З 14 геометрична прогресія. Алгебра: Арифметична і геометрична прогресії. Характеристичне властивість геометричної прогресії

Геометрична прогресія - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен наступний член дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме не рівне нулю число.

Геометрична прогресія позначається b1, b2, b3, ..., bn, ....

Ставлення будь-якого члена геометричної похибки до її попереднього члену дорівнює одному й тому числу, тобто b2 / b1 \u003d b3 / b2 \u003d b4 / b3 \u003d ... \u003d bn / b (n-1) \u003d b (n + 1) / bn \u003d .... Це випливає безпосередньо з визначення арифметичній прогресії. Це число називають знаменником геометричної прогресії. Зазвичай знаменник геометричній прогресії позначають буквою q.

Монотонна і постійна послідовність

Одним із способів завдання геометричної прогресії є завдання її першого члена b1 і знаменника геометричній похибки q. Наприклад, b1 \u003d 4, q \u003d -2. Ці дві умови задають геометричну прогресію 4, -8, 16, -32, ....

Якщо q\u003e 0 (q не дорівнює 1), то прогресія є монотонної послідовністю. Наприклад, послідовність, 2, 4,8,16,32, ... є монотонно зростаючою послідовністю (b1 \u003d 2, q \u003d 2).

Якщо в геометричній похибки знаменник q \u003d 1, то всі члени геометричної прогресії будуть рівні між собою. У таких випадках кажуть, що прогресія є постійної послідовністю.

Формула n-ого члена геометричної прогресії

Для того, щоб числова послідовність (bn) була геометричною прогресією необхідно, щоб кожен її член, починаючи з другого, був середнім геометричним сусідніх членів. Тобто необхідним є дотримання наступного рівняння
(B (n + 1)) ^ 2 \u003d bn * b (n + 2), для будь-якого n\u003e 0, де n належить множині натуральних чисел N.

Формула n-ого члена геометричної прогресії має вигляд:

bn \u003d b1 * q ^ (n-1),

де n належить множині натуральних чисел N.

Формула суми n перших членів геометричної прогресії

Формула суми n перших членів геометричної прогресії має вигляд:

Sn \u003d (bn * q - b1) / (q-1), де q не дорівнює 1.

Розглянемо простий приклад:

У геометричній прогресії b1 \u003d 6, q \u003d 3, n \u003d 8 знайти Sn.

Для знаходження S8 скористаємося формулою суми n перших членів геометричної прогресії.

S8 \u003d (6 * (3 ^ 8 -1)) / (3-1) \u003d 19 680.

Отже, сядемо і почнемо писати якісь числа. наприклад:

Писати можна будь-які числа, і їх може бути скільки завгодно (в нашому випадку їх). Скільки б чисел ми не написали, ми завжди можемо сказати, яке з них перше, яке - друге і так далі до останнього, тобто, можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності:

числова послідовність - це безліч чисел, кожному з яких можна привласнити унікальний номер.

Наприклад, для нашої послідовності:

Присвоєний номер характерний тільки для одного числа послідовності. Іншими словами, в послідовності немає трьох других чисел. Друге число (як і -ве число) завжди одне.

Число з номером називаетмя -ним членом послідовності.

Всю послідовність ми зазвичай називаємо який-небудь буквою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тієї ж буквою з індексом, рівним номеру цього члена:.

У нашому випадку:

Найпоширеніші види прогресії це арифметична і геометрична. У цій темі ми поговоримо про другий вид - геометричній прогресії.

Для чого потрібна геометрична прогресія і її історія виникнення.

Ще в давнину італійський математик монах Леонардо з Пізи (більш відомий під ім'ям Фібоначчі) займався вирішенням практичних потреб торгівлі. Перед ченцем стояло завдання визначити, за допомогою якого найменшої кількості гир можна зважити товар? У своїх працях Фібоначчі доводить, що оптимальною є така система гир: Це одна з перших ситуацій, в якій людям довелося зіткнутися з геометричною прогресією, про яку ти вже напевно чув і маєш хоча б загальне поняття. Як тільки повністю розберешся в темі, подумай, чому така система є оптимальною?

В даний час, в життєвій практиці, геометрична прогресія проявляється при вкладенні коштів в банк, коли сума відсотків нараховується на суму, що скупчилася на рахунку за попередній період. Іншими словами, якщо покласти гроші на строковий вклад в ощадний банк, то через рік вклад збільшиться на від вихідної суми, тобто нова сума буде дорівнює внеску, помноженому на. Ще через рік вже ця сума збільшиться на, тобто вийшла в той раз сума знову збільшиться на і так далі. Подібна ситуація описана в задачах на обчислення так званих складних відсотків - відсоток береться кожен раз від суми, яка є на рахунку з урахуванням попередніх відсотків. Про ці завдання ми поговоримо трохи пізніше.

Є ще багато простих випадків, де застосовується геометрична прогресія. Наприклад, поширення грипу: одна людина заразив чоловік, ті в свою чергу заразили ще по людини, і таким чином друга хвиля зараження - людина, а ті в свою чергу, заразили ще ... і так далі ...

До речі, фінансова піраміда, та ж МММ - це простий і сухий розрахунок за властивостями геометричній прогресії. Цікаво? Давай розбиратися.

Геометрична прогресія.

Припустимо, у нас є числова послідовність:

Ти відразу ж відповіси, що це легко і ім'я такій послідовності - з різницею її членів. А як на рахунок такого:

Якщо ти будеш віднімати з наступного числа попереднє, то ти побачиш, що кожен раз виходить нова різниця (і т.д.), але послідовність безумовно існує і її нескладно помітити - кожне наступні число в раз більше попереднього!

Такий вид числової послідовності називається геометричною прогресією і позначається.

Геометрична прогресія () - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число. Це число називають знаменником геометричної прогресії.

Обмеження, що перший член () НЕ дорівнює і не випадкові. Припустимо, що їх немає, і перший член все ж дорівнює, а q одно, хм .. нехай, тоді виходить:

Погодься, що це вже ніяка не прогресія.

Як ти розумієш, ті ж самі результати ми отримаємо, якщо буде будь-яким числом, відмінним від нуля, а. У цих випадках прогресії просто не буде, так як весь числовий ряд будуть або всі нулі, або одне число, а всі інші нулі.

