Как да намерим апотема в правилна четириъгълна пирамида. Апотем на пирамидата. Формули за апотема на правилна триъгълна пирамида. Вижте какво е „апотема“ в други речници

Пирамидата е пространствен полиедър или полиедър, който се среща в геометрични задачиОх. Основните свойства на тази фигура са нейният обем и площ, които се изчисляват от познаването на всякакви две нейни линейни характеристики. Една от тези характеристики е апотемът на пирамидата. За нея ще има речв статията.

Пирамидална фигура

Преди да дадем определението за апотема на пирамидата, нека се запознаем със самата фигура. Пирамидата е многогранник, който е образуван от една n-гонална основа и n триъгълника, които съставляват страничната повърхност на фигурата.

Всяка пирамида има връх - точката на свързване на всички триъгълници. Перпендикулярът, направен от този връх към основата, се нарича височина. Ако височината пресича основата в геометричния център, тогава фигурата се нарича права линия. Права пирамида с равностранна основа се нарича правилна. Фигурата показва пирамида с шестоъгълна основа, гледана отстрани на лицето и ръба.

Апотем на правилната пирамида

Нарича се още апотема. Той се разбира като перпендикуляр, изтеглен от върха на пирамидата до страната на основата на фигурата. По дефиниция този перпендикуляр съответства на височината на триъгълника, който образува страничната страна на пирамидата.

Тъй като обмисляме правилна пирамида с n-гонална основа, всички n апотеми за нея ще бъдат еднакви, тъй като това са равнобедрените триъгълници на страничната повърхност на фигурата. Обърнете внимание, че идентичните апотеми са свойство на правилна пирамида. За фигура общ тип(косо с неправилен n-ъгъл) всички n апотеми ще бъдат различни.

Друго свойство на правилната апотема на пирамидата е, че тя е едновременно височината, медианата и бисектрисата на съответния триъгълник. Това означава, че тя го разделя на два еднакви правоъгълни триъгълника.

и формули за определяне на неговата апотема

Във всяка правилна пирамида важни линейни характеристики са дължината на страната на нейната основа, страничният ръб b, височината h и апотемата h b. Тези стойности са свързани помежду си чрез подходящи формули, които могат да бъдат получени чрез изчертаване на пирамида и разглеждане на необходимите правоъгълни триъгълници.

Правилна триъгълна пирамида се състои от 4 триъгълни лица, като едното от тях (основата) трябва да е равностранено. Останалите обикновено са равнобедрени. Апотемата на триъгълната пирамида може да бъде определена по отношение на други величини, като се използват следните формули:

h b = √ (b 2 - a 2/4);

h b = √ (a 2/12 + h 2)

Първото от тези изрази е вярно за пирамида с всяка правилна основа. Вторият израз е характерен изключително за триъгълната пирамида. Това показва, че апофемата винаги е повече височинафигури.

Апотемът на пирамида не трябва да се бърка с този на многогранник. В последния случай апотемът е перпендикулярният сегмент, изтеглен от страната на многогранника от центъра му. Например апотемът на равностранен триъгълник е √3 / 6 * a.

Проблемът с изчисляването на апотемата

Нека бъде дадена правилна пирамида с триъгълник в основата. Необходимо е да се изчисли неговата апотема, ако е известно, че площта на този триъгълник е 34 cm 2, а самата пирамида се състои от 4 еднакви лица.

В съответствие с условието на задачата имаме работа с тетраедър, състоящ се от равностранни триъгълници. Формулата за площта на едно лице е:

Откъдето получаваме дължината на страна a:

За да определим апотемата h b, използваме формулата, съдържаща страничния ръб b. В разглеждания случай дължината му е равна на дължината на основата, имаме:

h b = √ (b 2 - a 2/4) = √3 / 2 * a

Замествайки стойността от a до S, получаваме крайната формула:

h b = √3 / 2 * 2 * √ (S / √3) = √ (S * √3)

Имаме проста формула, в която апотемата на пирамидата зависи само от площта на нейната основа. Ако заменим стойността S от условието на задачата, тогава получаваме отговора: h b ≈ 7,674 cm.

Тук можете да намерите основна информация за пирамидите и свързаните с тях формули и понятия. Всички те се изучават с преподавател по математика при подготовката за изпита.

Помислете за равнина, многоъгълник лежи в него и точка S не лежи в него. Свържете S към всички върхове на многоъгълника. Полученият многоъгълник се нарича пирамида. Линейните сегменти се наричат ​​странични ребра. Многоъгълникът се нарича основа, а точката S се нарича върхът на пирамидата. В зависимост от числото n, пирамидата се нарича триъгълна (n = 3), четириъгълна (n = 4), петъгълна (n = 5) и т.н. Алтернативно име за триъгълната пирамида е тетраедър... Височината на пирамидата се нарича перпендикулярна, спусната от върха й до равнината на основата.

