Három elemből álló háromszög felépítése. Háromszög építése három elemből Háromszög építése három oldal felhasználásával

Osztály: 7

Az óra céljai:

• a tanult anyagot lehetőség szerint továbbadja a tanulóknak;
• fejleszti a gondolkodást, a memóriát, az iránytű szabad használatának képességét;
• igyekezzen növelni a tanulók aktivitását és önállóságát a feladatok elvégzésében.

Felszerelés:

• iskolai iránytű
• szögmérő,
• vonalzó,
• kártyák az önálló tanuláshoz.

AZ ÓRÁK ALATT

Az óra témája: "Az építkezés problémái."

Ma megtanuljuk, hogyan építsünk háromszögeket három adott elemből egy iránytű és egyengető segítségével.

Háromszög felépítéséhez először egy adott szakasznak megfelelő szakaszt és egy adott szöget kell felépítenie. Természetesen ezt megteheti osztásos vonalzóval és szögmérővel, de matematikában is tudni kell szerkesztéseket végezni körző és osztás nélküli vonalzó segítségével.

Minden építési feladat négy fő szakaszból áll:

• elemzés;
• épület;
• bizonyíték;
• tanulmány.

A probléma elemzése és tanulmányozása éppoly szükséges, mint maga az építkezés. Meg kell nézni, hogy a problémának mely esetekben van megoldása, és mely esetekben nincs megoldás.

1. Az adott szegmens felépítése.

2. Iránytű és vonalzó segítségével a megadott szöget beépítjük.

És most térjünk át a háromszögek három elem szerinti felépítésére.

3. Háromszög felépítése két oldalra és a köztük lévő szög.

3. számú séma.

Adott	Építéshez szükséges	Épület
1. Szerkessze meg az adott szöggel egyenlő A szöget. 2. A sarok egyik oldalán jelölje be a C pontot úgy, hogy az AC szakasz egyenlő legyen az adott b szakaszsal. 3. Jelölje be a B pontot a sarok másik oldalán úgy, hogy az AB szakasz egyenlő legyen az adott c szakaszlal. 4. Kösd össze vonalzóval a B és C pontot. Egy ACB háromszöget két oldallal és közöttük egy szöggel alkotnak.

Önálló munka a 3. sémához.

1.opció.

Szerkesszünk meg egy BCH háromszöget, ha BC = 3 cm, CH = 4 cm, C = 35º.

2. lehetőség.

Szerkesszünk meg egy SDE háromszöget, amelyben DS = 4 cm, DE = 5 cm, D = 110є.

Nyom. A háromszög megalkotása előtt egy háromszögről "szabadkézi" rajzot kell készíteni, amelyen az összes megadott elem látható.

4. Háromszög felépítése az oldalon és a vele szomszédos szögek.

Adott	Építéshez szükséges	Épület
1. Rajzoljon tetszőlegesen egy AB szakaszt, amely megegyezik az adott c szakaszsal. 2. Szerkessze meg a megadott A szöget. 3. Szerkessze meg a megadott B szöget. Az A és B szög két oldalának metszéspontja a C háromszög csúcsa. Szerkesszünk meg egy DAB háromszöget egy oldallal és két adott szöggel.

Önálló munka a 4. sémához.

1.opció

Szerkesszünk KMO-háromszöget, ha KO = 6 cm, K = 130º, O = 20º.

2. lehetőség

Szerkesszünk HRV háromszöget, ha C = 15º, D = 50º, SD = 3 cm.

5. Háromszög felépítése három oldalon.

Adott Bármely háromszög megalkotása után önállóan bizonyítsa be, hogy a kapott háromszög a kívánt háromszög, és ha lehetséges, végezzen vizsgálatot.

3. kép a "Triangle 2" előadásból geometria órákra a "háromszög" témában

Méretek: 720 x 540 pixel, formátum: jpg. Ha ingyenesen szeretne letölteni egy képet egy geometria leckéhez, kattintson a jobb gombbal a képre, majd kattintson a "Kép mentése másként..." gombra. A leckében a képek megjelenítéséhez ingyenesen letöltheti a teljes "Triangle 2.ppt" prezentációt az összes képpel egy zip archívumban. Archívum mérete - 16 KB.

Prezentáció letöltése

Háromszög

"Vektorok a térben" - Egyirányú vektorok. k (a+b) = ka + kb - 1. eloszlási törvény. a+b=b+a (elmozdulás törvénye). Egy vektor szorzata egy számmal. A vektor egy irányított szakasz. Vektorok a térben. Az együttirányú vektorok olyan vektorok, amelyeknek azonos az iránya. Ha a vektorok egyirányúak és hosszuk egyenlő, akkor ezeket a vektorokat egyenlőnek nevezzük.