Тепер поговоримо детальніше про знаменнику геометричній прогресії, тобто о.

Повторимо: - це число, у скільки разів змінюється кожен наступний член геометричній прогресії.

Як ти думаєш, яким може бути? Правильно, позитивним і негативним, але не нулем (ми говорили про це трохи вище).

Припустимо, що у нас позитивне. Нехай в нашому випадку, а. Чому дорівнює другий член і? Ти без праці відповіси, що:

Все вірно. Відповідно, якщо, то всі наступні члени прогресії мають однаковий знак - вони позитивні.

А що якщо негативне? Наприклад, а. Чому дорівнює другий член і?

Це вже зовсім інша історія

Спробуй порахувати член даної прогресії. Скільки у тебе вийшло? У мене. Таким чином, якщо, то знаки членів геометричної прогресії чергуються. Тобто, якщо ти побачиш прогресію, з чергуються знаками у її членів, значить її знаменник на негативний. Це знання може допомогти тобі перевіряти себе при вирішенні задач на цю тему.

Тепер трохи потренуємося: спробуй визначити, які числові послідовності є геометричною прогресією, а які арифметичної:

Розібрався? Порівняємо наші відповіді:

• Геометрична прогресія - 3, 6.
• Арифметична прогресія - 2, 4.
• Чи не є ні арифметичної, ні геометричній прогресіями - 1, 5, 7.

Повернемося до нашої останньої прогресії, а й спробуємо так само як і в арифметичній знайти її член. Як ти вже здогадуєшся, є два способи його знаходження.

Послідовно множимо кожен член на.

Отже, -ої член описаної геометричній прогресії дорівнює.

Як ти вже здогадуєшся, зараз ти сам виведеш формулу, яка допоможе знайти тобі будь-який член геометричної прогресії. Або ти її вже вивів для себе, розписуючи, як поетапно знаходити -ої член? Якщо так, то перевір правильність твоїх міркувань.

Проілюструємо це на прикладі знаходження -го члена даної прогресії:

Іншими словами:

Знайди самостійно значення члена заданої геометричної прогресії.

Вийшло? Порівняємо наші відповіді:

Зверни увагу, що у тебе вийшло точно таке ж число, як і в попередньому способі, коли ми послідовно множили на кожен попередній член геометричної прогресії.
Спробуємо «обмежити доступ» цю формулу - наведемо її в загальний вигляд і отримаємо:

Виведена формула вірна для всіх значень - як позитивних, так і негативних. Перевір це самостійно, розрахувавши і члени геометричної прогресії з наступними умовами:, а.

Порахував? Порівняємо отримані результати:

Погодься, що знаходити член прогресії можна було б так само як і член, однак, є ймовірність неправильно порахувати. А якщо ми знайшли вже -ий член геометричної прогресії, а, то що може бути простіше, ніж скористатися «обрізаної» частиною формули.

Нескінченно спадна геометрична прогресія.

Зовсім недавно ми говорили про те, що може бути як більше, так і менше нуля, однак, є особливі значення при яких геометрична прогресія називається нескінченно спадної.

Як ти думаєш, чому така назва?
Для початку запишемо якусь геометричну прогресію, що складається з членів.
Припустимо, а, тоді:

Ми бачимо, що кожен наступний член менше попереднього в рази, але коли буде яка-небудь число? Ти відразу ж відповіси - «ні». Ось тому і нескінченно спадна - убуває, убуває, а нулем ніколи не стає.

Щоб чітко зрозуміти, як це виглядає візуально, давай спробуємо намалювати графік нашої прогресії. Отже, для нашого випадку формула набуває такого вигляду:

На графіках нам звично будувати залежність від, тому:

Суть вирази не змінилася: в першому записі у нас була показана залежність значення члена геометричної прогресії від його порядкового номера, а в другій записи - ми просто взяли значення члена геометричної прогресії за, а порядковий номер позначили не як, а як. Все, що залишилося зробити - побудувати графік.
Подивимося, що у тебе вийшло. Ось який графік вийшов у мене:

Бачиш? Функція убуває, прагне до нуля, але ніколи його не перетне, тому вона нескінченно спадна. Відзначимо на графіку наші точки, а заодно і те, що позначає координата і:

Спробуй схематично зобразити графік геометричній прогресії при, якщо перший її член також дорівнює. Проаналізуй, в чому різниця з нашим попереднім графіком?

Впорався? Ось який графік вийшов у мене:

Тепер, коли ти повністю розібрався в основах теми геометричній прогресії: знаєш, що це таке, знаєш, як знайти її член, а також знаєш, що таке нескінченно спадна геометрична прогресія, перейдемо до її основному властивості.

Властивість геометричній прогресії.

Пам'ятаєш властивість членів арифметичної прогресії? Так, так, як знайти значення певного числа прогресії, коли є попереднє і наступне значення членів даної прогресії. Згадав? Ось це:

Тепер перед нами стоїть точно такий же питання для членів геометричної прогресії. Щоб вивести подібну формулу, давай почнемо малювати і міркувати. Ось побачиш, це дуже легко, і якщо ти забудеш, то зможеш вивести її самостійно.

Візьмемо ще одну просту геометричну прогресію, в якій нам відомі і. Як знайти? При арифметичній прогресії це легко і просто, а як тут? Насправді в геометричній теж немає нічого складного - необхідно просто розписати по формулі кожне дане нам значення.

Ти запитаєш, і що тепер нам з цим робити? Та дуже просто. Для початку покажемо дані формули на малюнку, і спробуємо зробити з ними різні маніпуляції, щоб прийти до значення.

Абстрагуємося від чисел, які у нас є дані, зосередимося тільки на їх вираженні через формулу. Нам необхідно знайти значення, виділене оранжевим кольором, знаючи що є сусідами з ним члени. Спробуємо зробити з ними різні дії, в результаті яких ми зможемо отримати.

Додавання.
Спробуємо скласти два вирази і, ми отримаємо:

З цього виразу, як ти бачиш, ми ніяк не зможемо висловити, отже, будемо пробувати інший варіант - віднімання.

Віднімання.

Як ти бачиш, з цього ми теж не можемо висловити, отже, спробуємо помножити дані вирази один на одного.

Множення.

