Oblasti čtyřúhelníky pyramidy. Jak najít boční povrch pyramidy

Oblast bočního povrchu libovolné pyramidy se rovná součtu oblasti bočních ploch. Speciální vzorec pro vyjádření této oblasti má smysl dát v případě správné pyramidy. Takže, nechte správnou pyramidu podáván, je, že je vyřešen správný N-čtverec, rovný A. Nechť h být výška bočního obličeje, je také volána apophistican. Pyramidy. Oblast jedné boční plochy je 1 / 2Ah, a celý boční povrch pyramidy má plochu rovnou N / 2HA. Takže jako Na je obvod základny pyramidy, pak můžete napsat nalezený vzorec ve formě:

Boční boční náměstí Správná pyramida se rovná produktu jeho apophem na polovině obvodu základny.

Pokud jde o náměstí kompletního povrchuJen jsem přidal základní oblast na stranu.

Zapsaná a popsaná koule a míč. Je třeba poznamenat, že středisko napsané v pyramidě sféry leží na křižovatce bissorových rovin vnitřních diograni rohů pyramidy. Centrum popsané v blízkosti pyramidy koule leží na křižovatce letadel procházejících středem žeber pyramid a kolmo k nim.

Zkrácená pyramida. Pokud je pyramida bochník rovinou rovnoběžnou se svou základnou, pak se nazývá část uzavřená mezi letadlem secantem a základem zkrácená pyramida. Obrázek ukazuje pyramidu, houpání její části, ležící nad zajišťovací rovinou, získáme zkrácenou pyramidu. Je jasné, že malá vyřazená pyramida je homotetická než velká pyramida se středem gometheu nahoře. Poměr podobnosti se rovná poměru výšek: k \u003d H 2 / h1 nebo boční žebra nebo jiné odpovídající lineární rozměry obou pyramid. Víme, že oblast takových čísel patří jako čtverce lineárních dimenzí; tak pozemní oblast obou pyramid (tj. Základy zkrácené pyramidy)

Zde je spodní základní plocha a S2 je oblast horní základny zkrácené pyramidy. Ve stejném ohledu jsou boční povrchy pyramidů také. Podobné pravidlo je k dispozici pro svazky.

Svazky takové tel odkazují se jako na kostky jejich lineárních velikostí; Například objemy pyramidů odkazují na díla jejich výšin na pozemní oblasti, kde se naše pravidlo získá okamžitě. Je zcela obecný a přímo vyplývá z toho, že objem má vždy rozměr třetí délky. Pomocí tohoto pravidla odvozujeme vzorec vyjadřující objem zkrácené pyramidy přes výšku a oblast areálu.

Nechte zkrácenou pyramidu s výškou H a důvody základny S 1 a S 2. Pokud si představujete, že pokračuje až do plné pyramidy, pak podobu polynore pyramidy a malá pyramida se snadno najdou, jako kořen ze vztahu s 2 / s 1. Výška zkrácené pyramidy je vyjádřena jako H \u003d H1 - H2 \u003d H1 (1 - K). Nyní máme pro objem zkrácené pyramidy (přes V1 a V 2, jsou uvedeny objemy kompletních a malých pyramidů)

vzorec zkrácené pyramidy

Odstraňte boční povrch vzorce Správné zkrácené pyramidy přes obvody P1 a P 2 bází a délky apophem A. Stejným způsobem se hádáme, jako když je vzorec odvozen pro objem. Doplňujeme pyramidu do horní části, máme P 2 \u003d KP 1, S 2 \u003d K2S1, kde K je poměr podobnosti, P 1 a P 2 - obvody základny a S1 a S 2 - Slosk bočních povrchů celé pyramidy a jeho vrchol, resp. Pro boční povrch najdeme (A 1 a 2 - apophats pyramid, A \u003d A 1 - A 2 \u003d A 1 (1-K))

vzorec boční plochy pravými zkrácenými pyramidy

Definice. Boční - Jedná se o trojúhelník, v němž se jeden roh leží v horní části pyramidy, a strana proti němu se shoduje s bází (mnohoúhelník).

