Egy pont vetítése a koordináta szög három vetítési síkján azzal kezdődik, hogy megkapjuk a képét a H síkon - a vízszintes vetítési síkon. Ehhez az A ponton keresztül (4.12. Ábra, a) egy vetítőnyaláb merőleges a H síkra.

Az ábrán a H síkra merőleges párhuzamos az Oz tengelyével. A sugár metszéspontját a H síkkal (a pont) tetszőlegesen választjuk meg. Az Aa szegmens meghatározza, hogy az A pont milyen távolságra van a H síktól, és ezáltal egyértelműen jelzi az A pont helyzetét az ábrán a vetítési síkokhoz képest. Az a pont egy A téglalap alakú vetület a H síkra, és az A pont vízszintes vetületének nevezzük (4.12. Ábra, a).

Ahhoz, hogy képet kapjunk az A síkról a V síkon (4.12. Ábra, b), egy vetítési nyalábot húzunk át az A ponton, amely merőleges az V kiállások frontális síkjára. Az ábrán az V síkra merőleges párhuzamos a Oy tengely. A H síkon az A pont és a V sík közötti távolságot az Oy tengelyével párhuzamos és az Ox tengelyre merőleges aa x szegmens jelöli. Ha azt képzeljük, hogy a vetítési sugarat és annak képét egyidejűleg tartjuk a V sík irányában, akkor amikor a sugár képe keresztezi az Ox tengelyt az a x pontban, a sugár átmegy a V síkon az a pontban. " az Aa vetületi sugár képe a V síkon, a vetítési sugár metszéspontjában a "pontot kapunk. Az "a" pont az A pont elülső vetülete, vagyis annak képe az V síkon.

Az A pont képe a vetületek profilsíkján (4.12. Ábra, c) a W síkra merőleges vetítőnyaláb segítségével épül fel. Az ábrán a W síkra merőleges párhuzamos az Ox tengelyével. Az A pontból a W síkba eső vetítési sugarat a H síkon az Ox tengelyével párhuzamos és Oy tengelyre merőleges aa y szegmens képviseli. Az Oz tengelyével párhuzamos és az Oy tengelyre merőleges Oy pontból az aA vetületi sugár képe készül, és a vetítési sugárral való metszéspontban az a pontot kapjuk. Az a pont az A pont profilvetülete, vagyis az A pont képe a W síkon.

Az "a" pontot úgy lehet megépíteni, hogy az a "pontból" az "szegmenst" az (az Aa vetületi sugár képe az V síkon) az Ox tengelyével párhuzamosan, az az pontból pedig - az "szegmenst" az Oy tengelyével párhuzamosan rajzolja. metszi a vetítési sugarat.

Miután megkapta az A pont három vetületét a vetítési síkokon, a koordináta szög egy síkba kerül, amint az az ábrán látható. 4.11, b, az A pont vetületeivel és a vetítési sugarakkal együtt, valamint az A pontot és az Aa, Aa "és Aa" vetítési sugarakat eltávolítjuk. Az igazított vetítési síkok éleit nem rajzoljuk meg, hanem csak az Oz, Oy és Oy, Oy 1 vetületi tengelyeket rajzoljuk meg (4.13. Ábra).

A pont ortogonális rajzának elemzése azt mutatja, hogy három távolság - Aa ", Aa és Aa" (4.12. Ábra, c), amelyek az A pont térbeli helyzetét jellemzik, meghatározhatók úgy, hogy elvetik magát a vetítési objektumot - A pont, a koordináta szögben egy síkra bontakozott ki (4.13. ábra). A "a z, aa y és Oa x szegmensek egyenlők az Aa -val", mint a megfelelő téglalapok ellentétes oldalai (4.12., C és 4.13. Ábra). Meghatározzák azt a távolságot, amelyen az A pont a nyúlványok profil síkjától helyezkedik el. Az "ax, a" és y1 és Oa y szegmensek megegyeznek az Aa szegmenssel, határozzák meg az A ponttól a vetületek vízszintes síkjáig mért távolságot, az aa x és "az és Oa y 1 szegmensek egyenlők az Aa szegmenssel ", amely meghatározza az A pont és a frontális vetítési sík közötti távolságot.

Az Oa x, Oa y és Oa z szegmensek, amelyek a vetítési tengelyeken helyezkednek el, az A, X, Y és Z koordináták méreteinek grafikus kifejezése. A pont koordinátáit a megfelelő betű indexével jelöljük . Ezen szegmensek méretének mérésével meghatározhatja a pont helyét a térben, azaz beállíthatja a pont koordinátáit.

A diagramon az a "ax és aa x szegmensek az Ox tengelyre merőleges vonalként, az" az "és" az "szegmensek az Oz tengelyre helyezkednek el. Ezeket a vonalakat vetítési összekötő vonalaknak nevezik. Ezek metszik a vetületet tengelyek az ax és a z pontokban. A vetítési csatlakozás vonala, amely az A pont vízszintes vetületét az első profillal köti össze, az a y pontban "vágottnak" bizonyult.

Ugyanazon pont két vetülete mindig a vetítési csatlakozás ugyanazon vonalán található, merőlegesen a vetítési tengelyre.

Egy pont térbeli helyzetének ábrázolásához elegendő két vetülete és a koordináták adott eredete (O pont). 4.14, b Egy pont két vetülete teljesen meghatározza a térben elfoglalt helyzetét. E két előrejelzés szerint felépítheti az A pont profilvetítését. Ezért a jövőben, ha nincs szükség profilvetítésre, a diagramok két vetítési síkra kell építeni: V és H.

Rizs. 4.14. Rizs. 4.15.

Tekintsünk néhány példát egy pont rajzának felépítésére és olvasására.

1. példa. A diagramon megadott J pont koordinátáinak meghatározása két vetülettel (4.14. Ábra). Három szegmenst mérnek: Ov X szegmens (X koordináta), b X b szegmens (Y koordináta) és b X b "szegmens (Z koordináta). A koordinátákat a következő sorba írjuk: X, Y és Z, a betű után a pont kijelölése, például B20; 30; 15.