А тепер подивись уважно, що ми маємо, перемножая дані нам члени геометричної прогресії в порівнянні з тим, що необхідно знайти:

Здогадався про що я говорю? Правильно, щоб знайти нам необхідно взяти квадратний корінь від перемноження друг на друга сусідніх з шуканим чисел геометричній прогресії:

Ну ось. Ти сам вивів властивість геометричної прогресії. Спробуй записати цю формулу в загальному вигляді. Вийшло?

Забув умова при? Подумай, чому воно важливе, наприклад, спробуй самостійно прорахувати, при. Що вийде в цьому випадку? Правильно, повна дурість так як формула виглядає так:

Відповідно, не забувай це обмеження.

Тепер порахуємо, чому ж так само

Правильну відповідь - ! Якщо ти при розрахунку не забув друга можливість значення, то ти великий молодець і відразу можеш переходити до тренування, а якщо забув - прочитай те, що розібрано далі і зверни увагу, чому у відповіді необхідно записувати обидва кореня.

Намалюємо обидві наші геометричні прогресії - одну із значенням, а іншу зі значенням і перевіримо, чи мають обидві з них право на існування:

Для того, щоб перевірити, чи існує така геометрична прогресія чи ні, необхідно подивитися, однакове чи між усіма її заданими членами? Розрахуй q для першого і другого випадку.

Бачиш, чому ми повинні писати два відповіді? Тому що знак у шуканого члена залежить від того, який - позитивний чи негативний! А так як ми не знаємо, який він, нам необхідно писати обидві відповіді і з плюсом, і з мінусом.

Тепер, коли ти засвоїв основні моменти і вивів формулу на властивість геометричної прогресії, знайди, знаючи і

Порівняй отримані відповіді з правильними:

Як ти думаєш, а якщо нам були б подані не сусідні з потрібним числом значення членів геометричної прогресії, а рівновіддалені від нього. Наприклад, нам необхідно знайти, а дані і. Чи можемо ми в цьому випадку використовувати виведену нами формулу? Спробуй точно так же підтвердити або спростувати цю можливість, розписуючи з чого складається кожне значення, як ти робив, виводячи спочатку формулу, при.
Що у тебе вийшло?

Тепер знову подивися уважно.
і відповідно:

З цього ми можемо зробити висновок, що формула працює не тільки при сусідніх з шуканим членах геометричній прогресії, а й з рівновіддаленими від шуканого членами.

Таким чином, наша первісна формула набуває вигляду:

Тобто, якщо в першому випадку ми говорили, що, то зараз ми говоримо, що може бути дорівнює кожному натуральному числу, яке менше. Головне, щоб був однаковий для обох заданих чисел.

Потренуйся на конкретних прикладах, тільки будь гранично уважний!

1. ,. Знайти.
2. ,. Знайти.
3. ,. Знайти.

Вирішив? Сподіваюся, ти був гранично уважний і помітив невелика каверза.

Порівнюємо результати.

У перших двох випадках ми спокійно застосовуємо вищеописану формулу і отримуємо такі значення:

У третьому випадку при уважному розгляді порядкових номерів даних нам чисел, ми розуміємо, що вони не рівновіддалені від шуканого нами числа: є попереднім числом, а видалена на позиції, таким чином застосувати формулу не надається можливим.

Як же її вирішувати? Насправді це не так складно, як здається! Давай з тобою розпишемо, з чого складається кожне дане нам і шукане числа.

Отже, у нас є і. Подивимося, що з ними можна зробити? Пропоную розділити на. отримуємо:

Підставляємо в формулу наші дані:

Наступним кроком ми можемо знайти - для цього нам необхідно взяти кубічний корінь з отриманого числа.

А тепер дивимося ще раз що у нас є. У нас є, а знайти нам необхідно, а він, у свою чергу дорівнює:

Всі необхідні дані для підрахунку ми знайшли. Підставляємо в формулу:

Наша відповідь: .

Спробуй вирішити ще одну таку ж задачу самостійно:
Дано:,
знайти:

Скільки у тебе вийшло? У мене - .

Як ти бачиш, по суті, тобі необхідно запам'ятати лише одну формулу -. Всі інші ти без будь-якого праці можеш вивести самостійно в будь-який момент. Для цього просто напиши на листочку найпростішу геометричну прогресію і розпиши, чому згідно вищеописаної формулою одно кожне її число.

Сума членів геометричної прогресії.

Тепер розглянемо формули, які дозволяють нам швидко порахувати суму членів геометричної прогресії в заданому проміжку:

Щоб вивести формулу суми членів кінцевої геометричній прогресії, помножимо всі частини вищого рівняння на. отримаємо:

Подивися уважно: що спільного в останніх двох формулах? Правильно, загальні члени, наприклад і так далі, крім першого і останнього члена. Давай спробуємо вирахувати з 2-го рівняння 1-е. Що у тебе вийшло?

Тепер вислови через формулу члена геометричної прогресії і підстав отриманий вираз в нашу останню формулу:

Згрупуйте вираз. У тебе повинно вийти:

Все, що залишилося зробити - висловити:

Відповідно, в цьому випадку.

А що якщо? Яка формула працює тоді? Уяви собі геометричну прогресію при. Що вона собою являє? Правильно ряд однакових чисел, відповідно формула буде виглядати наступним чином:

Як і по арифметичній, так і по геометричній прогресії існує безліч легенд. Одна з них - легенда про Сеті, творця шахів.

Багато хто знає, що шахова гра була придумана в Індії. Коли індуський цар познайомився з нею, він був захоплений її дотепністю і різноманітністю можливих в ній положень. Дізнавшись, що вона винайдена одним з його підданих, цар вирішив особисто нагородити його. Він викликав винахідника до себе і наказав просити у нього все, що він забажає, пообіцявши виконати навіть саме майстерне бажання.

Сета попросив час на роздуми, а коли на інший день Сета з'явився до царя, він здивував царя нечуваною скромністю свого прохання. Він попросив видати за першу клітину шахівниці пшеничне зерно, за другу пшеничних зерна, за третю, за четверту і т.д.

Цар розгнівався, і прогнав Сета, сказавши, що прохання слуги не варта царської щедрості, але пообіцяв, що слуга отримає свої зерна за всі клітини дошки.

А тепер питання: використовуючи формулу суми членів геометричної прогресії, порахуй, скільки зерен повинен отримати Сета?

