Az a oldalú egyenlő szárú háromszög területe. Hogyan találjuk meg a háromszög területét (képletek)

A háromszög típusától függően egyszerre több lehetőséget különböztetnek meg a terület megtalálására. Például egy derékszögű háromszög területének kiszámításához használja az S = a * b / 2 képletet, ahol a és b a lábai. Ha meg akarja tudni egy egyenlő szárú háromszög területét, akkor az alapjának és magasságának szorzatát el kell osztania kettővel. Vagyis S = b * h / 2, ahol b a háromszög alapja és h a magassága.

Ezenkívül előfordulhat, hogy ki kell számítania egy egyenlő szárú derékszögű háromszög területét. Itt a következő képlet segít: S = a * a / 2, ahol az "a" és "a" lábaknak azonos értékekkel kell rendelkezniük.

Ezenkívül gyakran ki kell számítanunk egy egyenlő oldalú háromszög területét. Megtalálható a következő képlettel: S = a * h / 2, ahol a a háromszög oldala, h pedig a magassága. Vagy ezzel a képlettel: S = √3 / 4 * a ^ 2, ahol a az oldal.

Hogyan találjuk meg a derékszögű háromszög területét

Meg kell találnia egy derékszögű háromszög területét, de egyszerre két lábának mérete nincs feltüntetve a problémafelvetésben? Ekkor ezt a képletet (S = a * b / 2) nem használhatjuk közvetlenül.

Nézzünk meg több lehetséges megoldást:

• Ha nem ismeri az egyik láb hosszát, de a befogó és a második láb méretei adottak, akkor a nagy Pitagoraszhoz fordulunk, és tétele szerint (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2) , számítsa ki az ismeretlen láb hosszát, majd használja a háromszög területének kiszámításához.
• Ha adott az egyik láb hossza és a vele ellentétes szög fokos meredeksége: a második láb hosszát az - a = b * ctg (C) képlettel találjuk meg.
• Adott: az egyik láb hossza és a vele szomszédos szög fokos meredeksége: a második láb hosszának meghatározásához az - a = b * tg (C) képletet használjuk.
• És az utolsó, adott: a hipotenusz szöge és hossza: kiszámítjuk mindkét lábának hosszát a következő képletek szerint - b = c * sin (C) és a = c * cos (C).

Hogyan találjuk meg az egyenlő szárú háromszög területét

Az egyenlő szárú háromszög területe nagyon könnyen és gyorsan megtalálható az S = b * h / 2 képlettel, de az egyik mutató hiányában a feladat sokkal bonyolultabbá válik. Végül is további műveleteket kell végrehajtani.

Lehetséges feladatok:

• Adott: az egyik oldalsó oldal hossza és az alap hossza. A Pitagorasz-tételen keresztül megtaláljuk a magasságot, vagyis a második láb hosszát. Feltéve, hogy az alap hossza osztva kettővel a láb, és az eredetileg ismert oldal a hipotenusz.
• Adott: alap és oldal és alap közötti szög. Számítsa ki a magasságot a h = c * ctg (B) / 2 képlettel (ne felejtse el osztani a "c" oldalt kettővel).
• Adott: az alap és az oldal által alkotott magasság és szög: alkalmazzuk a c = h * tg (B) * 2 képletet a magasság meghatározásához, és az eredményt szorozzuk meg kettővel. Ezután kiszámítjuk a területet.
• Ismert: az oldalsó oldal hossza, valamint a közötte és a magassága között kialakult szög. Megoldás: a - c = a * sin (C) * 2 és h = a * cos (C) képletekkel keressük meg az alapot és a magasságot, ami után kiszámítjuk a területet.

Hogyan találjuk meg egy egyenlő szárú derékszögű háromszög területét

Ha az összes adat ismert, akkor az S = a * a / 2 szabványos képlettel kiszámítjuk egy egyenlő szárú derékszögű háromszög területét, ha néhány mutató nincs feltüntetve a feladatban, akkor további műveleteket hajtanak végre.

