното правило:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

Изглежда, че е просто, нали?

Нека проверим с примери:

Решения:

1) Вътрешни: ;

Външен: ;

2) Вътрешни: ;

(само не се опитвайте да намалите досега! Нищо не се изважда изпод косинуса, помните ли?)

3) Вътрешни: ;

Външен: ;

Веднага става ясно, че тук има сложна функция на три нива: в края на краищата това вече е сложна функция сама по себе си и ние все още извличаме корена от нея, тоест извършваме третото действие (поставяме шоколад в опаковка и с панделка в куфарче). Но няма причина да се страхуваме: така или иначе ще „разопаковаме“ тази функция в същия ред, както обикновено: от края.

Тоест първо диференцираме корена, след това косинуса и едва след това израза в скоби. И след това умножаваме всичко.

В такива случаи е удобно да се номерират действията. Тоест, нека си представим какво знаем. В какъв ред ще извършим действия за изчисляване на стойността на този израз? Нека да разгледаме пример:

Колкото по-късно се извърши действието, толкова по-„външна“ ще бъде съответната функция. Последователността на действията - както преди:

Тук гнезденето обикновено е на 4 нива. Нека определим начина на действие.

1. Радикален израз. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Обединяване на всичко:

ПРОИЗВОДЕН. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

Производна на функцията- съотношението на увеличението на функцията към нарастването на аргумента с безкрайно малко увеличение на аргумента:

Основни производни:

Правила за диференциране:

Константата се изважда от знака на производната:

Производна на сумата:

Производен продукт:

Производна на коефициента:

Производна на сложна функция:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

1. Дефинираме "вътрешната" функция, намираме нейната производна.
2. Дефинираме "външната" функция, намираме нейната производна.
3. Умножаваме резултатите от първата и втората точка.

Какво е производна функция - това е основното математическо понятие, е на едно ниво с интегралите, в анализа. Тази функцияв определен момент дава характеристика на скоростта на промяна на функцията в дадена точка.
Такива понятия като диференциране и интегриране, първото означава действието за намиране на производна, второто, напротив, възстановява функцията, започваща от тази производна.
Изчисленията на производните играят важна роля в диференциалните изчисления.
За илюстративен пример ще изобразим производната върху координатната равнина.

във функцията y \u003d f (x) фиксираме точките M, в които (x0; f (X0)) и N f (x0 +? x) към всяка абсциса има увеличение във формата? x. Инкрементът е процесът, когато се променя абсцисата, след което се променя и ординатата. Обозначен като?
Нека намерим тангенса на ъгъла в триъгълник MPN, използвайки точки M и N за това.

tg? = NP/MP = ?y/?x.

С? x отива на 0. Пресичащата се MN се приближава до допирателната MT и ъгъла? ще?. Следователно, tg? максимална стойност за tg ?.

tg? = lim от?x-0 tg ? = lim от?x-0 ?y/?x

Таблица на производните

Ако произнесете формулировката на всеки производни формули. Таблицата ще бъде по-лесна за запомняне.
1) Производната на постоянна стойност е 0.
2) X с щрих е равно на единица.
3) Ако има постоянен фактор, ние просто изваждаме eo за производната.
4) За да намерите производната степен, трябва да умножите степента на тази степен по степента със същата основа, в която степента е с 1 по-малка.
5) Намирането на корен е делено на 2 от тези корени.
6) Производната на единица, разделена на X, е равна на една, разделена на X на квадрат, със знак минус.
7) P синус е равен на косинус
8) P косинус е равен на синуса със знак минус.
9) P тангенсът е равен на единица, разделена на квадрата на косинус.
10) P котангенс е равен на единица със знак минус, разделен на синуса на квадрат.

При диференциацията има и правила, които също са по-лесни за научаване, като ги произнасяте на глас.

1) Много просто, броят на членовете е равен на тяхната сума.
2) Производната при умножение е равна на умножението на първата стойност по втората, добавяйки към себе си умножението на втората стойност по първата.
3) Производната при деление е равна на умножението на първата стойност по втората, като се изважда от себе си умножението на втората стойност по първата. Частта, разделена на втората стойност на квадрат.
4) Формулировката е частен случай на третата формула.