Почнемо міркувати. Так як за умовою за першу клітину шахівниці Сета попросив пшеничне зерно, за другу, за третю, за четверту і т.д., то ми бачимо, що в задачі мова йде про геометричній прогресії. Чому дорівнює в цьому випадку?
Правильно.

Всього клітин шахової дошки. Відповідно,. Всі дані у нас є, залишилося тільки підставити в формулу і порахувати.

Щоб уявити хоча б приблизно «масштаби» даного числа, перетворимо, використовуючи властивості ступеня:

Звичайно, якщо ти хочеш, то можеш взяти калькулятор і порахувати, що за число в результаті у тебе вийде, а якщо немає, доведеться повірити мені на слово: підсумковим значенням вирази буде.
Тобто:

квінтильйонів квадрильйонів трильйона мільярда мільйонів тисяч.

Фух) Якщо бажаєте уявити собі огром цього числа, то прикиньте, якої величини комору потрібен був би для вміщення всієї кількості зерна.
При висоті комори м і ширині м довжина його повинна була б сягати на км, - тобто вдвічі далі, ніж від Землі до Сонця.

Якби цар був би сильний в математиці, то він міг би запропонувати самому вченому відраховувати зерна, адже щоб відрахувати мільйон зерен, йому б знадобилося не менше доби невпинної рахунки, а з огляду на, що необхідно відрахувати квінтильйонів, зерна довелося б відраховувати все життя.

А тепер вирішимо просту задачку на суму членів геометричної прогресії.
Учень 5 А класу Вася, захворів на грип, але продовжує ходити в школу. Кожен день Вася заражає двох осіб, які, в свою чергу, заражають ще двох осіб і так далі. Всього в класі людина. Через скільки днів на грип буде хворіти весь клас?

Отже, перший член геометричної прогресії це Вася, тобто людина. -ої член геометричної прогресії, це ті дві людини, яких він заразив в перший день свого приходу. Загальна сума членів прогресії дорівнює кількості учнів 5А. Відповідно, ми говоримо про прогресії, в якій:

Підставами наші дані в формулу суми членів геометричної прогресії:

Весь клас захворіє за днів. Чи не віриш формулами і числах? Спробуй зобразити «зараження» учнів самостійно. Вийшло? Дивись, як це виглядає у мене:

Порахуй самостійно, за скільки днів учні захворіли б грипом, якщо кожен заражав б по людини, а в класі навчалося людина.

Яке значення у тебе вийшло? У мене вийшло, що всі почали хворіти через дня.

Як ти бачиш, подібне завдання і малюнок до неї нагадує піраміду, в якій кожний наступний «приводить» нових людей. Однак, рано чи пізно настає такий момент, коли останні не можуть нікого залучити. У нашому випадку, якщо уявити, що клас ізольований, людина з замикають ланцюжок (). Таким чином, якби людина були залучені у фінансову піраміду, в якій гроші давалися в разі, якщо ти приведеш двох інших учасників, то людина (або в загальному випадку) не привели б нікого, відповідно, втратили б все, що вклали в цю фінансову аферу.

Все, що було сказано вище, відноситься до спадної або зростаючій геометричній прогресії, але, як ти пам'ятаєш, у нас є особливий вид - нескінченно спадна геометрична прогресія. Як же вважати суму її членів? І чому у даного виду прогресії є певні особливості? Давай розбиратися разом.

Отже, для початку подивимося ще раз на ось цей малюнок нескінченно спадної геометричної прогресії з нашого прикладу:

А тепер подивимося на формулу суми геометричної прогресії, виведену трохи раніше:
або

До чого у нас прагне? Правильно, на графіку видно, що воно прагне до нуля. Тобто при, буде майже так само, відповідно, при обчисленні виразу ми отримаємо майже. У зв'язку з цим, ми вважаємо, що при підрахунку суми нескінченно спадної геометричної прогресії, даної дужкою можна знехтувати, так як вона буде дорівнює.

- формула сума членів нескінченно спадної геометричної прогресії.

ВАЖЛИВО! Формулу суми членів нескінченно спадної геометричної прогресії ми використовуємо тільки в тому випадку, якщо в умови в явному вигляді зазначено, що потрібно знайти суму нескінченного числа членів.

Якщо вказано конкретне число n, то користуємося формулою суми n членів, навіть якщо або.

А тепер потренуємося.

1. Знайди суму перших членів геометричної прогресії з і.
2. Знайди суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії з і.

Сподіваюся, ти був гранично уважний. Порівняємо наші відповіді:

Тепер ти знаєш про геометричній прогресії все, і настала пора переходити від теорії до практики. Найпоширеніші завдання на геометричну прогресію, що зустрічаються на іспиті - це завдання на обчислення складних відсотків. Саме про них і піде мова.

Завдання на обчислення складних відсотків.

Ти напевно чув про так званої формулою складних відсотків. Чи розумієш ти, що вона означає? Якщо немає, давай розбиратися, так як усвідомивши сам процес, ти відразу зрозумієш, до чого тут геометрична прогресія.

Всі ми ходимо в банк і знаємо, що існують різні умови по вкладах: це і термін, і додаткове обслуговування, і відсоток з двома різними способами його нарахування - простим і складним.

З простими відсотками все більш-менш зрозуміло: відсотки нараховуються один раз в кінці терміну вкладу. Тобто, якщо ми говоримо про те, що ми кладемо 100 рублів на рік під, то будуть зараховані тільки в кінці року. Відповідно, до закінчення вкладу ми отримаємо рублів.

складні відсотки - це такий варіант, при якому відбувається капіталізація відсотків, Тобто їх зарахування до суми вкладу і подальший розрахунок доходу не від первісної, а від накопиченої суми вкладу. Капіталізація відбувається не постійно, а з певною періодичністю. Як правило, такі періоди рівні і найчастіше банки використовують місяць, квартал або рік.

Припустимо, що ми кладемо все ті ж рублів за річних, але з щомісячною капіталізацією вкладу. Що у нас виходить?

Все тобі тут зрозуміло? Якщо немає, давай розбиратися поетапно.

Ми принесли в банк рублів. До кінця місяця у нас на рахунку повинна з'явитися сума, що складається з наших рублів плюс відсотків по ним, тобто:

Згоден?