Definice. Boční hrany - Jedná se o běžnou stranu bočních ploch. Pyramida má tolik žeber, kolik rohů má mnohoúhelník.

Definice. Výška pyramidy - Jedná se o kolečku, spuštěný od vrcholu k základně pyramidy.

Definice. Apothem - Jedná se o kolmou stranu boční plochy pyramidy, spustí se od horní části pyramidy na stranu základny.

Definice. Diagonální sekce - Jedná se o průřez pyramidy s rovinou procházejícím vrcholem pyramidy a základní diagonální.

Definice. Pravá pyramida - Jedná se o pyramidu, ve které je základem správným polygonem a výška padá do středu základny.

Objem a povrchová plocha pyramidy

Vzorec. Objem pyramidy Prostřednictvím základní oblasti a výšky:

Vlastnosti pyramidy

Pokud jsou všechna boční žebra stejné, pak lze popsat základnu pyramidy a střed základny se shoduje se středem kruhu. Také kolmá, spuštěná z vrcholu prochází středem základny (kruh).

Pokud jsou všechna boční žebra stejné, pak jsou nakloněny na základní rovinu ve stejných úhlech.

Boční žebra jsou stejné, když se tvoří s rovinou základny stejných úhlů nebo pokud může být kruh popsán kolem základny pyramidy.

Pokud jsou boční plochy nakloněny do základní roviny v jednom úhlu, pak v základně pyramidy můžete vstoupit do kruhu a vrchol pyramidy je navržen do jeho středu.

Pokud jsou boční plochy nakloněny na základní rovinu v jednom úhlu, pak jsou apophaty bočních ploch stejné.

Vlastnosti správné pyramidy

1. Vertex pyramidy je ekvidistantní ze všech rohů základny.

2. Všechna boční žebra jsou stejné.

3. Všechny boční hrany jsou nakloněny pod stejné rohy k základně.

4. Apfims všech bočních ploch jsou stejné.

5. Oblasti všech bočních ploch jsou stejné.

6. Všechny tváře mají stejnou dihedral (ploché) úhly.

7. Kolem pyramidy můžete popsat kouli. Středem popsané koule je průsečík bod kolmých, který prochází středem žeber.

8. V pyramidě můžete vstoupit do sféry. Středem vepsané koule bude průsečík bodu bisektoru vyzařujícího z rohu mezi hranou a základem.

9. Pokud se střed vepsané koule shoduje se středem popsané sféry, pak se součet plochých rohů nahoře rovná π nebo naopak, jeden úhel je π / n, kde n je počet úhlů na základna pyramidy.

Pyramidové spojení s sférou

Kolem pyramidy můžete popsat kouli, když na základně pyramidy leží polyhedron, kolem kterého můžete popsat kruh (nezbytný a dostatečný stav). Středem koule je průsečík plochy rovin, které procházejí kolmo přes střed bočních žeber pyramid.

Kolem trojúhelníkové nebo správné pyramidy může být vždy popsána sférou.

V pyramidě můžete vstoupit do sféry, pokud biss-sektorové roviny vnitřních trpasličích rohů pyramidů se protínají v jednom bodě (nezbytné a dostatečné podmínky). Tento bod bude středem sféry.

Pyramidové spojení s kuželem

Kužel se nazývá napsaná v pyramidě, pokud jejich vrcholy se shodují a základem kužele je vázána v základně pyramidy.

Kužel může být vložen do pyramidy, pokud jsou apophaty pyramidů stejné.

Kužel se nazývá pyramida popsaná kolem, pokud jejich vrcholy se shodují, a základem kužele je popsána kolem základny pyramidy.

Kužel může být popsán kolem pyramidy, pokud jsou všechny boční žebra pyramidy rovnající se navzájem.

Pyramidové spojení s válcem

Pyramida se nazývá napsaná ve válci, pokud horní část pyramidy leží na jednom základě válce a základna pyramidy je napsána na jinou základnu válce.

Válec lze popsat kolem pyramidy, pokud je kolem základny pyramidy popsat kruh.

