Презентація на тему, як накреслити параболу. Презентація з математики на тему "Парабола. Родичі параболи ближні та далекі". Параболічна орбіта та рух супутника по ній

Мета проекту: вивчити одну з кривих другого порядку (параболу) та сфери її застосування. Завдання проекту: 1. Дати суворе математичне визначення параболи. 2. Вивчити властивості параболи. 3. З'ясувати, чому параболу називають конічним перетином. 4. Виявити сфери застосування параболи.

Парабола (грец. παραβολή додаток) крива, точки якої однаково віддалені від деякої точки, званої фокусом, і від деякої прямої, званої директори параболи. Поряд з еліпсом та гіперболою, парабола є конічним перетином. Зображення конічного перерізу параболою. Побудова параболи як конічного перерізу.

Побудова параболи Перший спосіб. Параболу можна побудувати «по точках» за допомогою циркуля та лінійки, не знаючи рівняння та маючи лише фокус і директрису. Вершина є серединою відрізка між фокусом та директрисою. На директорці задається довільна система відліку з необхідним одиничним відрізком. Кожна наступна точка є перетином серединного перпендикуляра відрізка між фокусом і точкою директриси, що знаходиться на кратному одиничному відрізку відстані від початку відліку, і прямої, що проходить через цю точку і паралельної осі параболи

Побудова параболи Другий спосіб. Для того щоб намалювати параболу, потрібні лінійка, косинець, нитка довжиною, що дорівнює більшому катету косинця, і кнопки. Прикріпимо один кінець нитки до фокусу, а інший – до вершини меншого кута косинця. Прикладемо лінійку до директорки і поставимо на неї косинець меншим катетом. Олівцем натягнемо нитку так, щоб його вістря торкалося паперу і притискалося до більшого катету. Переміщатимемо косинець і притискатимемо до його катету олівець так, щоб нитка залишалася натягнутою. При цьому олівець викреслюватиме на папері параболу.

Властивості параболи 1. Парабола крива другого порядку. 2. Вона має вісь симетрії, яка називається віссю параболи. Вісь проходить через фокус і вершину перпендикулярно до директриси. 3. Оптична властивість. Пучок променів, паралельних осі параболи, відбиваючись у параболі, збирається у її фокусі. І навпаки, світло від джерела, що у фокусі, відбивається параболою в пучок паралельних її осі променів. 4. Для параболи фокус знаходиться у точці (0; 0.25). Для параболи фокус знаходиться у точці (0; f). 5. Усі параболи подібні. Відстань між фокусом та директрисою визначає масштаб. 6. При обертанні параболи навколо осі симетрії виходить еліптичний параболоїд.

Властивості параболи Відстань від Pn до фокусу F така сама, як і від Pn до Qn. Ілюстрація до підтвердження теореми Паскаля через теорему про 9 точках. Довжина ліній F-Pn-Qn однакова. Можна сказати, що, на відміну від еліпса, другий фокус у параболи в нескінченності (див. також Кулі Данделена).

Використання параболоїдів у техніці Параболоїд обертання фокусує пучок променів, паралельний головній осі, в одну точку. Часто використовується властивість параболоїда обертання збирати пучок променів, паралельний головній осі, в одну точку фокус, або, навпаки, формувати паралельний пучок випромінювання від джерела, що знаходиться у фокусі. На цьому принципі засновані параболічні антени, телескопи – рефлектори, прожектори, автомобільні фари. Антена радіотелескоп.

Сонячна запальничка Оригінальний спосіб використання енергії Сонця. Сонячна запальничка є параболічним дзеркалом з нержавіючої сталі, майже такою ж, як те, що використовується для запалювання Олімпійського вогню в Афінах. Параболічне дзеркало дозволяє зібрати всю енергію в одній фокусній точці і запалити вогонь. Температура в цій точці може досягати 537 градусів за Цельсієм. Такий пристрій буде незамінним у поході та в інших польових умовах.

