Rational kifejezések döntése. Alapvető információk a racionális kifejezésekre és azok átalakítására. A racionális frakciók meghatározása és példái

Rational kifejezések átalakítása

Ebben a leckében racionális kifejezésekkel fogunk dolgozni. A különleges példák Fontolja meg a racionális kifejezések és bizonyítékokkal kapcsolatos identitások konvertálására szolgáló problémák megoldására szolgáló módszereket.

Rational expression - egy algebrai kifejezés, amely számokból, alfabetikus változókból, aritmetikai műveletekből, építkezésből áll természetes mértékű, és ezeknek a műveleteknek a sorrendje (zárójelek). A "racionális kifejezés" kifejezéssel együtt algebraban néha az "egész" vagy "frakcionált" kifejezéseket használják.

Például kifejezők

mind racionálisak, mind az egész számok.

Kifejezések

racionális és frakcionálisak, mert A denominátorban van egy változó kifejezés.

Nem kell elfelejteni, hogy a frakció elveszíti azt jelenti, hogy a denominátor nullára szól.

A lecke fő célja a racionális kifejezések egyszerűsítéséhez szükséges problémák megoldásának megszerzése.

A racionális kifejezések egyszerűsítése az azonos átalakítások használata, annak érdekében, hogy egyszerűsítse az expressziós bejegyzést (rövidebb és kényelmesebb legyen a további munkához).

Átalakítani racionális kifejezések, szükségünk lesz a szabályokat felül (kivonás), szorzás, osztás és az építőipar a mértékét algebrai törtek, mindezen intézkedések szerint kell elvégezni ugyanazon szabályok vonatkoznak, mint az intézkedések rendes frakciói:

Valamint a rövidített szorzás formulái:

Amikor megoldása példák az átalakítás a racionális kifejezések, az alábbi eljárást kell követni: Először is, történik művelet zárójelben, majd a terméket / osztás (vagy erekció), majd felül / kivonás.

Tehát fontolja meg az 1. példát:

szükséges a kifejezés egyszerűsítése

Először végezze el a zárójelben.

Az algebrai frakciókat adjuk az általános nevezőre, és a fent említett szabályok szerint ugyanazokkal a nevezőkkel (kivonás) kiegészítjük (kivonás).

A csökkent expresszió képletének (nevezetesen a különbség négyzetét) a kapott kifejezés az űrlapot jelenti:

Másodszor, az algebrai frakciók szorzásának szabályai szerint a számok és külön-külön denominánsok alternatívak:

Majd csökkenti a kapott kifejezést:

Az átalakulás eredményeként egyszerű kifejezést kapunk

Tekintsünk egy összetettebb példát a racionális kifejezések átalakítására: Identitás bizonyítására van szükség:

Az identitás bizonyítása az, hogy megállapítsa, hogy a változó változók megengedett értékével a bal és a jobb oldali részek egyenlőek.

Bizonyíték:

Az identitás bizonyításához szükség van a bal oldalon kifejezést. Ehhez kövesse a fenti eljárást: Először az összes művelet zárójelben történik, majd a szorzás, majd az adagolás.

Tehát az 1. cselekvés:

végezze el az adagolás / kivonó kifejezések a konzolban.

Ehhez bomlik a frakciók nevezőiben szereplő kifejezés tényezőire, és ezeket a frakciókat a tábornoknak adják.

Így a nevező az első frakció, mi elviselni a konzol 3, a nevezőben a második - mi elviselni a mínusz jel, és meghatározzák a képlet a rövidített szorzást két tényező, és a nevezőben a harmadik frakció mi elviselni a X konzol.

A három frakció általános nevezője kifejezés lesz

2. cselekvés:

végezze el a fraci szorzását

Ehhez először bomlik az első frakció számlálójának tényezőire, és építeni ezt a frakciót a 2. fokozatra.

És a frakciók szorzásakor hajtsa végre a megfelelő csökkentést.

3. cselekvés:

Összefoglaljuk a kezdeti kifejezés első részét és a kapott frakciót

Ehhez először bomlik az első frakció számlálójára és nevezőjére, és csökkenti:

Most csak a kapott algebrai frakciókat különböző denominátorokkal hajtják végre:

Így 3 cselekvés eredményeként és az identitás bal oldali részének egyszerűsítése miatt kifejezést kaptunk a jobb oldalon, és ezért bizonyította ezt az identitást. Emlékeztetünk azonban arra, hogy az identitás csak az x változó megengedett értékeire érvényes. Ebben a példában az X bármilyen értéke, kivéve azokat, amelyek a frakciók bannerét nullára fizetik. Tehát az X bármely értéke megengedett, kivéve az egyenlőség legalább egyikét:

Érvénytelen érték:

Tehát konkrét példákban a racionális kifejezések átalakításával és a kapcsolódó identitások igazolásával kapcsolatos problémák megoldását vizsgáltuk.

Referenciák listája:

1. Mordkovich A.G. "Algebra" osztály 8. 2 órán át. 1 Általános oktató oktatási intézmények/ A.g. Mordkovich. - 9. Ed., Pererab. - M.: Mnemozina, 2007. - 215c.: Il.
2. Mordkovich A.g. "Algebra" osztály 8. 2 órában. Probléma általános oktatási intézmények / A.g. Mordkovich, úgynevezett. Mishoustina, E.E. Tulchinskaya .. - 8. Ed., - M.: Mnemozina, 2006 - 239c.
3. Algebra. 8. osztály. Tesztpapírok Az oktatási intézmények hallgatói L.A. Alexandrova ed. A.G. Mordkovich 2. Ed., Ched. - M.: Mnemozina 2009. - 40c.
4. Algebra. 8. osztály. Önálló munkavégzés Az oktatási intézmények hallgatói számára: a tankönyv a.g. Mordkovich, L.A. Alexandrova ed. A.G. Mordkovich. 9. Ed., Ched. - M.: MEMOZINA 2013. - 112C.

Az aritmetikai hatás, amelyet az utolsó, a kifejezés értékeinek kiszámításakor a "Main".

Vagyis, ha bármilyen (bármilyen) számot helyettesíti a betűk helyett, és megpróbálja kiszámítani a kifejezés értékét, ha az utolsó művelet sokszorosítás - ez azt jelenti, hogy van egy munkánk (a kifejezést bomlik a szorzókra).

