Чому дорівнює різниця кубів двох чисел. Формули скороченого множення

Формули або правила скороченого множення використовуються в арифметиці, а точніше - в алгебрі, для більш швидкого процесу обчислення великих алгебраїчних виразів. Самі ж формули отримані з існуючих в алгебрі правил для множення декількох многочленів.

Використання даних формул забезпечує досить оперативне рішення різних математичних задач, а також допомагає здійснювати спрощення виразів. Правила алгебраїчних перетворень дозволяють виконувати деякі маніпуляції з виразами, дотримуючись яких можна отримати в лівій частині рівності вираз, що стоїть в правій частині, або перетворити праву частину рівності (щоб отримати вираз, що стоїть в лівій частині після знака рівності).

Зручно знати формули, що застосовуються для скороченого множення, на пам'ять, так як вони нерідко використовуються при вирішенні завдань і рівнянь. Нижче перераховані основні формули, що входять в даний список, і їх найменування.

квадрат суми

Щоб обчислити квадрат суми, необхідно знайти суму, що складається з квадрата першого доданка, подвоєного твори першого доданка на друге і квадрата другого. У вигляді вираження дане правило записується в такий спосіб: (а + с) ² \u003d a² + 2ас + ².

квадрат різниці

Щоб обчислити квадрат різниці, необхідно обчислити суму, що складається з квадрата першого числа, подвоєного твори першого числа на друге (узяте з протилежним знаком) і квадрата другого числа. У вигляді вираження дане правило виглядає наступним чином: (а - с) ² \u003d а² - 2ас + ².

різниця квадратів

Формула різниці двох чисел, зведених в квадрат, дорівнює добутку суми цих чисел на їх різницю. У вигляді вираження дане правило виглядає наступним чином: a² - с? \u003d (A + c) · (a - c).

куб суми

Щоб обчислити куб суми двох доданків, необхідно обчислити суму, що складається з куба першого доданка, потроєного твори квадрата першого доданка і другого, потроєного твори першого доданка і другого в квадраті, а також куба другого доданка. У вигляді вираження дане правило виглядає наступним чином: (а + с) ³ \u003d а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

сума кубів

Відповідно до формули, прирівнюється до добутку суми даних доданків на їх неповний квадрат різниці. У вигляді вираження дане правило виглядає наступним чином: а³ + с³ \u003d (а + с) · (а² - ас + с?).

Приклад. Необхідно обчислити об'єм фігури, яка утворена складанням двох кубів. Відомі лише величини їх сторін.

Якщо значення сторін невеликі, то виконати обчислення просто.

Якщо ж довжини сторін виражаються в громіздких числах, то в цьому випадку простіше застосувати формулу "Сума кубів", яка значно спростить обчислення.

куб різниці

Вираз для кубічної різниці звучить так: як сума третього ступеня першого члена, потроєного негативного твори квадрата першого члена на другий, потроєного твори першого члена на квадрат другого і негативного куба другого члена. У вигляді математичного виразу куб різниці виглядає наступним чином: (а - с) ³ \u003d а³ - 3а²с + 3ас² - с³.

різниця кубів

Формула різниці кубів відрізняється від суми кубів лише одним знаком. Таким чином, різниця кубів - формула, яка дорівнює добутку різниці даних чисел на їх неповний квадрат суми. У вигляді різниця кубів виглядає наступним чином: а 3 - з 3 \u003d (ас) (а 2 + ас + з 2).

Приклад. Необхідно обчислити об'єм фігури, яка залишиться після вирахування з обсягу синього куба об'ємної фігури жовтого кольору, яка також є кубом. Відома лише величина боку маленького і великого куба.

Якщо значення сторін невеликі, то обчислення досить прості. А якщо довжини сторін виражаються в значних кількостях, то варто застосувати формулу, названу "Різниця кубів" (або "Куб різниці"), которае значно спростить обчислення.

У попередніх уроках ми розглянули два способи розкладання многочлена на множники: винесення спільного множника за дужки і спосіб угруповання.