2. példa... Pont létrehozása meghatározott koordináták alapján. A C pontot a C30 koordináták adják meg; tíz; 40. Az Ökör tengelyen (4.15. Ábra) keressünk egy x -szel rendelkező pontot, amelynél a vetítési csatlakozás vonala metszi a vetítési tengelyt. Ehhez az Ox tengely mentén az origótól (O pont) ki kell rajzolni az X koordinátát (30 -as méret), és meg kell kapni az x -el ellátott pontot. Ezen a ponton keresztül, merőlegesen az Ox tengelyre, egy vetítési összeköttetést húzunk, és az Y koordinátát (10 -es méret) a ponttól lefektetjük, a c pontot kapjuk - a C pont vízszintes vetülete. a vetítési csatlakozás vonala, a Z koordináta le van fektetve (40-es méret), pontot kapunk c "- a C pont elülső vetülete.

3. példa... Egy pont profilvetítésének létrehozása adott előrejelzések szerint. A D - d és d "pont vetületei beállítva. Az Oz, Oy és Oy 1 vetületi tengelyek az O. her ponton keresztül húzódnak jobbra az Óz tengely mögött. Ezen a vonalon helyezkedik el a D pont profilvetülete, amely olyan távolságra helyezkedik el az Oz tengelytől, amelyen a d pont vízszintes vetülete található: az Ox tengelytől, azaz dd x távolságban . A d z d "és dd x szegmensek azonosak, mivel ugyanazt a távolságot határozzák meg - a távolság a D ponttól a vetületek homlokzati síkjáig. Ez a távolság a D pont Y koordinátája.

Grafikailag a dzd "szegmens úgy épül fel, hogy a dd x szegmenst átviszi a vízszintes vetítési síkból az első profilba. Ehhez rajzoljon egy vetítési vonalat az Ox tengelyével párhuzamosan, és kapja meg a dy pontot az Oy tengelyen (ábra 4.16, b). Ezután helyezze át az Od y szegmens méretét az Oy 1 tengelyre, az O pontból egy ív rajzolásával, amelynek sugara megegyezik az Od y szegmenssel, az Oy 1 tengely metszéspontjához (4.16. Ábra, b), a dy 1 pontot kapjuk. Ezt a pontot felépíthetjük, és amint az a 4.16. ábrán látható, c, egyenes vonal rajzolása az Oy tengelyhez képest 45 ° -os szögben a dy pontból. A d y1 pontból rajzoljunk egy a vetítési összeköttetés Oz tengelyével párhuzamos vonala, és fektessen rá egy d "dx szegmenssel egyenlő szegmenst, kapja meg a d" pontot.

A d x d szegmens értékének átvitele a nyúlványok profilsíkjára elvégezhető állandó egyenes rajz segítségével (4.16. Ábra, d). Ebben az esetben a dd y vetítési összeköttetési vonalat az Oy 1 tengelyével párhuzamos pont vízszintes vetületén keresztül kell húzni, amíg az nem metsz egy állandó egyenes vonallal, majd párhuzamosan az Oy tengellyel, amíg nem metszi a tengely folytatásával. vetítési csatlakozás vonala d "d z.

A pontoknak a vetítési síkokhoz viszonyított különleges esetei

Egy pontnak a vetítési síkhoz viszonyított helyzetét a megfelelő koordináta határozza meg, vagyis a vetítési összeköttetési vonal szegmensének mérete az Ox tengelytől a megfelelő vetületig. Ábrán. 4.17. Az A pont Y koordinátáját az aa x szegmens határozza meg - az A pont és az V. sík közötti távolság. Az A pont Z koordinátáját az a "szakasz határozza meg, x pedig az A pont és a H sík közötti távolság . Ha az egyik koordináta nulla, akkor a pont a vetítési síkon található. A 4.17. Ábra példákat mutat a pontok különböző helyszíneire a vetítési síkokhoz képest. A B pont Z koordinátája nulla, a pont frontális vetülete az Ox tengelyen van, és egybeesik a b x ponttal. A C pont Y -koordinátája nulla, a pont az V síkon helyezkedik el, vízszintes vetülete c az Ox tengelyen van, és egybeesik a a c x pont.

Ezért ha egy pont a vetítési síkon van, akkor e pont egyik vetülete a vetítési tengelyen fekszik.

Ábrán. 4.17 A D pont Z és Y koordinátái nulla, ezért a D pont az Ox vetület tengelyén található, és két vetülete egybeesik.

Kivetítés(Latin projectio - előrevetés) - egy háromdimenziós alak képe az úgynevezett kép (vetítés) síkon.

A vetítés kifejezés egy ilyen kép létrehozásának módszerére és az ezen a módszeren alapuló technikákra is vonatkozik.

Elv

Az objektumok ábrázolásának vetítési módszere azok vizuális megjelenítésén alapul. Ha az objektum minden pontját egyenes vonalakkal (vetületi sugarakkal) összekötjük egy állandó S ponttal (a vetítés középpontja), amelyben a megfigyelő szemét feltételezzük, akkor e sugarak bármely síkkal való metszéspontjában minden pont vetülete megkapjuk a tárgyat. Ezeket a pontokat egyenes vonalakkal összekötve ugyanabban a sorrendben, mint az objektumban, a síkra kerülünk egy tárgy vagy központi vetület perspektivikus képe.

Ha a vetület középpontja végtelenül távol van az ég síkjától, akkor beszélünk párhuzamos vetítés, és ha ebben az esetben a vetítési sugarak merőlegesen esnek a síkra, akkor kb ortográfiai vetítés.

A vetítést széles körben használják a mérnöki grafika, az építészet, a festészet és a térképészet területén.

A leíró geometria a vetületek és tervezési módszerek tanulmányozásával foglalkozik.

Vetítési rajz- rajz, amelyet térbeli objektumok síkra vetítésével állítottak elő. Ez a fő eszköz a térbeli alakok tulajdonságainak elemzésére.

Vetítőberendezés:

Vetítési központ (S)

Vetítő gerendák

Vetítő objektum

Kivetítés

Összetett rajz- Monge diagramok. Derékszögű koordinátarendszer, tengely (x, y, z)

Repülőgépek:

Elölről - elölnézet;

Vízszintes - felülnézet;

Profil - oldalnézet.

