Egy módszer az exponenciális egyenlőtlenség legkisebb mértékű megoldására. Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek. Mi az exponenciális függvény

Ebben a leckében különféle exponenciális egyenlőtlenségeket fogunk megvizsgálni, és megtanuljuk, hogyan oldjuk meg azokat a legegyszerűbb exponenciális egyenlőtlenségek megoldásának módszertana alapján.

1. Az exponenciális függvény definíciója és tulajdonságai

Emlékezzünk vissza az exponenciális függvény definíciójára és alapvető tulajdonságaira. Az összes exponenciális egyenlet és egyenlőtlenség megoldása a tulajdonságokon alapul.

Exponenciális függvény- az alak függvénye, ahol a fok alapja és Itt x egy független változó, egy argumentum; y - függő változó, függvény.

Rizs. 1. Exponenciális függvény grafikonja

A grafikon a növekvő és a csökkenő kitevőket mutatja, illusztrálva az exponenciális függvényt, amikor az alap egynél nagyobb, illetve kisebb egynél, de nagyobb nullánál.

Mindkét görbe áthalad a ponton (0; 1)

Exponenciális függvény tulajdonságai:

Tartomány: ;

Értéktartomány:;

A funkció monoton, ahogy nő, ahogy csökken.

A monoton függvény mindegyik értékét egyetlen argumentumértékhez veszi fel.

Amikor az argumentum mínuszról plusz végtelenre növekszik, akkor a függvény nulláról nem inkluzívan plusz végtelenre növekszik, vagyis az argumentum adott értékeihez monoton növekvő függvényünk van (). Ellenkezőleg, amikor az argumentum mínuszról plusz végtelenre növekszik, a függvény végtelenről nullára csökken, nem inkluzív, vagyis az argumentum adott értékeihez monotonan csökkenő függvényünk van ().

2. A legegyszerűbb exponenciális egyenlőtlenségek, megoldási technika, példa

A fentiek alapján bemutatunk egy technikát a legegyszerűbb exponenciális egyenlőtlenségek megoldására:

Az egyenlőtlenségek feloldásának módszertana:

Egyenlítse ki a fokok alapjait;

Hasonlítsa össze a mutatókat, tartsa vagy változtassa az egyenlőtlenség ellenkező előjelét.

Az összetett exponenciális egyenlőtlenségek megoldása általában abból áll, hogy a legegyszerűbb exponenciális egyenlőtlenségekre redukáljuk.

A fokozat alapja nagyobb egynél, ami azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség jele megmarad:

Átalakítjuk jobb oldal a fokozat tulajdonságai szerint:

A fokozat alapja kisebb egynél, az egyenlőtlenség előjelét meg kell fordítani:

A másodfokú egyenlőtlenség megoldásához meg fogjuk oldani a megfelelő másodfokú egyenletet:

Vieta tétele alapján megtaláljuk a gyökereket:

A parabola ágai felfelé irányulnak.

Így van megoldásunk az egyenlőtlenségre:

Könnyen kitalálható, hogy a jobb oldal nulla kitevős hatványként ábrázolható:

A fokszám alapja nagyobb egynél, az egyenlőtlenség előjele nem változik, kapjuk:

Emlékezzünk vissza az ilyen egyenlőtlenségek megoldásának technikájára.

Tekintsünk egy tört racionális függvényt:

Megtaláljuk a definíciós tartományt:

Keresse meg a függvény gyökereit:

A függvénynek egyetlen gyöke van,

Kiválasztjuk az állandó előjelű intervallumokat, és meghatározzuk a függvény előjeleit minden intervallumon:

Rizs. 2. Az állandóság intervallumai

Tehát megkaptuk a választ.

Válasz:

3. Tipikus exponenciális egyenlőtlenségek megoldása

Tekintsük az egyenlőtlenségeket ugyanazok a mutatók de más alapon.

Az exponenciális függvény egyik tulajdonsága, hogy szigorúan pozitív értékeket vesz fel az argumentum bármely értékéhez, ami azt jelenti, hogy felosztható egy exponenciális függvényre. Osszuk el az adott egyenlőtlenséget a jobb oldalával:

A fokozat alapja nagyobb egynél, az egyenlőtlenség jele megmarad.

Illusztráljuk a megoldást:

A 6.3. ábra a függvények grafikonjait és. Nyilvánvalóan, ha az argumentum nagyobb, mint nulla, akkor a függvény grafikonja magasabban helyezkedik el, ez a függvény nagyobb. Ha az argumentumértékek negatívak, a függvény csökken, kisebb. Az argumentum értékével a függvények egyenlőek, ami azt jelenti adott pont az adott egyenlőtlenségre is megoldás.

Rizs. 3. Illusztráció például 4

Az adott egyenlőtlenséget a fok tulajdonságainak megfelelően alakítjuk át:

Itt vannak hasonló kifejezések:

Osszuk fel mindkét részt:

Most a 4. példához hasonlóan folytatjuk a megoldást, osszuk fel mindkét részt:

A fokozat alapja nagyobb egynél, az egyenlőtlenség jele megmarad:

4. Exponenciális egyenlőtlenségek grafikus megoldása

6. példa – Oldja meg az egyenlőtlenséget grafikusan:

Tekintsük a bal és a jobb oldalon lévő függvényeket, és ábrázoljuk mindegyik grafikonját.

A függvény exponenciális, növekszik a teljes definíciós tartományban, vagyis az argumentum összes valós értékénél.

A függvény lineáris, csökken a teljes definíciós tartományában, vagyis az argumentum összes valós értékére.

Ha ezek a függvények átfedik egymást, vagyis a rendszernek van megoldása, akkor ez az egyetlen megoldás, és könnyen kitalálható. Ehhez egész számok felett iterálunk ()

Könnyen belátható, hogy ennek a rendszernek a gyökere:

Így a függvények grafikonjai egy pontban metszik egymást egy argumentummal egyenlő.

Most választ kell kapnunk. Az adott egyenlőtlenség jelentése az, hogy a kitevőnek nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie, mint lineáris függvény, azaz legyen magasabb vagy egybeessen vele. A kézenfekvő válasz: (6.4. ábra)

Rizs. 4. Illusztráció például 6

Tehát különféle tipikus exponenciális egyenlőtlenségek megoldását vettük figyelembe. Ezután rátérünk a bonyolultabb exponenciális egyenlőtlenségek figyelembevételére.

Bibliográfia

Mordkovich A. G. Algebra és a matematikai elemzés alapelvei. - M .: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra és a matematikai elemzés alapelvei. - M .: Túzok. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. és munkatársai: Algebra és a matematikai elemzés alapelvei. - M .: Oktatás.

Math. md. Matematika-ismétlés. com. Diffur. kemsu. ru.

Házi feladat

1. Algebra és az elemzés kezdete, 10-11. osztály (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, 472., 473. sz.;

2. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

3. Oldja meg az egyenlőtlenséget.

Sokan azt hiszik, hogy az exponenciális egyenlőtlenségek olyan összetettek és érthetetlenek. És hogy ezek megoldásának megtanulása szinte nagy művészet, amit csak a Kiválasztottak képesek felfogni...

Teljes hülyeség! A példaértékű egyenlőtlenségek könnyűek. És mindig egyszerűen megoldódnak. Hát, szinte mindig. :)

Ma ezt a témát kívül-belül elemezzük. Ez a lecke nagyon hasznos lesz azok számára, akik csak most kezdik megérteni az iskolai matematika ezen részét. Kezdjük azzal egyszerű feladatokatés áttérünk az összetettebb kérdésekre. Ma nem lesz apróság, de amit most olvasol, az elég lesz ahhoz, hogy megoldja a legtöbb egyenlőtlenséget minden vezérlésnél és önálló munkavégzés... És ezen a vizsgán is.

Mint mindig, kezdjük a meghatározással. Az exponenciális egyenlőtlenség minden olyan egyenlőtlenség, amely exponenciális függvényt tartalmaz. Más szóval, ez mindig a forma egyenlőtlenségére redukálható

\ [((a) ^ (x)) \ gt b \]

Ahol a $ b $ szerepe lehet egy közönséges szám, vagy esetleg valami nehezebb. Példák? Igen, kérem:

\ [\ kezdődik (igazítás) & ((2) ^ (x)) \ gt 4; \ quad ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)); \ quad ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16; \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01; \ quad ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))). \\\ vége (igazítás) \]

Szerintem egyértelmű a jelentés: van exponenciális függvény$ ((a) ^ (x)) $, összehasonlítják valamivel, majd megkérik, hogy találjon $ x $. Különösen klinikai esetekben a $ x $ változó helyett valamilyen $ f \ left (x \ right) $ függvényt tolhatnak be, és ezzel némileg bonyolíthatják az egyenlőtlenséget. :)

Természetesen bizonyos esetekben az egyenlőtlenség súlyosabbnak tűnik. Például:

\ [((9) ^ (x)) + 8 \ gt ((3) ^ (x + 2)) \]

Vagy akár ez:

Általánosságban elmondható, hogy az ilyen egyenlőtlenségek összetettsége nagyon eltérő lehet, de végül mégis egyszerű konstrukcióvá redukálódnak $ ((a) ^ (x)) \ gt b $. És valahogy kitaláljuk egy ilyen konstrukcióval (főleg klinikai esetekben, amikor semmi sem jut eszünkbe, a logaritmusok segítenek). Ezért most megtanítjuk, hogyan kell megoldani az ilyen egyszerű konstrukciókat.

