Szakasz felezőpontjának koordinátáinak megkeresése: példák, megoldások. Vektorok a bábokhoz. Műveletek vektorokkal. Vektor koordináták. A vektorokkal kapcsolatos legegyszerűbb feladatok A szakasz felezőpontjának koordinátái online

A vektor egy mennyiség, amelyet számértéke és iránya jellemez. Más szóval, a vektor egy irányvonal szakasz. Pozíció vektor Az AB-t a térben a kezdőpont koordinátái adják meg vektor A és végpontok vektor B. Gondolja át, hogyan határozhatja meg a középpont koordinátáit vektor.

Utasítás

Először is határozzuk meg a kezdet és a vég megnevezését vektor... Ha a vektort AB-ként írjuk fel, akkor az A pont a kezdet vektorés a B pont a vége. Fordítva azért vektor BA B pont a kezdés vektorés az A pont a vége. Adjunk egy AB vektort az origó koordinátáival vektor A = (a1, a2, a3) és vége vektor B = (b1, b2, b3). Aztán a koordináták vektor AB a következő lesz: AB = (b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3), azaz. végkoordinátától vektor ki kell vonni a megfelelő kezdőkoordinátát vektor... Hossz vektor Az AB-t (vagy modulját) a koordináták négyzetösszegének négyzetgyökeként számítjuk ki: AB | =? ((b1 - a1) ^ 2 + (b2 - a2) ^ 2 + (b3 - a3) ^ 2).

Keresse meg a középső pont koordinátáit vektor... Jelöljük O = (o1, o2, o3) betűvel. Keresse meg a középpont koordinátáit vektor ugyanúgy, mint egy szabályos szakasz közepének koordinátái, a következő képletek szerint: o1 = (a1 + b1) / 2, o2 = (a2 + b2) / 2, o3 = (a3 + b3) / 2. Keresse meg a koordinátákat vektor AO: AO = (o1 - a1, o2 - a2, o3 - a3) = ((b1 - a1) / 2, (b2 - a2) / 2, (b3 - a3) / 2).

Nézzünk egy példát. Legyen adott egy AB vektor az origó koordinátáival vektor A = (1, 3, 5) és vége vektor B = (3, 5, 7). Aztán a koordináták vektor AB úgy írható fel, hogy AB = (3 - 1, 5 - 3, 7 - 5) = (2, 2, 2). Keresse meg a modult vektor AB: | AB | =? (4 + 4 + 4) = 2 *? 3. A megadott hosszúság értéke vektor segít a középpont koordinátáinak további ellenőrzésében vektor... Ezután megkeressük az O pont koordinátáit: O = ((1 + 3) / 2, (3 + 5) / 2, (5 + 7) / 2) = (2, 4, 6). Aztán a koordináták vektor Az AO-t a következőképpen számítjuk ki: AO = (2-1, 4-3, 6-5) = (1, 1, 1).

Nézzük meg. Hossz vektor AO =? (1 + 1 + 1) =? 3. Emlékezzünk vissza, hogy az eredeti hossza vektor egyenlő 2*?3-mal, azaz. fél vektor valóban megegyezik az eredeti hosszának felével vektor... Most számoljuk ki a koordinátákat vektor OB: OB = (3 - 2, 5 - 4, 7 - 6) = (1, 1, 1). Határozzuk meg az AO és OB vektorok összegét: AO + OB = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = AB. Ezért a középpont koordinátái vektor helyesen találták meg.

Hasznos tanács

A vektor felezőpontjának koordinátáinak kiszámítása után feltétlenül végezze el legalább a legegyszerűbb ellenőrzést - számítsa ki a vektor hosszát és hasonlítsa össze az adott vektor hosszával.

Az alábbi cikk rávilágít egy szakasz felezőpontjának koordinátáinak megkeresésére, ha kiindulási adatként megvannak a koordinátái. szélsőséges pontok... Mielőtt azonban elkezdenénk tanulmányozni a kérdést, bevezetünk néhány definíciót.

1. definíció

Szakasz- két tetszőleges pontot összekötő egyenes, a szakasz végei. Példaként legyen az A és B pont, és ennek megfelelően az A B szakasz.

Ha az A B szakasz mindkét irányban folytatódik az A és B pontból, akkor az A B egyenest kapjuk. Ekkor az A B szakasz az eredményül kapott egyenes része, amelyet A és B pont határol. Az A B szegmens egyesíti az A és B pontot, amelyek a végeit jelentik, valamint a között elhelyezkedő pontok halmazát. Ha például egy tetszőleges K pontot veszünk az A és B pontok között, akkor azt mondhatjuk, hogy a K pont az A B szakaszon található.

2. definíció

Szegmens hossza- a szakasz végei közötti távolság adott léptékben (egységnyi hosszúságú szakasz). Az A B szakasz hosszát a következőképpen jelöljük: A B.