Egy összetett rajz összetétele:

1) Vetítési síkok

2) Vetőtengelyek (vetületi síkok metszéspontja)

3) Előrejelzések

Kommunikációs vonalak.

Az ortogonális vetítés alapvető tulajdonságai.

2 egymással összekapcsolt ortogonális vetület egyedileg határozza meg egy pont helyzetét a vetítési síkokhoz képest. A 3. vetület nem adható meg önkényesen.

Ortogonális vetületek.

Az ortogonális (téglalap alakú) vetítés a párhuzamos vetítés speciális esete, amikor minden vetítési sugár merőleges a vetítési síkra. Az ortogonális vetületek a párhuzamos vetületek minden tulajdonságával rendelkeznek, de téglalap alakú vetület esetén egy szegmens vetülete, ha nem párhuzamos a vetületek síkjával, mindig kisebb, mint maga a szegmens (58. ábra). Ez annak a ténynek köszönhető, hogy maga a szegmens a térben egy derékszögű háromszög hipotenúza, és vetülete egy láb: A "B" = ABcosa.

Téglalap alakú vetületben derékszög vetül teljes méretben, ha mindkét oldala párhuzamos a vetítési síkkal, és ha csak az egyik oldala párhuzamos a vetítési síkkal, és a másik oldala nem merőleges erre a vetítési síkra.

Derékszögű vetítési tétel. Ha a derékszög egyik oldala párhuzamos a vetítési síkkal, a másik pedig nem merőleges rá, akkor ortogonális vetületben a derékszög a megfelelő szögben erre a síkra vetül.

Adjunk egy ABC derékszöget, amelyre az AB oldal párhuzamos az n "síkkal (59. ábra). A vetítési sík merőleges az n" síkra. Ezért AB _ | _S, mivel AB _ | _ BC és AB _ | _ BB, ezért AB _ | _ B „C”. De mivel AB || A "B" _ | _ B "C", vagyis az n "síkon" A "B" és B "C közötti szög 90 °.

Rajz visszafordíthatósága. Az egyik vetítési síkra történő vetítés olyan képet ad, amely nem teszi lehetővé egyértelműen az ábrázolt tárgy alakjának és méretének meghatározását. Az A vetület (lásd az 53. ábrát) nem határozza meg magának a pontnak a helyét a térben, mivel nem ismert, hogy milyen messze van az n "vetítési síktól. Az A ponton áthaladó vetítési sugár bármely pontja rendelkezik A ponttal mint a vetülete. "... Egy vetület jelenléte kétértelműséget okoz a képben. Ilyen esetekben a rajz visszafordíthatatlanságáról beszélnek, mivel lehetetlen az eredeti rajzot reprodukálni. A bizonytalanság kiküszöbölése érdekében a képet kiegészítik a szükséges adatokkal. A gyakorlatban különféle módszereket használnak az egy vetítésű rajz kiegészítésére. Ezen a kurzuson figyelembe vesszük a rajzokat, amelyeket két vagy több egymásra merőleges vetítéssel nyerünk merőleges síkok vetületeket (összetett rajzokat) és az objektum segédvetületének a fő axonometrikus vetítési síkra történő átprojektálásával (axonometrikus rajzok).

Összetett rajz.

Egyenes vonal egy összetett rajzban:

2 pontos előrejelzések

A legegyenesebb egyenes vetületei

Egyenes általános álláspont - nem párhuzamos és nem merőleges a vetítési síkokra.

Szintvonalak- a vetítési síkokkal párhuzamos vonalak:

Vízszintes

Elülső

Profil

Általános tulajdon: a szintvonalak egy vetülete megegyezik a természeti értékkel, a többi vetület párhuzamos a vetítési tengelyekkel.

Vonalak kivetítése- a szintvonalak kétszerese (ha az egyik síkra merőleges, akkor a másik 2 -vel párhuzamos):

Vízszintesen vetítve

Elülső vetítés

Profilvetítés

Versenyző pontok- az ugyanazon kommunikációs vonalon fekvő pontok.

2 egyenes kölcsönös elrendezése:

Metsző - legyen 1 közös pontja és e pont közös vetülete

Párhuzamos - a vetítések mindig párhuzamosak 2 párhuzamos egyenes esetén

Keresztezve - nincsenek közös pontjaik, csak a vetületek metszik egymást, nem maguk a vonalak

Versenyző - az egyenesek az egyik vetítési síkra merőleges síkban helyezkednek el (pl. Vízszintesen versengő)

4. Mutasson egy összetett rajzra.

Egy pont háromdimenziós összetett rajzának elemei.

A geometriai test térbeli helyzetének meghatározásához és a képeikről további információk beszerzéséhez szükség lehet egy harmadik vetület elkészítésére. Ezután a harmadik vetületi síkot a megfigyelőtől jobbra helyezzük, merőlegesen a P1 nyúlványok vízszintes síkjára és a P2 nyúlványok frontális síkjára (62. ábra, a). A frontális P2 és a P3 profilú vetítési síkok metszésének eredményeként új P2 / P3 tengelyt kapunk, amely az A1A2 függőleges kommunikációs vonallal párhuzamos komplex rajzon található (62. ábra, b). Az A pont harmadik vetülete - profil - kiderül, hogy az A2 frontális vetülettel egy új csatlakozási vonallal van összekötve, amelyet vízszintesnek neveznek

Noé. Egy pont elülső és profilú vetülete mindig ugyanazon a vízszintes kommunikációs vonalon fekszik. Sőt, A1A2 _ | _ A2A1 és A2A3, _ | _ P2 / P3.

A tér egy pontjának helyzetét ebben az esetben a szélessége jellemzi - a tőle való távolság a P3 nyúlványok profilsíkjához, amelyet p betűvel jelölünk.

Fogadott összetett rajz pontokat három vetületnek nevezzük.

