Словники. Енциклопедії. Історія. Література Російська мова » Історія » Двовимірні випадкові. Дискретні двовимірні випадкові величини. Функція розподілу двовимірної випадкової величини

Двовимірні випадкові. Дискретні двовимірні випадкові величини. Функція розподілу двовимірної випадкової величини

Знайдемо суму ряду чисел. Якщо не виходить її знайти, система обчислює суму ряду з певною точністю.

Збіжність ряду

Цей калькулятор вміє визначати - чи сходиться ряд, а також показує - які ознаки збіжності спрацьовують, а які - ні.

Також вміє визначати збіжність статечних рядів.

Також будується графік ряду, де можна побачити швидкість збіжності (або розбіжності).

Правила введення виразів та функцій

Вирази можуть складатися з функцій (позначення наведено в алфавітному порядку): absolute(x)Абсолютне значення x
(модуль xабо |х|) arccos(x)Функція - арккосинус від x arccosh(x)Арккосинус гіперболічний від x arcsin(x)Арксинус від x arcsinh(x)Арксинус гіперболічний від x arctg(x)Функція - арктангенс від x arctgh(x)Арктангенс гіперболічний від x e eчисло, яке приблизно дорівнює 2.7 exp(x)Функція - експонента від x(що і e^x) log(x) or ln(x)Натуральний логарифм від x
(Щоб отримати log7(x), треба ввести log(x)/log(7) (або, наприклад, для log10(x)=log(x)/log(10)) piЧисло - "Пі", яке приблизно дорівнює 3.14 sin(x)Функція - Синус від x cos(x)Функція - Косинус від x sinh(x)Функція - Синус гіперболічний від x cosh(x)Функція - Косинус гіперболічний від x sqrt(x)Функція - квадратний коріньз x sqr(x)або x^2Функція - Квадрат x tg(x)Функція - Тангенс від x tgh(x)Функція - Тангенс гіперболічний від x cbrt(x)Функція - кубічний корінь з x

У виразах можна застосовувати такі операції: Справжні числа вводити у вигляді 7.5 , не 7,5 2*x- множення 3/x- розподіл x^3- зведення в ступінь x + 7- додавання x - 6- віднімання
Інші функції: floor(x)Функція - округлення xу меншу сторону (приклад floor(4.5)==4.0) ceiling(x)Функція - округлення xу велику сторону (приклад ceiling(4.5)==5.0) sign(x)Функція - Знак x erf(x)Функція помилок (або інтеграл імовірності) laplace(x)Функція Лапласа

Сукупність випадкових величин Х 1 ,Х 2 ,...,Х п, визначених на ймовірнісному просторі () утворює п-мірну випадкову величину ( Х 1 ,Х 2 ,...,Х п). Якщо економічний процес описується за допомогою двох випадкових величин Х 1 і Х 2 , то визначається двовимірна випадкова величина ( Х 1 ,Х 2)або( X,Y).

Функцією розподілусистеми двох випадкових величин ( Х,Y), що розглядається як функція змінних називається ймовірність появи події :

Значення функції розподілу задовольняють нерівності

З геометричного погляду функція розподілу F(x,y) визначає ймовірність того, що випадкова точка ( х,Y) потрапить у нескінченний квадрант з вершиною в точці ( х,у), так як точка ( х,Y) буде нижче і ліворуч від зазначеної вершини (рис.9.1).

х,Y) у напівсмугу (рис.9.2) або в напівсмугу (рис.9.3) виражається формулами:

відповідно. Імовірність влучення значень х,Y) у прямокутник (рис.9.4) можна знайти за формулою:

рис.9.2 рис.9.3 рис.9.4

Дискретноюназивають двомірну величину, складові якої є дискретними.

Законом розподілудвовимірної дискретної випадкової величини ( X,Y) називається безліч всіляких значень ( x i, y j), , дискретних випадкових величин Хі Yта відповідних їм ймовірностей , що характеризують ймовірність того, що складова Хнабуде значення x iі водночас складова Yнабуде значення y j, причому

Закон розподілу двовимірної дискретної випадкової величини ( X,Y) задають у вигляді табл. 9.1.

