Що таке число пі. Це чарівне число пі. Історія числа "пі"

Відношення довжини кола до її діаметра одне й те саме для всіх кіл. Це ставлення прийнято позначати грецькою літерою (“пі” - початкова літера грецького слова , Яке і означало "коло").

Архімед у творі "Вимірювання кола" обчислив відношення довжини кола до діаметра (число) і виявив, що воно укладено між 3 10/71 і 3 1/7.

Довгий час як наближене значення використовували число 22/7, хоча вже в V столітті в Китаї було знайдено наближення 355/113 = 3,1415929 ..., яке було відкрито знову в Європі лише в XVI столітті.

У Стародавній Індії вважали рівним = 3,1622.

Французький математик Ф. Вієт вирахував у 1579 р. з 9 знаками.

Голландський математик Лудольф Ван Цейлен у 1596 р. публікує результат своєї десятирічної праці – число, обчислене з 32 знаками.

Але ці уточнення значення числа проводилися методами, зазначеними ще Архімедом: коло замінювалася багатокутником з дедалі більшим числом сторін. Периметр вписаного багатокутника при цьому був меншим за довжину кола, а периметр описаного багатокутника – більший. Але при цьому залишалася неясною, чи є число раціональним, тобто ставленням двох цілих чисел, чи ірраціональним.

Лише 1767 р. німецький математик І.Г. Ламберт довів, що число ірраціональне.

А ще через сто років у 1882 р. інший німецький математик - Ф. Ліндеман довів його трансцендентність, що означало і неможливість побудови за допомогою циркуля і лінійки квадрата, рівновеликого даному колу.

Найпростіший вимір

Накреслимо на щільному картоні коло діаметра d(=15 см), виріжемо коло, що вийшло, і обмотаємо навколо нього тонку нитку. Вимірявши довжину l(=46,5 см)одного повного обороту нитки, розділимо l на довжину діаметра d кола. Частка, що вийшла, буде наближеним значенням числа, тобто. = l/ d= 46,5 см/15 см = 3,1. Цей досить грубий метод дає у нормальних умовах наближене значення числа з точністю до 1.

Вимірювання за допомогою зважування

На аркуші картону накреслимо квадрат. Впишемо в нього коло. Виріжемо квадрат. Визначимо масу картонного квадрата з допомогою шкільних терезів. Виріжемо із квадрата коло. Зважимо і його. Знаючи маси квадрата m кв (=10 г)та вписаного в нього кола m кр (=7,8 г)скористаємося формулами

де p і h-відповідно щільність і товщина картону, S- площа фігури. Розглянемо рівність:

Природно, що у разі наближене значення залежить від точності зважування. Якщо картонні фігури, що зважуються, будуть досить великими, то можливо навіть на звичайних вагах отримати такі значення мас, які забезпечать наближення числа з точністю до 0,1.

Підсумовування площ прямокутників, вписаних у півколо

Малюнок 1

Нехай А (a; 0), В (b; 0). Опишемо на АВ півколо як на діаметрі. Розділимо відрізок АВ на n рівних частин точками x 1 , x 2 , ..., x n-1 і відновимо їх перпендикуляри до перетину з півколом. Довжина кожного перпендикуляра – це значення функції f(x)= . З малюнка 1 ясно, що площу S півкола можна обчислити за формулою

S = (b – a) ((f(x 0) + f(x 1) + … + f(x n-1)) / n.

У нашому випадку b=1, a=-1. Тоді = 2 S.

Значення будуть тим точнішими, чим більше точок поділу буде на відрізку АВ. Полегшити одноманітну обчислювальну роботу допоможе комп'ютер, котрому нижче наводиться програма 1, складена Бейсике.

Програма 1

REM "Обчислення пі"
REM "Метод прямокутників"
INPUT "Введіть число прямокутників", n
dx = 1/n
FOR i = 0 TO n - 1
f = SQR(1 - x ^ 2)
x = x + dx
a = a + f
NEXT i
p = 4*dx*a
PRINT "Значення пі дорівнює", p
END

Програму було набрано та запущено при різних значеннях параметра n. Отримані значення числа записані у таблиці:

Метод Монте-Карло

Це практично спосіб статистичних випробувань. Свою екзотичну назву він отримав від міста Монте-Карло у князівстві Монако, знаменитого своїми гральними будинками. Справа в тому, що метод вимагає застосування випадкових чисел, а одним із найпростіших приладів, що генерують випадкові числа, може бути рулетка. Втім, можна отримати випадкові числа і за допомогою дощу.

Для досвіду приготуємо шматок картону, намалюємо на ньому квадрат і впишемо у квадрат чверть кола. Якщо таке креслення якийсь час потримати під дощем, то на його поверхні залишаться сліди крапель. Підрахуємо число слідів усередині квадрата та всередині чверті кола. Вочевидь, що й ставлення буде приблизно дорівнює відношенню площ цих постатей, оскільки потрапляння крапель у різні місця креслення рівноймовірне. Нехай N кр- Число крапель у колі, N кв– число крапель у квадраті, тоді

4 N кр/N кв.

Малюнок 2

Дощ можна замінити таблицею випадкових чисел, що складається за допомогою комп'ютера за спеціальною програмою. Кожному сліду краплі поставимо у відповідність два випадкові числа, що характеризують його положення вздовж осей Охі Оу. Випадкові числа можна вибрати з таблиці будь-якому порядку, наприклад, поспіль. Нехай перше чотиризначне число у таблиці 3265 . З нього можна приготувати пару чисел, кожне з яких більше за нуль і менше одиниці: х = 0,32, у = 0,65. Ці числа вважатимемо координатами краплі, т. е. крапля начебто потрапила до крапки (0,32; 0,65). Аналогічно чинимо і з усіма вибраними випадковими числами. Якщо виявиться, що для точки (х; у)виконується нерівність, тобто вона лежить поза коло. Якщо х + у = 1точка лежить всередині кола.

