Függvény y x cím. Funkciók és grafikák. Hogyan építsünk koordináta tengelyeket

1. Frakcionális lineáris funkció és annak ütemezése

Az y \u003d p (x) / q (x) forma funkciója, ahol p (x) és q (x) polinomok, úgynevezett frakcionális racionális funkció.

A racionális számok fogalmával valószínűleg tudod. Hasonlóképpen rational funkciók - Ezek olyan funkciók, amelyek magán két polinomként képviselhetők.

Ha egy frakcionális racionális funkció egy privát két lineáris funkció - az első fokú polinomok, azaz azaz. A típus funkciója

y \u003d (AX + B) / (CX + D), majd frakcionális lineárisnak nevezik.

Ne feledje, hogy az Y \u003d (AX + B) / (CX + D), C ≠ 0 (egyébként a függvény lineáris Y \u003d AX / D + B / D), és az a / c ≠ b / d (máskülönben a állandó funkció). A frakcionális lineáris funkciót minden érvényes számmal határoztuk meg, kivéve x \u003d -d / c. A frakcionált lineáris funkciók grafikonjai nem különböznek az Ön által ismert grafikától y \u003d 1 / x. A görbe, amely az y \u003d 1 / x funkció grafikonja hiperboloikus. A korlátlan x növekedés abszolút értékben az Y \u003d 1 / x funkciót korlátlanul csökkentetlenül csökkenti az abszolút értékkel, és a grafikon mindkét ága közeledik az abszcissza tengelyhez: a jobb oldalról közeledik, és a bal alsó. Egyenesen, amelyhez a hiperbole ágai közeledik, ezt hívják aszimptotami.

1. példa.

y \u003d (2x + 1) / (x - 3).

Döntés.

Kiemeljük az egész számot: (2x + 1) / (X - 3) \u003d 2 + 7 / (x - 3).

Most könnyű látni, hogy a funkció grafikonját az Y \u003d 1 / X funkció ütemezéséből kapja meg a következő transzformációkkal: Shift to 3-ra egyszemélyes szegmensek Jobb, 7-szeres ŰSZ-tengely mentén húzva és 2 egyszeri vágás.

Bármilyen frakció Y \u003d (AX + B) / (CX + D) ugyanúgy rögzíthető, kiemelve az "egész rész". Következésképpen, a grafikonok minden frakcionált lineáris függvények van hiperbolák, különbözőképpen eltolt mentén a koordináta-tengelyek és feszített mentén Oy tengely.

Bármilyen tetszőleges frakcionált grafikon létrehozása lineáris függvény Egyáltalán nem szükséges a frakció megkérdezése, konvertálva. Mint tudjuk, hogy a diagram hiperbole, elegendő lesz a közvetlen megtaláláshoz, amelyre az ágai közeledik - X \u003d -D / C és Y \u003d A / C testrobbanás.

2. példa.

Az aszimptoták grafikus funkciója Y \u003d (3x + 5) / (2x + 2).

Döntés.

A funkció nincs meghatározva az X \u003d -1. Tehát az X \u003d -1 egyenes vonal függőleges aszimptotokként szolgál. A vízszintes aszimptotok megtalálása, megtudhatja, hogy az Y (x) függvény értékei közelednek, ha az X argumentum abszolút értékben nő.

Ehhez megosztjuk a frakció számát és nevezőjét x:

y \u003d (3 + 5 / x) / (2 + 2 / x).

X → ∞ esetén a frakció 3/2-ig törekszik. Ezért a vízszintes aszimptota egyenes y \u003d 3/2.

3. példa.

Épít Ütemezési funkció y \u003d (2x + 1) / (x + 1).

Döntés.

Kiemeljük az "egész rész" frakciót:

(2x + 1) / (x + 1) \u003d (2x + 2 - 1) / (x + 1) \u003d 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) \u003d

2 - 1 / (x + 1).

Most ez könnyen belátható, hogy a grafikon e funkció nyerik a funkciója az Y \u003d 1 / x funkció a következő transzformációkat: egy eltolás 1 egység a bal oldalon, szimmetrikus térképezés viszonyítva OX és elmozdulás a 2 egyszemélyes szegmensek az oy tengelyen.

A d (y) \u003d (-∞; -1) ᴗ (-1; + ∞) meghatározási terület.

Az e (y) \u003d (-∞; 2) ᴗ (2; + ∞) értékeinek tartománya.

A tengelyek metszéspontja: C OY: (0; 1); C Ox: (-1/2; 0). A funkció a definíciós terület egyes időközönként növekszik.

Válasz: 1. ábra.

2. Frakcionális racionális funkció

Fontolja meg a Y \u003d p (x) / q (x) forma frakcionális racionális funkcióját, ahol p (x) és q (x) polinomok, az első fokozat.

Az ilyen racionális funkciók példái:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7-6) vagy Y \u003d (X - 2) 2 (X + 1) / (x 2 + 3).

Ha az y \u003d p (x) / q (x) függvény az első fokozatú két polinomiális, akkor annak menetrendje, mint általában bonyolultabb, és néha nehéz megépíteni mindent a részletek. Gyakran azonban elég ahhoz, hogy olyan technikákat alkalmazzon, amelyekhez hasonlóan vannak, akikkel már találkoztunk.

Hagyja, hogy a frakció - helyes (n< m). Известно, что любую несократимую racionális frakció Ez képviseli az egyetlen módja, összegeként a végső számú elemi frakciók, amelynek típusa határozza meg a bomlás a nevező a frakció q (x) a munkát érvényes tényező:

P (x) / q (x) \u003d A 1 / (X - K 1) M1 + A 2 / (X - K 1) M1-1 + ... + A M1 / \u200b\u200b(X - K 1) + .. . +

L 1 / (X - K S) MS + L 2 / (X - K S) MS-1 + ... + L MS / (X - K S) + ... +

+ (B1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) M1 + ... + (B M1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) + .. . +

+ (M 1 X + N 1) / (x 2 + P T X + Q T) M1 + ... + (M M1 x + N M1) / (x 2 + p t x + q t).

Nyilvánvaló, hogy egy frakcionált racionális funkció grafikonja az elemi frakciók grafikonjainak összege.

A frakcionált racionális funkciók építési grafikonjai

Tekintsünk többféle módon a frakcionális racionális funkció grafikonjainak megteremtésére.

4. példa.

A Y \u003d 1 / x 2 funkció grafikonja.

Döntés.

Az y \u003d x 2 funkció grafikonjának grafikonjával az Y \u003d 1 / x 2 grafikon felépítéséhez használja a grafikonok "divíziójának" vételét.

A d (y) \u003d (-∞; 0) ᴗ (0; + ∞) meghatározási terület.

Az e (y) \u003d (0, + ∞) értékek régiója.

Nincsenek metszéspontok a tengelyekkel. A funkció egyenletes. Az intervallumból (-∞; 0) minden x-vel nő, csökkenti az X-t 0-tól + ∞-ig.

Válasz: 2. ábra.

5. példa.

Építsen egy grafikonot az y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) funkció grafikonjára.

Döntés.

A d (y) \u003d (-∞; 3) ᴗ (3; + ∞) meghatározási terület.

y \u003d (x 2-4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (X - 3) (X - 1) / (-3 (X - 3)) \u003d - (X - 1) / 3 \u003d -X / 3 + 1/3.

Itt rengeteg bomlást kaptunk a szorzókon, a vágásokon és a lineáris függvényhez.

Válasz: 3. ábra.

6. példa.

A Y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) funkció grafikonja.

Döntés.

A D (y) \u003d R definíciós terület, mivel a funkció is, akkor a grafikon szimmetrikus az ordinát tengelyéhez képest. A grafikon megteremtése előtt ismét átalakítjuk a kifejezést az egész rész elosztásával:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Ne feledje, hogy a frakcionált racionális funkció képletében egy teljes rész elosztása az egyik legfontosabb grafikonok építésében.