Таблиця 9.1

Ω Х Ω Y x 1 x 2 … x i …
y 1 p(x 1 ,y 1) p(x 2 ,y 1) … p( x i,y 1) …
y 2 p(x 1 ,y 2) p(x 2 ,y 2) … p( x i,y 2) …
… … … … … …
y i p(x 1 ,y i) p(x 2 ,y i) … p( x i,y i) …
… … … … … …

Безперервнийназивають двовимірну випадкову величину, складові якої безперервні. Функція р(х,у), рівна межі відношення ймовірності попадання двовимірної випадкової величини ( X,Y)в прямокутник зі сторонами і до площі цього прямокутника, коли обидві сторони прямокутника прагнуть нуля, називається щільністю розподілу ймовірностей:

Знаючи густину розподілу, можна знайти функцію розподілу за формулою:

У всіх точках, де є змішана похідна другого порядку функції розподілу , щільність розподілу ймовірностей можна знайти за формулою:

Імовірність влучення випадкової точки ( х,у) в область Dвизначається рівністю:

Імовірність того, що випадкова величина Xприйняла значення X<х за умови, що випадкова величина Yприйняла фіксоване значення Y=y, обчислюється за такою формулою:




Аналогічно,

Формули для обчислення умовних щільностей розподілу ймовірностей складових Xі Y :

Сукупність умовних ймовірностей p(x 1 |y i), p(x 2 |y i), …, p(x i | y i), … відповідають умові Y=y i, називається умовним розподілом складової Хпри Y=y iX,Y), де

Аналогічно умовний розподіл складової Yпри Х = х iдискретної двовимірної випадкової величини ( х,Y) – це сукупність умовних ймовірностей, що відповідають умові X = x i, де

Початковим моментом порядкуk+sдвовимірної випадкової величини ( X,Y і, тобто. .

Якщо Xі Y –дискретні випадкові величини, то

Якщо Xі Y –безперервні випадкові величини, то

Центральним моментомпорядку k+sдвовимірної випадкової величини ( X,Y)називається математичне очікування творів і ,Тобто.

Якщо складники є дискретними, то

Якщо складові величини є безперервними, то

де р(х,y) – щільність розподілу двовимірної випадкової величини ( X,Y).

Умовним математичним очікуваннямY(X)при X=х(при Y=у) називається вираз виду:

– для дискретної випадкової величини Y(X);

– для безперервної випадкової величини Y(X).

Математичні очікування складових Xі Yдвовимірної випадкової величини обчислюються за формулами:



Кореляційним моментомнезалежних випадкових величин Xі Y, що входять у двовимірну випадкову величину ( X,Y), називають математичне очікування творів відхилень цих величин:

Кореляційний момент двох незалежних випадкових величин XX, Y), дорівнює нулю.

Коефіцієнт кореляціївипадкових величин Xта Y, що входять у двовимірну випадкову величину ( X,Y), називають відношення кореляційного моменту до твору середніх квадратичних відхилень цих величин:



Коефіцієнт кореляції характеризують ступінь (тісноту) лінійної кореляційної залежності між Xі Y.Випадкові величини, котрим , називаються некоррелированными.

Коефіцієнт кореляції задовольняє властивостям:

1. Коефіцієнт кореляціїне залежить від одиниць виміру випадкових величин.

2. Абсолютна величина коефіцієнта кореляції вбирається у одиницю:

3. Якщо між складовими Xі Yвипадкової величини ( X, Y) існує лінійна функціональна залежність:

4. Якщо те складові Xі Yдвовимірної випадкової величини некорельовані.

5. Якщо то складові Xі Yдвовимірної випадкової величини залежні.

Рівняння M(X | Y = у)=φ( у)і M(Y|X=х)=ψ( x)називають рівняннями регресії, а лінії, що визначаються ними, - лініями регресії.

Завдання

9.1. Двовимірна дискретна випадкова величина (X, Y)задана законом розподілу:

Таблиця 9.2

Ω х Ω y
0,2 0,15 0,08 0,05
0,1 0,05 0,05 0,1
0,05 0,07 0,08 0,02

Знайти: а) закони розподілу складових Xі Y;

б) умовний закон розподілу величини Yпри X =1;

в) функцію розподілу.

З'ясувати, чи є незалежними величини Xі Y. Обчислити ймовірність та основні числові характеристики М(Х),М(Y),D(X),D(Y),R(X,Y), .

Рішення.а) Випадкові величини Xта Y визначені на множині , що складається з елементарних результатів, яка має вигляд:

Події ( X= 1) відповідає безліч таких результатів, у яких перша компонента дорівнює 1: (1; 0), (1; 1), (1; 2). Ці результати несумісні. Імовірність того, що Хнабуде значення х i, згідно з аксіомою 3 Колмогорова, дорівнює:

Аналогічно

Отже, маргінальний розподіл складової Хможе бути задане у вигляді табл. 9.3.

Таблиця 9.3

б) Сукупність умовних ймовірностей р(1;0), р(1;1), р(1;2) відповідають умові X=1, називається умовним розподілом складової Yпри X=1. Ймовірність значень величини Yпри Х=1 знайдемо за допомогою формули:

Оскільки , то, підставивши значення відповідних ймовірностей, отримуємо

Отже, умовний розподіл складової Yпри Х=1 має вигляд:

Таблиця 9.5

y j
0,48 0,30 0,22

Оскільки умовний та безумовний закони розподілу не збігаються (див. табл. 9.4 та 9.5), то величини Xі Yзалежні. Цей висновок підтверджується тим, що не виконується рівність

для будь-якої пари можливих значень Xі Y.