Ha az utóbbi cselekvés hozzáadása vagy kivonása, azt jelenti, hogy a kifejezést nem bontják le a tényezőkre (ezért nem lehet csökkenteni).

A konszolidációért néhány példát fogok megoldani:

Példák:

Megoldások:

1. Remélem, hogy nem rohant, hogy azonnal csökkenti és? Nem elég "vágott" ilyen ilyen:

Az első cselekvésnek a multiplikátorok bomlásának kell lennie:

4. A frakciók hozzáadása és kivonása. Frakciókat hoznak egy közös nevezőre.

A szokásos frakciók hozzáadása és kivonása - A művelet jól ismeri: közös nevezőt keresünk, a hiányzó multiplikátoron domináns minden frakciót, és hajtogatjuk a számokat.

Emlékezzünk:

Válaszok:

1. A denominátorok kölcsönösen egyszerűek, vagyis nincsenek közös szorzók. Következésképpen a NOC ezeknek a számoknak megegyezik a munkájukkal. Ez egy közös denominátor:

2. Itt a teljes nevező:

3. Itt van az első dolog, amellyel a vegyes frakciók helytelenek, majd a szokásos séma:

Ez egy másik dolog, ha a frakciók betűket tartalmaznak, például:

Kezdjük egyszerűen:

a) A denominátorok nem tartalmaznak betűket

Itt van ugyanaz, mint a hagyományos numerikus frakciókkal: egy közös nevezőt találunk, a hiányzó multiplikátoron domináns minden frakciót, és a számok összecsukása / levonása:

most a számológépben hasonló, ha van ilyen, és a szorzókon alapul:

Próbáld ki magad:

Válaszok:

b) A denominátorok betűket tartalmaznak

Emlékezzünk arra, hogy a közös nevezőt betűk nélkül találjuk meg:

· Először is, az általános tényezőket határozzuk meg;

· Az összes általános tényezőt egyszerre írjuk ki;

· És dominálnak minden más szorzót, nem gyakori.

A denominátorok általános szorzókjának meghatározásához először írja le az egyszerű tényezőket:

Az általános tényezőket hangsúlyozzuk:

Most megírjuk az általános tényezőket egyszerre, és hozzáadjuk az összes opciót (nem aláhúzott) szorzót:

Ez egy közös denominátor.

Menjünk vissza a betűkre. A daneleket pontosan ugyanazt a rendszert adja meg:

· Döntse el a denominátorokat a multiplikátorok számára;

· Határozza meg az általános (azonos) szorzókat;

· Egyszerre írjuk az összes általános tényezőt;

· Dominálunk minden más szorzót, nem gyakori.

Tehát, annak érdekében:

1) bontsa ki a denominátorokat a multiplikátorokhoz:

2) Határozza meg az általános (azonos) szorzókat:

3) Az összes általános tényezőt egyszerre írjuk ki, és az összes domináns a többieknél (kivonták) szorzók:

Tehát a tábornok itt van. Az első frakciónak meg kell szorozni, a második - bekapcsolva:

By the way, van egy trükk:

Például: .

Ugyanazokat a szorzókat látjuk a denominátorban, csak mindegyik különböző mutatókkal. A teljes nevezőben megy:

fokozatosan

fokozatosan

fokozatosan

fokozatosan.

Bonyolult feladat:

Hogyan lehet ugyanazt a nevezőt?

Emlékezzünk a Fraci fő tulajdonságairól:

Nehézen nem mondják, hogy a frakció kivonható a számlálóból és a denominátorból) (vagy add hozzá) ugyanazt a számot. Mert helytelen!

Tisztítsa meg magát: Vegyünk bármilyen frakciót, például, és adjunk hozzá néhány számot, például, például. Mit mondtál?

Tehát a következő megszakítható szabály:

Ha egy frakciót hoz egy közös denominátorhoz, csak szorzási műveletet használjon!

De mit kell szorozni, hogy megkapja?

Itt van, és a dominat. És a Domanki:

Azok a kifejezések, amelyek nem bomlanak a szorzókra, "elemi szorzóknak" nevezik.

Például ez egy elemi multiplikátor. - is. De - nem: a multiplikátorok lebomlanak.

Mit mondasz a kifejezésről? Ez elemi?

Nem, mert bomlik a szorzókra:

(A multiplikátorok bomlásakor már elolvasta a témát "").

Tehát az elemi szorzók, amelyekre a betűkkel rendelkező kifejezést elutasítják, olyan egyszerű szorzók analógja, amelyeknek számokat terjesztenek. És ugyanúgy cselekedünk velük.

Látjuk, hogy mindkét denominátorban van egy szorzó. Egy közös nevezőre fog menni (emlékezzen miért?).

A multiplikátor elemi, és nincs általános, ami azt jelenti, hogy az első frakciónak egyszerűen meg kell húznia:

Egy másik példa:

Döntés:

Lejár, mint egy pánikban megszapni ezeket a nevezőket, meg kell gondolkodnod, hogyan lehet bontani őket a szorzókhoz? Mindkettő képviseli:

Kiváló! Azután:

Egy másik példa:

Döntés:

A szokásos módon a denominátorokat a multiplikátorokhoz bontsa le. Az első denominátorban csak elviseljük a zárójelek mögött; A második - a négyzetek különbsége:

Úgy tűnik, hogy nincsenek általános tényezők. De ha megnézed, akkor hasonlóak ... és az igazság:

Így írj:

Vagyis így kiderült: a konzolon belül megváltoztattuk a helyek helyeit, és ugyanakkor a jelet az ellenkező előtt megváltoztatták. Vegye figyelembe, ezért gyakran kell tennie.

Most egy közös nevezőt adunk:

Segítség? Most ellenőrizze.

Az önmegoldásokra vonatkozó feladatok:

Válaszok:

Itt meg kell emlékezni egy másikra - a kockák különbsége:

Figyeljen arra, hogy a denominátorban a második frakció nem a képlet "négyzetméteres"! A négyzet összege így nézne ki:.

És - ez az úgynevezett hiányos négyzet az összeg: a második kifejezés az első és az utolsó munkája, és nem megduplázta munkájukat. Az összeg hiányos négyzete az egyik szorzó a kockák különbségének bomlásában:

Mi a teendő, ha a frakciók már három darab?