Ha X → ± ∞, akkor Y → 1, azaz. A közvetlen Y \u003d 1 vízszintes aszimptota.

Válasz: 4. ábra.

7. példa.

Tekintsük az y \u003d x / (x 2 + 1) funkciót, és próbálja meg pontosan megtalálni a legnagyobb értéket, azaz. Maga csúcspont A grafika jobb fele. Az ütemterv pontos felépítéséhez a mai tudás nem elég. Nyilvánvaló, hogy a görbe nem tud "emelkedni" nagyon magas, mert A denominátor meglehetősen gyorsan elkezdi a számát "túllépni". Nézzük meg, hogy a funkció értéke megegyezik az 1. Ehhez az X 2 + 1 \u003d X, X 2 - X + 1 \u003d 0. egyenlet megoldása. Ez az egyenlet nem rendelkezik érvényes gyökerekkel. Tehát a feltételezésünk nem igaz. A legtöbbet megtalálja nagyon fontos Funkciók, tudnod kell, hogy mi a legnagyobb és a \u003d x / (x 2 + 1) egyenletes megoldás. Cserélje ki az eredeti egyenlet négyzetét: AX 2 - X + A \u003d 0. Ez az egyenlet megoldást tartalmaz, ha 1 - 4a 2 ≥ 0-at találunk a legnagyobb érték A \u003d 1/2.

Válasz: 5. ábra, max y (x) \u003d ½.

Kérdése van? Nem tudom, hogyan kell létrehozni a funkciók grafikáját?
A tanár segítségnyújtásához.
Az első lecke ingyenes!

az oldal, teljes vagy részleges másolás az anyagi hivatkozás az eredeti forrásra.

A funkciók és grafikonok az iskolai matematika egyik legizgalmasabb témája. Kár, hogy áthalad ... múlt órák és múltbeli diákok. Örökké hiányzik az idő a középiskolában. És azok a funkciók, amelyek a 7. osztályban áthaladnak egy lineáris funkció és parabola - túl egyszerű és egyszerű, hogy megmutassa az érdekes feladatok összes különböző feladatát.

A funkciók grafikonjai építésének képessége szükséges a matematika vizsga paramétereinek megoldásához. Ez az egyetemi matematikai elemzés egyik első országa. Ez olyan fontos téma, hogy különleges intenzívek vagyunk a középiskolás diákok és tanárok számára Moszkvában és online. És gyakran a résztvevők azt mondják: "Kár, hogy nem tudtuk ezt korábban."

De ez nem minden. A funkció fogalmából és az igazi, "felnőtt" matematika kezdődik. Végül is, a hozzáadás és a kivonás, a szorzás és a megosztás, a frakciók és az arányok ugyanazok az aritmetikai. A kifejezések átalakítása algebra. És a matematika - a tudomány nemcsak a számokról, hanem a nagyságrendű kapcsolatokról is. A funkciók és a grafikonok nyelve érthető és fizika, mind biológusok, mind közgazdászok. És ahogy azt mondta Galileo Galilee, "A természet könyve a matematika nyelvén íródott".

Pontosabban, Galileo Galiley ezt mondta: "Matematika van egy ábécé, amelyen keresztül az Úr rajzolta az univerzumot."

Az ismétlés témái:

1. Építsen egy függvénytünetet

Ismerős feladat! Ilyen MET B. hadműveleti oge matematika. Ott komplexnek tekintették őket. De itt nincs nehéz dolog.

Egyszerűsítjük a képlet funkciót:

Funkció ütemezése - egyenes merüléssel

2. Építsen egy függvénytünetet

Jelöljük ki a funkció funkciót:

Funkciógrafikon - Hyperbole, 3-ra ugrálva jobbra x és 2 felfelé, és 10-szer húzva 10-szer a funkciógrafikonhoz képest

Az egész rész elosztása az egyenlőtlenségek megoldásában használt hasznos vétel, az építési grafikonok építése és a teljes értékek értékelése a számok és azok tulajdonságaiban. Ő is találkozik veled az első évben, amikor integrálni kell.

3. Építsen egy függvénytünetet

A stretching 2-szeres funkciójának grafikonjából kiderül, függőlegesen tükrözi és függőlegesen 1-re változik

4. Építsen egy függvénytünetet

A legfontosabb dolog az akciók helyes sorrendje. A képlet funkciót kényelmesebb formában írjuk:

Rendben járunk el:

1) az Y \u003d funkció grafikonja a bal oldalon a bal oldalon;

2) énekelj 2-szer vízszintesen,

3) Húzza 3-szor függőlegesen,

4) 1-re történő váltás

Most a frakcionált racionális funkciók több grafikonját készítjük. Ahhoz, hogy jobban megértsük, hogyan tesszük ezt, olvassuk el a cikket "a végtelenségben a funkció viselkedése. Aszimptoták. "

5. Építsen egy függvénytünetet

Funkciómeghatározási terület:

Zéró funkció: és

Közvetlen x \u003d 0 (y tengely) - függőleges aszimptota funkció. Aszimptote - Közvetlen, amelyhez a funkció végtelenül megfelelően alkalmas, de nem metszi, és nem egyesíti azt (lásd a témát a végtelenségben a függvény viselkedése. Aszimptotes)

Vannak más aszimptotok a mi funkciónkból? Annak érdekében, hogy ezt megtudja, nézzük meg, hogy a funkció hogyan viselkedik, amikor az X az Infinity-hez.

Nyissa ki a zárójeleket a funkciói képletben:

Ha x törekszik a végtelenségig, akkor nullát keres. A közvetlen a ferde aszimptota a funkciógrafikához.

6. Működési ütemterv építése

Ez egy frakcionális racionális funkció.

Funkciómeghatározási terület

Zeros funkció: Pontok - 3, 2, 6.

A funkció funkcióinak időközönként meghatározza az intervallum módszert.

Függőleges aszimptotok:

Ha X törekszik a végtelenségig, akkor az 1. Tehát, a vízszintes aszimptota.

Itt van egy vázlat a grafika:

Egy másik érdekes vétel a grafika hozzáadása.

7. Építsen egy függvénytünetet

Ha x törekszik a végtelenségig, akkor a funkció grafikonja végtelenül közel lesz a ferde aszimptothoz

Ha X törekszik nullára, akkor a funkció úgy viselkedik, mint ez, és látjuk a diagramon:

Tehát építettük a funkciók mennyiségét. Most a munka ütemezése!

8. Építsen egy függvénytünetet

A funkció meghatározásának területe pozitív szám, mivel csak pozitív X van meghatározva

A funkciók értékei nulla (ha a logaritmus nulla), valamint pontok, valahol

Mikor, az érték (cos x) egy egyenlő. A funkció értéke ezekben a pontokon egyenlő lesz

9. Hozzon létre egy függvénytáblázat

A funkció akkor van meghatározva, ha még két páratlan funkciójú termék, és egy grafikon szimmetrikus az ordinát tengelyéhez képest.

Nulla funkciók - pontokban, valahol

Ha az x törekszik a végtelenségig, akkor nulla. De mi fog történni, ha x nullára keres? Végtére is, x, és a bűn x kevésbé lesz. Hogyan viselkedik magán?

Kiderül, hogy ha az x nullára törekszik, akkor egy egységet keres. A matematikában ez az állítás az "első csodálatos limit".

De mi van a származékkal? Igen, végül eljutottunk hozzá. A származéka segít pontosabban építeni a funkciók grafikonjait. Keresse meg a maximális és minimális pontokat, valamint a funkció értékeit ezen a ponton.

10. Építsen egy függvénytünetet

Funkciómeghatározási terület - minden tényleges számok, Amennyiben

A funkció furcsa. A gráf szimmetrikus a koordináták kezdetén.

X \u003d 0 esetén a függvény értéke nulla. A funkció értékén pozitív, negatív.

