Що значить одночлен стандартного вигляду. Урок "Поняття одночлена. Стандартний вигляд одночлена" методична розробка з алгебри на тему. Що таке одночлен

Одночлени є твори чисел, змінних і їх ступенів. Числа, змінні і їх ступеня теж вважаються одночленной. Наприклад: 12ac, -33, a ^ 2b, a, c ^ 9. Одночлен 5aa2b2b можна привести в вид 20a ^ 2b ^ 2.Так вид називається стандартним видом одночлена.То є, стандартний вид одночлена - це твір коефіцієнта (що стоїть на першому місці) і ступенів змінних. Коефіцієнти 1 і -1 не пишуть, але від -1 зберігають мінус. Одночлен і його стандартний вигляд

Вирази 5a2x, 2a3 (-3) x2, b2x є творами чисел, змінних і їх ступенів. Такі вирази називаються одночленной. Одночленной також вважають числа, змінні і їх ступеня.

Наприклад, вирази - 8, 35, y і y2 - одночлени.

Стандартним видом одночлена називається одночлен у вигляді твору числового множника, що стоїть на першому місці, і ступенів різних змінних. Будь-одночлен можна привести до стандартного вигляду шляхом перемноження всіх змінних і чисел, що входять в нього. Наведемо приклад приведення одночлена до стандартного вигляду:

4x2y4 (-5) yx3 \u003d 4 (-5) x2x3y4y \u003d -20x5y5

Числовий множник одночлена, записаного в стандартному вигляді, називають коефіцієнтом одночлена. Наприклад коефіцієнт одночлена -7x2y2 дорівнює -7. Коефіцієнти одночленним x3 і -xy вважають рівними 1 і -1, так як x3 \u003d 1x3 і -xy \u003d -1xy

Ступенем одночлена називають суму показників степенів всіх вхідних в нього змінних. Якщо одночлен не містить змінних, тобто є числом, то його ступінь вважають рівною нулю.

Наприклад ступінь одночлена 8x3yz2 дорівнює 6, одночлена 6x дорівнює 1, одночлена -10 дорівнює 0.

Множення одночленним. Зведення одночленним в ступінь

При множенні одночленним і зведенні одночленним в ступінь використовується правило множення ступенів з однаковим підставою і правило зведення ступеня в ступінь. При цьому виходить одночлен, який зазвичай представляють у стандартному вигляді.

наприклад

4x3y2 (-3) x2y \u003d 4 (-3) x3x2y2y \u003d -12x5y3

((-5) x3y2) 3 \u003d (-5) 3x3 * 3y2 * 3 \u003d -125x9y6

Урок на тему: "Стандартний вигляд одночлена. Визначення. Приклади"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Всі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 7 класу
Електронний навчальний посібник "Зрозуміла геометрія" для 7-9 класів
Мультимедійний навчальний посібник "Геометрія за 10 хвилин" для 7-9 класів

Одночлен. визначення

одночлен - це математичний вираз, який представляє собою твір простого множника і однієї або декількох змінних.

До одночленной відносяться всі числа, змінні, їх ступеня з натуральним показником:
42; 3; 0; 6 2, 2 3, b 3; ax 4; 4x 3; 5a 2; 12xyz 3.

Досить часто буває важко визначити, чи відноситься дана математичний вираз до одночленной чи ні. Наприклад, $ \\ frac (4а ^ 3) (5) $. Це одночлен чи ні? Щоб відповісти на це питання треба спростити вираз, тобто представити у вигляді: $ \\ frac (4) (5) * а ^ 3 $.
Ми можемо точно сказати, що цей вислів - одночлен.

Стандартний вид одночлена

При обчисленнях бажано привести одночлен до стандартного вигляду. Це найбільш коротка і зрозуміла запис одночлена.

Порядок приведення одночлена до стандартного вигляду наступний:
1. Перемножити коефіцієнти одночлена (або числові множники) і отриманий результат помістити на перше місце.
2. Вибрати всі ступені з однаковим літерним підставою і перемножити їх.
3. Повторювати пункт 2 для всіх змінних.

Приклади.
I. Привести заданий одночлен $ 3x ^ 2zy ^ 3 * 5y ^ 2z ^ 4 $ до стандартного вигляду.

Рішення.
1. Перемножимо коефіцієнти одночлена $ 15х ^ 2y ^ 3z * y ^ 2z ^ 4 $.
2. Тепер наведемо подібні доданки $ 15х ^ 2y ^ 5z ^ 5 $.