És ugyanaz a dolog! Először is megteszünk maximális összeg A denominátorok sokszorosai ugyanazok voltak:

Figyeljen: Ha megváltoztatja a jeleket egy konzolon belül, a jel, mielőtt a frakció az ellenkezőjére változik. Amikor megváltoztatjuk a jeleket a második tartóban, a jel, mielőtt a frakció újra változik az ellenkezője. Ennek eredményeképpen ő (a táblázat a frakció előtt) nem változott.

A teljes nevezőben az első denominátor lemerül, majd hozzáadja az összes olyan tényezőt, amely nem írt, a másodiktól, majd a harmadiktól (és így tovább, ha a fentiek több). Ez így kiderül:

Hmm ... frakciókkal világos, hogy mit kell tennie. De hogyan kell egy kettős?

Minden egyszerű: Tudod, hogyan kell egy frakciót? Tehát meg kell tennie, hogy a kétszer egy frakcióvá váljon! Emlékszünk: A frakció egy osztályos művelet (a számló megosztja a nevét, ha hirtelen elfelejtette). És semmi sem könnyebb, mint megosztani a számot. Ugyanakkor maga a szám nem változik, de frakcióvá válik:

Pontosan mire van szükség!

5. A frakciók szorzása és megosztása.

Nos, a legnehezebb most. És van a legegyszerűbb, de a legfontosabb dolog:

Eljárás

Mi az eljárás a numerikus kifejezés számlálására? Ne feledje, figyelembe véve az ilyen kifejezés fontosságát:

Számított?

Meg kell történnie.

Szóval, emlékeztetem.

Az első dolog kiszámítás.

A második a szorzás és a divízió. Ha egyidejűleg sokszorozódnak, akkor bármilyen sorrendben meg tudod csinálni őket.

És végül kiegészítjük és kivonjuk. Ismét bármilyen sorrendben.

De: A zárójelben lévő kifejezés kiszámításra kerül!

Ha több zárójel szorzva van, vagy megosztva egymást, először kiszámítjuk az egyes konzolok expresszióját, majd megszorozzuk vagy szállítottuk őket.

És ha van még néhány zárójel a zárójelben? Nos, gondoljunk: Néhány kifejezés a zárójelben van írva. És amikor kiszámítja a kifejezést, először is meg kell tennie? Ez helyes, kiszámítja a zárójeleket. Nos, úgy gondoltam: Először kiszámítjuk a belső zárójeleket, majd minden mást.

Tehát a kifejezésre vonatkozó eljárás magasabb, mint ez (az aktuális értékeket pirosra osztják, vagyis az a cselekvés, amelyet most végezek el):

Nos, egyszerű.

De ez nem ugyanaz, mint a kifejezéssel a betűkkel?

Nem, ugyanaz! Csak az aritmetikai műveletek helyett algebrai, vagyis az előző szakaszban leírt műveletek: hasonló, Állítsa be a frakciókat, a vágási frakciókat és így tovább. Az egyetlen különbség lesz a polinomok bomlása a szorzókon (gyakran alkalmazzuk a frakciókat). Leggyakrabban a multiplikátorok bomlása esetén alkalmazni kell, vagy egyszerűen vegye ki a közös tényezőt a zárójelben.

Általában célunk, hogy egy kifejezést munka vagy privát formájában nyújtsunk be.

Például:

Egyszerűsítjük a kifejezést.

1) Először egyszerűsítjük a zárójelben lévő kifejezést. Van egy különbségi frakció, és célunk, hogy dolgozzunk, mint munka vagy magán. Tehát egy frakciót adunk egy közös nevezőre és hajtogatásra:

Több ez a kifejezés könnyen egyszerűsítése, az összes tényező itt az elemi (Emlékszel még, hogy mit jelent?).

2) kapunk:

A frakciók szorzása: Mi lehet könnyebb.

3) Most csökkentheti:

Ez az. Semmi nehéz, ugye?

Egy másik példa:

Egyszerűsítse a kifejezést.

Először próbálja meg megoldani magam, és csak akkor nézze meg a döntést.

Döntés:

Először is meghatározzuk az akció eljárását.

Először is elvégezzük a zárójelben lévő frakciók hozzáadását, két frakció helyett kiderül.

Ezután elvégezzük az elosztási frakciókat. Nos, az eredmény leáll az utolsó frakcióval.

Vázlatos számműveletek:

Most megmutatom a hírfolyamatot, megérintve az aktuális akciót piros:

1. Ha hasonlóak vannak, azonnal meg kell hozni őket. Bármikor hasonlóan hasonlóak vagyunk, tanácsos azonnal hozni őket.

2. Ugyanez vonatkozik a frakciók csökkentésére is: amint a csökkentési képesség, azt kell használni. A kivétel a frakciókat, hogy bedobjuk vagy levonhatja: ha ugyanaz a nevezők most, akkor a rövidítés kell hagyni későbbre.

Íme az önmegoldásokra vonatkozó feladata:

És megígérte a kezdetét:

Válaszok:

Megoldások (rövid):

Ha legalább az első három példával küzdöttél, akkor úgy ítéled meg, hogy elsajátította.

Most előre tanulni!

Kifejezések átalakítása. Összefoglaló és alapvető képletek

Alapvető egyszerűsítési műveletek:

• Hasonló: Hasonló komponensek összehajtásához, az együtthatók összecsukása és a levélrész tulajdonsága.
• Faktorizáció:a zárójelek, az alkalmazás stb.
• A frakciók csökkentése: A frakció numerátora és nevezője megszorozható vagy osztható egy és azonos nem nulla számra, amelyből a frakció nem változik.
  1) Numerátor és denominátor bomlik a szorzókra
  2) Ha van általános szorzók egy számlálóban és nevezőben, törölhetők.

  Fontos: Csak sokszorozók vághatók!

• A frakciók hozzáadása és kivonása:
  ;
• A frakciók szorzása és megosztása:
  ;

Bármilyen frakcionált expresszió (48. o.) Az űrlapon írható, ahol P és Q racionális kifejezések, q-vel szükségszerűen változókat tartalmaz. Az ilyen frakciót racionális frakciónak nevezik.