Для підрахунку значення скористаємося формулою (1). Помилка обчислень з цього методу, зазвичай, пропорційна , де D – деяка стала, а N – число випробувань. У разі N = N кв. З цієї формули видно: для того щоб зменшити помилку в 10 разів (інакше кажучи, щоб отримати у відповіді ще один вірний десятковий знак), потрібно збільшити N, тобто обсяг роботи, у 100 разів. Зрозуміло, що застосування методу Монте-Карло стало можливим лише завдяки комп'ютерам. Програма 2 реалізує на комп'ютері описаний спосіб.

Програма 2

REM "Обчислення пі"
REM "Метод Монте-Карло"
INPUT "Введіть число крапель", n
m = 0
FOR i = 1 TO n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t\100)
y = t - x * 100
IF x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
NEXT i
p = 4*m/n

END

Програму було набрано та запущено при різних значеннях параметра n. Отримані значення числа записані у таблиці:

n
n

Метод "падаючої голки"

Візьмемо звичайну швейну голку та аркуш паперу. На аркуші проведемо кілька паралельних прямих так, щоб відстані між ними були рівними і перевищували довжину голки. Креслення має бути досить великим, щоб випадково кинута голка не впала поза її межами. Введемо позначення: а- відстань між прямими, l- Довжина голки.

Малюнок 3

Положення випадковим чином кинутої на креслення голки (див. рис. 3) визначається відстанню Х від її середини до найближчої прямої та кутом j, якою голка утворює з перпендикуляром, опущеним із середини голки на найближчу пряму (див. рис. 4). Зрозуміло, що

Малюнок 4

На рис. 5 зобразимо графічну функцію y=0,5 cos. Різні розташування голки характеризуються точками з координатами (; у ), що розташовані на ділянці ABCD. Зафарбована ділянка AED – це точки, які відповідають нагоді перетину голки із прямою. Ймовірність події a- "голка перетнула пряму" - обчислюється за формулою:

Малюнок 5

Ймовірність p(a)можна приблизно визначити багаторазовим киданням голки. Нехай голку кидали на креслення cраз і pраз вона впала, перетинаючи одну з прямих, тоді за досить великого cмаємо p(a) = p / c. Звідси = 2 l з/a k.

Зауваження. Викладений метод є варіацією методу статистичних випробувань. Він цікавий з дидактичного погляду, оскільки допомагає поєднати простий досвід із складанням досить складної математичної моделі.

Обчислення за допомогою ряду Тейлора

Звернемося до розгляду довільної функції f(х).Припустимо, що для неї в точці x 0існують похідні всіх порядків до n-го включно. Тоді для функції f(х)можна записати ряд Тейлора:

Обчислення за допомогою цього ряду будуть тим точнішими, чим більше членів ряду буде задіяно. Реалізувати цей спосіб, звичайно, найкраще на комп'ютері, для чого можна скористатися програмою 3.

Програма 3

REM "Обчислення пі"
REM "Розкладання в ряд Тейлора"
INPUT n
a = 1
FOR i = 1 TO n
d = 1/(i+2)
f = (-1) ^i*d
a = a + f
NEXT i
p = 4*a
PRINT "значення пі одно"; p
END

Програму було набрано та запущено при різних значеннях параметра n . Отримані значення числа записані у таблиці:

Є дуже прості мнемонічні правила для запам'ятовування значення числа:

Значення числа "Пі", як та її символіка відома у всьому світі. Цей термін позначає ірраціональні числа (тобто їх значення не може бути точно виражено у вигляді дробу y/x, де y і x - цілі числа) і запозичений і давньогрецький фразеологізм "переферія", що можна перекласти російською, як "коло".
Число "Пі" в математиці позначає відношення довжини кола до довжини її діаметра.Історія походження числа "Пі" йде в далеке минуле. Багато істориків намагалися встановити, коли і ким був придуманий цей символ, але з'ясувати так і не вдалося.

Число Пі"є трансцендентним числом, або простими словами воно може бути корінням якогось многочлена з цілими коефіцієнтами. Воно може позначатися, як речовинне або, як непряме число, яке є алгебраїчним.

Число "Пі" дорівнює 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510...

Число Пі"може бути не лише ірраціональним числом, яке не можна висловити за допомогою кількох різних чисел. Число "Пі" можна уявити якогось десяткового дробу, яке має в своєму розпорядженні нескінченне безліч цифр після коми. Ще цікавий момент – усі ці числа не здатні повторюватися.

