Na této lekci zvážíme další dvě operace s vektory: vektorové vektorové ilustrace a smíšené vektory (okamžitě odkaz, kdo to potřebuje. Nic strašného, \u200b\u200btakže se někdy stává, že pro úplné štěstí, navíc skalární produkt vektoryJe také nutné. Takový je zde vektoru drogová závislost. Může hledat dojem, že vylézáme do nečistot analytické geometrie. To není pravda. V této sekci nejvyšší matematiky není obecně dostatek dříví, s výjimkou Pinocchio. Skutečnost je materiál velmi běžný a jednoduchý - sotva obtížnější než totéž skalární produktDokonce i typické úkoly budou menší. Hlavní věcí v analytické geometrii, tolik bude zabito nebo již byly přesvědčeny, nemýšlené v výpočtech. Opakujte jako kouzlo a budete šťastní \u003d)

Pokud se vektory jiskří někde daleko jako blesk na obzoru, ne problémy, začít od lekce Vektory pro konviceObnovit nebo znovu získat základní znalosti o vektorech. Více připravený čtenáři se mohou s selektivně seznámit s informacemi, snažil jsem se sbírat nejúplnější sbírku příkladů, které se často vyskytují v praktické práci.

Co jste okamžitě prosím? Když jsem byl malý, pak jsem věděl, jak žonglovat dva a dokonce i tři míče. Deftly uspěl. Teď nebudete muset vůbec žongovat, protože zvážíme pouze prostorové vektorya ploché vektory se dvěma souřadnicemi zůstanou přes palubu. Proč? Tyto akce se narodily - vektor a smíšený produkt vektorů jsou definovány a provozovány v trojrozměrném prostoru. Již jednodušší!

V této operaci stejným způsobem jako ve skalárním produktu se zúčastníte dva vektory. Nechť je to nesmyslná písmena.

Akce sám označuje následujícím způsobem :. Existují i \u200b\u200bdalší možnosti, ale použil jsem k označení vektorové kresby vektorů, stejně jako v hranatých závorkách s křížem.

A okamžitě otázka: pokud in. skalární produkt vektory Dva vektory jsou zapojeny, a zde jsou zde tyto dvě verze násobeny jaký je rozdíl? Explicitní rozdíl, především v důsledku toho:

Výsledek skalárního produktu vektorů je číslo:

Výsledek vektorových vektorových vektorů je vektor:, To znamená, že násobíme vektory a získáme vektor znovu. Uzavřený klub. Proto proto název operace. V různých vzdělávacích literatuře se označení mohou také lišit, použiji dopis.

Definice vektorové umění

Nejprve bude definice s obrázkem, pak komentáře.

Definice: Vektorová práce nonollyline. Vektory, v tomto pořadí, volal vektor, délka který je numerický rovný čtverci paralelogramupostavené na těchto vektorových datech; vektor ortogonální vektory A je zaměřen tak, že základ má správnou orientaci:

Rozebíráme definici kostí, je tu spousta zajímavých věcí!

Takže můžete vybrat následující základní momenty:

1) Zdroj vektory označené červenými šipkami podle definice ne kolinear.. Případ kolinových vektorů bude vhodné zvážit o něco později.

2) Vektory v přísně definované objednávce: – "A" se vynásobí "být", ne "být" na "a". Výsledek násobení vektorů Je to vektor, který je indikován modře. Pokud jsou vektory vynásobeny v opačném pořadí, pak se dostaneme do délky a opačného vektoru (malina barva). To znamená, že rovnost je správná .

3) Teď se seznámíme s geometrickým významem vektorového produktu. To je velmi důležitý bod! Délka modrého vektoru (a proto raspberry vektor) je numericky rovna čtverci paralelogramu vestavěného ve vektorech. Na obrázku je tento paralelogram zastíněn černě.

Poznámka Kresba je schematická a přirozeně, nominální délka vektorového produktu není rovna plochy rovnoběžnéhogramu.