Ha x törekszik a végtelenségig, akkor nullát keres.

Keressen egy derivatív funkciót
A magánszármazék képletei szerint,

Ha vagy.

A ponton a származéka a "mínusz" jelet a "plusz" -ra változtatja - a funkció minimális pontját.

A pontnál a származékos a jelet a "plusz" -ról a "mínusz" -ra változtatja, - a maximális funkció pontját.

Keresse meg a funkció értékeit X \u003d 2 és X \u003d -2.

A szórakoztató grafika kényelmesen épül fel egy adott algoritmus vagy egy séma szerint. Ne feledje, tanulmányozta az iskolában?

Általános rendszer a funkció függvényének kiépítéséhez:

1. Funkciómeghatározási terület

2. Funkcióértékek

3. Paritás - furcsaság (ha van ilyen)

4. Időszak (ha van ilyen)

5. A funkciók nullusza (olyan pontok, amelyekben a grafikon átkerül a koordináta tengelye)

6. A szimbólum funkció (azaz a hiányosságok, amelyekre szigorúan pozitív vagy szigorúan negatív).

7. Aszimptoták (ha vannak ilyenek).

8. A végtelenség függvényének viselkedése

9. Származtatási funkció

10. A növekvő és csökkenő rések. Maximális és minimális pontok és értékek ezeken a pontokon.

A tulajdonságokban és a megfelelő grafikonokban rejlő fő elemi funkciók az egyik, a matematikai tudás egyike, hasonlóan a szorzási táblázat fontosságához képest. Az elemi funkciók az összes elméleti kérdés tanulmányozására alapulnak.

Az alábbi cikk kulcsfontosságú anyagot biztosít az alapvető elemi funkciók témájában. Bemutatjuk a feltételeket, hagyjuk, hogy meghatározzák őket; Tanuljunk részletesen az elemi funkciók minden típusát, elemezzük tulajdonságaikat.

A következő típusú alapvető elemi funkciók megkülönböztethetők:

Meghatározás 1.

• állandó funkció (állandó);
• gyökér n-fokozat;
• power funkció;
• exponenciális függvény;
• logaritmikus funkció;
• trigonometrikus funkciók;
• trigonometrikus funkciók testvére.

Állandó funkciót határoztunk meg: Y \u003d C (C egy bizonyos szám), és van egy neve: állandó. Ez a funkció határozza meg az azonos Y értékű változó által azonosított X független változó érvényes értékét.

Az állandó ütemterv egyenes, amely párhuzamos az abszcissza tengelyével, és áthalad egy koordináta (0, c) ponton. Az egyértelműség érdekében az Y \u003d 5, Y \u003d - 2, Y \u003d 3, Y \u003d 3 (fekete, piros és kék színű rajzolás) állandó funkciók grafikonjait adjuk meg.

2. meghatározás.

Ezt az elemi funkciót az Y \u003d X N (N - természetes szám Több egység).

Tekintsük a funkció két változatait.

1. Gyökér N-Q fok, N - egyenletes szám

Az egyértelműség érdekében rámutat a rajzra, amely az ilyen funkciók grafikonjait mutatja: y \u003d x, y \u003d x 4 és y \u003d x 8. Ezeket a funkciókat színe: fekete, piros és kék.

Hasonló nézet az egyenletes fokfüggvény funkciói a mutató különböző értékeiben.

3. meghatározás.

Tulajdonságok Funkció Gyökér N-Esh, N - Még szám

• a meghatározási terület az összes nem negatív érvényes szám [0, + ∞) halmaza;
• amikor x \u003d 0, funkció y \u003d x n értéke nulla;
• ez funkció funkció Általános nézet (nem egyenletes, sem páratlan);
• Értékterület: [0, + ∞);
• ez a funkció y \u003d x n a gyökér még mutatóit is növeli a definíciós területen;
• a funkciónak a teljes definíciós terület felfelé irányuló konvexitása van;
• nincsenek inflexiós pontok;
• aszimptotok hiányoznak;
• a funkció grafikonja még n is áthalad a pontokon (0, 0) és (1; 1).

1. A root n -i diploma, n egy páratlan szám

Ez a funkció az érvényes számok teljes sorában van meghatározva. Az egyértelműség érdekében vegye figyelembe a funkciók grafikonjait y \u003d x 3, y \u003d x 5 és X 9. A rajzon virágok jelzik őket: fekete, piros és kék színűÉs görbék.

Az y \u003d x n funkció gyökérsebességének más furcsa értékei hasonló fajok grafikonját adják.

Meghatározás 4.

Tulajdonságok Funkció N-ES fokozat, N - páratlan szám

• a meghatározási terület az összes érvényes szám halmaza;
• ez a funkció furcsa;
• az értékek tartománya minden érvényes szám;
• az Y \u003d X N funkció páratlan gyökérjelzőkkel növekszik a meghatározási területen;
• a funkciónak van egy konkávja az intervallum (- ∞; 0) és a konvexitás az intervallum [0, + ∞);
• az inflexiós pont koordinátái (0; 0);
• aszimptotok hiányoznak;
• a funkció grafikonja furcsa n áthalad a pontokon (- 1; - 1), (0; 0) és (1; 1).

Áramkimaradás

5. meghatározás.

A tápfeszültséget az Y \u003d x a képlet határozza meg.

A grafikonok és a funkció tulajdonságai a mutató értékétől függenek.

• ha az energiafunkciónak van egy teljes jelzője, a grafika típusa áramkimaradás És tulajdonságai a fokozat egyenletes vagy páratlan mutatójától, valamint a diploma jelzőjének jelétől függenek. Fontolja meg ezeket a különleges eseteket az alábbiakban részletesebben;
• a fokozat mutatója lehet frakcionális vagy irracionális - ennek függvényében, a grafikonok nézete és a függvény tulajdonságai változóak. Különleges eseteket fogunk elemezni több feltétel beállításával: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• az energiafunkciónak nulla jelzője lehet, ez az eset az alábbiakban olvasható.

Elemezzük az energiafunkciót y \u003d x A, ha az A egy furcsa pozitív szám, például a \u003d 1, 3, 5 ...

Az egyértelműség érdekében az ilyen teljesítményfunkciók grafikáját jelezzük: y \u003d x (fekete grafika), y \u003d x 3 (kék színű grafika), y \u003d x 5 (piros grafika), y \u003d x 7 (zöld grafika). Ha a \u003d 1, akkor egy lineáris függvényt kapunk y \u003d x.

Meghatározás 6.

A tápfeszültség tulajdonságai, amikor a diploma mutatója furcsa pozitív

• a funkció X ∈ (- ∞; + ∞) növekszik;
• a funkció az X ∈ (- ∞; 0) és az X ∈ [0, + ∞) homorú (a lineáris függvény kivételével)
• az inflexiós pont koordinátái (0; 0) (a lineáris függvény kivételével);
• aszimptotok hiányoznak;
• Átmeneti funkciópontok: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).

Elemezzük az energiafunkciót y \u003d x A, ha az A-t még pozitív szám, például a \u003d 2, 4, 6 ...

Az egyértelműség érdekében az ilyen teljesítményfunkciók grafikáját jelezzük: y \u003d x 2 (fekete színű grafikon) y \u003d x 4 (kék grafikus szín) y \u003d x 8 (piros grafika). Ha A \u003d 2, kvadratikus funkciót kapunk, amelynek grafikonja egy négyzetes parabola.

7. meghatározás.

A tápfeszültség tulajdonságai, ha a diploma jelzője még pozitív:

• a meghatározási terület: X ∈ (- ∞; + ∞);
• csökkenti az X ∈ (- ∞; 0);
• a funkciónak van egy homorú az X ∈ (- ∞, + ∞);
• a naplózási pontok hiányoznak;
• aszimptotok hiányoznak;
• Átmeneti funkciók: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1).

