Egy kör területe: képlet. Mekkora egy kör négyzetre, egy derékszögű és egyenlő szárú háromszögre, egy derékszögű, egyenlő szárú trapézra körülírt és beírt kör területe? Hogyan találjuk meg a kör területét

A kör egy kör által határolt sík része. A kör és a kör fő mutatója a sugár. Ha megadjuk, akkor a kör területe kiszámítható az S = πR2 alapképlet segítségével, ahol S a kör területe, R a kör sugara, amely határolja a kört, és π állandó egyenlő 3.14 -ig. A probléma körülményei között megadható a kerület. Ez egyenlő L = 2πR. Ebben az esetben először a sugarat kell kiszámítania úgy, hogy az adott L értéket elosztja 2π -vel, vagyis használja az R = L / 2π képletet.

A beírt négyszög oldalain

Egy négyzetet be lehet írni egy kört határoló körbe, amelynek ellentétes szögeinek összege 180 °, vagyis négyzet vagy téglalap. Ebben az esetben a négyszög körül körülírt kör átmérője egyben az átló is. Ha a feltételekben a négyszög oldalainak méreteit megadjuk, nem lesz nehéz megtalálni ezt az átlót a Pitagorasz -tétel segítségével. Az átló egy négyzetet vagy téglalapot két derékszögű háromszögre oszt fel, vagyis mindegyik háromszög hipotenúza. Ennek megfelelően megtalálhatja a négyszög oldalainak négyzeteinek összeadásával, azaz a d2 = a2 + b2 képlet segítségével. Egy kör területének megtalálásához nem is kell a négyzetgyököt kivonni az eredményből, mivel R = d / 2. A sugár négyzetének megtalálásához elegendő az átmérő négyzetét elosztani 4 -gyel.

Egy körbe írt háromszög paraméterei szerint

A probléma ezen változatának megoldásának módja attól függ, hogy melyik háromszög van felírva és milyen paraméterei vannak beállítva. Ha a háromszög téglalap alakú, akkor az algoritmus ugyanaz lesz, mint egy négyzet esetében, vagy mivel a derékszöggel szemközti oldal mindig a körülírt kör átmérője. Ha meg vannak adva a lábak méretei, négyzetelje be mindegyiket, és keresse meg az összeget, majd ossza el az eredményt 4 -gyel, és szorozza meg a π számmal. Ha a háromszög egyenlő oldalú, akkor több további konstrukciót kell végrehajtania ahhoz, hogy derékszögű háromszögeket kapjon, amelyek paramétereit ismeri. Például egy ABC egyenlő oldalú háromszög van beírva egy O középpontú körbe, amelynek oldala adott. Rajzoljon magasságokat AN, BM és CQ. Vegyük például az AQO derékszögű háromszöget. Ismeri a hipotenuszát AQ -t, amely az eredeti háromszög oldala, és az összes szöget, így megtalálhatja az AQ szakasz hosszát, amely egyben annak a körnek a sugara, amelynek a területét meg kell találnia. a szinuszok vagy koszinuszok tétele.

Annak érdekében, hogy egy r négyzetbe írt kör sugarát megtaláló képletet helyesen kiszámítsuk, először emlékeznünk kell arra, hogy milyen tulajdonságokkal rendelkezik ez az ábra. A téren:

• minden szög helyes, azaz 90 °;
• minden oldal, mint a szögek, egyenlő;
• az átlók egyenlők, a metszéspont szigorúan félbe ver és 90 ° -os szögben metszi egymást.

Ebben az esetben egy domború sokszögbe írt kör szükségszerűen megérinti minden oldalát. Jelöljünk négyzetet ABCD, átlóinak metszéspontja O... Amint az 1. ábrán látható, a vonalak metszéspontja MINTés ВD adj egyenlő szárú háromszöget AOB amelyben az oldalak JSC=OV, sarkok OAV=AVO= 45 °, és a szög AOB= 90 °. Ekkor a négyzetbe írt kör sugara nem lesz más, mint a magasság OE a kapott egyenlő szárú háromszög AOB.