Példák racionális frakciókra:

A frakció alapvető tulajdonát az identitás tisztessége a körülmények között - egy egész racionális kifejezés. Ez azt jelenti, hogy a racionális frakció numerátora és nevezője megszorozható vagy megosztható az egyik és ugyanazon nem nulla számra, egy vagy polinomra.

Például a frakció tulajdonság használható a töredék tagjaiban lévő jelek megváltoztatására. Ha a frakció számlálója és nevezője - szorzva -1, akkor megkapjuk a frakció értékét, ha egyidejűleg megváltoztatja a jeleket a számláló és a denominátor. Ha csak a számlálóban vagy csak a denominátorban módosíthatja a jelet, akkor a frakció megváltoztatja a jelét:

Például,

60. A racionális frakciók csökkentése.

Csökkentse a frakciót - ez azt jelenti, hogy megosztja a számát és a denominátort a frakció egy közös tényező. Az ilyen csökkentés lehetősége a frakció fő tulajdonsága miatt következik be.

A racionális frakció csökkentése érdekében szüksége van egy számlálóra és a denominátorra, hogy lebomlik a szorzókon. Ha kiderül, hogy a számláló és a denominátor általános szorzókkal rendelkezik, akkor a frakció csökkenthető. Ha nincsenek általános tényezők, a frakció átalakítása a redukción keresztül lehetetlen.

Példa. Csökkentse a frakciót

Döntés. Van

A frakció csökkentése az állapot alatt.

61. A racionális frakciókat a közös denominátorhoz.

Számos racionális frakció közös denominátora egy teljes racionális kifejezés, amely az egyes frakciók nevezőjére oszlik (lásd az 54. bekezdést).

Például a frakciók általános denominátora és polinom, mivel a polinom és a polinom és a polinomiális és polinom, stb. Általában olyan közös nevezőt vesz fel, hogy bármely más általános nevező a világi. Az ilyen legegyszerűbb denominátort néha a legkisebb közös nevezőnek nevezik.

A fenti példában a teljes denominátor egyenlő

Ezeket a frakciókat a teljes denominátorhoz úgy érhetjük el, hogy az első frakció számlálójának és nevezőinek megszorzásával érhető el. Ennek a frakciónak egy további tényezője megegyezik azzal, hogy magántulajdonban van egy közös nevezőt a frakció nevétől.

Számos racionális frakcióhoz vezet egy közös denominátorhoz, amire szükséged van:

1) a multiplikátorok minden egyes frakciójának nevezését bontsa le;

2) közös nevezőt össze kell állítani, beleértve az (1) bekezdésben szereplő összes tényezőt is; Ha egyes szorzók több bomlásban vannak, akkor a rendelkezésre álló legnagyobb mértékben megegyező mértékű mutatóval történik;

3) Nattes További hibák az egyes frakciókhoz (erre, az általános nevezőt denomotorra osztják);

4) A dominovin számláló és az egyes frakciók denominátora további tényezőn, a frakciót egy közös denominátorhoz.

Példa. Egy közös denoterhez vezet

Döntés. Terjessze a denominátorokat a multiplikátorokhoz:

A következő tényezőket fel kell venni a teljes nevezőbe: és a legkisebb általános többszámú 12, 18, 24, azaz. Ez azt jelenti, hogy az általános nevezőnek van formája

További szorzók: az első frakció a második a harmadik számára, ez azt jelenti, hogy kapunk:

62. A racionális frakciók kiegészítése és kivonása.

A racionális frakciók két (és általában, az azonos nevű racionális frakciók "véges számának) összege azonos hatással van az azonos nevezővel rendelkező frakcióval, és egy numerátorral egyenlő a frátracek részleteinek összegével:

A helyzet hasonló az ugyanazon nevezőkkel való kivonási frakciók esetében:

1. példa A kifejezés egyszerűsítése

Döntés.

A különböző denominánsok racionális frakcióinak hozzáadásához vagy kivonásához először meg kell adnia a töredéket a megosztott nevezőhöz, majd végezzen műveleteket a frakciókon ugyanazokkal a nevezőkkel.

2. példa A kifejezés egyszerűsítése

Döntés. Van

63. A racionális frakciók szorzása és megosztása.

A racionális frakciók két (és általában véges számának) terméke megegyezik a frakcióval, amelynek számlálója megegyezik a numerátorok termékével, és a nevelők termékével - a változó frakciók nevezőinek termékével:

A két racionális frakció elosztásának magánszemélye azonos módon megegyezik a frakcióval, amelynek számlálója megegyezik az első frakció számlálójának termékével a második frakció denominátorán, és a denominátor - a Első frakció a második frakció számlálóján:

A multiplication és divízió megfogalmazott szabályait elosztják, és sokszorosítás vagy divízió esetén egy polinom esetében: elegendően rögzítjük ezt, polinomot egy frakció formájában egy denominátorral 1.

Tekintettel a csökkentésének lehetőségét a racionális kapott frakciót eredményeként szorzás vagy osztás racionális frakciók, általában hajlamosak Ezen műveletek elvégzéséhez elbontására számlálók és nevezők a kezdeti frakciókat szorzók.

1. példa Végezze el a szorzást

Döntés. Van

A frakciók hiánya, kapunk:

2. példa Végezze el az osztályt

Döntés. Van

A divíziós szabály használatával kapunk:

64. A racionális frakció megteremtése egészen.

A racionális frakció növelése - természetes mértékben meg kell építeni a frakció külön számát és nevezőjét ebben a mértékben; Az első kifejezés számláló, és a második kifejezés az eredmény nevező:

1. példa A 3. fokozat frakciójára történő átalakítása.

Döntési megoldás.

A frakció felállításakor az identitást az összes változó minden értékét használják.

2. példa A frakció kifejezésre konvertálása

65. A racionális kifejezések átalakítása.

A racionális expresszió átalakulása a racionális frakciók hozzáadására, kivonására, szorzására és megosztására, valamint a frakció természetes mértékű megépítésére is csökken. Bármely racionális expresszió frakcióvá alakítható, amelynek számát és nevezője - teljes racionális kifejezések; Ez szabályként a racionális kifejezések azonos átalakulásainak céljából áll.

Példa. Egyszerűsítse a kifejezést

66. Az aritmetikai gyökerek (gyökök) legegyszerűbb átalakulása.

Az aritmetikai király konvertálásakor tulajdonságaikat használják (lásd a 35. bekezdést).

