Властивості логарифмів і приклади їх рішень. Вичерпний гід (2020). Що таке логарифм? Рішення логарифмів. Приклади. Властивості логарифмів Розподіл логарифмів з однаковими підставами

Продовжуємо вивчати логарифми. У цій статті ми поговоримо про обчислення логарифмів, Цей процес називають логарифмування. Спочатку ми розберемося з обчисленням логарифмів за визначенням. Далі розглянемо, як знаходяться значення логарифмів з використанням їх властивостей. Після цього зупинимося на обчисленні логарифмів через спочатку задані значення інших логарифмів. Нарешті, навчимося використовувати таблиці логарифмів. Вся теорія забезпечена прикладами з докладними рішеннями.

Навігація по сторінці.

Обчислення логарифмів за визначенням

У найпростіших випадках можливо досить швидко і легко виконати знаходження логарифма за визначенням. Давайте детально розглянемо, як відбувається цей процес.

Його суть полягає в поданні числа b у вигляді a c, звідки по визначенню логарифма число c є значенням логарифма. Тобто, знаходженню логарифма за визначенням відповідає наступний ланцюжок рівностей: log a b = log a a c = c.

Отже, обчислення логарифма за визначенням зводиться до знаходження такого числа c, що a c = b, а саме число c є шукане значення логарифма.

З огляду на інформацію попередніх абзаців, коли число під знаком логарифма задано деяким ступенем підстави логарифма, то можна відразу вказати, чому дорівнює логарифм - він дорівнює показнику степеня. Покажемо рішення прикладів.

Приклад.

Знайдіть log 2 + 2 -3, а також обчисліть натуральний логарифм числа e 5,3.

Рішення.

Визначення логарифма дозволяє нам відразу сказати, що log 2 + 2 -3 = -3. Дійсно, число під знаком логарифма одно основою 2 в -3 ступеня.

Аналогічно знаходимо другий логарифм: lne 5,3 = 5,3.

відповідь:

log 2 + 2 -3 = -3 і lne 5,3 = 5,3.

Якщо ж число b під знаком логарифма не задано як ступінь підстави логарифма, то потрібно уважно подивитися, чи не можна прийти до подання числа b у вигляді a c. Часто таке уявлення буває досить очевидно, особливо коли число під знаком логарифма одно основи в ступеня 1, або 2, або 3, ...

Приклад.

Обчисліть логарифми log 5 25, і.

Рішення.

Нескладно помітити, що 25 = 5 2, це дозволяє обчислювати перший логарифм: log 5 25 = log 5 5 2 = 2.

Переходимо до обчислення другого логарифма. Число можна представити у вигляді ступеня числа 7: (При необхідності дивіться). отже, .

Перепишемо третій логарифм в наступному вигляді. Тепер можна побачити, що , Звідки робимо висновок, що . Отже, за визначенням логарифма .

Коротко рішення можна було записати так:.

відповідь:

log 5 25 = 2, і .

Коли під знаком логарифма знаходиться досить велика натуральне число, то його не завадить розкласти на прості множники. Це часто допомагає уявити таке число у вигляді деякої міри підстави логарифма, а значить, обчислити цей логарифм за визначенням.

Приклад.

Знайдіть значення логарифма.

Рішення.

Деякі властивості логарифмів дозволяють відразу вказати значення логарифмів. До таких властивостей відносяться властивість логарифма одиниці і властивість логарифма числа, рівного підстави: log 1 1 = log a a 0 = 0 і log a a = log a a 1 = 1. Тобто, коли під знаком логарифма знаходиться число 1 або число a, рівне основи логарифма, то в цих випадках логарифми рівні 0 і 1 відповідно.

Приклад.

Чому рівні логарифми і lg10?

Рішення.

Так як, то з визначення логарифма слід .

У другому прикладі число 10 під знаком логарифма збігається з його підставою, тому десятковий логарифм десяти дорівнює одиниці, тобто, lg10 = lg10 1 = 1.