A legegyszerűbb exponenciális egyenlőtlenségek megoldása

Vegyünk egy egészen egyszerű dolgot. Például ezt:

\ [((2) ^ (x)) \ gt 4 \]

Nyilvánvalóan a jobb oldali szám átírható kettő hatványává: $ 4 = ((2) ^ (2)) $. Így az eredeti egyenlőtlenség nagyon kényelmes formában átírható:

\ [((2) ^ (x)) \ gt ((2) ^ (2)) \]

És most viszketnek a kezek, hogy "áthúzzák" a ketteseket a fokok alapjaiban, hogy megkapják a $ x \ gt 2 $ választ. Mielőtt azonban bármit is áthúznánk, emlékezzünk a kettő erejére:

\ [((2) ^ (1)) = 2; \ quad ((2) ^ (2)) = 4; \ quad ((2) ^ (3)) = 8; \ quad ((2) ^ ( 4)) = 16; ... \]

Amint látja, mit többáll a kitevőben, annál nagyobb a kimeneti szám. – Köszönöm, Cap! Az egyik diák felkiált. Különbözik? Sajnos előfordul. Például:

\ [((\ bal (\ frac (1) (2) \ jobb jobb)) ^ (2)) = \ frak (1) (4); \ négyes ((\ bal (\ frac (1) (2) \ jobb)) ^ (3)) = \ frac (1) (8 );... \]

Itt is minden logikus: minél nagyobb a fokszám, a 0,5-ös szám annál többszörösére szorozódik önmagával (azaz kettéosztva). Így a kapott számsor csökken, és az első és a második sorozat közötti különbség csak az alapban áll:

• Ha a fokszám alapja $ a \ gt 1 $, akkor a $ n $ kitevő növekedésével a $ ((a) ^ (n)) $ szám is nőni fog;
• Ezzel szemben, ha $ 0 \ lt a \ lt 1 $, akkor a $ n $ kitevő növekedésével a $ ((a) ^ (n)) $ szám csökkenni fog.

Ezeket a tényeket összegezve megkapjuk a legfontosabb állítást, amelyen az exponenciális egyenlőtlenségek teljes megoldása alapul:

Ha $ a \ gt 1 $, akkor a $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ egyenlőtlenség ekvivalens a $ x \ gt n $ egyenlőtlenséggel. Ha $ 0 \ lt a \ lt 1 $, akkor a $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ egyenlőtlenség ekvivalens a $ x \ lt n $ egyenlőtlenséggel.

Más szóval, ha az alap egynél nagyobb, egyszerűen eltávolíthatja - az egyenlőtlenség jele nem változik. És ha az alap kisebb egynél, akkor azt is el lehet távolítani, de ebben az esetben az egyenlőtlenség jelét is meg kell változtatni.

Figyelem: nem vettük figyelembe a $ a = 1 $ és a $ a \ le 0 $ opciókat. Mert ezekben az esetekben bizonytalanság keletkezik. Tegyük fel, hogyan lehet megoldani egy egyenlőtlenséget, mint például: $ ((1) ^ (x)) \ gt 3 $? Bármilyen fokozatú is egyet ad – soha nem kapunk hármat vagy többet. Azok. nincsenek megoldások.

Még érdekesebb a negatív okok miatt. Vegyük például ezt az egyenlőtlenséget:

\ [((\ bal (-2 \ jobb)) ^ (x)) \ gt 4 \]

Első pillantásra minden egyszerű:

Jobb? De nem! Elegendő $ x $ helyett pár páros és pár páratlan számot behelyettesíteni, hogy megbizonyosodjunk arról, hogy rossz a megoldás. Nézd meg:

\ [\ kezd (igazítás) & x = 4 \ Jobbra nyíl ((\ balra (-2 \ jobbra)) ^ (4)) = 16 \ gt 4; \\ & x = 5 \ Jobbra nyíl ((\ balra (-2 \ jobbra)) ^ (5)) = - 32 \ lt 4; \\ & x = 6 \ Jobbra nyíl ((\ balra (-2 \ jobbra)) ^ (6)) = 64 \ gt 4; \\ & x = 7 \ Jobbra nyíl ((\ balra (-2 \ jobbra)) ^ (7)) = - 128 \ lt 4. \\\ vége (igazítás) \]

Amint látja, a jelek váltakoznak. De vannak még töredékfokok és egyéb ón. Hogyan kell például beolvasni a $ ((\ balra (-2 \ jobbra)) ^ (\ sqrt (7))) $ (mínusz kettő hét hatványig) beolvasását? Semmiképpen!

Ezért a határozottság kedvéért feltételezzük, hogy minden exponenciális egyenlőtlenségben (és mellesleg egyenletekben is) $ 1 \ ne a \ gt 0 $. És akkor minden nagyon egyszerűen megoldódik:

\ [((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) \ Jobbra nyíl \ balra [\ kezd (igazítás) & x \ gt n \ quad \ left (a \ gt 1 \ right), \\ & x \ lt n \ quad \ bal (0 \ lt a \ lt 1 \ jobb). \\\ vége (igazítás) \ jobbra. \]

Általában még egyszer emlékezzünk a fő szabályra: ha az exponenciális egyenletben szereplő bázis nagyobb egynél, egyszerűen eltávolíthatja azt; és ha az alap egynél kisebb, akkor azt is el lehet távolítani, de az egyenlőtlenség előjele megváltozik.

Megoldási példák

Tehát vegyünk néhány egyszerű exponenciális egyenlőtlenséget:

\ [\ begin (igazítás) & ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)); \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01; \\ & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16; \\ & ((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25). \\\ vége (igazítás) \]

Az elsődleges feladat minden esetben ugyanaz: az egyenlőtlenségeket a legegyszerűbb $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ alakra redukálni. Pontosan ezt fogjuk most tenni az egyes egyenlőtlenségekkel, és egyúttal megismételjük a fokok és az exponenciális függvény tulajdonságait. Akkor gyerünk!

\ [((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \]

Mit lehet itt tenni? Nos, a bal oldalon már van egy leleplező kifejezés – semmin sem kell változtatni. De a jobb oldalon van valami baromság: tört, és még gyök is a nevezőben!

Emlékezzünk azonban a törtekkel és hatványokkal való munka szabályaira:

\ [\ begin (align) & \ frac (1) (((a) ^ (n))) = ((a) ^ (- n)); \\ & \ sqrt [k] (a) = ((a) ^ (\ frac (1) (k))). \\\ vége (igazítás) \]

Mit jelent? Először is könnyen megszabadulhatunk a törttől, ha negatív kitevőjű hatványsá alakítjuk. Másodszor pedig, mivel a nevezőnek van gyöke, jó lenne azt is hatványsá alakítani - ezúttal tört kitevővel.

Ezeket a műveleteket egymás után alkalmazzuk az egyenlőtlenség jobb oldalára, és meglátjuk, mi történik:

\ [\ frac (1) (\ sqrt (2)) = ((\ balra (\ négyzet (2) \ jobbra)) ^ (- 1)) = ((\ balra (((2) ^ (\ frac () 1) (3))) \ jobbra)) ^ (- 1)) = ((2) ^ (\ frac (1) (3) \ cdot \ left (-1 \ right))) = ((2) ^ (- \ frac (1) (3))) \]

Ne felejtsük el, hogy a fokozat fokra emelésekor ezeknek a fokoknak a mutatói hozzáadódnak. És általában, ha exponenciális egyenletekkel és egyenlőtlenségekkel dolgozunk, feltétlenül ismerni kell a fokozatokkal való munkavégzés legegyszerűbb szabályait:

\ [\ kezdődik (igazítás) & ((a) ^ (x)) \ cdot ((a) ^ (y)) = ((a) ^ (x + y)); \\ & \ frac (((a) ^ (x))) (((a) ^ (y))) = ((a) ^ (x-y)); \\ & ((\ balra (((a) ^ (x)) \ jobbra)) ^ (y)) = ((a) ^ (x \ cdot y)). \\\ vége (igazítás) \]

Valójában csak az utolsó szabályt alkalmaztuk. Ezért az eredeti egyenlőtlenségünket a következőképpen írjuk át:

\ [((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \ jobbra nyíl ((2) ^ (x-1)) \ le ((2) ^ (- \ frac (1) (3))) \]

Most megszabadulunk a kettőtől az alapnál. 2> 1 óta az egyenlőtlenség jele változatlan marad:

\ [\ kezdődik (igazítás) & x-1 \ le - \ frac (1) (3) \ Jobbra nyíl x \ le 1- \ frac (1) (3) = \ frac (2) (3); \\ & x \ in \ left (- \ infty; \ frac (2) (3) \ right]. \\\ end (igazítás) \]

Ez az egész megoldás! A fő nehézség egyáltalán nem az exponenciális függvényben van, hanem az eredeti kifejezés kompetens átalakításában: pontosan és a lehető leggyorsabban kell a legegyszerűbb formájába hozni.

