Hogyan lehet megtalálni a távolságot a koordinátaegyenes pontjai között. Hogyan találjuk meg a távolságot a koordinátasíkon. Pont távolság keresése, példák és megoldások

Tanterv.

Egy egyenes két pontja közötti távolság.

Derékszögű (derékszögű) koordinátarendszer.

Egy egyenes két pontja közötti távolság.

3. tétel. Ha A(x) és B(y) bármely két pont, akkor d - a köztük lévő távolságot a következő képlettel számítjuk ki: d = lу - xl.

Bizonyíték. A 2. Tétel szerint AB = y - x. De az A és B pontok távolsága megegyezik az AB szakasz hosszával, azok. az AB vektor hossza. Ezért d \u003d lABl \u003d lu-xl.

Mivel az y-x és x-y számokat modulo vesszük, így d =lx-ul írhatunk. Tehát a koordinátavonal pontjai közötti távolság meghatározásához meg kell találni a koordináták közötti különbség modulusát.

4. példa. Adott A(2) és B(-6) pontok között keressük meg a köztük lévő távolságot.

Megoldás. Helyettesítse be a képletben az x=2 és y=-6 helyett. Azt kapjuk, hogy AB=lу-хl=l-6-2l=l-8l=8.

5. példa Szerkesszünk egy pontot, amely szimmetrikus az M(4) pontra az origó szempontjából.

Megoldás. Mivel az M pontból az O pontba 4 szimpla szakasz, jobbra félretéve, majd egy vele szimmetrikus pont felépítéséhez az O pontból balra halasztunk 4 egyes szakaszt, megkapjuk az M pontot "( -4).

6. példa Szerkesszünk meg egy C(x) pontot, amely szimmetrikus az A(-4) pontra a B(2) ponthoz képest.

Megoldás. Jegyezze fel az A(-4) és B(2) pontokat a számegyenesen. A pontok közötti távolságot a 3. Tétel szerint találjuk meg, 6-ot kapunk. Ekkor a B és C pont távolsága is egyenlő legyen 6-tal. B pontból 6 egységnyi szakaszt teszünk jobbra, megkapjuk a C pontot (8). .

Feladatok. 1) Határozza meg az A és B pontok távolságát: a) A(3) és B(11), b) A(5) és B(2), c) A(-1) és B(3), d) A (-5) és B (-3), e) A (-1) és B (3), (Válasz: a) 8, b) 3, c) 4, d) 2, e) 2).

2) Szerkesszünk meg egy C(x) pontot, amely szimmetrikus az A(-5) pontra a B(-1) ponthoz képest! (Válasz: C(3)).

Derékszögű (derékszögű) koordinátarendszer.

Két egymásra merőleges Ox és Oy tengely, amelyeknek közös O kezdőpontja és ugyanaz a skálaegység. négyszögletes(vagy kartéziánus) koordinátarendszer a síkon.

Az Ox tengelyt ún x tengely, és az y tengely y tengely. A tengelyek metszéspontjának O pontját ún eredet. Azt a síkot, amelyben az Ox és az Oy tengelyek találhatók, koordinátasíknak nevezzük, és Oxy-nak nevezzük.

Legyen M a sík tetszőleges pontja. Emeljük le belőle az MA és MB merőlegeseket az Ox és Oy tengelyekre. Az egyik merőleges A és B metszéspontját a tengelyekkel nevezzük előrejelzések pont M a koordinátatengelyen.

Az A és B pont bizonyos x és y számoknak felel meg – koordinátáik az Ox és Oy tengelyeken. Az x számot hívják abszcissza pont M, y szám - ő ordináta.

Azt, hogy az M pontnak x és y koordinátája van, szimbolikusan a következőképpen jelöljük: M (x, y). Ebben az esetben az első zárójelben az abszcisszát, a második pedig az ordinátát jelzi. Az origónak vannak koordinátái (0,0).

Így a választott koordinátarendszerrel a sík minden M pontja egy számpárnak (x, y) felel meg - ennek derékszögű koordinátái, és fordítva, minden számpár (x, y) megfelel, sőt, egy, Az Oxy-síkon lévő M pont úgy, hogy az abszcissza x, az ordinátája pedig y.