відповідь:

І lg10 = 1.

Відзначимо, що обчислення логарифмів за визначенням (яке ми розібрали в попередньому пункті) має на увазі використання рівності log a a p = p, яке є одним з властивостей логарифмів.

На практиці, коли число під знаком логарифма і підстава логарифма легко представляються у вигляді ступеня деякого числа, дуже зручно використовувати формулу , Яка відповідає одному з властивостей логарифмів. Розглянемо приклад знаходження логарифма, який ілюструє використання цієї формули.

Приклад.

Обчисліть логарифм.

Рішення.

відповідь:

Чи не згадані вище властивості логарифмів також використовуються при обчисленні, але про це поговоримо в наступних пунктах.

Знаходження логарифмів через інші відомі логарифми

Інформація цього пункту продовжує тему використання властивостей логарифмів при їх обчисленні. Але тут основна відмінність полягає в тому, що властивості логарифмів використовуються для того, щоб висловити вихідний логарифм через інший логарифм, значення якого відомо. Наведемо приклад для пояснення. Припустимо, ми знаємо, що log 2 3≈1,584963, тоді ми можемо знайти, наприклад, log 2 6, виконавши невелике перетворення за допомогою властивостей логарифма: log 2 6 = log 2 (2 · 3) = log 2 2 + log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

У наведеному прикладі нам було досить використовувати властивість логарифма твори. Однак набагато частіше доводиться застосовувати більш широкий арсенал властивостей логарифмів, щоб обчислити вихідний логарифм через задані.

Приклад.

Обчисліть логарифм 27 по підставі 60, якщо відомо, що log 60 2 = a і log 60 5 = b.

Рішення.

Отже, нам потрібно знайти log 60 27. Нескладно помітити, що 27 = 3 3, і вихідний логарифм в силу властивості логарифма ступеня можна переписати як 3 · log 60 3.

Тепер подивимося, як log 60 3 висловити через відомі логарифми. Властивість логарифма числа, рівного підстави, дозволяє записати рівність log 60 60 = 1. З іншого боку log 60 60 = log60 (2 + 2 · 3 · 5) = log 60 2 2 + log 60 3 + log 60 5 = 2 · log 60 2 + log 60 3 + log 60 5. Таким чином, 2 · log 60 2 + log 60 3 + log 60 5 = 1. отже, log 60 3 = 1-2 · log 60 2-log 60 5 = 1-2 · a-b.

Нарешті, обчислюємо вихідний логарифм: log 60 27 = 3 · log 60 3 = 3 · (1-2 · a-b) = 3-6 · a-3 · b.

відповідь:

log 60 27 = 3 · (1-2 · a-b) = 3-6 · a-3 · b.

Окремо варто сказати про значення формули переходу до нового основи логарифма виду. Вона дозволяє від логарифмів з будь-якими підставами переходити до логарифмам з конкретною підставою, значення яких відомі або є можливість їх відшукати. Зазвичай від вихідного логарифма за формулою переходу переходять до логарифмам за однією з підстав 2, e або 10, так як за цими підставами існують таблиці логарифмів, що дозволяють з певним ступенем точності обчислювати їх значення. У наступному пункті ми покажемо, як це робиться.

Таблиці логарифмів, їх використання

Для наближеного обчислення значень логарифмів можуть бути використані таблиці логарифмів. Найбільш часто використовується таблиця логарифмів за основою 2, таблиця натуральних логарифмів і таблиця десяткових логарифмів. При роботі в десятковій системі числення зручно користуватися таблицею логарифмів за основою десять. З її допомогою і будемо вчитися знаходити значення логарифмів.

Представлена таблиця дозволяє з точністю до однієї тисячної знаходити значення десяткових логарифмів чисел від 1,000 до 9,999 (з трьома знаками після коми). Принцип знаходження значення логарифма за допомогою таблиці десяткових логарифмів розберемо на конкретному прикладі - так зрозуміліше. Знайдемо lg1,256.