Tekintsük a második egyenlőtlenséget:

\ [((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01 \]

Is-is. Itt tizedes törtek várnak ránk. Ahogy már sokszor mondtam, minden hatványos kifejezésben meg kell szabadulni a tizedes törtektől – gyakran csak így lehet gyors és egyszerű megoldást találni. Tehát megszabadulunk a következőktől:

\ [\ kezdődik (igazítás) & 0,1 = \ frac (1) (10); \ quad 0,01 = \ frac (1) (100) = ((\ balra (\ frac (1) (10) \ jobb)) ^ (2)); \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01 \ Jobbra nyíl ((\ balra (\ frac (1) (10) \ jobbra)) ^ (1-x)) \ lt ( (\ balra (\ frac (1) (10) \ jobbra)) ^ (2)). \\\ vége (igazítás) \]

Ismét előttünk áll a legegyszerűbb egyenlőtlenség, és még 1/10-es alappal is, i.e. egynél kevesebb. Nos, eltávolítjuk az alapokat, miközben a jelet "kevesebbről" "többre" változtatjuk, és megkapjuk:

\ [\ kezdődik (igazítás) & 1-x \ gt 2; \\ & -x \ gt 2-1; \\ & -x \ gt 1; \\ & x \ lt -1. \\\ vége (igazítás) \]

Megkaptuk a végső választ: $ x \ in \ left (- \ infty; -1 \ right) $. Figyelem: a válasz pontosan a halmaz, és semmiképpen sem olyan konstrukció, mint $ x \ lt -1 $. Mert formálisan egy ilyen konstrukció egyáltalán nem halmaz, hanem egyenlőtlenség a $ x $ változóhoz képest. Igen, nagyon egyszerű, de nem ez a válasz!

Fontos jegyzet... Ezt az egyenlőtlenséget más módon is meg lehetne oldani - úgy, hogy mindkét részt egynél nagyobb bázisra csökkentjük. Nézd meg:

\ [\ frac (1) (10) = ((10) ^ (- 1)) \ jobbra nyíl ((\ balra (((10) ^ (- 1)) \ jobbra)) ^ (1-x)) \ lt ((\ balra (((10) ^ (- 1)) \ jobbra)) ^ (2)) \ Jobbra nyíl ((10) ^ (- 1 \ cdot \ left (1-x \ right))) \ lt ((10) ^ (- 1 \ cdot 2)) \]

Egy ilyen transzformáció után ismét egy exponenciális egyenlőtlenséget kapunk, de 10> 1 alappal. Ez azt jelenti, hogy egyszerűen áthúzhatja a tízet - az egyenlőtlenség jele ebben az esetben nem változik. Kapunk:

\ [\ kezdődik (igazítás) & -1 \ cdot \ left (1-x \ right) \ lt -1 \ cdot 2; \\ & x-1 \ lt -2; \\ & x \ lt -2 + 1 = -1; \\ & x \ lt -1. \\\ vége (igazítás) \]

Amint látja, a válasz pontosan ugyanaz. Ugyanakkor megkíméltük magunkat a jel megváltoztatásának szükségességétől, és általában emlékezünk néhány szabályra. :)

\ [((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16 \]

Ettől azonban ne ijedjen meg. Bármi legyen is a mutatókban, maga az egyenlőtlenség megoldásának technológiája ugyanaz marad. Ezért először vegye figyelembe, hogy 16 = 2 4. Írjuk át az eredeti egyenlőtlenséget ennek tudatában:

\ [\ kezdődik (igazítás) & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt ((2) ^ (4)); \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 14 \ lt 4; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 10 \ lt 0. \\\ vége (igazítás) \]

Hurrá! Megkaptuk a szokásosat négyzetes egyenlőtlenség! A jel nem változott sehol, mivel az alapnál kettő van - egynél nagyobb szám.

Funkció nullák a számegyenesen

A $ f \ balra (x \ jobbra) = ((x) ^ (2)) - 7x + 10 $ - függvény jeleit elhelyezzük - nyilván a grafikonja egy parabola lesz felfelé ágakkal, tehát lesznek "pluszok" " az oldalakon. Minket az a régió érdekel, ahol a függvény nullánál kisebb, pl. $ x \ in \ left (2; 5 \ right) $ - ez a válasz az eredeti problémára.

Végül vegyünk egy másik egyenlőtlenséget:

\ [((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \]

Ismét egy exponenciális függvényt látunk, amelynek alapjában tizedes tört található. Ezt a törtet lefordítjuk egy közönséges törtre:

\ [\ kezdődik (igazítás) & 0,2 = \ frac (2) (10) = \ frac (1) (5) = ((5) ^ (- 1)) \ Jobbra \\ & \ Jobbra nyíl ((0 , 2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) = ((\ balra (((5) ^ (- 1)) \ jobbra)) ^ (1 + ((x) ^ (2) ))) = ((5) ^ (- 1 \ cdot \ left (1 + (x) ^ (2)) \ jobb))) \ vége (igazítás) \]

Ebben az esetben a korábban megadott megjegyzéssel éltünk - a további döntésünk egyszerűsítése érdekében az alapot 5> 1-re csökkentettük. Tegyük ugyanezt a jobb oldallal:

\ [\ frac (1) (25) = ((\ balra (\ frac (1) (5) \ jobbra)) ^ (2)) = ((\ balra (((5) ^ (- 1)) \ jobbra)) ^ (2)) = ((5) ^ (- 1 \ cdot 2)) = ((5) ^ (- 2)) \]

Írjuk át az eredeti egyenlőtlenséget mindkét transzformáció figyelembevételével:

\ [((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \ jobbra nyíl ((5) ^ (- 1 \ cdot \ balra (1+) ((x) ^ (2)) \ jobb))) \ ge ((5) ^ (- 2)) \]

Az alap mindkét oldalon megegyezik, és meghaladja az egyet. Nincs más kifejezés a jobb és a bal oldalon, ezért csak "áthúzzuk" az ötösöket, és egy nagyon egyszerű kifejezést kapunk:

\ [\ kezd (igazítás) & -1 \ cdot \ bal (1 + (x) ^ (2)) \ jobb) \ ge -2; \\ & -1 - ((x) ^ (2)) \ ge -2; \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -2 + 1; \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -1; \ quad \ left | \ cdot \ bal (-1 \ jobb) \ jobb. \\ & ((x) ^ (2)) \ le 1. \\\ end (igazítás) \]

Itt óvatosnak kell lenni. Sok diák szeret egyszerűen kivonatolni Négyzetgyök az egyenlőtlenség mindkét oldalát, és írjon valami ilyesmit: $ x \ le 1 \ Rightarrow x \ in \ left (- \ infty; -1 \ right] $. Ezt soha nem szabad megtenni, mivel egy pontos négyzet gyöke modul, és semmi esetre sem az eredeti változó:

\ [\ sqrt (((x) ^ (2))) = \ bal | x \ jobbra | \]

A modulokkal való munka azonban nem a legkellemesebb élmény, igaz? Tehát nem fogunk dolgozni. Ehelyett csak mozgassuk az összes tagot balra, és oldjuk meg a szokásos egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel:

$ \ kezdődik (igazítás) & ((x) ^ (2)) - 1 \ le 0; \\ & \ bal (x-1 \ jobb) \ bal (x + 1 \ jobb) \ le 0 \\ & ((x) _ (1)) = 1; \ quad ((x) _ (2)) = -1; \\\ vége (igazítás) $

Ismét jelölje meg a kapott pontokat a számegyenesen, és nézze meg a jeleket:

Figyelem: a pontok ki vannak töltve

Mivel egy nem szigorú egyenlőtlenséget oldottunk meg, a grafikonon minden pont ki van töltve. Ezért a válasz a következő lesz: $ x \ in \ left [-1; 1 \ right] A $ nem intervallum, hanem szegmens.

Általánosságban szeretném megjegyezni, hogy az exponenciális egyenlőtlenségekben nincs semmi bonyolult. A ma végrehajtott összes átalakítás jelentése egy egyszerű algoritmusban rejlik:

• Keresse meg az alapot, amelyre az összes fokozatot csökkenteni fogjuk;
• Óvatosan hajtsa végre a transzformációkat, hogy megkapja a $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ alakú egyenlőtlenséget. Természetesen a $ x $ és a $ n $ változók helyett sokkal több is lehet összetett funkciók, de a jelentés ettől nem fog változni;
• Húzd át a fokok alapjait. Ebben az esetben az egyenlőtlenség előjele változhat, ha az alap $ a \ lt 1 $.