Az alábbi ábra az áramellátás grafikonjainak példáit mutatja. y \u003d x a, ha az A egy furcsa negatív szám: y \u003d x - 9 (fekete grafika); y \u003d x - 5 (kék színű grafika); y \u003d x - 3 (piros grafika); Y \u003d x - 1 (zöld grafika). Ha A \u003d - 1, inverz arányosságot kapunk, amelynek grafikonja hiperbole.

Meghatározás 8.

A tápfeszültség tulajdonságai, ha a diploma jelzője furcsa negatív:

Ha x \u003d 0, megkapjuk a második fajta megszakítását, mivel Lim X → 0 - 0 x A \u003d - ∞, Lim X → 0 + 0 xa \u003d + ∞ A \u003d - 1, - 3, - 5 ,. ... Így az X \u003d 0 egyenes vonal a függőleges aszimptota;

• az értékek tartománya: y ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);
• a funkció furcsa, mivel y (- x) \u003d - y (x);
• a funkció az X ∈ - ∞-nél csökken; 0 ∪ (0; + ∞);
• a funkció az X ∈ (- ∞; 0) és az X ∈ (0, + ∞) konkávban van;
• az inflexiós pontok hiányoznak;

k \u003d lim x → ∞ x A x \u003d 0, b \u003d lim x → ∞ (x A - K x) \u003d 0 ⇒ y \u003d k x + b \u003d 0, ha A \u003d - 1, - 3, - 5 ,. . . .

• Átmeneti funkciók: (- 1; - 1), (1; 1).

Az alábbi ábra az Y \u003d X A tápfeszültség grafikonjainak példáit mutatja, ha az A jelentése még negatív szám: Y \u003d X - 8 (fekete színű grafikon); y \u003d x - 4 (kék színű grafikon); Y \u003d x - 2 (piros grafika).

Meghatározás 9.

A tápfeszültség tulajdonságai, amikor a diploma mutatója még negatív:

• meghatározás terület: x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);

Ha x \u003d 0, megkapjuk a második fajta szakadását, mivel Lim X → 0 - 0 x A \u003d + ∞, Lim X → 0 x 0 xa \u003d + ∞ A \u003d - 2, - 4, - 6 ,. ... Így az X \u003d 0 egyenes vonal a függőleges aszimptota;

• a funkció még az y (- x) \u003d y (x);
• a funkció X ∈ (- ∞; 0) növekszik, és csökkenti az X ∈ 0-mal; + ∞;
• a funkciónak van egy homorú az X ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);
• az inflexiós pontok hiányoznak;
• vízszintes aszimptotta - egyenes y \u003d 0, mert:

k \u003d lim x → ∞ x a x \u003d 0, b \u003d lim x → ∞ (x a - k x) \u003d 0 ⇒ y \u003d k x + b \u003d 0, ha A \u003d - 2, - 4, - 6 ,. . . .

• Átmeneti funkciók: (- 1; 1), (1; 1).

A kezdetektől fogva figyeljen a következő szempontokra: abban az esetben, ha az A pozitív frakció egy furcsa nevezővel, egyes szerzők az energiafunkció intervallumának meghatározásának területe - ∞; + ∞, ugyanabban az időben, hogy az A jelző egy instabil frakció. Jelenleg sok szerzők oktatási kiadványok Az algebra és a kezdetek szerint az elemzés nem határozza meg a teljesítményfunkciókat, ahol az indikátor egy furcsa denominátorral, az argumentum negatív értékével. Ezután engedélyezzük ezt a pozíciót: Vegye ki a teljesítményfunkciók meghatározásának területét a diplista pozitív mutatókkal [0; + ∞). Ajánlás a hallgatóknak: Ismerje meg a tanár véleményét ezen a ponton, hogy elkerülje a nézeteltéréseket.

Tehát elemezzük az energiafunkciót y \u003d x A, ha a diploma arány racionális vagy irracionális szám, feltéve, hogy 0< a < 1 .

A grafikonok teljesítményfunkcióit szemléltetjük y \u003d x a, ha a \u003d 11 12 (fekete grafika); A \u003d 5 7 (piros grafika); A \u003d 1 3 (kék grafikus szín); A \u003d 2 5 (zöld grafika).

A fokozat mutatójának más értékei (feltéve, 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Meghatározás 10.

A teljesítmény funkció tulajdonságai 0-nál< a < 1:

• az értékek tartománya: y ∈ [0; + ∞);
• a függvény X ∈ [0; + ∞);
• a funkció dudorja X ∈ (0; + ∞);
• az inflexiós pontok hiányoznak;
• aszimptotok hiányoznak;

Elemezzük az energiafunkciót y \u003d x A, amikor a diploma aránya nem cél racionális vagy irracionális szám, feltéve, hogy a\u003e 1.

A grafikonok energiafunkcióját szemléltetjük y \u003d x a meghatározott feltételek mellett az ilyen funkciók példáján: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (fekete, piros, kék, zöld grafika).

A diploma és az A\u003e 1 állapotának más értékei hasonló típusú grafikát adnak.

Meghatározás 11.

Az A\u003e 1 bekapcsolási funkció tulajdonságai:

• meghatározás terület: x ∈ [0; + ∞);
• az értékek tartománya: y ∈ [0; + ∞);
• ez a funkció közös formában működik (nincs semmi furcsa, sem egyenletes);
• a függvény X ∈ [0; + ∞);
• a funkciónak van egy homorú az X ∈ (0; + ∞) (amikor 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• az inflexiós pontok hiányoznak;
• aszimptotok hiányoznak;
• Átmeneti funkciók: (0; 0), (1; 1).

Figyeljük a figyelmet! Ha a negatív frakció egy páratlan denominátorral, egyes szerző munkáiban van egy pillantást arra, hogy a jelen esetben a definíciós terület az intervallum - ∞; 0 ∪ (0; + ∞) a foglalással, amely az A fokozat mutatója az instabil frakció. Jelenleg a szerzők oktatási anyagok Az algebra és a kezdetek szerint az elemzés nem határozza meg a tápfeszültség funkciókat egy olyan jelzővel, amely egy furcsa denominátorral, az argumentum negatív értékével. Ezután ragaszkodunk egy ilyen megjelenéshez: Vegye meg a frakcionált negatív jelzőkészletek meghatározásának területét (0; + ∞). Ajánlás a diákoknak: Adja meg a tanár látását ezen a ponton, hogy elkerülje a nézeteltéréseket.

Folytatjuk a témát és szétszereljük az áramellátást y \u003d x a biztosított: - 1< a < 0 .

A következő funkciók rajzát adjuk meg: Y \u003d X - 5 6, Y \u003d X - 2 3, Y \u003d X - 1 2 2, Y \u003d X - 1 7 (fekete, piros, kék, zöld vonalak, illetve fekete, piros, kék, zöld vonalak).

Meghatározás 12.

A teljesítmény funkció tulajdonságai - 1< a < 0:

lim X → 0 + 0 x A \u003d + ∞, mikor - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• Értékterület: Y ∈ 0; + ∞;
• ez a funkció közös formában működik (nincs semmi furcsa, sem egyenletes);
• az inflexiós pontok hiányoznak;

Az alábbi rajz látható az Y \u003d X - 5 4, Y \u003d X - 5 3, Y \u003d X - 6, Y \u003d X - 24 7 (fekete, piros, kék, zöld színű görbék) .

Meghatározás 13.

A tápfeszültség tulajdonsága a< - 1:

• meghatározás terület: x ∈ 0; + ∞;

lim X → 0 + 0 x A \u003d + ∞ Amikor a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• az értékek tartománya: y ∈ (0; + ∞);
• ez a funkció közös formában működik (nincs semmi furcsa, sem egyenletes);
• a funkció x ∈ 0-ra csökken; + ∞;
• a funkciónak van egy homorú az X ∈ 0-nál; + ∞;
• az inflexiós pontok hiányoznak;
• vízszintes aszimptotta - egyenes y \u003d 0;
• a funkció funkciója: (1; 1).