У лівому стовпчику таблиці десяткових логарифмів знаходимо дві перші цифри числа 1,256, тобто, знаходимо 1,2 (це число для наочності обведено синьою лінією). Третю цифру числа 1,256 (цифру 5) знаходимо в першій або останньому рядку ліворуч від подвійної лінії (це число обведено червоною лінією). Четверту цифру вихідного числа 1,256 (цифру 6) знаходимо в першій або останньому рядку праворуч від подвійної лінії (це число обведено зеленою лінією). Тепер знаходимо числа в клітинках таблиці логарифмів на перетині зазначеної рядки та зазначених стовпців (ці числа виділені помаранчевим кольором). Сума зазначених чисел дає шукане значення десяткового логарифма з точністю до четвертого знака після коми, тобто, lg1,236≈0,0969 + 0,0021 = 0,0990.

А чи можна, використовуючи наведену таблицю, знаходити значення десяткових логарифмів чисел, що мають більше трьох цифр після коми, а також виходять за межі від 1 до 9,999? Так можна. Покажемо, як це робиться, на прикладі.

Обчислимо lg102,76332. Спочатку потрібно записати число в стандартному вигляді: 102,76332 = 1,0276332 × 10 2. Після цього мантиссу слід округлити до третього знака після коми, маємо 1,0276332 × 10 2 ≈1,028 х 10 2, При цьому вихідний десятковий логарифм наближено дорівнює логарифму отриманого числа, тобто, приймаємо lg102,76332≈lg1,028 х 10 2. Тепер застосовуємо властивості логарифма: lg1,028 х 10 2 = lg1,028 + lg10 2 = lg1,028 + 2. Нарешті, знаходимо значення логарифма lg1,028 по таблиці десяткових логарифмів lg1,028≈0,0086 + 0,0034 = 0,012. У підсумку весь процес обчислення логарифма виглядає так: lg102,76332 = lg1,0276332 х 10 2 ≈lg1,028 х 10 2 = lg1,028 + lg10 2 = lg1,028 + 2≈0,012 + 2 = 2,012.

На закінчення варто відзначити, що використовуючи таблицю десяткових логарифмів можна обчислити наближене значення будь-якого логарифма. Для цього достатньо за допомогою формули переходу перейти до десятковим логарифмам, знайти їх значення по таблиці, і виконати залишилися обчислення.

Для прикладу обчислимо log 2 3. За формулою переходу до нового основи логарифма маємо. З таблиці десяткових логарифмів знаходимо lg3≈0,4771 і lg2≈0,3010. Таким чином, .

Список літератури.

Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

Випливають з його визначення. І так логарифм числа bпо підставі авизначається як показник ступеня, в яку треба звести число a, Щоб отримати число b(Логарифм існує тільки у позитивних чисел).

З цього формулювання випливає, що обчислення x = log a b, Рівнозначно рішенням рівняння a x = b.наприклад, log 2 8 = 3тому що 8 = 2 3 . Формулювання логарифма дає можливість обґрунтувати, що якщо b = a з, То логарифм числа bпо підставі aдорівнює з. Також ясно, що тема логарифмирования тісно взаємопов'язана з темою ступеня числа.

З логарифмами, як і з будь-якими числами, можна виконувати операції додавання, відніманняі всіляко трансформувати. Але з огляду на те, що логарифми - це не зовсім ординарні числа, тут застосовні свої особливі правила, які називаються основними властивостями.

Додавання і віднімання логарифмів.

Візьмемо два логарифма з однаковими підставами: log a xі log a y. Тоді зніми можливо виконувати операції додавання і віднімання:

log a x + log a y = log a (x · y);

log a x - log a y = log a (x: y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.

