Hogyan készítsünk pontok vetületeit egy összetett rajzban. Egy pont grafikus megjelenítése egy összetett rajzban. A pontok kölcsönös helyzete a térben

Készítsen összetett rajzokat a pontokról: A(15,30,0), V(30,25,15), VAL VEL(30,10,15), D(15,30,20)

A feladat megoldását négy szakaszra osztjuk.

1. A(15,30,0); x A= 15 mm ; y A= 30 mm ; zA= 0.

Mit gondol, ha a lényeg A koordináta z A= 0, akkor milyen pozíciót foglal el a térben?

Úgy néz ki, mint egy pont összetett rajza A megadott koordinátákon ábrázolják

Ha egy pontnak egy koordinátája nulla, akkor a pont az egyik vetítési síkhoz tartozik. Ebben az esetben a pontnak nincs magassága: z= 0, innen a lényeg A a síkban fekszik P 1.

Egy összetett rajzban az eredeti (azaz maga a lényeg A) nincs ábrázolva, csak a vetületei vannak.

2. V(30,25,15) és VAL VEL(30,10,15).

A második szakaszban egyesítsük két pont felépítését.

x B= 30 mm; x C= 30 mm

y B= 35 mm; y C= 10 mm

z B= 15 mm; z C= 15 mm

Pontokban Vés VAL VEL: x B = x C= 30 mm, z B = z C= 15 mm

a) Koordináták NS a pontok ugyanazok, ezért a P 1 - P 2 rendszerben a pontok vetületei ugyanazon a kommunikációs vonalon helyezkednek el (1.2. ábra),

b) Koordináták z pontok egybeesnek, (mindkét pont egyformán távol van P 1 15 mm -rel,) azaz azonos magasságban helyezkednek el, ezért a P 2 a pontok előrejelzései egybeesnek: 2=(C 2).

v) A láthatóság meghatározásához P 2 nézd meg a fig. 1.3. A megfigyelő látja a lényeget V ami lefedi a lényeget VAL VEL, azaz pont V közelebb helyezkedik el a megfigyelőhöz, ezért tovább P 2 látható. (Lásd M1 - 13 és 16).

A rendszerben P 2 P 3 a pontok vetületei is ugyanazon a kommunikációs vonalon fekszenek, és a láthatóságot a nyíl határozza meg (1.2. ábra).

Pontok Vés VAL VEL- frontálisan versenyzőnek nevezik.

3. D(15,30,20); x D= 15 mm; y D= 30 mm; z D= 20 mm.

a) Ebben az összetett rajzban (1.4. Ábra) a pont három vetülete épül fel D (D 1,D 2,D 3).

Mindhárom koordinátának számszerű értékei vannak a nullától eltérő, így a pont nem tartozik egyetlen vetítési síkhoz sem.

b) Kompatibilis térbeli kép Aés D(1.5. ábra). A rendszerben P 1 -P 2 pont előrejelzések Aés D ugyanazon a kommunikációs vonalon fekszenek, csak egy ponton D pont fölött A, ennélfogva D- látható, és A- láthatatlan (látható P 1 a fenti pont)

A negyedik, utolsó szakaszban összekötjük a pontok összetett rajzainak mind a három töredékét A, B, C,D egy közösbe.

Pontok Aés D- nevezik vízszintesen versenyzőnek.

Szokás a pont koordinátáit zárójelbe írni a pontjelölés mellé. Például: bejegyzés V(3, 2, 3) azt jelenti, hogy a pont koordinátái V a következő: X = 3; Y = 2; Z = 3. A 43. ábra egy axonometrikus képen és egy pont ábrázolásán mutatja a konstrukciót V a megadott koordinátákon.

43. ábra - Egy pont felépítése meghatározott koordinátákkal

Rögzítő anyag:

1. Jelölje meg azokat a feltételeket, amelyek mellett meg lehet határozni egy pont helyét a térben.

2. Jelölje meg, hogy egy pont hány vetülete lehet a térben a vetítési síkon.

3. Adja meg a vetítési síkok nevét és megnevezéseiket.

4. Jelölje meg, hogy a vetítési síkok hogyan helyezkednek el egymáshoz képest.

5. Adja meg azoknak az egyeneseknek a nevét, amelyek mentén a vetítési síkok metszik egymást.

6. Mutassa be a vetítési síkok metszéspontjának kijelölését!

7. Mutassa meg a vetítési pontok kijelölését a vetítési síkokon.

8. Magyarázza el a telek vagy összetett rajz átvételét.

9. Magyarázza el a diagram célját!

10. Magyarázza el a pontkoordináták célját!

11. Magyarázza el egy pont koordinátáinak Y tengely mentén történő átvitelének lehetőségét!

12. Magyarázza el az A pont (6, 10, 4) koordinátáinak jelentését!

Az anyag elméleti összevonása után a diákok egyéni gyakorlati feladatokat látnak el, hogy a megadott koordinátákon egy pont összetett rajzát készítsék el, a hallgató választása szerint