Число Пі"можна співвіднести з дробовим числом 22/7, так званим символом "потрійної октави". Це число знали ще давньогрецькі жерці. Крім того, навіть прості жителі могли застосовувати його для вирішення будь-яких побутових проблем, а також використовувати для проектування таких складних будов, як усипальниці.
Як заявляє вчений і дослідник Хейєнс, подібне число можна простежити серед руїн Стоунхенджа, а також виявити в мексиканських пірамідах.

Число Пі"згадував у своїх працях Ахмес, відомий на той час інженер. Він намагався найточніше розрахувати його, використовуючи для цього вимірювання діаметра кола за намальованими всередині нього квадратами. Ймовірно, у певному сенсі це число має якийсь містичний, сакральний для стародавніх сенс.

Число Пі"по суті є найзагадковішим математичним символом. Його можна зарахувати до дельти, омеги та ін. Воно являє собою таке ставлення, яке виявиться таким, незалежно в якій точці світобудови буде знаходитися спостерігач. Крім того, воно буде незмінним від об'єкта виміру.

Найімовірніше, першою людиною, яка вирішила обчислити число "Пі" за допомогою математичного методу, є Архімед. Він вирішив він малював у колі правильні багатокутники. Вважаючи діаметр кола одиницею, вчений позначав периметр намальованого у колі багатокутника, розглядаючи периметр вписаного багатокутника, як верхню оцінку, а як нижню оцінку довжини кола

Що таке число "Пі"

Вступ

У статті присутні математичні формули, тому для читання перейдіть на сайт для їхнього коректного відображення.Число (pi) має багату історію. Ця константа позначає відношення довжини кола до її діаметру.

У науці число \(\pi\) використовують у будь-яких розрахунках, де є кола. Починаючи з обсягу банки газування, до орбіт супутників. І не лише кола. Адже у вивченні кривих ліній число \(\pi\) допомагає зрозуміти періодичні та коливальні системи. Наприклад, електромагнітні хвилі та навіть музику.

У 1706 році в книзі «Нове введення в математику» британського вченого Вільяма Джонса (1675-1749 рр.) для позначення числа 3,141592… вперше була використана літера грецького алфавіту (pi). Це позначення походить від початкової літери грецьких слів περιϕερεια — коло, периферія та περιµετρoς — периметр. Загальноприйнятим позначенням стало після робіт Леонарда Ейлера в 1737 році.

Геометричний період

Постійність відношення довжини будь-якого кола до її діаметру було помічено вже давно. Жителі Межиріччя застосовували досить грубе наближення числа (pi). Як випливає з стародавніх завдань, у своїх розрахунках вони використовують значення (pi ≈ 3).

Точніше значення для \(\pi\) використовували древні єгиптяни. У Лондоні та Нью-Йорку зберігаються дві частини давньоєгипетського папірусу, який називають «папірус Рінда». Папірус був складений писарем Армесом приблизно між 2000-1700 рр. до н.е. Армес у своєму папірусі написав, що площа кола з радіусом \(r\) дорівнює площі квадрата зі стороною, що дорівнює \(\frac(8)(9) \) від діаметра кола \(\frac(8) )(9) \cdot 2r \), тобто \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Звідси \(\pi=3,16\).

Давньогрецький математик Архімед (287-212 рр. е.) вперше поставив завдання виміру кола на науковий грунт. Він отримав оцінку \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Метод досить простий, але за відсутності готових таблиць тригонометричних функцій знадобиться вилучення коренів. Крім цього, наближення сходить до \(\pi\) дуже повільно: з кожною ітерацією похибка зменшується лише вчетверо.

Аналітичний період

Незважаючи на це, до середини 17 століття всі спроби європейських вчених обчислити число зводилися до збільшення сторін багатокутника. Так, наприклад, голландський математик Лудольф ван Цейлен (1540-1610 рр.) обчислив наближене значення числа \(\pi\) з точністю до 20-ти десяткових цифр.

На обчислення йому знадобилося 10 років. Подвоюючи за методом Архімеда кількість сторін вписаних та описаних багатокутників, він дійшов до \(60\cdot 2^(29)\) - кутника з метою обчислення \(\pi\) з 20 десятковими знаками.

Після смерті в його рукописах було виявлено ще 15 точних цифр числа \(\pi\). Лудольф заповів, щоб знайдені ним знаки були висічені на його надгробку. На честь нього число \(\pi\) іноді називали "лудольфовим числом" або "константою Лудольфа".

Одним із перших, хто представив метод, відмінний від методу Архімеда, був Франсуа Вієт (1540-1603 рр.). Він прийшов до результату, що коло, діаметр якого дорівнює одиниці, має площу:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) ) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt (\frac(1)(2) \cdots )))) \]

З іншого боку, площа дорівнює \(\frac(\pi)(4) \). Підставивши і спростивши вираз, можна отримати таку формулу нескінченного твору для обчислення наближеного значення \(\frac(\pi)(2) \):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2) )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Отримана формула є першим точним аналітичним виразом для числа \(\pi\). Крім цієї формули, Вієт, використовуючи метод Архімеда, дав за допомогою вписаних та описаних багатокутників, починаючи з 6-кутника і закінчуючи багатокутником з \(2^(16) \cdot 6 \) сторонами наближення числа \(\pi\) з 9 правильними знаками.

