Чому дорівнює площа поверхні правильної піраміди. Знайти площу поверхні правильної трикутної піраміди

Перед вивченням питань про дану геометричної фігури і її властивості, слід розібратися в деяких термінах. Коли людина чує про піраміду, на її думку, величезні споруди в Єгипті. Так виглядають найпростіші з них. Але вони бувають різних видів і форм, а значить і формула обчислення для геометричних фігур буде різною.

Піраміда - геометрична фігура, Що позначає і представляє собою кілька граней. По суті - це той же багатогранник, в основі якого лежить багатокутник, а з боків розташовані трикутники, що з'єднуються в одній точці - вершині. Фігура буває двох основних видів:

• правильна;
• усічена.

У першому випадку, в основі лежить правильний багатокутник. Тут все бічні поверхні рівні між собою і сама фігура порадує око перфекціоніста.

У другому випадку, підстав два - велике в самому низу і мале між вершиною, що повторює форму основного. Іншими словами - усічена піраміда являє собою багатогранник з перетином, утвореним паралельно підставі.

Терміни і позначення

Основні терміни:

• Правильний (рівносторонній) трикутник - фігура з трьома однаковими кутами і рівними сторонами. В цьому випадку всі кути мають 60 градусів. Фігура є найпростішою з правильних багатогранників. Якщо ця фігура лежить в основі, то такий багатогранник буде називатися правильної трикутної. Якщо в основі лежить квадрат, піраміда буде називатися правильної чотирикутної пірамідою.
• вершина - сама верхня точка, де сходяться межі. Висота вершини утворюється прямою лінією, що йде від вершини до основи піраміди.
• грань - одна з площин багатокутника. Вона може бути у вигляді трикутника у випадку з трикутної пірамідою або у вигляді трапеції для усіченої піраміди.
• Перетин - плоска фігура, що утворюється в результаті розтину. Не варто плутати з розрізом, так як розріз показує і те, що знаходиться за перетином.
• апофема - відрізок, проведений з вершини піраміди до її основи. Він також є висотою тієї межі, де знаходиться друга точка висоти. Дане визначення справедливо лише по відношенню до правильного багатограннику. Наприклад - якщо це не усічена піраміда, то грань буде являти собою трикутник. В даному випадку висота цього трикутника і стане апофемой.

формули площі

Знаходити площа бічної поверхні піраміди будь-якого типу можна декількома способами. Якщо фігура не симетрична і являє собою багатокутник з різними сторонами, то в даному випадку легше обчислити загальну площу поверхні через сукупність всіх поверхонь. Іншими словами - треба порахувати площа кожної грані і скласти їх разом.

Залежно від того, які параметри відомі, можуть знадобитися формули обчислення квадрата, трапеції, довільного чотирикутника і т.д. Самі формули в різних випадках теж будуть мати відмінності.

У випадку з правильною фігурою знаходити площа набагато простіше. Досить знати всього декілька ключових параметрів. У більшості випадків потрібні обчислення саме для таких фігур. Тому далі будуть наведені відповідні формули. В іншому випадку довелося б розписати все на кілька сторінок, що тільки заплутає і зіб'є з толку.

Основна формула для обчислення площі бічної поверхні правильної піраміди буде мати наступний вигляд:

S \u003d ½ Pa (P - периметр підстави, а - апофема)

Розглянемо один із прикладів. Багатогранник має підставу з відрізками A1, А2, А3, А4, А5, і всі вони рівні 10 см. Апофема нехай буде дорівнює 5 см. Для початку треба знайти периметр. Так як всі п'ять граней підстави однакові, можна знаходити так: Р \u003d 5 * 10 \u003d 50 см. Далі застосовуємо основну формулу: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 см в квадраті.

Площа бічної поверхні правильної трикутної піраміди обчислити найлегше. Формула має такий вигляд:

S \u003d ½ * ab * 3, де а - апофема, b - грань підстави. Множник трійки тут означає кількість граней підстави, а перша частина - площа бічної поверхні. Розглянемо приклад. Дана фігура з апофемой 5 см і гранню підстави 8 см. Рахуємо: S \u003d 1/2 * 5 * 8 * 3 \u003d 60 см в квадраті.

Площа бічної поверхні усіченої піраміди обчислювати трохи складніше. Формула виглядає так: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, де р_01 і р_02 є периметрами підстав, а - апофема. Розглянемо приклад. Припустимо, для чотирикутної фігури дані розміри сторін підстав 3 і 6 см, апофема дорівнює 4 см.