Valójában ez egy univerzális algoritmus minden ilyen egyenlőtlenség megoldására. És minden, ami ebben a témában még elárulja, csak konkrét technikák és trükkök az átalakulás egyszerűsítésére és felgyorsítására. Most egy ilyen technikáról fogunk beszélni. :)

Racionalizálási módszer

Tekintsünk még egy adag egyenlőtlenséget:

\ [\ kezdődik (igazítás) & ((\ szöveg () \! \! \ pi \! \! \ szöveg ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ szöveg () \! \! \ pi \! \! \ szöveg ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)); \\ & ((\ bal (2 \ négyzet (3) -3 \ jobb)) ^ ((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1; \\ & ((\ balra (\ frak (1) (3) \ jobbra)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ balra (\ frac (1) (9) \ jobbra)) ^ (16-x)); \\ & ((\ balra (3-2 \ négyzetméter (2) \ jobbra)) ^ (3x - (x) ^ (2)))) \ lt 1. \\\ vége (igazítás) \]

Tehát mi olyan különleges bennük? Könnyűek. Bár, állj meg! A π-t valamilyen mértékben emelik? Mi ez a hülyeség?

Hogyan lehet a $ 2 \ sqrt (3) -3 $ számot hatványra emelni? Vagy 3-2 $ \ négyzetméter (2) $? A probléma írói nyilván berúgtak Hawthornba, mielőtt munkába álltak. :)

Valójában ezekkel a feladatokkal nincs is baj. Hadd emlékeztesselek: az exponenciális függvény a $ ((a) ^ (x)) $ formájú kifejezés, ahol a $ a $ alap bármely pozitív szám, egy kivételével. A π szám pozitív – ezt már tudjuk. A $ 2 \ sqrt (3) -3 $ és a $ 3-2 \ sqrt (2) $ számok is pozitívak - ezt könnyen láthatja, ha összehasonlítja őket nullával.

Kiderült, hogy mindezek az "ijesztő" egyenlőtlenségek nem különböznek a fentebb tárgyalt egyszerűektől? És ugyanúgy megoldják? Igen ez így van. Az ő példájukat használva azonban egy olyan technikát szeretnék megfontolni, amely sok időt takarít meg az önálló munkán és a vizsgákon. A racionalizálás módszerére fog összpontosítani. Szóval figyelem:

Bármely $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ alakú exponenciális egyenlőtlenség ekvivalens a $ \ left (xn \ right) \ cdot \ left (a-1 \) egyenlőtlenséggel jobbra) \ gt 0 $.

Ez az egész módszer :) Gondoltad volna, hogy lesz következő játék? Semmi ilyesmi! De ez az egyszerű tény, szó szerint egy sorban leírva, nagyban leegyszerűsíti a munkánkat. Nézd meg:

\ [\ begin (mátrix) ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ text () \! \! \ pi \ ! \! \ szöveg ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)) \\ \ Lefelé \\ \ balra (x + 7- \ balra (((x) ^ (2))) -3x + 2 \ right) \ right) \ cdot \ left (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ right) \ gt 0 \\\ end (mátrix) \]

Nincs több jelző funkció! És nem kell emlékeznie arra, hogy a jel változik-e vagy sem. De egy új probléma merül fel: mi a teendő a kibaszott szorzóval \ [\ left (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ right) \]? Nem tudjuk, mi a π pontos értéke. A kapitány azonban úgy tűnik, a nyilvánvalóságra utal:

\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () \ kb 3,14 ... \ gt 3 \ Jobbra \ text () \! \! \ pi \! \! \ szöveg ( ) - 1 \ gt 3-1 = 2 \]

Általánosságban elmondható, hogy a π pontos értéke nem igazán zavar minket - csak az a fontos, hogy megértsük, hogy minden esetben $ \ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ gt 2 $, azaz .e. ez egy pozitív állandó, és az egyenlőtlenség mindkét oldalát feloszthatjuk vele:

\ [\ kezdés (igazítás) & \ balra (x + 7- \ balra (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ jobbra) \ jobbra) \ cdot \ balra (\ szöveg () \! \! \ pi \! \! \ text () -1 \ right) \ gt 0 \\ & x + 7- \ left (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ jobb) \ gt 0; \\ & x + 7 - ((x) ^ (2)) + 3x-2 \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ gt 0; \ quad \ bal | \ cdot \ bal (-1 \ jobb) \ jobb. \\ & ((x) ^ (2)) - 4x-5 \ lt 0; \\ & \ bal (x-5 \ jobb) \ bal (x + 1 \ jobb) \ lt 0. \\\ vége (igazítás) \]

Mint látható, egy bizonyos pillanatban mínusz eggyel kellett osztanom - és az egyenlőtlenség előjele megváltozott. A végén kibővítettem a négyzetes trinomit Vieta tétele szerint - nyilvánvaló, hogy a gyökök egyenlőek $ ((x) _ (1)) = 5 $ és $ ((x) _ (2)) = - 1 $. Ezután mindent a klasszikus intervallum-módszerrel oldanak meg:

Az egyenlőtlenség megoldása intervallum módszerrel

Minden pont ki van szúrva, mert az eredeti egyenlőtlenség szigorú. Minket a negatív értékű terület érdekel, ezért a válasz $ x \ in \ left (-1; 5 \ right) $. Ez az egész megoldás. :)

Térjünk át a következő feladatra:

\ [((\ bal (2 \ négyzet (3) -3 \ jobb)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 \]

Általában itt minden egyszerű, mert van egy a jobb oldalon. És ne feledjük, hogy az egy tetszőleges szám nulla fokig. Még akkor is, ha ez a szám irracionális kifejezés a bal alsó sarokban:

\ [\ kezdődik (igazítás) & ((\ balra (2 \ sqrt (3) -3 \ jobbra)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 = ((\ balra (2) \ sqrt (3) -3 \ jobbra)) ^ (0)); \\ & ((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ right)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt ((\ left (2 \ sqrt (3) -3) \ jobbra)) ^ (0)); \\\ vége (igazítás) \]

Nos, ésszerűsítsük:

\ [\ start (igazítás) & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot \ left (2 \ sqrt (3) -3-1 \ right) \ lt 0; \\ & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot \ left (2 \ sqrt (3) -4 \ right) \ lt 0; \\ & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 0. \\\ end (igazítás) \ ]

Már csak a jelekkel kell foglalkozni. A $ 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) $ tényező nem tartalmazza a $ x $ változót - ez csak egy konstans, és meg kell találnunk az előjelét. Ehhez vegye figyelembe a következőket:

\ [\ kezd (mátrix) \ sqrt (3) \ lt \ sqrt (4) = 2 \\ \ Lefelé \\ 2 \ balra (\ sqrt (3) -2 \ jobbra) \ lt 2 \ cdot \ balra (2 -2 \ jobb) = 0 \\\ vége (mátrix) \]

Kiderült, hogy a második tényező nem csak egy állandó, hanem egy negatív állandó! És ha osztunk vele, az eredeti egyenlőtlenség előjele az ellenkezőjére változik:

\ [\ kezd (igazítás) & \ balra (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ jobbra) \ cdot 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ jobbra) \ lt 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 2x-0 \ gt 0; \\ & x \ bal (x-2 \ jobb) \ gt 0. \\\ vége (igazítás) \]

Most minden egészen nyilvánvalóvá válik. A jobb oldali négyzetháromság gyökei: $ ((x) _ (1)) = 0 $ és $ ((x) _ (2)) = 2 $. Jelöljük őket a számegyenesen, és megnézzük a $ f \ left (x \ right) = x \ left (x-2 \ right) $ függvény előjeleit:

Az az eset, amikor oldalintervallumokra vagyunk kíváncsiak

A pluszjellel jelölt intervallumokra vagyunk kíváncsiak. Már csak a választ le kell írni:

Továbblépve a következő példára:

\ [((\ balra (\ frac (1) (3) \ jobbra)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ balra (\ frac (1) (9) \ jobb)) ^ (16-x)) \]

Nos, itt minden teljesen nyilvánvaló: az alapokban azonos számú hatványok vannak. Ezért mindent leírok röviden:

\ [\ begin (mátrix) \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1)); \ quad \ frac (1) (9) = \ frac (1) (((3) ^ ( 2))) = ((3) ^ (- 2)) \\ \ Lefelé \\ ((\ balra (((3) ^ (- 1)) \ jobbra)) ^ (((x) ^ (2) ) + 2x)) \ gt ((\ balra (((3) ^ (- 2)) \ jobbra)) ^ (16-x)) \\\ vége (mátrix) \]

\ [\ kezdődik (igazítás) & ((3) ^ (- 1 \ cdot \ balra (((x) ^ (2)) + 2x \ jobbra))) \ gt ((3) ^ (- 2 \ cdot \ balra (16-x \ jobbra))); \\ & ((3) ^ (- ((x) ^ (2)) - 2x)) \ gt ((3) ^ (- 32 + 2x)); \\ & \ bal (- ((x) ^ (2)) - 2x- \ bal (-32 + 2x \ jobb) \ jobb) \ cdot \ bal (3-1 \ jobb) \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) - 2x + 32-2x \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) - 4x + 32 \ gt 0; \ quad \ bal | \ cdot \ bal (-1 \ jobb) \ jobb. \\ & ((x) ^ (2)) + 4x-32 \ lt 0; \\ & \ bal (x + 8 \ jobb) \ bal (x-4 \ jobb) \ lt 0. \\\ vége (igazítás) \]