Англійський математик Вільям Броункер (1620-1684 рр.), використовуючи ланцюговий дріб, отримав наступні результати обчислення \(\frac(\pi)(4)\):

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

Даний метод обчислення наближення числа \(\frac(4)(\pi) \) вимагає досить великих обчислень, щоб отримати хоча б невелике наближення.

Отримані в результаті підстановки значення то більше, то менше числа \(\pi \), і щоразу все ближче до справжнього значення, але для отримання значення 3,141592 потрібно зробити досить великі обчислення.

Інший англійський математик Джон Мечин (1686-1751 рр.) в 1706 для обчислення числа \(\pi \) зі 100 десятковими знаками скористався формулою, виведеною Лейбніцем в 1673, і застосував її наступним чином:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) — arctg\frac(1)(239) \]

Ряд швидко сходиться і за його допомогою можна обчислити число \(\pi\) з великою точністю. Формули подібного типу використовувалися для встановлення кількох рекордів за доби комп'ютерів.

У XVII ст. з початком періоду математики змінної величини настав новий етап у обчисленні \(\pi\). Німецький математик Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716 рр.) в 1673 знайшов розкладання числа \(\pi \), в загальному вигляді його можна записати наступним нескінченним рядом:

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

Ряд виходить при підстановці x = 1 в \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) - \cdots\)

Леонард Ейлер розвиває ідею Лейбніца у своїх роботах, присвячених використанню рядів для arctg x при обчисленні числа \(\pi\). У трактаті "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" (Про різні методи вираження квадратури кола наближеними числами), написаному в 1738, розглядаються методи удосконалення обчислень за формулою Лейбніца.

Ейлер пише про те, що ряд для арктангенса буде сходитися швидше, якщо аргумент буде прагнути нуля. Для \(x = 1\) збіжність ряду дуже повільна: для обчислення з точністю до 100 цифр необхідно скласти \(10^(50)\) членів ряду. Прискорити обчислення можна, зменшивши значення аргументу. Якщо прийняти \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), то виходить ряд

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 — \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) - \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

За твердженням Ейлера, якщо ми візьмемо 210 членів цього ряду, отримаємо 100 вірних знаків числа. Отриманий ряд незручний, тому що необхідно знати досить точне значення ірраціонального числа (sqrt(3)). Також Ейлер у своїх обчисленнях використав розкладання арктангенсів на суму арктангенсів менших аргументів:

\[Де x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Не всі формули для обчислення \(\pi\), які використовував Ейлер у своїх записниках, були опубліковані. В опублікованих роботах і записних книжках він розглянув 3 різних ряди для обчислення арктангенса, а також навів безліч тверджень щодо кількості сумованих членів, необхідних для отримання наближеного значення \(\pi \) з заданою точністю.

У наступні роки уточнення значення числа \(\pi\) відбувалися все швидше і швидше. Так, наприклад, у 1794 році Георг Вега (1754-1802 рр.) визначив вже 140 знаків, з яких лише 136 виявилися вірними.

Період комп'ютерних обчислень

XX століття ознаменовано абсолютно новим етапом у обчисленні числа \(\pi\). Індійський математик Срініваса Рамануджан (1887-1920 рр.) виявив безліч нових формул для \(\pi\). У 1910 році він отримав формулу для обчислення \(\pi\) через розкладання арктангенса в ряд Тейлора:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

При k=100 досягається точність 600 вірних цифр числа \(\pi \).

Поява ЕОМ дозволило значно збільшити точність одержуваних значень за короткі терміни. У 1949 році всього за 70 годин за допомогою ENIAC група вчених під керівництвом Джона фон Неймана (1903-1957 рр.) отримала 2037 знаків після коми числа \(\pi\). Давид і Грегорій Чудновські в 1987 році отримали формулу, за допомогою якої змогли встановити кілька рекордів у обчисленні \(\pi\):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Кожен член низки дає по 14 цифр. У 1989 році було отримано 1011196691 цифр після коми. Ця формула добре підходить для обчислення \(\pi\) на персональних комп'ютерах. На даний момент брати є професорами політехнічного інституту Нью-Йоркського університету.

Важливою подією недавнього часу стало відкриття формули 1997 року Саймоном Плаффом. Вона дозволяє витягти будь-яку шістнадцяткову цифру числа \(\pi\) без обчислення попередніх. Формула зветься «Формула Бейлі – Боруейна – Плаффа» на честь авторів статті, де формула була вперше опублікована. Вона має такий вигляд:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) — \frac(2)(8k+4) ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

У 2006 році Саймон, використовуючи PSLQ, отримав кілька красивих формул для обчислення \(\pi\). Наприклад,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) - 1) - \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

де \(q = e^(\pi)). У 2009 році японські вчені, використовуючи суперкомп'ютер T2K Tsukuba System, отримали число \(\pi\) з 2576980377524 десятковими знаками після коми. Обчислення зайняли 73 години 36 хвилин. Комп'ютер був оснащений 640-ма чотирма ядерними процесорами AMD Opteron, що забезпечило продуктивність в 95 трильйонів операцій на секунду.

Наступне досягнення у обчисленні \(\pi\) належить французькому програмісту Фабрісу Беллару, який наприкінці 2009 року на своєму персональному комп'ютері під керуванням Fedora 10 встановив рекорд, обчисливши 2 699 999 990 000 знаків після коми числа \(\pi\). За останні 14 років це перший світовий рекорд, поставлений без використання суперкомп'ютера. Для високої продуктивності Фабріс використав формулу братів Чудновських. Загалом обчислення зайняло 131 день (103 дні розрахунки та 13 днів перевірка результату). Досягнення Беллара показало, що з таких обчислень необов'язково мати суперкомп'ютер.