Három vetületű rajzon az AA2 pont mélységét torzítás nélkül vetítik a P1 és P2 síkra (62. ábra, a). Ez a körülmény lehetővé teszi az A pont harmadik - frontális vetületének felépítését vízszintes A1 és elülső A2 vetületei szerint (62. ábra, c). Ehhez vízszintes A2A3 _ | _A2A1 kommunikációs vonalat kell húzni a pont elülső vetületén. Ezután a rajz bármely pontján rajzolja meg a P2 / P3 vetítőtengelyt _ | _ A2A3, mérje meg a pont mélységét a vízszintes vetítési mezőn, és halassza el a P2 / P3 vetítési tengelytől a vízszintes kommunikációs vonal mentén. Az A pont A3 profilvetületét kapjuk.

Így egy komplex rajzban, amely háromból áll ortogonális vetületek pont, két vetület ugyanazon a kommunikációs vonalon található; a kommunikációs vonalak merőlegesek a megfelelő vetítési tengelyekre; egy pont két vetülete teljesen meghatározza harmadik vetületének helyzetét.

Meg kell jegyezni, hogy az összetett rajzoknál általában a vetítési síkok nincsenek korlátozva, és helyzetüket tengelyek határozzák meg (62. ábra, c). Azokban az esetekben, amikor a probléma körülményei ezt nem követelik meg

Ez azt jelenti, hogy a pontok vetületei a tengelyek megjelenítése nélkül is megadhatók (63. ábra, a, b). Az ilyen rendszert alaptalannak nevezik. A kommunikációs vonalak szünetekkel is végrehajthatók (63. ábra, b).

5. Egyenes a komplex rajzon. Alapvető rendelkezések.

Egyenes vonal összetett rajza.

Tekintettel arra, hogy a térben egy egyenes vonal két pontja alapján határozható meg, a rajzra építve elegendő e két pont összetett rajzát elvégezni, majd az azonos nevek vetületeit egyenes vonallal összekapcsolni . Ebben az esetben megkapjuk az egyenes vízszintes és elülső vetületeit.

Ábrán. A 69. ábrán a látható az l egyenes vonal és a hozzá tartozó A és B pontok. Az l2 egyenes homlokzati vetületének megalkotásához elegendő az A2 és B2 pontok elülső vetületeit megalkotni és egyenes vonallal összekapcsolni. . Hasonlóképpen vízszintes vetület is készül, amely áthalad az A1 és B1 pontok vízszintes vetületein. Miután összehangoltuk a P1 síkot a P2 síkkal, megkapjuk az l egyenes két vetületű komplex rajzát (69. ábra, b).

Egy egyenes profilvetítése az A és B pontok profilvetítéseinek felhasználásával készíthető. Ezenkívül egy egyenes profilvetítése is elkészíthető a két pont és a kiugrások homlok síkja közötti távolságok különbségének felhasználásával, vagyis a pontok mélységének különbsége (69. ábra, c). Ebben az esetben nem szükséges a vetítési tengelyeket a rajzra alkalmazni. Ezt a módszert, mivel pontosabb, a műszaki rajzok végrehajtásának gyakorlatában használják.

6. Egy vonalszakasz természetes méretének meghatározása általános helyzetben.

Egy egyenes szakasz tényleges méretének meghatározása.

A mérnöki grafika problémáinak megoldásakor számos esetben szükségessé válik egy egyenes szakasz tényleges méretének meghatározása. Ezt a problémát többféleképpen is meg lehet oldani: derékszögű háromszög módszerével, forgásmóddal, sík-párhuzamos mozgással, a vetítési síkok cseréjével.

Tekintsünk egy példát arra, hogy egy komplex rajzon egy derékszögű háromszög módszerével hogyan állíthatunk elő egy szegmens képét valós értékében. Ha egy szegmens párhuzamos bármelyik vetítési síkkal, akkor teljes méretben erre a síkra vetül. Ha a szegmenst általános helyzetben egyenes vonal képviseli, akkor az egyik vetítési síkon lehetetlen meghatározni annak valódi értékét (lásd 69. ábra).

Vegyünk egy szegmenst AB (A ^ A1) általános helyzetben, és építsük fel annak vízszintes vetületi síkjára merőleges vetületét (78. ábra, a). Ebben az esetben a térben egy A1BB1 téglalap keletkezik, amelyben maga a szegmens a hypotenus, az egyik láb ennek a szegmensnek a vízszintes vetülete, a második pedig a szegmens A és B pontjainak magasságkülönbsége. Mivel egy egyenes rajza szerint nem nehéz meghatározni szegmense pontjainak magasságkülönbségét, lehetséges a derékszögű háromszög felépítése a szegmens vízszintes vetületén (78. ábra, b) az egyik pont feleslegének második lábát a második fölé véve. Ennek a háromszögnek a hipotenúza az AB szegmens természetes értéke lesz.

Hasonló konstrukciót lehet elvégezni a szegmens elülső vetületén is, csak a végeinek mélységének különbségét (78. ábra, c), a P1 síkon mérve kell második lábnak tekinteni.

Egy vonalszakasz természetes értékének meghatározásához használhatja a forgást a vetítési síkokhoz képest úgy, hogy párhuzamos legyen az egyikével (lásd 36. §), vagy új vetítési sík megadásával (az egyik vetítési sík helyett) hogy párhuzamos a szegmens egyik vetítési síkjával (lásd 58., 59. §).

háromszög.

Az egyenes vonal szegmensének természetes méretének meghatározásához általános helyzetben a vetületei szerint derékszögű háromszög módszerét kell használni.

Verbális forma	Grafikus forma
1. Határozza meg az Аz, Bz, Ay, komplex rajzot: D z - az A és B pontok és a p1 sík közötti távolságok különbsége; D y - az A és B pontok és a p2 sík közötti távolság közötti különbség
2. Vegye ki az AB egyenes vetületének bármely pontját, rajzoljon rajta merőlegeset a szegmensre: a) vagy merőleges az A2B2 -re a B2 vagy A2 ponton keresztül; b) vagy merőleges az A1B1 -re a B1 vagy A1 ponton keresztül
3. Erre a merőlegesre a B2 pontból tegye a D y -t vagy a B1 pontból tegye félre D z
4. Csatlakoztassa az A2 és B "2; A1 és B" 1 csatlakozókat
5. Jelölje ki az AB szegmens tényleges méretét (a háromszög hipotenúza): | AB | = A1B "1 = A2B" 2
6. Jelölje meg a p1 és p2 vetítési sík hajlásszögét: a - az AB szegmens dőlésszöge a p1 síkhoz; b - az AB szegmens dőlésszöge a p2 síkhoz

Hasonló probléma megoldásakor egy szegmens természetes értékét csak egyszer lehet megtalálni (akár az 1., akár a 2. pontnál). Ha meg kell határozni egy egyenes dőlésszögét a vetítési síkokhoz, akkor ezt a konstrukciót kétszer hajtják végre - a szegmens elülső és vízszintes vetületein.