Mint látható, az átalakulási folyamat során szoroznunk kellett negatív szám, tehát az egyenlőtlenség jele megváltozott. A legvégén ismét alkalmaztam Vieta tételét egy négyzetes trinom faktorizálására. Ennek eredményeként a válasz a következő lesz: $ x \ in \ left (-8; 4 \ right) $ - aki szeretné, ezt egy számegyenes rajzolásával, a pontok megjelölésével és a jelek megszámlálásával ellenőrizheti. Addig is áttérünk a "halmazunk" utolsó egyenlőtlenségére:

\ [((\ bal (3-2 \ négyzet (2) \ jobb)) ^ (3x - (x) ^ (2)))) \ lt 1 \]

Mint látható, a tövében ismét egy irracionális szám van, a jobb oldalon pedig ismét egy. Ezért az exponenciális egyenlőtlenségünket a következőképpen írjuk át:

\ [((\ bal (3-2 \ négyzet (2) \ jobb)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt ((\ bal (3-2 \ négyzet (2)) \ jobbra)) ^ (0)) \]

Racionalizálást alkalmazunk:

\ [\ kezd (igazítás) & \ balra (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ jobbra) \ cdot \ balra (3-2 \ sqrt (2) -1 \ jobbra) \ lt 0; \\ & \ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot \ left (2-2 \ sqrt (2) \ right) \ lt 0; \\ & \ left (3x - (x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot 2 \ left (1- \ sqrt (2) \ right) \ lt 0. \\\ end (igazítás) \ ]

Az azonban teljesen nyilvánvaló, hogy $ 1- \ sqrt (2) \ lt 0 $, mivel $ \ sqrt (2) \ kb 1,4 ... \ gt 1 $. Ezért a második tényező ismét egy negatív állandó, amellyel az egyenlőtlenség mindkét oldala felosztható:

\ [\ kezdődik (mátrix) \ balra (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ jobbra) \ cdot 2 \ left (1- \ sqrt (2) \ right) \ lt 0 \\ \ Lefelé \ \\ vége (mátrix) \]

\ [\ kezdődik (igazítás) & 3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ gt 0; \\ & 3x - ((x) ^ (2)) \ gt 0; \ quad \ left | \ cdot \ bal (-1 \ jobb) \ jobb. \\ & ((x) ^ (2)) - 3x \ lt 0; \\ & x \ bal (x-3 \ jobb) \ lt 0. \\\ vége (igazítás) \]

Költözés egy másik bázisra

Külön probléma az exponenciális egyenlőtlenségek megoldásában a „helyes” alap keresése. Sajnos első ránézésre egy megbízásnál nem mindig egyértelmű, hogy mit kell alapul venni, és ennek mértéke szerint mit kell tenni.

De ne aggódj: itt nincs varázslat vagy "titkos" technológia. A matematikában minden olyan készség, amely nem algoritmizálható, könnyen fejleszthető gyakorlással. Ehhez azonban különböző bonyolultságú problémákat kell megoldania. Például ezek a következők:

\ [\ kezdődik (igazítás) & ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))); \\ & ((\ balra (\ frac (1) (3) \ jobbra)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)); \\ & ((\ bal (0,16 \ jobb)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ bal (6,25 \ jobb)) ^ (x)) \ ge 1; \\ & ((\ bal (\ frac (27) (\ négyzet (3)) \ jobb)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81. \\\ vége (igazítás) \]

Kemény? Félve? Könnyebb, mint egy csirke az aszfalton! Próbáljuk meg. Első egyenlőtlenség:

\ [((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))) \]

Nos, szerintem itt minden világos, és egy sündisznó:

Átírjuk az eredeti egyenlőtlenséget, mindent a "kettő" alapra redukálva:

\ [((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((2) ^ (\ frac (8) (x))) \ jobbra \ balra (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ jobbra) \ cdot \ balra (2-1 \ jobbra) \ lt 0 \]

Igen, igen, jól értetted: csak a fent leírt racionalizálási módszert alkalmaztam. Most óvatosan kell dolgoznunk: van egy tört-racionális egyenlőtlenségünk (ez egy változó a nevezőben), ezért mielőtt valamit nullával egyenlővé teszünk, mindent közös nevezőre kell hozni, és meg kell szabadulni az állandótól. tényező.

\ [\ kezd (igazítás) & \ balra (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ jobbra) \ cdot \ left (2-1 \ right) \ lt 0; \\ & \ left (\ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ right) \ cdot 1 \ lt 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ lt 0. \\\ vége (igazítás) \]

Most a szabványos térközelítési módszert használjuk. A számláló nullái: $ x = \ pm 4 $. A nevező csak akkor tűnik el, ha $ x = 0 $. Összességében három pontot kell a számegyenesen jelölni (minden pont ki van szúrva, mivel az egyenlőtlenség jele szigorú). Kapunk:

Bonyolultabb eset: három gyökér

Ahogy sejtheti, a sraffozás azokat az intervallumokat jelöli, amelyeknél a bal oldali kifejezés negatív értékeket vesz fel. Ezért a végső válaszba egyszerre két intervallum kerül be:

Az intervallumok végeit nem tartalmazza a válasz, mert az eredeti egyenlőtlenség szigorú volt. A válasz további ellenőrzésére nincs szükség. Ebben a tekintetben az exponenciális egyenlőtlenségek sokkal egyszerűbbek, mint a logaritmikusok: nincs ODV, nincsenek korlátozások stb.

Térjünk át a következő feladatra:

\ [((\ balra (\ frac (1) (3) \ jobbra)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)) \]

Itt sincs semmi probléma, hiszen már tudjuk, hogy $ \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1)) $, így az egész egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\ [\ kezd (igazítás) & ((\ balra (((3) ^ (- 1)) \ jobbra)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x )) \ Jobbra nyíl ((3) ^ (- \ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)); \\ & \ left (- \ frac (3) (x) - \ left (2 + x \ right) \ right) \ cdot \ left (3-1 \ right) \ ge 0; \\ & \ left (- \ frac (3) (x) -2-x \ right) \ cdot 2 \ ge 0; \ quad \ left | : \ bal (-2 \ jobb) \ jobb. \\ & \ frac (3) (x) + 2 + x \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 3) (x) \ le 0. \\\ vége (igazítás) \]

Kérjük, vegye figyelembe: a harmadik sorban úgy döntöttem, hogy nem vesztegetem az időt apróságokra, és mindent azonnal felosztok (-2-re). Az első zárójelbe mentem (most mindenhol pluszok vannak), és a kettőt állandó tényezővel törölték. Pontosan ezt kell tennie, amikor valódi számításokat végez független és vezérlés működik- nem szükséges minden cselekvést és átalakulást közvetlenül lefesteni.

Ezután az ismert térközelítési módszer lép működésbe. Számláló nullák: de nem azok. Mert a diszkrimináns negatív lesz. A nevező viszont csak $ x = 0 $ értéknél nullázódik - mint legutóbb. Nos, egyértelmű, hogy a $ x = 0 $-tól jobbra a tört pozitív értékeket vesz fel, balra pedig negatív értékeket. Mivel minket a negatív értékek érdekelnek, a végső válasz: $ x \ in \ left (- \ infty; 0 \ right) $.

\ [((\ bal (0,16 \ jobb)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ bal (6,25 \ jobb)) ^ (x)) \ ge 1 \]

De mit kell tenni a tizedes törtekkel az exponenciális egyenlőtlenségekben? Így van: szabadulj meg tőlük, fordítsd át őket hétköznapira. Tehát lefordítjuk:

\ [\ kezdődik (igazítás) & 0,16 = \ frac (16) (100) = \ frac (4) (25) \ jobbra nyíl ((\ balra (0,16 \ jobbra)) ^ (1 + 2x)) = ((\ bal (\ frac (4) (25) \ jobb)) ^ (1 + 2x)); \\ & 6,25 = \ frac (625) (100) = \ frac (25) (4) \ jobbra nyíl ((\ balra (6,25 \ jobbra)) ^ (x)) = ((\ balra (\ frac (25)) (4) \ jobbra)) ^ (x)). \\\ vége (igazítás) \]

Mit kaptunk tehát az exponenciális függvények alapjaiban? És kaptunk két kölcsönösen fordított számot:

\ [\ frac (25) (4) = ((\ balra (\ frac (4) (25) \ jobbra)) ^ (- 1)) \ Jobbra nyíl ((\ balra (\ frac (25) (4)) \ jobbra)) ^ (x)) = ((\ balra (((\ balra (\ frak (4) (25) \ jobbra)) ^ (- 1)) \ jobbra)) ^ (x)) = ((\ balra (\ frac (4) (25) \ jobbra)) ^ (- x)) \]

