Решение на рационални изрази. Основна информация за рационалните изрази и техните трансформации. Определяне и примери за рационални фракции

Трансформация на рационални изрази

В този урок ще работим с рационални изрази. На сПЕЦИФИЧНИ ПРИМЕРИ Помислете за методи за решаване на проблеми за превръщане на рационални изрази и доказателствени идентичности.

Рационален израз - алгебрично изразяване, съставено от номера, азбучни променливи, аритметични операции, строителство естествена степени последователността на тези действия (скоби). Заедно с фразата "рационален израз" в алгебра, понякога се използват термините "цяло число" или "фракционни".

Например изрази

са и рационални и цели числа.

Изрази

са рационални и частични, защото В знаменателя има израз с променлива.

Няма нужда да забравяте, че фракцията губи смисъла си, ако знаменателят се обръща към нула.

Основната цел на урока ще бъде придобиването на опит в решаването на проблеми за опростяване на рационалните изрази.

Опростяването на рационалните изрази е използването на идентични трансформации, за да се опрости вход за изразяване (направете по-кратък и по-удобен за по-нататъшна работа).

За да конвертирате рационални изрази, ще се нуждаем от правилата за добавяне (изваждане), умножение, разделяне и изграждане в степента на алгебрични фракции, всички тези действия се извършват в съответствие със същите правила като действията с обикновените фракции:

Както и формули на съкратено умножение:

Когато решават примери за превръщането на рационални изрази, трябва да се следва следната процедура: Първо, действията се извършват в скоби, след това на продукта / разделянето (или ерекцията) и след това добавяне / изваждане.

Така че, помислете пример 1:

необходимо е да се опрости израз

Първо извършете действия в скоби.

Ние даваме алгебрични фракции на общия знаменател и ние извършваме добавка (изваждане) на фракции със същите знаменатели съгласно записаните по-горе правила.

Използвайки формулата с намален израз (а именно, квадрата на разликата), полученият израз има форма:

Второ, според правилата за умножаване на алгебрични фракции, цифри и отделно знаменитости са алтернативни:

И след това намаляване на произтичащия израз:

В резултат на извършената трансформация получаваме прост израз

Помислете за по-сложен пример за 2 конвертиране на рационални изрази: необходимо е да се докаже идентичност:

За да се докаже, че идентичността е да се установи, че с всички допустими стойности на променливите променливи, левите и десните части са равни.

Доказателство:

За да докажете тази идентичност, е необходимо да конвертирате експресия от лявата страна. За да направите това, следвайте процедурата, изложена по-горе: първо от всички действия се извършват в скоби, след това умножение и след това добавяне.

Така, Действие 1:

извършете експресиите за добавяне / изваждане в скобата.

За това разлагаме факторите на експресията в знаменателите на фракциите и дават тези фракции на общия знаменател.

Така, в знаменател на първата фракция, ние издържаме на скобата 3, в знаменател втори - издържаме на минус знака и излагаме формулата на съкратеното умножение от два фактора, а в знаменателя третата фракция издържаме на третата фракция. X скоба.

Общият знаменател на тези три фракции ще бъде израз

Действие 2:

изпълнява умножението на fraci

За да направите това, първо се разлагат на факторите на числителя на първата фракция и изграждане на тази фракция до степен 2.

И когато се умножават фракциите, изпълнете подходящото намаляване.

Действие 3:

Ние обобщаваме първата част от първоначалния израз и получената фракция

За да направите това, първо разграждайте числителя и знаменателя на първата фракция и ще намалите:

Сега тя остава само за сгъване на получените алгебрични фракции с различни знаменатели:

Така, в резултат на 3 действия и опростена лявата част на самоличността, получихме израз отдясно от това и следователно доказахме тази идентичност. Ние обаче припомняме, че самоличността е валидна само за допустимите стойности на променливата x. Тези в този пример са всякакви стойности на X, с изключение на тези, които плащат знамето на фракциите до нула. Така че всички стойности на x са допустими, с изключение на тези поне един от равни:

Невалидни ще бъдат стойности:

Така че, по конкретни примери, разглеждаме решаването на проблемите върху трансформацията на рационални изрази и доказателство за свързаните с тях идентичности.

Списък на препратките:

1. Мордович А.Г. "Алгебра" 8. При 2 часа. 1 Урок за генерал образователни институции/ A.g. Мордович. - 9-ти Ед., Перераб. - m.: Mnemozina, 2007. - 215в.: IL.
2. Мордович А.Г. "Алгебра" 8. В 2 часа. За цел общи образователни институции / A.g. Мордович, т.нар. Mishoustina, напр. Tulchinskaya .. - 8-ми., - m.: Mnemozina, 2006 - 239c.
3. Алгебра. 8 клас. Тестови документи За ученици от образователни институции L.A. Александрова Ед. А.Г. Мордович 2-рид., Чид. - m.: Mnemozina 2009. - 40в.
4. Алгебра. 8 клас. Независима работа За ученици от образователни институции: към учебника A.g. Мордович, Л.А. Александрова Ед. А.Г. Мордович. 9-ти., Чид. - m.: Mnemozina 2013. - 112в.

Аритметичното действие, което се извършва от последното при изчисляването на стойностите на израза, е "главната".

Това е, ако замените всички (всички) номера вместо букви и ще се опитате да изчислите стойността на израза, ако последното действие е умножение - това означава, че имаме работа (изразяването се разлага на множителите).