Ми можемо винести за дужки і тоді ми отримаємо:

Погодься, ця формула вже більше схожа на написану нами на початку. Залишилося розібратися з відсотками

В умові задачі нам сказано про річних. Як ти знаєш, ми не множимо на - ми переводимо відсотки в десяткові дроби, тобто:

Вірно? Зараз ти запитаєш, а звідки взялося число? Дуже просто!
Повторюся: в умові завдання сказано про РІЧНІ відсотки, нарахування яких відбувається ЩОМІСЯЦЯ. Як ти знаєш, в році місяців, відповідно, банк буде нараховувати нам в місяць частина від річних відсотків:

Усвідомив? А тепер спробуй написати, як буде виглядати ця частина формули, якщо я скажу, що відсотки нараховуються щодня.
Впорався? Давай порівняємо результати:

Молодець! Повернемося до нашого завдання: напиши, скільки буде нараховано на наш рахунок на другий місяць, з урахуванням, що відсотки нараховуються на накопичену суму вкладу.
Ось що вийшло у мене:

Або, іншими словами:

Я думаю, що ти вже помітив закономірність і побачив у всьому цьому геометричну прогрессію. Напиши, чому буде дорівнює її член, або, іншими словами, яку суму грошових коштів ми отримаємо в кінці місяця.
Зробив? Перевіряємо!

Як ти бачиш, якщо ти кладеш гроші в банк на рік під простий відсоток, то ти отримаєш рублів, а якщо під складний - рублів. Вигода невелика, але так відбувається тільки протягом -го року, а ось на більш тривалий період капіталізація набагато вигідніше:

Розглянемо ще один тип завдань на складні відсотки. Після того, в чому ти розібрався, це буде для тебе елементарно. Отже, завдання:

Компанія «Зірка» почала інвестувати в галузь в 2000 році, маючи капітал доларів. Щороку, починаючи з 2001 року, вона отримує прибуток, яка становить від капіталу попереднього року. Скільки прибутку отримає компанія «Зірка» по закінченню 2003 року, якщо прибуток з обороту не вилучалася?

Капітал компанії «Зірка» в 2000 році.
- капітал компанії «Зірка» в 2001 році.
- капітал компанії «Зірка» в 2002 році.
- капітал компанії «Зірка» в 2003 році.

Або ми можемо написати коротко:

Для нашого випадку:

2000 рік, 2001 рік, 2002 рік та 2003 год.

відповідно:
рублів
Зауваж, в даній задачі у нас немає поділу ні на, ні на, так як відсоток дан ЩОРІЧНИЙ і нараховується він ЩОРОКУ. Тобто, читаючи завдання на складні відсотки, зверни увагу, який відсоток дан, і в який період він нараховується, і тільки потім приступай до обчислень.
Тепер ти знаєш про геометричній прогресії все.

Тренування.

1. Знайдіть член геометричної прогресії, якщо відомо, що, а
2. Знайдіть суму перших членів геометричної прогресії, якщо відомо, що, а
3. Компанія «МДМ Капітал» почала інвестувати в галузь в 2003 році, маючи капітал доларів. Щороку, починаючи з 2004 року, вона отримує прибуток, яка становить від капіталу попереднього року. Компанія «МСК Грошові потоки» стала інвестувати в галузь в 2005 році в розмірі 10000 доларів, починаючи отримувати прибуток з 2006 року в розмірі. На скільки доларів капітал однієї компанії більше інший по закінченню 2007 року, якщо прибуток з обороту не вилучалася?

відповіді:

1. Так як в умові завдання не сказано, що прогресія нескінченна і потрібно знайти суму конкретного числа її членів, то розрахунок йде по формулі:
2. 
   Компанія «МДМ Капітал»:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007 року.
   - збільшується на 100%, тобто в 2 рази.
   відповідно:
   рублів
   Компанія «МСК Грошові потоки»:

   2005, 2006, 2007 року.
   - збільшується на, тобто в рази.
   відповідно:
   рублів
   рублів

Підведемо підсумки.

1) Геометрична прогресія () - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число. Це число називають знаменником геометричної прогресії.

2) Рівняння членів геометричної прогресії -.

3) може приймати будь-які значення, крім і.

• якщо, то всі наступні члени прогресії мають однаковий знак - вони позитивні;
• якщо, то всі наступні члени прогресії чергують знаки;
• при - прогресія називається нескінченно спадної.

4), при - властивість геометричної прогресії (що є сусідами члени)

або
, При (рівновіддалені члени)

При знаходженні не варто забувати про те, що відповіді повинно бути два.

наприклад,

5) Сума членів геометричної прогресії обчислюється за формулою:
або

або

ВАЖЛИВО! Формулу суми членів нескінченно спадної геометричної прогресії ми використовуємо тільки в тому випадку, якщо в умови в явному вигляді зазначено, що потрібно знайти суму нескінченного числа членів.

6) Завдання на складні відсотки також обчислюються за формулою -го члена геометричної прогресії, за умови, що кошти з обороту не вилучалися:

ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСІЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Геометрична прогресія () - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число. Це число називають знаменником геометричної прогресії.

Знаменник геометричної прогресії може приймати будь-які значення, крім і.

• Якщо, то всі наступні члени прогресії мають однаковий знак - вони позитивні;
• якщо, то всі наступні члени прогресії чергують знаки;
• при - прогресія називається нескінченно спадної.

Рівняння членів геометричної прогресії - .

Сума членів геометричної прогресії обчислюється за формулою:
або

Якщо прогресія є нескінченно спадної, то:

Залишається 2/3 СТАТТІ ДОСТУПНІ ТІЛЬКИ УЧНЯМ YOUCLEVER!

Стати учнем YouClever,

Підготуватися до ОГЕ або ЄДІ з математики за ціною "чашка кави на місяць",

А також отримати безстроковий доступ до підручника "YouClever", Програмі підготовки (розв'язнику) "100gia", необмеженому пробному ЄДІ і ОГЕ, 6000 завдань з розбором рішень і до інших сервісів YouClever і 100gia.

22.09.2018 22:00

Геометрична прогресія, поряд з арифметичної, є важливим числовим рядом, який вивчається в шкільному курсі алгебри в 9 класі. У цій статті розглянемо знаменник геометричній прогресії, і то, як його значення впливає на її властивості.