У цьому уроці ми розглянемо ще один спосіб розкладання многочлена на множники із застосуванням формул скороченого множення.

Рекомендуємо кожну формулу прописати не менше 12 разів. Для кращого запам'ятовування випишіть все формули скороченого множення собі на невелику шпаргалку.

Згадаймо, як виглядає формула різниці кубів.

a 3 - b 3 \u003d (ab) (a 2 + ab + b 2)

Формула різниці кубів не надто проста для запам'ятовування, тому рекомендуємо використовувати спеціальний спосіб для її запам'ятовування.

Важливо розуміти, що будь-яка формула скороченого множення діє і в зворотний бік.

(A - b) (a 2 + Ab + b 2) \u003d a 3 - b 3

Розглянемо приклад. Необхідно розкласти на множники різниця кубів.

Звернемо увагу, що «27а 3» - це «(3а) 3», значить, для формули різниці кубів замість «a» ми використовуємо «3a».

Використовуємо формулу різниці кубів. На місці «a 3» у нас стоїть «27a 3», а на місці «b 3», як і у формулі, варто «b 3».

Застосування різниці кубів в зворотну сторону

Розглянемо ще один приклад. Ви бажаєте перевести твір многочленів в різниця кубів, використовуючи формулу скороченого множення.

Зверніть увагу, що твір многочленів «(x - 1) (x 2 + x + 1)» нагадує праву частину формули різниці кубів «», тільки замість «a» стоїть «x», а на місці «b» стоїть «1» .

Використовуємо для «(x - 1) (x 2 + x + 1)» формулу різниці кубів в зворотну сторону.

Розглянемо приклад складніше. Потрібно спростити твір многочленів.

Якщо порівняти «(y 2 - 1) (y 4 + y 2 + 1)» з правою частиною формули різниці кубів
« a 3 - b 3 \u003d (ab) (a 2 + ab + b 2)», То можна зрозуміти, що на місці« a »з першої дужки варто« y 2, а на місці «b» стоїть «1».

Формули скороченого множення.

Вивчення формул скороченого множення: квадрата суми і квадрата різниці двох виразів; різниці квадратів двох виразів; куба суми і куба різниці двох виразів; суми і різниці кубів двох виразів.

Застосування формул скороченого множення при вирішенні прикладів.

Для спрощення виразів, розкладання многочленів на множники, приведення многочленів до стандартного вигляду використовуються формули скороченого множення. Формули скороченого множення потрібно знати напам'ять.

Нехай а, b R. Тоді:

1. Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого виразу на друге плюс квадрат другого виразу.

(A + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого виразу на друге плюс квадрат другого виразу.

(A - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

3. різниця квадратівдвох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і їх суми.

a 2 - b 2 \u003d (a -b) (a + b)

4. куб сумидвох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс утроенное твір квадрата першого виразу на друге плюс утроенное твір першого виразу на квадрат другого плюс куб другого виразу.

(A + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. куб різницідвох виразів дорівнює кубу першого виразу мінус утроенное твір квадрата першого виразу на друге плюс утроенное твір першого виразу на квадрат другого мінус куб другого виразу.

(A - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. сума кубівдвох виразів дорівнює добутку суми першого та другого виразу на неповний квадрат різниці цих виразів.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці першого і другого виразу на неповний квадрат суми цих виразів.

a 3 - b 3 \u003d (ab) (a 2 + ab + b 2)

Застосування формул скороченого множення при вирішенні прикладів.

Приклад 1.

обчислити

а) Використовуючи формулу квадрата суми двох виразів, маємо

(40 + 1) 2 \u003d 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 \u003d 1600 + 80 + 1 \u003d 1681

б) Використовуючи формулу квадрата різниці двох виразів, отримаємо

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

Приклад 2.

обчислити

Використовуючи формулу різниці квадратів двох виразів, отримаємо

Приклад 3.