Ha A \u003d 0 és X ≠ 0, megkapjuk az Y \u003d x 0 \u003d 1 funkciót, amely meghatározza a közvetlen, amelyből a (0, 1) pont kizárásra kerül (megállapodnak abban, hogy a 0 0 kifejezés nem kap semmit érték).

Az indikatív funkció az űrlapon van Y \u003d egy x, ahol a\u003e 0 és a ≠ 1, és a funkció grafikonja eltérőnek tűnik, az alapérték alapján. Tekintsük magán eseteket.

Először elemezzük a helyzetet, amikor alapul szolgál indikatív funkció Ez nulla és egy (0< a < 1) . A vizuális példa a \u003d 1 2 (kék színtengely) és a \u003d 5 6 (piros görbe) funkciók grafikonjait szolgálja.

Ugyanazok a fajok grafikonjai egy indikatív funkcióval rendelkeznek más alapértékeknél 0< a < 1 .

Meghatározás 14.

Az indikatív funkció tulajdonságai, ha az alap kevesebb, mint egy:

• az értékek tartománya: y ∈ (0; + ∞);
• ez a funkció közös formában működik (nincs semmi furcsa, sem egyenletes);
• az indikatív funkció, amelyben a bázis kevesebb, mint az egység, csökken a definíció területén;
• az inflexiós pontok hiányoznak;
• vízszintes aszimptotta - egyenes y \u003d 0 x változóval, és + ∞-ig törődik;

Most vegye figyelembe az esetet, ha az indikatív funkció alapja nagyobb, mint az egység (A 1).

Ezt az adott esetet illusztráljuk az Y \u003d 3 2 x (kék színtengely) és az y \u003d e x (piros grafika) grafikonján.

Más alapértékek, nagy egységek, az indikatív funkció hasonló típusát adják.

Meghatározás 15.

Az indikatív funkció tulajdonságai, ha a bázis nagyobb, mint az egység:

• a meghatározási terület számos érvényes szám;
• az értékek tartománya: y ∈ (0; + ∞);
• ez a funkció közös formában működik (nincs semmi furcsa, sem egyenletes);
• az a jelző funkció, amelyben a bázis nagyobb, mint az egység, növekszik X ∈ - ∞; + ∞;
• a funkciónak van egy homorú az X ∈ - ∞-nél; + ∞;
• az inflexiós pontok hiányoznak;
• vízszintes aszimptotta - egyenes y \u003d 0 x változóval, amely - ∞-re törekszik;
• funkciópont: (0; 1).

A Logaritmikus funkció az Y \u003d log A (X) formanyomtatvány, ahol a\u003e 0, a ≠ 1.

Ezt a funkciót csak az argumentum pozitív értékével határozzák meg: x ∈ 0; + ∞.

A Logaritmikus funkció grafikonja eltérő megjelenést mutat az alapérték értékén.

Fontolja meg először a helyzetet, ha 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Egyéb alapértékek, nem nagy egységek, hasonló típusú grafikát adnak.

Meghatározás 16.

A logaritmikus funkció tulajdonságai, ha az alap kevesebb, mint egy:

• meghatározás terület: x ∈ 0; + ∞. Amikor az X a jobb oldali nullára ugrik, a funkció értékei általában + ∞;
• az értékek tartománya: y ∈ - ∞; + ∞;
• ez a funkció közös formában működik (nincs semmi furcsa, sem egyenletes);
• logaritmikus
• a funkciónak van egy homorú az X ∈ 0-nál; + ∞;
• az inflexiós pontok hiányoznak;
• aszimptotok hiányoznak;

Most elemezzük egy különleges esetet, ha a logaritmikus funkció alapja nagyobb, mint: A 1 . Az alábbi rajzban a Logaritmikus funkciók Y \u003d log 3 2 x és y \u003d ln x (kék és piros grafikonok).

A készüléknél nagyobb alapértékek hasonló típusú gráfot adnak.

Meghatározás 17.

A logaritmikus funkció tulajdonságai, ha az alap nagyobb, mint:

• meghatározás terület: x ∈ 0; + ∞. Ha az X a jobb oldali nullára ugrik, a függvény értékei általában - ∞;
• az értékek tartománya: y ∈ - ∞; + ∞ (minden sok érvényes szám);
• ez a funkció közös formában működik (nincs semmi furcsa, sem egyenletes);
• a logaritmikus funkció növekszik X ∈ 0; + ∞;
• a funkció az X ∈ 0-as dudorral rendelkezik; + ∞;
• az inflexiós pontok hiányoznak;
• aszimptotok hiányoznak;
• funkciópont: (1; 0).

A trigonometrikus funkciók sinus, koszinusz, érintő és katangensek. Elemezzük mindegyikük tulajdonságait és a megfelelő grafikonokat.

Általában minden trigonometrikus funkció esetében a frekvencia tulajdonsága jellemző, vagyis Amikor az értékek a funkciók megismételjük különböző értékeinek az érvelés, különböznek egymástól, amelyet az időtartam F (x + T) \u003d f (x) (T - időszak). Így a Trigonometric funkciók tulajdonságainak listáján a "A legkisebb pozitív időszak" tétel kerül hozzáadásra. Ezenkívül meghatározzuk az olyan argumentumok ilyen értékeit, amelyekben a megfelelő funkció nullához ad.

1. Sinus funkció: y \u003d sin (x)

A funkció grafikonját sinusoidnak nevezik.

Meghatározás 18.

Sinus funkció tulajdonságok:

• meghatározás terület: Minden érvényes számok száma x ∈ - ∞; + ∞;
• a funkció nullára utal, ha X \u003d π · K, ahol K ∈ Z (Z egy egész számsor);
• a funkció növekszik az X ∈ - π 2 + 2 π · K; π 2 + 2 π · K, K ∈ Z és x ∈ π 2 + 2 π · K-vel csökken; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ z;
• a sinus funkció helyi maximumokkal rendelkezik a π 2 + 2 π · K ponton; 1 és helyi minimum a pontokon - π 2 + 2 π · K; - 1, K ∈ Z;
• a szinusz homorú funkciója x ∈ - π + 2 π · K; 2 π · k, k ∈ z és konvex, ha x ∈ 2 π · k; π + 2 π · k, k ∈ z;
• aszimptotok hiányoznak.

1. Cosine funkció: Y \u003d cos (x)

A funkció grafikonját Cosineida néven hívják.

Meghatározás 19.

Cosine funkció tulajdonságok:

• a meghatározási terület: X ∈ - ∞; + ∞;
• a legkisebb pozitív időszak: t \u003d 2 π;
• az értékek tartománya: y ∈ - 1; egy;
• ez a funkció még az y (- x) \u003d y (x);
• a funkció növekszik X ∈ - π + 2 π · K; 2 π · k, k ∈ z és x ∈ 2 π · k; π + 2 π · k, k ∈ z;
• a COSINE funkció a 2 π · K pontoknál helyi maximumokkal rendelkezik; 1, k ∈ z és helyi minimum a π + 2 π · K pontokon; - 1, K ∈ Z;
• a koszorú homorú funkciója x ∈ π 2 + 2 π · K; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ z és konvex x ∈ - π 2 + 2 π · K; π 2 + 2 π · K, K ∈ Z;
• az inflációpontok koordináták π 2 + π · k; 0, k ∈ z
• aszimptotok hiányoznak.

1. Tangens funkció: Y \u003d t g (x)

A funkció grafikonját hívják tangensoid.

Meghatározás 20.