Egy pont helyzetét a térben két ortogonális vetülete határozza meg, például vízszintes és frontális, frontális és profil. Bármely két ortogonális vetület kombinációja lehetővé teszi, hogy megtudja egy pont összes koordinátájának értékét, felépítsen egy harmadik vetületet, és meghatározza az oktánt, amelyben található. Tekintsünk néhány jellemző problémát a leíró geometria tanfolyamból.

Az A és B pontok adott összetett rajza szerint szükséges:

Először határozzuk meg az A pont koordinátáit, amelyek A alakban írhatók (x, y, z). Az A pont vízszintes vetülete - A pont ", amelynek koordinátái x, y. Rajzoljunk A" pontból merőlegeseket az x, y tengelyre, és keressük meg A х, A у, ill. Az A pont x koordinátája megegyezik az A x O szakasz hosszával, plusz előjellel, mivel A x az x tengely pozitív értékeinek tartományában fekszik. Figyelembe véve a rajz méretarányát, x = 10 -et találunk. Az y koordináta megegyezik az A y O szakasz hosszával, mínusz előjellel, mivel m. A y a negatív értékek tartományában fekszik y tengely. A rajz méretarányát figyelembe véve y = –30. Az A pont frontális vetülete - A "" pont x és z koordinátákkal rendelkezik. Hagyjuk a merőleget A "" -tól a z tengelyig, és keressük meg A z-t. Az A pont z-koordinátája egyenlő az A z O szegmens hosszával, mínusz előjellel, mivel A z a z tengely negatív értékeinek tartományában fekszik. A rajz méretarányát figyelembe véve z = –10. Így az A pont koordinátái (10, –30, –10).

A B pont koordinátái B -ként írhatók (x, y, z). Tekintsük a B - m. B "pont vízszintes vetületét. Mivel az x tengelyen fekszik, akkor B x = B" és a B y = 0. A B pont abszcisszája egyenlő a szakasz hosszával. B x O plusz jellel. A rajz méretarányát figyelembe véve x = 30. A B pont elülső vetülete - a B˝ pont x, z koordinátákkal rendelkezik. Rajzoljunk merőleget B "" -től a z tengelyre, így megtaláljuk B z-t. A B pont z applikátusa egyenlő a B z O szegmens hosszával, mínusz előjellel, mivel B z a z tengely negatív értékeinek tartományában fekszik. A rajz méretarányát figyelembe véve meghatározzuk a z = –20 értéket. Tehát a B koordináták (30, 0, -20). Az összes szükséges konstrukció az alábbi ábrán látható.

A pontok előrejelzése

A П 3 sík A és B pontjai a következő koordinátákkal rendelkeznek: A "" "(y, z); B" "" (y, z). Ebben az esetben A "" és A "" "ugyanabban a merőlegesben fekszik a z tengelyre, mivel közös z-koordinátájuk van. Hasonlóképpen, B" "és B" "" a z-re merőleges közösen fekszik -tengely. Az A pont profilvetítésének megkereséséhez elhalasztjuk az y tengely mentén korábban talált koordináta értékét. Az ábrán ez az A y O sugarú kör ívét használja. Ezt követően húzzon egy merőlegeset A y-ból, amíg az metszi az A "" pontból a z tengelyre visszaállított merőlegeset. E két merőleges metszéspontja határozza meg A "" "helyzetét.

A "" "B pont a z tengelyen fekszik, mivel ennek a pontnak az y-ordinátája nulla. Ahhoz, hogy megtalálja a B pont profilvetületét ebben a feladatban, csak merőleget kell rajzolnia a" "-" Ennek merőleges metszéspontja a z tengelyhez B "" ".

A pontok térbeli helyzetének meghatározása

A P 1, P 2 és P 3 vetületi síkokból álló térbeli elrendezést, az oktánok elrendezését, valamint az elrendezés diagramokká alakításának sorrendjét vizualizálva közvetlenül megállapítható, hogy az A pont a harmadik oktánsban található, és a B pont a P 2 síkban fekszik.

A probléma megoldásának másik lehetősége a kizárások módszere. Például az A pont koordinátái (10, -30, -10). Az x pozitív abszcissza lehetővé teszi, hogy megítéljük, hogy a pont az első négy oktánsban található. A negatív y-ordinátum azt jelzi, hogy a pont a második vagy a harmadik oktánsban van. Végül egy negatív applikátum z azt jelzi, hogy m. A a harmadik oktánsban található. A fenti érvelést egyértelműen illusztrálja a következő táblázat.

Oktánsok	Koordináta jelek
	x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

B pont koordinátái (30, 0, -20). Mivel m. B ordinátája nulla, ez a pont a P 2 vetület síkjában található. A B pont pozitív abszcissza és negatív applikátusa azt jelzi, hogy a harmadik és a negyedik oktáns határán helyezkedik el.

Pontok vizuális képének felépítése a P 1, P 2, P 3 síkrendszerben

Frontális izometrikus vetítéssel felépítettük a III oktáns térbeli elrendezését. Ez egy téglalap alakú háromszögletű, amelynek arcai a P 1, P 2, P 3 síkok, és a szög (-y0x) 45 °. Ebben a rendszerben az x, y, z tengely mentén lévő szegmenseket teljes méretben, torzítás nélkül ábrázoljuk.

Elkezdjük az A pont (10, -30, -10) vízszintes A vetületű vizuális képének felépítését. A megfelelő koordinátákat az abszcissza és az ordinátatengelyek mentén elhelyezve megtaláljuk az A x és A y pontokat. A függőleges metszéspont A x -ből és A y -ból az x és y tengelyre rekonstruálva határozza meg az A "pont helyzetét. Ha félretesszük az A "AA szegmenstől" a z-tengelykel párhuzamos negatív értékei felé, amelyek hossza 10, megtaláljuk az A pont helyzetét.

