Словники. Енциклопедії. Історія. Література. Російська мова » Терміни » Як знаходиться площа паралелограма формула. Обчислюємо суму кутів та площу паралелограма: властивості та ознаки. Інші способи знаходження площі

Як знаходиться площа паралелограма формула. Обчислюємо суму кутів та площу паралелограма: властивості та ознаки. Інші способи знаходження площі

Виведення формули площі паралелограма зводиться до побудови прямокутника, що дорівнює даному паралелограму за площею. Приймемо одну сторону паралелограма за основу, а перпендикуляр, проведений з будь-якої точки протилежної сторони на пряму, що містить основу називатимемо висотою паралелограма. Тоді площа паралелограма дорівнюватиме добутку його основи на висоту.

Теорема.Площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту.

Доказ. Розглянемо паралелограм із площею. Приймемо сторону за основу і проведемо висоти (рисунок 2.3.1). Потрібно довести, що.

Малюнок 2.3.1

Доведемо спочатку, що площа прямокутника також дорівнює. Трапеція складена з паралелограма і трикутника. З іншого боку, вона складена із прямокутника НВСК та трикутника. Але прямокутні трикутники рівні по гіпотенузі і гострому куту (їх гіпотенузиі рівні як протилежні сторони паралелограма, а кути 1 і 2 рівні як відповідні кути при перетині паралельних прямих сікучих), тому їх площі рівні. Отже, площі паралелограми і прямокутника також рівні, тобто площа прямокутника дорівнює. По теоремі про площу прямокутника, але оскільки, то.

Теорему доведено.

Приклад 2.3.1.

У ромб зі стороною та гострим кутом вписано коло. Визначити площу чотирикутника, вершинами якого є точки торкання кола зі сторонами ромба.

Рішення:

Радіус вписаної в ромб кола (рисунок 2.3.2), оскільки чотирикутник є прямокутником, так як його кути спираються на діаметр кола. Його площа, де (катет, що лежить проти кута).

Малюнок 2.3.2

Отже,

Відповідь:

Приклад 2.3.2.

Даний ромб, діагоналі якого рівні 3 см і 4 см. З вершини тупого кута проведені висоти.

Рішення:

Площа ромба (рис. 2.3.3).

Отже,

Відповідь:

Приклад 2.3.3.

Площа чотирикутника дорівнює Знайти площу паралелограма, сторони якого рівні і паралельні діагоналям чотирикутника.

Рішення:

Так як і (рисунок 2.3.4), то паралелограм і, значить,.

Малюнок 2.3.4

Аналогічно отримуємо, звідки слідує, що.

Відповідь:.

2.4 Площа трикутника

Існує кілька формул обчислення площі трикутника. Розглянемо ті, що вивчаються у школі.

Перша формула випливає з формули площі паралелограма і пропонується учням як теореми.

Теорема.Площа трикутника дорівнює половині твору його основи на висоту.

Доказ.Нехай – площа трикутника. Приймемо сторону за основу трикутника і проведемо висоту. Доведемо, що:

Малюнок 2.4.1

Добудуємо трикутник до паралелограматак, як показано на малюнку. Трикутникиі рівні по трьох сторонах (- їх загальна сторона,як протилежні сторони паралелограма), тому їх площі рівні. Отже, площа S трикутника АВС дорівнює половині площі паралелограма, тобто.

Теорему доведено.

Важливо звернути увагу учнів на два слідства, які з даної теореми. А саме:

    площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів.

    якщо висоти двох трикутників рівні, їх площі відносяться як основи.

Ці два наслідки відіграють важливу роль у вирішенні різноманітних завдань. З опорою на цю доводиться ще одна теорема, що має широке застосування під час вирішення завдань.

Теорема. Якщо кут одного трикутника дорівнює куту іншого трикутника, їх площі відносяться як добутки сторін, що укладають рівні кути.

Доказ. Нехай і – площі трикутники, у яких кути рівні.

Малюнок 2.4.2

Доведемо, що: .

Накладемо трикутник. на трикутник так, щоб вершина поєдналася з вершиною, а сторони наклалися відповідно на промені.

Малюнок 2.4.3

Трикутники мають загальну висоту, тому,. Трикутники також мають загальну висоту –, тому,. Перемножуючи отримані рівності, отримаємо .

Теорему доведено.