3. definíció

A szakasz felezőpontja- egy pont, amely egy szakaszon fekszik és egyenlő távolságra van a végeitől. Ha az A B szakasz felezőpontját a C pont jelöli, akkor igaz lesz az egyenlőség: A C = C B

Kiindulási adatok: O x koordinátaegyenes és azon nem egybeeső pontok: A és B. Ezek a pontok megfelelnek valós számok x A és x B. C pont - az A B szakasz felezőpontja: meg kell határozni a koordinátát x C.

Mivel a C pont az A B szakasz felezőpontja, a következő egyenlőség lesz igaz: | A C | = | C B | ... A pontok közötti távolságot a koordinátáik különbségének modulja határozza meg, azaz.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Ekkor két egyenlőség lehetséges: x C - x A = x B - x C és x C - x A = - (x B - x C)

Az első egyenlőségből származtatjuk a C pont koordinátáinak képletét: x C = x A + x B 2 (a szakasz végei koordinátáinak félösszege).

A második egyenlőségből kapjuk: x A = x B, ami lehetetlen, hiszen az eredeti adatokban - nem egyező pontok. És így, az A (x A) végű A B szakasz felezőpontjának koordinátáit meghatározó képlet, ill. B (x B):

Az így kapott képlet lesz az alapja egy szakasz felezőpontjának koordinátáinak egy síkban vagy térben történő meghatározásához.

Kiindulási adatok: téglalap alakú koordinátarendszer az O x y síkon, két tetszőleges nem egybeeső pont a megadott A x A, y A és B x B, y B koordinátákkal. A C pont az A B szakasz felezőpontja. Meg kell határozni a C pont x C és y C koordinátáit.

Vegyük elemzésre azt az esetet, amikor az A és B pont nem esik egybe, és nem ugyanazon a koordinátaegyenesen vagy valamelyik tengelyre merőleges egyenesen fekszenek. A x, A y; B x, B y és C x, C y - az A, B és C pontok vetületei a koordináta tengelyekre (O x és O y egyenesek).

A konstrukció szerint az A A x, B B x, C C x egyenesek párhuzamosak; az egyenesek is párhuzamosak egymással. Ezzel együtt Thales tétele szerint az AC = CB egyenlőségből a következő egyenlőségek következnek: A x C x = C x B x és A y C y = C y B y, és ezek viszont azt jelzik, hogy a pont C x az A x B x szakasz közepe, C y pedig az A y B y szakasz felezőpontja. És akkor a korábban kapott képlet alapján kapjuk:

x C = x A + x B 2 és y C = y A + y B 2

Ugyanezek a képletek használhatók abban az esetben is, ha az A és B pont ugyanazon a koordinátavonalon vagy az egyik tengelyre merőleges egyenesen fekszik. Ennek az esetnek a részletes elemzését nem végezzük, csak grafikusan vesszük figyelembe:

Összefoglalva a fentieket, az A B szakasz felezőpontjának koordinátái a síkon a végek koordinátáival A (x A, y A) és B (x B, y B) ként meghatározott:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

Kiindulási adatok: О x y z koordinátarendszer és két tetszőleges pont adott A (x A, y A, z A) és B (x B, y B, z B) koordinátákkal. Meg kell határozni a C pont koordinátáit, amely az A B szakasz felezőpontja.

A x, A y, A z; B x, B y, B z és C x, C y, C z mindegyik vetülete beállított pontok a koordinátarendszer tengelyén.

Thales tétele szerint a következő egyenlőségek igazak: A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z

Ezért a C x, C y, C z pontok rendre az A x B x, A y B y, A z B z szakaszok felezőpontjai. Azután, egy szakasz felezőpontjának koordinátáinak meghatározására a térben a következő képletek érvényesek:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

A kapott képletek olyan esetekben is alkalmazhatók, amikor az A és B pontok valamelyik koordinátaegyenesen vannak; az egyik tengelyre merőleges egyenesen; egy Koordináta sík vagy valamelyik koordinátasíkra merőleges síkot.

Szakasz felezőpontjának koordinátáinak meghatározása a végei sugárvektorainak koordinátáin keresztül

A szakasz felezőpontjának koordinátáinak megkeresésére szolgáló képlet a vektorok algebrai értelmezése szerint is származtatható.

Kiindulási adatok: O x y derékszögű derékszögű koordinátarendszer, adott A (x A, y A) és B (x B, x B) koordinátájú pontok. A C pont az A B szakasz felezőpontja.