Feltételezve, hogy a négyzet oldala nál nél, akkor a beírt kör sugara négyzetben történő keresésének képlete így néz ki:

Magyarázat : egyenlő szárú háromszögben AOB magasság OE vagy sugár r ossza fel az alapot AB félben (tulajdonságok), miközben derékszögű háromszöget alkotnak derékszöggel OEV... Egy kis háromszögben EVO bázis OVűrlapokat a felekkel OEés EB 45 ° -os szögek. Háromszöget jelent EVO egyenlő szárúak is. A felek OEés EB egyenlőek.

Az egyértelműség kedvéért számszerű példát adunk arra, hogy a beírt kör sugarának értékét egy négyzetben, amelynek oldala egyenlő 13 cm -rel, megtaláljuk. Ebben az esetben a felírt sugár értéke a következő lesz:

Az inverz probléma is könnyen megoldható. Tegyük fel, hogy a beírt kör sugara ismert - 9 cm, majd egy példát elemezve a beírt kör sugarának egy négyzetben történő megtalálására, megtalálhatja a négyzet oldalát:
Megtaláljuk az ismeretlen értéket ebből az egyenletből: .

A négyzet körét is rajzolhatja. Ebben az esetben az ábra minden csúcsa megérinti a kört. A következő képlet egy négyzet körüli körülírt kör sugarának megkeresésére még egyszerűbb lesz. Ebben az esetben R a körülírt kör egyenlő lesz a négyzet átlójának felével. Szó szerinti formában a képlet így néz ki (2. ábra):

Magyarázat : az átlók rajzolása után ABCD két azonos derékszögű háromszöget alkotott ABC = CDA... Tekintsük az egyiket. Egy háromszögben CAD:

• CDA szög = 90 °;
• a felek HIRDETÉS=CD... Egyenlő szárú háromszög jele;
• injekció DAC egyenlő ACD... 45 ° -kal egyenlők.

Ebben a derékszögű háromszögben találja meg a hipotenúzt MINT, szükség van a Pitagorasz -tétel használatára:
, innen
Mivel a kör érinti a négyzet csúcsait, és átlóinak metszéspontja a körülírt kör középpontja (tulajdonságok), akkor az OS szegmens lesz a kör sugara. Ő a hypotenuse fele. Ez az állítás az egyenlő szárú háromszög tulajdonságaiból vagy a négyzet átlóinak tulajdonságaiból következik. Ezért a körülírt kör négyzet körüli sugarának megtalálására szolgáló képlet a mi esetünkben a következő:

Amennyiben HIRDETÉS=CD, és a négyzetgyök tulajdonságai lehetővé teszik az egyik radikális kifejezés eltávolítását, akkor a képlet a következő formát öleli fel:

A numerikus példa a körülírt kör sugarának négyzet körüli értékének megállapítására a következő lesz.
Tegyük fel, hogy a négyzet átlója:

A kör látható, sok pontból álló gyűjtemény, amelyek azonos távolságra vannak a központtól. Területének megtalálásához tudnia kell, hogy mi a sugár, az átmérő, a π szám és a kerület.

A kör területének kiszámításában részt vevő mennyiségek

A kör középpontja és a kör bármely pontja által határolt távolságot ennek a geometriai alaknak a sugarának nevezzük. Egy kör összes sugarának hossza azonos. A kör bármely 2 pontja közötti szegmenst, amely áthalad a középponton, átmérőnek nevezzük. Az átmérő hossza megegyezik a sugár hosszával 2.

Egy kör területének kiszámításához használja a π értéket. Ez az érték megegyezik a kerület és a kör átmérőjének hosszával, és állandó értéke van. Π = 3,1415926. A kerület kiszámítása az L = 2πR képlet alapján történik.