Ако последното действие е добавяне или изваждане, това означава, че изразът не се разлага върху факторите (и следователно не може да бъде намален).

За консолидация ще решам себе си няколко примера:

Примери:

Решения:

1. Надявам се, че не сте се втурнали веднага да намалите и? Няма достатъчно "нарязани" такива такива:

Първото действие следва да бъде разлагане на мултипликатори:

4. Добавяне и изваждане на фракции. Привеждане на фракции към общ знаменател.

Добавяне и изваждане на обикновени фракции - операцията е добре позната: Търсим общ знаменател, ние сме доминираща всяка фракция на липсващия мултипликатор и сгъване / приспадане на цифрите.

Нека си спомним:

Отговори:

1. Знаменателите са взаимно прости, т.е. те нямат общи множители. Следователно НОК на тези цифри е равен на тяхната работа. Това ще бъде общ знаменател:

2. Тук общият знаменател е:

3. Ето първото нещо, което трябва да направите смесени фракции да се превърнат в неправилни, а след това - по обичайната схема:

Това е съвсем друго нещо, ако фракциите съдържат букви, например:

Да започнем с прост:

а) знаменателите не съдържат букви

Тук е все едно като при конвенционалните цифрови фракции: откриваме общ знаменател, ние сме доминиращи всяка фракция на липсващия мултипликатор и сгъване / приспадане на цифрите:

сега в числителя можете да дадете подобни, ако има такива, и да се изложи на множители:

Опитайте сами:

Отговори:

б) знаменателите съдържат букви

Нека помним принципа за намиране на общ знаменател без писма:

· Преди всичко определяме общи фактори;

След това изписваме всички общи фактори веднъж;

· И те доминират за всички други мултипликатори, а не общи.

За да определите общите мултипликатори на знаменателите, първо ги оставете за прости фактори:

Подчертаваме общи фактори:

Сега ще запишем общите фактори за едно време и ще добавим всички опции (без подчертани) множители към тях:

Това е общ знаменател.

Нека се върнем към буквите. Dannels се дават по една и съща схема:

· Решете знаменателите за мултипликатори;

· Определете общите (идентични) множители;

· Пишаме всички общи фактори веднъж;

· Ние сме доминиращи за всички други мултиплици, а не обичайно.

Така че, за:

1) Разгънете знаменателите за мултипликатори:

2) определят общите (идентични) множители:

3) Изписваме всички общи фактори веднъж и доминиращите им на всички останали (неверни) множители:

Така че общият знаменател е тук. Първата фракция трябва да се умножи, втората - на:

Между другото, има един трик:

Например: .

Виждаме едни и същи множители в знаменателя, само с различни индикатори. В общия знаменател ще отиде:

в степен

в степен

в степен

до степен.

Условят задачата:

Как да направим същия знаменател?

Нека си спомним основното свойство на Fraci:

Никъде не се казва, че фракцията може да бъде извадена от цифровия и знаменател) (или добавяне) на същия номер. Защото е неправилно!

Почистете себе си: вземете някаква фракция, например и добавете към числителя и знаменател някакъв брой, например,. Какво каза?

Така че, следващото непоколебимо правило:

Когато донесете фракция към общ знаменател, използвайте само операция за умножение!

Но какво трябва да се размножавате, за да получите?

Тук е включен и Доминат. И Домакия на:

Изрази, които не могат да бъдат разградени върху умножаването, ще бъдат наречени "елементарни мултипликатори".

Например, това е елементарен множител. - също. Но - не: тя се разлага върху множители.

Какво казвате за изразяването? Той е елементарен?

Не, защото тя може да бъде разложена на мултипликатори:

(При разграждането на множителите, които вече сте прочели в темата "").

Така че, елементарните мултипликатори, към които намалявате изразяването с букви, е аналог на прости мултипликатори, към които разпространявате номера. И ще действаме с тях по същия начин.

Виждаме, че в двата знаменатели има мултипликатор. Той ще отиде на общ знаменател до степен (не забравяйте защо?).

Мултипликатът е елементарен и те нямат общ, което означава, че първата фракция, която ще трябва просто да рисува:

Друг пример:

Решение:

Изтича, отколкото в паника Умножете тези знаменатели, трябва да помислите как да ги разграждате за множители? И двамата представляват:

Отличен! Тогава:

Друг пример:

Решение:

Както обикновено, разграждайте знаменателите за мултипликатори. В първия знаменател просто издържаме зад скобите; Във втората - разликата в квадратите:

Изглежда, че няма общи фактори. Но ако погледнете, тогава те са сходни ... и истината:

Така пишете:

Това означава, че се оказа така: вътре в скобата сменихме местата на места и в същото време знакът се променя преди обратното. Обърнете внимание, така че ще трябва да се прави често.

Сега даваме общ знаменател:

Помогне? Сега проверете.

Задачи за саморешения:

Отговори:

Тук е необходимо да запомните още една - разликата в кубчетата:

Обърнете внимание, че в знаменателя втората фракция не е формулата "квадратна сума"! Квадрата сума ще изглежда така:.

И - това е така нареченият непълен квадрат на сумата: вторият термин в него е работата на първия и последен и не удвои работата им. Непълният площад на сумата е един от мултипликатите в разлагането на разликата в кубчетата:

Какво да правите, ако фракциите вече са три части?