Alapján geometriai meghatározás A vektorokon végzett cselekvések esetében a következő egyenlőség lesz igaz: O C → = 1 2 · O A → + O B →. A C pont ebben az esetben az O A → és O B → vektorok alapján felépített paralelogramma átlóinak metszéspontja, azaz. az átlók felezőpontja. A pont sugárvektorának koordinátái megegyeznek a pont koordinátáival, ekkor igazak az egyenlőségek: OA → = (x A, y A), OB → = (x B, y B) . Végezzünk el néhány műveletet a koordinátákban lévő vektorokon, és kapjuk meg:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2

Ezért a C pontnak vannak koordinátái:

x A + x B 2, y A + y B 2

Analógia útján egy képletet határozunk meg egy szakasz felezőpontjának koordinátáinak megtalálására a térben:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Példák egy szakasz felezőpontjának koordinátáinak megtalálására szolgáló feladatok megoldására

A fent kapott képletek felhasználásával járó feladatok között vannak olyanok is, amelyekben közvetlenül érintett egy szakasz felezőpontjának koordinátáinak kiszámítása, és olyanok is, amelyek az adott feltételeket ehhez a kérdéshez hozzák: a "medián" kifejezés. " gyakran használatos, a cél az egyik koordinátáinak megtalálása a szegmens végéről, valamint a szimmetriával kapcsolatos gyakori problémák, amelyek megoldása általában szintén nem okozhat nehézséget a téma tanulmányozása után. Nézzünk tipikus példákat.

1. példa

Kiinduló adatok: a síkon - adott A (- 7, 3) és B (2, 4) koordinátájú pontok. Meg kell találni az A B szakasz felezőpontjának koordinátáit.

Megoldás

Jelöljük C ponttal az A B szakasz felezőpontját. Koordinátái a szakasz végei koordinátáinak félösszegeként lesznek meghatározva, azaz. A és B pont.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Válasz: az A B szakasz közepének koordinátái - 5 2, 7 2.

2. példa

Kiinduló adatok: az A B C háromszög koordinátái ismertek: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Meg kell találni az A M medián hosszát.

Megoldás

1. A probléma hipotézise szerint M a medián, tehát M a B C szakasz felezőpontja. Először is keressük meg a B C szakasz felezőpontjának koordinátáit, azaz. M pont:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Mivel most már ismerjük a medián mindkét végének (A és M pont) koordinátáit, a képlet segítségével meghatározhatjuk a pontok közötti távolságot és kiszámíthatjuk az A M medián hosszát:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Válasz: 58

3. példa

Kiinduló adatok: derékszögű koordinátarendszerben háromdimenziós tér adott egy paralelepipedon A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. Adottak a C 1 (1, 1, 0) pont koordinátái, és definiálva van az M pont is, amely a B D 1 átló felezőpontja és M (4, 2, - 4) koordinátái vannak. Ki kell számítani az A pont koordinátáit.

Megoldás

A paralelepipedon átlóinak egy pontjában van metszéspontja, ami az összes átló felezőpontja. Ezen állítás alapján szem előtt tartható, hogy a feladat feltételeiből ismert M pont az A C 1 szakasz felezőpontja. A térbeli szakasz felezőpontjának koordinátáinak megkeresésére szolgáló képlet alapján megtaláljuk az A pont koordinátáit: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (-4) - 0 = -8

Válasz: az A pont koordinátái (7, 3, - 8).

Ha hibát észlel a szövegben, kérjük, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűket

Végül a kezembe került egy hatalmas és régóta várt téma analitikus geometria... Először is, egy kicsit a felsőbb matematika e szakaszáról… Bizonyára most eszébe jut egy iskolai geometria kurzus számtalan tétellel, azok bizonyításával, rajzával stb. Mit kell titkolni, a hallgatók nagy része számára nem szeretett és gyakran homályos tárgy. Az analitikus geometria, furcsa módon, érdekesebbnek és hozzáférhetőbbnek tűnhet. Mit jelent az analitikus melléknév? Két bélyeges matematikai fordulat jut azonnal eszembe: "grafikus megoldási módszer" és " elemzési módszer megoldások". Grafikus módszer, természetesen grafikonok, rajzok készítéséhez kapcsolódik. Elemző ugyanaz módszer problémák megoldásával jár túlnyomórészt algebrai cselekvéseken keresztül. Ebben a tekintetben az analitikai geometria szinte minden problémájának megoldására szolgáló algoritmus egyszerű és átlátható, gyakran elegendő a szükséges képletek gondos alkalmazása - és a válasz kész! Nem, természetesen rajzok nélkül egyáltalán nem megy, ráadásul az anyag jobb megértése érdekében a szükségen túl igyekszem azokat idézni.

A megnyílt geometria órasor nem igényli az elméleti teljességet, gyakorlati feladatok megoldására koncentrál. Előadásaimban csak azt veszem fel, ami az én szemszögemből gyakorlati szempontból fontos. Ha teljesebb segítségre van szüksége valamelyik alfejezethez, ajánlom a következő, könnyen elérhető szakirodalmat:

1) Egy dolog, amit nem vicc, több generáció ismer: Iskolai geometria tankönyv, szerzők - L.S. Atanasyan and Company... Az iskolai öltözőnek ez a fogasa már 20 (!) utánnyomást kibírt, ami persze nem a határ.