Keresse meg a kör területét a sugarán keresztül

Ezért a kör területe a kör sugarával a π szám szorzatával egyenlő, 2 -es hatványra emelve. Vegyük például a kör sugarának 5 cm -es hosszát, majd az S kör területe 3,14 * 5 ^ 2 = 78,5 négyzetméter lesz. cm.

Egy kör területe az átmérőn keresztül

A kör területe a kör átmérőjének ismeretében is kiszámítható. Ebben az esetben S = (π / 4) * d ^ 2, ahol d a kör átmérője. Vegyük ugyanezt a példát, ahol a sugár 5 cm, akkor az átmérője 5 * 2 = 10 cm lesz. A kör területe S = 3,14 / 4 * 10 ^ 2 = 78,5 négyzetméter Cm. Az első példában szereplő számítások összegével megegyező eredmény mindkét esetben megerősíti a számítások helyességét.

Egy kör területe a kerületen keresztül

Ha a kör sugara a kerületben van ábrázolva, akkor a képlet így fog kinézni: R = (L / 2) π. Ezt a kifejezést helyettesítjük a képletben egy kör területére, és ennek eredményeként S = (L ^ 2) / 4π értéket kapunk. Tekintsünk egy példát, amelyben a kerület 10 cm, majd a kör területe S = (10 ^ 2) / 4 * 3,14 = 7,96 négyzetméter. cm.

Egy kör területe egy feliratos négyzet oldalának hosszában

Ha egy négyzetet körbe írnak, akkor a kör átmérőjének hossza megegyezik a négyzet átlójának hosszával. Ismerve a négyzet oldalának méretét, könnyen megtalálhatja a kör átmérőjét a következő képlettel: d ^ 2 = 2a ^ 2. Más szóval, a 2 teljesítményátmérő a négyzetszer 2 hatalmi oldala.

Miután kiszámítottuk a kör átmérőjének hosszát, megtudhatjuk a sugarát, majd a kör területének meghatározására szolgáló egyik képletet használhatjuk.

Egy kör szektorának területe

Egy szektor egy kör része, amelyet 2 sugár és a közöttük lévő ív határol. Területének megismeréséhez meg kell mérni a szektor szögét. Ezt követően törtet kell készítenie, amelynek számlálójában a szektor szögének értéke lesz, a nevezőben pedig 360. A szektor területének kiszámításához az eredményként kapott értéket kell megadni. A tört elosztásának számát meg kell szorozni a kör területével, amelyet a fenti képletek valamelyikével számítunk ki.

Olvassa el a cikket, hogy megtudja, hogyan lehet különböző módon megtalálni a négyzet területét.

A négyzet egyenlő oldalú téglalap. Egy adott szabályos és lapos négyszög minden oldalán, sarkában és átlójában egyenlő. Annak a ténynek köszönhetően, hogy létezik ilyen egyenlőség, a terület és más jellemzők kiszámításának képletét kissé módosítják a többi matematikai adathoz képest. De ez nem nehezíti meg túlságosan a feladatokat. Vessünk egy pillantást az összes képletre és problémamegoldásra ebben a cikkben.

Négyzet S A jobb és a négyzet alakú gonokat a következő képlettel számítjuk ki: a szorozva b... De mivel a négyzet oldalai teljesen egyenlők, területe egyenlő lesz: S = (a) másodfokú... Hogyan lehet megtudni a négyzet oldalának méretét, ismerve annak területét?

• Ha a négyzet területe ismert, akkor az oldalt a négyzetgyök alatti terület kiszámításával találjuk meg.
• Például, ha a négyzet területe 49, akkor mi az oldala?
• 49 = (a) másodfokú... Megoldás: a = 49 = 7 gyökere. Válasz: 7.

Ha meg kell találnia egy négyzet alakú gon oldalát, amelynek területe túl hosszú, akkor használja a számológépet. Először írja be a terület számát, majd nyomja meg a gyökérjelet a számológép billentyűzetén. A kapott szám lesz a válasz.