(4a. feladat). A munkát A4 -es formátumban, a rajz vonalait figyelve végzik. A rajz címe: „4. számú grafikai munka. Pont előrejelzések ".

Egy egyenes összetett rajzának felépítése

Bármely egyenes, beleértve az egyenest is, a tér egymást követő pontjainak halmazának tekinthető, és egy egyenes vetülete AB a repülőn H- adott egyenes pontjainak vetületeinek halmazaként (44. ábra).

Egy egyenes helyzetét a térben annak két pontja határozza meg. Az egyenes két pont által határolt részét nevezzük szegmens... Az AB szegmens vetületének felépítéséhez elegendő egy vetületet felépíteni szélsőséges pontok... E pontok vetületeit egyenes vonallal összekapcsolva megkapjuk a szegmens vetületeit (45. ábra).

45. ábra - Szegmens előrejelzések

Egy vonalszakasz térbeli helyzetét két vetülete határozza meg. A vonalszakasz harmadik vetületének megtalálásához meg kell építeni az egyenest határoló pontok harmadik vetületeit. A 45a., B. Ábrán a nyilak mutatják a profilvetítés létrehozásának folyamatát a "b" " szegmens AB a megadott vízszintesnek megfelelően óés frontális egy "c" előrejelzések.

Az anyag rögzítése:

A szegmens pontjainak megadott koordinátái szerint AB készítsen komplex rajzot a verziójának megfelelően (13., 14., 15. feladat). A munkát A4 -es formátumban végzik, figyelve a rajz vonalait és a vetítési síkok pontjait (4b. Feladat).

A rajz címe: „4. számú grafikai munka. Szegmens előrejelzések ".

Egy pont helyzetét a térben két ortogonális vetülete határozza meg, például vízszintes és frontális, frontális és profil. Bármely kettő kombinációja ortogonális vetületek lehetővé teszi, hogy megtudja egy pont összes koordinátájának értékét, felépítsen egy harmadik vetületet, meghatározza az oktánt, amelyben található. Tekintsünk néhány jellemző problémát a leíró geometria tanfolyamból.

Az A és B pontok adott összetett rajza szerint szükség van:

Először határozzuk meg az A pont koordinátáit, amelyek A (x, y, z) -ként írhatók fel. Vízszintes vetítés m. A - A "A" pont, amelynek koordinátái x, y. Rajzoljon A pontból merőlegeseket az x, y tengelyre, és keressen A, x, A у. Az A pont x koordinátája megegyezik az A x O szakasz hosszával, plusz előjellel, mivel A x az x tengely pozitív értékeinek tartományában fekszik. Figyelembe véve a rajz méretarányát, x = 10 -et találunk. Az y koordináta egyenlő az A y O szegmens hosszával, mínusz előjellel, mivel m. A y a negatív értékek tartományában fekszik y tengely. A rajz méretarányát figyelembe véve y = –30. Az A pont frontális vetülete - A "" pont x és z koordinátákkal rendelkezik. Hagyjuk a merőleget A "" -tól a z tengelyig, és keressük meg A z-t. Az A pont z-koordinátája megegyezik az A z O szegmens hosszával, mínusz előjellel, mivel A z a z-tengely negatív értékeinek tartományában fekszik. A z = –10 rajzolási skálát figyelembe véve. Így az A pont koordinátái (10, –30, –10).

A B pont koordinátái B (x, y, z) formában írhatók fel. Tekintsük a B - m. B "pont vízszintes vetületét. Mivel az x tengelyen fekszik, akkor B x = B" és a B y = 0 koordináta. A B pont abszcisszája egyenlő a szakasz hosszával B x O plusz jellel. A rajz méretarányát figyelembe véve x = 30. A B pont elülső vetülete - a B˝ pont x, z koordinátákkal rendelkezik. Rajzoljunk merőleget B "" -től a z tengelyre, így megtaláljuk B z-t. A B pont z alkalmazása a mínusz előjellel rendelkező B z O szakasz hosszával egyenlő, mivel B z a z tengely negatív értékeinek tartományában fekszik. A rajz méretarányát figyelembe véve meghatározzuk a z = –20 értéket. Tehát a B koordináták (30, 0, -20). Az összes szükséges konstrukció az alábbi ábrán látható.