2) Geometria 2 kötetben... Szerzői L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.... Ez az irodalom Gimnázium szükséged van első kötet... A ritka feladatok kieshetnek a szemem elől, és oktatóanyag felbecsülhetetlen értékű segítséget nyújt majd.

Mindkét könyv ingyenesen letölthető az internetről. Ezen kívül kész megoldásokkal használhatod az archívumomat, mely az oldalon található Példák letöltése a felsőbb matematikából.

Az eszköztárból ismét a saját fejlesztésemet javaslom - Szoftver csomag az analitikus geometrián, ami nagyban leegyszerűsíti az életet és sok időt takarít meg.

Feltételezhető, hogy az olvasó ismeri az alapvető geometriai fogalmakat és alakzatokat: pont, egyenes, sík, háromszög, paralelogramma, paralelepipedon, kocka stb. Célszerű megjegyezni néhány tételt, legalább a Pitagorasz-tételt, üdv az ismétlőknek)

És most szekvenciálisan megvizsgáljuk: a vektor fogalmát, a vektorokkal végzett műveleteket, a vektor koordinátáit. Tovább olvasásra javaslom döntő cikk Vektorok pontszorzataés még Vektor és vektorok vegyes szorzata... A helyi feladat - Szegmens felosztása ebből a szempontból sem lesz felesleges. A fenti információk alapján elsajátíthatja egyenlet egy síkon val vel a megoldások legegyszerűbb példái amely lehetővé teszi megtanulják megoldani a geometriai feladatokat... A következő cikkek is hasznosak: Egyenlet egy sík térben, Egyenes egyenletei a térben, Alapfeladatok az egyenesen és a síkon, az analitikus geometria egyéb szakaszai. Természetesen az út során figyelembe veszik a tipikus feladatokat.

Vektor koncepció. Ingyenes vektor

Először is ismételjük meg a vektor iskolai definícióját. Vektor hívott irányította egy szegmens, amelynek eleje és vége fel van tüntetve:

Ebben az esetben a szakasz eleje pont, a szakasz vége pont. Magát a vektort jelöli. Irány elengedhetetlen, ha átrendezed a nyilat a szegmens másik végére, akkor kapsz egy vektort, és ez már teljesen más vektor... Kényelmes, hogy a vektor fogalmát a fizikai test mozgásával azonosítjuk: egyet kell érteni, az intézet ajtaján való belépés vagy az intézet ajtajának elhagyása teljesen más dolog.

Kényelmes a sík egyes pontjait, a teret ún nulla vektor... Egy ilyen vektornak ugyanaz a vége és a kezdete.

!!! Jegyzet: A továbbiakban feltételezhetjük, hogy a vektorok egy síkban helyezkednek el, vagy feltételezhetjük, hogy térben helyezkednek el - a bemutatott anyag lényege a síkra és a térre egyaránt igaz.

Legenda: Sokan azonnal észrevettek egy pálcát, amelynél nincs nyíl a jelölésben, és azt mondták, van egy nyíl is a tetején! Igaz, lehet írni nyíllal:, de azt is bejegyzés, amit a jövőben is használni fogok... Miért? Nyilván gyakorlati megfontolásokból alakult ki ez a szokás, a lövészeim túl tarkanak, bozontosnak bizonyultak az iskolában és az egyetemen. Az oktatási irodalomban néha egyáltalán nem foglalkoznak az ékírással, hanem félkövér betűkkel emelik ki a betűket:, ezzel azt sugallva, hogy ez egy vektor.

Ez volt a stílus, de most a vektorok írásának módjairól:

1) A vektorok két nagy latin betűvel írhatók:
stb. Sőt, az első betű szükségszerűen a vektor kezdőpontját, a második betű pedig a vektor végpontját jelöli.

2) A vektorokat kis latin betűkkel is írják:
Konkrétan a vektorunkat a rövidség kedvéért egy kicsivel át lehet jelölni latin betű.

Hossz vagy modult egy nem nulla vektor a szakasz hossza. A nulla vektor hossza nulla. Ez logikus.

A vektor hosszát a modulus jele jelzi:,

Kicsit később megtanuljuk (vagy megismételjük, kinek hogyan) hogyan találjuk meg a vektor hosszát.

Ezek alapvető információk voltak a vektorról, amelyeket minden iskolás ismer. Az analitikus geometriában az ún ingyenes vektor.