Például: nem ismerjük mindkét oldal hosszát (emlékezzünk arra, hogy egyenlő szárú derékszögű háromszögben egyenlők), de a befogó hossza adott. Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt, hogy megtaláljuk ugyanazt az "a" és "a" oldalt. Pitagorasz-képlet: a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Egyenlő szárú derékszögű háromszög esetén a következőképpen alakul: 2a ^ 2 = c ^ 2. Kiderült, hogy az "a" láb megtalálásához el kell osztani a hipotenusz hosszát 2 gyökével. A megoldás eredménye egy egyenlő szárú derékszögű háromszög mindkét lábának hossza lesz. Ezután megkeressük a területet.

Hogyan találjuk meg az egyenlő oldalú háromszög területét

Az S = √3 / 4 * a ^ 2 képlet segítségével könnyen kiszámíthatja egy egyenlő oldalú háromszög területét. Ha ismert a háromszög körülírt körének sugara, akkor a terület a következő képlettel kereshető: S = 3√3 / 4 * R ^ 2, ahol R a kör sugara.

A matematika csodálatos tudomány. Egy ilyen gondolat azonban csak akkor jön, ha megérted. Ennek eléréséhez feladatokat és példákat kell megoldani, diagramokat és képeket kell rajzolni, tételeket kell bizonyítani.

A geometria megértésének útja a problémamegoldás. Kiváló példa az olyan feladatok, amelyekben meg kell találnia egy egyenlő szárú háromszög területét.

Mi az egyenlő szárú háromszög, és miben különbözik a többitől?

Annak érdekében, hogy ne ijedjen meg a "magasság", "terület", "alap", "egyenlő szárú háromszög" és mások kifejezésektől, elméleti alapokkal kell kezdenie.

Először is a háromszögről. Ez egy lapos alak, amely három pontból - csúcsokból - szegmensekkel van összekötve. Ha ezek közül kettő egyenlő egymással, akkor a háromszög egyenlő szárú lesz. Ezeket az oldalakat laterálisnak nevezték, és a maradék lett az alap.

Van egy speciális esete az egyenlő szárú háromszögnek - egy egyenlő oldalú háromszögnek, amikor a harmadik oldal egyenlő két oldalsóval.

Alak tulajdonságai

Hűséges segítőknek bizonyulnak olyan problémák megoldásában, amelyek megkövetelik az egyenlő szárú háromszög területének megtalálását. Ezért szükséges tudni és emlékezni róluk.

• Ezek közül az első: egy egyenlő szárú háromszög, amelynek egyik oldala az alap, szögei mindig egyenlőek egymással.
• A kiegészítő konstrukciók tulajdonsága is fontos. A páratlan oldalra húzott magasság, medián és felező egybeesik.
• A háromszög tövénél a sarkokból húzott azonos szakaszok páronként egyenlők. Ez is sokszor megkönnyíti a megoldás megtalálását.
• Két egyenlő szög értéke mindig 90º-nál kisebb.
• És az utolsó: a beírt és körülírt körök úgy vannak megszerkesztve, hogy középpontjuk a háromszög alapjával egy magasságban legyen, ami a mediánt és a felezőt jelenti.

Hogyan lehet felismerni egy egyenlő szárú háromszöget egy feladatban?

Ha egy feladat megoldása során felmerül a kérdés, hogyan lehet megtalálni egy egyenlő szárú háromszög területét, akkor először meg kell értenie, hogy ebbe a csoportba tartozik. És bizonyos jelek segítenek ebben.

• A háromszög két szöge vagy két oldala egyenlő.
• A felező egyben a medián.
• A háromszög magassága mediánnak vagy felezőnek bizonyul.
• Az ábra két magassága, mediánja vagy felezője egyenlő.

A vizsgált képletekben használt mennyiségek megjelölése

Az egyenlő szárú háromszög területének képletekkel történő megtalálásának egyszerűsítése érdekében bevezették annak elemeinek betűkkel való helyettesítését.

Figyelem! Fontos, hogy ne keverjük össze „a”-t „A”-val és „b”-t „B”-vel. Ezek különböző értékek.