A pontok előrejelzése

A П 3 sík A és B pontjai a következő koordinátákkal rendelkeznek: A "" "(y, z); B" "" (y, z). Ebben az esetben A "" és A "" "ugyanabban a merőlegesben fekszik a z tengelyre, mivel közös z-koordinátájuk van. Hasonlóképpen, B" "és B" "" a z-re merőleges közösen fekszik -tengely. Az A pont profilvetítésének megkereséséhez állítsuk be az y tengely mentén korábban talált koordináta értékét. Az ábrán ez az A y O sugarú kör ívének használatával történik. Ezt követően húzzon egy merőlegeset A y-ból, amíg az metszi az A "" pontból a z tengelyhez visszaállított merőlegeset. E két merőleges metszéspontja határozza meg A "" "helyzetét.

A "" "B pont a z tengelyen fekszik, mivel ennek a pontnak az y-ordinátája nulla. Ahhoz, hogy megtalálja a B pont profilvetületét ebben a feladatban, csak merőleget kell rajzolnia a" "-" Ennek a merőlegesnek a z tengelyével való metszéspontja "" "".

A pontok térbeli helyzetének meghatározása

A P 1, P 2 és P 3 vetületi síkokból álló térbeli elrendezést, az oktánsok elrendezését, valamint az elrendezés diagramokká alakításának sorrendjét vizualizálva közvetlenül megállapítható, hogy az A pont a harmadik oktánsban található , és a B pont a P 2 síkban fekszik.

A probléma megoldásának másik lehetősége a kizárások módszere. Például az A pont koordinátái (10, -30, -10). Az x pozitív abszcissza lehetővé teszi, hogy megítéljük, hogy a pont az első négy oktánsban található. A negatív y-ordinátum azt jelzi, hogy a pont a második vagy a harmadik oktánsban van. Végül egy negatív applikátum z azt jelzi, hogy m. A a harmadik oktánsban található. A fenti érvelést egyértelműen illusztrálja a következő táblázat.

Oktánsok	Koordináta jelek
	x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

B pont koordinátái (30, 0, -20). Mivel m. B ordinátája nulla, ez a pont a P 2 vetület síkjában található. A pozitív abszcissza és a negatív alkalmazási B pont azt jelzi, hogy a harmadik és a negyedik oktáns határán helyezkedik el.

Pontok vizuális képének felépítése a P 1, P 2, P 3 síkrendszerben

Frontális izometrikus vetítéssel felépítettük a III oktáns térbeli elrendezését. Ez egy téglalap alakú háromszögletű, amelynek arcai a P 1, P 2, P 3 síkok, és a szög (-y0x) 45 °. Ebben a rendszerben az x, y, z tengely mentén lévő szegmenseket torzítás nélkül, teljes méretben ábrázoljuk.

Elkezdjük az A pont (10, -30, -10) vízszintes A vetületű vizuális képének felépítését. A megfelelő koordinátákat az abszcissza és az ordinátatengelyek mentén elhelyezve megtaláljuk az A x és A y pontokat. A merőlegesek metszése A x -ből és A y -ból az x és y tengelyre rekonstruálva határozza meg az A "pont helyzetét. A Z tengelykel párhuzamos A "AA szegmensből" félretéve a negatív értékei felé, amelyek hossza 10, megtaláljuk az A pont helyzetét.

A B pont (30, 0, -20) vizuális képe hasonló módon készül - a P2 síkban az x és z tengely mentén el kell halasztania a megfelelő koordinátákat. A B x és B z alapján rekonstruált merőlegesek metszéspontja határozza meg a B pont helyzetét.

1. A technikai gyakorlatban a legnagyobb alkalmazást az ábrázolt eredeti két vagy több egymásra épülő vetületéből álló rajz fogadta. Az ilyen rajzokat összetettnek nevezik.