Наприклад,

в) Функція розподілу F(x,y) двовимірної випадкової величини (X, Y)має вигляд:

де підсумовування виконується по всіх точках (), для яких одночасно виконуються нерівності x i і y j . Тоді для заданого закону розподілу отримаємо:

Результат зручніше представляти як табл.9.6.

Таблиця 9.6

х y
0,20 0,35 0,43 0,48
0,30 0,5 0,63 0,78
0,35 0,62 0,83

Скористаємося формулами для початкових моментів та результатами таблиць 9.3 та 9.4 та обчислимо математичні очікування складових Xі Y:

Дисперсії обчислимо через другий початковий момент та результати табл. 9.3 та 9.4:

Для обчислення коваріації До(X,Y) використовуємо аналогічну формулу через початковий момент:

Коефіцієнт кореляції визначається за такою формулою:

Шукана ймовірність визначається як ймовірність попадання в область на площині, що визначається відповідною нерівністю:

9.2. Кораблем передається повідомлення SOS, яке може бути прийнято двома радіостанціями. Цей сигнал може бути прийнятий однією радіостанцією незалежно від іншої. Імовірність того, що сигнал прийнятий першою радіостанцією становить 0,95; ймовірність того, що сигнал прийнятий другою радіостанцією, дорівнює 0,85. Знайти закон розподілу двовимірної випадкової величини, що характеризує прийом сигналу двома радіостанціями. Написати функцію розподілу.

Рішення:Нехай X– подія, яка полягає в тому, що сигнал приймає перша радіостанція. Y– подія полягає в тому, що сигнал приймає друга радіостанція.

Безліч значень .

Х=1 – сигнал прийнятий першою радіостанцією;

Х=0 – сигнал не прийнято першою радіостанцією.

Безліч значень .

Y=l – сигнал прийнятий другою радіостанцією,

Y=0 – сигнал не прийнятий другою радіостанцією.

Імовірність того, що сигнал не прийнятий ні першою, ні другою радіостанціями дорівнює:

Імовірність прийняття сигналу першою радіостанцією:

Імовірність того, що сигнал прийнятий другою радіостанцією:

Імовірність того, що сигнал прийнятий і першою та другою радіостанціями, дорівнює: .

Тоді закон розподілу двовимірної випадкової величини дорівнює:

y x
0,007 0,142
0,042 0,807

х,y) значення F(х,y) дорівнює сумі ймовірностей тих можливих значень випадкової величини ( X,Y), які потрапляють всередину вказаного прямокутника.

Тоді функція розподілу матиме вигляд:

9.3. Дві компанії випускають однакову продукцію. Кожна незалежно від іншої може ухвалити рішення про модернізацію виробництва. Імовірність того, що перша фірма ухвалила таке рішення, дорівнює 0,6. Імовірність прийняття такого рішення другою фірмою дорівнює 0,65. Написати закон розподілу двовимірної випадкової величини, що характеризує ухвалення рішення про модернізацію виробництва двох фірм. Написати функцію розподілу.

Відповідь:Закон розподілу:

0,14 0,21
0,26 0,39

При кожному фіксованому значенні точки з координатами ( x,y) значення дорівнює сумі ймовірностей тих можливих значень , які потрапляють всередину вказаного прямокутника .

9.4. На токарному верстаті-автоматі виготовляються кільця поршневі для двигунів автомобіля. Вимірюються товщина кільця (випадкова величина X)і діаметр отвору (випадкова величина Y). Відомо, що близько 5% усіх поршневих кілець браковані. Причому 3% шлюбу обумовлені нестандартними діаметрами отворів, 1% – нестандартною товщиною та 1% – бракують за обома ознаками. Знайти: спільний розподіл двовимірної випадкової величини ( X,Y); одномірні розподілу складових Хі Y;математичні очікування складових Xі Y; кореляційний момент та коефіцієнт кореляції між складовими Xі Yдвовимірної випадкової величини ( Х,Y).

Відповідь:Закон розподілу:

0,01 0,03
0,01 0,95

; ; ; ; ; .

9.5. У продукції заводу шлюб унаслідок дефекту Астановить 4%, а внаслідок дефекту У- 3,5%. Стандартна продукція складає 96%. Визначити який відсоток усієї продукції має дефекти обох типів.

9.6. Випадкова величина ( X,Y)розподілена з постійною щільністю усередині квадрата R, Вершини якого мають координати (-2; 0), (0; 2), (2; 0), (0; - 2). Визначити густину розподілу випадкової величини ( X,Y)і умовні щільності розподілу р(х\у), р(у\х).