Ha nagyon egyszerű... vektor bármely pontról elhalasztható:

Az ilyen vektorokat korábban egyenlőnek neveztük (az egyenlő vektorok definícióját az alábbiakban közöljük), de pusztán matematikai szempontból EGY ÉS UGYANAZON VEKTOR ill. ingyenes vektor... Miért ingyenes? Ugyanis a feladatmegoldás során a sík vagy tér BÁRMELYIK pontjához "csatolhatja" ezt vagy azt az "iskola" vektort. Ez egy nagyon klassz ingatlan! Képzeljünk el egy tetszőleges hosszúságú és irányú irányított szegmenst - végtelen sokszor és a tér bármely pontján "klónozható", sőt, MINDENHOL létezik. Van egy diák azt mondja: Minden előadó f ** k a vektor. Hiszen nem csak egy szellemes rím, szinte minden rendben van - oda is lehet irányítani egy szegmenst. De ne rohanjon örülni, maguk a diákok gyakrabban szenvednek =)

Így, ingyenes vektor- ez sok azonos irányított vonalszakaszok. A vektor iskolai meghatározása a bekezdés elején: "A vektort irányított szegmensnek nevezzük ..." különleges egy adott halmazból vett irányított szakasz, amely egy sík vagy tér meghatározott pontjához van kötve.

Meg kell jegyezni, hogy a fizika szempontjából a szabad vektor fogalma általában téves, és az alkalmazás szempontja számít. Valóban, egy ugyanolyan erejű közvetlen ütés az orron vagy a homlokon elegendő ahhoz, hogy hülye példámat kifejtsem, és más következményekkel jár. Azonban, nem ingyenes vektorok a gimnáziumban is megtalálhatók (oda ne menj :)).

Műveletek vektorokkal. Kollineáris vektorok

V iskolai tanfolyam geometria, számos vektoros műveletet és szabályt veszünk figyelembe: összeadás a háromszögszabály szerint, összeadás a paralelogramma szabály szerint, a vektorkülönbség szabálya, vektor szorzása számmal, vektorok pontszorzata stb. A vetőmag esetében megismételünk két olyan szabályt, amelyek különösen fontosak az analitikai geometria problémáinak megoldásához.

A vektorok összeadásának szabálya a háromszögek szabálya szerint

Tekintsünk két tetszőleges nem nulla vektort és:

Meg kell találni ezeknek a vektoroknak az összegét. Mivel minden vektort szabadnak tekintünk, a vektort félretesszük vége vektorok:

A vektorok összege egy vektor. A szabály jobb megértése érdekében célszerű mellékelni fizikai jelentése: Valamelyik test csináljon utat egy vektor mentén, majd egy vektor mentén. Ekkor a vektorok összege az eredményül kapott útvonal vektora úgy, hogy az eleje a kiindulási pontban, a vége pedig az érkezési pontban van. Hasonló szabályt fogalmaznak meg tetszőleges számú vektor összegére. A mondás szerint a test a cikk-cakk mentén, esetleg robotpilóta mellett, erősen képes haladni – a kapott összegvektor szerint.

Egyébként, ha a vektort elhalasztják Rajt vektor, megkapja az egyenértékűt paralelogramma szabály vektorok összeadása.

Először is a vektorok kollinearitásáról. A két vektort ún kollineáris ha ugyanazon vagy párhuzamos vonalakon fekszenek. Nagyjából véve párhuzamos vektorokról beszélünk. De velük kapcsolatban mindig a "kollineáris" jelzőt használják.

Képzeljünk el két kollineáris vektort. Ha ezeknek a vektoroknak a nyilai ugyanabba az irányba mutatnak, akkor az ilyen vektorokat hívjuk társrendező... Ha a nyilak különböző irányokba mutatnak, akkor a vektorok lesznek ellenkező irányba.

Legenda: A vektorok kollinearitása a szokásos párhuzamossági jellel van írva:, míg a részletezés lehetséges: (a vektorok együtt irányítottak) vagy (a vektorok ellentétes irányúak).

Termék szerint egy számmal jelölt nullától eltérő vektor olyan vektor, amelynek hossza egyenlő, és a és a vektorok együtt irányulnak és ellentétes irányúak.

A vektor számmal való szorzásának szabálya könnyebben érthető az ábra segítségével:

Értsük meg részletesebben:

1 irány. Ha a tényező negatív, akkor a vektor irányt változtat az ellenkezőjére.

2) Hossz. Ha a tényező vagy belül van, akkor a vektor hossza csökken... Tehát a vektor hossza fele a vektor hosszának. Ha a modulus nagyobb egynél, akkor a vektor hossza növeli időben.

3) Kérjük, vegye figyelembe minden vektor kollineáris, míg az egyik vektort például egy másikkal fejezzük ki. Ennek fordítva is igaz: ha egy vektor kifejezhető egy másikkal, akkor az ilyen vektorok szükségszerűen kollineárisak. És így: ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor kollineárist kapunk(az eredetihez képest) vektor.

4) A vektorok egyirányúak. A és vektorok szintén koirányúak. Az első csoport bármely vektora ellentétes irányú a második csoport bármely vektorához képest.

Mely vektorok egyenlők?

Két vektor egyenlő, ha egyirányúak és rendelkeznek egyenlő hosszúságú ... Ne feledje, hogy az együttirányú irányítás kollineáris vektorokat jelent. A meghatározás pontatlan (redundáns) lesz, ha azt mondjuk: "Két vektor egyenlő, ha kollineárisak, egyirányúak és azonos hosszúságúak."