II. Привести заданий одночлен $ 5a ^ 2b ^ 3 * \\ frac (2) (7) a ^ 3b ^ 2c $ до стандартного вигляду.

Рішення.
1. Перемножимо коефіцієнти одночлена $ \\ frac (10) (7) a ^ 2b ^ 3 * a ^ 3b ^ 2c $.
2. Тепер наведемо подібні доданки $ \\ frac (10) (7) a ^ 5b ^ 5c $.

У математиці існує безліч різних математичних виразів, і кекоторие з них мають своє закріпилися назви. З одним з таких понять нам і належить познайомитися - це одночлен.

Одночлен - це математичний вираз, який складається з твору чисел, змінних, кожна з яких може входити в твір в деякій мірі. Для того, щоб краще розібратися з новим поняттям, необхідно ознайомитися з декількома прикладами.

приклади одночленним

Вирази 4, x ^ 2, 3 * a ^ 4, 0.7 * c, ¾ * y ^ 2 є одночленной. Як бачите, одне тільки число або змінна (в ступені або без) теж є одночленной. А ось, наприклад, вирази 2 + с, 3 * (y ^ 2) / x, a ^ 2 -x ^ 2 вже не є одночленной, Так як вони не підходять під визначення. У першому вираженні використовується «сума», а це неприпустимо, у другому - «поділ», в третьому - різниця.

Розглянемо ще кілька прикладів.

Наприклад, вираз 2 * a ^ 3 * b / 3 теж є одночленной, хоча там і є присутнім поділ. Але в даному випадку розподіл відбувається на число, і тому відповідний вираз можна переписати таким чином: 2/3 * a ^ 3 * b. Ще один приклад: яке з виразів 2 / г і х / 2 є одночленной, а який ні? правильно відповісти, що перше вираження не одночлен, а друге одночлен.

Стандартний вид одночлена

Подивіться на наступні два вирази-одночлена: ¾ * a ^ 2 * b ^ 3 і 3 * a * 1/4 * b ^ 3 * a. Насправді це два однакових одночлена. Чи не правда, що перший вираз виглядає більш зручним, ніж друге?

Причиною цього є те, що перший вираз записано в стандартному вигляді. Стандартний вид многочлена - це твір, складений з числового множника і ступенів різних змінних. Числовий множник називається коефіцієнтом одночлена.

Для того, щоб привести одночлен до його стандартного вигляду, досить перемножити всі числові множники, присутні в одночленной, і поставити число, що вийшло на перше місце. Потім перемножити всі ступені, у яких однакові літерні підстави.

Приведення одночлена до його стандартного вигляду

Якщо в нашому прикладі в другому вираженні перемножити всі числові множники 3 * 1/4 і потім помножити a * a, то вийде перший одночлен. Ця дія називається приведення одночлена до його стандартного вигляду.

Якщо два одночлена розрізняються лише числовим коефіцієнтом або рівні між собою, то такі одночлени називаються в математиці подібними.

одночлен - це вираз, що представляє собою твір двох або більше сомножителей, кожен з яких є числом, вираженим буквою, цифрами або ступенем (з цілим невід'ємним показником):

2a, a 3 x, 4abc, -7x

Так як твір однакових співмножників можна записати у вигляді ступеня, то окремо взята ступінь (з цілим невід'ємним показником) також є одночленной:

(-4) 3 , x 5 ,

Так як число (ціле або дробове), виражене буквою або цифрами, можна записати у вигляді добутку цього числа на одиницю, то будь-який окремо взятий число теж можна розглядати як одночлен:

x, 16, -a,

Стандартний вид одночлена

Стандартний вид одночлена - це одночлен, у якого тільки один числовий множник, який обов'язково повинен бути записаний на першому місці. Всі змінні стоять в алфавітному порядку і міститися в одночленной тільки один раз.

Числа, змінні і ступеня змінних також відносяться до одночленной стандартного виду:

7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - одночлени стандартного вигляду.

Числовий множник одночлена стандартного вигляду називається коефіцієнтом одночлена. Коефіцієнти одночлена рівні 1 і -1 зазвичай не пишуть.

Якщо в одночленной стандартного виду немає числового множника, то мається на увазі, що коефіцієнт одночлена дорівнює 1:

x 3 \u003d 1 · x 3

Якщо в одночленной стандартного виду немає числового множника і перед ним стоїть знак мінус, то мається на увазі, що коефіцієнт одночлена дорівнює -1:

-x 3 \u003d -1 · x 3

Приведення одночлена до стандартного вигляду

Щоб привести одночлен до стандартного вигляду треба:

1. Перемножити числові множники, якщо їх декілька. Звести числовий множник в ступінь, якщо у нього є показник. Поставити числовий множник на перше місце.
2. Перемножити всі однакові змінні, щоб кожна змінна зустрічалася в одночленной тільки один раз.
3. Розташувати змінні після числового множника в алфавітному порядку.