Ebben a példában a Pitagorasz -tételt fogjuk használni. Egy négyzetnek minden oldala egyenlő, és az átlója d lábakkal ellátott derékszögű egyenlő szárú háromszög hipotenuszának fogjuk tekinteni a... Most megtaláljuk a négyzet átlóját, ha ismert a területe:

• Annak érdekében, hogy ne írjuk le a teljes Pitagorasz -tételt, a második lehetőség szerint oldjuk meg: d = a√2, ahol a a négyzet oldala.
• Tehát tudjuk, hogy egy négyzet területe például 64. Tehát az egyik oldal a = √64 = 8.
• Kiderül d = 8√2... A 2 gyöke nem egész szám, így a válasz így írható: d = 8√2... De ha ki szeretné számítani az értéket, akkor használja a számológépet: √2 = 1,41421356237 és szorozzuk meg 8 -mal, így 11, 3137084 lesz.

Fontos:Általában a matematikában a tizedespont után nagy számokkal rendelkező számok nem maradnak a válaszban. Kerekíteni kell, vagy hagyni kell a gyökérrel. Ezért a válasz az átló megtalálására, ha a terület 64, a következő lesz: d = 8√2.

Egy négyzet területének átlón keresztüli megkeresése egyszerű:

Most írjunk egy megoldást egy négyzet területének átlón keresztüli megkeresésére:

• D átló = 8.
• 8 négyzet egyenlő 64.
• 64 osztva 2 -vel 32.
• A tér területe 32.

Tanács: Ennek a problémának van még egy megoldása a Pitagorasz -tétel révén, de ez bonyolultabb. Tehát használja az általunk leírt megoldást.

Négyzet alakú gon kerülete P Az összes fél összege. Ahhoz, hogy megtalálja a területét, ismerve a kerületét, először ki kell számítania a négyzet oldalát. Megoldás:

• Tegyük fel, hogy a kerülete 24. Ossza el a 24 -et 4 oldallal, kiderül, hogy 6 - ez az egyik oldal.
• Most a képletet használjuk a terület megkeresésére, tudva, hogy egy négyzet gon oldala egyenlő: S = négyzet, S = 6 négyzet = 36.
• Válasz: 36

Mint látható, a négyzet kerületének ismeretében könnyű megtalálni a területét.

Sugár R A négyzet átlójának fele körbe van írva. Most megtaláljuk az átlót a következő képlet segítségével: d = 2 * R... Ezután egy adott sugarú körbe írt négyzet területét találjuk:

• Az átló a sugár 2 -szerese. Például a sugár 5, akkor az átló 2*5=10 .
• Fentebb leírtuk, hogyan lehet megtalálni a négyzet területét, ha az átló ismert: S = átlós négyzet osztva 2 -vel. S = 10 * 10 és osztva 2 = 50.
• Válasz - 50 .

Ez a feladat egy kicsit nehezebb, de könnyen megoldható, ha ismeri az összes képletet.

A képen látható, hogy a beírt kör sugara megegyezik az oldal felével. Az oldal a képen láthatóval ellentétes képlet szerint található: a = 2 * r... Ekkor már megtaláljuk a négyzet területét, amelyet a képlet egy adott sugarú kör körül ír S = négyzet... Megoldás:

• Tegyük fel, hogy a sugara 7. Az a négyzet oldala 2 * 7 = 14.
• S = 14 négyzet = 196.

Ha megérti az ilyen problémák megoldásának lényegét, akkor gyorsan és egyszerűen megoldhatja azokat. Nézzünk még néhány példát.

Példák a "Négyzet terület" témakör problémáinak megoldására

Az átadott anyag megszilárdítása és az összes képlet memorizálása érdekében számos példát kell megoldani a "Négyzetterület" témában. Kezdjük egy egyszerű problémával, és továbblépünk a bonyolultabb megoldásokhoz: Példák az összetett problémák megoldására a "Négyzet terület" témában

Most már tudja, hogyan kell használni a képletet egy négyzet területére, ami azt jelenti, hogy bármilyen feladatot elvégezhet. Sok sikert kívánok a továbbtanuláshoz!