Параболи у фізичному просторі Траєкторії деяких космічних тіл (комет, астероїдів та інших), що проходять поблизу зірки або іншого масивного об'єкта (зірки, чорної діркиабо просто планети) на досить великій швидкості мають форму параболи (або гіперболи). Ці тіла внаслідок своєї великої швидкості та малої маси не захоплюються гравітаційним полемзірки і продовжують вільний політ. Це використовується для гравітаційних маневрів космічних кораблів.

Застосування параболи в балістиці Балістика (від грец. βάλλειν кидати) наука про рух тіл, кинутих у просторі, заснована на математиці та фізиці. Вона займається, головним чином, дослідженням руху снарядів, випущених з вогнепальної зброї, ракетних снарядів та балістичних ракет. Розрізняють внутрішню балістику, що займається дослідженням руху снаряда в каналі зброї, на противагу зовнішньої балістиці, що досліджує рух снаряда по виходу зброї. Під зовнішньою баллістикою розуміють, як правило, науку про рух тіл у повітряному та безповітряному просторі під дією лише зовнішніх сил.

Висячий міст структури конструкції. Основні напруги у висячому мосту це напруги розтягування в основних тросах і напруги стиснення в опорах, напруги в прольоті малі. Майже всі сили в опорах спрямовані вертикально вниз і стабілізуються рахунок тросів, тому опори можуть бути дуже тонкими. Порівняно простий розподіл навантажень з різних елементів конструкції спрощує розрахунок висячих мостів. Під дією власної ваги та ваги мостового прольоту троси провисають та утворюють дугу, близьку до параболи. Ненавантажений трос, підвішений між двома опорами, набуває форми т.з. «ланцюгової лінії», яка близька до параболи в майже горизонтальній ділянці. Якщо вагою тросів можна знехтувати, а вага прольоту рівномірно розподілена по довжині моста, троси набувають форми параболи. Якщо вага троса порівняти з вагою дорожнього полотна, то його форма буде проміжною між ланцюговою лінією та параболою.

Підсумки Під час роботи над цим проектом: 1. Сформульовано суворе математичне визначення параболи. 2. Розглянуто спосіб побудови параболи. 3. Вивчено деякі властивості параболи. 4. Виявлено зв'язок між поняттями «парабола» та «конічні перерізи». 5. Визначено сфери застосування параболи (фізика, техніка, балістика, астрономія, архітектура, мостобудування). 6. Підтверджено значущість математики в навколишньому світі.

Інтернет - ресурси Парабола Конічний перетин Антена Рефлектор _(телескоп) Прожектор Фокус _(фізика) Висячий міст Еліптичний параболоїд

Назад вперед

Увага! Попередній переглядслайдів використовується виключно з ознайомлювальною метою і може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі уроку:відтворення та корекція необхідних знань та умінь з цієї теми;

аналіз завдань та способів їх виконання;

розвивати логічне мислення;

закріпити вміння будувати та “читати” графіки;

прищеплювати інтерес до історії математики.

Тип уроку: урок закріплення та перевірки знань, умінь, навичок учнів.

Обладнання:

• презентація PowerPoint;
• креслярські інструменти.

I. Історична довідка. (Слайд 2)

Аполлоній Пергський (Перге, 262 до н.е. – 190 до н.е.) – давньогрецький математик, один із трьох (поряд з Евклідом та Архімедом) великих геометрів античності, що жили в III столітті до н.е.

Аполлоній прославився насамперед монографією "Конічні перерізи"(8 книг), в якій дав змістовну загальну теоріюеліпса, параболи та гіперболи. Саме Аполлоній запропонував узвичаєні назви цих кривих; до нього їх називали просто "перетинами конуса". Він ввів інші математичні терміни, латинські аналоги яких назавжди увійшли в науку, зокрема: асимптота, абсцисса, ордината, апліката.

"Парабола" означає програму або притчу. Довгий час так називали лінію зрізу конуса, доки з'явилася квадратична функція.

Застосування властивостей параболи у житті.