Tehát a síkon egy téglalap alakú koordinátarendszer egy az egyhez megfeleltetést hoz létre a sík összes pontjának halmaza és a számpárok halmaza között, ami lehetővé teszi a megoldás során geometriai problémák algebrai módszereket alkalmaz.

A koordinátatengelyek négy részre osztják a síkot, ezeket nevezzük negyedek, negyedek vagy koordinátaszögekés az ábrán látható módon (hiperhivatkozás) I, II, III, IV római számokkal számozva.

Az ábrán a pontok elhelyezkedésétől függően a koordináták előjelei is láthatók. (például az első negyedévben mindkét koordináta pozitív).

7. példaÉpítési pontok: A(3;5), B(-3;2), C(2;-4), D (-5;-1).

Megoldás. Szerkesszük meg az A(3;5) pontot. Mindenekelőtt egy téglalap alakú koordinátarendszert vezetünk be. Ezután az abszcissza tengely mentén jobbra félreteszünk 3, az ordináta tengely mentén 5 léptékegységet felfelé, és a végső osztási pontokon keresztül a koordinátatengelyekkel párhuzamos egyeneseket húzunk. Ezen egyenesek metszéspontja a szükséges A(3;5) pont. A többi pont ugyanígy van megszerkesztve (lásd a hiperhivatkozás ábráját).

Feladatok.

Az A(2;-4) pont megrajzolása nélkül derítse ki, hogy melyik negyedhez tartozik.

Milyen negyedekben lehet egy pont, ha az ordinátája pozitív?

Egy -5 koordinátájú pontot veszünk az Oy tengelyen. Melyek a koordinátái a gépen? (válasz: mivel a pont az Oy tengelyen fekszik, akkor az abszcisszája 0, az ordináta feltétellel van megadva, tehát a pont koordinátái (0; -5)).

Pontokat adnak: a) A(2;3), b) B(-3;2), c) C(-1;-1), d) D(x;y). Keresse meg azoknak a pontoknak a koordinátáit, amelyek szimmetrikusak az x tengely körül! Rajzolja le ezeket a pontokat. (válasz: a) (2; -3), b) (-3; -2), c) (-1; 1), d) (x; -y)).

Pontokat adnak: a) A(-1;2), b) B(3;-1), c) C(-2;-2), d) D(x;y). Keresse meg azoknak a pontoknak a koordinátáit, amelyek szimmetrikusak az y tengely körül! Rajzolja le ezeket a pontokat. (válasz: a) (1; 2), b) (-3; -1), c) (2; -2), d) (-x; y)).

Pontokat adnak: a) A(3;3), b) B(2;-4), c) C(-2;1), d) D(x;y). Keresse meg azoknak a pontoknak a koordinátáit, amelyek szimmetrikusak az origó körül! Rajzolja le ezeket a pontokat. (válasz: a) (-3; -3), b) (-2; 4), c) (2; -1), d) (-x;-y)).

Adott egy M(3;-1) pont. Keresse meg a vele szimmetrikus pontok koordinátáit az Ox tengely, az Oy tengely és az origó körül. Ábrázolja az összes pontot. (válasz: (3;1), (-3;-1), (-3;1)).

Határozza meg, mely negyedekben helyezhető el az M (x; y) pont, ha: a) xy> 0, b) xy< 0, в) х-у=0, г) х+у=0. (ответ: а) в первой и третьей, б)во второй и четвертой, в) в первой и третьей, г) во второй и четвертой).

Határozza meg a csúcskoordinátákat egyenlő oldalú háromszög 10-zel egyenlő oldallal, az első negyedben található, ha az egyik csúcsa egybeesik az O origóval, és a háromszög alapja az Ox tengelyen található. Készítsen rajzot. (válasz: (0;0), (10;0), (5;5v3)).

A koordináta módszerrel határozza meg az ABCDEF szabályos hatszög összes csúcsának koordinátáját. (válasz: A (0;0), B (1;0), C (1,5;v3/2), D (1;v3), E (0;v3), F (-0,5;v3 /2). Jelzés: vegyük az A pontot a koordináták origójaként, irányítsuk az abszcissza tengelyt A-ból B-be, léptékegységnek az AB oldal hosszát vegyük. A hatszög nagy átlóit célszerű megrajzolni.)