Pamatujeme si jeden z geometrických vzorců: plocha paralelogramu se rovná produktu sousedních stran na rohové sinus mezi nimi. Proto na základě výše uvedeného vzorce pro výpočet délky vektorového produktu:

Zdůrazňuji, že ve vzorci mluvíme o délce vektoru, a ne o samotném vektoru. Jaký je praktický význam? A význam spočívá v tom, že v úkolech analytické geometrie se plocha paralelogramu často nachází přes koncepci vektorové umění:

Dostaneme druhý významný vzorec. Diagonála paralelogramu (červený tečkovaný) rozděluje do dvou stejných trojúhelníků. V důsledku toho je oblast trojúhelníku, postavená ve vektorech (červená šrafování), naleznete ve vzorci:

4) Neméně důležitý fakt je, že vektor je ortogonální vektory, to znamená . Samozřejmě, opačně řízený vektor (malina šipka) je také ortogonální v původních vektorech.

5) Vektor je zaměřen tak, aby základ Má to že jo Orientace. Ve třídě O. přechod na nový základ Mluvil jsem podrobně orientace letadlaA teď se budeme zabývat orientací prostoru. Vysvětlím prstům pravá ruka. Mentálně kombinovat ukazováček S VECTION I. prostředníček S vektoru. Nejmenovaný prst a malý prst Stiskněte dlaň. Jako výsledek palec - vektorové umění se podíváte nahoru. Jedná se o pravoúhlý základ (na obrázku je to on). Nyní změnit vektory ( index a střední prsty) Místa, v důsledku toho palec se odehrává a vektoru práce se již podívají dolů. To je také pravidelné základy. Možná máte otázku: Jaký základ má levá orientace? "Jméno" stejné prsty levá ruka Vektory a na levé straně a levé orientaci prostoru (V tomto případě bude palec umístěn ve směru spodního vektoru). Figurivně řečeno, tyto báze "spin" nebo orient prostor v různých směrech. A tento koncept by neměl být považován za něco, co je v rozporu nebo abstraktní - například orientace prostoru mění nejobvyklejší zrcadlo, a pokud "vytáhnete odraženého objektu z castorcal." Nebude to moci kombinovat Všeobecné. Mimochodem, přiveďte tři prsty do zrcadla a analyzujte odraz ;-)

... jak je dobré, o čem teď víte zákon a levý orientovaný Základy pro hrozné prohlášení některých přednášejících o změně orientace \u003d)

Vektorové kresby kolineárních vektorů

Definice detailně rozebírá, zůstává zjistit, co se děje, když se kolinear vektory. Pokud jsou vektory kolineární, pak mohou být umístěny na jednu přímku a náš paralelogram také "záhyby" do jednoho rovného. Oblast, jak říká matematika, degenerovat Paralelogram je nula. Ze vzorce - sinus nula nebo 180 stupňů je nulová, a proto oblast je nula

Tedy, pokud. . Přísně řečeno, velmi vektorový produkt je nulový vektor, ale v praxi je často opomíjen a napsáno, že je to prostě nula.

Soukromý případ - vektorový produkt vektor na sebe:

S pomocí vektorového produktu lze zkontrolovat kolenoearita trojrozměrných vektorů a také se podíváme na tento úkol mezi ostatními.

Vyřešit praktické příklady mohou vyžadovat trigonometrický stůlNajít to hodnoty dutin.

No, zapálit oheň:

Příklad 1.

a) Najděte délku vektorových vektorových vektorů, pokud

b) Najít čtverec paralelogramu postaveného ve verzích, pokud

Rozhodnutí: Ne, to není typo, počáteční údaje v podmínkách doložky, které jsem záměrně dělal totéž. Protože rozhodování budou jiné!

a) Pod podmínkou je třeba najít délka Vektor (vektorové umění). Podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět:

Kohl se brzy zeptal na délku, pak v odezvě označte rozměr - jednotky.

b) Pod podmínkou potřebné k nalezení plocha Paralelogram postavený ve vektorech. Oblast tohoto paralelogramu je numericky rovnající se délce vektorového produktu:

Odpovědět:

Vezměte prosím na vědomí, že v reakci na vektor produkt řeči nechodí vůbec, byli jsme požádáni Čtverec postavyV souladu s tím rozměr je čtvercové jednotky.