Definice. Zkrácená pyramida (pyramidální hranol) - Jedná se o polyhedron, který je mezi základnou pyramidy a rovinou sekcí, rovnoběžně s základnou. Tak, pyramida má velkou základnu a menší základ, který je podobný. Boční plochy jsou lichoběžníky.

Definice. Trojúhelníková pyramida (quadrup) - Jedná se o pyramidu, ve které tři tváře a základna jsou libovolné trojúhelníky.

Čtyři hrany čtyři tváře a čtyři vrcholy a šest žeber, kde žádná dvě žebra nemají běžné vrcholy, ale nepřijdou do styku.

Každý vrchol se skládá ze tří tváří a žeber, které tvoří tři roh.

Segment spojující vrchol tetrahedronu se středem opačného obličeje se nazývá medián tetrahedron. Gm).

Bimedian. To se nazývá segment spojující střední protilehlá žebra, která nepřichází do kontaktu (KL).

Všechny Bimedians a Medians of Tetrahedral se protínají na jednom bodě (y). Zároveň jsou bimedianci rozděleni polovinou a mediáni za 3: 1 začíná od vrcholu.

Definice. Nakloněná pyramida - Jedná se o pyramidu, ve které jeden z žeber tvoří hloupý úhel (β) se základnou.

Definice. Obdélníková pyramida - Jedná se o pyramidu, ve které je jedna ze bočních ploch je kolmá k základně.

Definice. Acreditovaná pyramida - Jedná se o pyramidu, ve které je apophem více než polovina délky základní strany základny.

Definice. Hloupá pyramida - Jedná se o pyramidu, ve které je apophem menší než polovina délky základní strany.

Definice. Pravý tetrahedron. - Tetrahedron, který má všechny čtyři tváře - rovnostranné trojúhelníky. Je to jeden z pěti pravých polygonů. V pravém tetraedronu jsou všechny dírované úhly (mezi hranami) a trojúhelníkové úhly (nahoře) stejné.

Definice. Obdélníkový tetrahedron. Tetrahedron se nazývá přímý úhel mezi třemi žebry nahoře (žebra kolmá). Tři tváře tváře obdélníkový trojúhelníkový roh A obličeje jsou obdélníkové trojúhelníky a základem libovolného trojúhelníku. Apotem z jakékoli tváře se rovná polovině boku základu, že apophem padá.

Definice. Mytí tetrahedron. Tetrahedron se nazývá laterální aspekty se rovnou navzájem, a základna je pravý trojúhelník. Takový tetrahedron slouží izolované trojúhelníky.

Definice. Ortocentrický tetrahedron. Tetrahedron se nazývá všechny výšky (kolmo), který je vynechán z vrcholu k opačnému obličeji, protínají se na jeden bod.

Definice. Hvězda pyramida Polyhedron se nazývá základna je hvězda.

Definice. Bipiramid - Polyhedron sestávající ze dvou různých pyramid (může být také odříznuta pyramidy) mající společný základ a vrcholy leží na různých stranách ze základní roviny.

- Jedná se o mnohostrannou postavu, na jejichž základě lži mnohoúhelník a zbytek obličeje je reprezentován trojúhelníky s celkovým vrcholem.

Pokud je náměstí čtverec, pak se pyramida nazývá čtyřúhelníkovýPokud je pak trojúhelník trojúhelníkový. Výška pyramidy se provádí z jejího vrcholu kolmé k základně. Také pro výpočet oblasti se používá apothem - Výška bočního okraje, spuštěna z vrcholů.
Vzorec bočního povrchu pyramidy je součet oblastí jeho bočních ploch, které se rovnou navzájem. Tento způsob výpočtu se však používá velmi zřídka. V podstatě se plocha pyramidy vypočítá skrz obvod základny a apophem:

Zvažte příklad výpočtu oblasti bočního povrchu pyramidy.