A koordinátavonal pontjai közötti távolság - 6 osztály.

A koordinátaegyenes pontjai közötti távolság meghatározásának képlete

Algoritmus egy pont koordinátáinak megtalálására - egy szakasz közepe

Köszönet az internetes kollégáknak, akiknek anyagát felhasználtam ebben az előadásban!

Letöltés:

Előnézet:

Élvezni előnézet prezentációkat, hozzon létre egy Google-fiókot (fiókot), és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diák feliratai:

A koordinátaegyenes pontjai közötti távolság x 0 1 A B AB \u003d ρ (A, B)

Koordinátaegyenes pontjainak távolsága A lecke célja: - Módot (képletet, szabályt) találni egy koordinátaegyenes pontjai közötti távolság megtalálására. - Tanuld meg megtalálni a koordinátavonal pontjai közötti távolságot a talált szabály segítségével.

1. Szóbeli számolás 15 -22 +8 -31 +43 -27 -14

2. Szóban oldja meg a feladatot a koordinátasor segítségével: hány egész szám van a következő számok között: a) - 8,9 és 2 b) - 10,4 és - 3,7 c) - 1,2 és 4,6? a) 10 b) 8 c) 6

0 1 2 7 pozitív számok -1 -5 negatív számok Távolság otthontól a stadionig 6 Távolság otthontól az iskoláig 6 Koordinátavonal

0 1 2 7 -1 -5 Távolság a stadiontól az otthonig 6 Távolság az iskolától az otthonig 6 A távolság meghatározása a koordinátaegyenesen ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 A pontok távolsága ρ (rho) betűvel jelöljük

0 1 2 7 -1 -5 Távolság a stadiontól az otthonig 6 Távolság az iskolától az otthonig 6 A távolság meghatározása a koordinátaegyenesen ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 ρ (a; b) = ? | a-b |

Az a és b pontok távolsága megegyezik e pontok koordinátái közötti különbség modulusával. ρ (a; b)= | a-b | Egy koordinátaegyenes pontjai közötti távolság

Valós szám modulusának geometriai jelentése a b a a=b b x x x Két pont távolsága

0 1 2 7 -1 -5 Keresse meg a koordinátaegyenes pontjai közötti távolságokat - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (-6 ; 2)= ρ (6 ; 3)= ρ (0 ; 7) = ρ (1 ; -4) = 8 3 7 5

0 1 2 7 -1 -5 Keresse meg a koordinátaegyenes pontjainak távolságát - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (2 ; -6)= ρ (3 ; 6)= ρ (7 ; 0) = ρ (-4 ; 1) = 8 3 7 5

Kimenet: kifejezésértékek| a-b | és | b-a | egyenlőek a és b = bármely értékére

–16 –2 0 –3 +8 0 +4 +17 0 ρ(–3; 8) = 11; |(–3) – (+8)| = 11; |(+8) – (–3)| = 11. ρ(–16; –2) = 14; |(–16) – (–2)| = 14; |(–2) – (–16)| = 14. ρ(4; 17) = 13; |(+4) – (+17)| = 13; |(+17) – (+4)| = 13. A koordináta egyenes pontjai közötti távolság

Határozza meg ρ(x; y) ha: 1) x = -14, y = -23; ρ(x; y)=| x – y |=|–14–(– 23)|=|–14+23|=| 9 |=9 2) x = 5,9, y = -6,8; ρ(x; y)=|5, 9 –(– 6,8)|=|5,9+6,8|=| 12,7 |=12,7

Folytassa az 1. mondatot. Egy koordinátaegyenes egy olyan egyenes, ahol ... 2. Két pont távolsága ... 3. Az ellentétes számok számok, ... 4. Az X szám modulusát ... 5-nek nevezzük. - Hasonlítsa össze a kifejezések értékét a - b V b - a következtetés … - Hasonlítsa össze a kifejezések értékét | a-b | v | b-a | c következtetés...