Videó: Egy négyzet területének kiszámítása

Hogyan találhatom meg a kör területét? Először keresse meg a sugarat. Tanuljon meg egyszerű és összetett problémákat megoldani.

A kör zárt görbe. A körvonal bármely pontja azonos távolságra lesz a középponttól. A kör lapos alak, így a területkereséssel kapcsolatos problémák megoldása egyszerű. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, hogyan lehet megtalálni egy kör területét, amely háromszögbe, trapézba, négyzetbe van írva, és ezen ábrák körül van leírva.

Egy adott ábra területének megtalálásához tudnia kell, hogy mi a sugár, az átmérő és a π szám.

Sugár R. A távolságot a kör középpontja korlátozza. Egy kör összes R-sugarának hossza egyenlő lesz.

D átmérő Egy vonal a kör bármely két pontja között, amely áthalad a középponton. Ennek a vonalnak a hossza megegyezik az R-sugár hosszával, szorozva 2-vel.

Π számÁllandó érték, amely 3,1415926. A matematikában ezt a számot általában 3,14 -re kerekítik.

A képlet a kör sugara szerinti területének megkeresésére:

Példák a feladatok megoldására egy kör S-területének megtalálására az R-sugáron keresztül:

Feladat: Keresse meg egy kör területét, ha annak sugara 7 cm.

Megoldás: S = πR², S = 3,14 * 7², S = 3,14 * 49 = 153,86 cm².

Válasz: A kör területe 153,86 cm².

A képlet egy kör S-területének megtalálására a D-átmérőn keresztül:

Példák az S megkereséséhez szükséges feladatok megoldására, ha D ismert:

————————————————————————————————————————-

Feladat: Keresse meg a kör D -jét, ha a D 10 cm.

Megoldás: P = π * d² / 4, P = 3,14 * 10² / 4 = 3,14 * 100/4 = 314/4 = 78,5 cm².

Válasz: Egy lapos, kerek alak területe 78,5 cm².

Egy kör S megkeresése, ha ismert a kerülete:

Először találjuk meg a sugarat. A kerület kiszámítása a következő képlettel történik: L = 2πR, az R sugár egyenlő L / 2π -vel. Most keressük meg a kör területét az R -től számított képlet segítségével.

Tekintsük a megoldást a probléma példáján keresztül:

———————————————————————————————————————-

Feladat: Keresse meg a kör területét, ha ismeri az L - 12 cm kerületet.

Megoldás: Először is megtaláljuk a sugarát: R = L / 2π = 12/2 * 3,14 = 12 / 6,28 = 1,91.

Most megtaláljuk a sugarú területet: S = πR² = 3,14 * 1,91² = 3,14 * 3,65 = 11,46 cm².

Válasz: A kör területe 11,46 cm².

Egy kör négyzetbe írt területének megtalálása egyszerű. A négyzet oldala a kör átmérője. A sugár megtalálásához el kell osztani az oldalt 2 -vel.

A képlet a kör négyzetbe írt területének megkeresésére:

Példák a feladatok megoldására a kör négyzetbe írt területének megkereséséhez:

———————————————————————————————————————

1. feladat: Ismert a négyzet alakú oldala, ami 6 centiméter. Keresse meg az S feliratú területet.

Megoldás: S = π (a / 2) ² = 3,14 (6/2) ² = 3,14 * 9 = 28,26 cm².

Válasz: Egy lapos, kerek alak területe 28,26 cm².

————————————————————————————————————————

2. számú probléma: Keressük meg a kör négyzet alakú S körvonalát és annak sugarát, ha az egyik oldala a = 4 cm.

Dönts így: Először R = a / 2 = 4/2 = 2 cm -t találunk.

Most megtaláljuk a kör területét S = 3,14 * 2² = 3,14 * 4 = 12,56 cm².

Válasz: A lapos, kerek figura területe 12,56 cm².

Kicsit nehezebb megtalálni a négyzet körül leírt kör alakú területet. De a képlet ismeretében gyorsan kiszámíthatja ezt az értéket.