Всього через півроку рекорд Франсуа був побитий інженерами Олександром Йі та Сінгер Кондо. Для встановлення рекорду в 5 трильйонів знаків після коми числа \(\pi\) був також використаний персональний комп'ютер, але вже з більш значними характеристиками: два процесори Intel Xeon X5680 по 3,33 ГГц, 96 ГБ оперативної пам'яті, 38 ТБ дискової пам'яті та Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Для обчислень Олександр і Сінгер використовували формулу братів Чуднівських. Процес обчислення зайняв 90 днів та 22 ТБ дискового простору. У 2011 році вони встановили ще один рекорд, обчисливши 10 трильйонів десяткових знаків числа \(\pi\). Обчислення відбувалися на тому ж комп'ютері, на якому було поставлено їхній попередній рекорд і зайняв загалом 371 день. Наприкінці 2013 року Олександр та Сінгер покращили рекорд до 12,1 трильйона цифр числа \(\pi\), обчислення яких зайняло у них всього 94 дні. Таке покращення у продуктивності досягнуто завдяки оптимізації продуктивності програмного забезпечення, збільшення кількості ядер процесора та значного покращення відмовостійкості ПЗ.

Поточним рекордом є рекорд Олександра Йі та Сінгеру Кондо, який становить 12,1 трильйона цифр після коми числа \(\pi\).

Таким чином, ми розглянули методи обчислення числа \(\pi\), що використовуються в давні часи, аналітичні методи, а також розглянули сучасні методи та рекорди з обчислення числа \(\pi\) на комп'ютерах.

Список джерел

1. Жуков О.В. Всюдисуще число Пі - М.: Вид-во ЛКІ, 2007 - 216 с.
2. Ф.Рудіо. Про квадратуру кола, з додатком історії питання, складеної Ф.Рудіо. / Рудіо Ф. - М.: ОНТІ НКТП СРСР, 1936. - 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. - Springer, 2001. - 270p.
4. Шухман, Є.В. Наближене обчислення числа Пі за допомогою ряду arctg x в опублікованих і неопублікованих роботах Леонарда Ейлера / Е.В. Шухман. - Історія науки та техніки, 2008 - №4. - С. 2-17.
5. Euler, L. De variis modes circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 - Vol.9 - 222-236p.
6. Шуміхін, С. Число Пі. Історія довжиною в 4000 років / С. Шуміхіна, А. Шуміхіна. - М.: Ексмо, 2011. - 192с.
7. Борвейн, Дж.М. Рамануджан та число Пі. / Борвейн, Дж.М., Борвейн П.Б. У світі науки. 1988 – №4. - С. 58-66.
8. Alex Yee. Номер світу. Access mode: numberworld.org

Сподобалось?

Розкажи

Значення числа(вимовляється «пі») - математична константа, рівна відношенню

Позначається буквою грецького алфавіту пі. Стара назва лудольфове число.

Чому дорівнює число пі?У найпростіших випадках вистачає знати перші 3 знаки (3,14). Але для більш

складних випадків і там, де потрібна більша точність, необхідно знати більше, ніж 3 цифри.

Яке число пі? Перші 1000 знаків числа пі після коми:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...

У звичайних умовах приблизне значення числа пі можна обчислити за пунктами,

наведеним нижче:

1. Беремо коло, обмотуємо по краю нитку один раз.
2. Вимірюємо довжину нитки.
3. Вимірюємо діаметр кола.
4. Ділимо довжину нитки на довжину діаметра. Отримали кількість пі.

Властивості числа Пі.

• пі- Ірраціональне число, тобто. значення числа пі не можна точно виразити у вигляді

дроби m/n, де mі nє цілими числами. З цього видно, що десяткове уявлення

числа пі ніколи не закінчується і воно не є періодичним.

• пі- трансцендентне число, тобто. воно не може бути корінням якогось багаточлена з цілими

коефіцієнтами. У 1882 році професор Кенігсберзький довів трансцендентність числа пі, а

Пізніше, професором Мюнхенського університету Ліндеманом. Доказ спростив

Фелікс Клейн у 1894 році.

• тому що в евклідовій геометрії площа кола і довжина кола - це функції числа пі,

то доказ трансцендентності піддав кінець суперечці про квадратуру кола, що тривало більше

2,5 тисячі років.

• піє елементом кільця періодів (тобто обчислюваним і арифметичним числом).

Але ніхто не знає, чи належить до кільця періодів.

Формула числа пі.

• Франсуа Вієт:

• Формула Валліса:

• Ряд Лейбниця:

• Інші ряди:

Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версія роботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF

ВСТУП

1. Актуальність роботи.

У нескінченній безлічі чисел, так само як серед зірок Всесвіту, виділяються окремі числа та цілі їх «сузір'я» дивовижної краси, числа з незвичайними властивостями та своєрідною, тільки їм властивою гармонією. Потрібно лише вміти побачити ці числа, помітити їхні властивості. Вдивіться в натуральний ряд чисел - і ви знайдете в ньому багато дивовижного та дивовижного, кумедного та серйозного, несподіваного та курйозного. Бачить той, хто дивиться. Адже люди й у літню зіркову ніч не помітять… сяйво. Полярної зірки, якщо не спрямують свій погляд у безхмарну височінь.