Tekintsünk több példát a tulajdonságok alkalmazására. aritmetikai gyökerek A radikálisok legegyszerűbb átalakulása érdekében. Ebben az esetben minden változó csak negatív értékeket kap.

Példa 1. Kivonja a gyökeret a munkából

Döntés. 1 ° -os tulajdonság alkalmazása, kapunk:

2. példa, hogy a root jelzőtáblázást

Döntés.

Az ilyen konverziót a gyökérjeltől szorzónak nevezik. Az átalakulás célja az etetési kifejezés egyszerűsítése.

3. példa. Egyszerűsítés.

Döntés. A 3 ° -os ingatlan esetében általában megpróbáljuk egyszerűsíteni a fa-kifejezést, amelyre a Koria jelei szorzók vannak. Van

4. példa Egyszerűsítse

Döntés. Átalakítjuk a kifejezést a gyökérjel alatti tényezővel: a tulajdonsággal 4 ° -kal van

5. példa Egyszerűsítse

Döntés. 5 ° -os tulajdonsággal rendelkezünk, a megfelelő gyökérzési ráta és a táplálkozási kifejezés mértékének mutatója van ugyanazon a dolog megosztására természetes szám. Ha a példában a példa a megadott mutatókkal 3, akkor kapunk.

6. példa A kifejezések egyszerűsítése:

A) oldat, a) 1 ° -os tulajdonsággal kapjuk meg, hogy az azonos fokú gyökerek megszorításához elegendő az etetési kifejezések megszorzásához, és az eredményből származó eredményből származik. Azt jelenti

b) Először is, a gyököket egy indikátorra kell hoznunk. Az 5 ° -os tulajdonság szerint azt jelezhetjük, hogy a táplálkozási kifejezés fokának gyökérsebessége ugyanolyan természetes számra szorítson. Ezért továbbra is a gyökérmutatók és a táplálkozási expresszió 3-as szintjének megteremtése van.

A racionális kifejezések és frakciók az Algebra teljes körű sarokköve. Azok, akik megtanulják dolgozni az ilyen kifejezésekkel, egyszerűsítik őket, és kiderülnek a szorzókon, valójában bármilyen feladatot megoldhatnak, mivel a kifejezések átalakulása bármely komoly egyenlet, egyenlőtlenség és akár szöveges feladat szerves részét képezi.

Ebben a videóban meglátjuk, hogyan kell kompetensen alkalmazni a rövidített szorzás képleteit a racionális kifejezések és frakciók egyszerűsítésére. Tanítsd meg ezeket a képleteket, ahol az első pillantásra nincs semmi. Ugyanakkor megismételjük az ilyen egyszerű vételt, mivel a négyzet háromszorosának bomlása a diszkrimináns révén.

Ahogy valószínűleg kitaláltad a hátamnak szóló képleteket, ma tanulmányozzuk a rövidített szorzás formuláját, és pontosabban nem a képleteket maguk, hanem a komplex racionális kifejezések egyszerűsítésére és csökkentésére. De mielőtt átkapcsolok a példák megoldására, akkor közelebb kerüljünk ezekhez a képletekhez, vagy ne feledje őket:

1. $ (a) ^ (2)) - ((((b) ^ (2)) \u003d balra (A-B \\ jobbra) \\ ti maradt (A + B JE) $ - a négyzetek különbsége;
2. $ ((bal (a + b))) ^ (2)) \u003d ((a) ^ (2)) + 2ab + ((b) ^ (2)) $ négyzetes összegek;
3. $ ((bal (a-b))) ^ (2)) \u003d ((a) ^ (2)) - 2ab + ((b) ^ (2)) $ - a különbség négyzete;
4. $ (a) ^ (3)) + ((((b) ^ (3)) \u003d balra (a + b \u003d jobbra) \\ ti maradt (((a) ^ (2)) - AB + ((b) ^ (2)) \\ Jobb) $ - a kockák összege;
5. $ (a) ^ (3)) - (((b) ^ (3)) \u003d \\ ti bal (ab \\ jobbra) \\ Bal ((a) ^ (2)) + AB + ((b) ^ ((b) ^ ( 2)) $) $ - a kockák különbsége.

Azt is szeretném megjegyezni, hogy mi iskolarendszer Az oktatás olyan módon történik, hogy ez a téma tanulmányozása, azaz A racionális kifejezések, valamint a gyökerek, az összes diák modulja ugyanolyan probléma merül fel, hogy most megmagyarázom.

Az a tény, hogy a rövidített szorzás formuláinak tanulmányozása és ennek megfelelően a frakciók csökkentésére irányuló intézkedések (ez valahol a 8. osztályba tartozik) A tanárok azt mondják, hogy valami a következőképpen szól: "Ha valami nem világos Ez a téma továbbra is ismételten visszatér, a középiskolákban. Elemezni fogjuk. " Nos, akkor a 9-10. osztály fordulóján ugyanazok a tanárok magyarázzák ugyanazokat a diákokat, akik nem tudják, hogyan oldják meg a racionális frakciók megoldását, a következőkről: "Hol voltál az elmúlt két évben? A 8. fokozatban az Algebra-on vizsgálták! Mi lehet itt érthetetlen? Annyira nyilvánvaló! "

Az ilyen magyarázatok szokásos tanítványai azonban egyáltalán nem könnyebbek: ők, mint egy zabkása a fejben, továbbra is, így most elemezzük kettőt egyszerű példa, amelyek alapján és nézzük meg, hogy ezeknek a feladatokban, kiosztják ezeket a kifejezéseket, amelyek a rövidített szorzás formuláihoz vezetnek, és hogyan kell alkalmazni a komplex racionális kifejezések átalakítására.

Az egyszerű racionális frakciók csökkentése

1. feladat.