"Vektorok közötti szög" - A vektorok koordinátái. Az irányvektor egyenes. Feladatok vizuális elemzése a tankönyvből. Koordinátarendszer bevezetése. Tekintsük a D1B és CB1 egyeneseket. Hogyan állapítható meg a pontok közötti távolság? Keresse meg a BD és CD1 egyenesek közötti szöget. Az AB és CD egyenesek közötti szög. Szög vektorok között. Hogyan találjuk meg egy szakasz felezőpontjának koordinátáit?

"Nagy matematikusok" - A Descartes által javasolt koordináta-rendszer kapta a nevét. Descartes kifejezte a lendület megmaradásának törvényét, megadta az erő impulzusának fogalmát. "Módszer" (vagy "Ephod") és "Szabályos hétszög". Leibniz Gottfried Wilhelm. Keldys Msztyiszlav Vsevolodovics. Isaac Newton. Szamoszi Pythagoras. Gauss 1799-ben doktorált a Helmstedti Egyetemen.

„A matematika mint tudomány" - „Számológép" verseny. A matematika és a történelem a tudás két elválaszthatatlan területe. Zsukovszkij Nyikolaj Jegorovics. Szobolev 1793. október 22-én született Nyizsnyij Novgorod tartomány. Lyubachevsky - a Moszkvai Egyetem és a császári professzor Szakiskola. Rebuszok. Leonard Euler. Számláló. Alexandrov szülei iskolai tanárok voltak.

"Háromszögek egyenlő háromszögekkel" - Minden háromszögnek három mediánja van. egyenlő oldalú és egyenlő szárú háromszög. Háromszög - a legegyszerűbb lapos alak. Háromszög. A háromszög magassága. A háromszögek egyenlőségének jelei. A háromszög tanulmányozása vezetett a trigonometria tudományához. Minden háromszögnek három magassága van. Egy háromszög csúcsából egyenesre húzott merőleges.

"Funkció szinusz" - Naplemente grafikonja. Dátum. Leírják a naplemente folyamatát trigonometrikus függvény sinus. Az átlagos naplemente 18 óra. Egy letéphető naptár segítségével könnyen megjelölhető a naplemente pillanata. Cél. Következtetések. Idő. Napnyugta. Vegyes trigonometria.

Összesen 42 előadás a témában

Bemutatunk egy oktatóvideót a következő témában: "Háromszög felépítése három elem alapján". Az építési probléma osztályból több példát is meg tud majd oldani. A tanár részletesen elemzi a háromszög három elem szerinti felépítésének problémáját, és felidézi a háromszögek egyenlőségére vonatkozó tételt is.

Ez a téma széles gyakorlati használat, ezért nézzünk meg néhány problémamegoldási módot. Emlékezzünk vissza, hogy minden építkezést kizárólag iránytű és vonalzó segítségével hajtanak végre.

1. példa:

Szerkesszünk háromszöget, amelynek két oldala és a közöttük lévő szög.

Adott: Tegyük fel, hogy az elemzett háromszög így néz ki

Rizs. 1.1. Az elemzett háromszög például 1

Hadd adott szegmensek c és a lesz, és a megadott szög lesz

Rizs. 1.2. Adott elemek például 1

Épület:

Először az 1-es sarkot kell félretenni

Rizs. 1.3. Késleltetett sarok 1, például 1

Ezután egy adott szög oldalain iránytűvel félreteszünk két adott oldalt: körzővel megmérjük az oldal hosszát aés helyezzük az iránytű hegyét az 1-es szög csúcsára, a másik részével pedig az 1-es szög oldalán egy bevágást készítünk. Val vel

Rizs. 1.4. Elhalasztott oldalak aés Val vel például 1

Ezután összekapcsoljuk a kapott bevágásokat, és megkapjuk a kívánt ABC háromszöget

Rizs. 1.5. Az ABC háromszög például 1

Ez a háromszög egyenlő lesz a várt háromszöggel? Így lesz, mert a kapott háromszög elemei (két oldal és a köztük lévő szög) rendre megegyezik a két oldallal és a feltételben megadott szöggel. Ezért a háromszögek egyenlőségének első tulajdonsága szerint - - a kívánt.

Az építkezés befejeződött.

Jegyzet:

Emlékezzünk vissza, hogyan lehet egy adott szöget félretenni.

2. példa

Tegyünk félre az adott sugárból az adott sugárral egyenlő szöget. Az A szög és az OM sugár adott. Épít .