A tangens funkció tulajdonságai:

• a meghatározási terület: X ∈ - π 2 + π · K; π 2 + π · K, ahol K ∈ Z (Z egy egész számsor);
• A viselkedés a funkciója az érintő határán a meghatározása terület Lim X → π 2 + π · K + 0 tg (x) \u003d - ∞, lim x → π 2 + π · k - 0 tg ( x) \u003d + ∞. Így egyenes X \u003d π 2 + π · K k ∈ Z függőleges aszimptotok;
• a funkció nullára utal, ha x \u003d π · k k ∈ z z (z több egész szám);
• az értékek tartománya: y ∈ - ∞; + ∞;
• ez a funkció furcsa, mivel y (- x) \u003d - y (x);
• a funkció növekszik - π 2 + π · K; π 2 + π · k, k ∈ z;
• a tangens funkció homorú az x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ z és konvex x ∈ (- π 2 + π · K, π · k), k ∈ z;
• az inflajlási pontok koordináták π · k; 0, k ∈ z;

1. Cotangent funkció: Y \u003d c t g (x)

A funkció ütemezését KotangenSoidousnak nevezik .

Meghatározás 21.

A COTANGENT funkció tulajdonságai:

• a meghatározási terület: x ∈ (π · k, π + π · K), ahol K ∈ Z (Z több egész szám);

A viselkedés a kotangensét funkció határán a határ területet Lim X → π · K + 0 T G (x) \u003d + ∞, Lim X → π · k - 0 T g (x) \u003d - ∞. Így egyenes X \u003d π · K k ∈ Z függőleges aszimptotok;

• a legkisebb pozitív időszak: t \u003d π;
• a függvény nullára utal, ha x \u003d π 2 + π · K a k ∈ z-nál (Z az egész számok csoportja);
• az értékek tartománya: y ∈ - ∞; + ∞;
• ez a funkció furcsa, mivel y (- x) \u003d - y (x);
• a funkció csökken az x ∈ π · k; π + π · k, k ∈ z;
• a kotangensét függvény konkáv az x ∈ (π · k; π 2 + π · K], k ∈ Z és domború x ∈ [- π 2 + π · k; π · k), k ∈ Z;
• az inflációpontok koordináták π 2 + π · k; 0, k ∈ z;
• a ferde és a vízszintes aszimptotok hiányoznak.

Inverse Trigonometric funkciók Arksinus, Arkkosinus, Arctangen és Arkotangent. Gyakran, a "Ark" előtag jelenlétének köszönhetően a címben inverz trigonometrikus funkciókat hívják arcfunkcióknak .

1. Arxinus funkció: y \u003d egy r c bűn (x)

Meghatározás 22.

Arksinus funkció tulajdonságai:

• ez a funkció furcsa, mivel y (- x) \u003d - y (x);
• az Arksinus funkció egy homorú az X ∈ 0-ban; 1 és a konvexitás x ∈ - 1-ben; 0;
• az inflitáspontok koordinátái (0; 0) vannak, szintén nulla funkciók;
• aszimptotok hiányoznak.

1. Arkkosinus funkció: y \u003d egy r c cos (x)

Meghatározás 23.

Az Arkkosinus funkció tulajdonságai:

• meghatározás terület: x ∈ - 1; egy;
• Értékterület: Y ∈ 0; π;
• ez a funkció közös forma (sem páratlan vagy páratlan);
• a funkció a meghatározás során csökken;
• az arcsinus funkciója homorú X ∈ - 1; 0 és a konvexitás x ∈ 0-ban; egy;
• az inflexiópontok koordinátái vannak; π 2;
• aszimptotok hiányoznak.

1. Arrittangent funkció: y \u003d egy r c t g (x)

Meghatározás 24.

Az Arrittangens funkció tulajdonságai:

• a meghatározási terület: X ∈ - ∞; + ∞;
• az értékek tartománya: y ∈ - π 2; π 2;
• ez a funkció furcsa, mivel y (- x) \u003d - y (x);
• a funkció a meghatározás során növekszik;
• az Arrittangent funkciónak van egy homorú az X ∈ (- ∞; 0) és a konvexitás X ∈ [0; + ∞);
• az inflexiós pont koordinátái (0; 0), ez is nulla funkciók;
• vízszintes aszimptoták - egyenes y \u003d - π 2 x → - ∞ és y \u003d π 2 x → + ∞ (aszimptotok képében zöld vonalak).

1. Arkkothangent funkció: y \u003d egy r c c t g (x)

Meghatározás 25.

A funkció tulajdonságai Arkkothangence:

• a meghatározási terület: X ∈ - ∞; + ∞;
• Értékek területe: y ∈ (0; π);
• ez a funkció közös típus;
• a funkció a meghatározás során csökken;
• az Arccotange funkció egy homorú az X ∈ [0; + ∞) és a konvexitás X ∈ (- ∞; 0);
• az inflexiós pont koordinátákat tartalmaz 0; π 2;
• vízszintes aszimptoták - egyenes y \u003d π x → - ∞ (a rajzon - a zöld vonal) és az y \u003d 0 x → + ∞-nél.

Ha hibát észlel a szövegben, válassza ki, és nyomja meg a Ctrl + Enter gombot

Kezdje, próbálja meg megtalálni a mező meghatározási területét:

Cope? Hasonlítsa össze a válaszokat:

Rendben? Szép munka!

Most próbáljuk meg megtalálni a funkcióértékek tartományát:

Megtalált? Hasonlítsa össze:

Gyorsítótárazott? Szép munka!

Még egyszer a diagramokkal fogunk dolgozni, csak most egy kicsit bonyolultabb - megtalálni és terepi definíciós területet, valamint a funkcióértékek működését.

Hogyan lehet megtalálni és meghatározni a területet és a mező értékeit (fejlett opció)

Ez történt:

A diagramokkal azt hiszem, kitaláltad. Most próbáljuk meg összhangban a képletekkel összhangban megtalálni a mezőmeghatározási területet (ha nem tudod, hogyan kell csinálni, olvasd el a PRO-t):

Cope? Felmérés válaszol:

1. Mivel az etetési expressziónak nullával vagy egyenlőnek kell lennie.
2. Mivel lehetetlen nulla megosztani, és az etetési kifejezés nem lehet negatív.
3. Mivel egyáltalán.
4. Mivel lehetetlen nulla megosztani.

Van azonban egy másik nem szétszerelt pillanat ...

Ismét ismételtem, és hangsúlyt fektetek rá:

Megjegyezte? A "csak" szó a meghatározásunk nagyon fontos eleme. Megpróbálom elmagyarázni neked az ujjaidat.

Tegyük fel, hogy van egy függvényünk. . Amikor ezt az értéket helyettesítjük a "szabályunkban", és megkapjuk ezt. Az egyik érték egy értéknek felel meg. Még különböző értékeket is készíthetünk, és ennek a funkciónak a grafikonját készíthetjük, hogy megbizonyosodjon róla.

"Néz! - Azt mondod, - - "" kétszer találkozik! " Tehát talán a parabola nem működik? Nem, az!

Az a tény, hogy "" két alkalommal érhető el, hogy a vádlott parabola kétértelműségben!

Az a tény, hogy kiszámításkor kaptunk egy igrek. És amikor kiszámítjuk az egyik gyújtót. Tehát minden igaz, a parabola egy funkció. Nézd meg az ütemtervet:

Kitalált? Ha nem, itt van egy olyan életmód, amely messze van a matematikától!

Tegyük fel, hogy van egy olyan pályázók csoportja, akik megismerkednek a dokumentumok benyújtásakor, akik mindegyike elmondta a beszélgetést, ahol él:

Egyetértek, meglehetősen reális, hogy több srác él egy városban, de lehetetlen, hogy egy személy ugyanakkor több városban él. Ez olyan, mint a "Parabola" logikai ábrázolása - néhány különböző X megfelel az azonos játékosnak.

Most jöjjön létre egy példa, ha a függőség nem működik. Tegyük fel, hogy ugyanazok a srácok azt mondták, hogy milyen különlegességeket nyújtott be:

Itt van egy teljesen más helyzet: egy személy biztonságosan küldhet dokumentumokat mind az egyik, mind a több irányban. Azaz egy elem A többszörösek összhangban vannak több elem készletek. Illetőleg, ez nem funkció.