спростити вираз

(Х - у) 2 + (х + у) 2

Скористаємося формулами квадрата суми і квадрата різниці двох виразів

(Х - у) 2 + (х + у) 2 \u003d х 2 - 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 \u003d 2х 2 + 2у 2

Формули скороченого множення в одній таблиці:

(A + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
(A - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
(A + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(A - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (ab) (a 2 + ab + b 2)

різниця квадратів

Виведемо формулу різниці квадратів $ a ^ 2-b ^ 2 $.

Для цього згадаємо наступне правило:

Якщо до вираження додати будь-який одночлен і відняти такий же одночлен, то ми отримаємо вірне тотожність.

Додамо до нашого вираженню і віднімемо з нього одночлен $ ab $:

Разом, отримаємо:

Тобто, різниця квадратів двох одночленним дорівнює добутку їх різниці на їх суму.

приклад 1

Представити у вигляді добутку $ (4x) ^ 2-y ^ 2 $

\\ [(4x) ^ 2-y ^ 2 \u003d ((2x)) ^ 2-y ^ 2 \\]

\\ [((2x)) ^ 2-y ^ 2 \u003d \\ left (2x-y \\ right) (2x + y) \\]

сума кубів

Виведемо формулу суми кубів $ a ^ 3 + b ^ 3 $.

Винесемо за дужки загальні множники:

Винесемо за дужки $ \\ left (a + b \\ right) $:

Разом, отримаємо:

Тобто, сума кубів двох одночленним дорівнює добутку їх суми на неповний квадрат їх різниці.

приклад 2

Представити у вигляді добутку $ (8x) ^ 3 + y ^ 3 $

Цей вираз можна переписати в наступному вигляді:

\\ [(8x) ^ 3 + y ^ 3 \u003d ((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \\]

Використовуючи формулу різниці квадратів, отримаємо:

\\ [((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \u003d \\ left (2x + y \\ right) (4x ^ 2-2xy + y ^ 2) \\]

різниця кубів

Виведемо формулу різниця кубів $ a ^ 3-b ^ 3 $.

Для цього будемо користуватися тим же правилом, що і вище.

Додамо до нашого вираженню і віднімемо з нього одночлени $ a ^ 2b \\ і \\ (ab) ^ 2 $:

Винесемо за дужки загальні множники:

Винесемо за дужки $ \\ left (a-b \\ right) $:

Разом, отримаємо:

Тобто, різниця кубів двох одночленним дорівнює добутку їх різниці на неповний квадрат їх суми.

приклад 3

Представити у вигляді добутку $ (8x) ^ 3-y ^ 3 $

Цей вираз можна переписати в наступному вигляді:

\\ [(8x) ^ 3-y ^ 3 \u003d ((2x)) ^ 3-y ^ 3 \\]

Використовуючи формулу різниці квадратів, отримаємо:

\\ [((2x)) ^ 3-y ^ 3 \u003d \\ left (2xy \\ right) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) \\]

Приклад завдань на використання формул різниці квадратів і суми і різниці кубів

приклад 4

Розкласти на множники.

а) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $

в) $ -x ^ 3 + \\ frac (1) (27) $

Рішення:

а) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $

\\ [(((A + 5)) ^ 2-9 \u003d (a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \\]

Застосовуючи формулу різниці квадратів, отримаємо:

\\ [((A + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \u003d \\ left (a + 5-3 \\ right) \\ left (a + 5 + 3 \\ right) \u003d \\ left (a + 2 \\ right) (a +8) \\]

Запишемо цей вираз у вигляді:

Застосуємо формулу куми кубів:

в) $ -x ^ 3 + \\ frac (1) (27) $

Запишемо цей вираз у вигляді:

\\ [- x ^ 3 + \\ frac (1) (27) \u003d (\\ left (\\ frac (1) (3) \\ right)) ^ 3-x ^ 3 \\]

Застосуємо формулу куми кубів:

\\ [(\\ Left (\\ frac (1) (3) \\ right)) ^ 3-x ^ 3 \u003d \\ left (\\ frac (1) (3) -x \\ right) \\ left (\\ frac (1) ( 9) + \\ frac (x) (3) + x ^ 2 \\ right) \\]