Épület:

Rizs. 2.1. Feltétel például 2

1. Szerkesszünk kört Okr(A, r = AB). A B és C pontok az A szög oldalaival való metszéspontok

Rizs. 2.2. Megoldás például 2

1. Szerkesszünk kört Okr(D, r = CB). Az E és M pontok az A szög oldalaival való metszéspontok

Rizs. 2.3. Megoldás például 2

1. A MOE szög a kívánt, mivel .

Az építkezés befejeződött.

3. példa

Szerkesszünk egy ABC háromszöget adott oldallal és két szomszédos szöggel.

Az elemzett háromszög nézzen ki így:

Rizs. 3.1. Feltétel például 3

Ekkor a megadott szegmensek így néznek ki

Rizs. 3.2. Feltétel például 3

Épület:

Tegye félre a szöget a síkon

Rizs. 3.3. Megoldás a 3. példához

Az adott szög oldalán ábrázoljuk az oldal hosszát a

Rizs. 3.4. Megoldás a 3. példához

Ezután elhalasztjuk a szöget a C csúcstól. A γ és α szögek nem közös oldalai az A pontban metszik egymást

Rizs. 3.5. Megoldás a 3. példához

A megszerkesztett háromszög a kívánt? Így van, mivel a megszerkesztett háromszög oldala és két vele szomszédos szöge rendre egyenlő a feltételben megadott oldallal és a köztük lévő szöggel.

A háromszögek egyenlőségének második kritériuma megköveteli

Építés kész

4. példa

Szerkesszünk háromszöget 2 lábon

Az elemzett háromszög nézzen ki így

Rizs. 4.1. Feltétel például 4

Ismert elemek - lábak

Rizs. 4.2. Feltétel például 4

Ez a feladat abban különbözik az előzőektől, hogy az oldalak közötti szög alapértelmezés szerint meghatározható - 90 0

Épület:

Tegyél félre egy 90 0 -os szöget. Ezt pontosan ugyanúgy fogjuk megtenni, mint a 2. példában.

Rizs. 4.3. Megoldás a 4. példához

Ezután ennek a szögnek az oldalain félretesszük az oldalak hosszát aés b, a feltételben megadva

Rizs. 4.4. Megoldás a 4. példához

Ennek eredményeként a kapott háromszög a kívánt, mert a két oldala és a köztük lévő szög rendre megegyezik a két oldallal és a közöttük lévő szöggel, a feltételben megadott

Vegye figyelembe, hogy a 90 0 szöget elhalaszthatja két merőleges egyenes megszerkesztésével. Hogyan lehet ezt a feladatot elvégezni, lásd további példa

További példa

Állítsuk vissza az A ponton átmenő p egyenes merőlegesét,

P egyenes és ezen az egyenesen fekvő A pont

Rizs. 5.1. A további példa feltétele

Épület:

Először készítsünk egy tetszőleges sugarú kört, amelynek középpontja az A pontban van

Rizs. 5.2. Megoldás további példára

Ez a kör metszi az egyenest R a K és E pontokban. Ezután megszerkesztünk két Okr(K, R = KE), Okr(E, R = KE) kört. Ezek a körök a C és B pontokban metszik egymást. Az SV szakasz a kívánt,

Rizs. 5.3. Válasz a további példára

1. Egyetlen digitális gyűjtemény oktatási források ().
2. Matek tanár ().

1. No. 285, 288. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Yudina I. I. edited by Tikhonov A. N. Geometry grades 7-9. M.: Felvilágosodás. 2010
2. Szerkesszünk egyenlő szárú háromszöget az oldalra, és az alappal szemközti szöget!
3. Épít derékszögű háromszög hipotenúza és hegyesszög
4. Szerkesszünk háromszöget az adott szög csúcsából húzott szöggel, magassággal és felezővel!

Lényege, hogy bármilyen geometriai objektumot bármilyen elegendő kezdeti feltételre építsenek, csak egy iránytű és egy vonalzó van kéznél. Fontolja meg az ilyen feladatok végrehajtásának általános sémáját:

Feladatelemzés.

Ez a rész magában foglalja az építendő elemek és a probléma kezdeti feltételei közötti kapcsolat létrehozását. Ennek az elemnek a kitöltése után tervet kell készítenünk a problémánk megoldására.

Építkezés.

Itt a fentebb elkészített terv szerint építünk.

Bizonyíték.

Itt bebizonyítjuk, hogy az általunk megszerkesztett ábra valóban kielégíti a probléma kezdeti feltételeit.

Tanulmány.

Itt megtudjuk, hogy a problémának mely adatok alatt van egy megoldása, melyik alatt van több, és melyik alatt nincs.

