Основные свойства неопределенного интеграла с примерами. Основные свойства неопределенного интеграла. Инвариантность форм интегрирования

Сумма ряда

сайт позволяет найти сумму ряда онлайн числовой последовательности. Помимо нахождения суммы ряда онлайн числовой последовательности, сервер в режиме онлайн найдет частичную сумму ряда . Это полезно для аналитических выкладок, когда сумму ряда онлайн необходимо представить и найти как решение предела последовательности частичных сумм ряда . По сравнению с другими сайтами, сайт обладает неоспоримым преимуществом, так как позволяет найти сумму ряда онлайн не только числового, но и функционального ряда , что позволит определить область сходимости исходного ряда , применяя наиболее известные методы. Согласно теории рядов , необходимым условием сходимости числовой последовательности является равенство нулю предела от общего члена числового ряда при стремлении переменной к бесконечности. Однако, это условие не является достаточным для определения сходимости числового ряда онлайн .. Для определения сходимости рядов онлайн найдены разнообразные достаточные признаки сходимости или расходимости ряда . Наиболее известные и часто применяемые из них - это признаки Д"Аламбера, Коши, Раабе, сравнения числовых рядов , а также интегральный признак сходимости числового ряда . Особое место среди числовых рядов занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные величины числовых рядов монотонно убывают. Оказывается, для таких числовых рядов необходимый признак сходимости ряда онлайн является одновременно и достаточным, то есть равенство нулю предела от общего члена числового ряда при стремлении переменной к бесконечности. Существует множество различных сайтов, на которых представлены серверы для вычисления суммы ряда онлайн , а также разложения функций вряд в режиме онлайн в некоторой точке из области определения этой функции. Если разложить функцию в ряд онлайн не представляет на этих серверах особого труда, то вычислить сумму функционального ряда онлайн , каждым членом которого, в отличие от числового ряда , является не число, а функция, представляется практически невозможным в силу отсутствия необходимых технических ресурсов. Для www.сайт такой проблемы не существует.

За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на Определите срок хранения вклада.

Решение.

Известно:

1. Проценты на вклад начислялись ежемесячно.

2. Каждая последующая процентная надбавка по истечении календарного месяца начислялась с учетом вновь образованной суммы вклада и с учетом предыдущих надбавок.

Если первоначальная сумма вклада при ежемесячной 5%-ной ставке начисления процентов продержалась месяцев, то вклад ежемесячно увеличивался в раз, и этот коэффициент будет сохранен до тех пор, пока ставка не изменится.

При изменении процентной надбавки с на (ставка продержалась месяцев) первоначальная сумма вклада за месяцев увеличится в раза.

Предположим, что процентная ставка продержалась месяцев, а процентная ставка продержалась месяцев. Тогда соответствующие коэффициенты повышения составят:

Таким образом, коэффициент повышения суммы вклада в целом за весь период хранения вклада в банке составит:

С другой стороны, согласно условию задачи первоначальная сумма вклада за это же время увеличилась на то есть в

Согласно основной теореме арифметики каждое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых множителей, и это представление единственное с точностью до порядка их следования. В таком случае:

Решим эту систему относительно натуральных и Из последнего уравнения системы имеем: При этих значениях и система примет вид:

Итак, вклад в банке на хранении был 7 месяцев. При найденных значениях и действительно равно нулю.

Ответ: 7.

Примечание.

Более простой вариант этой задачи см. в номерах и .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 81.

Семен Кузнецов планировал вложить все свои сбережения на сберегательный счет в банк «Навроде» под 500%, рассчитывая через год забрать А рублей. Однако крах банка «Навроде» изменил его планы, предотвратив необдуманный поступок. В результате часть денег г-н Кузнецов положил в банк «Первый Муниципальный», а остальные – в банку из-под макарон. Через год «Первый Муниципальный» повысил процент выплат в два с половиной раза, и г-н Кузнецов решил оставить вклад еще на год. В итоге размер суммы, полученной в «Первом Муниципальном», составил рублей. Определите, какой процент за первый год начислил банк «Первый Муниципальный», если в банку из-под макарон Семен «вложил» рублей.