Тут для початку слід знайти периметри підстав: р_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 см; р_02 \u003d 6 * 4 \u003d 24 см. Залишилося підставити значення в основну формулу і отримаємо: S \u003d 1/2 * (12 + 24) * 4 \u003d 0,5 * 36 * 4 \u003d 72 см в квадраті.

Таким чином, можна знайти площу бічної поверхні правильної піраміди будь-якої складності. Слід бути уважним і не плутати ці обчислення з повною площею всього багатогранника. А якщо це все ж знадобиться зробити - достатньо обчислити площу найбільшого підстави багатогранника і додати її до площі бічної поверхні багатогранника.

Відео

Закріпити інформацію про те, як знайти площу бічної поверхні різних пірамід, вам допоможе це відео.

Чи не отримали відповідь на своє питання? Запропонуйте авторам тему.

Площа поверхні піраміди. У цій статті ми розглянемо з вами завдання з правильними пірамідами. Нагадаю, що правильна піраміда - це піраміда, підставою якої є правильний багатокутник, вершина піраміди проектується в центр цього багатокутника.

Бічна грань такої піраміди це трикутник.Висота цього трикутника, проведена з вершини правильної піраміди, називається апофемой, SF - апофема:

У представленому нижче типі завдань потрібно знайти площу поверхні всієї піраміди або площа її бічної поверхні. На блозі вже розглянуто кілька завдань з правильними пірамідами, де ставилося питання про знаходження елементів (висоти, ребра підстави, бічного ребра),.

У завданнях ЄДІ, як правило, розглядаються правильні трикутні, чотирикутні і шестикутні піраміди. Завдань з правильними п'ятикутними і семикутна пірамідами не зустрічав.

Формула площі всієї поверхні проста - потрібно знайти суму площі підстави піраміди і площі її бічної поверхні:

Розглянемо завдання:

Сторони підстави правильної чотирикутної піраміди дорівнюють 72, бічні ребра рівні 164. Знайдіть площу поверхні цієї піраміди.

Площа поверхні піраміди дорівнює сумі площ бічної поверхні і підстави:

* Бічна поверхня складається з чотирьох рівних по площі трикутників. Підстава піраміди це квадрат.

Площа бічної сторони піраміди можемо обчислити скориставшись:

Таким чином, площа поверхні піраміди дорівнює:

Відповідь: 28224

Сторони підстави правильної шестикутної піраміди рівні 22, бічні ребра рівні 61. Знайдіть площу бічної поверхні цієї піраміди.

Підставою правильної шестикутної піраміди є правильний шестикутник.

Площа бічної поверхні цієї піраміди складається з шести площ рівних трикутників з сторонами 61,61 і 22:

Знайдемо площу трикутника, скористаємося формулою Герона:

Таким чином, площа бічної поверхні дорівнює:

Відповідь: 3240

* У представлених вище задачах площа бічної грані можна було знайти використовуючи іншу формулу трикутника, але для цього потрібно обчислити апофему.

27155. Знайдіть площу поверхні правильної чотирикутної піраміди, сторони підстави якої рівні 6 і висота дорівнює 4.

Для того, щоб знайти площу поверхні піраміди нам необхідно знати площу підстави і площа бічної поверхні:

Площа підстави дорівнює 36, так як це квадрат зі стороною 6.

Бічна поверхня складається з чотирьох граней, які є рівними трикутниками. Для того, щоб знайти площу такого трикутника потрібно знати його підставу і висоту (апофему):

* Площа трикутника дорівнює половині твори підстави і висоти проведеної до цього підстави.

Підстава відомо, воно дорівнює шести. Знайдемо висоту. Розглянемо прямокутний трикутник (він виділений жовтим):

Один катет дорівнює 4, так як це висота піраміди, інший дорівнює 3, тому що він дорівнює половині ребра підстави. Чи можемо знайти гіпотенузу, по теоремі Піфагора:

Значить площа бічної поверхні піраміди дорівнює:

Таким чином, площа поверхні всієї піраміди дорівнює:

Відповідь: 96

27069. Сторони підстави правильної чотирикутної піраміди дорівнюють 10, бічні ребра рівні 13. Знайдіть площу поверхні цієї піраміди.

27070. Сторони підстави правильної шестикутної піраміди рівні 10, бічні ребра рівні 13. Знайдіть площу бічної поверхні цієї піраміди.