Az ilyen rajz elkészítésének elve az, hogy ezt az eredetit merőlegesen vetítik két egymásra merőleges vetítési síkra, amelyek ezután megfelelően illeszkednek a rajz síkjához. Az egyik vetítési sík 1 függőlegesen helyezkedik el a megfigyelő előtt, ezért hívják frontális vetítési sík (5.a ábra), és a másik sík 2 vízszintesen helyezkedik el, és az ún vízszintes vetítési sík ... A vetítési síkok metszésvonalát nevezzük vetületek tengelye.

Vetítsünk ortogonálisan a vetítési síkra 1 és 2 bármelyik pont A, akkor két vetületét kapjuk: a frontális vetületet A 1 a repülőn 1 és vízszintes vetítés A 2 a repülőn 2 .

Vonalak kivetítése AA 1 és AA 2, amelynek segítségével a pont A a vetítési síkra vetítve határozza meg a vetítési síkot A 1 AA 2 merőleges mindkét vetítési síkra és a vetítési tengelyre NS... Közvetlen A 1 A xés A x AÁbrák, amelyek a vetítési sík vetületei a vetítési síkokon 1 és 2 , merőleges lesz a vetítési tengelyre NS.

Ezzel szemben minden pontpár A 1 és A 2, illetve a síkokhoz tartozik 1 és 2 és a tengelyre merőlegesen helyezkednek el NS ugyanabból a pontból felépült A NS, egyetlen pontot határoz meg a térben A... Valóban, ha végighúzzuk a pontokat A 1 és A 2 függőleges A 1 Aés A 2 A illetőleg a repülőgépekhez 1 és 2 , akkor ők, ugyanabban a síkban A 1 A x A 2, valamikor metszik egymást A.

Távolság A 2 A pont A a vízszintes vetítési síkból magasságnak nevezzük h pont A, és annak távolsága A 1 A a vetületek homlokzati síkjából - mélység f pont A.

2. Megszerezni lapos rajz, illeszkedni fogunk a vetületek síkjához 2 repülővel 1 a gép elforgatása 2 a tengely körül NSábrán látható irányba. 5a nyíllal. Ennek eredményeként megkapjuk összetett rajz pont A(5.b ábra), amely két vetületből áll A 1 és A 2 pont A a tengelyre merőleges egyenes vonalon fekszik NS... Egyenes A 1 A 2 egy pont két vetületét összekötő ún kommunikációs vonal .

A kapott összetett rajz lesz megfordítható , vagyis e rajz szerint lehetséges az eredeti meghatározása, vagy ahogy mondani szokás, rekonstruálása. Valóban, figyelembe véve például a frontális vetületet A 1 pont Aés mélysége a rajzon f= Én A x A 2 I, rekonstruálhatja a lényeget A... Ehhez vissza kell állítania a rajz síkjára merőleges pontját A 1, és tegye félre a kívánt pont mélységét a rajz síkjából, majd a merőleges vége határozza meg a pont helyzetét A.

3. A komplex rajz kialakításának megfontolt alapelvét Monge óta széles körben használják az oktatási irodalomban. A műszaki gyakorlatban azonban nem szükséges meghatározni a megjelenített eredeti helyzetét a vetítési síkok rögzített rendszeréhez képest, ezért összetett rajz kialakításakor megtagadhatja a vetítési síkok rögzítését. Ennek alapja lehet az 1. § (2) bekezdésében megállapított 6. tulajdonság, miszerint az ábra vetülete nem változik a vetületek síkjának párhuzamos fordításakor.

Egy pont összetett rajzának kialakítása A a nem rögzített vetítési síkok esetében az ábrán látható. 6. Ebben az esetben a vetítési síkok 1 és 2 igazodik a rajz síkjához úgy, hogy a vetítési sík vetülete a síkokon 1 és 2 egy egyenesre feküdne (6b. ábra) . Ezt akkor is meg lehet tenni, ha bármely ponthalmaz bonyolult rajzát készítjük, mivel ezeknek a pontoknak az összes vetítési síkjának vetülete mindkét vetítési síkon párhuzamos lesz, és a síkok mindegyikének vetületei közötti távolságok 1 és 2 egyenlők egymással. A rajz olvasásának megkönnyítése érdekében a sík 2 az eredeti és a sík minden pontja alatt található 1 - az eredeti minden pontja mögött.

Kép a vetítési síkon 1 a műszaki gyakorlatban hívják elölnézet , vagy röviden, típus 1 , a leképezés a vetítési síkon 2 hívják felülnézet , vagy nézet 2 ... Az eredeti rekonstruálása komplex rajza szerint, nem rögzített vetítési síkokkal, elölnézete szerint történik 1 valamint az eredeti pontjainak rajzban mért mélységeit a tetszőleges helyzetben rögzített vetítési síkhoz képest 1 (6a. Ábra); felülnézetben ezt a síkot egy háromszög előjele fogja jelölni.