A négyzet alakú körrel körülírt kör S keresésének képlete:

Példák a négyzet alakú kör körül leírt kör területének megkeresésére szolgáló feladatok megoldására:

Feladat

A háromszög alakú kör az a kör, amely a háromszög mindhárom oldalát érinti. Bármely háromszög alakú kört felírhat, de csak egyet. A kör középpontja lesz a háromszög szögfelezőinek metszéspontja.

Az egyenlő szárú háromszögbe írt kör területének megkeresésére szolgáló képlet:

Ha a sugár ismert, a terület kiszámítható a következő képlet segítségével: S = πR².

A képlet a derékszögű háromszögbe írt kör területének megkeresésére:

Példák a feladatok megoldására:

1. számú probléma

Ha ebben a feladatban egy 4 cm sugarú kör területét is meg kell találni, akkor ezt a következő képlettel tehetjük meg: S = πR²

2. számú probléma

Megoldás:

Most, hogy ismeri a sugarat, megtalálja a kör területét a sugár segítségével. Lásd a fenti képletet a szövegben.

3. számú probléma

Egy derékszögű és egyenlő szárú háromszög körül körülírt kör területe: képlet, példák a problémamegoldásra

A kör területének megállapítására szolgáló összes képlet arra a tényre vezethető vissza, hogy először meg kell találnia a sugarát. Ha a sugár ismert, könnyen megtalálható a terület, a fent leírtak szerint.

A derékszögű és egyenlő szárú háromszög körül leírt kör területét a következő képlet határozza meg:

Példák a problémák megoldására:

Íme egy másik példa a probléma megoldására Heron képletével.

Az ilyen problémákat nehéz megoldani, de elsajátíthatók, ha ismeri az összes képletet. Az iskolások a 9. osztályban oldják meg az ilyen problémákat.

Egy kör területe téglalap alakú és egyenlő szárú trapézba írva: képlet, példák a problémamegoldásra

Az egyenlő szárú trapéznak két oldala egyenlő. A téglalap alakú trapéz egyik szöge 90º. Fontolja meg, hogyan lehet megtalálni a kör területét, amely téglalap alakú és egyenlő szárú trapézba van írva a feladatok megoldásának példájával.

Például egy kört írnak az egyenlő szárú trapézba, amely az érintési ponton az egyik oldalt m és n szegmensekre osztja.

A probléma megoldásához a következő képleteket kell használnia:

A téglalap alakú trapézba írt kör területének meghatározása a következő képlet szerint történik:

Ha ismeri az oldalt, akkor a sugarat ezen érték segítségével találhatja meg. A trapéz oldalának magassága megegyezik a kör átmérőjével, a sugara pedig az átmérő fele. Ennek megfelelően a sugár R = d / 2.

Példák a problémák megoldására:

Egy trapéz akkor írható körbe, ha szemközti szögeinek összege 180º. Ezért csak egyenlő szárú trapéz írható fel. A téglalap vagy egyenlő szárú trapéz körüli terület területének kiszámításához használt sugarat a következő képletek segítségével kell kiszámítani:

Példák a problémák megoldására:

Megoldás: Ebben az esetben a nagy bázis áthalad a középponton, mivel egyenlő szárú trapéz van a körbe írva. A központ pontosan felére osztja ezt az alapot. Ha az AB bázis 12, akkor az R sugár így található: R = 12/2 = 6.

Válasz: A sugara 6.

A geometriában fontos a képletek ismerete. De mindegyiket lehetetlen megjegyezni, ezért még sok vizsgán is megengedett egy speciális űrlap használata. Fontos azonban, hogy megtaláljuk a megfelelő képletet egy adott probléma megoldásához. Gyakorolja a különböző feladatok megoldását, hogy megtalálja a kör sugarát és területét, hogy helyesen helyettesíthesse a képleteket és pontos válaszokat kapjon.

Videó: Matematika | Egy kör és részeinek területeinek kiszámítása