Переходячи з класу в клас, я познайомився з натуральними, дробовими, десятковими, негативними, раціональними. Цього року я вивчив ірраціональні. Серед ірраціональних чисел є особлива кількість, точними обчисленнями яких займаються вчені вже багато століть. Воно зустрілося мені ще у 6 класі щодо теми «Довжина кола і площа кола». Було наголошено на тому, що досить часто зустрічатимемося з ним на уроках у старших класах. Цікавими були практичні завдання на знаходження числового значення числа π. Число π є одним із найцікавіших чисел, що зустрічаються при вивченні математики. Воно зустрічається у різних шкільних дисциплінах. З числом π пов'язано багато цікавих фактів, тому воно викликає інтерес до вивчення.

Почувши про це багато цікавого, я сам вирішив шляхом вивчення додаткової літератури та пошуку в Інтернеті дізнатися якомога більше інформації про нього та відповісти на проблемні питання:

Як давно люди знали про кількість пі?

Навіщо необхідно його вивчення?

Які цікаві факти з ним пов'язані

Чи вірно, що значення пі дорівнює приблизно 3,14

Тому перед собою я поставив ціль:досліджувати історію числа π та значимість числа π на сучасному етапі розвитку математики.

Завдання:

Вивчити літературу для одержання інформації про історію числа π;

Встановити деякі факти із «сучасної біографії» числа π;

Практичне обчислення наближеного значення відношення довжини кола до діаметра.

Об'єкт дослідження:

Об'єкт дослідження: Число ПІ.

Предмет дослідження:Цікаві факти, пов'язані з кількістю ПІ.

2. Основна частина. Дивовижне число π.

Ніяке інше число не є таким загадковим, як "Пі" з його знаменитим числовим рядом, що ніколи не закінчується. У багатьох галузях математики та фізики вчені використовують це число та його закони.

Мало якого числа з усіх чисел, що використовуються в математиці, в природничих науках, в інженерній справі та в повсякденному житті, приділяється стільки уваги, скільки приділяється числу пі. В одній книзі йдеться: «Число пі захоплює уми геніїв науки та математиків-аматорів у всьому світі» (Fractals for the Classroom).

Його можна зустріти теоретично ймовірностей, у вирішенні завдань з комплексними числами та інших несподіваних і далеких від геометрії областях математики. Англійський математик Август де Морган назвав якось "пі" “…загадковим числом 3,14159…, яке лізе у двері, у вікно та через дах”. Це таємниче число, пов'язане з одним із трьох класичних завдань Античності - побудова квадрата, площа якого дорівнює площі заданого кола - тягне за собою шлейф драматичних історичних та курйозних цікавих фактів.

Деякі навіть вважають його одним із п'яти найважливіших чисел у математиці. Але, як зазначається в книзі "Fractals for the Classroom", при всій важливості числа пі "важко знайти сфери в наукових розрахунках, де потрібно більше двадцяти десяткових знаків пі".

3. Поняття числа пі

Число π — математична константа, що виражає відношення довжини кола до довжини її діаметра. Число π (вимовляється «пі») - Математична константа, що виражає відношення довжини кола до довжини її діаметра. Позначається буквою грецького алфавіту пі.

У цифровому вираженні π починається як 3,141592 і має нескінченну математичну тривалість.

4. Історія числа "пі"

Як вважають фахівці, це число було відкрито вавилонськими магами. Воно використовувалося під час будівництва знаменитої Вавилонської вежі. Проте недостатньо точне обчислення значення Пі призвело до краху проекту. Можливо, що ця математична константа була основою будівництва легендарного Храму царя Соломона.

Історія числа пі, що виражає відношення довжини кола до її діаметра, почалася в Стародавньому Єгипті. Площа кола діаметром dєгипетські математики визначали як (d-d/9) 2 (Цей запис дано тут у сучасних символах). З наведеного виразу можна зробити висновок, що в той час число p вважали рівним дробу (16/9) 2 , або 256/81 , тобто. π = 3,160...

У священній книзі джайнізму (однієї з найдавніших релігій, що існували в Індії і виникла в VI ст. до н.е.) є вказівка, з якої випливає, що число p в той час приймали рівним, що дає дріб 3,162... Древні греки Євдокс, Гіппократта інші виміри кола зводили до побудови відрізка, а вимір кола - до побудови рівновеликого квадрата. Слід зазначити, що багато століть математики різних країн і народів намагалися висловити ставлення довжини кола до діаметра раціональним числом.

Архімеду III ст. до н.е. обґрунтував у своїй невеликій роботі "Вимірювання кола" три положення:

Кожне коло рівновелике прямокутному трикутнику, катети якого відповідно дорівнюють довжині кола та його радіусу;

Площі кола відносяться до квадрата, побудованого на діаметрі, як 11 до 14;

Ставлення будь-якого кола до його діаметра менше 3 1/7 і більше 3 10/71 .