\\ [\\ Frac (4x + 3 ((y) ^ (2))) (9 (y) ^ (4)) - 16 ((x) ^ (2)))) \\ t

Az első dolog, amellyel meg kell tanulnunk, hogy pontos négyzeteket hozzanak létre a kezdeti kifejezésekben és a magasabb fokokon, amely alapján képleteket alkalmazhatunk. Lássuk:

Írjuk át a kifejezést, figyelembe véve ezeket a tényeket:

\\ [\\ Frac (4x + 3 ((((y) ^ (2))) (((balra (3 (3 (y) ^ (2)) \\ jobb)) ^ (2)) - ((\\ t 4x \\ jobb)) ^ (2))) \u003d \\ frac (4x + 3 ((y) ^ (2))) (\\ ti maradt (3 ((y) ^ (2)) - 4x \\ jobbra) \\ t 3 ((y) ^ (2)) + 4x \\ jobbra)) \u003d \\ frac (1) (3 ((y) ^ (2)) - 4x) \\]

Válasz: $ \\ frac (1) (3 ((((((y) ^ (2)) - 4x) $.

2. feladat.

Menjen a második feladatra:

\\ [\\ Frac (8) (((x) ^ (2)) + 5xy-6 ((y) ^ (2)))]

Semmi sem egyszerűsíteni itt, mert állandó a számlálóban, de javasoltam ezt a feladatot annak érdekében, hogy megtanulják a két változót tartalmazó polinomokat a szorzókon. Ha inkább a polinom alatt írták, hogyan bomlik meg?

\\ [((x) ^ (2)) + 5x-6 \u003d bal (x -... \\ jobb) \\ maradt (x -... \\ jobb) \\]

Nézzük meg az egyenletet, és keressünk meg $ x $ -t, amit a pontok helyett tehetünk:

\\ [((x) ^ (2)) + 5x-6 \u003d 0 \\ t

\\ [((x) _ (1)) \u003d \\ frac (-5 + 7) (2) \u003d \\ frac (2) (2) \u003d 1 \\]

\\ [((x) _ (2)) \u003d \\ frac (-5-7) (2) \u003d \\ frac (-12) (2) \u003d - 6 \\]

Három darabot tudunk átírni az alábbiak szerint:

\\ [((x) ^ (2)) + 5xy-6 (((y) ^ (2)) \u003d bal (x-1 \\ jobbra) \\ t

Négy négyzet alakú, megtanultunk dolgozni - erre, és szükséges volt rögzíteni ezt a videó bemutatót. És mi van, ha, kivéve a $ x $ -t, és van még egy $ y $ állandó? Nézzük meg őket, mint az együtthatók még egy elemét, vagyis Hagyjuk átírni kifejezést az alábbiak szerint:

\\ [((x) ^ (2)) + 5Y \\ CDOT X-6 ((y) ^ (2)) \\]

\\ [((x) _ (1)) \u003d \\ frac (-5y + 7y) (2) \u003d y \\]

\\ [((x) _ (2)) \u003d \\ frac (-5y-7y) (2) \u003d \\ frac (-12y) (2) \u003d - 6Y \\]

Írja be a négyzet alakú design bomlását:

\\ [\\ maradt (x-y \\ jobb) \\ maradt (x + 6y \\ jobbra) \\]

Összesen, ha visszatérünk a kezdeti kifejezéshez, és átírjuk, figyelembe véve a változtatásokat, majd a következőket kapjuk:

\\ [\\ Frac (8) (\\ Bal (x-y \\ jobb) \\ Bal (X + 6Y \\ Jobb)) \\]

Mit ad ez a rekord? Semmi, mert nem vágja le, nem szaporodik, és nem osztható meg. Azonban, amint ez a frakció része Egy összetettebb kifejezés, egy ilyen bomlás kiderül, hogy az út. Ezért, amint látsz egy négyzet háromszorosát (ez nem számít, ez további paraméterek súlyosbítja, vagy sem), mindig próbálja meg a szorzókon levonni.

Nuances megoldások

Ne feledje a racionális kifejezések konvertálásának fő szabályait:

• Minden nevezőt és számot meg kell határozni a szorzókra vagy a rövidített szorzás formuláira, vagy a diszkriminóren keresztül.
• Ez az algoritmus szerint kell dolgozni: amikor megnézzük és megpróbáljuk kiemelni a rövidített szorzás képletét, akkor először is, és megpróbáljuk lefordítani mindent a lehető legnagyobb mértékben. Ezt követően közös mértékben veszünk ki a konzolra.
• A paraméterrel való kifejezések nagyon gyakran találhatók: más változók együtthatókként fordulnak elő. Megtaláljuk őket a négyzetes bomlási formula szerint.

Így amint megjelenik racionális frakciók, az első dolog, lebomlanak, és a számlálót, és a nevező szorzók (lineáris kifejezések), míg az általunk használt képletek rövidített szorzást vagy diszkrimináló.

Nézzünk meg néhány ilyen racionális kifejezést, és próbálj meg bomlik a szorzókon.

Bonyolultabb példák megoldása

1. feladat.

\\ [\\ Frac (4 (((x) ^ (2)) - 6xy + 9 ((y) ^ (2))) (2x-3Y) \\ CDOT \\ frac (9 ((y) ^ (2)) - 4 ((x) ^ (2))) (8 ((x) ^ (3)) + 27 ((y) ^ (3)))))) \\ t

Újraírjuk és megpróbáljuk csökkenteni az egyes feltételeket:

Írjuk át az összes racionális kifejezést ezekkel a tényekkel:

\\ [\\ Frac (((bal (2x)) ^ (2)) - 2x \\ cdot 3y + ((balra (3y / jobb)) ^ (2))) (2x-3Y) \\ CDOT \\ frac (((balra (3y)) ^ (2)) - ((balra (2x \\ jobbra)) ^ (2))) ((((balra (2x \\ jobbra)) ^ (3)) + ((bal (3y))) ^ (3)))) \u003d \\]

\\ [\u003d \\ Frac (((((bal (2x)) ^ (2)) - 2x \\ cdot 3y + ((balra (3y \\ jobbra)) ^ (2))) (2x-3Y) \\ CDOT \\ Frac (balra (3y-2x) balra (3y + 2x \\ jobbra) (\\ ti (2x + 3y \\ jobbra) \\ Bal (((balra (2x \\ jobbra)) ^ (2)) - 2x \\ cdot 3y + ((bal (3y)) ^ (2)) \\ jobb)) \u003d - 1 \\]

Válasz: $ -1 $.

2. feladat.