Виявляється, що парабола графік квадратичні функції- має ось яку цікаву властивість: є така точка і така пряма, що кожна точка параболи однаково віддалена від цієї точки і від цієї прямої (точку називають фокусом параболи, а пряму - її директрисою). Ця властивість параболи була відома вже математикам античної Греції.

Камінь, кинутий під кутом до горизонту, або снаряд, випущений з гармати, летять траєкторією, що має форму параболи.

Якщо обертати параболу навколо осі симетрії, то вийде поверхню, яку називають параболоїдом обертання. Якщо сильно розмішати ложечкою воду в склянці, а потім вийняти ложечку, то поверхня води набуде форми такого параболоїда.

А ось ще одна цікава властивість: якщо параболоїд обертання повертати навколо його осі з підходящою швидкістю, то рівнодіюча відцентрова сила і сила тяжкості в кожній точці параболоїда буде спрямована перпендикулярно його поверхні.

На цій властивості заснований кумедний атракціон: якщо обертати великий параболоїд, то кожному з людей, які розмістилися всередині нього, здається, що він сам твердо стоїть на підлозі, а решта людей якимось дивом тримаються на стінках.

ІІ. Узагальнення знань про розташування графіка параболи. (Слайд 3-5)

Розглядаючи параболу.

У цьому розділі ми покажемо, як можна отримати масу інформації про коефіцієнти квадратного тричлена у = 2 + bх + с,розглядаючи його графік – параболу.

Спочатку нагадаємо добре відомі факти.

1) Знак коефіцієнта а(при х 2)показує напрямок гілок параболи:

а >Про - гілки вгору;

а< 0 - ветви вниз.

Модуль коефіцієнта авідповідає за “крутість”

параболи: чим більше тим "крутіше" парабола.

Вирішити вправа 1. (Слайд 6, 7)

Для кожного із квадратних тричленів:

2) Коефіцієнт b(разом з а)визначає абсцису вершини параболи:

Зокрема, при а= 1 абсцис вершини квадратного тричлена у = х 2 + bх + сдорівнює.

При b > 0 вершина розташована ліворуч від осі Оу,при b< 0 - правіше, при b = 0- на осі Оу.

Вирішити вправа 2. (Слайд 8, 9)

Для кожного їх квадратних тричленів:

знайдіть на кресленні його графік.

3) Зберігаючи коефіцієнти а і b ізмінюючи з, ми будемо “піднімати” та “опускати” параболу. Як “прочитати” на кресленні значення з?

Зрозуміло, що з = y(0)-ордината точки перетину параболи з віссю Оу.

Вирішити вправа 3. (Слайд 11, 12)

а) Де який графік?

б) Що більше: забо 1 ?

в) Визначте знак b.

Вирішити вправа 4. (Слайд 13, 14)

На кресленні зображені графіки функцій:

причому вісь Оу, що йде, як завжди, “знизу вгору” перпендикулярно до осі Охстертий.

а) Яка функція має графік 1, а яка – 2?

б) Визначте знаки c та d.

в) Визначте знак b.

Вирішити вправа 5. (Слайд 15, 16)

На кресленні зображені графіки функцій:

у = х 2 + 4х + с,

у = х 2 + bx + d і у = х 2 + 1,

причому вісь Ох, що йде, як завжди, “зліва направо” перпендикулярно до осі Оустертий.

а) Яка функція має графік 1, яка – 2, а яка – 3?

б) Визначте знак Ь.

в) Що більше: забо d?

г) Визначте знаки зі d.

Вирішити вправа 6. (Слайд 17–19)

На кресленні зображені графіки функцій:

у = ах 2 + х + с,

у = -х 2 + bх + 2

причому осі Оуі Ох,розташовані стандартним чином (паралельно краям листа, Ох- горизонтально "зліва направо", Оу- вертикально (“знизу нагору”), стерті.

а) Визначте знак b.

б) Визначте знак с.

в) Доведіть, що:

• рішення вправ ґрунтується на тих фактах, які ми знаємо про коефіцієнти квадратного тричлена;
• властивості параболи надзвичайно багаті і різноманітні, використовуючи їх вирішите завдання.