Друга формула.Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними.Існує кілька способів доказу цієї формули, і я скористаюся одним із них.

Доказ.З геометрії відома теорема про те, що площа трикутника дорівнює половині твору основи на висоту, опущену на цю основу:

У разі гострокутного трикутника. У разі тупого кута. Ho, а тому . Отже, в обох випадках. Підставивши замість геометричної формулі площі трикутника, отримаємо тригонометричну формулу площі трикутника:

Теорему доведено.

Третя формуладля площі трикутника - формула Герона, названа так на честь давньогрецького вченого Герона Олександрійського, який жив у першому столітті нашої ери. Ця формула дозволяє знаходити площу трикутника, знаючи його сторони. Вона зручна тим, що дозволяє не робити жодних додаткових побудов та не вимірювати кутів. Її висновок ґрунтується на другій з розглянутих нами формул площі трикутника та теоремі косінусів: і .

Перш ніж перейти до реалізації цього плану, зауважимо, що

Так само маємо:

Тепер висловимо косинус через і:

Оскільки будь-який кут у трикутнику більше і менше, то. Значить, .

Тепер окремо перетворимо кожен із співмножників у підкореному вираженні. Маємо:

Підставляючи цей вираз у формулу для площі, отримуємо:

Тема «Площа трикутника» має велике значення у шкільному курсі математики. Трикутник - найпростіша з геометричних фігур. Він є структурним елементом шкільної геометрії. Переважна більшість геометричних завдань зводяться до розв'язання трикутників. Не виняток і завдання про знаходження площі правильного та довільного n-кутника.

Приклад 2.4.1.

Чому дорівнює площа рівнобедреного трикутника, якщо його основа, а бічна сторона?

Рішення:

-рівностегновий,

Малюнок 2.4.4

Проведемо за якістю рівнобедреного трикутника – медіана та висота. Тоді

У теоремі Піфагора:

Знаходимо площу трикутника:

Відповідь:

Приклад 2.4.2.

У прямокутному трикутнику бісектриса гострого кута ділить протилежний катет на відрізки завдовжки 4 і 5 см. Визначити площу трикутника.

Рішення:

Нехай (малюнок 2.4.5). Тодіі (оскільки BD - бісектриса). Звідси маємо , тобто. Значить,

Малюнок 2.4.5

Відповідь:

Приклад 2.4.3.

Знайти площу рівнобедреного трикутника, якщо його основа дорівнює , а довжина висоти, проведеної до основи, дорівнює довжині відрізка, що з'єднує середини основи та збоку.

Рішення:

За умовою – середня лінія (рисунок 2.4.6). Бо Віємо:

або , звідкиОтже,

При вирішенні завдань на цю тему крім основних властивостей паралелограмаі відповідних формул можна запам'ятати та застосовувати наступне:

  1. Бісектриса внутрішнього кута паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник
  2. Бісектриси внутрішніх кутів прилеглі до однієї із сторін паралелограма взаємно перпендикулярні
  3. Бісектриси, що виходять із протилежних внутрішніх кутів паралелограма, паралельні між собою або лежать на одній прямій
  4. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін
  5. Площа паралелограма дорівнює половині твору діагоналей на синус кута між ними.

Розглянемо завдання, під час вирішення яких використовуються дані властивості.

Завдання 1.

Бісектриса кута С паралелограма АВСD перетинає сторону АD у точці М та продовження сторони АВ за точку А у точці Е. Знайдіть периметр паралелограма, якщо АЕ = 4, DМ = 3.

Рішення.

1. Трикутник СМD рівнобедрений. (Властивість 1). Отже, CD = МD = 3 см.

2. Трикутник ЕАМ рівнобедрений.
Отже, АЕ = АМ = 4 див.

3. АD = АМ + МD = 7 див.

4. Периметр АВСD = 20 див.

Відповідь. 20 див.

Завдання 2.

У опуклому чотирикутнику АВСD проведено діагоналі. Відомо, що площа трикутників АВD, АСD, ВСD дорівнює. Доведіть, що цей чотирикутник є паралелограмом.

Рішення.

1. Нехай ВЕ – висота трикутника АВD, СF – висота трикутника АCD. Оскільки за умовою завдання площі трикутників рівні й вони загальне підставу АD, то висоти цих трикутників рівні. ВЕ = СF.