Існують ще формули площі бічної поверхні правильної піраміди. У правильній піраміді підставу є ортогональною проекцією бічній поверхні, тому:

P - периметр підстави, l - апофема піраміди

* Ця формула ґрунтується на формулі площі трикутника.

Якщо хочете дізнатися докладніше як ці формули виводяться, не пропустіть, стежте за публікацією статей.На цьому все. Успіху Вам!

З повагою, Олександр Крутицький.

P.S: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт в соціальних мережах.

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачі ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільної ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класу, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) і завдання 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтися ні стобалльніку, ні гуманітарію.

Вся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки і секрети ЄДІ. Розібрані всі актуальні завдання частини 1 з Банку завдань ФІПІ. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тим, за 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання і теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми вирішення задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, розбір всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми рішення, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня і логарифми, функція і похідна. База для вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Площа бічної поверхні довільної піраміди дорівнює сумі площ її бічних граней. Спеціальну формулу для вираження цієї площі має сенс дати в разі правильної піраміди. Так, нехай дана правильна піраміда, в основі якої лежить правильний n-кутник зі стороною, що дорівнює а. Нехай h - висота бічної грані, називається також апофемой піраміди. Площа однієї бічної грані дорівнює 1 / 2ah, а вся бокова поверхня піраміди має площу, рівну n / 2ha.Так як na - периметр основи піраміди, то можна написати знайдену формулу у вигляді:

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку її апофеми на половину периметра підстави.

Що стосується площі повної поверхні, То просто до бічної додаємо площа підстави.

Вписані і описані сфера і куля. Потрібно відзначити, що центр вписаною в піраміду сфери лежить на перетині биссекторной площин внутрішніх двогранні кутів піраміди. Центр описаного навколо піраміди сфери лежить на перетині площин, що проходять через середини ребер піраміди і перпендикулярних їм.

Усічена піраміда. Якщо піраміду розсікти площиною, паралельної її основи, то частина, яка знаходиться між січною площиною і підставою, називається усіченої пірамідою. На малюнку показана піраміда, відкидаючи її частина, що лежить вище січної площини, отримуємо усічену піраміду. Ясно, що мала відкидається піраміда гомотетічна піраміді з центром гомотетии в вершині. Коефіцієнт подібності дорівнює відношенню висот: k \u003d h 2 / h 1, або бічних ребер, або інших відповідних лінійних розмірів обох пірамід. Ми знаємо, що площі подібних фігур відносяться, як квадрати лінійних розмірів; так площі підстав обох пірамід (тобто пощади підстав усіченої піраміди) відносяться, як

Тут S 1 - площа нижньої основи, а S 2 - площа верхнього підстави усіченої піраміди. У такому ж відношенні знаходяться і бічні поверхні пірамід. Подібне правило є і для обсягів.

Обсяги подібних тіл відносяться, як куби їх лінійних розмірів; наприклад, обсяги пірамід відносяться, як твори їх висот на площі підстав, звідки наше правило виходить відразу. Воно має абсолютно загальний характер і прямо випливає з того, що обсяг завжди має розмірність третього ступеня довжини. Користуючись цим правилом, виведемо формулу, яка має обсяг усіченої піраміди через висоту і площі підстав.

Нехай дана усічена піраміда з висотою h і площами підстав S 1 і S 2. Якщо уявити собі, що його не було продовжено до повної піраміди, то коефіцієнт подібності полнорй піраміди і малої піраміди легко знайти, як корінь з відносини S 2 / S 1. Висота усіченої піраміди виражається як h \u003d h 1 - h 2 \u003d h 1 (1 - k). Тепер маємо для обсягу усіченої піраміди (через V 1 і V 2 позначені обсяги повної і малої пірамід)

формула обсягу усіченої піраміди

Виведемо формулу площі S бічної поверхні правильної зрізаної піраміди через периметри Р 1 і Р 2 підстав і довжину апофеми а. Міркуємо точно так же, як і при виведенні формули для об'єму. Доповнюємо піраміду верхньою частиною, маємо P 2 \u003d kP 1, S 2 \u003d k 2 S 1, де k - коефіцієнт подібності, P 1 і P 2 - периметри підстав, а S 1 і S 2 - Кінь бічних поверхонь всієї отриманої піраміди і її верхньої частини відповідно. Для бічної поверхні знайдемо (а 1 і а 2 - апофеми пірамід, а \u003d а 1 - а 2 \u003d а 1 (1-k))

формула площі бічної поверхні правильної зрізаної піраміди

У цьому уроці:

• Завдання 1. Знайти площу повної поверхні піраміди
• Завдання 2. Знайти площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди

Див. Також матеріали по темі:
.