A szabad vektor fogalma szempontjából az egyenlő vektorok egy és ugyanazt a vektort jelentik, amiről az előző bekezdésben már volt szó.

Vektor koordináták a síkon és a térben

Az első pont az, hogy vegyük figyelembe a vektorokat egy síkban. A derékszögű derékszögű koordinátarendszert ábrázoljuk, és félretesszük a koordináták origóját egyetlen vektorok és:

Vektorok és ortogonális... Ortogonális = merőleges. Azt javaslom, hogy lassan szokja meg a kifejezéseket: a párhuzamosság és a merőlegesség helyett használjuk a szavakat, ill. kollinearitásés ortogonalitás.

Kijelölés: A vektorok merőlegességét a szokásos merőlegességi szimbólummal írjuk, például:.

A vizsgált vektorokat ún koordináta vektorok vagy orts... Ezek a vektorok kialakulnak alapon a felszínen. Hogy mi az alap, az szerintem sokak számára intuitív módon világos részletes információk megtalálható a cikkben A vektorok lineáris (nem) függése. A vektorok alapja Egyszerűen fogalmazva, a koordináták alapja és eredete meghatározza az egész rendszert - ez egyfajta alap, amelyen a teljes és gazdag geometriai élet javában zajlik.

Néha a konstruált bázist ún ortonormális a sík alapja: "orto" - mivel a koordinátavektorok merőlegesek, a "normalizált" jelző egységet jelent, azaz. a bázis vektorainak hossza eggyel egyenlő.

Kijelölés: zárójelbe szokták írni az alapot, amelyen belül szigorú sorrendben bázisvektorok vannak felsorolva, például:. Koordinátavektorok ez tiltottátrendezni.

Bármi vektor sík egyedi módon kifejezve:
, ahol - a számok amelyeket úgy hívnak vektor koordináták ezen az alapon. És maga a kifejezés hívott a vektor dekompozíciójaalapján .

A vacsora tálalva:

Kezdjük az ábécé első betűjével:. A rajzon jól látható, hogy a vektor bázis szempontjából történő bővítésekor az imént figyelembe vetteket használjuk:
1) a vektor számmal való szorzásának szabálya: és;
2) vektorok összeadása a háromszögszabály szerint:.

Most mentálisan tedd félre a vektort a sík bármely más pontjáról. Teljesen nyilvánvaló, hogy hanyatlása „kérlelhetetlenül követni fogja őt”. Itt van, a vektor szabadsága – a vektor „mindent magával visz”. Ez a tulajdonság természetesen minden vektorra igaz. Vicces, hogy magukat az alap (szabad) vektorokat nem kell az origóból halogatni, az egyiket pl balra lent, a másikat meg jobbra fent lehet rajzolni, és ettől nem fog változni semmi! Igaz, ezt nem kell megtennie, mert a tanár is eredetiséget mutat, és "jóváírt" egy váratlan helyen.

A vektorok pontosan szemléltetik azt a szabályt, hogy egy vektort meg kell szorozni egy számmal, a vektor egyirányú az alapvektorral, a vektor ellentétes az alapvektorral. Ezeknek a vektoroknak az egyik koordinátája nulla, ez a következőképpen írható fel aprólékosan:


Az alapvektorok pedig egyébként ilyenek: (sőt, önmagukon keresztül fejeződnek ki).

És végül:,. Egyébként mi az a vektorkivonás, és miért nem beszéltem a kivonás szabályáról? Valahol a lineáris algebrában, nem emlékszem hol, megjegyeztem, hogy a kivonás az összeadás speciális esete. Tehát a "de" és az "e" vektorok kiterjesztését nyugodtan összegként írjuk fel:, ... Kövesse a rajzot, hogyan működik a vektorok jó öreg háromszög-összeadása ezekben a helyzetekben.

A forma figyelembe vett dekompozíciója néha vektorbontásnak nevezik a rendszerben ort(vagyis az egységvektorok rendszerében). De nem ez az egyetlen módja a vektor írásának, a következő lehetőség gyakori:

Vagy egyenlőségjellel:

Magukat a bázisvektorokat a következőképpen írjuk fel: és

Azaz a vektor koordinátái zárójelben vannak feltüntetve. A gyakorlati feladatokban mindhárom rögzítési lehetőséget használjuk.

Kételkedtem, hogy szóljak-e, de mégis azt mondom: vektorok koordinátái nem rendezhetők át. Szigorúan az első helyenírja le az egységvektornak megfelelő koordinátát, szigorúan a második helyen felírjuk az egységvektornak megfelelő koordinátát. Valóban, és két különböző vektor.