Nechte pyramidu podáván se základnou ABCDE a vrcholem f. Ab \u003d bc \u003d cd \u003d de \u003d ea \u003d 3 cm. Apofem a \u003d 5 cm. Najděte oblast bočního povrchu pyramidy.
Najdeme obvod. Vzhledem k tomu, že všechny tváře základny jsou stejné, obvod pentagonu bude roven:
Nyní můžete najít boční oblast pyramidy:

Čtverec pravé trojúhelníkové pyramidy

Správná trojúhelníková pyramida se skládá ze základny, ve kterém je správný trojúhelník s třemi bočními plochami, které jsou stejné v této oblasti.
Vzorec boční plochy povrchu správné trojúhelníkové pyramidy lze vypočítat různými způsoby. Obvyklým výpočtovým vzorcem můžete aplikovat přes obvod a apophem a můžete najít oblast jedné tváře a vynásobte ji na tři. Vzhledem k tomu, že obličej pyramidy je trojúhelník, pak aplikujeme vzorec trojúhelníku. Bude to vyžadovat apophem a délku základny. Zvažte příklad výpočtu bočního povrchu povrchu správné trojúhelníkové pyramidy.

Pyramida s apophy A \u003d 4 cm a základní bází b \u003d 2 cm. Najděte boční plochu pyramidy.
Za prvé, najdeme oblast jednoho z bočních ploch. V tomto případě bude:
Hodnoty nahrazujeme ve vzorci:
Vzhledem k tomu, že v pravé pyramidě jsou všechny strany stejné, postranní plocha pyramidy se rovná součtu oblasti tří tváří. Respektive:

Čtvercová zkrácená pyramida

Zkrácený Pyramida se nazývá polyhedron, který je tvořen pyramidou a jeho průřezem, rovnoběžně s bází.
Vzorec boční plochy prostoru zkrácené pyramidy je velmi jednoduchý. Tato plocha se rovná produktu poloviční množství obvodů základny na apophem:

Celková plocha bočního povrchu pyramidy sestává ze součtu oblasti bočních ploch.

V čtyřúdadlanné pyramidě se dva typy tváří liší - čtyřúhelník na základně a trojúhelníky s celkovým vrcholem, které tvoří boční povrch.
Nejprve musíte vypočítat stranu bočních ploch. Chcete-li to provést, můžete použít trojúhelník čtvercové vzorce, a můžete také použít vzorec povrchové plochy čtyřúhelníkové pyramidy (pouze v případě, že polyhedron je správný). Pokud je pyramida správná a je známa pro délku hrany základny a apofhem H, pak:

Pokud jsou podmínky dány délku hrany se správnou pyramidou a délkou základny A, pak můžete najít hodnotu podle následujícího vzorce:

Pokud je délka hrany podávána na základně a ostrým rohu horní části nahoře, pak můžete vypočítat kráječ bočního povrchu při poměru čtverce strany A do dvojitého cosinu poloviny úhlu α:

Zvažte příklad výpočtu povrchové plochy čtyřúhelníkové pyramidy přes boční hranu a stranu základny.

Úkol: Nechte správnou čtyřúhelníkovou pyramidu. Délka hrany B \u003d 7 cm, délka základny A \u003d 4 cm. Náhrady zadaných hodnot ve vzorci:

Ukázali jsme výpočty oblasti jedné strany tváře pro správnou pyramidu. Resp. Chcete-li najít oblast celého povrchu, musíte znásobit výsledek počtem tváří, tj. 4. Pokud je pyramida libovolná a jeho tváře nejsou rovny navzájem, pak je nutné vypočítat oblasti pro každou jednotlivou stranu. Pokud je na základně obdélník nebo paralelogram, je nutné připomenout jejich vlastnosti. Strany těchto údajů jsou paralelně paralelně, a respektive obličeje pyramidů budou také ve dvojicích stejných.
Vzorec základní oblasti čtyřúhelníkové pyramidy závisí přímo na tom, který quadranter leží na základně. Pokud je pyramida správná, pak se základní oblast vypočítá vzorec, pokud probíhá rhombus, bude nutné si pamatovat, jak se nachází. V dolní části obdélníku se jede, pak bude docela jednoduché najít své náměstí. Stačí znát délky základů základny. Zvažte příklad výpočtu základny quadrangularské pyramidy.