Vintik és Shpuntik a koordináta-nyaláb mentén sétálnak. A csavar a B(236), a Shpuntik a W(193) pontban van. Milyen messze van egymástól a csavar és a Shpuntik? ρ(B, W) = 43

Keresse meg az A (0), B (1) A (2), B (5) A (0), B (- 3) A (- 10), B (1) AB \u003d 1 AB \u003d pontok közötti távolságot 3 AB \u003d 3 AB = 11

Határozza meg az A (- 3,5), B (1,4) K (1,8), B (4,3) A (- 10), C (3) pontok közötti távolságot.

Ellenőrizze az AB = KV = AC =

C (- 5) C (- 3) Keresse meg a pont koordinátáját - a BA szakasz közepe

Az A (–3,25) és B (2,65) pontok a koordinátaegyenesen vannak jelölve. Keresse meg az O pont koordinátáját - az AB szakasz felezőpontját. Megoldás: 1) ρ(А;В)= |–3,25 – 2,65| = |–5,9| \u003d 5,9 2) 5,9: 2 \u003d 2,95 3) -3,25 + 2,95 \u003d - 0,3 vagy 2,65 - 2,95 \u003d - 0,3 Válasz: O (-0, 3)

A С(–5.17) és D(2.33) pontok a koordinátaegyenesen vannak jelölve. Keresse meg az A pont koordinátáját - a CD szakasz felezőpontját. Megoldás: 1) ρ(С; D)= |– 5 , 17 – 2, 33 | = |– 7 , 5 | \u003d 7, 5 2) 7, 5: 2 \u003d 3, 7 5 3) - 5, 17 + 3, 7 5 \u003d - 1, 42 vagy 2, 33 - 3, 7 5 \u003d - 1, 4 Válasz: A (-1, 42)

Következtetés: Algoritmus a pont koordinátájának megtalálására - az adott szakasz közepe: 1. Határozza meg a pontok közötti távolságot - az adott szakasz végei = 2. Az eredményt -1 osszuk el 2-vel (az érték fele) = c 3. Adja hozzá a-2 eredményt az a koordinátához, vagy vonja ki az eredményt-2 az a + c vagy - c koordinátából 4. Az eredmény-3 a pont koordinátája - az adott szakasz közepe

Tankönyvi munka: §19, p.112, A. No. 573, 575 B. No. 578, 580 Házi feladat: §19, p. 112, A. No. 574, 576, V. No. 579, 581 felkészülni a CR " Racionális számok összeadása és kivonása. A koordinátavonal pontjai közötti távolság "

Ma megtanultam… Érdekes volt… rájöttem, hogy… most már… Megtanultam… Sikerült… Megpróbálom… Meglepődtem… Azt akartam…

3. lecke

TÉMA: Egy koordinátaegyenes pontjai közötti távolság

A pedagógus tevékenységének célja: teremtsen feltételeket a koordinátaegyenes pontjai közötti távolság megtalálásához szükséges készségek elsajátításához, a különbség modulusának, a szakasz közepének koordinátáinak kiszámításához.

A téma tanulmányozásának tervezett eredményei:

Személyes: érdeklődést mutat a tantárgy tanulása iránt.

Tantárgy: képesek megtalálni a koordinátaegyenes pontjainak távolságát, kiszámítva a különbség modulusát, a szakasz közepének koordinátáit.

A téma tanulmányozásának meta-tantárgyi eredményei (univerzális tanulási tevékenységek):

kognitív: a problémák megoldásának különféle módjaira összpontosítani; képesek összefoglalni és rendszerezni az információkat;

szabályozó: figyelembe veszi a szabályt a megoldási mód tervezésénél és ellenőrzésénél;

kommunikatív: mérlegelje a különböző véleményeket, és törekedjen a különböző álláspontok összehangolására az együttműködésben.

Lecke script.

én .org pillanat.
Helló srácok. Ma meglátogatjuk Köszöntsük őket!

Ülj le.

Nincs tipikus osztályunk. Az ismeretek általánosításának lecke. Meg kell mutatnunk, mit tanultunk, mit tanultunk.