Рішення.Побудуємо на площині x 0yзаданий квадрат (рис.9.5) і визначимо рівняння сторін квадрата ABCD, скориставшись рівнянням прямою, що проходить через дві задані точки: Підставивши координати вершин Аі Уотримаємо послідовно рівняння сторони АВ: або .

Аналогічно знаходимо рівняння сторони НД: ;сторони CD: і сторони DA: . : .D X , Y) являє собою півкулю з центром на початку координат радіусу R.Знайти щільність розподілу ймовірностей.

Відповідь:

9.10. Задано дискретну двовимірну випадкову величину:

0,25 0,10
0,15 0,05
0,32 0,13

Знайти: а) умовний закон розподілу X, за умови, що у= 10;

б) умовний закон розподілу Y, за умови, що x =10;

в) математичне очікування, дисперсію, коефіцієнт кореляції.

9.11. Безперервна двовимірна випадкова величина ( X,Y)рівномірно розподілена всередині прямокутного трикутника з вершинами Про(0;0), А(0;8), У(8,0).

Знайти: а) густина розподілу ймовірностей;

Визначення 2.7. це пара випадкових чисел (X, Y),чи точка на координатній площині (рис. 2.11).

Мал. 2.11.

Двовимірна випадкова величина - це окремий випадок багатовимірної випадкової величини, або випадкового вектора.

Визначення 2.8. Випадковий векторце випадкова функція?,(/) з кінцевою множиною можливих значень аргументу t,значення якої за будь-якого значення tє випадковою величиною.

Двовимірна випадкова величина називається безперервною, якщо її координати безперервні, та дискретною, якщо її координати дискретні.

Задати закон розподілу двовимірних випадкових величин - це встановити відповідність між її можливими значеннями і ймовірністю цих значень. За методами завдання випадкові величини діляться на безперервні і дискретні, хоча є загальні методи завдання закону розподілу будь-який СВ.

Дискретна двовимірна випадкова величина

Дискретна двовимірна випадкова величина визначається за допомогою таблиці розподілів (табл. 2.1).

Таблиця 2.1

Таблиця розподілу (спільний розподіл) СВ ( X, У)

Елементи таблиці визначаються формулою

Властивості елементів таблиці розподілу:

Розподіл за кожною координатою називається одновимірнимабо маргінальним:

р 1> = Р(Х =.г,) - маргінальний розподіл СВ X;

р^ 2) = P(Y= у,)- Маргінальний розподіл СВ У.

Зв'язок спільного розподілу СВ Xі У, заданого безліччю ймовірностей [р()), i = 1,..., n,j = 1,..., т(таблицею розподілу), та маргінального розподілу.


Аналогічно для СВ У р-2)= X р, г

Завдання 2.14. Дано:

Безперервна двовимірна випадкова величина

/(х, y)dxdy- елемент ймовірності для двовимірної випадкової величини (X, У); - ймовірність попадання випадкової величини (X, У) у прямокутник зі сторонами. cbc, dyпри dx, dy -* 0:

f(x, у) - щільність розподілудвовимірної випадкової величини (X, У). Завданням /(х, у)ми даємо повну інформацію про розподіл двовимірної випадкової величини.

Маргінальні розподіли задаються наступним чином: X - щільністю розподілу СВ X/,(х); по Y- Щільністю розподілу СВ У f>(y).

Завдання закону розподілу двовимірної випадкової величини функцією розподілу

Універсальним способом завдання закону розподілу для дискретної або безперервної двовимірної випадкової величини є функція розподілу F(x, у).

Визначення 2.9. Функція розподілу F(x, у)- можливість спільної появи подій (Ху), тобто. F(x 0 ,y n) = = Р(Ху), кинутої на координатну площину, потрапити в нескінченний квадрант з вершиною в точці М(х 0 , у і)(У заштриховану на рис. 2.12 область).

Мал. 2.12.Ілюстрація функції розподілу F( х, у)

Властивості функції F(x, у)

  • 1) 0 1;
  • 2) F(-oo,-оо) = F(x,-оо) = F(-oo, у) = 0; F(оо, оо) = 1;
  • 3) F(x, у)- Незменшується за кожним аргументом;
  • 4) F(x, у) -безперервна зліва та знизу;
  • 5) узгодженість розподілів:

F(x, X: F(x,оо) = F, (x); F(y,оо) - маргінальний розподіл по Y F(оо, у) = F2(y).Зв'язок /(х, у)з F(x, у):

Зв'язок спільної густини з маргінальною. Дана f(x, у).Отримаємо маргінальні густини розподілу f(x),f2(y)".