Решение.

Предположим, что сбережения Кузнецова составляли х р.

Семен планировал через год получить в банке «Навроде», 6х = А (р).

Однако г-н Кузнецов (р) своих сбережений «вложил» в банку из-под макарон, а остальные рублей - в банк «Первый Муниципальный». Скажем, в этом банке процентные выплаты в первый год хранения денежных средств составили y %. Тогда во второй год эта процентная ставка стала %. За 2 года хранения в банке «Первый Муниципальный» вклад Семена вырос до

А значение этого выражения равно

Решим уравнение относительно у .

Не подходит по смыслу задачи.

Семену Кузнецову банк «Первый Муниципальный» за первый год хранения вклада начислил 20% .

Ответ: 20%.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 94.

Классификатор базовой части: Практические задачи

И т.д. – достаточно самых минимальных знаний о числовых рядах . Необходимо понимать, что такое ряд , уметь расписывать его подробно и не округлять глаза после словосочетаний «ряд сходится», «ряд расходится», «сумма ряда». Поэтому, если ваше настроение совсем на нуле, пожалуйста, уделите 5-10 минут статье Ряды для чайников (буквально первые 2-3 страницы), а потом возвращайтесь сюда и смело начинайте решать примеры!

Следует отметить, что в большинстве случаев найти сумму ряда непросто, и этот вопрос обычно решается через функциональные ряды (доживём-доживём:)) . Так, например, сумма популярного артиста выводится через ряды Фурье . В этой связи на практике почти всегда требуется установить сам факт сходимости , но не найти конкретное число (многие, думаю, уже успели это заметить). Однако среди великого множества числовых рядов есть немногочисленные представители, которые позволяют без особых проблем прикоснуться к святая святых даже полному чайнику. И на вводном уроке я приводил пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии , сумма которой легко рассчитывается по известной школьной формуле.

В данной статье мы продолжим рассматривать похожие примеры, кроме того, узнаем строгое определение суммы и попутно познакомимся с некоторыми свойствами рядов. Разомнёмся… да прямо на прогрессиях и разомнёмся:

Пример 1

Найти сумму ряда

Решение : представим наш ряд в виде суммы двух рядов:

Почему в данном случае так можно сделать? Выполненные действия основаны на двух простейших утверждениях:

1) Если сходятся ряды , то будут сходиться и ряды, составленные из сумм или разностей соответствующих членов: . При этом существенно то обстоятельство, что речь идёт о сходящихся рядах. В нашём примере мы заранее знаем , что обе геометрические прогрессии сойдутся, а значит, без всяких сомнений раскладываем исходный ряд в два ряда.

2) Второе свойство ещё очевиднее. Константу можно вынести за пределы ряда: , и это не повлияет на его сходимость или расходимость и итоговую сумму. Зачем выносить константу? Да просто чтобы она «не мешалась под ногами». Но иногда бывает выгодно этого и не делать

Чистовое оформление примера выглядит примерно так:

Дважды используем формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , где – первый член прогрессии, – основание прогрессии.

Ответ : сумма ряда

Начало решения можно оформить несколько в другом стиле – расписать ряд напрямую и перегруппировать его члены:

Дальше по накатанной.

Пример 2

Найти сумму ряда

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Каких-либо особых изысков здесь нет, но однажды мне попался необычный ряд , который может застать врасплох неискушенного человека. Это… тоже бесконечно убывающая геометрическая прогрессия! Действительно, , и сумма рассчитывается буквально за пару мгновений: .

А сейчас живительный глоток математического анализа, необходимый для решения дальнейших задач:

Что такое сумма ряда?