Ezután megvizsgáljuk a háromszögek felépítésének problémáit különböző három elemhez. Itt nem veszünk figyelembe olyan elemi konstrukciókat, mint a szegmens, egy szög stb. Mostanra már rendelkeznie kell ezekkel a képességekkel.

Háromszög felépítése adott két oldallal és a köztük lévő szöggel

1. példa

Szerkesszünk háromszöget, ha megadunk két oldalt és egy szöget ezek között.

Elemzés.

Adjuk meg az $AB$ és $AC$ szakaszokat és egy $α$ szöget. Meg kell alkotnunk egy $ABC$ háromszöget, amelynek szöge $C$ egyenlő $α$.

Készítsünk építési tervet:

1. Ha a szög egyik oldalának $AB$-t vesszük, abból a $α$ szöggel megegyező $BAM$ szöget félretesszük.
2. Az $AM$ egyenesen ábrázoljuk az $AC$ szakaszt.
3. Kösd össze a $B$ és a $C$ pontokat.

Építkezés.

Készítsünk rajzot a fent elkészített terv szerint (1. ábra).

Bizonyíték.

Tanulmány.

Mivel egy háromszög szögeinek összege $180^\circ$. Ez azt jelenti, hogy ha az α szög nagyobb vagy egyenlő, mint $180^\circ$, akkor a feladatnak nem lesz megoldása.

Ellenkező esetben van megoldás. Mivel az $a$ egyenes tetszőleges egyenes, végtelen számú ilyen háromszög lesz. De mivel az első jelben mindegyik egyenlő, feltételezzük, hogy a probléma megoldása egyedi.

Három oldalú háromszög építése

2. példa

Szerkesszünk háromszöget, ha megadjuk a három oldalát.

Elemzés.

Adjuk meg a $AB$ és $AC$ és $BC$ szegmenseket. Meg kell építeni egy $ABC$ háromszöget.

Készítsünk építési tervet:

1. Rajzolj egy $a$ vonalat, és építs rá egy $AB$ szakaszt.
2. Készítsünk $2$ köröket: az elsőt $A$ középponttal és $AC$ sugarú, a másodikat pedig $B$ középponttal és $BC$ sugarú körrel.
3. Kösd össze a körök egyik metszéspontját (ami a $C$ pont lesz) a $A$ és $B$ pontokkal.

Építkezés.

Készítsünk rajzot a fent elkészített terv szerint (2. ábra).

Bizonyíték.

A konstrukcióból látható, hogy minden kezdeti feltétel teljesül.

Tanulmány.

A háromszög egyenlőtlenségből tudjuk, hogy bármely oldalnak kisebbnek kell lennie a másik kettő összegénél. Ezért, ha egy ilyen egyenlőtlenség nem teljesül az eredeti három szegmensre, a problémának nem lesz megoldása.

Mivel a konstrukcióból származó köröknek két metszéspontja van, két ilyen háromszöget is megszerkeszthetünk. De mivel a harmadik kritériumban egyenlőek egymással, feltételezzük, hogy ennek a problémának a megoldása egyedi.

Háromszög felépítése adott oldallal és két szomszédos szöggel

3. példa

Szerkesszünk háromszöget, ha megadjuk az egyik oldalt és a vele szomszédos $α$ és $β$ szögeket.

Elemzés.

Adjunk meg egy $BC$ szakaszt és $α$ és $β$ szögeket. Meg kell alkotnunk egy $ABC$ háromszöget, ahol $∠B=α$ és $∠C=β$.

Készítsünk építési tervet:

1. Rajzolj egy $a$ vonalat, és építs rá egy $BC$ szakaszt.
2. Szerkesszünk egy $∠ K=α$ szöget a $B$ csúcsban a $BC$ oldalra.
3. Szerkesszünk egy $∠ M=β$ szöget a $C$ csúcsban a $BC$ oldalra.
4. Kösd össze a $∠ K$ és $∠ M$ sugarak metszéspontját (ez lesz a $A$ pont) a $C$ és $B$ pontokkal,

Építkezés.

Készítsünk rajzot a fent elkészített terv szerint (3. ábra).

Bizonyíték.

A konstrukcióból látható, hogy minden kezdeti feltétel teljesül.

Tanulmány.

Mivel egy háromszög szögeinek összege $180^\circ$, akkor ha $α+β≥180^\circ$ a feladatnak nem lesz megoldása.

Ellenkező esetben van megoldás. Mivel két oldalról tudunk szöget építeni, ezért két ilyen háromszöget is építhetünk. De mivel a második kritériumban egyenlőek egymással, feltételezzük, hogy ennek a problémának a megoldása egyedi.