Визначення прогресії геометричної

Для початку наведемо визначення цього числового ряду. Прогресією геометричній називають такий ряд раціональних чисел, який формується шляхом послідовного множення його першого елемента на постійне число, що носить назву знаменника.

Наприклад, числа в ряду 3, 6, 12, 24, ... - це прогресія геометрична, оскільки якщо помножити 3 (перший елемент) на 2, то отримаємо 6. Якщо 6 помножити на 2, то отримаємо 12, і так далі.

Члени даної послідовності прийнято позначати символом ai, де i - це ціле число, яке вказує на номер елемента в ряду.

Наведене вище визначення прогресії можна записати на мові математики наступним чином: an \u003d bn-1 * a1, де b - знаменник. Перевірити цю формулу легко: якщо n \u003d 1, то b1-1 \u003d 1, і ми отримуємо a1 \u003d a1. Якщо n \u003d 2, тоді an \u003d b * a1, і ми знову приходимо до визначення розглянутого ряду чисел. Аналогічні міркування можна продовжити для великих значень n.

Знаменник прогресії геометричної

Число b повністю визначає, який характер буде носити весь числовий ряд. Знаменник b може бути позитивний, негативний, а також мати значення більше одиниці або менше. Всі перераховані варіанти призводять до різних послідовностей:

• b\u003e 1. Має місце зростаючий ряд раціональних чисел. Наприклад, 1, 2, 4, 8, ... Якщо елемент a1 буде негативним, тоді вся послідовність буде зростати тільки по модулю, але спадати з урахуванням знака чисел.
• b \u003d 1. Часто такий випадок не називають прогресією, оскільки має місце звичайний ряд однакових раціональних чисел. Наприклад, -4, -4, -4.

Формула для суми

Перед тим як перейти до розгляду конкретних завдань з використанням знаменника розглянутого виду прогресії, слід привести важливу формулу для суми її перших n елементів. Формула має вигляд: Sn \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Отримати цей вислів можна самостійно, якщо розглянути рекурсивную послідовність членів прогресії. Також зауважимо, що в наведеній формулі досить знати тільки перший елемент і знаменник, щоб знайти суму довільного числа членів.

Нескінченно спадна послідовність

Вище було дано пояснення, що вона собою являє. Тепер, знаючи формулу для Sn, застосуємо її до цього числовому ряду. Так як будь-яке число, модуль якого не перевищує 1, при зведенні в великі ступеня прагне до нуля, тобто b∞ \u003d\u003e 0, якщо -1

Оскільки різниця (1 - b) завжди буде позитивною, незалежно від значення знаменника, то знак суми спадної нескінченно прогресії геометричної S∞ однозначно визначається знаком її першого елемента a1.

Тепер розглянемо кілька завдань, де покажемо, як застосовувати отримані знання на конкретних числах.

Завдання № 1. Обчислення невідомих елементів прогресії і суми

Дана прогресія геометрична, знаменник прогресії 2, а її перший елемент 3. Чому дорівнюватимуть її 7-й і 10-й члени, і яка сума її семи початкових елементів?

Умова завдання складено досить просто і передбачає безпосереднє використання вищезгаданих формул. Отже, для обчислення елемента з номером n використовуємо вираз an \u003d bn-1 * a1. Для 7-го елемента маємо: a7 \u003d b6 * a1, підставляючи відомі дані, отримуємо: a7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. Аналогічним чином поступаємо для 10-го члена: a10 \u003d 29 * 3 \u003d одна тисяча п'ятсот тридцять шість.

Скористаємося відомою формулою для суми і визначимо цю величину для 7-ми перших елементів ряду. Маємо: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.

Завдання № 2. Визначення суми довільних елементів прогресії

Нехай -2 дорівнює знаменник прогресії в геометричній прогресії bn-1 * 4, де n - ціле число. Необхідно визначити суму з 5-го по 10-й елемент цього ряду включно.

Поставлена \u200b\u200bпроблема не може бути вирішена безпосередньо з використанням відомих формул. Вирішити її можна 2-ма різними методами. Для повноти викладу теми наведемо обидва.

Метод 1. Ідея його проста: необхідно розрахувати дві відповідні суми перших членів, а потім відняти від однієї іншу. Обчислюємо меншу суму: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. Тепер обчислюємо велику суму: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. Відзначимо, що в останньому виразі підсумовувалися тільки 4 доданків, оскільки 5-е вже входить в суму, яку потрібно обчислити за умовою задачі. Нарешті, беремо різницю: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

Метод 2. Перед тим, як підставляти цифри і вважати, можна отримати формулу для суми між членами m і n розглянутого ряду. Вступаємо абсолютно так само, як в методі 1, тільки працюємо спочатку з символьним поданням суми. Маємо: Snm \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) \u003d a1 * (bn - bm-1) / (b - 1). В отриманий вираз можна підставляти відомі числа і обчислювати кінцевий результат: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.

Завдання № 3. Чому дорівнює знаменник?

Нехай a1 \u003d 2, знайдіть знаменник прогресії геометричної, за умови, що її нескінченна сума становить 3, і відомо, що це регресний ряд чисел.

За умовою завдання неважко здогадатися, якою формулою слід користуватися для її вирішення. Звичайно ж, для суми прогресії нескінченно спадної. Маємо: S∞ \u003d a1 / (1 - b). Звідки висловлюємо знаменник: b \u003d 1 - a1 / S∞. Залишилося підставити відомі значення і отримати необхідне число: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 або -0,333 (3). Можна якісно перевірити цей результат, якщо згадати, що для цього типу послідовності модуль b не повинен виходити за межі 1. Як видно, | -1 / 3 |

Завдання № 4. Відновлення ряду чисел

Нехай дано 2 елементи числового ряду, наприклад, 5-й дорівнює 30 і 10-й дорівнює 60. Необхідно за цими даними відновити весь ряд, знаючи, що він задовольняє властивостям прогресії геометричної.

Щоб вирішити задачу, необхідно для початку записати для кожного відомого члена відповідний вираз. Маємо: a5 \u003d b4 * a1 і a10 \u003d b9 * a1. Тепер розділимо другий вираз на перше, отримаємо: a10 / a5 \u003d b9 * a1 / (b4 * a1) \u003d b5. Звідси визначаємо знаменник, взявши корінь п'ятого ступеня від відносини відомих з умови задачі членів, b \u003d 1,148698. Отримане число підставляємо в один з виразів для відомого елемента, отримуємо: a1 \u003d a5 / b4 \u003d 30 / (1,148698) 4 \u003d 17,2304966.