И същото! Преди всичко ще го направим максимален размер Мултипликаторите в знаменателите са еднакви:

Обърнете внимание: Ако промените знаците в една скоба, знакът, преди фракцията да се променя в обратното. Когато променяме знаците във втората скоба, знакът, преди фракцията да се промени отново към обратното. В резултат на това той (знакът преди фракцията) не се е променил.

В цялостния знаменател първият знаменател се изхвърля и след това добавя всички фактори, които не са написани от втората, а след това от третата (и така нататък, ако фланене са повече). Това означава, че се оказва така:

Хм ... с фракции, ясно е какво да правим. Но как да бъдем с двойки?

Всичко е просто: знаете как да поставите фракция? Така че трябва да направите това, че два пъти да се превърне в фракция! Спомняме си: Фракцията е операция за разделяне (числителят споделя знаменателя, ако изведнъж сте забравили). И няма нищо по-лесно от разделянето на номера. В същото време, номерът няма да се промени, но ще се превърне в част:

Какво точно е необходимо!

5. Умножение и разделяне на фракциите.

Е, най-трудното сега. И имаме най-простото, но най-важното е:

Процедура

Каква е процедурата за преброяване на цифров израз? Запомнете, като се има предвид значението на такъв израз:

Изчислени?

Трябва да се случи.

Така че, напомням.

Първото нещо е изчислена степен.

Вторият е умножение и разделение. Ако множеството и разделенията са едновременно няколко, можете да ги направите в произволен ред.

И накрая, изпълняваме допълване и изваждане. Отново, в произволен ред.

Но: изразът в скоби се изчислява от търна!

Ако няколко скоби се умножат или споделят един върху друг, първо изчисляваме израза във всяка от скобите, и след това ги умножаваме или ги доставихме.

И ако все още има някои скоби в скобите? Е, нека да мислим: някакъв израз е написан в скобите. И когато изчислява изражението, преди всичко трябва да направите какво? Това е правилно, изчислявате скобите. Е, така разбра: Първо изчисляваме вътрешните скоби, после всичко останало.

Така че процедурата за изразяване е по-висока от тази (текущите стойности се разпределят в червено, т.е. действието, което изпълнявам в момента):

Е, това е просто.

Но това не е същото като израза с букви?

Не, същото! Само вместо аритметични действия трябва да се правят алгебрични, т.е. действията, описани в предишния раздел: привеждане на подобни, Регулиране на фракциите, рязане на фракции и т.н. Единствената разлика ще бъде действието на разграждането на полиноми върху мултипликатори (често го прилагаме при работа с фракции). Най-често, за разлагане на мултипликатори, трябва да се прилага или просто да извадя общ фактор за скоби.

Обикновено нашата цел е да изпратим израз под формата на работа или частно.

Например:

Ние опростяваме израз.

1) Първо опростим изразяването на скоби. Там имаме различна фракция и целта ни е да го представим като работа или частно. Така че, даваме фракция за общ знаменател и фолд:

Още този израз е лесен за опростяване, всички фактори тук са елементарни (все още си спомняте какво означава това?).

2) Получаваме:

Умножаване на фракции: Какво може да бъде по-лесно.

3) Сега можете да намалите:

Това е. Нищо трудно, нали?

Друг пример:

Опростяване на изразяването.

Първо се опитайте да се решим и само след това да видите решението.

Решение:

Първо определяме процедурата за действие.

Първо, ние ще извършим добавянето на фракции в скоби, тя се оказва вместо две фракции.

Тогава ще извършим разделителни фракции. Е, резултатът ще се сложи с последната фракция.

Схематично брой действия:

Сега ще покажа процеса на новините, подслушване на текущото действие в червено:

1. Ако има сходни, те трябва да бъдат донесени веднага. В каквото и да е време, имаме подобни подобни, препоръчително да ги донесете веднага.

2. Същото се отнася и за намаляването на фракциите: веднага след като способността да се намали, тя трябва да се използва. Изключението е фракциите, които сте сгънали или приспад: ако сега имат същите знаменатели, тогава съкращението трябва да остане за по-късно.

Ето задачите ви за саморешения:

И обещано в самото начало:

Отговори:

Решения (кратки):

Ако сте се справили поне с първите три примера, тогава сте помислили, усвоявали.

Сега напред към ученето!

Трансформация на изрази. Резюме и основни формули

Основни операции по опростяване:

• Привеждане на подобни: Да се \u200b\u200bсгъстят (олово) подобни компоненти, е необходимо да се сгънат техните коефициенти и да придаде писмото.
• Факторизиране:приемане на общ фактор за скоби, приложение и др.
• Намаляване на фракциите: Числовът и знаменател на фракцията могат да бъдат умножени или разделени на един и същ ненулев номер, от който фракцията не се променя.
  1) числител и знаменател разлагане на мултипликатори
  2) Ако има общи множители в числа и знаменател, те могат да бъдат изтрити.

  Важно: Само мултипликатори могат да бъдат намалени!

• Добавяне и изваждане на фракции:
  ;
• Умножаване и разделение на фракциите:
  ;

Всяко фракционно изразяване (стр. 48) може да бъде написано във формата, където P и Q са рационални изрази, като q задължително съдържа променливи. Такава фракция се нарича рационална фракция.