Milyen témán dolgoztunk mostanában? (összehasonlítás, racionális számok összeadása)

A lecke epigráfja ezeket a szavakat vettem : Ma a tudományért indulunk útra

Vegyük segítségül a fantáziát

Nem térünk le az egyenes útról

És hogy gyorsabban elérjük céljainkat

Fel kell mennünk a lépcsőn!

2. Az ismeretek felfrissítése .

Feladat "Létra".

Változatos munka, ellenőrzés és önértékelés

3 Szép munka, tovább haladunk a tudásért.Ellenőrizzük a házi feladatunkat.

1. Határozza meg a távolságot a koordináta egyenes pontjai között: D / Z

a) A(-4) és B(-6); b) A(5) és B(-7); c) A(3) és B(-18).

MEGOLDÁS: a) AB = |-6-(-4) |= |-2|=2

b) AB =|-7-5|=12

c) AB = |-18-3 |= 21

2. Keresse meg a ponttól távoli pontok koordinátáit:

a) A(-8) 5-tel; b) B(6) -2,7; c) C(4) -3.2

Megoldás: a) -8+5=-3 A 1 (-3) és -8-5=-13 A 2 (-13)

b) 6 + (-2,7) \u003d 3,3 V 1 (3,3) és 6-(-2,7)=8,7 V 2 (8,7)

c) 4+(-3,2) = 0,8 VAL VEL 1 (0,8) 4-(-3,2) = 7,2 VAL VEL 2 (7,2)

3) Keresse meg a C pont koordinátáját, a szakasz közepét, ha:

a) A(-12) B(1) b) A(-7) és B(9) c) A(16) és B (-8)

MEGOLDÁS:

12+1=-11 B) -7+9 =2 C) 16+(-8) =8

11: 2=-5,5 2:2=1 8:2 =4

С(-5,5) С(1) С(4)

Van egy szabvány az asztalokon házi feladat. Ellenőrizze és értékelje az önértékelő lapot.

4 . Blitz – Szavazás :

1. Mi az a koordinátaegyenes?

2. Milyen szabályokat ismer a racionális számok összehasonlítására?

3.Mekkora egy szám modulusa?

4. Hogyan adjunk össze két azonos előjelű számot?

5. Hogyan adjunk össze két különböző előjelű számot?

6. Hogyan határozható meg a koordináta egyenes pontjai közötti távolság?

Nos, most megmutatjuk, hogyan tudjuk a gyakorlatban alkalmazni tudásunkat.

5. Hibák javítása

12+4 =-16 -12+(-18) =6 9-14=5

16 +(-10)=6 30 +(-10) =-20 5 –(-3)=2

6 –(-5) =11 -20 -14 =-34 -2 +7=9

11-28 =-39 -34 -5 =-29 9 -13=22

Végezzen öntesztet.

12+4 =--8 -12+(-18) =30 9-14= -5

16 +(-10)=-26 30 +(-10) =20 5 –(-3)=8

26 –(-5) =-21 -20 -14 =-34 -2 +7=5

11-28 =--17 -34 -5 =-41 9 -13=-4

6. Határozza meg a pontok közötti távolságot: és keresse meg a szakasz közepét (opciók szerint)

(füzetcsere és közös ellenőrzés.)

7. Nos, most pihenünk. A szemünknek pihennie kell

8. Önálló munka (füzetben) osztályozás.

1. lehetőség 2. lehetőség

1,5-4,6 0,8 -1,2

-2,8 +3,8 4-9,4

0,45 -1 -4,3 +(-1,2) (9. dia)

Cél: ellenőrizze az összeadás törvényeinek alkalmazási képességét a transzformációs kifejezésekre; kognitív érdeklődés, önállóság fejlesztése; kitartást és kitartást neveljen a cél elérése érdekében.




Keresse meg a kifejezés értékét, és az eredménynek megfelelően színezze ki a gnómot a táblázatnak megfelelően. (a gnómmal ellátott kártya talizmánként a diákoknál marad)

Jó volt fiúk!

Elvégezted a feladatokat

És ragyogott a tudástól.

És a tanulás varázslatos kulcsa -

Kitartásod és türelmed!

Ebben a cikkben megvizsgáljuk, hogyan határozható meg egy pont és egy pont távolsága elméletileg és konkrét feladatok példáján. Kezdjük néhány meghatározással.