\\ [\\ Frac (3-6x) (2 (x) ^ (2)) + 4x + 8) \\ CDOT \\ frac (2x + 1) ((x) ^ (2)) + 4-4x) \\ Cdot \\ frac (8 - (((x) ^ (3))) (4 (x) ^ (2)) - 1) \\ t

Nézzük meg az összes frakciót.

\\ [(((x) ^ (2)) + 4-4x \u003d ((x) ^ (2)) - 4x + 2 \u003d ((x) ^ (2)) - 2 \\ cdot 2x + ((2) ^ (2)) \u003d ((bal (x-2) jobb) ^ (2)) \\]

Átírjuk az egész tervet, figyelembe véve a változtatásokat:

\\ [\\ Frac (3 \\ bal (1-2x \\ jobbra)) (2 \\ lib (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \\ Jól)) \\ CDOT \\ frac (2x + 1) ((((bal (x-2))) ^ (2))) \\ CDOT \\ frac (\\ ti maradt (2-x \\ jobb) \\ maradt (((2) ^ (2) ) + 2x + ((x) ^ (2)))) (balra (2x-1 \\ jobbra) \\ maradt (2x + 1 \\ jobb)) \u003d \\]

\\ [\u003d \\ Frac (3 \\ cdot \\ maradt (-1 \\ jobbra)) (2 \\ kóda balra (x-2 \\ jobbra) \\ CDOT \\ maradt (-1 \\ jobbra)) \u003d \\ frac (3) (2 balra (x-2 \\ jobbra)) \\]

Válasz: $ \\ frac (3) (2 \\ bal (x-2 \\ jobbra)) $.

Nuances megoldások

Szóval, mit tanultunk:

• Nem minden négyzet háromszoros csökken, különösen az összeg vagy a különbség hiányos négyzetére utal, amelyek nagyon gyakran megtalálhatók az összeg vagy a különbség kocka részeként.
• Állandók, vagyis A velük nem rendelkező változókkal nem rendelkező hagyományos számok aktív elemekként működhetnek a bomlási folyamatban. Először is, ki lehet venni a zárójelben, másrészt a konstansok maguk is diplomák formájában jelenhetnek meg.
• Nagyon gyakran, a multiplikátorok minden elemének bomlása után, ellentétes struktúrák merülnek fel. Ezeknek a frakcióknak a csökkentése rendkívül szépnek kell lennie, mert a túllépéstől a fentiektől származik, vagy van egy további szorzó $ -1 $ - ez a következménye annak, hogy azok, amelyek ellentétesek.

Komplex feladatok megoldása

\\ [\\ Frac (27 (a) ^ (3)) - 64 ((b) ^ (3))) ((b) ^ (2)) - 4): \\ frac (9 (a) ^ (2)) + 12ab + 16 ((b) ^ (2)))) ((b) ^ (2)) + 4b + 4) \\]

Tekintsük minden kifejezést külön-külön.

Első frakció:

[((balra (3a jobb)) ^ (3)) - ((balra (4b \\ jobbra)) ^ (3)) \u003d balra (3a-4b \\ jobbra) \\ Bal (((balra) (3a))) ^ (2)) + 3A CDOT 4b + ((bal (4b \\ jobbra)) ^ (2)) \\ jobb) \\]

\\ [((B) ^ (2)) - ((2) ^ (2)) \u003d bal (B-2 \\ jobbra) \\ Bal (B + 2 \\ Jobb) \\]

A második frakció teljes számlálója az alábbiak szerint átírható:

\\ [((bal (3a jobb)) ^ (2)) + 3A CDOT 4b + ((bal (4b \\ jobb)) ^ (2)) \\]

Nézzük meg a nevét:

\\ [(((((((b) ^ (2)) + 4b + 4 \u003d (((b) ^ (2)) + 2 \\ cdot 2b + ((2) ^ (2)) \u003d ((balra (B + 2 jobb)) ^ (2)) \\]

Írjuk át egy minden racionális kifejezést, figyelembe véve a fenti tényeket:

\\ [\\ Frac (bal) bal (((balra (3a jobb)) ^ (2)) + 3A \\ CDOT 4b + ((bal (4b \\ jobbra)) ^ (2)) \\ Jól) ) (bal (B-2) balra (B + 2 \\ jobbra)) \\ CDOT \\ frac (((bal (B + 2 \\ jobbra)) ^ (2)))) ((( 3a jobb)) ^ (2)) + 3A \\ CDOT 4B + ((bal (4b \\ jobb)) ^ (2)))) \u003d \\ \\ \\

\\ [\u003d \\ Frac (bal (3a-4b) balra (B + 2 \\ Jobb) (bal (balra (B-2 \\ jobbra)) \\]

Válasz: $ \\ frac (balra (3a-4b) bal (B + 2 \\ jobbra)) (bal (balra (B-2 \\ jobbra)) $.

Nuances megoldások

Ahogy ismét meg volt szereztünk, a különbség összegének vagy hiányos négyzeteinek hiányos négyzetei, amelyek gyakran valódi racionális kifejezésekben találhatók, de nem félnek tőlük, mert az egyes elemek átalakítása után szinte mindig csökkent. Ezenkívül semmiképpen sem szabad félni a nagyméretű tervektől a teljes válaszban - igen lehetséges, hogy ez nem a hibája (különösen, ha mindent megkülönbözteti a multiplikátorok számára), és ez a szerző ilyen választ kötött.

Összefoglalva, szeretném szétszerelni egy másikat komplex példaamelyek már nem tartoznak közvetlenül a racionális frakciókhoz, de mindazokat magukban foglalják, amelyeket ezen ellenőrzésre és vizsgákra vár, nevezetesen: a szorzók bomlása, a közös nevezőre való bomlást, amely csökkenti az ilyen feltételeket. Pontosan ezt fogjuk menni.