Таким чином, ми знайшли, чому дорівнює знаменник прогресії bn, і геометричну прогресію bn-1 * 17,2304966 \u003d an, де b \u003d 1,148698.

Де застосовуються прогресії геометричні?

Якби не існувало застосування цього числового ряду на практиці, то його вивчення зводилося б до чисто теоретичному інтересу. Але таке застосування існує.

Нижче перераховані 3 найзнаменитіших прикладу:

• Парадокс Зенона, в якому спритний Ахіллес не може наздогнати повільну черепаху, вирішується з використанням поняття спадної нескінченно послідовності чисел.
• Якщо на кожну клітину шахівниці класти зерна пшениці так, що на 1-ю клітину покласти 1 зерно, на 2-ю - 2, на 3-ю - 3 і так далі, то щоб заповнити всі клітини дошки знадобиться 18446744073709551615 зерен!
• У грі "Вежа Ханоя", щоб переставити диски з одного стрижня на інший, необхідно виконати 2n - 1 операцій, тобто їх число зростає в геометричній прогресії від кількості використовуваних дисків n.

Вулиця Кіевян, 16 0016 Вірменія, Єреван +374 11 233 255

наприклад, Послідовність \\ (3 \\); \\ (6 \\); \\ (12 \\); \\ (24 \\); \\ (48 \\) ... є геометричною прогресією, тому що кожен наступний елемент відрізняється від попереднього в два рази (інакше кажучи, може бути отриманий з попереднього множенням його на два):

Як і будь-яку послідовність, геометричну прогресію позначають маленької латинською літерою. Числа, що утворюють прогресію, називають її членами (Або елементами). Їх позначають тією ж буквою, що і геометричну прогресію, але з числовим індексом, рівним номеру елемента по порядку.

наприклад, Геометрична прогресія \\ (b_n \u003d \\ (3; 6; 12; 24; 48 ... \\) \\) складається з елементів \\ (b_1 \u003d 3 \\); \\ (B_2 \u003d 6 \\); \\ (B_3 \u003d 12 \\) і так далі. Іншими словами:

Якщо ви зрозуміли вищевикладену інформацію, то вже зможете вирішити більшість завдань на цю тему.

Приклад (ОГЕ):
Рішення:

відповідь : \(-686\).

Приклад (ОГЕ): Дано перші три члена прогресії \\ (324 \\); \\ (- 108 \\); \\ (36 \\) .... Знайдіть \\ (b_5 \\).
Рішення:

	Щоб продовжити послідовність, нам потрібно знати знаменник. Знайдемо його з двох сусідніх елементів: на що потрібно помножити \\ (324 \\), щоб вийшло \\ (- 108 \\)?
\\ (324 · q \u003d -108 \\)	Звідси без проблем обчислюємо знаменник.
\\ (Q \u003d - \\) \\ (\\ frac (108) (324) \\) \\ (\u003d - \\) \\ (\\ frac (1) (3) \\)	Тепер ми легко знаходимо потрібний нам елемент.
	Готовий відповідь.

відповідь : \(4\).

приклад: Прогресія задана умовою \\ (b_n \u003d 0,8 · 5 ^ n \\). Яке з чисел є членом цієї прогресії:

а) \\ (- 5 \\) б) \\ (100 \\) в) \\ (25 \\) г) \\ (0,8 \\)?

Рішення: З формулювання завдання очевидно, що одне з цих чисел точно є в нашій прогресії. Тому ми можемо просто обчислювати її члени по черзі, поки не знайдемо потрібне нам значення. Так як у нас прогресія задана формулою, то обчислюємо значення елементів, підставляючи різні \\ (n \\):
\\ (N \u003d 1 \\); \\ (B_1 \u003d 0,8 · 5 ^ 1 \u003d 0,8 · 5 \u003d 4 \\) - такого числа в списку немає. Продовжуємо.
\\ (N \u003d 2 \\); \\ (B_2 \u003d 0,8 · 5 ^ 2 \u003d 0,8 · 25 \u003d 20 \\) - і цього теж немає.
\\ (N \u003d 3 \\); \\ (B_3 \u003d 0,8 · 5 ^ 3 \u003d 0,8 · 125 \u003d 100 \\) - а ось і наш чемпіон!

відповідь: \(100\).

Приклад (ОГЕ): Дано кілька йдуть послідовно один за одним членів геометричної прогресії ... \\ (8 \\); \\ (X \\); \\ (50 \\); \\ (- 125 \\) .... Знайдіть значення елемента, позначеного літерою \\ (x \\).

Рішення:

відповідь: \(-20\).

Приклад (ОГЕ): Прогресія задана умовами \\ (b_1 \u003d 7 \\), \\ (b_ (n + 1) \u003d 2b_n \\). Знайдіть суму перших \\ (4 \\) членів цієї прогресії.

Рішення:

відповідь: \(105\).

Приклад (ОГЕ): Відомо, що в геометричній прогресії \\ (b_6 \u003d -11 \\), \\ (b_9 \u003d 704 \\). Знайдіть знаменник \\ (q \\).

Рішення:

	Зі схеми зліва видно, що щоб «потрапити» з \\ (b_6 \\) в \\ (b_9 \\) - ми робимо три «кроку», тобто три рази множимо \\ (b_6 \\) на знаменник прогресії. Іншими словами \\ (b_9 \u003d b_6 · q · q · q \u003d b_6 · q ^ 3 \\).
\\ (B_9 \u003d b_6 · q ^ 3 \\)	Підставами відомі нам значення.
\\ (704 \u003d (- 11) · q ^ 3 \\)	«Перевернемо» рівняння і розділимо його на \\ ((- 11) \\).
\\ (Q ^ 3 \u003d \\) \\ (\\ frac (704) (- 11) \\) \\ (\\: \\: \\: ⇔ \\: \\: \\: \\) \\ (q ^ 3 \u003d - \\) \\ (64 \\)	Яке число в кубі дасть \\ (- 64 \\)? Звичайно, \\ (- 4 \\)!
	Відповідь знайдений. Його можна перевірити, відновивши ланцюжок чисел від \\ (- 11 \\) до \\ (704 \\).
	Все зійшлося - відповідь вірний.