Примери за рационални фракции:

Основното свойство на фракцията се изразява от панаира за самоличност при условия тук - цялостен рационален израз. Това означава, че числителят и знаменателят на рационалната фракция могат да бъдат умножени или разделени на един и същ ненулев номер, единичен или полином.

Например, имотът на фракцията може да се използва за промяна на знаците в членовете на фракцията. Ако числителят и знаменателят на фракцията - умножават по -1, ние ще получим стойността на фракцията, ако едновременно смяната на знаците в числителя и знаменателя. Ако можете да промените знака само в числителя или само от знаменателя, тогава фракцията ще промени знака си:

Например,

60. Намаляване на рационалните фракции.

Намалете фракцията - това означава разделяне на числителя и знаменателя на фракцията на общ фактор. Възможността за такова намаление се дължи на основното свойство на фракцията.

За да се намали рационалната фракция, имате нужда от числител и знаменател, за да се разложи на множителите. Ако се окаже, че числителят и знаменателят имат общи множители, тогава фракцията може да бъде намалена. Ако няма общи фактори, трансформацията на фракцията чрез намаляването е невъзможна.

Пример. Намаляване на фракцията

Решение. . \\ T

Намаляването на фракцията се прави при условие.

61. Обхващащи рационални фракции до общ знаменател.

Един общ знаменател на няколко рационални фракции е цялостен рационален израз, който е разделен на знаменателя на всяка фракция (виж параграф 54).

Например, общият знаменател на фракциите и служи на полином, тъй като е разделен и полином и полином и полином и др. Обикновено приемат такъв общ знаменател, че всеки друг общ знаменател е разделен на светския. Такъв най-прост знаменател понякога се нарича най-малкия общ знаменател.

В примера по-горе, общият знаменател е равен на

Принасянето на тези фракции към общия знаменател се постига чрез умножаване на числителя и знаменателя на първата фракция върху 2. Числителят и знаменател на втората фракция върху полиноми се наричат \u200b\u200bдопълнителни фактори, съответно, за първата и втората фракция. Допълнителен фактор за тази фракция е равен на частния от разделянето на общ знаменател на знаменателя на тази фракция.

Към няколко рационални фракции водят до общ знаменател, необходим:

1) разлагат знаменателя на всяка фракция върху мултипликатори;

2) съставя общ знаменател, включително всички фактори, получени в параграф 1) от разширения в нея; Ако някой мултипликатор е в няколко разлагания, след това се приема с индикатор за степента, равна на най-голямата от наличната;

3) допълнителни недостатъци за всяка от фракциите (за това, общият знаменател е разделен на denomoter);

4) Доминовин цифроратор и знаменател на всяка фракция при допълнителен фактор, донесете фракция до общ знаменател.

Пример. Води до общ денотация

Решение. Разпространете знаменателите за мултипликатори:

Следните фактори трябва да бъдат включени в общия знаменател: и най-малките общи числа 12, 18, 24, т.е. Това означава, че общият знаменател има формата

Допълнителни множители: За първата фракция за втората за третата, това означава, че получаваме:

62. Добавяне и изваждане на рационални фракции.

Сумата от две (и като цяло, на всеки краен номер) на рационалните фракции със същите знаменатели е идентично равен на фракцията със същия знаменател и с числител, равен на количеството на детайлите на нашите франкове: \\ t

Ситуацията е сходна в случай на изваждане на фракции със същите знаменатели:

Пример 1. Опростете изразяването

Решение.

За да добавите или извадете рационални фракции с различни знаменатели, първо трябва да донесете фракцията към споделения знаменател и след това да извършвате операции на фракциите със същите знаменатели.

Пример 2. Опростете изразяването

Решение. . \\ T

63. Умножаване и разделение на рационалните фракции.

Продуктът от два (и по принцип всеки краен номер) на рационалните фракции е идентичен равен на фракцията, чийто числителят е равен на продукта на числите и знаменател - продуктът на знаменателите на променливите фракции: \\ t

Частният от разделянето на двете рационални фракции е идентично равен на фракцията, чийто числителят е равен на продукта на числителя на първата фракция върху знаменателя на втората фракция и знаменателят - продуктът на устройството на. \\ T Първа фракция на втория брояч на фракция:

Формулираните правила за умножение и разделяне са разпределени и в случай на умножение или разделение на полином: достатъчно запишете това, полином под формата на фракция с знаменател 1.

Като се има предвид възможността за намаляване на рационалната фракция, получена в резултат на умножение или разделяне на рационалните фракции, те обикновено са склонни да изпълняват тези операции, за да раздадат числите и знаменателите на първоначалните фракции върху мултипликатори.

Пример 1. Извършете умножение

Решение. . \\ T

Използвайки недостига на фракции, получаваме:

Пример 2. Изпълнете разделение

Решение. . \\ T

Използване на правилото за разделяне, получаваме:

64. Ерекция на рационалната фракция в цяла степен.

Да се \u200b\u200bповиши рационалната фракция - в естествена степен, трябва да изградите отделен номер и знаменател на фракцията в тази степен; Първият израз е числител, а вторият израз е знаменател на резултатите:

Пример 1. Превръщайте в част от степен 3.

Решение решение.

Когато издигате фракцията, идентичността се използва справедливо за всички стойности на променливи, в които.

Пример 2. Конвертиране на фракционен израз

65. Трансформация на рационални изрази.