Úkol: Nechte pyramidu podáván, na základě které je obdélník spočívá se stranami A \u003d 3 cm, b \u003d 5 cm. Na každém ze stran peaku pyramidy je apophem vynechán. H-A \u003d 4 cm, H-B \u003d 6 cm. Horní část pyramidy leží na stejné linii s bodem průsečíku diagonálů. Najděte celou plochu pyramidy.
Vzorec quadrangularské pyramidy se skládá ze součtu oblastí všech tváří a základní oblasti. Chcete-li začít, najdeme nadační oblast:


Nyní zvažte tvář pyramidy. Jsou ve dvojicích stejného, \u200b\u200bprotože výška pyramidy překračuje bod průsečíku diagonálů. To znamená, že jsou v naší pyramidě dvě trojúhelníky se základnou A a H-a výškou, stejně jako dvě trojúhelníky s bází B a H-B výškou. Nyní najdeme oblast trojúhelníku podle slavného vzorce:


Nyní proveďte příklad výpočtu oblasti čtyřúhelníkové pyramidy. V naší pyramidě s obdélníkem na dně bude vzorec vypadat takto:

Trojúhelníková pyramida Polyhedron se nazývá, na které leží pravý trojúhelník.

V takové pyramidě je okraj základny a hran strany stran rovnající se navzájem. V souladu s tím, strana bočních ploch se nachází od součtu oblasti tří identických trojúhelníků. Najděte oblast bočního povrchu pravé pyramidy podle vzorce. A můžete vypočítat několikrát rychleji. K tomu aplikujte vzorec boční plochy trojúhelníkové pyramidy:

kde p je obvod základny, ve kterém jsou všechny strany rovny B, A - apophem, snížené od vrcholu k této základně. Zvažte příklad výpočtu oblasti trojúhelníkové pyramidy.

Úkol: Nechte správnou pyramidu. Strana trojúhelníku, která je základem na základně, je b \u003d 4 cm. Apperamová pyramida se rovná A \u003d 7 cm. Najděte boční plochu pyramidy.
Vzhledem k tomu, že podle podmínek úkolu známe délku všech potřebných prvků, najdeme obvod. Vzpomínáme si, že ve správném trojúhelníku jsou všechny strany stejné, a proto je obvod vypočítán vzorcem:

Údaje nahrazujeme a najdeme hodnotu:

Známe obvodu, můžeme spočítat boční plochu:

Pro použití vzorce trojúhelníkového pyramidového náměstí pro výpočet plné hodnoty je nutné najít oblast základny Polyhedron. Pro to se používá vzorec:

Vzorec základny trojúhelníkové pyramidy může být druhý. Je dovoleno aplikovat jakýkoliv výpočet parametrů pro dané postavy, ale nejčastěji není nutné. Zvažte příklad výpočtu oblasti základny trojúhelníkové pyramidy.

Úkol: V pravé pyramidě se strana podkladového trojúhelníku rovná A \u003d 6 cm. Vypočítejte základní plochu.
Pro výpočet potřebujeme pouze délku strany pravého trojúhelníku, která se nachází na základně pyramidy. Náhradní data ve vzorci:

Docela často je nutné najít celou plochu polyhedronu. K tomu bude nutné složit boční plochu a základnu.

Zvažte příklad výpočtu oblasti trojúhelníkové pyramidy.

Úkol: Nechte správnou trojúhelníkovou pyramidu. Základní strana se rovná b \u003d 4 cm, apophem A \u003d 6 cm. Najděte celou plochu pyramidy.
Chcete-li začít, najdeme boční plochu podél již známého vzorce. Vypočítat obvod:

Data nahrazujeme ve vzorci:
Nyní najdeme nadaci:
Známe oblast základny a bočního povrchu, najdeme celou oblast pyramidy:

Při výpočtu oblasti správné pyramidy stojí za to nezapomenout, že na základně leží ten pravý trojúhelník a mnoho prvků tohoto polyhedronu se rovnající se navzájem.