Megtaláltuk a koordinátákat a gépen. Most nézzük a vektorokat a háromdimenziós térben, itt minden szinte ugyanaz! Csak egy további koordináta kerül hozzáadásra. Nehéz háromdimenziós rajzokat készíteni, ezért egy vektorra korlátozom magam, amelyet az egyszerűség kedvéért elhalasztok az eredettől:

Bármi vektor a háromdimenziós tér lehet az egyetlen módja ortonormális alapon bővíteni:
, ahol a vektor (szám) koordinátái az adott bázisban.

Példa a képről: ... Nézzük meg, hogyan működnek itt a vektorszabályok. Először megszorozzuk a vektort egy számmal: (piros nyíl), (zöld nyíl) és (bíbor nyíl). Másodszor, itt van egy példa több, jelen esetben három vektor összeadására:. Az összegvektor a kiindulási ponttól (vektor kezdete) kezdődik és a végső érkezési ponton (vektor végén) nyugszik.

A háromdimenziós tér minden vektora természetesen szintén szabad, próbálja meg mentálisan elhalasztani a vektort bármely más ponttól, és meg fogja érteni, hogy a felbomlása "vele marad".

Hasonló a lapos tokhoz, írás mellett széles körben használatosak a zárójeles változatok: akár.

Ha egy (vagy két) koordinátavektor hiányzik a bővítésből, akkor azokat nullákra cseréljük. Példák:
vektor (precízen ) - írd le;
vektor (precízen ) - írd le;
vektor (precízen ) - leírjuk.

Az alapvektorokat a következőképpen írjuk fel:

Talán itt van a minimum elméleti tudás analitikus geometriai problémák megoldásához szükséges. Talán túl sok a kifejezés és a meghatározás, ezért javaslom a bábáknak, hogy olvassák el újra és értsék meg ezt az információt. És minden olvasó számára hasznos lesz, ha időnként hivatkozik az alapleckére az anyag jobb asszimilációja érdekében. Kollinearitás, ortogonalitás, ortonormális alap, vektordekompozíció – ezeket és más fogalmakat gyakran használjuk a következőkben. Megjegyzem, hogy az oldalon található anyagok nem elegendőek egy elméleti teszt, geometriai kollokvium sikeres letételéhez, mivel minden tételt gondosan titkosítok (a bizonyítások nélkül) - a tudományos előadásmód rovására, de plusz a megértéshez. a tárgyról. A részletes elméleti háttérért kérjük, kövesse az Atanasyan professzor előtti meghajlást.

És áttérünk a gyakorlati részre:

Az analitikus geometria legegyszerűbb feladatai.
Műveletek koordinátákban lévő vektorokkal

Nagyon kívánatos a teljesen automatikusnak tekintett feladatok és a képletek megoldásának megtanulása memorizálni, még külön nem is memorizálva, magukra emlékezni fognak =) Ez nagyon fontos, mivel az analitikus geometria egyéb problémái a legegyszerűbb elemi példákon alapulnak, és bosszantó lesz több időt tölteni a gyalogevéssel. Az ing felső gombjait nem kell rögzíteni, sok minden ismerős az iskolából.

Az anyag bemutatása párhuzamosan zajlik majd - síkban és térben egyaránt. Azért, mert az összes képletet... meglátod magad.

Hogyan keressünk vektort két pont alapján?

Ha a és a sík két pontja adott, akkor a vektornak a következő koordinátái vannak:

Ha a és a tér két pontja adott, akkor a vektornak a következő koordinátái vannak:

vagyis a vektor végének koordinátáiból ki kell vonni a megfelelő koordinátákat a vektor eleje.

Gyakorlat: Ugyanezekre a pontokra írjuk fel a vektor koordinátáinak megkeresésére szolgáló képleteket! Képletek az óra végén.

1. példa

A sík és két pontja adott. Keresse meg a vektor koordinátáit

Megoldás: a megfelelő képlet szerint:

Alternatív megoldásként a következő bejegyzés használható:

Az esztéták így döntenek:

Én személy szerint a felvétel első verzióját szoktam meg.

Válasz:

A feltétel szerint nem kellett rajzot készíteni (ami jellemző az analitikus geometriai feladatokra), de azért, hogy néhány pontot elmagyarázzak a figuráknak, nem leszek lusta:

Feltétlenül meg kell érteni pontkoordináták és vektorkoordináták közötti különbség:

Pont koordinátái A téglalap alakú koordinátarendszer szokásos koordinátái. Szerintem 5-6. osztálytól mindenki tudja, hogyan kell pontokat rakni a koordinátasíkon. Minden pontnak szigorú helye van a síkon, és nem mozgathatod őket sehova.

Ugyanannak a vektornak a koordinátái A bővítése az alap szempontjából, ebben az esetben. Bármely vektor szabad, ezért ha akarjuk vagy szükséges, könnyen elhalaszthatjuk a sík valamely más pontjáról (a félreértések elkerülése végett átnevezhetjük például át). Érdekesség, hogy vektorokhoz egyáltalán nem lehet tengelyeket építeni, derékszögű koordinátarendszert, csak egy bázis kell, jelen esetben a sík ortonormális bázisa.