Трансформацията на всеки рационален израз се намалява до прибавянето, изваждането, умножаването и разделянето на рационалните фракции, както и конструкцията на фракцията в естествена степен. Всеки рационален израз може да бъде превърнат в фракция, число и знаменател на които - цели рационални изрази; Това като правило се състои от целите на идентични трансформации на рационални изрази.

Пример. Опростяване на изразяването

66. Най-простите трансформации на аритметични корени (радикали).

При превръщането на аритметичния цар, техните свойства се използват (виж параграф 35).

Обмислете няколко примера за прилагане на свойства. аритметични корени За най-простите трансформации на радикали. В този случай всички променливи ще бъдат разглеждани само от негативни стойности.

Пример 1. Извличане на корена от работата

Решение. Прилагане на имот от 1 °, получаваме:

Пример 2. За да направите множител от коренния знак

Решение.

Такова преобразуване се нарича множител от коренния знак. Целта на трансформацията е да се опрости експресията за хранене.

Пример 3. Опростете.

Решение. За 3 ° собственост обикновено се опитваме да опростим фановия израз, за \u200b\u200bкойто има мултипликатори за знака на Кория. . \\ T

Пример 4. Опростете

Решение. Ние трансформираме израз, като направим фактор под коренния знак: по собственост 4 ° имаме

Пример 5. Опростете

Решение. По собственост от 5 °, имаме правилния корен и индикатор за степента на хранене, за да се разделят на едно и също нещо естествено число. Ако в примера примерът се разделя на посочените индикатори с 3, тогава получаваме.

Пример 6. Опростете изразите:

Решение, а) по собственост 1 ° сме получаваме, за да умножим корените в същата степен, достатъчно е да се умножат изразите на хранене и от резултата, получен в основата на същата степен. Това означава

б) Преди всичко трябва да донесем радикалите на един индикатор. Според 5 ° собственост, можем да покажем коренната скорост на степента на хранене, за да се размножават при същото естествено число. Ето защо, ние сега имаме в резултат на това време, разделяйки основните показатели и степента на хранене на експресия с 3, получаваме.

Рационалните изрази и фракциите са крайъгълният камък на целия ход на алгебрата. Тези, които се научават да работят с такива изрази, ги опростят и излагат на множителите, всъщност те могат да разрешат всяка задача, тъй като трансформацията на изрази е неразделна част от всяко сериозно уравнение, неравенство и дори текстова задача.

В това видео ще видим как да прилагаме формулите на съкратеното умножение за опростяване на рационалните изрази и фракции. Учете да видите тези формули, където на пръв поглед няма нищо. В същото време повтаряме такова просто приемане, тъй като разлагането на квадрата тройно до мултипликатори чрез дискриминацията.

Както вероятно сте предположили формулите за гърба ми, днес ще изучаваме формулите на съкратеното умножение и, по-точно, не самите формули, а използването им за опростяване и намаляване на сложните рационални изрази. Но преди да превключите към решаването на примери, нека се доближим до тези формули или да ги помним:

1. $ ((а) ^ (2)) - (((б) ^ (2)) \u003d оставено (A-B дясно), ляво (A + B) $ - разликата в квадратите;
2. $ ((ляво)) ^ (2)) \u003d (((а) ^ (2)) + 2AB + ((b) ^ (2)) $ - квадратни количества;
3. $ ((ляво (A-B)) ^ (2)) \u003d ((а) ^ (2)) - 2AB + ((b) ^ (2)) $ - квадратът на разликата;
4. $ ((а) ^ (3)) + (((b) ^ (3)) \u003d оставено (A + B), ляво (((а) ^ (2)) - AB + ((b) ^ (2)) дясно) $ - количеството на кубчета;
5. $ ((а) ^ (3)) - ((б) ^ (3)) \u003d ляво (AB), ляво (((а) ^ (2)) + AB + ((b) ^ ( 2)) Вдясно) $ - разликата в кубчетата.

Също така бих искал да отбележа, че нашата училищна система Образованието е подредено по такъв начин, че е с изучаването на тази тема, т.е. Рационалните изрази, както и корените, модулите на всички ученици възникват един и същ проблем, който ще обясня сега.

Факт е, че в самото начало на изучаването на съкратеното умножение и съответно действия за намаляване на фракциите (това е някъде клас 8) учителите казват нещо, както следва: "Ако нещо е неясно, тогава не се притеснявате, ние не се притеснявате, ние сме Тази тема все още ще се върне многократно, в гимназиите толкова точно. Ще го анализираме. " Е, тогава в началото на 9-10 клас, същите учители обясняват същите ученици, които не знаят как да решават рационални фракции, за следното: "Къде сте били предишните две години? Учи се на алгебра в 8 клас! Какво може да бъде неразбираемо тук? Толкова е очевидно! "

Въпреки това, обичайните ученици от такива обяснения не са по-лесни: те, като овесена каша в главата, остават, така че в момента ще анализираме две прост пример, въз основа на които и да видим как в тези задачи разпределят тези изрази, които ще ни доведат до формулите на съкратеното умножение и как да го приложим, за да конвертирате сложни рационални изрази.

Намаляване на прости рационални фракции

Номер 1.