Egy nehéz feladat megoldása a racionális kifejezések egyszerűsítésére és átalakítására

\\ [bal (\\ frac (x) ((x) ^ (2) + 2x + 4) + \\ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \\ frac (1) (x-2) \\ jobb) \\ CDOT \\ Bal (\\ frac ((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \\ Frac (2) (2-x) \\ jobbra) \\]

Először is, fontolja meg és fedezze fel az első konzolot: három különálló frakciót látunk különböző denominátorokkal, így az első dolog, amit meg kell tennünk, hogy mindhárom frakciót egy közös nevezőre hozza, és erre mindegyiküket a multiplikátorokra kell bocsásolni:

\\ [((x) ^ (2)) + 2x + 4 \u003d ((x) ^ (2)) + 2 \\ cdot x + ((2) ^ (2)) \\]

\\ [(((x) ^ (2)) - 8 \u003d ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (2)) \u003d \\ ti (x-2 \\ jobb) \\ maradt ((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2))) \\ Jobb) \\]

Az alábbiak szerint átírjuk a teljes kialakításunkat:

\\ [\\ Frac (x) ((((((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2))) + \\ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\\ t (x -2) jobbra (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2))))) - \\ frac (1) (X-2) \u003d]

\\ [\u003d \\ Frac (x \\ maradt (x-2) + ((x) ^ (3)) + 8-bal (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ ((2) ^ ( 2)))) (balra (x-2) balra ((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \\ jobb))) \u003d \\ \\

\\ [\u003d \\ Frac ((((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\\ maradt (x -2 \\ jobb) \\ maradt (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \\ jobb)) \u003d \\ flac ((x) ^ (2)) - 4x-4 ) (balra (x-2) balra (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \\ jobbra))) \u003d \\ \\

\\ [\u003d \\ Frac (((((bal (x-2))) ^ (2))) (\\ ti (x-2 \\ jobb) \\ Bal (((x) ^ (2)) + 2x + ( (2) ^ (2)) \\ jobb)) \u003d \\ frac (X-2) ((x) ^ (2)) + 2x + 4) \\]

Ez az első tartóból származó számítások eredménye.

Megértjük a második konzolral:

\\ [((x) ^ (2)) - 4 \u003d ((x) ^ (2)) - ((2) ^ (2)) \u003d bal (x-2 \\ jobbra) \\ Bal (x + 2 \\ JOBB) \\]

A módosításokkal átírjuk a második tartót:

\\ [\\ Frac (((((x) ^ (2))) (\\ ti (x-2) balra (x + 2 \\ jobbra)) + \\ frac (2) (x-2) \u003d \\ frac ( ((x) ^ (2)) + 2 \\ Bal (x + 2 \\ jobbra)) (\\ Left (x-2 \\ jobbra) \\ Bal (x + 2 \\ jobbra)) \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\\ Bal (x-2 \\ jobb) \\ Bal (X + 2 \\ Jobb)) \\]

Most írja be az egész forráskivágást:

\\ [\\ Frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \\ CDOT \\ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\\ ti (x-2) \\ Jobb) \\ Bal (x + 2 \\ jobbra)) \u003d \\ frac (1) (x + 2) \\]

Válasz: $ \\ frac (1) (x + 2) $.

Nuances megoldások

Ahogy láthatod, a válasz eléggé járt. Megjegyzés azonban: nagyon gyakran, ilyen nagyméretű számításokkal, amikor az egyetlen változó csak a nevezőben van, a diákok elfelejtik, hogy ez a nevező, és meg kellett volna állnia a frakciót az akkoriban, és írja ezt a kifejezést egy számlálón - ez súlyos hiba.

Ezenkívül szeretném felhívni a különös figyelmet arra, hogy hogyan készülnek az ilyen feladatok. Bármely összetett számításban minden lépést cselekednek: Először is, külön megvizsgáljuk, majd külön-külön kombináljuk, és csak a végén kombináljuk az összes részt, és figyelembe vesszük az eredményt. Így biztosítjuk magukat a hülye hibáktól, óvatosan írják le az összes számítást, és ugyanakkor nem töltenek extra időt, mivel első pillantásra tűnhet.

Kész munka

Tézis munka

Már mögötte és most már végzős, ha természetesen megírja az érettségi munkát időben. De az élet egy olyan dolog, hogy csak most világossá válik, hogy miután megszűnt a diák, akkor elveszti minden diák örömök, melyek közül sok, soha nem próbáltam, minden megállapító és elhalasztása később. És most, ahelyett, hogy a szopás elhagyta volna, megöli az érettségi munkát? Van egy nagyszerű kiút: Töltse le a diplomás munkát, amire szüksége van a webhelyünkről - és sok szabadidő van!
A tézisek sikeresen védve vannak a Kazah Köztársaság vezető egyetemeiben.
A munka költsége 20 000 Tenge

Kanapé

A tanfolyam projekt az első komoly gyakorlati munka. Ez az írásban a fejlesztés előkészítése kezdődik diploma projektek. Ha egy diák megtanulja helyesen megadni a téma tartalmát a kurzus projektben, és kompetensen húzza ki, akkor a későbbiekben nincs semmi problémája az írásbeli jelentésekkel vagy összeállítással tézismás gyakorlati feladatok teljesítésével sem. Annak érdekében, hogy segítse a diákokat az ilyen típusú hallgatói munkák írásában, és megmagyarázza az összeállítás során felmerülő kérdéseket, valójában ezt az információs részt hozta létre.
A munka költsége a 2,500 Tenge-tól

Mester disszertációi

Jelenleg magasabb oktatási intézmények A Kazahsztán és a FÁK országai nagyon gyakoriak a legmagasabb színpadra szakképzésAz alapképzés után következik. A büntetőjogot képzett, hogy megszerezzék a mester diplomáját a világ legtöbb országában, mint egy főiskolai diploma, és a külföldi munkáltatók is elismerték. A bíróság képzésének eredménye a védelem mester disszertációja.
A jelenlegi analitikai és szöveges anyagot biztosítjuk Önnek, az ár tartalmazza a 2-et tudományi cikkek és a szerző absztrakt.
A munka költsége 35.000 Tenge

Gyakorlati jelentések

Miután átadta a hallgatói gyakorlatot (oktatási, gyártási, pre-diploma), a jelentés szükséges. Ez a dokumentum megerősítés lesz praktikus munka Hallgató és a gyakorlat felmérésének alapja. Általában össze kell állítani a gyakorlat az, hogy szükség van információk összegyűjtésére és elemzésére a vállalkozás, úgy a szerkezet és a rutin a szervezet, amely a gyakorlatban folyik, elkészíti naptári tervet, és leírni a gyakorlati tevékenységek.
Segítünk egy jelentést írni a gyakorlat átadásáról, figyelembe véve az adott vállalkozás sajátosságait.