Випадок незалежних координат двовимірної випадкової величини

Визначення 2.10. СВ Xі Yнезалежні(нз), якщо незалежні будь-які події, пов'язані з кожним із цих СВ. З визначення НЗ СВ випливає:

  • 1 )Pij = p X) pf
  • 2 ) F(x, y) = F l (x) F 2 (y).

Виявляється, що для незалежних СВ Xі Yвиконано та

3 ) f (x, y) = J (x) f, (y).

Доведемо, що для незалежних СВ Xі Y 2) 3). Доведення,а) Нехай виконано 2), тобто.

в той же час F(x, y) = f J f(u,v)dudv,звідки і випливає 3);

б) нехай тепер виконано 3), тоді


тобто. Правильно 2).

Розглянемо завдання.

Завдання 2.15. Розподіл встановлено наступною таблицею:

Будуємо маргінальні розподіли:

Отримуємо Р(Х = 3, У = 4) = 0,17 * Р(Х = 3) Р (У = 4) = 0,1485 => => СВ Xта Узалежнені.

Функція розподілу:


Завдання 2.16. Розподіл встановлено наступною таблицею:

Отримуємо P tl = 0,2 0,3 = 0,06; Р 12 = 0,2? 0,7 = 0,14; P 2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; Р 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => СВ Xі Yнз.

Завдання 2.17. Дана / (х, у) = 1/я ехр| -0,5 (д" + 2ху + 5г/2)]. Знайти А(х)і /Ау)-

Рішення

(Долічіть самостійно).

двовимірний дискретний розподіл випадковий

Найчастіше результат досвіду описується кількома випадковими величинами: . Наприклад, погоду в даному місці у певний час доби можна охарактеризувати такими випадковими величинами: Х 1 - температура, Х 2 - тиск, Х 3 - вологість повітря, Х 4 – швидкість вітру.

У цьому випадку говорять про багатовимірну випадкову величину або про систему випадкових величин.

Розглянемо двовимірну випадкову величину, можливі значення якої є кілька чисел. Геометрично двовимірну випадкову величину можна витлумачити як випадкову точку на площині.

Якщо складники Хі Y- дискретні випадкові величини, то - дискретна двовимірна випадкова величина, а якщо Хі Y- безперервні, то - безперервна двовимірна випадкова величина.

Законом розподілу ймовірностей двовимірної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями та їх ймовірностями.

Закон розподілу двовимірної дискретної випадкової величини може бути заданий у вигляді таблиці з подвійним входом (див. таблицю 6.1), де є ймовірність того, що складова Хприйняла значення x i, а складова Y- значення y j .

Таблиця 6.1.1.

y 1

y 2

y j

y m

x 1

p 11

p 12

p 1j

p 1m

x 2

p 21

p 22

p 2j

p 2m

x i

p i1

p i2

p ij

p im

x n

p n1

p n2

p nj

p nm

Оскільки події, становлять повну групу попарно несумісних подій, сума ймовірностей дорівнює 1, тобто.

З таблиці 6.1 можна знайти закони розподілу одновимірних складових Хі Y.

приклад 6.1.1 . Знайти закони розподілу складових Хі Y,якщо встановлено розподіл двовимірної випадкової величини у вигляді таблиці 6.1.2.

Таблиця 6.1.2.

Якщо зафіксувати значення одного з аргументів, наприклад, отриманий розподіл величини Хназивається умовним розподілом. Аналогічно визначається умовний розподіл Y.

приклад 6.1.2 . По розподілу двовимірної випадкової величини заданої табл. 6.1.2, знайти: а) умовний закон розподілу складової Хза умови; б) умовний закон розподілу Yза умови, що.

Рішення. Умовні ймовірності складових Хі Yобчислюються за формулами

Умовний закон розподілу Хза умови має вигляд

Контроль: .

Закон розподілу двовимірної випадкової величини можна поставити у вигляді функції розподілу, Що визначає для кожної пари чисел ймовірність того, що Хнабуде значення, менше х, і при цьому Yнабуде значення, менше y:

Геометрично функція означає можливість потрапляння випадкової точки в нескінченний квадрат з вершиною в точці (рис. 6.1.1).

Зазначимо властивості.

  • 1. Область значень функції - , тобто. .
  • 2. Функція - неубутня функція за кожним аргументом.
  • 3. Мають місце граничні співвідношення:

При функція розподілу системи стає рівною функції розподілу складової Х, тобто. .

Аналогічно, .

Знаючи, можна знайти можливість попадання випадкової точки в межі прямокутника ABCD.

А саме,

Приклад 6.1.3. Двовимірна дискретна випадкова величина задана таблицею розподілу

Знайти функцію розподілу.