Завдання (слайд 20, 21).

Відомо, що парабола, яка є графіком квадратного тричлена у = ах 2 + 10х + с,не має точок у третій чверті.

Яке з таких тверджень може бути невірним?

(A) а>0

(В) Вершина параболи лежить у другій чверті.

(C) з > 0

(Е) 1ОО – 4 ас < 0.

Оскільки парабола не має точок у ІІІ чверті, то не може бути негативним. Отже, a> 0, отже, абсцис вершини х 0< 0. То есть вершина не может лежать ни в I, ни в IV четвертях. В III четверти ее нет по условию, значит, она лежит во II четверти. Итак, парабола обязана иметь такой вид, как показано на рисунке, поэтому условия А, В и С обязательно выполняются. Неравенство в Е означает, что дискриминант неположителен, то есть у квадратного трехчлена не более одного корня, - это условие тоже обязательно выполняется. Условие з> 0,1 нічого не слід.

Справді, воно може бути порушене, наприклад, для параболи у= х 2 + 10х + 0,01, що відповідає умовам задачі.

Відповідь: (D).

Цей термін має й інші значення . (Література)

Парабола - "порівняння, зіставлення, подоба, наближення".

Невелика розповідь алегоричного характеру, що має повчальний зміст і особливу форму розповіді, що рухається як би по кривій (параболі): розпочата з абстрактних предметів, розповідь поступово наближається до головної теми, а потім знову повертається.

ПАРАБОЛА.

РОДИЧІ ПАРАБОЛИ -

БЛИЖНІ ТА ДАЛІ

Сільченко Ольга, Ізотова Анна

учениці 9 класу МБОУ Страшевичська ЗОШ

вчитель: Самолисова Тетяна Василівна

Мета проекту:

вивчити одну з кривих другого порядку (параболу) та сфери її застосування.

Завдання проекту:

1.Дати математичне визначення параболи.

2. Вивчити властивості параболи.

3. З'ясувати, чому параболу називають конічним перетином.

4. Знайти відомості про «родичів» параболи

5. Виявити сфери застосування параболи

Всім нам добре знайомий квадратний тричлен, про який здавалося б, ми всі знаємо: і як коріння знаходити, і як графік будувати, і як квадратні нерівності вирішувати... Але це поспішне судження - наш старий знайомий має чимало секретів і сюрпризів!

Парабола (грец. παραβολή - додаток) -крива, точки якої однаково віддалені від деякої точки, званої фокусом, і від деякої прямої, званої директрисою параболи.

Парабола- це перетин конусаплощиною, що паралельна його утворює.

Ще один спосіб побудови

Виявляється, що парабола – графік квадратичної функції – має цікаву властивість: є така точка і така пряма, що кожна точка параболи однаково віддалена від цієї точки і від цієї прямої (точку називають фокусом параболи, а пряму – директрисою). Ця властивість параболи була відома ще математикам античної Греції. Для графіка функції у = х 2 фокусом служить точка з координатами (0; 0,25), а директрисою - пряма у = -0,25.

Спробуйте вигадати, як можна будувати параболу, використовуючи цю властивість.

Властивості параболи

1. Парабола – крива другого порядку.

2. Вона має вісь симетрії, яка називається віссю параболи. Вісь проходить через фокус і вершину перпендикулярно до директриси.

3. Оптична властивість. Пучок променів, паралельних осі параболи, відбиваючись у параболі, збирається у її фокусі. І навпаки, світло від джерела, що у фокусі, відбивається параболою в пучок паралельних її осі променів.

4. Для параболи фокус знаходиться у точці (0; 0.25).

Для параболи фокус знаходиться у точці (0; f).

5.Всі параболи подібні. Відстань між фокусом та директрисою визначає масштаб.

Найближчі родичі параболи– це коло , гіперболаі еліпс.

А ріднить усі ці криві звичайний конус:

провести площину, яка паралельна осі конуса,

то лінією перетину виявиться гіпербола

• якщо площина перпендикулярна до осі, то перетин – коло ,

• якщо площину розташувати між останніми двома,

то в перетині вийде еліпс.

