Вступ

У математиці та її додатках до природознавства та техніки знаходять широке застосування показові функції. Це, зокрема, пояснюється тим, що багато що вивчаються в природознавстві явища відносяться до так званих процесів органічного зростання, в яких швидкості зміни функцій, що беруть у них, пропорційні величинам самих функцій.

Якщо позначити через функцію, і через аргумент, то диференціальний закон процесу органічного зростання то, можливо записаний як де певний постійний коефіцієнт пропорційності.

Інтегрування цього рівняння призводить до загального рішення як показової функції

Якщо задати початкову умову, то можна визначити довільну постійну і, таким чином, знайти приватне рішення, яке являє собою інтегральний закон аналізованого процесу.

До процесів органічного зростання відносяться при деяких спрощують припущення такі явища, як, наприклад, зміна атмосферного тиску в залежності від висоти над поверхнею Землі, радіоактивний розпад, охолодження або нагрівання тіла в навколишньому середовищі постійної температури, унімолекулярна хімічна реакція (наприклад, розчинення речовини у воді ), при якій має місце закон дії мас (швидкість реакції пропорційна готівковій кількості реагуючої речовини), розмноження мікроорганізмів та багато інших.

Зростання грошової суми внаслідок нарахування на неї складних відсотків (відсотки на відсотки) також є процесом органічного зростання.

Ці приклади можна було б продовжувати.

Поряд з окремими показовими функціями в математиці та її додатках знаходять застосування різні комбінації показових функцій, серед яких особливе значення мають деякі лінійні та дрібно-лінійні комбінації функцій і так звані гіперболічні функції. Цих функцій шість, для них введені такі спеціальні назви та позначення:

(Гіперболічний синус),

(гіперболічний косинус),

(Гіперболічний тангенс),

(гіперболічний котангенс),

(Гіперболічний секанс),

(Гіперболічний секанс).

Виникає питання, чому дано саме такі назви, причому тут гіпербола та відомі з тригонометрії назви функцій: синус, косинус, тощо? Виявляється, що співвідношення, що пов'язують тригонометричні функції з координатами точок кола одиничного радіусу, аналогічні співвідношенням, що зв'язують гіперболічні функції з координатами точок рівносторонньої гіперболи з одиничною піввіссю. Цим таки виправдовується найменування гіперболічних функцій.

Гіперболічні функції

Функції, задані формулами називають відповідно гіперболічним косинусом та гіперболічним синусом.

Ці функції визначені і безперервні, причому - парна функція, а - непарна функція.

Рисунок 1.1 – Графіки функцій

З визначення гіперболічних функцій і випливає, що:

За аналогією з тригонометричними функціями гіперболічні тангенс та котангенс визначаються відповідно до формул.

Функція визначена і безперервна, а функція визначена і безперервна на множині з виколотою точкою; обидві функції – непарні, їх графіки представлені на рисунках нижче.

Рисунок 1.2 – Графік функції

Рисунок 1.3 – Графік функції

Можна показати, що функції і - строго зростаючі, а функція - строго спадна. Тому зазначені функції оборотні. Позначимо зворотні до них функції відповідно.

Розглянемо функцію, обернену до функції, тобто. функцію. Виразимо її через елементарні. Вирішуючи рівняння щодо, отримуємо Так як, то звідки

Замінюючи на, але, знаходимо формулу для функції, зворотної для гіперболічного синуса.

, сторінка 6

11 Основні функції комплексної змінної

Нагадаємо визначення комплексної експоненти – . Тоді

Розкладання до ряду Маклорена. Радіус збіжності цього ряду дорівнює +∞, отже, комплексна експонента аналітична на всій комплексній площині і

(exp z) "=exp z; exp 0 = 1. (2)

Перша рівність тут випливає, наприклад, з теореми про почленное диференціювання статечного ряду.

11.1 Тригонометричні та гіперболічні функції

Синусом комплексного змінногоназивається функція

Косинус комплексного змінногоє функція

Гіперболічний синус комплексного змінноговизначається так:

Гіперболічний косинус комплексного змінного- це функція

Відзначимо деякі властивості нововведених функцій.

A.Якщо x∈ ℝ cos cos, sin x, ch x, sh x∈ ℝ .

Б.Має місце наступний зв'язок тригонометричних та гіперболічних функцій:

cos iz = ch z; sin iz = ish z, ch iz = cos z; sh iz=isin z.

В. Основні тригонометричні та гіперболічні тотожності:

cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z = 1.

Доказ основної гіперболічної тотожності.

Основне тригонометричне тотожність випливає з оновленого гіперболічного тотожності при обліку зв'язку тригонометричних та гіперболічних функцій (див. властивість Б)

Г Формули додавання:

Зокрема,

Д.Для обчислення похідних тригонометричних та гіперболічних функцій слід застосувати теорему про почленное диференціювання статечного ряду. Отримаємо:

(cos z) "=-sin z; (sin z)" = cos z; (ch z) "= sh z; (sh z)" = ch z.

Є.Функції cos z, ch z парні, а функції sin z, sh z непарні.