За точними розрахунками Архімедавідношення кола до діаметра укладено між числами 3*10/71 і 3*1/7 , а це означає, що π = 3,1419... Істинне значення цього відношення 3,1415922653... У V ст. до н.е. китайським математиком Цзу Чунчжібуло знайдено більш точне значення цього числа: 3,1415927...

У першій половині XV ст. обсерваторії Улугбека, біля Самарканда, астроном та математик ал-Кашіобчислив пі з 16 десятковими знаками. Ал-Кашізробив унікальні розрахунки, які були потрібні для складання таблиці синусів з кроком 1" . Ці таблиці зіграли значної ролі у астрономії.

Через півтора століття у Європі Ф.Вієтзнайшов число пі тільки з 9 правильними десятковими знаками, зробивши 16 подвоєнь числа сторін багатокутників. Але при цьому Ф.Вієтпершим помітив, що пі можна знайти, використовуючи межі деяких рядів. Це відкриття мало велике

значення, тому що дозволило обчислити пі з будь-якою точністю. Тільки через 250 років після ал-Кашійого результат був перевищений.

День народження числа “”.

Неофіційне свято «День числа ПІ» відзначається 14 березня, яке в американському форматі (день/ число) записується як 3/14, що відповідає наближеному значенню числа ПІ.

Існує і альтернативний варіант свята – 22 липня. Він називається "День наближеного числа Пі". Справа в тому, що подання цієї дати у вигляді дробу (22/7) також дає як результат число Пі. Вважається, що свято вигадав у 1987 році фізик із Сан-Франциско Ларрі Шоу, який звернув увагу на те, дата і час збігаються з першими розрядами числа π.

Цікаві факти, пов'язані з числом

Вчені Токійського університету під керівництвом професора Ясумаса Канада зуміли поставити світовий рекорд у обчисленнях Пі до 12411-трильйонного знака. Для цього групі програмістів та математиків знадобилася спеціальна програма, суперкомп'ютер та 400 годин машинного часу. (Книга рекордів Гіннеса).

Німецький король Фрідріх Другий був настільки зачарований цим числом, що присвятив йому … цілий палац Кастель дель Монте, у пропорціях якого можна обчислити ПІ. Наразі чарівний палац знаходиться під охороною ЮНЕСКО.

Як запам'ятати перші цифри числа “ ”.

Три перші цифри числа  = 3,14… запам'ятати зовсім нескладно. А для запам'ятовування більшої кількості знаків існують кумедні приказки та вірші. Наприклад, такі:

Потрібно лише постаратися

І запам'ятати все як є:

Дев'яносто два та шість.

С.Бобров. ”Чарівний дворог”

Той, хто вивчить це чотиривірш, завжди зможе назвати 8 знаків числа :

У наступних фразах знаки числа  можна визначити за кількістю літер у кожному слові:

“Що я знаю про кола? (3,1416);

“Ось і знаю я число, зване Пі. - Молодець!”

(3,1415927);

“Вчи та знай у числі відомому за цифрою цифру, як удачу помічати”

(3,14159265359)

5. Позначення числа пі

Першим увів позначення відношення довжини кола до діаметра сучасним символом пі англійський математик У.Джонсонв 1706 р. як символ він взяв першу літеру грецького слова "periferia", що в перекладі означає "коло". Введене У.Джонсономпозначення стало загальновживаним після опублікування робіт Л.Ейлера, який скористався введеним символом вперше в 1736 р.

Наприкінці XVIII ст. А.М.Лажандрна основі робіт І.Г.Ламбертадовів, що число пі раціонально. Потім німецький математик Ф.Ліндеманспираючись на дослідження Ш. Ерміта, знайшов суворий доказ те, що це число як ірраціонально, а й трансцендентно, тобто. не може бути коренем рівня алгебри. Пошуки точного вираження пі тривали і після робіт Ф.Вієта. На початку XVII ст. голландський математик з Кельна Лудольф ван Цейлен(1540-1610) (деякі історики його називають Л.ван Кейлен)знайшов 32 правильні знаки. З того часу (рік публікації 1615) значення числа p з 32 десятковими знаками отримало назву числа Лудольфа.

6. Як запам'ятати число "Пі" з точністю до одинадцяти знаків

Число "Пі" - це відношення довжини кола до її діаметра, воно виражається нескінченним десятковим дробом. В побуті нам достатньо знати три знаки (3,14). Однак у деяких розрахунках потрібна більша точність.

У наших предків був комп'ютерів, калькуляторів і довідників, але з часів Петра I вони займалися геометричними розрахунками в астрономії, машинобудуванні, корабельному справі. Згодом сюди додалася електротехніка – там є поняття "кругової частоти змінного струму". Для запам'ятовування числа "Пі" було придумано двовірш (на жаль, ми не знаємо автора та місця першої публікації його; але ще наприкінці 40-х років двадцятого століття московські школярі займалися за підручником геометрії Кисельова, де воно наводилося).

Двовірш написано за правилами старої російської орфографії, за якою після згодинаприкінці слова обов'язково ставився "м'який"або "твердий"знак. Ось воно, це чудова історична двовірш:

Хто і жартома, і скоро побажає

"Пі" дізнатися число - вже знає.

Тому, хто має намір у майбутньому займатися точними розрахунками, має сенс це запам'ятати. То чому дорівнює число "Пі" з точністю до одинадцяти знаків? Порахуй кількість літер у кожному слові та напиши ці цифри поспіль (першу цифру відділи комою).