[Frac (4x + 3 (((y) ^ (2))) (9 (((y) ^ (4)) - 16 ((x) ^ (2))) \\ t

Първото нещо, което трябва да научим, е да разпределим точните квадрати в първоначалните изрази и по-високите степени, въз основа на които можем да прилагаме формули. Да видим:

Нека пренапишем нашия израз, като вземем предвид тези факти:

[FRAC (4x + 3 ((((Y) ^ (2))) (((ляво (3 (((y) ^ (2)))) ^ (2)) - ((()) 4x вдясно)) ^ (2))) \u003d frac (4x + 3 ((y) ^ (2))) (ляво (3 (((y) ^ (2)) - 4x вдясно) \\ t 3 ((y) ^ (2)) + 4x вдясно)) \u003d frac (1) (3 ((((y) ^ (2)) - 4x)] \\ t

Отговор: $ \\ t (1) (3 ((((y) ^ (2)) - 4x) $.

Номер 2.

Отидете на втората задача:

[FRAC (8) (((X) ^ (2)) + 5XY-6 ((Y) ^ (2)))

Тук няма какво да се опрости, защото в числатора има постоянна, но предложих тази задача, за да се научи да поставят полиноми, съдържащи две променливи на множителите. Ако вместо това е написано под полином, как бихме го разграничили?

[((x) ^ (2)) + 5x-6 \u003d ляво (x -... вдясно) отляво (x -... вдясно) \\ t

Нека решим уравнението и да намерим $ x $, че можем да поставим вместо точки:

[((x) ^ (2)) + 5x-6 \u003d 0]

[((x) _ (1)) \u003d frac (-5 + 7) (2) \u003d frac (2) (2) \u003d 1]

[((x) _ (2)) \u003d frac (-5-7) (2) \u003d frac (-12) (2) \u003d - 6]

Можем да пренапишем три части, както следва:

[((x) ^ (2)) + 5xy-6 (((y) ^ (2)) \u003d оставен (x-1 дясно), ляво (X + 6 дясно) \\ t

С квадратна тройна, научихме се да работим - за това и беше необходимо да се запише този видео урок. И какво, ако, с изключение на $ x $ и има още един $ y $ постоянен? Нека ги погледнем като още един елементи на коефициентите, т.е. Нека пренапишем нашия израз, както следва:

[(x) ^ (2)) + 5Y ccot х-6 ((y) ^ (2)) \\ t

[(x) _ (1)) \u003d frac (-5y + 7y) (2) \u003d y \\ t

[(x) _ (2)) \u003d frac (-5y-7y) (2) \u003d frac (-22y) (2) \u003d - 6y]

Напишете разграждането на нашия площад:

[ляво (x-y] вдясно) ляво (x + 6y]

Общо Ако се върнем към първоначалния израз и го пренапишете, като се вземат предвид промените, след това получаваме следното:

[FRAC (8) (ляво (x-y] вдясно) отляво (x + 6y]))

Какво ни дава този запис? Нищо, защото не го намалява, не се размножава и не е делима. Въпреки това, веднага щом тази фракция е част от По-сложен израз, такава разлагане се оказва между другото. Ето защо, веднага щом видите квадратна тройна (няма значение, тя се утежнява с допълнителни параметри или не), винаги се опитват да го разграждате на множителите.

Решения за нюанси

Запомнете основните правила за превръщане на рационалните изрази:

• Всички знаменатели и цифри трябва да бъдат положени върху мултипликатори или чрез формули на съкратено умножение или чрез дискриминацията.
• Необходимо е да се работи според този алгоритъм: когато погледнем и се опитваме да подчертаем формулата на съкратеното умножение, тогава, преди всичко, се опитваме да преведем всичко до максималната възможна степен. След това изваждаме обща степен за скобата.
• Изразяването с параметъра ще бъде намерено много често: други променливи ще се появят като коефициенти. Ние ги намираме според Формулата на квадратната декомпозиция.

Така, веднага щом видите рационални фракции, първото нещо, което трябва да се разложи и цифровата и знаменател за мултипликатори (на линейни изрази), докато използваме формулите на съкратеното умножение или дискриминация.

Нека да разгледаме няколко такива рационални изрази и да се опитаме да ги разложим на множителите.

Решаване на по-сложни примери

Номер 1.

[FRAC (4 (((x) ^ (2)) - 6xy + 9 (((y) ^ (2))) (2x-3Y) cdot frac (9 (((y) ^ (2)) - 4 ((x) ^ (2))) (8 ((x) ^ (3)) + 27 ((y) ^ (3))) \\ t

Пренаписваме и се опитваме да разложим всеки от термините:

Нека пренапишем нашия рационален израз с тези факти:

[4)) ^ (2)) - 2x cdot 3y + ((ляво (3y])) ^ (2))) (2x-3y) cdot frac \\ t (((3Y)) ^ (2)) - ((ляво (2x])) ^ (2))) (((ляво (2x вдясно)) ^ (3)) + (ляво (3y])) ^ (3))) \u003d \\ t

[\u003d) ((Ляво)) ^ (2)) - 2x cdot 3y + ((ляво (3y])) ^ (2))) (2x-3y) ccot Frac (лява (3y-2x] вдясно) (3y + 2x вдясно)) (ляво (2x + 3y вдясно) наляво ((ляво (2x вдясно)) ^ (2)) - 2x cdot 3y + ((ляво (3y])) ^ (2)) вдясно)) \u003d - 1 \\ t

Отговор: $ -1 $.

Номер 2.