Операцията по намиране на производна се нарича диференциране.

В резултат на решаване на проблеми за намиране на производни на най-простите (и не много прости) функции чрез дефиниране на производната като граница на съотношението на приращение към приращение на аргумента, се появи таблица с производни и точно определени правила за диференциране . Исак Нютон (1643-1727) и Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716) са първите, които работят в областта на намирането на производни.

Следователно в наше време, за да се намери производната на която и да е функция, не е необходимо да се изчислява гореспоменатата граница на съотношението на приращението на функцията към приращението на аргумента, а трябва само да се използва таблицата на производните и правилата за диференциация. Следният алгоритъм е подходящ за намиране на производната.

За намиране на производната, имате нужда от израз под знака за щрих разбиване на прости функциии да определи какви действия (продукт, сума, коефициент)тези функции са свързани. Освен това намираме производните на елементарните функции в таблицата на производните, а формулите за производните на произведението, сумата и частното - в правилата за диференциране. Таблицата на производните и правилата за диференциране са дадени след първите два примера.

Пример 1Намерете производната на функция

Решение. От правилата за диференциране установяваме, че производната на сбора от функции е сумата от производните на функциите, т.е.

От таблицата на производните откриваме, че производната на "X" е равна на единица, а производната на синуса е косинус. Заместваме тези стойности в сбора от производни и намираме производната, изисквана от условието на задачата:

Пример 2Намерете производната на функция

Решение. Диференцира се като производна на сумата, в която втория член с постоянен коефициент, може да се извади от знака на производната:

Ако все още има въпроси откъде идва нещо, те, като правило, стават ясни след прочитане на таблицата на производните и най-простите правила за диференциране. В момента отиваме при тях.

Таблица на производните на прости функции

1. Производна на константа (число). Всяко число (1, 2, 5, 200...), което е във функционалния израз. Винаги нула. Това е много важно да запомните, тъй като се изисква много често
2. Производна на независимата променлива. Най-често "х". Винаги равно на едно. Това също е важно да запомните
3. Производна на степен. Когато решавате проблеми, трябва да преобразувате неквадратни корени в степен.
4. Производна на променлива на степен -1
5. Производна корен квадратен
6. Синусова производна
7. Косинусова производна
8. Тангентна производна
9. Производна на котангенс
10. Производна на арксинуса
11. Производна на дъга косинус
12. Производна на дъгова допирателна
13. Производна на обратната допирателна
14. Производна на естествен логаритъм
15. Производна на логаритмична функция
16. Производна на степента
17. Производна на експоненциална функция

Правила за диференциране

1. Производна на сбора или разликата
2. Производна на продукт
2а. Производна на израз, умножен по постоянен коефициент
3. Производна на частното
4. Производна на комплексна функция

Правило 1Ако функции

са диференцируеми в някаква точка , след това в същата точка функциите

и

тези. производната на алгебричния сбор от функции е равна на алгебричната сума на производните на тези функции.

Последица. Ако две диференцируеми функции се различават с константа, тогава техните производни са, т.е.

Правило 2Ако функции

са диференцируеми в някаква точка, тогава техният продукт също е диференцируем в същата точка

и

тези. производната на произведението на две функции е равна на сбора от произведенията на всяка от тези функции и производната на другата.

Последствие 1. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната:

Последствие 2. Производната на произведението на няколко диференцируеми функции е равна на сбора от произведенията на производната на всеки от факторите и всички останали.

Например за три множителя:

Правило 3Ако функции

диференцируеми в даден момент и , тогава в този момент техният коефициент също е диференцируем.u/v и

тези. производната на частно от две функции е равна на дроб, чийто числител е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменателя, а знаменателят е квадратът на предишния числител .