Különböző feladatokban használható képletek

Az oldalak hossza ismert, és meg kell találni egy egyenlő szárú háromszög területét.

Ebben az esetben mindkét értéket négyzetre kell emelni. Az oldal változásából kapott számot szorozzuk meg 4-gyel, és vonjuk ki belőle a másodikat. Vonjuk ki a négyzetgyököt a kapott különbségből. Osszuk el az alap hosszát 4-gyel. Szorozzuk meg a két számot. Ha ezeket a műveleteket betűkkel írja le, a következő képletet kapja:

Rögzítse az 1-es helyen.

Keresse meg egy egyenlő szárú háromszög területét az oldalak értékével. Egy képlet, amely könnyebbnek tűnhet valakinek, mint az első.

Az első lépés az alap felének megkeresése. Ezután keresse meg ennek a számnak az összegét és különbségét az oldallal. Szorozzuk meg az utolsó két értéket, és vonjuk ki a négyzetgyököt. Az utolsó lépés az, hogy mindent meg kell szorozni az alap felével. A szó szerinti egyenlőség így nézne ki:

Ez a 2-es képlet.

Egy egyenlő szárú háromszög területének megtalálásának módja, ha ismert az alapja és a magassága.

Az egyik legrövidebb képlet. Ebben meg kell szorozni mindkét megadott értéket, és el kell osztani 2-vel. Így lesz írva:

Ennek a képletnek a száma 3.

A feladatban ismertek a háromszög oldalai, valamint az alap és az oldal közötti szög értéke.

Itt, hogy megtudja, mekkora lesz egy egyenlő szárú háromszög területe, a képlet több tényezőből áll. Az első a szög szinuszértéke. A második egyenlő az oldal és az alap szorzatával. A harmadik a ½ tört. Általános matematikai jelölés:

A képlet sorozatszáma 4.

A feladatban adott: egy egyenlő szárú háromszög oldaloldala és az oldalai közötti szög.

Az előző esethez hasonlóan a területet három tényező határozza meg. Az első egyenlő a feltételben megadott szög szinuszának értékével. A második az oldal négyzete. És ez utóbbi is egyenlő az egy felével. Ennek eredményeként a képlet a következőképpen lesz felírva:

A száma 5.

Egy képlet, amely lehetővé teszi egy egyenlő szárú háromszög területének meghatározását, ha ismeri az alapját és a vele szemben lévő szöget.

Először ki kell számítania az ismert szög felének érintőjét. A kapott számot megszorozzuk 4-gyel. Az oldal hosszát négyzetre tesszük, majd elosztjuk az előző értékkel. Így a következő képletet kapod:

Az utolsó képlet száma 6.

Példák a feladatokra

Első feladat: ismert, hogy egy egyenlő szárú háromszög alapja 10 cm, magassága 5 cm Meg kell határozni a területét.

Megoldásához logikus a 3-as számú képlet kiválasztása. Minden ismert benne. Csatlakoztassa a számokat és számoljon. Kiderült, hogy a terület 10 * 5/2, azaz 25 cm 2.

Második feladat: egy egyenlő szárú háromszögben adott az oldal és az alap, melyek rendre 5, illetve 8 cm.. Határozzuk meg a területét!

Az első út. A №1 képlet szerint. Az alap négyzetre emelésekor a 64-es számot kapjuk, és az oldal négyes négyzete 100. Miután kivontuk az elsőt a másodikból, 36-ot kapunk. Tökéletesen kinyerjük belőle a gyökér, ami 6. Az alap osztva 4-gyel 2. A teljes értéket 2 és 6 szorzataként határozzuk meg, azaz 12. Ez a válasz: a szükséges terület 12 cm 2.

Második út. A №2 képlet szerint. Az alap fele 4. Az oldal és a talált szám összege 9-et ad, különbségük 1. Szorzás után 9. A négyzetgyököt véve 3-at kapunk. És az utolsó akciót, megszorozva 3-at 4-gyel, ami a ugyanaz 12 cm 2.