Рішення. Значення у разі дискретних складових Хі Yзнаходиться підсумовуванням усіх ймовірностей з індексами iі j, для яких, . Тоді, якщо і, то (події і – неможливі). Аналогічно отримуємо:

якщо і, то;

якщо і, то;

якщо і, то;

якщо і, то;

якщо і, то;

якщо і, то;

якщо і, то;

якщо і, то;

якщо й, то.

Отримані результати оформимо у вигляді таблиці (6.1.3) значень:

Для двовимірної безперервноївипадкової величини вводиться поняття густини ймовірності

Геометрична щільність ймовірності є поверхнею розподілу у просторі

Двовимірна щільність ймовірності має наступні властивості:

3. Функція розподілу може бути виражена через за формулою

4. Імовірність попадання безперервної випадкової величини в область дорівнює

5. Відповідно до властивості (4) функції мають місце формули:

Приклад 6.1.4.Задано функцію розподілу двовимірної випадкової величини

Упорядкована пара (X, Y) випадкових величин X і Y називається двовимірною випадковою величиною, або випадковим вектором двовимірного простору. Двовимірна випадкова величина (X,Y) називається також системою випадкових величина X і Y. Багато всіх можливих значень дискретної випадкової величини з їх ймовірностями називається законом розподілу цієї випадкової величини. Дискретна двовимірна випадкова величина (X, Y) вважається заданою, якщо відомий її закон розподілу:

P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m

Призначення сервісу. За допомогою сервісу за заданим законом розподілу можна знайти:

  • ряди розподілу X та Y, математичне очікування M[X], M[Y], дисперсію D[X], D[Y];
  • коваріацію cov(x,y), коефіцієнт кореляції r x,y, умовний ряд розподілу X, умовне математичне очікування M;
Крім цього, дається відповідь на питання, "чи залежні випадкові величини X і Y?".

Інструкція. Вкажіть розмірність матриці розподілу ймовірностей (кількість рядків та стовпців) та її вигляд. Отримане рішення зберігається у файлі Word.

Приклад №1. Двовимірна дискретна випадкова величина має таблицю розподілу:

Y/X 1 2 3 4
10 0 0,11 0,12 0,03
20 0 0,13 0,09 0,02
30 0,02 0,11 0,08 0,01
40 0,03 0,11 0,05 q
Знайти величину q та коефіцієнт кореляції цієї випадкової величини.

Рішення. Величину q знайдемо з умови ∑p ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0.91 + q = 1. Звідки q = 0.09

Користуючись формулою ∑P(x i,y j) = p i(j=1..n), знаходимо ряд розподілу X.

Математичне очікування M[Y].
M[y] = 1 * 0.05 + 2 * 0.46 + 3 * 0.34 + 4 * 0.15 = 2.59
Дисперсія D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Середнє квадратичне відхиленняσ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0.64) = 0.801

Коваріація cov(X,Y) = M - M [X] · M [Y] = 2 · 10 · 0.11 + 3 · 10 · 0.12 + 4 · 10 · 0.03 + 2 · 20 · 0.13 + 3 · 20 · 0.09 + 4 · 20 · 0.02 + 1 · 30 · 0.02 + 2 · 30 · 0.11 + 3 · 30 · 0.08 + 4 · 30 · 0.01 + 1 · 40 · 0.03 + 2 · 40 · 0.11 + 3 · 40 · 0.05 + 4 · 40 · 0.09 - 25.2 · 2.59 = -0.068
Коефіцієнт кореляції r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736

Приклад 2 . Дані статистичної обробки відомостей щодо двох показників X та Y відображені у кореляційній таблиці. Потрібно:

  1. написати ряди розподілу для X і Y та обчислити для них вибіркові середні та вибіркові середні квадратичні відхилення;
  2. написати умовні ряди розподілу Y/x та обчислити умовні середні Y/x;
  3. зобразити графічно залежність умовних середніх Y/x від значень X;
  4. розрахувати вибірковий коефіцієнт кореляції Y X;
  5. написати вибіркове рівняння прямої регресії;
  6. зобразити геометричні дані кореляційної таблиці та побудувати пряму регресію.
Рішення. Упорядкована пара (X,Y) випадкових величин X та Y називається двовимірною випадковою величиною, або випадковим вектором двовимірного простору. Двовимірна випадкова величина (X,Y) називається також системою випадкових величина X та Y.
Безліч всіх можливих значень дискретної випадкової величини зі своїми ймовірностями називається законом розподілу цієї випадкової величини.
Дискретна двовимірна випадкова величина (X,Y) вважається заданою, якщо відомий її закон розподілу:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2..,m
X/Y20 30 40 50 60
11 2 0 0 0 0
16 4 6 0 0 0
21 0 3 6 2 0
26 0 0 45 8 4
31 0 0 4 6 7
36 0 0 0 0 3
Події (X = x i, Y = y j) утворюють повну групу подій, тому сума всіх ймовірностей p ij ( i=1,2...,n, j=1,2..,m), зазначених у таблиці, дорівнює 1.
1. Залежність випадкових величин X та Y.
Знаходимо ряди розподілу X та Y.
Користуючись формулою ∑P(x i,y j) = p i(j=1..n), знаходимо ряд розподілу X. Математичне очікування M[Y].
M[y] = (20 * 6 + 30 * 9 + 40 * 55 + 50 * 16 + 60 * 14) / 100 = 42.3
Дисперсія D[Y].
D [Y] = (20 2 * 6 + 30 2 * 9 + 40 2 * 55 + 50 2 * 16 + 60 2 * 14) / 100 - 42.3 2 = 99.71
Середнє квадратичне відхилення σ(y).