[Frac (3-6x) (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 8) cdot frac (2x + 1) (((x) ^ (2)) + 4-4x) \\ t CCOT FRAC (8 - ((x) ^ (3)) (4 ((x) ^ (2)) - 1) \\ t

Нека разгледаме всички фракции.

[((x) ^ (2)) + 4-4x \u003d ((x) ^ (2)) - 4x + 2 \u003d ((x) ^ (2)) - 2 cdot 2x + ((2) ^ (2)) \u003d ((ляво (x-2])) ^ (2))

Пренаписваме целия дизайн, като вземат предвид промените:

[FRAC (3) (1-2x]) (2 оста ляво (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) дясно)) ccot frac \\ t (2x + 1) ((ляво (x-2))) ^ (2))) cdot frac (ляв (2-x дясно), ляво (((((2) ^ (2) \\ t ) + 2x + ((x) ^ (2)) вдясно) (ляво (2x-1 дясно) наляво (2x + 1 дясно)) \u003d \\ t

[\u003d) CDOT ляво (-1 вдясно)) (2 ccot лява (x-2] cdot лява (-1] дясно)) \u003d frac (3) (2) \\ t ляво (x-2] дясно))

Отговор: $ \\ t (3) (2) (x-2]) $.

Решения за нюанси

И така, това, което току-що научихме:

• Не всеки квадрат троен намалява с множителите, по-специално, това се отнася до непълен квадрат на количеството или разликата, които много често се срещат като част от кубчета от количеството или разликата.
• Константи, т.е. Конвенционалните номера, които нямат променливи с тях, могат също да действат като активни елементи в процеса на разлагане. Първо, те могат да бъдат извадени от скоби, второ, самите константи могат да бъдат представени под формата на степени.
• Много често, след разлагане на всички елементи на мултипликатори, възникват противоположни структури. Намаляването на тези фракции трябва да бъде изключително чист, защото от овърклок или отгоре, или има допълнителен мултипликатор $ -1 $ - това е следствие от това, което са противоположни.

Решаване на сложни задачи

[FRAC (27 ((а) ^ (3)) - 64 (((b) ^ (3)) (((b) ^ (2)) - 4): FRAC (9 ((а) \\ t ^ (2)) + 12AB + 16 ((b) ^ (2))) (((b) ^ (2)) + 4B + 4) \\ t

Помислете за всеки термин поотделно.

Първа фракция:

[(((3))) ^ (3)) - ((ляво (4b)) ^ (3)) \u003d ляво (3A-4B вдясно), ляво ((ляво) \\ t (3A])) ^ (2)) + 3a cdot 4b + ((ляво (4b)) ^ (2)) \\ t

[(Б) ^ (2)) - ((2) ^ (2)) \u003d лява (B-2 дясно), ляво (B + 2 вдясно) \\ t

Целият числител на втората фракция можем да пренапишем, както следва:

[((ляво))) ^ (2)) + 3a cdot 4b + ((ляво (4b])) ^ (2)) \\ t

Сега нека погледнем знаменателя:

[((б) ^ (2)) + 4B + 4 \u003d (((b) ^ (2)) + 2 cdot 2b + ((2) ^ (2)) \u003d ((ляво (B +) 2 вдясно) ^ (2)) \\ t

Нека пренапишем всички рационално изразяване, като вземем предвид горните факти:

[Frac (ляво), ляво (((ляво)) ^ (2)) + 3a cdot 4b + ((ляво (4b)) ^ (2)) \\ t ) (ляво) (b-2] дясно) ляво (b + 2 вдясно)) cdot frac (((ляво))) ^ (2)) ((())) ((()) 3A вдясно)) ^ (2)) + 3A cdot 4b + ((ляво (4b])) ^ (2))) \u003d \\ t

[\u003d Отляво (ляво) (3A-4B), ляво (b + 2 вдясно)) (ляво (b-2] дясно))

Отговор: $ RAC (лява (3A-4B вдясно) отляво (B + 2 вдясно)) (ляво (B-2 вдясно)) $.

Решения за нюанси

Както отново сме убедени, непълни квадрати на сумата или непълните квадрати на разликата, които често се срещат в реални рационални изрази, но не се страхуват от тях, защото след превръщането на всеки елемент, те почти винаги са намалени. В допълнение, в никакъв случай не трябва да се страхуват от големи проекти в общия отговор - е напълно възможно това да не е вашата грешка (особено ако всичко е поставено за множителите), и този автор е замислен такъв отговор.

В заключение бих искал да разглобям друг комплекскоито вече не принадлежат директно към рационални фракции, но съдържа всичко, което ви очаква на този контрол и изпити, а именно: разлагане на множители, привеждане на общ знаменател, намалявайки тези термини. Точно това ще отидем сега.