Ellenőrizze a tudását a gyakorlatban.

Meghatározza a rajzokat, ami egy funkció, és mi nem:

Kitalált? De én. válaszol:

• A funkció be van kapcsolva, pl.
• A funkció nem - A, B, D, D.

Megkérdezed, miért? Miért, ezért:

Minden rajzon, kivéve BAN BEN) és E) Egy fiókot egy!

Biztos vagyok benne, hogy most könnyedén megkülönböztetheti a funkciót, hogy nem egy függvényt, mondd meg, hogy milyen érv jelentkezik és milyen függő változó, valamint meghatározza a megengedett argumentum értékek területét és a funkció meghatározásának funkcióját. Menjen a következő részhez - Hogyan állíthatunk be egy funkciót?

A funkció beállításának módjai

Mit gondolsz, mit gondolsz "Állítsa be a funkciót"? Ez helyes, azt jelenti, hogy megmagyarázza mindenkinek, hogy milyen funkcióval rendelkezik ebben az esetben ez a beszéd. És magyarázza, hogy mindenki megérti, hogy helyesen és rajzolt az emberek a magyarázata a funkciók grafikus ugyanazok voltak.

Hogyan tehetem ezt? Hogyan állíthatunk be egy funkciót? A legegyszerűbb módja, amelyet több mint egyszer használtak ebben a cikkben - a képlet segítségével. Mi írunk egy képletet, és helyettesítjük az értéket, kiszámoljuk az értéket. És hogy emlékszel, a képlet a törvény, az a szabály, amellyel mi és más személy világossá válik, hogy az X hogyan fordul a játékba.

Általában ez így van - a feladatokban, már láttuk a képletek által megadott kész funkciókat, azonban vannak olyan módok, amelyek olyan funkciókat állíthatunk meg, amelyekről mindenki elfelejti, és ezért a kérdés "Hogyan tudom megmondani a funkció?" egy zsákutcába helyezi. Mindent megértünk, de analitikus módon kezdődnek.

Analitikai módszer a funkció beállításához

Az analitikai módszer a képletet használó feladatfüggvény. Ez a legizgalmasabb és kimerítő és egyértelműen. Ha van egy képlete, akkor mindent tudsz, hogy mindent megtudhatsz mindent - az értékek jele, akkor építhet egy ütemtervet, meghatározhatja, hogy hol nő a funkció, és ahol csökken, általában a teljes programban.

Fontolja meg a funkciót. Mi az egyenlő?

"Mit jelent?" - Kérd meg téged. Most elmagyarázom.

Hadd emlékeztessem meg, hogy a zárójelben lévő kifejezés érvnek nevezik. És ez az érv bármilyen kifejezés lehet, nem feltétlenül egyszerűen. Ennek megfelelően, függetlenül attól, hogy az érv (expresszió a zárójelben), írjuk a kifejezés helyett.

Példánkban ez így fog működni:

Tekintsünk egy másik feladatot az analitikai módszerhez, hogy beállítsa a vizsgán szereplő funkciót.

Keresse meg a kifejezés értékét, a.

Biztos vagyok benne, hogy először megijedtél, láttam egy ilyen kifejezést, de nincs semmi szörnyű benne!

Minden, mint az elmúlt példában: Bármi legyen is az érv (expressziós zárójelben), írjuk a kifejezés helyett. Például egy funkcióhoz.

Mit kell tenni a példánkban? Ehelyett írnia kell, és helyette -:

csökkentse a kapott kifejezést:

Ez minden!

Önálló munkavégzés

Most próbálja meg megtalálni a következő kifejezések értékét:

1. , Ha egy
2. , Ha egy

Cope? Hasonlítsa össze a válaszainkat: hozzászokunk, hogy a funkciónak van ilyen jellegű

A példákban még a példákban is megadjuk a funkciót, azonban analitikusan beállíthatja a funkciót implicit formában.

Próbálja meg létrehozni ezt a funkciót.

Cope?

Így építettem őt.

Milyen egyenlet történt végül visszavonva?

Jobb! Lineáris, ami azt jelenti, hogy az ütemterv egyenes lesz. Készítsünk egy jelet, hogy meghatározzuk, hogy mely pontok tartoznak az egyenes:

Ez csak azt mondtuk, hogy ... az egyiknek felel meg.

Próbáljuk meg felhívni, mi történt:

Ez az, amit kapunk egy funkciót?

Jobb, nem! Miért? Próbálja meg válaszolni erre a kérdésre a rajzgal. Mi jött ki?

"Mivel az egyik érték több értéknek felel meg!"

Milyen következtetésre juthatunk ebből?

Ez igaz, a funkció nem mindig kifejezhető egyértelműen, és nem mindig az "álcázott" a funkció alatt egy funkció!

Tabulary módja a funkció beállításához

Mivel a név azt jelenti, ez a módszer egyszerű jel. Igen igen. Mint az, akivel már elkészült. Például:

Itt azonnal észrevette a mintát - az igrek háromszor több mint X. És most a feladat, hogy "gondolkodj nagyon jó": Mit gondolsz, hogy egyenértékű egy táblázat formájában megadott függvényrel?

Nem fogunk sokáig vitatkozni, és felhívjuk!

Így. Háttérkép által megadott funkciót rajzolunk:

Vedd észre a különbséget? A lényeg nem az észlelt pontokon van! Óvatosan nézze meg:

Most láttam? Amikor beállítottunk egy funkciót táblázatos út, a táblázatban csak azokat a pontokat tükrözzük, amelyeket az asztalon és a vonalban (mint a mi esetünkben) csak áthaladunk. Ha analitikus módon állítjuk be a funkciót, bármilyen pontot tudunk tenni, és funkcióink nem korlátozódnak. Ez egy ilyen jellemző. Tag!

Grafikus módszer egy funkció kiépítéséhez

A funkció kialakításának grafikus módszere nem kevésbé kényelmes. Funkciónkat rajzolunk, és egy másik érdekelt személy megtalálhatja, hogy mi egyenlő a játékkal egy bizonyos X és így tovább. A grafikus és analitikai módszerek a leggyakoribbak.

Itt azonban emlékezned kell arra, hogy mit beszéltünk a kezdetektől - nem minden "Zagulin", amelyet a koordináta rendszerben rajzoltunk! Emlékezett? Csak abban az esetben, ha másolni foglak, hogy itt a funkció, hogy a funkció:

Általában az embereket általában azoknak a három módon nevezik, hogy beállítsa azokat a funkciókat, amelyeket szétszereltünk analitikus (a képletben), táblázatos és grafikus alkalmazásával, teljesen elfelejtve, hogy a funkció szóban leírható. Mint ez? Igen, nagyon egyszerű!

A funkció szóbeli leírása

Hogyan írja le a funkciót helyesen? Vegyük a legújabb példát -. Ez a funkció Le lehet írni: "Az IX egyes érvényes értéke megegyezik a hármas értéknek." Ez minden. Semmi nehéz. Ön természetesen meg akarja őket - "" annyira van komplex funkciókaki szóban megkérdezi egyszerűen lehetetlen! " Igen, vannak azok, de vannak olyan funkciók, amelyek szóban könnyebben leírják, mint a képlet beállítása. Például: "Az X természetes értéke megfelel a számok közötti különbségnek, míg a szám rögzítésében szereplő legnagyobb számjegyet a csökkentett. Most fontolja meg, hogy a funkció szóbeli leírása a gyakorlatban valósul meg:

A legnagyobb számjegy egy adott számban csökken, majd csökken:

Alapvető funkciók

Most menjünk a legérdekesebben - fontolja meg az alapvető típusú funkciókat, amellyel dolgozott / dolgozik, és az iskola és az Intézet Matematika során fog működni, vagyis megismerkedünk velük, így beszélni és adni nekik rövid leírás. Az egyes funkciókról további információkért olvassa el a megfelelő részt.