Így az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\ [\ kezdődik (igazítás) & ((\ balra (\ frac (4) (25) \ jobbra)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ balra (\ frac (4) (25) \ jobbra) ) ^ (- x)) \ ge 1; \\ & ((\ balra (\ frac (4) (25) \ jobbra)) ^ (1 + 2x + \ balra (-x \ jobbra))) \ ge ((\ balra (\ frac (4)) (25 ) \ jobbra)) ^ (0)); \\ & ((\ bal (\ frak (4) (25) \ jobb)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ bal (\ frak (4) (25) \ jobb)) ^ (0) ). \\\ vége (igazítás) \]

Természetesen az azonos bázisú fokok szorzásakor a mutatóik összeadódnak, ami a második sorban történt. Ezen kívül a jobb oldali egységet mutattuk be, szintén 4/25-ös bázisú diploma formájában. Már csak a racionalizálást kell elvégezni:

\ [((\ balra (\ frac (4) (25) \ jobbra)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ balra (\ frac (4) (25) \ jobbra)) ^ (0)) \ jobbra \ balra (x + 1-0 \ jobbra) \ cdot \ balra (\ frac (4) (25) -1 \ jobbra) \ ge 0 \]

Vegye figyelembe, hogy $ \ frac (4) (25) -1 = \ frac (4-25) (25) \ lt 0 $, azaz. a második tényező egy negatív állandó, és ha elosztjuk vele, az egyenlőtlenség előjele megváltozik:

\ [\ kezd (igazítás) & x + 1-0 \ le 0 \ Jobbra nyíl x \ le -1; \\ & x \ in \ left (- \ infty; -1 \ right]. \\\ end (igazítás) \]

Végül az utolsó egyenlőtlenség a jelenlegi "halmazból":

\ [((\ bal (\ frac (27) (\ négyzet (3)) \ jobb)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81 \]

Elvileg a megoldás ötlete itt is világos: az egyenlőtlenségben szereplő összes exponenciális függvényt a "3" alapra kell csökkenteni. De ehhez egy kicsit bütykölni kell a gyökerekkel és a fokozatokkal:

\ [\ begin (igazítás) & \ frac (27) (\ sqrt (3)) = \ frac (((3) ^ (3))) (((3) ^ (\ frac (1) (3)) )) = ((3) ^ (3- \ frac (1) (3))) = ((3) ^ (\ frac (8) (3))); \\ & 9 = ((3) ^ (2)); \ quad 81 = ((3) ^ (4)). \\\ vége (igazítás) \]

Ezeket a tényeket figyelembe véve az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\ [\ kezd (igazítás) & ((\ balra (((3) ^ (\ frac (8) (3))) \ jobbra)) ^ (- x)) \ lt ((\ balra (((3)) ^ (2)) \ jobbra)) ^ (4-2x)) \ cdot ((3) ^ (4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x)) \ cdot ((3) ^ (4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x + 4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (4-4x)). \\\ vége (igazítás) \]

Ügyeljen a 2. és 3. számítási sorra: mielőtt bármit is tenne az egyenlőtlenséggel, feltétlenül hozza azt a formába, amelyről az óra elején beszéltünk: $ ((a) ^ (x)) \ lt (a) ^ (n)) $. Mindaddig, amíg van néhány bal oldali tényező, további állandók stb. a bal vagy a jobb oldalon, racionalizálás és az indokok "áthúzása" nem végezhető el! Számtalan feladat ment rosszul ennek az egyszerű ténynek a félreértése miatt. Magam is folyamatosan figyelem ezt a problémát hallgatóim körében, amikor még csak most kezdjük az exponenciális és logaritmikus egyenlőtlenségek elemzését.

De térjünk vissza a problémánkhoz. Próbáljunk meg ezúttal racionalizálás nélkül. Ne feledje: a fokszám alapja nagyobb, mint egy, így a hármasokat egyszerűen át lehet húzni - az egyenlőtlenség jele ebben az esetben nem változik. Kapunk:

\ [\ kezd (igazítás) & - \ frac (8x) (3) \ lt 4-4x; \\ & 4x- \ frac (8x) (3) \ lt 4; \\ & \ frac (4x) (3) \ lt 4; \\ & 4x \ lt 12; \\ & x \ lt 3. \\\ vége (igazítás) \]

Ez minden. A végső válasz: $ x \ in \ left (- \ infty; 3 \ right) $.

Stabil kifejezés kiemelése és változó cseréje

Befejezésül négy további exponenciális egyenlőtlenség megoldását javaslom, amelyek már a képzetlen hallgatók számára is meglehetősen nehézkesek. Ahhoz, hogy megbirkózzon velük, emlékeznie kell a diplomákkal való munka szabályaira. Különösen a gyakori tényezők zárójelből való kiemelése.

De a legfontosabb dolog az, hogy megtanuljuk megérteni, hogy pontosan mit lehet kivenni a zárójelekből. Az ilyen kifejezést stabilnak nevezzük - új változóval jelölhetjük ki, és így megszabadulhatunk az exponenciális függvénytől. Tehát nézzük a feladatokat:

\ [\ kezdődik (igazítás) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \ ge 6; \\ & ((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90; \\ & ((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \ gt 2500; \\ & ((\ balra (0,5 \ jobbra)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1,5)) \ gt 768. \\\ vége (igazítás) \]

Kezdjük a legelső sorral. Írjuk ezt az egyenlőtlenséget külön:

\ [((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \ ge 6 \]

Vegye figyelembe, hogy $ ((5) ^ (x + 2)) = ((5) ^ (x + 1 + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \ cdot 5 $, tehát a jobb oldali oldala átírhatja:

Figyeljük meg, hogy az egyenlőtlenségben a $ ((5) ^ (x + 1)) $ kivételével nincs más exponenciális függvény. És általában a $ x $ változó sehol máshol nem található, ezért bevezetünk egy új változót: $ ((5) ^ (x + 1)) = t $. A következő konstrukciót kapjuk:

\ [\ kezd (igazítás) & 5t + t \ ge 6; \\ & 6t \ ge 6; \\ & t \ ge 1. \\\ end (igazítás) \]

Visszatérünk az eredeti változóhoz ($ t = ((5) ^ (x + 1)) $), és egyúttal ne feledjük, hogy 1 = 5 0. Nekünk van:

\ [\ kezdődik (igazítás) & ((5) ^ (x + 1)) \ ge ((5) ^ (0)); \\ & x + 1 \ ge 0; \\ & x \ ge -1. \\\ vége (igazítás) \]

Ez az egész megoldás! Válasz: $ x \ in \ left [-1; + \ infty \ right) $. Áttérünk a második egyenlőtlenségre:

\ [((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90 \]

Itt minden ugyanaz. Vegye figyelembe, hogy $ ((3) ^ (x + 2)) = ((3) ^ (x)) \ cdot ((3) ^ (2)) = 9 \ cdot ((3) ^ (x)) $ . .. Ezután a bal oldalt át lehet írni:

\ [\ kezdődik (igazítás) & ((3) ^ (x)) + 9 \ cdot ((3) ^ (x)) \ ge 90; \ quad \ left | ((3) ^ (x)) = t \ jobbra. \\ & t + 9t \ ge 90; \\ & 10t \ ge 90; \\ & t \ ge 9 \ Jobbra nyíl ((3) ^ (x)) \ ge 9 \ Jobbra nyíl ((3) ^ (x)) \ ge ((3) ^ (2)); \\ & x \ ge 2 \ Jobbra nyíl x \ in \ balra [2; + \ infty \ jobbra). \\\ vége (igazítás) \]

Körülbelül így kell döntést hozni a valódi irányításról és az önálló munkáról.

Nos, próbáljunk meg valami bonyolultabbat. Például itt van egy egyenlőtlenség:

\ [((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \ gt 2500 \]

Mi itt a probléma? Először is, a bal oldali exponenciális függvények alapjai különböznek: 5 és 25. Azonban 25 = 5 2, tehát az első tag átalakítható:

\ [\ kezdődik (igazítás) & ((25) ^ (x + 1,5)) = ((\ balra (((5) ^ (2)) \ jobbra)) ^ (x + 1,5)) = ((5) ^ (2x + 3)); \\ & ((5) ^ (2x + 3)) = ((5) ^ (2x + 2 + 1)) = ((5) ^ (2x + 2)) \ cdot 5. \\\ end (igazítás) ) \]

Mint látható, eleinte mindent ugyanarra a bázisra vezettünk, majd azt vettük észre, hogy az első tag könnyen redukálható a másodikra ​​- elég csak bővíteni a mutatót. Most már nyugodtan bevezethet egy új változót: $ ((5) ^ (2x + 2)) = t $, és a teljes egyenlőtlenség a következőképpen lesz átírva:

\ [\ kezd (igazítás) & 5t-t \ ge 2500; \\ & 4t \ ge 2500; \\ & t \ ge 625 = ((5) ^ (4)); \\ & ((5) ^ (2x + 2)) \ ge ((5) ^ (4)); \\ & 2x + 2 \ ge 4; \\ & 2x \ ge 2; \\ & x \ ge 1. \\\ vége (igazítás) \]