Felbecsülhetetlen értékű tapasztalatot szerezhet a geometriai feladatok megoldása és az egyenlő szárú háromszög területének meghatározásával. Minél többféle feladatváltozat készül, annál könnyebben találja meg a választ egy új helyzetben. Ezért minden feladat rendszeres és önálló elvégzése az út az anyag sikeres asszimilációjához.

Nemcsak az iskolások vagy a diákok előtt áll ki, hanem a valós, gyakorlati életben is. Például az építés során szükségessé válik a homlokzat tető alatti befejezése. Hogyan számolja ki a szükséges anyagmennyiséget?

Gyakran a szövettel vagy bőrrel dolgozó kézművesek hasonló feladatokkal néznek szembe. Végül is sok olyan részlet, amelyet a mesternek ki kell vágnia, pontosan egyenlő szárú háromszög alakú.

Tehát többféle módon segíthet megtalálni az egyenlő szárú háromszög területét. Az első az alap és a magasság alapján történő kiszámítása.

A megoldáshoz az érthetőség kedvéért fel kell építenünk egy MNP háromszöget, amelynek alapja MN és magassága PO. Most fejezzünk be valamit a rajzon: a P pontból húzzon egy vonalat az alappal párhuzamosan, és az M pontból - a magassággal párhuzamos vonalat. Nevezzük a metszéspontot Q-nak. Ahhoz, hogy megtudjuk, hogyan találjuk meg egy egyenlő szárú háromszög területét, figyelembe kell vennünk a kapott MOPQ négyszöget, amelyben az MP háromszög nekünk adott oldaloldala már az átlója.

Először bizonyítsuk be, hogy ez egy téglalap. Mivel mi magunk építettük, tudjuk, hogy az MO és az OQ oldal párhuzamos. És a QM és az OP oldala is párhuzamos. A POM szög egyenes, így az OPQ szög is megfelelő. Ezért a kapott négyszög egy téglalap. Területének megtalálása nem nehéz, megegyezik a PO és az OM szorzatával. Az OM ennek az MPN háromszögnek a fele. Ebből következik, hogy az általunk megszerkesztett téglalap területe egyenlő a derékszögű háromszög alapjához mért magasságának felével.

A számunkra feltett probléma második szakasza, hogy hogyan határozzuk meg a háromszög területét, annak bizonyítása, hogy a kapott téglalap területe megfelel ennek az egyenlő szárú háromszögnek, vagyis hogy a háromszög területe egyenlő az alap és a magasság félszorzatával is.

Kezdjük a PON és PMQ háromszöggel. Mindkettő téglalap alakú, mivel az egyik derékszögét a magasság alkotja, a másikban a derékszöget a téglalap sarka. A bennük lévő hipotenusok egy egyenlő szárú háromszög oldalai, ezért ezek is egyenlőek. A PO és QM lábak is egyenlők a téglalap párhuzamos oldalaival. Ez azt jelenti, hogy a PON háromszög és a PMQ háromszög területe egyenlő egymással.

A QPOM téglalap területe megegyezik a PQM és MOP háromszögek területeivel együtt. A QPM felépített háromszöget a PON háromszögre cserélve megkapjuk a tétel levezetéséhez adott teljes háromszöget. Most már tudjuk, hogyan találjuk meg az egyenlő szárú háromszög területét alapja és magassága alapján - számítsa ki a félszorzatát.

De megtudhatja, hogyan találhatja meg az egyenlő szárú háromszög területét az alapnál és az oldalán. Itt is két lehetőség van: Heron és Pythagoras tétele. Tekintsünk egy megoldást a Pitagorasz-tétel segítségével. Vegyük például ugyanazt a PMN-t PO magassággal.

Egy derékszögű háromszögben a POM MP a hipotenusz. Négyzete egyenlő a PO és az OM négyzeteinek összegével. És mivel az OM fele az általunk ismert alapnak, könnyen megtalálhatjuk az OM-t, és négyzetesíthetjük a számot. A kapott számot a befogó négyzetéből kivonva megtudjuk, hogy mennyivel egyenlő a másik láb négyzete, ami egyenlő szárú háromszögben a magasság. A különbségből megtalálva és a derékszögű háromszög magasságának ismeretében választ adhatunk az előttünk álló feladatra.