Пирамида се нарича правилна, ако правилен многоъгълник, а основата на височината на пирамидата (основата на перпендикуляра) е нейният център.

Коментар на учителя:
Не бъркайте понятието „правилна пирамида“ и „правилен тетраедър“. В правилна пирамида страничните ръбове не са непременно равни на ръбовете на основата, но в правилен тетраедър всички 6 ръба на ръбовете са равни. Това е неговото определение. Лесно е да се докаже, че равенството предполага съвпадение на центъра P на многоъгълника с основата на височината, така че правилен тетраедър е правилна пирамида.

Какво е Апотема?
Апотемът на пирамида е височината на страничното й лице. Ако пирамидата е правилна, тогава всичките й апотеми са равни. Обратното не е вярно.

Учител по математика за неговата терминология: работата с пирамиди е 80% изградена чрез два вида триъгълници:
1) Съдържащ апотема SK и височина SP
2) Съдържащ страничен ръб SA и неговата проекция PA

За да се опростят препратките към тези триъгълници, е по -удобно преподавателят по математика да извика първия от тях апотемичен, и второ крайбрежен... За съжаление няма да намерите тази терминология в нито един от учебниците и учителят трябва да я въведе едностранно.

Формулата за обема на пирамида:
1) , където е площта на основата на пирамидата и е височината на пирамидата
2), където е радиусът на вписаната сфера и е площта на цялата повърхност на пирамидата.
3) , където MN е разстоянието на всеки два пресичащи се ръба и е площта на паралелограма, образувана от средните точки на четирите останали ръба.

Основно свойство на височина на пирамида:

Точка P (виж фигурата) съвпада с центъра на вписания кръг в основата на пирамидата, ако е изпълнено едно от следните условия:
1) Всички апотеми са равни
2) Всички странични страни са еднакво наклонени към основата
3) Всички апотеми са еднакво наклонени към височината на пирамидата
4) Височината на пирамидата е еднакво наклонена към всички странични страни

Коментар на преподавателя по математика: Моля, обърнете внимание, че всички точки са обединени от едно обща собственост: по един или друг начин страничните лица са включени навсякъде (апотемите са техните елементи). Следователно, учителят може да предложи по -малко точна, но по -удобна за запаметяване формулировка: точката P съвпада с центъра на вписания кръг в основата на пирамидата, ако има еднаква информация за страничните й страни. За да го докажем, е достатъчно да покажем, че всички апотемични триъгълници са равни.

Точка P съвпада с центъра на окръжност, описана близо до основата на пирамидата, ако е изпълнено едно от трите условия:
1) Всички странични ръбове са равни
2) Всички странични ребра са еднакво наклонени към основата
3) Всички странични ребра са еднакво наклонени на височина

За успешно решаване на задачи в геометрията е необходимо ясно да се разберат термините, които тази наука използва. Например това са „прави“, „равнинни“, „многогранни“, „пирамиди“ и много други. В тази статия ще отговорим на въпроса какво е апотема.

Двойна употреба на термина „апотема“

В геометрията значението на думата „апотема“ или „апотема“, както се нарича още, зависи от обекта, към който е приложена. Има два коренно различни класа фигури, в които това е една от техните характеристики.

На първо място, това са плоски многоъгълници. Какво е апотема за многоъгълник? Това е височината, изтеглена от геометричния център на фигурата от двете страни.

За да стане по -ясно какво въпросният, обмисли конкретен пример... Да предположим, че имате правилен шестоъгълник, показан на фигурата по -долу.

Символът l означава дължината на неговата страна, а буквата a означава апотемата. За маркирания триъгълник това е не само височината, но и бисектрисата и медианата. Лесно е да се покаже, че през страната l може да се изчисли, както следва:

По същия начин апотемата е дефинирана за всеки n-гон.

Второ, това са пирамидите. Какво е апотем за такава фигура? Този въпрос изисква по -подробно разглеждане.

По тази тема: Как да направите миглите си дълги и плътни само за един месец?

Пирамиди и техните апофеми

Първо, нека определим пирамида по отношение на геометрията. Тази фигура е твърдо тяло, образувано от един n-ъгъл (основа) и n триъгълници (страни). Последните са свързани в една точка, която се нарича върха. Разстоянието от него до основата е височината на фигурата. Ако пада върху геометричния център на n-гона, тогава пирамидата се нарича права линия. Освен това, ако n -ъгълникът има равни ъгли и страни, тогава фигурата се нарича правилна. Пример за пирамида е показан по -долу.

Какво е апотем за такава фигура? Това е перпендикулярът, който свързва страните на n-гона с върха на фигурата. Очевидно той представлява височината на триъгълника, който е страната на пирамидата.

Апотема е удобна за използване при решаване на геометрични задачи с правилни пирамиди. Факт е, че за тях всички странични лица са равни помежду си. равнобедрени триъгълници. Последният фактозначава, че всички n апотеми са равни, следователно за правилна пирамида можем да говорим за една и само такава права линия.