Ж. (Періодичність)Функція e z періодична із періодом 2π i. Функції cos z, sin z періодичні з періодом 2π, а функції ch z, sh z періодичні з періодом 2πi. Більш того,

Застосовуючи формули суми, отримуємо

З. Розкладання на дійсну та уявну частини:

Якщо однозначна аналітична функція f(z) відображає бієктивно область D на область G, то D називається областю однолистості.

І.Область D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

Доказ. Зі співвідношення (5) випливає ін'єктивність відображення exp:D k → ℂ . Нехай w – будь-яке ненульове комплексне число. Тоді, розв'язуючи рівняння e x = | w | та e iy =w/|w| з дійсними змінними x та y (y вибираємо з напівінтервалу); іноді вводяться до розгляду. Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

Функції, зворотні по відношенню до гіперболічних функцій sh х, ch х, th х; вони виражаються формулами (читається: ареа синус гіперболічний, ареа косинус гіперболічний, ареа тангенс... Велика Радянська Енциклопедія

Функції, обернені до гіперболіч. функцій; виражаються формулами. Природознавство. Енциклопедичний словник

Зворотні гіперболічні функції визначаються як зворотні функції до гіперболічних функцій. Ці функції визначають площу сектора одиничної гіперболи x2 − y2 = 1 аналогічно до того, як зворотні тригонометричні функції визначають довжину… … Вікіпедія

Книжки

• Гіперболічні функції, Янпольский А.Р.. У книзі викладаються властивості гіперболічних та зворотних гіперболічних функцій та даються співвідношення між ними та іншими елементарними функціями. Показано застосування гіперболічних функцій.

Тангенс, котангенс

Визначення гіперболічних функцій, їх області визначень та значень

sh x- гіперболічний синус
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x- гіперболічний косинус
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
th x- гіперболічний тангенс
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- гіперболічний котангенс
, x ≠ 0; y< -1 или y > +1 .

Графіки гіперболічних функцій

Графік гіперболічного синусу y = sh x

Графік гіперболічного косинуса y = ch x

Графік гіперболічного тангенсу y = th x

Графік гіперболічного котангенсу y = cth x

Формули з гіперболічними функціями

Зв'язок із тригонометричними функціями

sin iz = i sh z; cos iz = ch z
sh iz = i sin z; ch iz = cos z
tg iz = i th z; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z; cth iz = - i ctg z
Тут i - уявна одиниця, i 2 = - 1 .

Застосовуючи ці формули до тригонометричних функцій, отримуємо формули, що пов'язують гіперболічні функції.

Парність

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = - th x; cth(-x) = - cth x.

Функція ch(x)- парна. Функції sh(x), th(x), cth(x)- непарні.

Різниця квадратів

ch 2 x - sh 2 x = 1.

Формули суми та різниці аргументів

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

Формули творів гіперболічного синуса та косинуса

,
,
,

,
,
.

Формули суми та різниці гіперболічних функцій

,
,
,
,
.

Зв'язок гіперболічного синуса та косинуса з тангенсом та котангенсом

, ,
, .

Похідні

,

Інтеграли від sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Розкладання до лав

Зворотні функції

Ареасинус

При - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Ареакосінус

При 1 ≤ x< ∞ і 0 ≤ y< ∞ мають місце формули:
,
.

Друга гілка ареакосинусу розташована при 1 ≤ x< ∞ та - ∞< y ≤ 0 :
.

Ареатангенс

При - 1 < x < 1 та - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,

ГІПЕРБОЛИЧНІ ФУНКЦІЇ- Гіперболічний синус (sh x) і косинус (сh x) визначаються такими рівностями:

Гіперболічні тангенс та котангенс визначаються за аналогією з тригонометричними тангенсом та котангенсом:

Аналогічно визначаються гіперболічні секанс та косеканс:

Мають місце формули:

Властивості гіперболічних функцій багато в чому аналогічні до властивостей (див.). Рівняння х=соs t, у=sin t визначають коло х²+у² = 1; рівняння х=сh t, у=sh t визначають гіперболу х² - у²=1. Як тригонометричні функції визначаються з кола одиничного радіусу, так і гіперболічні функції визначаються з рівнобічної гіперболи х² - у²=1. Аргумент t є подвійна площа заштрихованого криволінійного трикутника ОМЕ (рис. 48), аналогічно тому як для кругових (тригонометричних) функцій аргумент t чисельно дорівнює подвоєній площі криволінійного трикутника ОКЕ (рис. 49):

для кола

для гіперболи

Теореми складання для гіперболічних функцій аналогічні до теорем складання для тригонометричних функцій:

Ці аналогії легко вбачаються, якщо за аргумент х прийняти комплексне змінне г. Гіперболічні функції пов'язані з тригонометричними функціями наступними формулами: sh x = - i sin ix, ch x = cos ix, де i - одне із значень кореня √-1. Гіперболічні функції sh х, а також і сh x: можуть приймати скільки завгодно великі значення (звідси, природно, і великі одиниці) на відміну від тригонометричних функцій sin х, соs х, які для дійсних значень не можуть бути за модулем більше одиниці.
Гіперболічні функції грають роль геометрії Лобачевського (див. ), використовуються щодо опору матеріалів, в електротехніці та інших галузях знань. Зустрічаються в літературі також позначення гіперболічних функцій, такі sinh x; соsh х; tgh x.