Még egyszer: semmi nehézség! A végső válasz: $ x \ in \ left [1; + \ infty \ right) $. Továbblépve a végső egyenlőtlenségre a mai leckében:

\ [((\ bal (0,5 \ jobb)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1,5)) \ gt 768 \]

Természetesen az első dolog, amire figyelni kell, decimális az első fok tövében. Meg kell szabadulni tőle, és ugyanakkor az összes exponenciális függvényt ugyanarra az alapra kell vinni - a „2” számra:

\ [\ kezdődik (igazítás) & 0,5 = \ frac (1) (2) = ((2) ^ (- 1)) \ Jobbra nyíl ((\ balra (0,5 \ jobbra)) ^ (- 4x-8)) = ((\ balra (((2) ^ (- 1)) \ jobbra)) ^ (- 4x-8)) = ((2) ^ (4x + 8)); \\ & 16 = ((2) ^ (4)) \ jobbra nyíl ((16) ^ (x + 1,5)) = ((\ balra (((2) ^ (4)) \ jobbra)) ^ ( x + 1,5)) = ((2) ^ (4x + 6)); \\ & ((2) ^ (4x + 8)) - ((2) ^ (4x + 6)) \ gt 768. \\\ end (igazítás) \]

Remek, megtettük az első lépést – minden ugyanarra az alapra vezetett. Most ki kell választanunk egy stabil kifejezést. Vegye figyelembe, hogy $ ((2) ^ (4x + 8)) = ((2) ^ (4x + 6 + 2)) = ((2) ^ (4x + 6)) \ cdot 4 $. Ha bevezetünk egy új változót $ ((2) ^ (4x + 6)) = t $, akkor az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\ [\ kezdődik (igazítás) & 4t-t \ gt 768; \\ & 3t \ gt 768; \\ & t \ gt 256 = ((2) ^ (8)); \\ & ((2) ^ (4x + 6)) \ gt ((2) ^ (8)); \\ & 4x + 6 \ gt 8; \\ & 4x \ gt 2; \\ & x \ gt \ frac (1) (2) = 0,5. \\\ vége (igazítás) \]

Természetesen felmerülhet a kérdés: hogyan tudtuk meg, hogy 256 = 2 8? Sajnos itt csak a kettő (és egyben a három és az öt) hatványait kell ismerni. Nos, vagy osszuk el a 256-ot 2-vel (lehet osztani, hiszen a 256 páros szám), amíg meg nem kapjuk az eredményt. Valahogy így fog kinézni:

\ [\ kezdődik (igazítás) & 256 = 128 \ cdot 2 = \\ & = 64 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 32 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 16 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 8 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 4 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = ((2) ^ (8)). \ Vége (igazítás) ) \]

Ugyanez a helyzet a hárommal (9, 27, 81 és 243 a hatványai), és a héttel (a 49-es és 343-as számokat is jó lenne megjegyezni). Nos, az első ötben is vannak "szép" diplomák, amelyeket tudnod kell:

\ [\ kezdődik (igazítás) & ((5) ^ (2)) = 25; \\ & ((5) ^ (3)) = 125; \\ & ((5) ^ (4)) = 625; \\ & ((5) ^ (5)) = 3125. \\\ vége (igazítás) \]

Természetesen ezek a számok, ha szükséges, az elmében rekonstruálhatók, egyszerűen egymás utáni szorzással. Ha azonban több exponenciális egyenlőtlenséget kell megoldania, és mindegyik következő bonyolultabb, mint az előző, akkor az utolsó dolog, amire gondolni kell, néhány szám hatványa. És ebben az értelemben ezek a problémák összetettebbek, mint a „klasszikus” egyenlőtlenségek, amelyeket az intervallumok módszerével oldanak meg.

Remélem, hogy ez az oktatóanyag segített a téma elsajátításában. Ha valami nem világos - kérdezze meg a megjegyzésekben. És találkozunk a következő órákon. :)

Az exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek azok az egyenletek és egyenlőtlenségek, amelyekben az ismeretlen benne van a kitevőben.

Az exponenciális egyenletek megoldása gyakran az a x = a b egyenlet megoldására redukálódik, ahol a> 0, és ≠ 1, x egy ismeretlen. Ennek az egyenletnek egyedi gyöke van x = b, mivel a következő tétel igaz:

Tétel. Ha a > 0, a ≠ 1 és a x 1 = a x 2, akkor x 1 = x 2.

A megfontolt állítást igazoljuk.

Tegyük fel, hogy az x 1 = x 2 egyenlőség nem áll fenn, azaz. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, akkor az y = ax exponenciális függvény növekszik és ezért az a x 1 egyenlőtlenség< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >egy x 2. Mindkét esetben ellentmondást kaptunk az a x 1 = a x 2 feltételre.

Nézzünk meg több feladatot.

Oldja meg a 4 ∙ 2 x = 1 egyenletet.

Megoldás.

Az egyenletet 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0 alakban írjuk fel, ahonnan x + 2 = 0-t kapunk, azaz. x = -2.

Válasz. x = -2.

Oldja meg a 2 3x ∙ 3 x = 576 egyenletet.

Megoldás.

Mivel 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, az egyenlet felírható 8 x ∙ 3 x = 24 2 vagy 24 x = 24 2 formában.

Így azt kapjuk, hogy x = 2.

Válasz. x = 2.

Oldja meg a 3 x + 1 - 2 ∙ 3 ​​x - 2 = 25 egyenletet.

Megoldás.

A zárójelek bal oldalát kivéve közös tényező 3 x - 2, azt kapjuk, hogy 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

ahonnan 3 x - 2 = 1, azaz. x - 2 = 0, x = 2.

Válasz. x = 2.

Oldja meg a 3x egyenletet = 7x.

Megoldás.

Mivel 7 x ≠ 0, az egyenlet 3 x / 7 x = 1 formában írható fel, ahonnan (3/7) x = 1, x = 0.

Válasz. x = 0.

Oldja meg a 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0 egyenletet.

Megoldás.

3 x = a helyettesítésével ez az egyenlet az a 2 - 4a - 45 = 0 másodfokú egyenletre redukálódik.

Ezt az egyenletet megoldva megtaláljuk a gyökereit: a 1 = 9, a 2 = -5, ahonnan 3 x = 9, 3 x = -5.

A 3 x = 9 egyenlet gyöke 2, a 3 x = -5 egyenletnek pedig nincs gyöke, mivel az exponenciális függvény nem vehet fel negatív értékeket.

Válasz. x = 2.

Az exponenciális egyenlőtlenségek megoldása gyakran az a x> a b vagy a x egyenlőtlenségek megoldására redukálódik< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Nézzünk néhány feladatot.

Oldja meg a 3 x egyenlőtlenséget< 81.

Megoldás.

Az egyenlőtlenséget 3 x alakba írjuk< 3 4 . Так как 3 >1, akkor az y = 3 x függvény növekszik.

Ezért x-re< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Így x-re< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Válasz. NS< 4.

Oldja meg a 16 x +4 x - 2> 0 egyenlőtlenséget.

Megoldás.

Jelöljük 4 x = t, ekkor kapjuk a t2 + t - 2> 0 négyzetegyenlőtlenséget.

Ez az egyenlőtlenség t< -2 и при t > 1.

Mivel t = 4 x, két 4 x egyenlőtlenséget kapunk< -2, 4 х > 1.

Az első egyenlőtlenségnek nincs megoldása, mivel 4 x> 0 minden x ∈ R esetén.

A második egyenlőtlenséget 4 x> 4 0 alakban írjuk, ahonnan x> 0.

Válasz. x> 0.

Oldja meg grafikusan az (1/3) x = x - 2/3 egyenletet!

Megoldás.

1) Készítsük el az y = (1/3) x és y = x - 2/3 függvények grafikonjait.

2) Ábránk alapján megállapíthatjuk, hogy a vizsgált függvények grafikonjai egy pontban metszik egymást az abszcissza x ≈ 1 értékkel.

x = 1 - ennek az egyenletnek a gyöke:

(1/3) 1 = 1/3 és 1 - 2/3 = 1/3.

Más szóval, megtaláltuk az egyenlet egyik gyökerét.

3) Keressünk más gyökereket, vagy bizonyítsuk be, hogy nincsenek. Az (1/3) x függvény csökken, az y = x - 2/3 függvény pedig növekszik. Ezért x> 1 esetén az első függvény értéke kisebb, mint 1/3, a másodiké pedig több, mint 1/3; x-nél< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 és x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Válasz. x = 1.

Megjegyzendő, hogy ennek a feladatnak a megoldásából különösen az következik, hogy az (1/3) x> x - 2/3 egyenlőtlenség érvényes x-re< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Óra és előadás a következő témában: "Exponenciális egyenletek és exponenciális egyenlőtlenségek"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, véleményeiket, kívánságaikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrizte.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az "Integral" online áruházban a 11. osztály számára
Interaktív oktatóanyag 9-11. osztályosoknak „Trigonometria”
Interaktív oktatóprogram 10-11. osztályosoknak „Logaritmusok”

Exponenciális egyenletek meghatározása

Srácok, tanulmányoztuk az exponenciális függvényeket, megtanultuk tulajdonságaikat és grafikonokat építettünk, példákat elemeztünk olyan egyenletekre, amelyekben exponenciális függvények találkoztak. Ma exponenciális egyenleteket és egyenlőtlenségeket fogunk tanulmányozni.