Правилен е апотемът на четириъгълната пирамида

Може би най -яркият пример за тази фигура ще бъде прочутото първо чудо на света - пирамидата на Хеопс. Тя е в Египет.

За всяка такава фигура с правилна n-гонална основа можем да дадем формули, които ни позволяват да определим апотемата й по дължината a на страната на многоъгълника, през страничния ръб b и височината h. Тук записваме съответните формули за права пирамида с квадратна основа. Апотема h b за него ще бъде равна на:

По тази тема: Знаме на Башкирия - описание, символика и история

h b = √ (b 2 - a 2/4);

h b = √ (h 2 + a 2/4)

Първият от тези изрази е валиден за всяка правилна пирамида, вторият - само за четириъгълна.

Нека покажем как тези формули могат да се използват за решаване на проблема.

Геометричен проблем

Нека е дадена права пирамида с квадратна основа. Необходимо е да се изчисли основната му площ. Апотемът на пирамидата е 16 см, а височината й е 2 пъти страната на основата.

Всеки ученик знае: за да намери площта на квадрат, която е основата на въпросната пирамида, трябва да знае нейната страна a. За да го намерим, ще използваме следната формула за апотемата:

h b = √ (h 2 + a 2/4)

Значението на апотемата е известно от постановката на проблема. Тъй като височината h е два пъти по -голяма от дължината на страната a, този израз може да се трансформира, както следва:

h b = √ ((2 * a) 2 + a 2/4) = a / 2 * √17 =>

a = 2 * h b / √17

Площта на квадрат е равна на произведението на неговите страни. Замествайки получения израз за a, имаме:

S = a 2 = 4/17 * h b 2

Остава да заменим стойността на апотема от условието на задачата във формулата и да запишем отговора: S ≈ 60.2 cm 2.

Прочетете също:

Забележка... Това е част от урока с геометрични проблеми (раздел стереометрия, задачи с пирамида). Ако трябва да разрешите проблем с геометрията, който го няма, пишете за него във форума. В задачите вместо символа "квадратен корен" се използва функцията sqrt (), в която sqrt е символът корен квадратен, а радикалният израз е посочен в скоби.За прости радикални изрази може да се използва знакът „√“.

За теоретични материали и формули вижте главата " Правилна пирамида ".

Задача

Апотемът на правилна триъгълна пирамида е 4 см, а двустранният ъгъл в основата е 60 градуса. Намерете обема на пирамидата.

Решение.

Тъй като пирамидата е правилна, помислете за следното:

• Височината на пирамидата се проектира върху центъра на основата
• Центърът на основата на правилна пирамида според постановката на задачата е равностранен триъгълник
• Центърът на равностранен триъгълник е както центърът на вписаните, така и описаните окръжности
• Височината на пирамидата образува прав ъгъл с основната равнина

Обемът на пирамидата може да се намери по формулата:
V = 1/3 Sh

Тъй като апотемата на правилна пирамида образува правоъгълен триъгълник заедно с височината на пирамидата, използваме теоремата за синусите, за да намерим височината. Освен това вземете предвид:

• Първият етап от разглежданото правоъгълен триъгълнике височината, вторият крак е радиусът на вписаната окръжност (в правилен триъгълник, центърът е едновременно център на вписаната и описаната окръжност), хипотенузата е апотемът на пирамидата
• Третият ъгъл на правоъгълен триъгълник е 30 градуса (сумата от ъглите на триъгълника е 180 градуса, ъгълът от 60 градуса е даден според условието, вторият ъгъл е права линия според свойствата на пирамида, третата е 180-90-60 = 30)
• синус 30 градусасе равнява на 1/2
• синус от 60 градуса е равен на корена на три наполовина
• синус от 90 градуса е 1

Според синусовата теорема:
4 / sin (90) = h / sin (60) = r / sin (30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
където
r = 2
h = 2√3

В основата на пирамидата лежи правилен триъгълник, чиято площ може да се намери по формулата:
S на правилен триъгълник = 3√3 r 2.
S = 3√3 2 2.
S = 12√3.

Сега нека намерим обема на пирамидата:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 см 3.

Отговор: 24 см 3.

Задача

Височината и страната на основата на правилна четириъгълна пирамида са 24 и 14. намерете съответно апотема на пирамидата.

Решение .

Тъй като пирамидата е правилна, в основата й лежи правилен четириъгълник - квадрат. Освен това височината на пирамидата се проектира към центъра на квадрата. По този начин катетът на правоъгълен триъгълник, който се образува от апотема на пирамидата, е равен по височина и сегментът, свързващ ги с половината от дължината на основата на правилна четириъгълна пирамида.

Откъдето, според Питагоровата теорема, дължината на апотемата ще се намери от уравнението:

7 2 + 24 2 = x 2
x 2 = 625
x = 25

Отговор: 25 см