Строгое определение сходимости/расходимости и суммы ряда в теории даётся через так называемые частичные суммы ряда. Частичные – значит неполные. Распишем частичные суммы числового ряда :

И особую роль играет частичная сумма «эн» членов ряда:

Если предел частичных сумм числового ряда равен конечному числу: , то такой ряд называют сходящимся , а само число – суммой ряда . Если же предел бесконечен либо его не существует, то ряд называют расходящимся .

Вернёмся к демонстрационному ряду и распишем его частичные суммы:

Предел частичных сумм – есть в точности бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна: . Похожий предел мы рассматривали на уроке о числовых последовательностях . Собственно, и сама формула – это прямое следствие вышеизложенных теоретических выкладок (см. 2-ой том матана).

Таким образом, прорисовывается общий алгоритм решения нашей задачи : необходимо составить энную частичную сумму ряда и найти предел . Посмотрим, как это осуществляется на практике:

Пример 3

Вычислить сумму ряда

Решение : на первом шаге нужно разложить общий член ряда в сумму дробей. Используем метод неопределённых коэффициентов :

В результате:

Сразу же полезно провести обратное действие, выполнив тем самым проверку:

Получен общий член ряда в исходном виде, следовательно, разложение в сумму дробей проведено успешно.

Теперь составим частичную сумму ряда . Вообще это делается устно, но один раз я максимально подробно распишу, что откуда взялось:

Как записать совершенно понятно, но чему равен предыдущий член ? В общий член ряда ВМЕСТО «эн» подставляем :

Почти все слагаемые частичной суммы благополучно взаимоуничтожаются:


Прямо такие пометки и делаем карандашом в тетради. Чертовски удобно.

Осталось вычислить элементарный предел и узнать сумму ряда:

Ответ :

Аналогичный ряд для самостоятельного решения:

Пример 4

Вычислить сумму ряда

Примерный образец чистового оформления решения в конце урока.

Очевидно, что нахождение суммы ряда – это само по себе доказательство его сходимости (помимо признаков сравнения , Даламбера, Коши и др.), о чём, в частности, намекает формулировка следующего задания:

Пример 5

Найти сумму ряда или установить его расходимость

По внешнему виду общего члена можно сразу сказать, как ведёт себя этот товарищ. Без комплексов. С помощью предельного признака сравнения легко выяснить (причём даже устно), что данный ряд будет сходиться вместе с рядом . Но перед нами редкий случай, когда без особых хлопот рассчитывается ещё и сумма.

Решение : разложим знаменатель дроби в произведение. Для этого нужно решить квадратное уравнение :

Таким образом:

Множители лучше расположить в порядке возрастания: .

Выполним промежуточную проверку:

ОК

Таким образом, общий член ряда:

Таким образом:

Не ленимся:

Что и требовалось проверить.

Запишем частичную сумму «эн» членов ряда, при этом обращаем внимание на тот факт, что «счётчик» ряда «начинает работать» с номера . Как и в предыдущих примерах, надёжнее растянуть кобру на приличную длину:

Однако если мы запишем в одну-две строчки, то всё равно будет довольно трудно сориентироваться в слагаемых (их таки 3 в каждом члене). И здесь нам на помощь придёт… геометрия. Заставим плясать змею под свою дудочку:

Да, прямо так и пишем в тетради один член под другим и прямо так их вычёркиваем. Кстати, собственное изобретение. Как понимаете, не от самого лёгкого задания в этой жизни =)

В результате зачистки получаем:

И, наконец, сумма ряда:

Ответ :

Пример 8

Вычислить сумму ряда

Это пример для самостоятельного решения.

Рассматриваемая задача, конечно, не радует нас разнообразием – на практике встречается либо бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, либо ряд с дробно-рациональным общим членом и разложимым многочленом в знаменателе (к слову, далеко не каждый такой многочлен даёт возможность найти сумму ряда). Но, тем не менее, иногда попадаются необычные экземпляры, и по сложившейся доброй традиции я завершаю урок какой-нибудь любопытной задачей.