Meghatározás. A következő alakú egyenletek: $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, ahol $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $ exponenciális egyenleteknek nevezzük.

Emlékezve az „Exponenciális függvény” témakörben tanulmányozott tételekre, bevezethetünk egy új tételt:
Tétel. A $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $ exponenciális egyenlet, ahol $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $, ekvivalens a $ f (x) = g (x) egyenlettel ) $.

Példák exponenciális egyenletekre

Példa.
Egyenletek megoldása:
a) 3 $ ^ (3x-3) = 27 $.
b) $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0,2) = \ sqrt (\ frac (2) (3)) $.
c) 5 $ ^ (x ^ 2-6x) = 5 ^ (- 3x + 18) $.
Megoldás.
a) Jól tudjuk, hogy 27 $ = 3 ^ 3 $.
Írjuk át az egyenletünket: $ 3 ^ (3x-3) = 3 ^ 3 $.
A fenti tételt felhasználva azt kapjuk, hogy az egyenletünket a $ 3x-3 = 3 $ egyenletre redukáljuk, ezt az egyenletet megoldva $ x = 2 $ egyenletet kapunk.
Válasz: $ x = 2 $.

B) $ \ sqrt (\ frac (2) (3)) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5)) $.
Ekkor az egyenletünk átírható: $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0,2) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5) ) = ((\ frac (2) (3))) ^ (0,2) $.
$ 2x + 0,2 = $ 0,2.
$ x = 0 $.
Válasz: $ x = 0 $.

C) Az eredeti egyenlet ekvivalens a következő egyenlettel: $ x ^ 2-6x = -3x + 18 $.
$ x ^ 2-3x-18 = 0 $.
$ (x-6) (x + 3) = 0 $.
$ x_1 = 6 $ és $ x_2 = -3 $.
Válasz: $ x_1 = 6 $ és $ x_2 = -3 $.

Példa.
Oldja meg az egyenletet: $ \ frac (((0,25)) ^ (x-0,5)) (\ sqrt (4)) = 16 * ((0,0625)) ^ (x + 1) $.
Megoldás:
Egymás után végrehajtunk egy műveletsort, és az egyenletünk mindkét oldalát ugyanarra az alapra hozzuk.
Végezzünk el egy sor műveletet a bal oldalon:
1) $ ((0,25)) ^ (x-0,5) = ((\ frac (1) (4))) ^ (x-0,5) $.
2) $ \ sqrt (4) = 4 ^ (\ frac (1) (2)) $.
3) $ \ frac (((0,25)) ^ (x-0,5)) (\ sqrt (4)) = \ frac (((\ frac (1) (4))) ^ (x-0, 5)) (4 ^ (\ frac (1) (2))) = \ frak (1) (4 ^ (x-0,5 + 0,5)) = \ frak (1) (4 ^ x) = ((\ frac (1) (4))) ^ x $.
Menjünk tovább a jobb oldalra:
4) $16=4^2$.
5) $ ((0,0625)) ^ (x + 1) = \ frak (1) ((16) ^ (x + 1)) = \ frak (1) (4 ^ (2x + 2)) $.
6) 16 USD * ((0,0625)) ^ (x + 1) = \ frak (4 ^ 2) (4 ^ (2x + 2)) = 4 ^ (2-2x-2) = 4 ^ (- 2x ) = \ frac (1) (4 ^ (2x)) = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
Az eredeti egyenlet ekvivalens a következő egyenlettel:
$ ((\ frac (1) (4))) ^ x = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
$ x = 2x $.
$ x = 0 $.
Válasz: $ x = 0 $.

Példa.
Oldja meg az egyenletet: $ 9 ^ x + 3 ^ (x + 2) -36 = 0 $.
Megoldás:
Írjuk át az egyenletünket: $ ((3 ^ 2)) ^ x + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
$ ((3 ^ x)) ^ 2 + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
Végezzük el a változók változtatását, legyen $ a = 3 ^ x $.
Az új változókban az egyenlet a következő formában jelenik meg: $ a ^ 2 + 9a-36 = 0 $.
$ (a + 12) (a-3) = 0 $.
$ a_1 = -12 $ és $ a_2 = 3 $.
Végezzük el a változók fordított változtatását: $ 3 ^ x = -12 $ és $ 3 ^ x = 3 $.
Az utolsó órán megtanultuk, hogy az exponenciális kifejezések csak pozitív értékeket vehetnek fel, emlékezzen a grafikonra. Ezért az első egyenletnek nincs megoldása, a második egyenletnek egy megoldása van: $ x = 1 $.
Válasz: $ x = 1 $.

Állítsunk össze egy ellenőrzőlistát az exponenciális egyenletek megoldásának módjairól:
1. Grafikus módszer. Az egyenlet mindkét oldalát függvény formájában ábrázoljuk, és ezek grafikonjait megszerkesztjük, megkeressük a gráfok metszéspontjait. (Az utolsó leckében ezt a módszert alkalmaztuk).
2. A mutatók egyenlőségének elve. Az elv azon a tényen alapul, hogy két kifejezéssel ugyanazon az alapon akkor és csak akkor egyenlőek, ha ezen okok fokozatai (mutatói) egyenlőek. $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $ $ f (x) = g (x) $.
3. Változó helyettesítési módszer. Ezt a módszert akkor érdemes alkalmazni, ha az egyenlet változóváltáskor leegyszerűsíti a formáját és sokkal könnyebben megoldható.

Példa.
Oldja meg az egyenletrendszert: $ \ begin (esetek) (27) ^ y * 3 ^ x = 1, \\ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12. \ vége (esetek) $.
Megoldás.
Tekintsük a rendszer mindkét egyenletét külön-külön:
27 $ ^ y * 3 ^ x = 1 $.
3 $ ^ (3 év) * 3 ^ x = 3 ^ 0 $.
3 $ ^ (3 év + x) = 3 ^ 0 $.
$ x + 3y = 0 $.
Tekintsük a második egyenletet:
4 $ ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12 $.
2 $ ^ (2 (x + y)) - 2 ^ (x + y) = 12 $.
Használjuk a változók váltás módszerét, legyen $ y = 2 ^ (x + y) $.
Ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel:
$ y ^ 2-y-12 = 0 $.
$ (y-4) (y + 3) = 0 $.
$ y_1 = 4 $ és $ y_2 = -3 $.
Továbblépve a kezdeti változókra, az első egyenletből $ x + y = 2 $ kapunk. A második egyenletnek nincs megoldása. Aztán a miénk kezdeti rendszer egyenletek egyenértékűek a rendszerrel: $ \ begin (esetek) x + 3y = 0, \\ x + y = 2. \ end (esetek) $.
Az első egyenletből a másodikat kivonva a következőt kapjuk: $ \ begin (esetek) 2y = -2, \\ x + y = 2. \ vége (esetek) $.
$ \ begin (esetek) y = -1, \\ x = 3. \ end (esetek) $.
Válasz: $ (3; -1) $.

Exponenciális egyenlőtlenségek

Térjünk át az egyenlőtlenségekre. Az egyenlőtlenségek megoldásánál figyelni kell a végzettség alapjára. Az egyenlőtlenségek megoldása során két lehetséges forgatókönyv lehetséges az események alakulására.

Tétel. Ha $ a> 1 $, akkor a $ a ^ (f (x))> a ^ (g (x)) $ exponenciális egyenlőtlenség ekvivalens a $ f (x)> g (x) $ egyenlőtlenséggel.
Ha 0 dollár a ^ (g (x)) $ ekvivalens a $ f (x) egyenlőtlenséggel

Példa.
Egyenlőtlenségek megoldása:
a) 3 $ ^ (2x + 3)> 81 $.
b) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) c) $ (0,3) ^ (x ^ 2 + 6x) ≤ (0,3) ^ (4x + 15) $ ...
Megoldás.
a) 3 $ ^ (2x + 3)> 81 $.
3 $ ^ (2x + 3)> 3 ^ 4 $.
Egyenlőtlenségünk egyenlő az egyenlőtlenséggel:
$ 2x + 3> 4 $.
$ 2x> 1 $.
$ x> 0,5 $.

B) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) Egyenletünkben a bázis fokkal kisebb, mint 1, akkor egy egyenlőtlenség ekvivalensre cserélésekor meg kell változtatni az előjelet.
$ 2x-4> 2 $.
$ x> 3 $.

C) Egyenlőtlenségünk egyenlő az egyenlőtlenséggel:
$ x ^ 2 + 6x≥ 4x + 15 $.
$ x ^ 2 + 2x-15≥0 $.
$ (x-3) (x + 5) ≥0 $.
Használjuk az intervallum megoldási módszert:
Válasz: $ (- ∞; -5] U)