Примітка . Якщо Вам необхідно вирішити задачу з геометрії, якої тут немає - пишіть про це в форумі. У завданнях замість символу "квадратний корінь" застосовується функція sqrt (), в якій sqrt - символ квадратного кореня, а в дужках зазначено подкоренное вираз. Для простих підкореневих виразів може використовуватися знак "√".

завдання 1. Знайти площу повної поверхні правильної піраміди

Висота підстави правильної трикутної піраміди дорівнює 3 см. А кут між бічною гранню і основою піраміди дорівнює 45 градусів.
Знайти площу повної поверхні піраміди

Рішення.

У підставі правильної трикутної піраміди лежить рівносторонній трикутник.
Тому для вирішення завдання скористаємося властивостями правильного трикутника:

Нам відома висота трикутника, звідки можна знайти його площу.
h \u003d √3 / 2 a
a \u003d h / (√3 / 2)
a \u003d 3 / (√3 / 2)
a \u003d 6 / √3

Звідки площа підстави буде дорівнює:
S \u003d √3 / 4 a 2
S \u003d √3 / 4 (6 / √3) 2
S \u003d 3√3

Для того, щоб знайти площу бічної грані, обчислимо висоту KM. Кут OKM за умовою задачі дорівнює 45 градусам.
Таким чином:
OK / MK \u003d cos 45
Скористаємося таблицею значень тригонометричних функцій і підставимо відомі значення.

OK / MK \u003d √2 / 2

Врахуємо, що ОК дорівнює радіусу вписаного кола. тоді
OK \u003d √3 / 6 a
OK \u003d √3 / 6 * 6 / √3 \u003d 1

тоді
OK / MK \u003d √2 / 2
1 / MK \u003d √2 / 2
MK \u003d 2 / √2

Площа бічної грані тоді дорівнює половині твори висоти на підставу трикутника.
Sбок \u003d 1/2 (6 / √3) (2 / √2) \u003d 6 / √6

Таким чином, площа повної поверхні піраміди буде дорівнює
S \u003d 3√3 + 3 * 6 / √6
S \u003d 3√3 + 18 / √6

відповідь: 3√3 + 18/√6

завдання 2. Знайти площу бічної поверхні правильної піраміди

У правильній трикутній піраміді висота дорівнює 10 см, а сторона підстави 16 см . Знайти площу бічної поверхні .

Рішення.

Оскільки підставою правильної трикутної піраміди є рівносторонній трикутник, то AO є радіусом описаної навколо підстави окружності.
(Це випливає з)

Радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника знайдемо з його властивостей

Звідки довжина ребер правильної трикутної піраміди буде дорівнює:
AM 2 \u003d MO 2 + AO 2
висота піраміди відома за умовою (10 см), AO \u003d 16√3 / 3
AM 2 \u003d 100 + 256/3
AM \u003d √ (556/3)

Кожна зі сторін піраміди являє собою трикутник. Площа рівнобедреного трикутника знайдемо з першої формули, представленої нижче

S \u003d 1/2 * 16 sqrt ((√ (556/3) + 8) (√ (556/3) - 8))
S \u003d 8 sqrt ((556/3) - 64)
S \u003d 8 sqrt (364/3)
S \u003d 16 sqrt (91/3)

Оскільки всі три грані у правильної піраміди рівні, то площа бічної поверхні буде дорівнює
3S \u003d 48 √ (91/3)

відповідь: 48 √(91/3)

Завдання 3. Знайти площу повної поверхні правильної піраміди

Сторона правильної трикутної піраміди дорівнює 3 см а кут між бічною гранню і основою піраміди дорівнює 45 градусів. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

Рішення.
Оскільки піраміда правильна, в її основі лежить рівносторонній трикутник. Тому площа підстави дорівнює


So \u003d 9 * √3 / 4

Для того, щоб знайти площу бічної грані, обчислимо висоту KM. Кут OKM за умовою задачі дорівнює 45 градусам.
Таким чином:
OK / MK \u003d cos 45
скористаємося