2. ВЕ, СF перпендикулярні до АD. Крапки В і З розташовані з одного боку щодо прямої АD. ВЕ = СF. Отже, пряма ЗС || AD. (*)

3. Нехай АL – висота трикутника АСD, BK – висота трикутника BCD. Оскільки за умовою завдання площі трикутників рівні й вони загальне підставу СD, то висоти цих трикутників рівні. АL=BK.

4. АL та BK перпендикулярні СD. Точки В і А розташовані з одного боку щодо прямої СD. АL=BK. Отже, пряма АВ | CD (**)

5. З умов (*), (**) випливає – АВСD паралелограм.

Відповідь. Доведено. АВСD – паралелограм.

Завдання 3.

На сторонах ВС і CD паралелограма АВСD відзначені точки М і Н відповідно так, що відрізки ВМ і НD перетинаються в точці;<ВМD = 95 о,

Рішення.

1. У трикутнику DОМ<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. У прямокутному трикутнику DНС
(

Тоді<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Оскільки в прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута в 30 о, дорівнює половині гіпотенузи).

Але СD = АВ. Тоді АВ: НD = 2:1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Відповідь: АВ: НD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Завдання 4.

Одна з діагоналей паралелограма довжиною 4√6 становить з основою кут 60 про, а друга діагональ становить з тією ж основою кут 45 о. Знайти другу діагональ.

Рішення.

1. АТ = 2√6.

2. До трикутника АОD застосуємо теорему синусів.

АТ/sin D = OD/sin А.

2√6/sin 45 про = OD/sin 60 про.

ОD = (2√6sin 60 про) / sin 45 про = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Відповідь: 12.

Завдання 5.

У паралелограма зі сторонами 5√2 та 7√2 менший кут між діагоналями дорівнює меншому куту паралелограма. Знайдіть суму довжин діагоналей.

Рішення.

Нехай d 1 , d 2 – діагоналі паралелограма, а кут між діагоналями та менший кут паралелограма дорівнює ф.

1. Порахуємо двома різними
способами його площа.

S ABCD = AB · AD · sin A = 5√2 · 7√2 · sin ф,

S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin ф.

Отримаємо рівність 5√2 · 7√2 · sin ф = 1/2d 1 d 2 sin ф або

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2;

2. Використовуючи співвідношення між сторонами та діагоналями паралелограма запишемо рівність

(АВ 2 + АD 2) · 2 = АС 2 + ВD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d12+d22=296.

3. Складемо систему:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140).

Помножимо друге рівняння системи на 2 та складемо з першим.

Отримаємо (d 1 + d 2) 2 = 576. Звідси Id 1 + d 2 I = 24.

Так як d 1 , d 2 - Довжини діагоналей паралелограма, то d 1 + d 2 = 24.

Відповідь: 24.

Завдання 6.

Сторони паралелограма 4 та 6. Гострий кут між діагоналями дорівнює 45 о. Знайдіть площу паралелограма.

Рішення.

1. З трикутника АОВ, використовуючи теорему косінусів, запишемо співвідношення між стороною паралелограма та діагоналями.

АВ 2 = АТ 2 + ВО 2 2 · АТ · ВО · cos АОВ.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 · (d 1 / 2) · (d 2 / 2) cos 45 про;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Аналогічно запишемо співвідношення для трикутника АОD.

Врахуємо, що<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Отримаємо рівняння d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Маємо систему
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144).

Віднімаючи з другого рівняння перше, отримаємо 2d 1 · d 2 √2 = 80 або

d 1 · d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10.

Примітка:У цьому й попередньому завданні немає потреби, вирішувати повністю систему, передбачаючи те, що у цій задачі для обчислення площі нам необхідний твір діагоналей.

Відповідь: 10.

Завдання 7.

Площа паралелограма дорівнює 96, а його сторони дорівнюють 8 і 15. Знайдіть квадрат меншої діагоналі.

Рішення.

1. S ABCD = AВ · АD · sin ВAD. Зробимо підстановку у формулу.

Отримаємо 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Звідси sin ВAD = 4/5.

2. Знайдемо cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 ВАD = 1. cos 2 ВАD = 9/25.

За умовою завдання ми знаходимо довжину меншої діагоналі. Діагональ ВD буде меншою, якщо кут ВАD гострий. Тоді cos ВАD = 3/5.