Оскільки P(X=11,Y=20) = 2≠2·6, то випадкові величини X і Y залежні.
2. Умовний закон розподілу X.
Умовний закон розподілу X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0.33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0.67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Умовне математичне очікування M = 11 * 0.33 + 16 * 0.67 + 21 * 0 + 26 * 0 + 31 * 0 + 36 * 0 = 14.33
Умовна дисперсія D = 11 2 * 0.33 + 16 2 * 0.67 + 21 2 * 0 + 26 2 * 0 + 31 2 * 0 + 36 2 * 0 - 14.33 2 = 5.56
Умовний закон розподілу X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0.67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0.33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Умовне математичне очікування M = 11 * 0 + 16 * 0.67 + 21 * 0.33 + 26 * 0 + 31 * 0 + 36 * 0 = 17.67
Умовна дисперсія D = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17.67 2 = 5.56
Умовний закон розподілу X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0.11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0.82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0.0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Умовне математичне очікування M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0.11 + 26 * 0.82 + 31 * 0.0727 + 36 * 0 = 25.82
Умовна дисперсія D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 - 25.82 2 = 4.51
Умовний закон розподілу X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0.13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0.5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0.38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Умовне математичне очікування M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0.13 + 26 * 0.5 + 31 * 0.38 + 36 * 0 = 27.25
Умовна дисперсія D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.13 + 26 2 *0.5 + 31 2 *0.38 + 36 2 *0 - 27.25 2 = 10.94
Умовний закон розподілу X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0.29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0.5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0.21
Умовне математичне очікування M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0 + 26 * 0.29 + 31 * 0.5 + 36 * 0.21 = 30.64
Умовна дисперсія D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0.29 + 31 2 *0.5 + 36 2 *0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. Умовний закон розподілу Y.
Умовний закон розподілу Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Умовне математичне очікування M = 20 * 1 + 30 * 0 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 0 = 20
Умовна дисперсія D = 20 2 * 1 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 0 - 20 2 = 0
Умовний закон розподілу Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0.4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0.6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Умовне математичне очікування M = 20 * 0.4 + 30 * 0.6 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 0 = 26
Умовна дисперсія D = 20 2 * 0.4 + 30 2 * 0.6 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 0 - 26 2 = 24
Умовний закон розподілу Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0.27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0.55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0.18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Умовне математичне очікування M = 20 * 0 + 30 * 0.27 + 40 * 0.55 + 50 * 0.18 + 60 * 0 = 39.09
Умовна дисперсія D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0.27 + 40 2 * 0.55 + 50 2 * 0.18 + 60 2 * 0 - 39.09 2 = 44.63
Умовний закон розподілу Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0.79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0.14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0.0702
Умовне математичне очікування M = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0.79 + 50 * 0.14 + 60 * 0.0702 = 42.81
Умовна дисперсія D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0.79 + 50 2 * 0.14 + 60 2 * 0.0702 - 42.81 2 = 34.23
Умовний закон розподілу Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0.24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0.35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0.41
Умовне математичне очікування M = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0.24 + 50 * 0.35 + 60 * 0.41 = 51.76
Умовна дисперсія D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0.24 + 50 2 * 0.35 + 60 2 * 0.41 - 51.76 2 = 61.59
Умовний закон розподілу Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Умовне математичне очікування M = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 1 = 60
Умовна дисперсія D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 1 - 60 2 = 0
Коваріація.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20·11·2 + 20·16·4 + 30·16·6 + 30·21·3 + 40·21·6 + 50·21·2 + 40·26·45 + 50 · 26 · 8 + 60 · 26 · 4 + 40 · 31 · 4 + 50 · 31 · 6 + 60 · 31 · 7 + 60 · 36 · 3)/100 - 25.3 · 42.3 = 38.11
Якщо випадкові величини незалежні, їх коваріації дорівнює нулю. У нашому випадку cov(X,Y) ≠ 0.
Коефіцієнт кореляції.