A B pont (30, 0, -20) vizuális képe hasonló módon készül - a P2 síkban az x és z tengely mentén el kell halasztania a megfelelő koordinátákat. A B x és B z alapján rekonstruált merőlegesek metszéspontja határozza meg a B pont helyzetét.

Vetítőberendezés

A vetítőeszköz (1. ábra) három vetítési síkot tartalmaz:

π 1 - vízszintes síkok;

π 2 - frontális vetítési sík;

π 3- a nyúlványok profil síkja .

A vetítési síkok egymásra merőlegesen helyezkednek el ( π 1^ π 2^ π 3), és metszésvonalaik képezik a tengelyeket:

A repülőgépek metszése π 1és π 2 tengelyt alkotnak 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

A repülőgépek metszése π 1és π 3 tengelyt alkotnak 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

A repülőgépek metszése π 2és π 3 tengelyt alkotnak 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

A tengelyek metszéspontját (ОХ∩OY∩OZ = 0) tekintjük az origónak (0. pont).

Mivel a síkok és a tengelyek egymásra merőlegesek, ez a készülék hasonlít a derékszögű koordinátarendszerhez.

A vetítési síkokat nyolc oktánsra osztják (az 1. ábrán római számokkal vannak jelölve). A vetítési síkokat átlátszatlannak tekintik, és a néző mindig bent van én-a nyolcadik.

Ortogonális vetítés vetítési központokkal S 1, S 2és S 3 illetve a vízszintes, a frontális és a profilvetítő síkok esetében.

A.

A vetítés központjaiból S 1, S 2és S 3 a vetítőgerendák kijönnek l 1, l 2és l 3 A

- A 1 A;

- A 2- egy pont elülső vetülete A;

- A 3- pontprofil -vetítés A.

A tér egy pontját a koordinátái jellemzik A(x, y, z). Pontok A x, A yés A z illetve a tengelyeken 0X, 0Yés 0Z mutatni a koordinátákat x, yés z pont A... Ábrán. Az 1. ábra megadja az összes szükséges jelölést és bemutatja a pont közötti kapcsolatokat A tér, vetületei és koordinátái.

Pontábrák

Egy pont cselekményének megszerzése A(2. ábra), a vetítőberendezésben (1. ábra) a sík π 1 A 1 0X π 2... Aztán a repülő π 3 pontvetítéssel A 3, forgassa az óramutató járásával ellentétes irányba a tengely körül 0Z, mielőtt a síkhoz igazítaná π 2... A síkok forgásiránya π 2és π 3ábrán látható. 1 nyíl. Ugyanakkor közvetlen A 1 A xés A 2 A x 0X merőleges A 1 A 2és egyenes A 2 A xés A 3 A x a tengely közös oldalán helyezkednek el 0Z merőleges A 2 A 3... A következőkben ezeket a sorokat nevezzük, ill. függőleges és vízszintes link vonalak.

Meg kell jegyezni, hogy a vetítőberendezésről a diagramra való áttérés során a vetített objektum eltűnik, de az alakjára, geometriai méreteire és térbeli helyzetére vonatkozó minden információ megmarad.

A(x A, y A, z Ax A, y A.és z A a következő sorrendben (2. ábra). Ezt a sorozatot pontrajzolási technikának nevezik.

1. A tengelyeket merőlegesen húzzuk OX, OYés OZ.

2. A tengelyen ÖKÖR x A pont Aés megkapja a pont helyzetét A x.

3. Ponton keresztül A x merőleges a tengelyre ÖKÖR

A x a tengely irányában OY a koordináta számértéke elmarad y A pont A A 1 a diagramon.

A x a tengely irányában OZ a koordináta számértéke elmarad z A pont A A 2 a diagramon.

6. A ponton keresztül A 2 tengelyével párhuzamos ÖKÖR vízszintes kommunikációs vonalat húznak. Ennek az egyenesnek és tengelynek metszéspontja OZ megadja a pont helyzetét A z.

7. A vízszintes kommunikációs vonalon a ponttól A z a tengely irányában OY a koordináta számértéke elmarad y A pont Aés meghatározzuk a pont profilvetületének helyzetét A 3 a diagramon.

Pontjellemzők

A tér minden pontja különleges és általános rendelkezések pontjaira oszlik.

Privát pozíciópontok. A vetítőberendezéshez tartozó pontokat egy adott pozíció pontjainak nevezzük. Ide tartoznak a vetítési síkokhoz, tengelyekhez, origóhoz és vetítési központokhoz tartozó pontok. Egy adott pozíció pontjainak jellemzői a következők:

Metamatematikai - a koordináták egy, kettő vagy az összes számértéke nulla és (vagy) végtelen;

Egy ábrán - egy pont két vagy minden vetülete a tengelyeken található, és (vagy) a végtelenben helyezkedik el.

Általános pozíciópontok. Az általános helyzeti pontok azok a pontok, amelyek nem tartoznak a vetítőberendezéshez. Például pont Aábra. 1 és 2.

Általában egy pont koordinátáinak számértékei jellemzik a távolságot a vetítési síktól: a koordináta NS a repülőgépből π 3; koordináta y a repülőgépből π 2; koordináta z a repülőgépből π 1... Meg kell jegyezni, hogy a koordináták számértékeinél lévő jelek jelzik a vetítési síkoktól távolodó pont irányát. Attól függően, hogy egy pont koordinátáinak számértékei milyen jelek kombinációját tartalmazzák, attól függ, hogy melyik oktánszámban található.

Kétképes módszer

A gyakorlatban a teljes vetítési módszer mellett két kép módszerét alkalmazzák. Ez abban különbözik, hogy ez a módszer kizárja az objektum harmadik vetületét. Ahhoz, hogy két képből álló módszerrel vetítőberendezést kapjunk, a vetületek profilsíkját és annak vetítési középpontját kizárjuk a teljes vetítőberendezésből (3. ábra). Ezenkívül a tengelyen 0X az origó hozzá van rendelve (pont 0 ) és onnan merőleges a tengelyre 0X vetítési síkokban π 1és π 2 tengelyeket rajzolni 0Yés 0Z illetőleg.