з теореми логарифма приватногоможна отримати ще одну властивість логарифма. Загальновідомо, що log a 1 = 0, отже,

log a 1 /b= log a 1 - log a b= - log a b.

А значить має місце рівність:

log a 1 / b = - log a b.

Логарифми двох взаємно зворотних чиселпо одному і тій же підставі будуть різні друг від друга виключно знаком. так:

Log 3 9 = - log 3 1/9; log 5 1/125 = -log 5 125.

почнемо з властивості логарифма одиниці. Його формулювання така: логарифм одиниці дорівнює нулю, тобто, log a 1 = 0для будь-якого a> 0, a ≠ 1. Доказ не викликає складнощів: так як a 0 = 1 для будь-якого a, характеристики якого відповідають наведеним вище умовам a> 0 і a ≠ 1, то доводимо рівність log a 1 = 0 відразу випливає з визначення логарифма.

Наведемо приклади застосування розглянутого властивості: log 3 +1 = 0, lg1 = 0 і.

Переходимо до наступного властивості: логарифм числа, рівного підстави, дорівнює одиниці, тобто, log a a = 1при a> 0, a ≠ 1. Дійсно, так як a 1 = a для будь-якого a, то за визначенням логарифма log a a = 1.

Прикладами використання цієї властивості логарифмів є рівності log 5 +5 = 1, log 5,6 5,6 і lne = 1.

Наприклад, log 2 + 2 7 = 7, lg10 -4 = -4 і .

Логарифм добутку двох позитивних чисел x і y дорівнює добутку логарифмів цих чисел: log a (x · y) = log a x + log a y, A> 0, a ≠ 1. Доведемо властивість логарифма твори. В силу властивостей ступеня a log a x + log a y = a log a x · a log a y, А так як за основним логарифмическому тотожності a log a x = x і a log a y = y, то a log a x · a log a y = x · y. Таким чином, a log a x + log a y = x · y, звідки по визначенню логарифма випливає доказувана рівність.

Покажемо приклади використання властивості логарифма твори: log 5 (2 · 3) = log 5 2 + log 5 3 і .

Властивість логарифма твори можна узагальнити на твір кінцевого числа n позитивних чисел x 1, x 2, ..., x n як log a (x 1 · x 2 · ... · x n) = log a x 1 + log a x 2 + ... + log a x n . Дане рівність без проблем доводиться.

Наприклад, натуральних логарифм твори можна замінити сумою трьох натуральних логарифмів чисел 4, e, і.

Логарифм приватного двох позитивних чисел x і y дорівнює різниці логарифмів цих чисел. Властивості логарифма приватного відповідає формула виду, де a> 0, a ≠ 1, x і y - деякі позитивні числа. Справедливість цієї формули доводиться як і формула логарифма твори: так як , То за визначенням логарифма.

Наведемо приклад використання цієї властивості логарифма: .

переходимо до властивості логарифма ступеня. Логарифм ступеня дорівнює добутку показника степеня на логарифм модуля підстави цього ступеня. Запишемо це властивість логарифма переважно у вигляді формули: log a b p = p · log a | b |, Де a> 0, a ≠ 1, b і p такі числа, що ступінь b p має сенс і b p> 0.

Спочатку доведемо це властивість для позитивних b. Основна логарифмічна тотожність дозволяє нам уявити число b як a log a b, тоді b p = (a log a b) p, а отриманий вираз в силу властивість ступеня одно a p · log a b. Так ми приходимо до рівності b p = a p · log a b, з якого за визначенням логарифма робимо висновок, що log a b p = p · log a b.

Залишилося довести це властивість для негативних b. Тут помічаємо, що вираз log a b p при негативних b має сенс лише при парних показниках ступеня p (так як значення ступеня b p повинно бути більше нуля, в іншому випадку логарифм не матиме сенсу), а в цьому випадку b p = | b | p. тоді b p = | b | p = (a log a | b |) p = a p · log a | b |, Звідки log a b p = p · log a | b | .