1. definíció

Pontok közötti távolság- ez az őket összekötő szakasz hossza a meglévő léptékben. A skálát be kell állítani, hogy legyen egy hosszegység a méréshez. Ezért a pontok közötti távolság megállapításának problémáját alapvetően úgy oldjuk meg, hogy koordinátáikat a koordinátaegyenesben, a koordinátasíkban vagy a háromdimenziós térben használjuk.

Kiindulási adatok: O x koordinátaegyenes és egy tetszőleges, rajta fekvő A pont. Az egyenes bármely pontjában van egy valós szám: legyen az A pont egy bizonyos szám xA, ez az A pont koordinátája.

Általánosságban elmondhatjuk, hogy egy adott szakasz hosszának becslése egy adott skálán a hosszegységnek vett szakaszhoz viszonyítva történik.

Ha az A pont egy egész valós számnak felel meg, az O ponttól egy egyenes vonal mentén lévő pontig egymás után félretettünk O A szakaszokat - hosszegységeket, akkor az O A szakasz hosszát a függőben lévő egyes szakaszok teljes számából határozhatjuk meg.

Például az A pont a 3-as számnak felel meg - ahhoz, hogy O pontból eljussunk, három egységszegmenst kell félretenni. Ha az A pontnak 4 koordinátája van egyedi szegmensek hasonló módon, de más, negatív irányban rakódnak le. Így az első esetben az O A távolság 3; a második esetben O A \u003d 4.

Ha az A pontnak racionális szám a koordinátája, akkor az origóból (O pont) egy egész számú egységnyi szakaszt félreteszünk, majd annak szükséges részét. De geometriailag nem mindig lehet mérést végezni. Például nehéznek tűnik félretenni a 4 111 koordináta közvetlen törtet.

A fenti módon teljesen lehetetlen egy irracionális számot egyenesen elhalasztani. Például amikor az A pont koordinátája 11 . Ebben az esetben át lehet térni az absztrakcióra: ha az A pont adott koordinátája nagyobb, mint nulla, akkor O A \u003d x A (a számot távolságnak vesszük); ha a koordináta kisebb, mint nulla, akkor O A = - x A . Általában ezek az állítások igazak bármely x A valós számra.

Összegezve: az origó és a pont távolsága, amely egy valós számnak felel meg a koordináta egyenesen, egyenlő:

• 0, ha a pont megegyezik az origóval;

• x A ha x A > 0 ;

• - x A, ha x A< 0 .

Ebben az esetben nyilvánvaló, hogy magának a szakasznak a hossza nem lehet negatív, ezért a modulus előjel segítségével a koordinátával felírjuk az O pont és az A pont távolságát. x A: O A = x A

A helyes állítás a következő lenne: az egyik ponttól a másikig mért távolság egyenlő lesz a koordináta-különbség modulusával. Azok. olyan A és B pontok esetében, amelyek bármely helyen ugyanazon a koordinátaegyenesen helyezkednek el, és rendelkeznek a koordinátákkal x Aés x B: A B = x B - x A.

Kiindulási adatok: O x y téglalap alakú koordinátarendszer síkon fekvő A és B pontjai megadott koordinátákkal: A (x A , y A) és B (x B , y B) .

Rajzoljunk merőlegeseket az O x és O y koordinátatengelyekre az A és B pontokon keresztül, és ennek eredményeként kapjuk meg a vetületi pontokat: A x , A y , B x , B y . Az A és B pont elhelyezkedése alapján a következő lehetőségek lehetségesek:

Ha az A és B pont egybeesik, akkor a köztük lévő távolság nulla;

Ha az A és B pont az O x tengelyre merőleges egyenesen (abszcissza tengely) fekszik, akkor a és pontok egybeesnek, és | A B | = | A y B y | . Mivel a pontok távolsága egyenlő a koordinátáik különbségének modulusával, akkor A y B y = y B - y A , és ezért A B = A y B y = y B - y A .