Данные свойства используются для осуществления преобразований интеграла с целью его приведения к одному из элементарных интегралов и дальнейшему вычислению.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Причем a ≠ 0

5. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов:

6. Свойство является комбинацией свойств 4 и 5:

Причем a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Свойство инвариантности неопределенного интеграла:

Если , то

8. Свойство:

Если , то

Фактически данное свойство представляет собой частный случай интегрирования при помощи метода замены переменной , который более подробно рассмотрен в следующем разделе.

Рассмотрим пример:

Сначала мы применили свойство 5, затем свойство 4, затем воспользовались таблицей первообразных и получили результат.

Алгоритм нашего онлайн калькулятора интегралов поддерживает все перечисленные выше свойства и без труда найдет подробное решение для вашего интеграла.

Пусть функция y = f (x ) определена на отрезке [a , b ], a < b . Выполним следующие операции:

1) разобьем [a , b ] точками a = x 0 < x 1 < ... < x i - 1 < x i < ... < x n = b на n частичных отрезков [x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i - 1 , x i ], ..., [x n - 1 , x n ];

2) в каждом из частичных отрезков [x i - 1 , x i ], i = 1, 2, ... n , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: f (z i ) ;

3) найдем произведения f (z i ) · Δx i , где – длина частичного отрезка [x i - 1 , x i ], i = 1, 2, ... n ;

4) составиминтегральную сумму функции y = f (x ) на отрезке [a , b ]:

С геометрической точки зрения эта сумма σ представляет собой сумму площадей прямоугольников, основания которых – частичные отрезки [x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i - 1 , x i ], ..., [x n - 1 , x n ], а высоты равны f (z 1 ) , f (z 2 ), ..., f (z n ) соответственно (рис. 1). Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка:

5) найдем предел интегральной суммы, когда λ → 0.

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка [a , b ] на частичные отрезки, ни от выбора точек z i в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции y = f (x ) на отрезке [a , b ] и обозначается

Таким образом,

В этом случае функция f (x ) называется интегрируемой на [a , b ]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x ) – подынтегральной функцией, f (x ) dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования; отрезок [a , b ] называется промежутком интегрирования.

Теорема 1. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ], то она интегрируема на этом отрезке.

Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

Если a > b , то, по определению, полагаем

2. Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке [a , b ] задана непрерывная неотрицательная функция y = f (x ) . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f (x ) , снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).

Определенный интеграл от неотрицательной функции y = f (x ) с геометрической точки зрения равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x ) , слева и справа – отрезками прямых x = a и x = b , снизу – отрезком оси Ох.

3. Основные свойства определенного интеграла

1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

4.Если функция y = f (x ) интегрируема на [a , b ] и a < b < c , то

5. (теорема о среднем) . Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ], то на этом отрезке существует точка , такая, что

4. Формула Ньютона–Лейбница

Теорема 2. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] и F (x ) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность F (b ) - F (a ) принято записывать следующим образом:

где символ называется знаком двойной подстановки.

Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции f (x ) = x 2 произвольная первообразная имеет вид

Так как в формуле Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную, то для вычисления интеграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид:

5. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 3. Пусть функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ]. Если:

1) функция x = φ (t ) и ее производная φ "(t ) непрерывны при ;

2) множеством значений функции x = φ (t ) при является отрезок [a , b ];

3) φ (a ) = a , φ (b ) = b , то справедлива формула

которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

В отличие от неопределенного интеграла, в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования α и β (для этого надо решить относительно переменной t уравнения φ (t ) = a и φ (t ) = b ).

Вместо подстановки x = φ (t ) можно использовать подстановку t = g (x ) . В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: α = g (a ) , β = g (b ) .

Пример 2 . Вычислить интеграл

Решение. Введем новую переменную по формуле . Возведя в квадрат обе части равенства , получим 1 + x = t 2 , откуда x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt = 2tdt . Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы x = 3 и x = 8. Получим: , откуда t = 2 и α = 2; , откуда t = 3 и β = 3. Итак,

Пример 3. Вычислить

Решение. Пусть u = ln x , тогда , v = x . По формуле (4)