Приклад. Уявіть одночлен в стандартному вигляді:

а) 3 yx 2 · (-2) y 5 x; б) 6 bc · 0,5 ab 3

Рішення:

а) 3 yx 2 · (-2) y 5 x \u003d 3 · (-2) x 2 xyy 5 = -6x 3 y 6
б) 6 bc · 0,5 ab 3 \u003d 6 · 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c

ступінь одночлена

ступінь одночлена - це сума показників ступенів всіх вхідних в нього букв.

Якщо одночлен є числом, тобто не містить змінних, то його ступінь вважається рівною нулю. наприклад:

5, -7, 21 - одночлени нульової ступеня.

Отже, щоб визначити ступінь одночлена, потрібно визначити показник ступеня кожної з вхідних в нього букв і скласти ці показники. Якщо показник літери не вказано, значить він дорівнює одиниці.

приклади:

Так як у x показник ступеня не вказано, значить він дорівнює 1. Інших змінних одночлен не містить, отже його ступінь дорівнює 1.

Одночлен містить всього одну змінну в другому ступені, значить ступінь даного одночлена дорівнює 2.

3) ab 3 c 2 d

показник a дорівнює 1, показник b - 3, показник c - 2, показник d - 1. Ступінь даного одночлена дорівнює сумі цих показників.

I. Вирази, які складені з чисел, змінних і їх ступенів, за допомогою дії множення називаються одночленной.

Приклади одночленним:

а) a; б) ab; в) 12; г) -3c; д) 2a 2 ∙ (-3,5b) 3; е) -123,45xy 5 z; ж) 8ac ∙ 2,5a 2 ∙ (-3c 3).

II. Такий вид одночлена, коли на першому місці стоїть числовий множник (коефіцієнт), а за ним змінні з їх ступенями, називають стандартним видом одночлена.

Так, одночлени, наведені вище, під буквами а Б В), г)і е)записані в стандартному вигляді, а одночлени під буквами д) і ж) потрібно привести до стандартного вигляду, т. е. до такого виду, коли на першому місці стоїть числовий множник, а за ним записують буквені множники з їх показниками, причому, літерні множники стоять в алфавітному порядку. Наведемо одночлени д) і ж) до стандартного вигляду.

д) 2a 2 ∙ (-3,5b) 3\u003d 2a 2 ∙ (-3,5) 3 ∙ b 3 \u003d -2a 2 ∙ 3,5 ∙ 3,5 ∙ 3,5 ∙ b 3 \u003d -85,75a 2 b 3;

ж) 8ac ∙ 2,5a 2 ∙ (-3c 3)\u003d -8 ∙ 2,5 ∙ 3a 3 c 3 \u003d -60a 3 c 3.

III. Суму показників ступенів всіх змінних, що входять до складу одночлена, називають ступенем одночлена.

Приклади. Яку ступінь мають одночлени а) - ж)?

а) a. першу;

б) ab. другу: а в першого ступеня і b в першого ступеня-сума показників 1+1=2 ;

в) 12. Нульову, так як буквених множників немає;

г) -3c.першу;

д) -85,75a 2 b 3.П'яту. Ми привели цей одночлен до стандартного вигляду, маємо а в другому ступені і b в третій. Складаємо показники: 2+3=5 ;

е) -123,45xy 5 z. Сьому. Склали показники ступенів буквених множників: 1+5+1=7 ;

ж) -60a 3 c 3.Шосту, так як сума показників буквених множників 3+3=6 .

IV. Одночлени, що мають однакову буквену частину, називаються подібними одночленной.

Приклад.Вказати подібні одночлени серед даних одночленним 1) -7).

1) 3aabbc; 2) -4,1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 2 bac; 5) 10aaa 2 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 y.

Наведемо одночлени 1), 4) і 5) до стандартного вигляду. Тоді рядок даних одночленним буде виглядати так:

1) 3a 2 b 2 c; 2) -4,1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3 bc; 5) 10a 4 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 y.

Подібними будуть ті, які мають однакову буквену частину, тобто 1) і 3); 2) і 4); 5) і 6).

1) 3a 2 b 2 c і 3) 56a 2 b 2 c;

2) -4,1a 3 bc і 4) 98,7a 3 bc;

5) 10a 4 x і 6) -2,3a 4 x.