3. З трикутника АВD за теоремою косінусів знайдемо квадрат діагоналі ВD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 - 2 · АВ · ВD · cos ВАD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 · 8 · 15 · 3 / 5 = 145.

Відповідь: 145.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язати геометричне завдання?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Площа паралелограма

Теорема 1

Площа паралелограма визначається як добуток довжини його боку на висоту, проведену до неї.

де $a$ сторона паралелограма $h$ - висота, проведена до цієї сторони.

Доказ.

Нехай нам надано паралелограм $ABCD$, у якого $AD=BC=a$. Проведемо висоти $DF$ та $AE$ (рис. 1).

Малюнок 1.

Очевидно, що фігура $ FDAE $ - прямокутник.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\angle A=\angle BAE\]

Отже, оскільки $CD=AB,\ DF=AE=h$, за $I$ ознакою рівності трикутників $\triangle BAE=\triangle CDF$. Тоді

Значить по теоремі про площу прямокутника:

Теорему доведено.

Теорема 2

Площа паралелограма визначається як добуток довжини суміжних сторін, на синус кута між цими сторонами.

Математично це можна записати так

де $a,\b$ сторони паралелограма, $\alpha$ - кут між ними.

Доказ.

Нехай нам дано паралелограм $ABCD$, у якого $BC=a, CD=b, \angle C=\alpha $. Проведемо висоту $DF=h$ (рис. 2).

Рисунок 2.

За визначенням синуса, отримаємо

Отже

Отже, за теоремою $1$:

Теорему доведено.

Площа трикутника

Теорема 3

Площа трикутника визначається як половина добутку довжини його сторони, на висоту, проведену до неї.

Математично це можна записати так

де $a$ сторона трикутника $h$ - висота, проведена до цієї сторони.

Доказ.

Рисунок 3.

Значить за теоремою $1$:

Теорему доведено.

Теорема 4

Площа трикутника окреслюється половина добутку довжини його суміжних сторін, на синус кута між цими сторонами.

Математично це можна записати так

де $a, \ b $ сторони трикутника, $ \ alpha $ - Кут між ними.

Доказ.

Нехай нам дано трикутник $ABC$, який має $AB=a$. Проведемо висоту $CH=h$. Добудуємо його до паралелограма $ABCD$ (рис. 3).

Вочевидь, що за $I$ ознакою рівності трикутників $triangle ACB=triangle CDB$. Тоді

Значить за теоремою $1$:

Теорему доведено.

Площа трапеції

Теорема 5

Площа трапеції визначається як половина добутку суми довжин його основ, на його висоту.

Математично це можна записати так

Доказ.

Нехай нам дана трапеція $ABCK$, де $AK=a,\BC=b$. Проведемо у ній висоти $BM=h$ і $KP=h$, і навіть діагональ $BK$ (рис. 4).

Рисунок 4.

За теоремою $3$, отримаємо

Теорему доведено.

Приклад завдання

Приклад 1

Знайти площу рівностороннього трикутника, якщо довжина його сторони дорівнює $a.$

Рішення.

Оскільки трикутник рівносторонній, всі його кути дорівнюють $(60)^0$.

Тоді, за теоремою $4$, маємо

Відповідь:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Зауважимо, що результат цього завдання можна застосовувати під час знаходження площі будь-якого рівностороннього трикутника з даною стороною.

Визначення паралелограма

Паралелограм- це чотирикутник, у якому протилежні сторони рівні та паралельні.

Онлайн-калькулятор

Паралелограм має деякі корисні властивості, які спрощують вирішення завдань, пов'язаних з цією фігурою. Наприклад, одне з властивостей у тому, що протилежні кути паралелограма рівні.

Розглянемо кілька методів і формул з наступним рішенням найпростіших прикладів.

Формула площі паралелограма на основі та висоті

Даний спосіб знаходження площі є, напевно, одним з основних і простих, так як він практично ідентичний формулі знаходження площі трикутника за невеликим винятком. Спочатку розберемо узагальнений випадок без використання чисел.

Нехай дано довільний паралелограм з основою a a a, бічною стороною b b bта заввишки h h h, проведеної до нашої основи. Тоді формула для площі цього паралелограма:

S = a ⋅ h S = a \ cdot h S =a ⋅h

A a a- основа;
h h h- Висота.

Розберемо одне легке завдання, щоб потренуватися у вирішенні типових завдань.