Решаване на трудна задача за опростяване и преобразуване на рационални изрази

[вляво (frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) \\ t ) -8) - FRAC (1) (x-2) вдясно) ccot лява (FRAC (((x) ^ (2)) (((x) ^ (2)) - 4) - Frac (2) (2-x) дясно)]

Първо, помислете и разкрийте първата скоба: виждаме три отделни фракции с различни знаменатели, така че първото нещо, което трябва да направим, е да донесем трите фракции на общ знаменател и за това, всеки от тях трябва да бъде разложен на множители:

[((x) ^ (2)) + 2x + 4 \u003d ((x) ^ (2)) + 2 cdot х + (((2) ^ (2)) \\ t

[((x) ^ (2)) - 8 \u003d ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (2)) \u003d ляво (X-2 надясно), ляво ((x) \\ t ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) вдясно) \\ t

Пренаписвам целия си дизайн, както следва:

[FRAC (x) ((((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) + \\ t (((x) ^ (2)) + 8) (ляво) (x -2 дясно) наляво (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) дясно)) - \\ t (1) (x-2) \u003d \\ t

[\u003d) FRAC (x] ляво (x-2) + ((x) ^ (3)) + 8- \\ t наляво (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ ( 2)) отдясно) (ляво (x-2] вдясно) наляво (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) вдясно)) \u003d \\ t

[\u003d Frac (((x) ^ (2)) - 2x + (((x) ^ (2)) + 8 - (x) ^ (2)) - 2x-4) (ляво (x -2 дясно) наляво ((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) дясно)) \u003d frac (((x) ^ (2)) - 4x-4 ) (ляво (x-2 дясно) наляво (((x) ^ (2)) + 2x + (((2) ^ (2)) дясно)) \u003d \\ t

[\u003d ((())) ^ (2))) (ляво (x-2) ляво (((x) ^ (2)) + 2x + ( (2) ^ (2)) дясно)) \u003d FRAC (x-2) ((x) ^ (2)) + 2x + 4)] \\ t

Това е резултат от изчисления от първата скоба.

Ние разбираме с втората скоба:

[((x) ^ (2)) - 4 \u003d (x) ^ (2)) - ((2) ^ (2)) \u003d оставен (x-2]) \\ t наляво (x + 2 \\ t Право)

Пренаписваме втората скоба с промените:

[((((X) ^ (2))) (ляво (x-2] дясно) наляво (x + 2] дясно) + frac (2) (x-2) \u003d frac () \\ t ((x) ^ (2)) + 2, ляво (x + 2 вдясно)) (ляво (x-2] дясно) наляво (x + 2] дясно) \u003d frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (ляво (x-2 дясно) ляво (x + 2] дясно))

Сега напишете целия дизайн на източника:

[FRAC (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) cdot frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (ляво (x-2) Вдясно) наляво (x + 2])) \u003d frac (1) (x + 2) \\ t

Отговор: $ RAC (1) (x + 2) $.

Решения за нюанси

Както виждате, отговорът се оказа доста нормален. Въпреки това, бележка: много често, с такива мащабни изчисления, когато единствената променлива е само в знаменателя, учениците забравят, че това е знаменателят и трябва да е стоял на фракцията по време на време и да напише този израз в цифра - това е груба грешка.

Освен това бих искал да насоча вниманието ви към това как се правят тези задачи. Във всички сложни изчисления всички стъпки се извършват на действия: първо, ние го считаме за отделно, след това се комбинираме отделно и само в края съчетаваме всички части и разглеждаме резултата. Така ние се застраховаме от глупави грешки, внимателно записвам всички изчисления и в същото време не прекарват допълнително време, тъй като на пръв поглед.

Готова работа

Теза работа

Много вече зад и сега сте завършил, ако, разбира се, ще напишете дипломирането навреме. Но животът е такова нещо, което едва сега става ясно, че като престана да бъде студент, ще загубите всички радости на учениците, много от които, никога не сте опитвали, всички да излязат и отлагат за по-късно. И сега, вместо да изсмуквате пропуснати, убивате ли над дипломната работа? Има чудесен изход: Изтеглете висшената работа, от която се нуждаете от нашия сайт - и имате много свободно време!
Тес са успешно защитени във водещи университети в Република Казахстан.
Цена на работа от 20 000 тергена

Купери

Курстът е първата сериозна практическа работа. Това е от курса на писане, започва подготовка за развитие дипломни проекти. Ако студентът се научи да посочва правилно съдържанието на темата в курса и компетентно я изтече, след това в последствие той няма да има никакви проблеми с писмените доклади или да компилира тезанито с изпълнението на други практически задачи. За да помогнат на студентите да пишат този тип студент и да обяснят проблемите, възникнали в хода на своята компилация, всъщност е създаден този информационен раздел.
Цената на работата от 2500 тергена

Дисертации на магистър

Понастоящем във висше образователни институции Казахстан и страните от ЦИС са много често срещани като най-високата сцена професионално образованиекойто следва след студента - магистрата. Свализацията е обучена, за да се получи диплома на магистърска степен, признати в повечето страни по света повече от бакалавърска степен, и също така признат от чуждестранни работодатели. Резултатът от обучението в магистрата е да се защити дисертация на магистър.
Ние ще ви предоставим текущи аналитични и текстови материали, цената включва 2 научни статии и резюмето на автора.
Цената на работата от 35 000 тергена

Практически доклади

След преминаване на всякакъв вид учебна практика (образователна, производствена, предварителна диплома), се изисква докладът. Този документ ще бъде потвърждение практическа работа Студент и основата за формиране на оценка за практиката. Обикновено, за да изготви доклад за практиката, е необходимо да се събира и анализира информация за предприятието, да помисли за структурата и рутинната организация, в която се случва практиката, изготвя план за календар и описват неговия календар практически дейности.
Ние ще помогнем да напишем доклад за приемането на практика, като се вземат предвид спецификата на конкретното предприятие.