Vždy se podíváme na to, co je vyžadováno podmínkou, a na základě tohoto formulování průhledná Odpovědět. Může se zdát klíčování, ale mezi učiteli je dostatek kamenů a úkol s dobrými šancemi se vrátí do zdokonalení. Ačkoli to není obzvláště natažená, pokud je odpověď nesprávná, zdá se, že člověk nerozumí jednoduchým věcem a / nebo ne v podstatě úkolu. Tento okamžik by měl být vždy udržován na kontrole, který bude řešit jakýkoliv úkol ve vyšší matematice a také v jiných předmětech.

Kde byla velká bucchka "en"? V zásadě se může navíc spojit s řešením, ale aby se snížil záznam, ne. Doufám, že každý chápe, že je to označení stejné.

Populární příklad pro vlastní řešení:

Příklad 2.

Najít plochu trojúhelníku postavené v vektorech, pokud

Vzorec pro nalezení plochy trojúhelníku prostřednictvím vektorového umění je uveden v komentářech k definici. Řešení a odpověď na konci lekce.

V praxi je úkol opravdu velmi častý, trojúhelníky obecně mohou mučit.

Chcete-li řešit další úkoly, budeme potřebovat:

Vlastnosti vektorové kresby

Některé vlastnosti vektorové práce, které jsme již zvážili, však budu obsahovat v tomto seznamu.

Pro libovolné vektory a libovolná čísla jsou spravedlivé tyto vlastnosti spravedlivé:

1) V jiných zdrojích informací, tato položka obvykle není identifikována ve vlastnostech, ale v praxi je velmi důležité. Proto nechte být.

2) - Nemovitost je také demontována výše, někdy se nazývá antikomutativní. Jinými slovy, řádově záležitostech vektorů.

3) - Bezútěšné nebo asociativní Zákony vektorové práce. Konstanty jsou dočasně vyřazeny z vektoru práce. Opravdu, co tam dělají?

4) - distribuční nebo distribuce Zákony vektorové práce. S popisem závorek nejsou žádné problémy.

Jako demonstrace zvažte krátký příklad:

Příklad 3.

Najít, pokud.

Rozhodnutí: Podmínkou je nutné znovu najít délku vektorového produktu. Přinášíme náš miniaturní:

(1) Podle asociačních zákonů vydržíme konstanty pro přerozdělení vektorové práce.

(2) Vydržíme konstanta mimo modul, zatímco modul "jí" mínus "znamení. Délka nemůže být negativní.

(3) Dále je pochopitelné.

Odpovědět:

Je čas hodit dříví do ohně:

Příklad 4.

Vypočítejte oblast trojúhelníku postavená v vektorech, pokud

Rozhodnutí: Triangle Square Najděte vzorec . Snag je, že "CE" a "de" vektory samotné jsou reprezentovány jako součty vektorů. Algoritmus zde je standardní a něco podobá příkladům číslo 3 a 4 lekce Skalární produkt vektory. Řešení pro jasnost prolomit do tří fází:

1) V prvním kroku vyjadřujeme vektorový výrobek prostřednictvím vektorového umění, ve skutečnosti express vektor přes vektor. O délce není slovo!

(1) Nahradíme vyjádření vektorů.

(2) Použití distribučních zákonů, odhalit závorky podle pravidla násobení polynomů.

(3) Použití asociativních zákonů vydržíme všechny konstanty za vektoru. Pod malomálním zážitkem, 2 a 3 mohou být prováděny současně.

(4) První a poslední termín je nulový (nulový vektor) díky příjemnému majetku. Ve druhém termínu používáme vlastnost anti-commutativity vektoru vektoru:

(5) Dáváme takové složky.

V důsledku toho se vektor ukázal být vyjádřen vektorem, který měl být dosažen:

2) Ve druhém kroku najdeme délku vektorového produktu, který potřebujete. Tato akce se podobá příkladu 3:

3) Najděte oblast požadovaného trojúhelníku:

Stupně 2-3 roztoky mohou být uspořádány s jedním řádkem.