Csak meg kell szoroznia a magasságot az alappal, és el kell osztania az eredményt felére. Hogy miért kell ezt megtenni, azt a bizonyítás első változatában magyaráztuk el.

Előfordul, hogy számításokat kell végeznie az oldalra és a szögre. Ezután keresse meg a magasságot és a bázist a szinusz és koszinusz képlet segítségével, és ismételje meg őket, és ossze fel felére az eredményt.

A fenti ábrán az oldalak és sarkok betűjelei megfelelnek a képletekben feltüntetett jelöléseknek. Így segít párosítani őket egy egyenlő szárú háromszög elemeivel. A feladat feltételéből határozza meg, hogy mely elemek ismertek, keresse meg a rajzon a jelölésüket, és válassza ki a megfelelő képletet.

Egy egyenlő szárú háromszög területének képlete

A következők képletek egy egyenlő szárú háromszög területének meghatározásához: az oldalakon, az oldalakon és a köztük lévő szögön keresztül, oldalt, az alapon és a sarkon keresztül felül, az alap oldalán és az alapnál lévő szögön keresztül stb. Csak a bal oldali képen találja meg az Önnek legmegfelelőbbet. A legkíváncsibbak számára a jobb oldali szöveg elmagyarázza, miért helyes a képlet, és hogyan használják pontosan a terület megtalálásához.

1. található, oldalát és bázisát ismerve... Ezt a kifejezést egy általánosabb, univerzális képlet egyszerűsítésével kaptuk. Ha a Heron-féle képletet vesszük alapul, majd figyelembe vesszük, hogy a háromszög két oldala egyenlő a mézzel, akkor a kifejezés leegyszerűsödik a képen látható képletre.
   Egy ilyen képlet használatának példáját az alábbi problémamegoldási példán mutatjuk be.
2. A második képlet lehetővé teszi, hogy megtalálja a területét az oldalakon és a köztük lévő szögön keresztül az oldal négyzetének fele, megszorozva az oldalak közötti szög szinuszával
   Ha gondolatban csökkentjük a magasságot egy egyenlő szárú háromszög oldalára, akkor megjegyezzük, hogy hossza egyenlő lesz egy * sin β-val. Mivel az oldaloldal hossza ismert, a ráesett magasság már ismert, szorzatuk fele egyenlő lesz ennek az egyenlő szárú háromszögnek a területével (magyarázat: a teljes szorzat egy téglalap, ami nyilvánvaló. A magasság ezt a téglalapot két kis téglalapra osztja, míg a háromszög oldalai az átlóik, amelyek pontosan fele osztják őket. Így egy egyenlő szárú háromszög területe egyenlő lesz a szorzat felével az oldalsó oldal és a magasság). Lásd még: Forma 5
3. A harmadik képlet a terület megtalálását mutatja oldal-, alap- és csúcsszögön keresztül.
   Szigorúan véve egy egyenlő szárú háromszög egyik szögének ismeretében megtalálhatja a többit is, így ennek vagy az előző képletnek a használata ízlés kérdése (egyébként ezért csak az egyikre emlékezhet).
   A harmadik formula egy másik érdekes tulajdonsággal is rendelkezik - a termék a bűn α megadja nekünk az alapig csökkentett magasság hosszát. Ennek eredményeként egy egyszerű és kézenfekvő 5. képletet kapunk.
4. Egy egyenlő szárú háromszög területe is megtalálható az alap oldalán és az alapnál lévő szögön keresztül(az alapszögek egyenlőek), mint az alap négyzete osztva az oldalai által alkotott szög felének négy érintőjével. Ha közelebbről megnézzük, nyilvánvalóvá válik, hogy az alap fele (b / 2) szorozva barnnal (β / 2) megadja a háromszög magasságát. Mivel egy egyenlő szárú háromszögben a magasság egyidejűleg felező és medián, akkor tg (β / 2) az alap (b / 2) felének a magassághoz viszonyított aránya - tg (β / 2) = (b/2)/h. Ahonnan h = b / (2 tan (β / 2)). Ennek eredményeként a képlet ismét egy egyszerűbb Formula 5-re csökken, ami teljesen nyilvánvaló.
5. természetesen egyenlő szárú háromszög területeúgy találhatjuk meg, hogy a magasságot felülről lefelé ejtjük, ami két derékszögű háromszöget eredményez. Továbbá - minden nyilvánvaló. Az alap magasság feleés megvan a szükséges terület. A képlet használatának példáját lásd az alábbi problémában (2. megoldás)
6. Ezt a képletet úgy kapjuk meg, hogy megpróbáljuk megtalálni egy egyenlő szárú háromszög területét Pitagorasz-tételt használva... Ehhez a Pitagorasz-tételen keresztül fejezzük ki az előző képletből a magasságot, amely egyben az oldaloldal által alkotott derékszögű háromszög szára, alapjának és magasságának fele. Az oldal a befogó, ezért az (a) oldal négyzetéből kivonjuk a második láb négyzetét. Mivel egyenlő az alap felével (b / 2), akkor a négyzete b 2/4 lesz. Egy adott kifejezés gyökének kinyerésével megkapjuk a magasságot. Ez látható a 6-os képletben. Ha a számlálót és a nevezőt megszorozzuk kettővel, majd a számláló kettőjét a gyökjel alá írjuk, akkor ugyanennek a képletnek a második változatát kapjuk, amelyet a " egyenlőség" jel.
   A legokosabbak egyébként láthatják, hogy ha a Forma-1-ben zárójelet nyitunk, abból Forma 6 lesz. Vagy fordítva, két szám négyzetének különbsége faktorokra bontva az eredetit, az elsőt kapjuk.