Рівняння лінійної регресії з y на x має вигляд:

Рівняння лінійної регресії з x на y має вигляд:

Знайдемо необхідні числові характеристики.
Вибіркові середні:
x = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3)) / 100 = 42.3
y = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3)) / 100 = 25.3
Дисперсії:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 – 42.3 2 = 99.71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 – 25.3 2 = 24.01
Звідки отримуємо середньоквадратичні відхилення:
x = 9.99 і y = 4.9
та підступність:
Cov (x, y) = (20 · 11 · 2 + 20 · 16 · 4 + 30 · 16 · 6 + 30 · 21 · 3 + 40 · 21 · 6 + 50 · 21 · 2 + 40 · 26 · 45 + 50 · 26 · 8 + 60 · 26 · 4 + 40 · 31 · 4 + 50 · 31 · 6 + 60 · 31 · 7 + 60 · 36 · 3)/100 - 42.3 · 25.3 = 38.11
Визначимо коефіцієнт кореляції:


Запишемо рівняння ліній регресії y(x):

та обчислюючи, отримуємо:
y x = 0.38 x + 9.14
Запишемо рівняння ліній регресії x(y):

та обчислюючи, отримуємо:
x y = 1.59 y + 2.15
Якщо побудувати точки, що визначаються таблицею та лінії регресії, побачимо, що обидві лінії проходять через точку з координатами (42.3; 25.3) та точки розташовані близько до ліній регресії.
Значення коефіцієнта кореляції.

За таблицею Стьюдента з рівнем значимості α=0.05 та ступенями свободи k=100-m-1 = 98 знаходимо t крит:
t критий (n-m-1;α/2) = (98; 0.025) = 1.984
де m = 1 – кількість пояснюючих змінних.
Якщо t набл > t критич, то отримане значення коефіцієнта кореляції визнається значущим (нульова гіпотеза, яка стверджує рівність нуля коефіцієнта кореляції, відкидається).
Оскільки t набл > t критий, то відхиляємо гіпотезу про рівність 0 коефіцієнта кореляції. Інакше кажучи, коефіцієнт кореляції статистично - значимий.

Завдання. Кількість попадань пар значень випадкових величин X і Y відповідні інтервали наведені в таблиці. За цими даними знайти вибірковий коефіцієнт кореляції та вибіркові рівняння прямих ліній регресії Y на X та X на Y.
Рішення

приклад. Розподіл ймовірностей двовимірної випадкової величини (X, Y) встановлено таблицею. Знайти закони розподілу складових величин X, Y та коефіцієнт кореляції p(X, Y).
Завантажити рішення

Завдання. Двовимірна дискретна величина (X, Y) задана законом розподілу. Знайти закони розподілу складових X та Y, підступність та коефіцієнт кореляції.

Схожі статті

  • Мінаєв: І відбивають від польоту, я так розумію.

    [yt=SCUq3L-V1cs]Радянський космонавт №18. Таким він увійшов до історії. Наш земляк – Валерій Миколайович Кубасов. Двічі Герой Радянського Союзу. Льотчик-космонавт СРСР. А з 2016 року – Почесний громадянин Володимирської області (посмертно). Валерій...

  • Час "ч" для країни "а" Чому амін жбурлявся попільничкою

    Книга " 100 великих військових таємниць " в жодному разі не претендує на роль енциклопедії з історії воєн та військового мистецтва. Від неї не варто чекати і докладного викладу всієї військово-політичної історії людства. Книга містить рівно...

  • Суїцид Європи Док фільм перша світова самогубство Європи

    Багатомільйонна міграція з країн Азії та Африки до європейських держав ставить під питання саму виживання європейських націй вже в досить найближчому майбутньому. Проблема ускладнюється тим, що надзвичайно високий рівень народжуваності в...

  • Стародавні прибульці Ануннакі: планета інопланетян Неберу

    «Ануннакі означає – той, хто прийшов із небес на землю. Є багато свідчень про існування планети інопланетян Неберу, яка здійснює оборот навколо Сонця по еліптичній орбіті за 3,600 земних років. Планета інопланетян Неберу, нібито,...

  • засекречених фактів про НЛО в одному відео

    У лютому минулого року група фахівців НАСА (США) на прес-конференції заявила, що запущений у Космос телескоп знайшов сім зірок, що обертаються навколо однієї й тієї ж планети у сузір'ї Акваріуса (Водолія). І на трьох можливе життя,...

  • Трагедії XX століття (143 фото)

    Хоч би як далеко не крокував науково-технічний прогрес, катастрофи траплялися, трапляються і, напевно, довго ще будуть. Декого з них можна було уникнути, але більшість найстрашніших подій у світі були неминучими, тому що...