Odpovědět:

Zohledněným úkolem je dostatečně šířen ve zkouškách, zde je příkladem nezávislého rozhodnutí:

Příklad 5.

Najít, pokud.

Stručné řešení a odpověď na konci lekce. Podívejme se, jak pozorný, jste při studiu předchozích příkladů ;-)

Vektorové kresby vektorů v souřadnicích

definovaný v ortonormálním základě vzorec je exprimován:

Formule a True Sprydskaya: V horní linii determinant zapíšeme souřadnicové vektory ve druhém a třetím řádcích "dám" souřadnice vektorů a fit v přísném pořadí - Za prvé, souřadnice vektoru "ve", pak souřadnice vektoru "Dubl-We". Pokud se vektory musí násobit v jiném pořadí, pak by měly být řádky vyměněny na místech:

Příklad 10.

Zkontrolujte, zda bude kolinear následující prostor vektory:
ale)
b)

Rozhodnutí: Kontrola je založena na jednom z prohlášení této lekce: Pokud je kolineární vektory, pak jejich vektorový produkt je nulový (nulový vektor): .

a) Vítejte vektorové umění:

Tak, vektory nejsou kolineární.

b) Najít vektorové umění:

Odpovědět: a) není kolineární, b)

To je možná všechny základní informace o vektorovém produktu vektorů.

Tato sekce nebude velmi velká, protože úkoly, kde se používá smíšený produkt vektorů, trochu. Ve skutečnosti bude vše omezeno na definici, geometrický význam a pár pracovních vzorců.

Smíšená kresba vektorů je práce tří vektorů.:

Tak se postavili vlakem a čekali, nečekali, kdyby byly vypočítány.

Za prvé, opět definice a obrázek:

Definice: Smíšená práce nekomplenární Vektory, v tomto pořadí, volala objem paralelevie, postavený na datech vektoru, vybavené znakem "+", pokud je základem vpravo a znamení "-", pokud je základem doleva.

Proveďte obrázek. Neviditelné čáry jsou otlučeny tečkovanou čarou:

Ponořte se do definice:

2) Vektory v určitém pořadí, to znamená, že přeskupení vektorů v práci, jak budete odhadnout, neprochází bez následků.

3) Před komentářem geometrického významu poznamenám, že zřejmá skutečnost: smíšené vektory jsou číslo:. Ve vzdělávací literatuře může být design poněkud odlišný, použil jsem pro podepisování smíšeného produktu, a výsledek výpočtů písmene "PE".

A-Priory. smíšená práce je rovnoběžnostVestavěné v vektorech (Obrázek je vyčištěn červenými vektory a černými čarami). To znamená, že počet se rovná objemu této rovnoběžně.

Poznámka : Kresba je schematická.

4) Neoddejme se s konceptem orientace základu a prostoru. Význam konečné části je, že do objemu může být přidáno značka mínus. Jednoduchá slova, smíšený produkt může být negativní :.

Přímo z definice následuje vzorec pro výpočet objemu rovnoběžek, vestavěných vektorů.

Plocha rovnoběžně konstruované ve verzích se rovná produktu délek těchto vektorů v úhlu úhlu, který mezi nimi leží.

No, když délky těchto vektorů jsou podávány podmínkami. Stává se však také, že aplikovat vzorec paralelogramu, vestavěných vektorů pouze po výpočtech pomocí souřadnic.
Pokud máte štěstí, a za podmínek jsou dány délku vektorů, pak stačí použít vzorec, který jsme dříve demontovali v článku. Tato oblast bude rovna produktu modulů na sinusovém rohu mezi nimi:

Zvažte příklad výpočtu plochy paralelogramu vestavěného vektorů.

Úkol: Pollogram postavený ve vektorech a. Najděte oblast, pokud a úhel mezi nimi je 30 °.
Vyjádřit vektor prostřednictvím svých hodnot:

Možná máte otázku - odkud pochází nula? Stojí za to připomenout, že pracujeme s vektory a pro ně . Všimněte si také, že pokud v důsledku toho dostaneme výraz, bude převeden na. Nyní provádíme konečné výpočty:

Vraťme se k problému, když délky vektorů nejsou specifikovány v podmínkách. Pokud váš paralelogram spočívá v kartézském souřadném systému, bude nutné provést následující.

Výpočet bočních délek obrázku definovaného souřadnicemi

Chcete-li začít, najdeme souřadnice vektorů a vezmeme odpovídající souřadnice začátku od souřadnic konce. Předpokládejme souřadnice vektoru A (X1; Y1; Z1) a vektoru B (X3; Y3; Z3).
Nyní najdeme délku každého vektoru. K tomu musí být každá souřadnice zvýšena na čtverec, poté složit získané výsledky az konečného čísla extrahovat kořen. Podle našich vektorů budou následující výpočty:


Nyní bude nutné najít skalární produkt našich vektorů. Za tímto účelem se jejich příslušné souřadnice násobí a vyvíjí.

Mít délky vektorů a jejich skalárního výrobku, můžeme najít kosinus úhlu ležící mezi nimi .
Nyní můžeme najít sinus stejného úhlu:
Nyní máme všechny potřebné množství a můžeme snadno najít plochu paralelogramu postaveného ve verzích již známého vzorce.

Plocha rovnoběžníkpostaven vektoryVypočítá se jako produkt délek těchto vektorů na rohu sinus mezi nimi. Pokud jsou známy pouze souřadnice vektorů, musí být metody souřadnic použity pro výpočet metod souřadnic, včetně určení úhlu mezi vektory.

Budete potřebovat

• - vektor pojmu;
• - vlastnosti vektorů;
• - Kartézské souřadnice;
• - Trigonometrické funkce.

Návod

• V případě, že délky vektorů a úhel mezi nimi jsou známy, aby se oblast rovnoběžníkpostaven vektory, Najít produkt svých modulů (délky vektoru), na sinusu úhlu mezi nimi s \u003d │a │ │ b │ hřích (α).
• Pokud jsou vektory specifikovány v kartezijském souřadném systému, pak za účelem nalezení oblasti rovnoběžníkVytvořte na nich následující:
• Najít souřadnice vektorů, pokud nejsou okamžitě dány odpovídajícími souřadnic konců vektorů, souřadnic z počátku. Například, pokud souřadnice počátečního bodu vektoru (1; -3; 2) a konečným (2; -4; -5), pak souřadnice vektoru budou (2-1; -4 + 3; -5-2) \u003d (1; -1; -7). Nechte souřadnice vektoru A (X1; Y1; Z1), vektoru B (X2; Y2; Z2).
• Najděte délky každého z vektorů. Vezměte si každý z souřadnic vektorů na náměstí, najděte jejich součet X1² + Y1² + Z1². Z výsledného výsledku odstraňte druhý odmocninu. Pro druhý vektor provádějte stejný postup. Ukazuje se tedy │a│ a │ b.
• Najděte skalární produkt vektorů. Chcete-li to udělat, vynásobte své příslušné souřadnice a sklopte díla │a b│ \u003d X1 x2 + Y1 Y2 + Z1 Z2.
• Určete kosininu úhlu mezi nimi, pro které skalární produkt vektorů získaných v odstavci 3, rozdělí délky vektorů, které byly vypočteny v odstavci 2 (COS (α) \u003d │ab│ (│a│ │ b│) )).
• Sinus výsledného úhlu bude roven kořenovému náměstí z rozdílu čísla 1 a čtverec cosinu stejného úhlu vypočteného v odstavci 4 (1-cosqm (α)).
• Vypočítat Square. rovnoběžníkpostaven vektory Po zjištění produktu svých délek vypočtených v odstavci 2 a výsledek násobí číslo po výpočtech v P.5.
• V případě, že souřadnice vektorů jsou předurčeny v rovině, při výpočtu souřadnice Z je jednoduše vyřazena. Tento výpočet je numerickou expresí vektorového produktu dvou vektorů.