Приклад

Знайти площу паралелограма, в якому відома основа, що дорівнює 10 (див.) і висота, що дорівнює 5 (див.).

Рішення

A = 10 a = 10 a =1 0
h = 5 h = 5 h =5

Підставляємо у нашу формулу. Отримуємо:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S=10\cdot 5=50S =1 0 ⋅ 5 = 5 0 (Див. кв.)

Відповідь: 50 (див. кв)

Формула площі паралелограма з обох боків та кутку між ними

В цьому випадку шукана величина знаходиться так:

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S =a ⋅b ⋅sin (α)

A, b a, b a, b- Сторони паралелограма;
α \alpha α - Кут між сторонами a a aі b b b.

Тепер розв'яжемо інший приклад і скористаємося вищеописаною формулою.

Приклад

Знайти площу паралелограма якщо відома сторона a a a, що є основою та з довжиною 20 (див.) і периметр p p p, чисельно рівний 100 (див.), кут між суміжними сторонами ( a a aі b b b) дорівнює 30 градусам.

Рішення

A = 20 a = 20 a =2 0
p = 100 p = 100 p =1 0 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Для знаходження відповіді нам невідома лише друга сторона цього чотирикутника. Знайдемо її. Периметр паралелограма надається формулою:
p=a+a+b+bp=a+a+b+b p =a +a +b +b
100 = 20 + 20 + b + b 100 = 20+20+b+b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b +b
100 = 40 + 2b 100 = 40 +2b 1 0 0 = 4 0 + 2 b
60 = 2 b 60 = 2b 6 0 = 2 b
b = 30 b = 30 b =3 0

Найскладніше позаду, залишилося тільки підставити наші значення для сторін та кута між ними:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S =2 0 ⋅ 3 0 ⋅ sin (3 0 ∘ ) = 3 0 0 (Див. кв.)

Відповідь: 300 (див. кв.)

Формула площі паралелограма по діагоналям та розі між ними

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S =2 1 ​ ⋅ D ⋅d ⋅sin (α)

D D D- велика діагональ;
d d d- мала діагональ;
α \alpha α - Гострий кут між діагоналями.

Приклад

Дано діагоналі паралелограма, рівні 10 (див.) і 5 (див.). Кут між ними 30 градусів. Обчислити його площу.

Рішення

D = 10 D = 10 D =1 0
d = 5 d = 5 d =5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12.5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12.5S =2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ sin (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (Див. кв.)

Паралелограм- Це чотирикутник, у якого сторони попарно паралельні.

У цій фігурі протилежні сторони та кути рівні між собою. Діагоналі паралелограми перетинаються в одній точці і діляться їй навпіл. Формули площі паралелограма дозволяють знайти значення через сторони, висоту та діагоналі. Паралелограм також може бути представлений у окремих випадках. Ними вважаються прямокутник, квадрат та ромб.
Для початку розглянемо приклад розрахунку площі паралелограма за висотою та стороною, до якої вона опущена.

Цей випадок вважається класичним і не потребує додаткового розгляду. Краще розглянемо формулу обчислення площі через дві сторони та кут між ними. Цей спосіб застосовується у розрахунку . Якщо дані сторони та кут між ними, то площа розраховується так:

Допустимо, дано паралелограм зі сторонами a = 4 см, b = 6 см. Кут між ними α = 30 °. Знайдемо площу:

Площа паралелограма через діагоналі


Формула площі паралелограма через діагоналі дозволяє швидко знайти значення.
Для обчислень знадобиться величина кута, розташованого між діагоналями.

Розглянемо приклад розрахунку площі паралелограма через діагоналі. Нехай дано паралелограм із діагоналями D = 7 см, d = 5 см. Кут, що лежить між ними α =30°. Підставимо дані у формулу:

Приклад розрахунку площі паралелограма через діагональ дав чудовий результат – 8,75.

Знаючи формулу площі паралелограма через діагональ, можна вирішувати безліч цікавих завдань. Давайте розглянемо одну з них.

Завдання:Даний паралелограм із площею 92 кв. див. Точка F розташована на середині його боку ПС. Давайте знайдемо площу трапеції ADFB, яка лежатиме в нашому паралелограмі. Спочатку намалюємо все, що отримали за умовами.
Приступаємо до вирішення:

За нашими умовами ah = 92, а відповідно, площа нашої трапеції дорівнюватиме

Схожі статті