Ebben a készülékben az egész tér négy negyedre oszlik. Ábrán. 3 római számokkal vannak jelölve.

A vetítési síkokat átláthatatlannak tekintik, és a néző mindig bent van én negyedik.

Tekintsük az eszköz működését egy pont vetítésének példáján keresztül A.

A vetítés központjaiból S 1és S 2 a vetítőgerendák kijönnek l 1és l 2... Ezek a sugarak áthaladnak a ponton Aés a vetítési síkokkal metszve képezik vetületeit:

- A 1- egy pont vízszintes vetülete A;

- A 2- egy pont elülső vetülete A.

Egy pont cselekményének megszerzése A(4. ábra), a vetítőeszközben (3. ábra) a sík π 1 a kapott pontszerű vetítéssel A 1 forgassa az óramutató járásával megegyező irányba a tengely körül 0X, mielőtt a síkhoz igazítaná π 2... A sík forgásiránya π 1ábrán látható. 3 nyíl. Ebben az esetben a két kép módszerével kapott pont grafikonján csak egy marad függőleges kommunikációs vonal A 1 A 2.

A gyakorlatban egy pont ábrázolása A(x A, y A, z A) koordinátáinak számértékei hajtják végre x A, y A.és z A a következő sorrendben (4. ábra).

1. Egy tengelyt rajzolunk ÖKÖRés az origó hozzá van rendelve (pont 0 ).

2. A tengelyen ÖKÖR a koordináta számértéke elmarad x A pont Aés megkapja a pont helyzetét A x.

3. Ponton keresztül A x merőleges a tengelyre ÖKÖR függőleges kommunikációs vonalat húznak.

4. A függőleges kommunikációs vonalon a ponttól A x a tengely irányában OY a koordináta számértéke elmarad y A pont Aés meghatározzuk a pont vízszintes vetületének helyzetét A 1 OY nincs ábrázolva, de feltételezzük, hogy pozitív értékei a tengely alatt helyezkednek el ÖKÖRés a negatívak magasabbak.

5. A függőleges kommunikációs vonalon a ponttól A x a tengely irányában OZ a koordináta számértéke elmarad z A pont Aés meghatározzuk a pont frontális vetületének helyzetét A 2 a diagramon. Meg kell jegyezni, hogy a diagramon a tengely OZ nincs ábrázolva, de feltételezzük, hogy pozitív értékei a tengely felett helyezkednek el ÖKÖR a negatívak pedig alacsonyabbak.

Versenyző pontok

Az egyik vetítési sugár pontjait versengő pontoknak nevezzük. Közös vetületük van a vetítési sugár irányába, azaz előrejelzéseik azonosak. A parcellán versengő pontok jellemző jellemzője, hogy azonos nevű vetítéseik egybeesnek. A verseny abban rejlik, hogy ezek a vetületek láthatóak -e a megfigyelőhöz képest. Más szóval, a térben a megfigyelő számára az egyik pont látható, a másik nem. És ennek megfelelően a rajzon: a versengő pontok egyik vetülete látható, a másik pont vetülete pedig láthatatlan.

Két versengő pont térbeli vetítési modelljén (5. ábra) Aés V pont látható A két egymást kiegészítő alapon. A láncból ítélve S 1 → A → B pont A közelebb a megfigyelőhöz, mint egy pont V... És ennek megfelelően - távolabb a vetítési síktól π 1(azok. z A > z A).

Rizs. 5. ábra 6. ábra

Ha maga a pont látható A, akkor a vetülete is látható A 1... A vele egybeeső vetület tekintetében B 1... Az egyértelműség kedvéért és szükség esetén a diagramon a pontok láthatatlan vetületeit általában zárójelbe zárjuk.

Távolítsuk el a modell pontjait Aés V... Egybeeső vetületeik a síkon megmaradnak π 1és külön vetületek - on π 2... Hagyjuk feltételesen a megfigyelő (⇩) frontális vetületét a vetület közepén S 1... Ezután a képek láncolata mentén ⇩ → A 2 → B 2 meg lehet majd ítélni z A > z Bés hogy maga a pont látható Aés annak vetülete A 1.

Tekintsük hasonló módon a versengő pontokat VAL VELés D nyilvánvalóan a π 2 síkhoz képest. Mivel e pontok közös vetítési sugara l 2 tengelyével párhuzamos 0Y, akkor a versengő pontok láthatóságának jele VAL VELés D az egyenlőtlenség határozza meg y C> y D... Ezért a lényeg D pont zárja VAL VELés ennek megfelelően a lényeg vetülete D 2 a pont vetülete fogja fedezni C 2 felületen π 2.

Fontolja meg, hogyan határozzák meg a versengő pontok láthatóságát egy összetett rajzban (6. ábra).

Az egybeeső előrejelzések alapján A 1≡1 -ben maguk a pontok Aés V tengelyével párhuzamos vetítési sugárban vannak 0Z... Ez azt jelenti, hogy a koordinátákat összehasonlítani kell z Aés z B ezeket a pontokat. Ehhez a frontális vetítési síkot használjuk, külön pontképekkel. Ebben az esetben z A > z B... Ebből következik, hogy a látható vetület A 1.

Pontok Cés D a tekintett összetett rajzban (6. ábra) szintén egy kiálló sugáron helyezkednek el, de csak párhuzamosan a tengellyel 0Y... Ezért az összehasonlításból y C> y D arra a következtetésre jutunk, hogy a C 2 vetület látható.

Általános szabály . A versengő pontok egybeeső vetületeinek láthatóságát úgy határozzuk meg, hogy összehasonlítjuk e pontok koordinátáit a közös vetítési sugár irányában. Látható annak a pontnak a vetülete, ahol ez a koordináta nagyobb. Ebben az esetben a koordináták összehasonlítását a vetítési síkon végezzük, külön pontok képeivel.

Képzeljen el térbeli elrendezést. Adjunk egy pontot a térben Aés három egymásra merőleges vetítési sík.