Такої точності вже достатньо для інженерних розрахунків. Крім старовинного існує і сучасний спосіб запам'ятовування, на який вказав читач, що назвався Георгієм:

Щоб нам не помилятися,

Треба правильно прочитати:

Три, чотирнадцять, п'ятнадцять,

Дев'яносто два та шість.

Потрібно тільки постаратися

І запам'ятати все як є:

Три, чотирнадцять, п'ятнадцять,

Дев'яносто два та шість.

Три, чотирнадцять, п'ятнадцять,

Дев'ять, два, шість, п'ять, три, п'ять.

Щоб наукою займатися,

Це кожен має знати.

Можна просто постаратися

І частіше повторювати:

«Три, чотирнадцять, п'ятнадцять,

Дев'ять, двадцять шість і п'ять.

Ну а математики за допомогою сучасних комп'ютерів можуть обчислити практично будь-яку кількість знаків "Пі".

7. Рекорд запам'ятовування числа пі

Запам'ятати знаки під людство намагається вже давно. Але як укласти в пам'ять нескінченність? Улюблене питання менімоністів-професіоналів. Розроблено безліч унікальних теорій та прийомів освоєння величезної кількості інформації. Багато хто з них випробуваний на пі.

Світовий рекорд, встановлений у минулому столітті у Німеччині – 40 000 знаків. Російський рекорд значень числа пі 1 грудня 2003 в Челябінську встановив Олександр Бєляєв. За півтори години із невеликими перервами на шкільній дошці Олександр написав 2500 цифр числа пі.

До цього рекордним у Росії вважалося перерахувати 2000 знаків, що вдалося зробити 1999 року у Єкатеринбурзі. За словами Олександра Бєляєва – керівника центру розвитку образної пам'яті, такий експеримент зі своєю пам'яттю може провести будь-хто з нас. Важливо лише знати спеціальні техніки запам'ятовування та періодично тренуватись.

Висновок.

Число пі з'являється у формулах, що використовуються у багатьох сферах. Фізика, електротехніка, електроніка, теорія ймовірностей, будівництво та навігація – це лише деякі з них. І здається, що подібно до того як немає кінця знакам числа пі, так немає кінця і можливостей практичного застосування цього корисного, невловимого числа пі.

У сучасній математиці число пі - це не тільки відношення довжини кола до діаметра, воно входить до великої кількості різних формул.

Ця та інші взаємозалежності дозволили математикам ще глибше з'ясувати природу числа пі.

Точне значення числа π в сучасному світі є не тільки власною науковою цінністю, але й використовується для дуже точних обчислень (наприклад, орбіти супутника, будівництва гігантських мостів), а також оцінки швидкодії та потужності сучасних комп'ютерів.

В даний час з числом π пов'язана багатооглядна формул, математичних і фізичних фактів. Їхня кількість продовжує стрімко зростати. Все це говорить про зростаючий інтерес до найважливішої математичної константи, вивчення якої налічує вже понад двадцять два століття.

Проведена робота мені була цікавою. Я хотів дізнатися про історію числа π, практичне застосування і думаю, що досяг поставленої мети. Підбиваючи підсумок роботи, я приходжу до висновку, що ця тема є актуальною. З числом π пов'язано багато цікавих фактів, тому воно викликає інтерес до вивчення. У своїй роботі я докладніше познайомився з числом – однією з вічних цінностей, якою людство користується вже багато століть. Дізнався деякі аспекти його найбагатшої історії. З'ясував, чому стародавній світ не знав правильного відношення довжини кола до діаметра. Подивився наочно, як можна отримати число. На основі експериментів обчислив наближене значення числа у різний спосіб. Провів обробку та аналіз результатів експерименту.

Будь-який школяр сьогодні повинен знати, що означає і чому приблизно дорівнює число. Адже у всіх перше знайомство з числом, використання його при обчисленні довжини кола, площі кола відбувається у 6 класі. Але, на жаль, ці знання залишаються для багатьох формальними і вже через рік - два мало хто пам'ятає не тільки те, що відношення довжини кола до її діаметра одне і те ж для всіх кіл, але навіть насилу згадують чисельне значення числа, що дорівнює 3 ,14.

Я спробував підняти завісу найбагатшої історії числа, яким людство користується вже багато століть. Самостійно склав презентацію до своєї роботи.

Історія чисел цікава і загадкова. Я хотів би продовжити дослідження інших дивовижних чисел у математиці. Це стане об'єктом моїх дослідницьких досліджень.

Список літератури.

1. Глейзер Г.І. Історія математики в школі IV-VI класи. - М: Просвітництво, 1982.

2. Депман І.Я., Віленкін Н.Я. За сторінками підручника математики – М.: Просвітництво, 1989.

3. Жуков А.В.Всюдисуще число «пі». - М: Едиторіал УРСС, 2004.

4. Кімпан Ф. Історія числа «пі». - М: Наука, 1971.

5. Свічників А.А. Подорож в історію математики – М.: Педагогіка – Прес, 1995.

6. Енциклопедія для дітей. Т.11. Математика - М: Аванта +, 1998.

Інтернет ресурси:

- http:// crow.academy.ru/materials/pi/history.htm

Http://hab/kp.ru// daily/24123/344634/