якщо площина паралельна утворює конуса, то в перетині вийде парабола ,

Тому всі ці криві разом називають конічними перерізами.

Вже 340 року до нашої ери грецький математик Менехм знав про таку властивість цих кривих, а в другому столітті до нашої ери Аполлоній з Перги написав подібний трактат «Конічні перетини».

Циклоїда.

Ще одна знаменита родичка параболи – циклоїда. Це траєкторія точки обода колеса, яке котиться без ковзання прямою. Таку назву дав кривий Галілей. Якщо спускатися на санках з гірки побудованої у вигляді циклоїди, то час спуску не залежить від того, з якого місця почали котитися санки. Але спуск з тієї ж висоти по гірці будь-якої іншої форми займе більше часу. Через цю властивість циклоїду ще називають «брахістохроною» (Від грецьких слів, що означають «найкоротший» і «час»).

Параболоїд обертання.

Якщо обертати параболу навколо її осі обертання, то вийде поверхня, яку називають параболоїдом обертання.

Якщо сильно розмішати ложечкою воду в склянці, а потім вийняти ложечку, то поверхня води набуде форми такого параболоїда.

Використання параболоїдів у техніці

Параболоїд обертання фокусує пучок променів, паралельний головній осі, одну точку.

Часто використовується властивість параболоїда обертання збирати пучок променів, паралельний головній осі, в одну точку - фокус, або, навпаки, формувати паралельний пучок випромінювання від джерела, що знаходиться у фокусі.

На цьому принципі ґрунтуються параболічні антени, телескопи-рефлектори, прожектори, автомобільні фари.

Використання параболоїдів у техніці

Телескопи-рефлектори

Прожектор

Автомобільні фари

Сонячна запальничка

Оригінальний спосіб використання енергії Сонця. Сонячна запальничка є параболічним дзеркалом з нержавіючої сталі, майже такою ж, як те, що використовується для запалювання Олімпійського вогню в Афінах.

Параболічне дзеркало дозволяє зібрати всю енергію в одній фокусній точці і запалити вогонь. Температура в цій точці може досягати 537 градусів за Цельсієм. Такий пристрій буде незамінним у поході та в інших польових умовах.

Параболи у фізичному просторі

Параболічна орбіта та рух супутника по ній

Падіння баскетбольногом'яча

Параболічна сонячна електростанція у Каліфорнії, США.

Парабола у природі

Парабола. Її форма неймовірна, як, зрештою, і висота. Деякі люди

досі не вірять у існування цієї дивної скелі. Так і кажуть:

Немає ні бога, ні Параболи. А те, що показують – це фотошоп.

Парабола у живій природі

Безперечно, помиляється той, хто вважає, що параболу можна зустріти тільки на сторінках підручника. Уважно подивіться на малюнки та знайдіть у них параболи.

Самі виконайте кілька малюнків листя, квітів, тварин і знайдіть у них параболи.

Параболи у тваринному світі

Траєкторії стрибків тварин близькі до параболи

Підсумки

У ході роботи над цим проектом :

1. Сформульовано суворе математичне визначення параболи.

2. Розглянуто спосіб побудови параболи.

3. Вивчено деякі властивості параболи.

4. Виявлено зв'язок між поняттями «парабола» та «конічні перерізи», знайдено родичів параболи.

5. Визначено сфери застосування параболи (фізика, техніка, астрономія, архітектура та ін.).

6. Підтверджено значущість математики в навколишньому світі.

Список використаних джерел:

1. Енциклопедичний словникмолодого математика. Упорядник А.П.Савін, М, Педагогіка, 1982 рік.

2. Енциклопедія для дітей, тому 11, "Математика", М, "Аванта +", 1998 рік.

3. Математичний клуб "Кенгуру", "Навколо квадратного тричлена" СПб, 2002 рік.

4. Сайт http://www/uvlekat- matem.narod.ru/

5.Сайт www.bigpi.biysk.ru

6.Сайт ru.wikipedia.org › Конічне переріз