A pontok koordinátái és a vektorok koordinátái hasonlónak tűnnek:, és koordináták jelentése teljesen különbözőés tisztában kell lennie ezzel a különbséggel. Ez a különbség természetesen a térre is igaz.

Hölgyeim és uraim!

2. példa

a) Pontokat és kapnak. Keressen vektorokat és.
b) Pontokat adunk és . Keressen vektorokat és.
c) Pontokat és kapnak. Keressen vektorokat és.
d) Pontokat adnak. Keressen vektorokat .

Talán ennyi is elég. Ezek példák egy önálló megoldásra, próbáld meg nem hanyagolni, kifizetődik ;-). Nincs szükség rajzok készítésére. Megoldások és válaszok az óra végén.

Mi a fontos az analitikus geometriai feladatok megoldásánál? Fontos, hogy RENDKÍVÜL ÓVATOS legyen, hogy elkerülje a „kettő plusz kettő egyenlő nulla” műhelyhibát. Azonnal elnézést kérek, ha valahol hibáztam =)

Hogyan lehet megtudni egy szakasz hosszát?

A hosszt, mint már említettük, a modul jele jelzi.

Ha a és a sík két pontja adott, akkor a szakasz hossza a képlettel számítható ki

Ha a és két térpont adott, akkor a szakasz hossza a képlettel számítható ki

Jegyzet: A képletek helyesek maradnak, ha a megfelelő koordinátákat átrendezzük: és, de az első lehetőség szabványosabb.

3. példa

Megoldás: a megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Az egyértelműség kedvéért készítek egy rajzot

szakasz - ez nem vektor, és természetesen nem mozgathatja sehova. Ezen kívül, ha méretarányos rajzot készít: 1 egység. = 1 cm (két jegyzetfüzet cella), akkor a kapott válasz egy közönséges vonalzóval ellenőrizhető a szakasz hosszának közvetlen megmérésével.

Igen, a megoldás rövid, de van még egy pár fontos pontokat, amit szeretnék pontosítani:

Először a válaszban adjuk meg a dimenziót: "egységek". A feltétel nem mondja meg, MI az, milliméter, centiméter, méter vagy kilométer. Ezért a matematikailag helyes megoldás az általános megfogalmazás: „egységek” - rövidítve „egység”.

Másodszor, megismételjük az iskolai anyagot, amely nemcsak a vizsgált probléma szempontjából hasznos:

figyelni fontos technika – tényezőt kiszedve a gyökér alól... A számítások eredményeként megkaptuk az eredményt, és a jó matematikai stílushoz hozzátartozik, hogy a faktort a gyökér alól kivesszük (ha lehetséges). Részletesebben a folyamat így néz ki: ... Természetesen a válasz űrlapon hagyása nem hiba - de hiba, az biztos, és nyomós érv a tanári nyaggatás mellett.

Egyéb gyakori esetek a következők:

Elég gyakran a gyökérnél nagy szám, például . Mi a teendő ilyen esetekben? A számológépen ellenőrizze, hogy a szám osztható-e 4-gyel:. Igen, teljesen felosztották, így: ... Vagy esetleg a szám ismét osztható 4-gyel? ... És így: ... A szám utolsó számjegye páratlan, így harmadszorra egyértelműen nem lehet osztani 4-gyel. Megpróbáljuk kilenccel osztani:. Ennek eredményeként:
Kész.

Kimenet: ha a gyökér alatt nem kivonható számot kapunk, akkor megpróbáljuk a faktort kivenni a gyökér alól - a számológépen megnézzük, hogy a szám osztható-e: 4, 9, 16, 25, 36, 49 stb. .

A döntés során különböző feladatokat A gyökerek gyakoriak, mindig próbálja meg a gyökér alól kiszedni a tényezőket, hogy elkerülje az alacsonyabb osztályzatokat és a felesleges problémákat a megoldások átdolgozásával a tanár utasítása szerint.

Ismételjük meg a négyzetre emelést és a többi hatványt egyszerre:

A diplomák kezelésének szabályai Általános nézet-ben található iskolai tankönyv algebrán, de szerintem a megadott példákból már minden vagy majdnem minden világos.

Feladat független megoldáshoz térbeli szegmenssel:

4. példa

Pontokat és kapnak. Keresse meg a szakasz hosszát.

Megoldás és válasz a lecke végén.

Hogyan találhatom meg egy vektor hosszát?

Ha adott egy síkvektor, akkor a hosszát a képlettel számítjuk ki.

Ha adott a térvektor, akkor a hosszát a képlettel számítjuk ki .

Ezek a képletek (valamint a szakasz hosszára vonatkozó képletek) könnyen származtathatók a jól ismert Pitagorasz-tétel segítségével.