відповідь: \(-4\).

найважливіші формули

Як бачите, більшість завдань на геометричну прогресію можна вирішувати чистої логікою, просто розуміючи суть (це взагалі характерно для математики). Але іноді знання деяких формул і закономірностей прискорює і істотно полегшує вирішення. Ми вивчимо дві такі формули.

Формула \\ (n \\) - го члена: \\ (b_n \u003d b_1 · q ^ (n-1) \\), де \\ (b_1 \\) - перший член прогресії; \\ (N \\) - номер шуканого елемента; \\ (Q \\) - знаменник прогресії; \\ (B_n \\) - член прогресії з номером \\ (n \\).

За допомогою цієї формули можна, наприклад, вирішити задачу з самого першого прикладу буквально в одну дію.

Приклад (ОГЕ): Геометрична прогресія задана умовами \\ (b_1 \u003d -2 \\); \\ (Q \u003d 7 \\). Знайдіть \\ (b_4 \\).
Рішення:

відповідь: \(-686\).

Цей приклад був простим, тому формула нам полегшила обчислення не дуже сильно. Давайте розберемо завдання трохи складніше.

приклад: Геометрична прогресія задана умовами \\ (b_1 \u003d 20480 \\); \\ (Q \u003d \\ frac (1) (2) \\). Знайдіть \\ (b_ (12) \\).
Рішення:

відповідь: \(10\).

Звичайно, зводити \\ (\\ frac (1) (2) \\) в \\ (11 \\) - ую ступінь не дуже радісно, \u200b\u200bале все ж простіше ніж \\ (11 \\) раз ділити \\ (20480 \\) на два.

Сума \\ (n \\) перших членів: \\ (S_n \u003d \\) \\ (\\ frac (b_1 · (q ^ n-1)) (q-1) \\), де \\ (b_1 \\) - перший член прогресії; \\ (N \\) - кількість сумміруемих елементів; \\ (Q \\) - знаменник прогресії; \\ (S_n \\) - сума \\ (n \\) перших членів прогресії.

Приклад (ОГЕ): Дана геометрична прогресія \\ (b_n \\), знаменник якої дорівнює \\ (5 \\), а перший член \\ (b_1 \u003d \\ frac (2) (5) \\). Знайдіть суму перших шести членів цієї прогресії.
Рішення:

відповідь: \(1562,4\).

І знову ми могли вирішити задачу «в лоб» - знайти по черзі всі шість елементів, а потім скласти результати. Однак кількість обчислень, а значить і шанс випадкової помилки, різко зросли б.

Для геометричній прогресії є ще кілька формул, які ми не стали розглядати тут через їх низьку практичної користі. Ви можете знайти ці формули.

Зростаючі і спадні геометричні прогресії

У розглянутої на самому початку статті прогресії \\ (b_n \u003d \\ (3; 6; 12; 24; 48 ... \\) \\) знаменник \\ (q \\) більше одиниці і тому кожен наступний член більше попереднього. Такі прогресії називаються зростаючими.

Якщо ж \\ (q \\) менше одиниці, але при цьому позитивний (тобто, лежить в межах від нуля до одиниці), то кожен наступний елемент буде менше ніж попередній. Наприклад, в прогресії \\ (4 \\); \\ (2 \\); \\ (1 \\); \\ (0,5 \\); \\ (0,25 \\) ... знаменник \\ (q \\) дорівнює \\ (\\ frac (1) (2) \\).

Ці прогресії називаються убутними. Зверніть увагу, що жоден з елементів такої прогресу не буде негативний, вони просто стають все менше і менше з кожним кроком. Тобто, ми будемо поступово наближатися до нуля, але ніколи його не досягнемо і за нього не перейдемо. Математики в таких випадках кажуть «прагнути до нуля».

Відзначимо, що при негативному знаменнику елементи геометричної прогресії будуть обов'язково міняти знак. наприклад, У прогресії \\ (5 \\); \\ (- 15 \\); \\ (45 \\); \\ (- 135 \\); \\ (675 \\) ... знаменник \\ (q \\) дорівнює \\ (- 3 \\), і через це знаки елементів «блимають».

Геометрична прогресія - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен наступний член дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме не рівне нулю число. Геометрична прогресія позначається b1, b2, b3, ..., bn, ...

Властивості геометричної прогресії

Ставлення будь-якого члена геометричної похибки до її попереднього члену дорівнює одному й тому числу, тобто b2 / b1 \u003d b3 / b2 \u003d b4 / b3 \u003d ... \u003d bn / b (n-1) \u003d b (n + 1) / bn \u003d .... Це випливає безпосередньо з визначення арифметичній прогресії. Це число називають знаменником геометричної прогресії. Зазвичай знаменник геометричній прогресії позначають буквою q.

Одним із способів завдання геометричної прогресії є завдання її першого члена b1 і знаменника геометричній похибки q. Наприклад, b1 \u003d 4, q \u003d -2. Ці дві умови задають геометричну прогресію 4, -8, 16, -32, ....

Якщо q\u003e 0 (q не дорівнює 1), то прогресія є монотонною послідовністю. Наприклад, послідовність, 2, 4,8,16,32, ... є монотонно зростаючою послідовністю (b1 \u003d 2, q \u003d 2).

Якщо в геометричній похибки знаменник q \u003d 1, то всі члени геометричної прогресії будуть рівні між собою. У таких випадках кажуть, що прогресія є постійною послідовністю.

Формула n-го члена прогресії

Для того, щоб числова послідовність (bn) була геометричною прогресією необхідно, щоб кожен її член, починаючи з другого, був середнім геометричним сусідніх членів. Тобто необхідним є дотримання наступного рівняння - (b (n + 1)) ^ 2 \u003d bn * b (n + 2), для будь-якого n\u003e 0, де n належить множині натуральних чисел N.

Формула n-ого члена геометричної прогресії має вигляд:

bn \u003d b1 * q ^ (n-1), де n належить множині натуральних чисел N.

Розглянемо простий приклад:

У геометричній прогресії b1 \u003d 6, q \u003d 3, n \u003d 8 знайти bn.

Скористаємося формулою n-ого члена геометричної прогресії.