Lineáris függvény

A nézet funkciója, ahol a tényleges számok.

A funkció grafikonja egyenes, ezért a lineáris függvény építése csökken, hogy megtalálja a két pont koordinátáit.

Közvetlen pozíció koordináta sík A szög együtthatótól függ.

Funkciómeghatározási terület (más néven megengedett argumentum értékek) -.

Értékterület -.

Másodfokú függvény

Típus funkció, ahol

A funkció grafikonja Parabola, amikor a parabola ágak lefelé irányulnak, amikor - felfelé.

A kvadratikus funkció számos tulajdonsága a diszkrimináns értéktől függ. A diszkriminánt a képlet alapján számítják ki

A parabola pozíciója a koordináta síkon az értékhez képest és az együtthatót a képen látható:

Tartomány

Az értékek tartománya a funkció szélsőségétől (a Pearabol Vertex pontja) és az együttható (a parabola ágak iránya) függvényében függ

Inverz arányosság

A képlet által beállított funkció, ahol

A számot az inverz arányossági tényezőnek nevezik. Attól függően, hogy milyen értéket, a hiperbolák ágai különböző négyzetekben vannak:

Tartomány - .

Értékterület -.

Összefoglaló és alapvető képletek

1. A funkciót olyan szabálynak nevezik, amelyekkel a készlet minden eleme a készlet egyetlen elemének felel meg.

• - Ez egy olyan képlet, amely egy funkciót jelöl, vagyis az egyik változó függése a másiktól;
• - változó érték, vagy, érv;
• - A függő érték megváltozik, ha az argumentum megváltozik, vagyis bármely olyan képlet szerint, amely az azonos értéktől való függőségét tükrözi a másikból.

2. Az érv megengedett értékei, vagy a funkciómeghatározási terület olyan, ami a lehetséges, amelyben a funkciónak van értelme.

3. Funkcióértékek területe - Ez az értékek kapnak, megengedett értékekkel.

4. A funkció beállításához 4 módszer található:

• analitikai (képletekkel);
• táblázatos;
• grafikus
• verbális leírás.

5. Alapvető funkciókatípusok:

• :, hol, - valódi számok;
• :, hol;
• :, hol.

A lineáris függvényt az Y \u003d KX + B formanyomtatvány függvényének nevezik, ahol az X-független változó, K és B-bármely szám.
A lineáris funkció grafikonja egyenes.

1. Funkcióterv hozzáadása, A funkció grafikájához tartozó két pont koordinátáira van szükségünk. Ahhoz, hogy megtalálja őket, két értéket kell szednie X, helyettesítse őket a funkció egyenletére, és kiszámítja az Y megfelelő értékeit.

Például az Y \u003d X + 2 funkció grafikonjának kialakításához kényelmes az X \u003d 0 és X \u003d 3 szedése, majd ezeknek a pontoknak a szokásai egyenlőek Y \u003d 2 és Y \u003d 3. A (0, 2) és a (3; 3) pontot kapjuk. Csatlakoztassa őket, és megkapja a Y \u003d X + 2 funkció grafikonját:

2. Az Y \u003d KX + B képletben a K számot az arányossági tényezőnek nevezik:
Ha k\u003e 0, akkor az Y \u003d KX + B funkció növekszik
Ha K.
A B koefficiens az oy tengely mentén a függvénytáblázat elmozdulását mutatja:
Ha B\u003e 0, akkor az Y \u003d KX + B függvény funkcióját a funkció grafikonjából kapjuk \u003d KX Shift to B egységekig az OY tengely mentén
Ha B.
Az alábbi ábra az Y \u003d 2x + 3 funkciók grafikonjait mutatja; y \u003d ½ x + 3; y \u003d x + 3

Ne feledje, hogy mindezekben a funkciókban a k együttható nulla felett, és funkciók vannak növekvő. Ráadásul minél nagyobb a K érték, annál nagyobb az oxi tengely pozitív irányába irányuló dőlésszög.

Minden funkcióban b \u003d 3 - és látjuk, hogy az összes grafikon áthalad az OY tengelyen a ponton (0; 3)

Most fontolja meg az y \u003d -2x + 3 funkciók grafikonjait; y \u003d - ½ x + 3; y \u003d -x + 3

Ezúttal a K-koefficiens minden funkciójában kevesebb, mint nulla és funkciók csökken. A B \u003d 3 együttható és a grafika, valamint az előző esetben metszi az OY tengelyt a ponton (0; 3)

Fontolja meg az y \u003d 2x + 3 funkciók grafikonjait; y \u003d 2x; Y \u003d 2x-3

Most a funkciók valamennyi egyenletében a K koefficiensek megegyeznek 2. és három párhuzamos egyenes.

De a B-koefficiensek eltérőek, és ezek a grafikonok különböző pontokon áthaladnak az OY tengelyen:
A Y \u003d 2x + 3 (B \u003d 3) funkció grafikonja átkerül az OY tengelyen a ponton (0; 3)
Az Y \u003d 2x (B \u003d 0) funkció grafikonja átkerül az OY tengelyre a ponton (0; 0) - a koordináták kezdete.
Az Y \u003d 2x-3 (B \u003d -3) funkció grafikonja átkerül az OY tengelyen a ponton (0; -3)

Tehát, ha ismerjük a K és B együtthatók jeleit, azonnal el tudjuk képzelni, hogy a Y \u003d KX + B funkció grafikonja úgy néz ki.
Ha egy k 0

Ha egy k\u003e 0 és b\u003e 0 , akkor az Y \u003d KX + B funkció grafikonja:

Ha egy k\u003e 0 és b , akkor az Y \u003d KX + B funkció grafikonja:

Ha egy k, majd az Y \u003d KX + B funkció funkciója az űrlapon van:

Ha egy k \u003d 0. Az Y \u003d KX + B funkció az Y \u003d B funkcióba fordul, és grafikus:

A grafikon funkció minden pontja y \u003d b egyenlő b b \u003d 0. , akkor az Y \u003d KX (közvetlen arányosság) funkció grafikonja a koordináta eredetén keresztül halad át:

3. Külön, megjegyezzük az X \u003d a egyenlet grafikonját. Az egyenlet grafikonja egyenes vonal, párhuzamos tengely Oy, amelynek minden pontja az abszcissza x \u003d a.

Például az X \u003d 3 egyenlet grafikonja így néz ki:
Figyelem! Az X \u003d A egyenlet nem egy funkció, az argumentum ilyen értéke megfelel a funkció különböző értékeinek, amely nem felel meg a funkció meghatározásának.

4. Két egyenes vonal párhuzamosságának feltétele:

A függvény ütemezése Y \u003d K 1 X + B 1 A függvény párhuzamos grafikája Y \u003d K 2 X + B 2, ha K 1 \u003d K 2

5. A két egyenes vonal újjáépítésének feltétele:

Az Y \u003d K 1 X + B 1 funkció grafikonja újjáépít az Y \u003d K 2 X + B 2 funkció grafikáját, ha K 1 * K 2 \u003d -1 vagy K 1 \u003d -1 / K 2

6. A gráffunkció metszéspontja Y \u003d KX + B koordináták tengelyével.

Az OY tengelyével. Az OY tengelyhez tartozó bármely pont abszcissza nulla. Ezért, hogy megtalálja a metszéspontot az OY tengelyével, szükség van nullára az egyenletben. Y \u003d b. Vagyis az OY tengely metszéspontja koordinátákat (0; b).

A tengely ó: az ordináta bármely pontjának tartozó tengely Oh nullával egyenlő. Ezért, hogy megtalálja a metszéspontot a tengelyen OH-val, szükség van nullára a funkció egyenletében Y helyett Y. 0 \u003d kx + b. Ezért X \u003d -B / K. Vagyis az ox-tengely metszéspontja koordinátákat (-b / k; 0):