Ha az A és B pont az O y tengelyre (y tengelyre) merőleges egyenesen fekszik - az előző bekezdéshez hasonlóan: A B = A x B x = x B - x A

Ha az A és B pontok nem az egyik koordinátatengelyre merőleges egyenesen fekszenek, akkor a köztük lévő távolságot a számítási képlet levezetésével határozzuk meg:

Látjuk, hogy az A B C háromszög szerkezetileg derékszögű. Ebben az esetben A C = A x B x és B C = A y B y. A Pitagorasz-tétel segítségével összeállítjuk az egyenlőséget: AB 2 = AC 2 + BC 2 ⇔ AB 2 = A x B x 2 + A y B y 2, majd átalakítjuk: AB = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

A kapott eredményből vonjunk le egy következtetést: az A pont és a B pont távolságát a síkon a képlet segítségével, ezen pontok koordinátáinak felhasználásával határozzuk meg.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Az így kapott képlet megerősíti a korábban kialakított állításokat a pontok vagy helyzetek egybeesésének eseteire, amikor a pontok a tengelyekre merőleges egyeneseken fekszenek. Tehát az A és B pont egybeesése esetén igaz lesz az egyenlőség: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Abban a helyzetben, amikor az A és B pont az x tengelyre merőleges egyenesen fekszik:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Abban az esetben, ha az A és B pont az y tengelyre merőleges egyenesen fekszik:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Kiindulási adatok: O x y z téglalap alakú koordinátarendszer, amelyen tetszőleges pontok találhatók adott A (x A , y A , z A) és B (x B , y B , z B) koordinátákkal. Meg kell határozni e pontok közötti távolságot.

Tekintsük azt az általános esetet, amikor az A és B pont nem az egyik koordinátasíkkal párhuzamos síkban van. Rajzolja át a koordinátatengelyekre merőleges A és B pontokat, és kapja meg a megfelelő vetítési pontokat: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Az A és B pont közötti távolság a kapott doboz átlója. Ennek a doboznak a mérésének felépítése szerint: A x B x , A y B y és A z B z

A geometria során ismeretes, hogy a paralelepipedon átlójának négyzete egyenlő a méretei négyzeteinek összegével. Ezen állítás alapján megkapjuk az egyenlőséget: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

A korábban levont következtetések felhasználásával a következőket írjuk:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Alakítsuk át a kifejezést:

AB 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Végső képlet a térben lévő pontok távolságának meghatározásáraígy fog kinézni:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

A kapott képlet azokra az esetekre is érvényes, amikor:

A pontok egyeznek;

Az egyiken fekszenek koordináta tengely vagy az egyik koordinátatengellyel párhuzamos egyenes.

Példák a pontok közötti távolság megállapítására szolgáló feladatok megoldására

1. példa

Kiindulási adatok: adott A (1 - 2) és B (11 + 2) koordinátákkal egy koordinátaegyenes és a rajta fekvő pontok. Meg kell találni az O referenciapont és az A pont, valamint az A és B pontok közötti távolságot.

Megoldás

1. A referenciapont és a pont távolsága megegyezik a pont koordinátájának moduljával, rendre O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
2. Az A és B pontok közötti távolság a pontok koordinátái közötti különbség modulusa: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Válasz: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

2. példa

Kiindulási adatok: adott egy téglalap alakú koordinátarendszer és két azon fekvő pont A (1 , - 1) és B (λ + 1 , 3). λ egy valós szám. Meg kell találni ennek a számnak az összes értékét, amelynél az A B távolság 5 lesz.

Megoldás

Az A és B pontok közötti távolság meghatározásához az A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 képletet kell használni.

A koordináták valós értékeit behelyettesítve a következőt kapjuk: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

És használjuk a meglévő feltételt, hogy A B = 5, és akkor az egyenlőség igaz lesz:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Válasz: A B \u003d 5, ha λ \u003d ± 3.

3. példa

Kiinduló adatok: adott háromdimenziós tér egy téglalap alakú O x y z koordinátarendszerben és a benne fekvő A (1 , 2 , 3) ​​és B - 7 , - 2 , 4 pontokkal.

Megoldás

A feladat megoldásához az A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 képletet használjuk

A valós értékeket behelyettesítve a következőt kapjuk: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Válasz: | A B | = 9

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt