Jak zjistit poloměr vepsané kružnice? Kruh a exkurze. Vizuální průvodce s příklady (2019)

Kruh je považován za vepsaný do hranic pravidelný mnohoúhelník v případě, že leží uvnitř a dotýká se přímek, které procházejí všemi stranami. Podívejme se, jak najít střed a poloměr kružnice. Střed kružnice bude bodem, ve kterém se protínají osy rohů mnohoúhelníku. Poloměr se vypočítá: R = S / P; S je plocha mnohoúhelníku, P je půlobvod kruhu.

V trojúhelníku

V pravidelném trojúhelníku je vepsán pouze jeden kruh, jehož střed se nazývá intcenter; je ve stejné vzdálenosti ze všech stran a je průsečíkem os.

Ve čtyřúhelníku

Často je nutné rozhodnout, jak zjistit poloměr vepsané kružnice v tomto geometrickém obrazci. Musí být konvexní (pokud neexistují žádné průsečíky). Kružnici do ní lze vepsat pouze v případě, že se součty protilehlých stran rovnají: AB + CD = BC + AD.

V tomto případě se střed vepsané kružnice, středy úhlopříček, nachází na jedné přímce (podle Newtonovy věty). Úsek, jehož konce se nacházejí v místě, kde se protínají protilehlé strany pravidelného čtyřúhelníku, leží na stejné přímce, která se nazývá Gaussova čára. Střed kružnice bude bod, ve kterém se protínají výšky trojúhelníku s vrcholy, úhlopříčkami (podle Brocardovy věty).

V kosočtverci

Je považován za rovnoběžník se stejnou délkou strany. Poloměr kružnice do ní vepsané lze vypočítat několika způsoby.

1. Chcete-li to provést správně, najděte poloměr vepsaného kruhu kosočtverce, pokud znáte oblast kosočtverce, délku jeho strany. Vzorec je r = S / (2Xa). Například, pokud je plocha kosočtverce 200 čtverečních Mm, délka strany je 20 mm, pak R = 200 / (2X20), to znamená 5 mm.
2. Ostrý úhel jednoho z vrcholů je znám. Pak je nutné použít vzorec r = v (S * sin (α) / 4). Například s plochou 150 mm a známým úhlem 25 stupňů, R = v (150 * sin (25 °) / 4) ≈ v (150 * 0,423 / 4) ≈ v15,8625 ≈ 3,983 mm.
3. Všechny úhly v kosočtverci jsou stejné. V této situaci bude poloměr kružnice vepsané do kosočtverce roven polovině délky jedné strany tohoto obrazce. Pokud budeme argumentovat podle Euklida, který tvrdí, že součet úhlů kteréhokoli čtyřúhelníku je 360 ​​stupňů, pak se jeden úhel bude rovnat 90 stupňům; ty. získat čtverec.

Poloměr je úsečka, která spojuje jakýkoli bod na kružnici s jejím středem. To je jedna z nejdůležitějších charakteristik tohoto obrázku, protože z něj lze vypočítat všechny ostatní parametry. Pokud víte, jak zjistit poloměr kruhu, můžete vypočítat jeho průměr, délku a plochu. V případě, že je daný obrazec vepsán nebo popsán kolem jiného, ​​lze vyřešit řadu dalších problémů. Dnes budeme analyzovat základní vzorce a vlastnosti jejich aplikace.

Známá množství

Pokud víte, jak zjistit poloměr kružnice, který se obvykle označuje písmenem R, pak jej lze vypočítat z jedné charakteristiky. Tyto hodnoty zahrnují:

• obvod (C);
• průměr (D) - segment (nebo spíše tětiva), který prochází středovým bodem;
• plocha (S) - prostor, který je omezen tímto číslem.

Po obvodu

Pokud je v úloze známá hodnota C, pak R = C / (2 * P). Tento vzorec je odvozený. Pokud víme, jaký je obvod kruhu, pak se již nemusí učit nazpaměť. Předpokládejme, že v úloze C = 20 m. Jak v tomto případě zjistit poloměr kružnice? Stačí zapojit známou hodnotu do výše uvedeného vzorce. Všimněte si, že v takových úlohách je znalost čísla vždy implikována.Pro usnadnění výpočtů budeme brát jeho hodnotu jako 3,14. Řešení v tomto případě je následující: zapíšeme, jaké hodnoty jsou uvedeny, odvodíme vzorec a provedeme výpočty. V odpovědi píšeme, že poloměr je 20 / (2 * 3,14) = 3,19 m. Je důležité nezapomenout na to, co jsme si mysleli a uvést název měrných jednotek.

Podle průměru

Okamžitě zdůrazňujeme, že jde o nejjednodušší typ úlohy, ve které se ptáme, jak zjistit poloměr kružnice. Pokud na takový příklad narazíte na testu, pak můžete být v klidu. Nepotřebujete k tomu ani kalkulačku! Jak jsme řekli, průměr je úsečka nebo přesněji tětiva, která prochází středem. V tomto případě jsou všechny body kružnice stejně vzdálené. Proto se tento akord skládá ze dvou polovin. Každý z nich je poloměr, což vyplývá z jeho definice jako úsečka, která spojuje bod na kružnici a její střed. Pokud je průměr v problému znám, pak pro nalezení poloměru stačí tuto hodnotu vydělit dvěma. Vzorec vypadá takto: R = D / 2. Pokud je například průměr v úloze 10 m, pak je poloměr 5 metrů.

Podle oblasti kruhu

Tento typ problému je obvykle označován jako nejobtížnější. To je způsobeno především neznalostí vzorce. Pokud víte, jak v tomto případě zjistit poloměr kruhu, pak je zbytek otázkou technologie. V kalkulačce stačí předem najít ikonu výpočtu druhé odmocniny. Plocha kruhu je součinem čísla P a poloměru vynásobeného sebou samým. Vzorec vypadá takto: S = P * R 2. Izolováním poloměru na jedné straně rovnice můžete problém snadno vyřešit. Bude se rovnat druhé odmocnině z podílu dělení plochy číslem P. Pokud S = 10 m, pak R = 1,78 metru. Stejně jako v předchozích úkolech je důležité nezapomenout na použité jednotky.

Jak zjistit poloměr kružnice opsané

Předpokládejme, že a, b, c jsou strany trojúhelníku. Pokud znáte jejich hodnoty, můžete najít poloměr kruhu popsaný kolem něj. Chcete-li to provést, musíte nejprve najít polovinu obvodu trojúhelníku. Pro snazší pochopení jej označme malým písmenem p. Bude se rovnat polovině součtu stran. Jeho vzorec je: p = (a + b + c) / 2.

Vypočítáme také součin délek stran. Pro zjednodušení si jej označme písmenem S. Vzorec pro poloměr opsané kružnice bude vypadat takto: R = S / (4 * √ (p * (p - a) * (p - b) * ( p - c)).

Podívejme se na příklad úlohy. Kolem trojúhelníku máme kruh. Délky jeho stran jsou 5, 6 a 7 cm.Nejprve spočítáme půlobvod. V našem problému se bude rovnat 9 centimetrům. Nyní spočítejme součin délek stran - 210. Dosaďte do vzorce výsledky mezivýpočtů a zjistěte výsledek. Poloměr kružnice opsané je 3,57 centimetru. Odpověď zapisujeme, nezapomínáme na měrné jednotky.

Jak zjistit poloměr vepsané kružnice

Předpokládejme, že a, b, c jsou délky stran trojúhelníku. Pokud znáte jejich hodnoty, můžete najít poloměr vepsané kružnice. Nejprve musíte najít jeho poloobvod. Pro snazší pochopení jej označme malým písmenem p. Vzorec pro jeho výpočet je následující: p = (a + b + c) / 2. Tento typ úlohy je poněkud jednodušší než předchozí, takže nejsou potřeba žádné další mezivýpočty.

Poloměr kružnice vepsané se vypočítá pomocí následujícího vzorce: R = √ ((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Zvažte to konkrétní příklad... Předpokládejme, že úloha popisuje trojúhelník o stranách 5, 7 a 10 cm, do kterého je vepsána kružnice, jejíž poloměr je třeba najít. Nejprve najdeme poloobvod. V našem problému se bude rovnat 11 cm, nyní ji dosadíme do hlavního vzorce. Poloměr bude roven 1,65 centimetru. Odpověď zapisujeme a nezapomínáme správné jednotky Měření.

Obvod a jeho vlastnosti

Každý geometrický tvar má své vlastní charakteristiky. Správnost řešení problémů závisí na jejich pochopení. Kruh je má také. Často se používají při řešení příkladů s popsanými nebo vepsanými obrázky, protože dávají jasnou představu o takové situaci. Mezi nimi:

• Přímka může mít nula, jeden nebo dva průsečíky s kružnicí. V prvním případě se s ním neprotíná, ve druhém je to tečna, ve třetím - sečna.
• Pokud vezmeme tři body, které neleží na jedné přímce, lze jimi protáhnout pouze jednu kružnici.
• Přímka může být tečnou ke dvěma obrazcům najednou. V tomto případě projde bodem, který leží na úsečce spojující středy kružnic. Jeho délka se rovná součtu poloměrů těchto obrazců.
• Přes jeden nebo dva body lze nakreslit nekonečné množství kruhů.

Tento článek populárně vysvětluje, jak najít poloměr kruhu vepsaného do čtverce. Teoretický materiál vám pomůže pochopit všechny nuance související s tématem. Po přečtení tohoto textu můžete podobné problémy v budoucnu snadno řešit.

Základní teorie

Než přistoupíte přímo k nalezení poloměru kruhu vepsaného do čtverce, stojí za to seznámit se s některými základními pojmy. Možná se vám mohou zdát příliš jednoduché a zřejmé, ale jsou nezbytné k pochopení problematiky.

Čtverec je čtyřúhelník, jehož všechny strany jsou si navzájem rovné a míra stupňů všech úhlů je 90 stupňů.

Kruh je dvourozměrná uzavřená křivka umístěná v určité vzdálenosti od bodu. Segment, jehož jeden konec leží ve středu kruhu a druhý - na kterémkoli z jeho povrchů, se nazývá poloměr.

Seznámili jsme se s pojmy, zůstala jen hlavní otázka. Musíme najít poloměr kružnice vepsané do čtverce. Ale co znamená ta poslední věta? Ani zde není nic složitého. Pokud se všechny strany nějakého mnohoúhelníku dotýkají zakřivené čáry, považuje se za vepsaný do tohoto mnohoúhelníku.

Poloměr kruhu vepsaného do čtverce

S teoretický materiál hotovo. Nyní musíte přijít na to, jak to aplikovat v praxi. Použijeme k tomu obrázek.

Poloměr je zjevně kolmý k AB. To znamená, že zároveň je paralelní s naším letopočtem a před naším letopočtem. Zhruba řečeno, můžete jej "překrýt" na straně čtverce a dále určit délku. Jak vidíte, segment BK tomu bude odpovídat.

Jeden z jejích konců r leží ve středu kružnice, která je průsečíkem úhlopříček. Ty se podle jedné ze svých vlastností navzájem dělí napůl. Pomocí Pythagorovy věty můžeme dokázat, že také rozdělují stranu obrazce na dvě stejné části.

Vezmeme-li tyto argumenty, vyvodíme závěr.

Kosočtverec je rovnoběžník, ve kterém jsou všechny strany stejné. Proto zdědí všechny vlastnosti rovnoběžníku. A to:

• Úhlopříčky kosočtverce jsou vzájemně kolmé.
• Úhlopříčky kosočtverce jsou osy jeho vnitřních úhlů.

Kruh může být vepsán do čtyřúhelníku právě tehdy, když se součty protilehlých stran rovnají.
Proto může být kruh vepsán do jakéhokoli kosočtverce. Střed vepsané kružnice se shoduje se středem průsečíku úhlopříček kosočtverce.
Poloměr vepsané kružnice v kosočtverci lze vyjádřit několika způsoby

1 způsob. Poloměr vepsané kružnice v kosočtverci přes výšku

Výška kosočtverce se rovná průměru vepsané kružnice. Vyplývá to z vlastnosti obdélníku, který je tvořen průměrem vepsané kružnice a výškou kosočtverce - protilehlé strany obdélníku jsou si rovny.

Proto vzorec pro poloměr vepsané kružnice v kosočtverci přes výšku:

Metoda 2 Poloměr vepsané kružnice v kosočtverci přes úhlopříčky

Plochu kosočtverce lze vyjádřit poloměrem vepsané kružnice
, kde R Je obvod kosočtverce. S vědomím, že obvod je součtem všech stran čtyřúhelníku, máme P = 4× a. Pak
Ale plocha kosočtverce se také rovná polovině součinu jeho úhlopříček
Když vyrovnáme pravé strany plošných vzorců, máme následující rovnost
V důsledku toho získáme vzorec, který vám umožní vypočítat poloměr vepsané kružnice v kosočtverci přes úhlopříčky

Příklad výpočtu poloměru kružnice vepsané do kosočtverce, pokud jsou známé úhlopříčky
Najděte poloměr kružnice vepsané do kosočtverce, pokud je známo, že délka úhlopříček je 30 cm a 40 cm
Nechat abeceda-rombus tedy AC a BD jeho úhlopříčky. AC = 30 cm , BD= 40 cm
Nechte bod Ó Je středem vepsaného do kosočtverce abeceda kružnice, pak to bude také průsečík jejích úhlopříček, které je rozdělí na polovinu.


protože úhlopříčky kosočtverce se protínají v pravém úhlu, pak trojúhelník AOB obdélníkový. Pak podle Pythagorovy věty
, dosadíme dříve získané hodnoty do vzorce

AB= 25 cm
Aplikováním dříve odvozeného vzorce pro poloměr opsané kružnice v kosočtverci získáme

Metoda 3 Poloměr vepsané kružnice v kosočtverci přes segmenty m a n

Tečka F- tečný bod kruhu se stranou kosočtverce, který jej rozděluje na segmenty AF a Bf... Nechat AF =m, BF = n.
Tečka Ó- střed průsečíku úhlopříček kosočtverce a středu vepsané kružnice.
Trojúhelník AOB- obdélníkový, protože úhlopříčky kosočtverce se protínají v pravém úhlu.
od té doby je poloměr nakreslený k tečnému bodu kružnice. Proto Z- výška trojúhelníku AOB do přepony. Pak AF a BF - projekce nohou do přepony.
Výška v pravoúhlý trojuhelník, snížený na přeponu je proporcionální průměr mezi projekcemi nohou k přeponě.

Vzorec pro poloměr vepsané kružnice v kosočtverci přes segmenty se rovná druhé odmocnině součinu těchto segmentů, na které tečný bod kruhu rozděluje stranu kosočtverce.