A rögzített vetületi síkokat, amelyekhez képest bármilyen mérést végeznek, a továbbiakban alapsíkoknak nevezzük.

Így a lényeg rekonstruálására Aösszetett rajza szerint (6.b ábra) vissza kell állítani a rajz síkjára merőleges pontját A elölnézetben, és tegye félre a rajta lévő mélységet a rajz síkjából f pont A az alapsíkból felülnézetben mérve, ebben a nézetben a háromszög jelzéssel (ennek az alapsíknak a felülnézetét mélységi referenciaalapnak nevezzük).

Ennek a merőlegesnek a vége határozza meg a pont helyzetét A a rajz síkjához képest. Mivel az alapsík helyzetét önkényesen választjuk meg, amikor az eredetit egy rögzítetlen vetítési síkokkal kialakított összetett rajzból rekonstruáljuk, annak helyzetét párhuzamos fordítás pontosságával határozzuk meg.

A pont a geometria egyik alapfogalma. A modern matematikában a pontokat más természetű elemeknek nevezzük, amelyek teret alkotnak, például az euklideszi térben egy pont n szám rendezett gyűjteménye.

A leíró geometriában egy pont helyét a térben a koordinátái alapján lehet meghatározni. Figyelemre méltó jellemzője, hogy egy pontnak a vetítési síktól való távolságát jellemző koordináta azonos nevű olyan tengelynél, amely e vetítési sík kialakításakor nincs jelen. Tehát egy pont távolságát P 2 -től az y koordináta határozza meg, és maga a P 2 vetületek homlok síkját az OX és az OZ tengelyek metszéspontja alkotja.

Így mindegyik három vetület a pontokat két koordináta jellemzi, nevük megfelel a megfelelő vetítési síkot alkotó tengelyek nevének: vízszintes - A 1 (X A; Y A); frontális - A 2 (X A; Z A); profil - A 3 (Y A; Z A).

A vetületek közötti koordináták fordítása kommunikációs vonalak segítségével történik. Tehát a P 1 P 2 vetületi síkok rendszerében a frontális és vízszintes vetületek közös x koordinátáját az O 2 tengelyre merőleges A 2 A 1 függőleges kapcsolat fordítja le.

Két adott vetületből összeállíthat egy pont vetületeit koordináták használatával vagy grafikusan. Grafikailag a profilvetítés úgy épül fel, hogy a Z paramétert az elülső vetületből kirajzolt vízszintes kommunikációs vonallal fordítja le, az Y paramétert pedig a vízszintes vetületről a k rajz - a felosztott tengely szögfelezőjének állandó vonala - segítségével továbbítja: Y 1 ОY 3, amelyen az OY 1 -re merőleges vízszintes vetületből húzott vízszintes kommunikációs vonal derékszögben megtört. Ebben az esetben a koordináták kezdetén egy négyzet alakul ki, amelynek oldala megegyezik az eredeti Y koordinátájával, ami biztosítja az Y koordináta átvitelét a vízszintes és a profilvetületek között. asztal A 3.1. És 3.2. Ábra általános algoritmusokat mutat be az A pontnak a P 1 P 2 P 3 vetületi síkból álló rendszer térbeli modelljében és a komplex rajzon lévő koordináták alapján történő létrehozására.

3.1. Táblázat

Algoritmus egy pont vizuális képének létrehozásához koordináták alapján
Verbális forma	Grafikus forma
1. Halasztja el az X, Y, es tengelyeken az A pont megfelelő koordinátáit. A x, A y, A z pontokat kapunk
2. Az А 1 vízszintes vetület az X és Y tengelyekkel párhuzamosan húzott A x és A y pontok közötti kommunikációs vonalak metszéspontjában található.
3. Az А 2 frontális vetület az X és Ζ tengelyekkel párhuzamosan húzott A x és A z pontok közötti kommunikációs vonalak metszéspontjában található.
4. Az А 3 profilvetület az Y és Ζ tengelyekkel párhuzamosan húzódó kommunikációs vonalak metszéspontjában található az A y és A z pontokból.
5. Az A pont az A 1, A 2 és A 3 pontokból húzott kommunikációs vonalak metszéspontjában található