Építsük fel az A pont vetületeit, amely a tér első oktánjában található. Ehhez húzza át a vetítési sugarakat a ponton, merőlegesen a vetítési síkokra. Ezen sugarak metszéspontjában a vetítési síkokkal H, V, W az A pont vetületei (A`, A ", A" `) megtalálhatók.

Három koordináta határozza meg ( x, y, z), bemutatva azoknak a távolságoknak az értékeit, amelyekkel eltávolítják a vetítési síkokról.
Ezen távolságok meghatározásához elegendő a ponton keresztül A rajzoljon a vetítési síkokra merőleges egyeneseket, határozzon meg pontokat A`, A ", A", ezen egyenesek találkozása a vetítési síkokkal és a szegmensek értékeinek mérése [ AA`], [AA "], [AA ""], amely az alkalmazás értékét jelzi z, ordináták y, hasizmok x pont A.

Pontok A`, A ", A", a pont ortogonális vetületeinek nevezzük A, míg az elfogadott megnevezések szerint:
A`- egy pont vízszintes vetülete A;
A "- egy pont elülső vetülete A;
A ",- pontprofil -vetítés A.

Szegmensek:
[AA`] - [OA x] - pont abszcissza A;
[AA "] - [OA y] - pont ordinátum A;
[AA ""] - [OA z] - pont alkalmazása A.

Közvetlen ( AA` ⊥ H), (AA " ⊥ V), (AA "" ⊥ W) hívják vetítővonalak vagy kiálló gerendák.
Egyenes ( AA`) vetítési pont A tovább vízszintes vetítési sík hívják vízszintesen kiálló egyenes (sugár).
Egyenes ( AA ") vetítési pont A tovább frontális vetítési sík hívják frontálisan kiálló egyenes (gerenda).
Egyenes ( AA "") vetítési pont A tovább nyúlványok profil síkja hívják profilból kiálló egyenes (gerenda).
Két kiálló vonal halad át egy ponton A, határozza meg a síkot, amelyet általában vetítési síknak neveznek.

Egy pont cselekményének megszerzése A, alakítsuk át a térbeli elrendezést Monge -diagramokká:
- egy pont elülső vetülete A a géphez tartozó helyén marad V, amely nem változtatja meg álláspontját a megfontolt átalakítás során.
- vízszintes vetítés A` a vízszintes vetítési síkkal együtt lemegy, és a tengelyre merőlegesen helyezkedik el x frontális vetítéssel A ".
- profilvetítés AA "" együtt forog a profilvetítő síkkal, és az átalakítás végére elfoglalja az ábrán látható pozíciót. Hol AA "" a tengelyre merőleges lesz z keresztül vezettek A "és eltávolítjuk a tengelyről z a távolság a vízszintes vetülettel A` eltávolítjuk a tengelyről x.

A pont vízszintes és profilú vetületei közötti kapcsolat két derékszögű egyenesszegmens használatával hozható létre [ A`A y] és [ A y A ",] és az őket párosító kör íve, középpontjával a koordináta -tengelyek metszéspontjában.
A megjelölt kapcsolat a hiányzó profil vagy vízszintes vetület megkeresésére szolgál.

A profil (vízszintes) vetület helyzete az adott vízszintes (profil) és az elülső vetületek szerint megtalálható körív megrajzolása nélkül. Ebben az esetben a vízszintes és a profilnyúlványok közötti kapcsolat törött vonallal létesíthető A`, A o, A ", felsővel A o a tengelyek által alkotott szög felezőjén y.
Felezővonal Ó, A, A ",állandó egyenesnek nevezzük k o Monge diagram.

Az ábrán látható lapos modell (diagramok) ugyanazokat az információkat hordozza, amelyeket a térbeli elrendezés tartalmaz.
Valóban: meghatározni egy pont helyzete a térben, ismernie kell a pont három koordinátáját A - (x, y, z) a szegmensek hossza [ AA ""], [AA "], [AA`].
Ezen szegmensek értékei könnyen meghatározhatók a diagramon:
[AA ""] ≅ [A`A y] ≅ [A "A z];
[AA "] ≅ [A`A x] ≅ [A ", A z];
[AA`] ≅ [A "A x] ≅ [A ", A y].

Egy pont vízszintes vetülete A abszcissza határozza meg xés felszentelni y
Frontális vetítés - abszcissza xés alkalmazza z
Profil vetítés - ordinate yés alkalmazza z

A[A`(x, y); A "(x, z); A ",(y, z)]

A jegyzőkönyvből következik:
1. Pont a térben eltávolítva:
a) a vetítési síkból W A`eltávolítva a tengelyről y(vagy frontális vetítés A"tengelyen kívül z);
b) a vetítési síkból V ugyanannyival, mint e pont vízszintes vetülete A`eltávolítva a tengelyről x(vagy a profil vetülete A ", tengelyen kívül z);
c) a vetítési síkból H ugyanolyan mértékben, mint az elülső vetülete A " eltávolítjuk a tengelyről x(vagy a profil vetülete A ", tengelyen kívül y).

2. teljesen meghatározza két ortogonális vetületének helyzete.
Ennek következtében egy pont tetszőleges két adott ortogonális vetületéből mindig lehetséges a hiányzó harmadik ortogonális vetület kialakítása.
Valóban: függetlenül attól, hogy két ortogonális vetület milyen kombinációját vesszük, ezek mindig megadják nekünk egy pont mindhárom koordinátájának értékét.
3.a) bármely pont vízszintes és elülső vetülete ugyanabba a tengelyre merőleges x.

Ha figyelembe vesszük, hogy a diagramon a vetítési tengelyekre merőleges és a pontok ellentétes vetületeit összekötő egyeneseket kommunikációs vonalaknak (vetítési kommunikáció) nevezzük, akkor a 3.a) bekezdés másképpen is megfogalmazható:
bármely pont vízszintes és frontális vetülete ugyanabba a kommunikációs vonalba tartozik.

b) bármely pont vízszintes és profilú vetülete ugyanabba a tengelyre merőleges (egy kommunikációs vonal) y;
c) bármely pont homlok- és profilvetülete ugyanabba a tengelyre merőleges (egy kommunikációs vonal) z.