Megnevezések amelyeket az ábra képleteiben alkalmaztunk:

a- a háromszög két egyenlő oldala közül az egyik hossza

b- alaphossz

α - két egyenlő szög egyikének értéke az alapnál

β - a háromszög egyenlő oldalai és az alapjával ellentétes szög értéke

h- a magasság hossza, egy egyenlő szárú háromszög csúcsától az alapig leengedve

Fontos... Ügyeljen a változók jelölésére! Ne keverje össze α és β, és aés b!

jegyzet... Ez egy geometriai problémákkal foglalkozó lecke része (egyenlőszárú háromszög metszetterülete). Itt vannak azok a feladatok, amelyek megoldása nehézséget okoz. Ha olyan geometriai feladatot kell megoldanod, ami nincs itt, írj róla a fórumba. A négyzetgyök kinyerésének műveletének jelölésére a problémamegoldásokban a √ vagy sqrt () szimbólumot használjuk, és a gyök kifejezést zárójelben jelöljük..

Feladat

Egy egyenlő szárú háromszög oldala 13 cm, az alapja 10 cm. Keresse meg a területet egyenlő szárú háromszög.

Megoldás.

1. mód... Alkalmazzuk Heron képletét. Mivel a háromszög egyenlő szárú, egyszerűbb formát ölt (lásd az 1. képletet a fenti képletlistában):

ahol a az oldalak hossza, és b az alap hossza.
Ha behelyettesítjük a háromszög oldalai hosszának értékeit a feladat feltételéből, a következőt kapjuk:
S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5) (13 - 5)) = 5 √ (18 * 8) = 60 cm 2

2. út. Alkalmazza a Pitagorasz-tételt
Tegyük fel, hogy nem emlékszünk az első megoldásban használt képletre. Ezért engedjük le a BK magasságot a B csúcstól az AC alapig.
Mivel egy egyenlő szárú háromszög magassága felére osztja az alapját, az alap felének hossza egyenlő lesz
AK = AC / 2 = 10/2 = 5 cm.

Az egyenlő szárú háromszög alapjának felével és oldalával a magasság ABK derékszögű háromszöget alkot. Ebben a háromszögben ismerjük az AB hipotenuszt és az AK lábszárat. Fejezzük ki a második láb hosszát a Pitagorasz-tételen keresztül.