Къде да гледам на други страници

Когато се намира производната на произведението и частното в реални задачи, винаги се изисква да се прилагат няколко правила за диференциране наведнъж, следователно още примериза тези производни - в статията"Производната на продукт и коефициент".

Коментирайте.Не трябва да бъркате константа (тоест число) като член в сбора и като постоянен фактор! В случай на член неговата производна е равна на нула, а при постоянен фактор се изважда от знака на производните. Това типична грешка, което се случва в началния етап от изучаването на производните, но тъй като решението на няколко едно-двукомпонентни примера вече е направено, обикновеният ученик вече не допуска тази грешка.

И ако, когато разграничавате продукт или коефициент, имате термин u"v, в който u- число, например, 2 или 5, тоест константа, тогава производната на това число ще бъде равна на нула и следователно целият член ще бъде равен на нула (такъв случай се анализира в пример 10) .

Друга често срещана грешка е механичното решение на производната на сложна функция като производна на проста функция. Така производна на сложна функцияпосветена на отделна статия. Но първо ще се научим да намираме производни на прости функции.

По пътя не можете да правите без трансформации на изрази. За да направите това, може да се наложи да отворите в нови ръководства за Windows Действия със сили и корении Действия с дроби .

Ако търсите решения за производни с мощности и корени, тоест кога изглежда функцията , след това следва урока "Производна на сбора от дроби със степени и корени".

Ако имате задача като , тогава сте в урока "Производни на прости тригонометрични функции".

Стъпка по стъпка примери - как да намерите производната

Пример 3Намерете производната на функция

Решение. Определяме частите от израза на функцията: целият израз представлява произведението, а неговите фактори са суми, във втория от които един от термините съдържа постоянен фактор. Прилагаме правилото за диференциране на продукта: производната на произведението на две функции е равна на сумата от произведенията на всяка от тези функции и производната на другата:

След това прилагаме правилото за диференциране на сумата: производната на алгебричния сбор от функции е равна на алгебричната сума на производните на тези функции. В нашия случай, във всеки сбор, вторият член със знак минус. Във всяка сума виждаме както независима променлива, чиято производна е равна на единица, така и константа (число), чиято производна е равна на нула. И така, "x" се превръща в единица, а минус 5 - в нула. Във втория израз "x" се умножава по 2, така че умножаваме две по същата единица като производната на "x". Получаваме следните стойности на производните:

Заместваме намерените производни в сбора от произведения и получаваме производната на цялата функция, изисквана от условието на задачата:

И можете да проверите решението на проблема на производната на .

Пример 4Намерете производната на функция

Решение. От нас се изисква да намерим производната на частното. Прилагаме формулата за диференциране на частно: производната на частно от две функции е равна на дроб, чийто числител е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменателя, и знаменателят е квадратът на предишния числител. Получаваме:

Вече намерихме производната на факторите в числителя в пример 2. Нека също така да не забравяме, че произведението, което е вторият фактор в числителя, е взето със знак минус в настоящия пример:

Ако търсите решения на такива проблеми, в които трябва да намерите производната на функция, където има непрекъсната купчина корени и степени, като напр. тогава добре дошли в клас "Производна на сбора от дроби със степени и корени" .

Ако трябва да научите повече за производните на синуси, косинуси, тангенси и други тригонометрични функции, тоест когато функцията изглежда така , тогава имате урок "Производни на прости тригонометрични функции" .

Пример 5Намерете производната на функция

Решение. В тази функция виждаме продукт, един от факторите на който е корен квадратен от независимата променлива, с чиято производна се запознахме в таблицата на производните. Съгласно правилото за диференциране на продукта и табличната стойност на производната на квадратния корен, получаваме:

Можете да проверите решението на проблема с производната на дериватив калкулатор онлайн .

Пример 6Намерете производната на функция

Решение. В тази функция виждаме частното, чийто дивидент е корен квадратен от независимата променлива. Съгласно правилото за диференциране на частното, което повторихме и приложихме в пример 4, и табличната стойност на производната на квадратния корен, получаваме:

За да се отървете от дроба в числителя, умножете числителя и знаменателя по .