наприклад, і ln (-3) 4 = 4 · ln | -3 | = 4 · ln3.

З попереднього властивості випливає властивість логарифма з кореня: Логарифм кореня n-го ступеня дорівнює добутку дробу 1 / n на логарифм подкоренного вираження, тобто, , Де a> 0, a ≠ 1, n - натуральне число, більше одиниці, b> 0.

Доказ базується на рівності (дивіться), яке справедливо для будь-яких позитивних b, і властивості логарифма ступеня: .

Ось приклад використання цієї властивості: .

тепер доведемо формулу переходу до нового основи логарифмавиду . Для цього достатньо довести справедливість рівності log c b = log a b · log c a. Основна логарифмічна тотожність дозволяє нам число b уявити як a log a b, тоді log c b = log c a log a b. Залишилося скористатися властивістю логарифма ступеня: log c a log a b = log a b · log c a. Так доведено рівність log c b = log a b · log c a, а значить, доведена і формула переходу до нового основи логарифма.

Покажемо пару прикладів застосування цієї властивості логарифмів: і .

Формула переходу до нового основи дозволяє переходити до роботи з логарифмами, що мають «зручне» підставу. Наприклад, з її допомогою можна перейти до натуральних або десятковим логарифмам, щоб можна було обчислити значення логарифма по таблиці логарифмів. Формула переходу до нового основи логарифма також дозволяє в деяких випадках знаходити значення даного логарифма, коли відомі значення деяких логарифмів з іншими підставами.

Часто використовується окремий випадок формули переходу до нового основи логарифма при c = b виду . Звідси видно, що log a b і log b a -. Наприклад, .

Також часто використовується формула , Яка зручна при знаходженні значень логарифмів. Для підтвердження своїх слів покажемо, як з її допомогою обчислюється значення логарифма виду. маємо . Для доказу формули досить скористатися формулою переходу до нового основи логарифма a: .

Залишилося довести властивості порівняння логарифмів.

Доведемо, що для будь-яких позитивних чисел b 1 і b 2, b 1 log a b 2, а при a> 1 - нерівність log a b 1

Нарешті, залишилося довести останнє з перерахованих властивостей логарифмів. Обмежимося доказом його першої частини, тобто, доведемо, що якщо a 1> 1, a 2> 1 і a 1 1 справедливо log a 1 b> log a 2 b. Решта затвердження цієї властивості логарифмів доводяться за аналогічним принципом.

Скористаємося методом від противного. Припустимо, що при a 1> 1, a 2> 1 і a 1 1 справедливо log a 1 b≤log a 2 b. За властивостями логарифмів ці нерівності можна переписати як і відповідно, а з них випливає, що log b a 1 ≤log b a 2 і log b a 1 ≥log b a 2 відповідно. Тоді за властивостями ступенів з підставами повинні виконуватися рівності b log b a 1 ≥b log b a 2 і b log b a 1 ≥b log b a 2, тобто, a 1 ≥a 2. Так ми прийшли до протиріччя умові a 1

Список літератури.

Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.

Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

основними властивостями.

logax + logay = loga (x · y);

logax - logay = loga (x: y).

однакові підстави

Log6 4 + log6 9.

Тепер трохи ускладнити завдання.

Приклади розв'язання логарифмів

Що, якщо в підставі або аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифма за такими правилами:

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс при дотриманні ОДЗ логарифма: a> 0, a ≠ 1, x>

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Перехід до нового основи

Нехай дано логарифм logax. Тоді для будь-якого числа c такого, що c> 0 і c ≠ 1, вірно рівність:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Дивіться також:

Основні властивості логарифма

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Експонента дорівнює 2,718281828 .... Щоб запам'ятати експоненту можете вивчити правило: експонента дорівнює 2,7 і два рази рік народження Льва Миколайовича Толстого.

Основні властивості логарифмів

Знаючи це правило будете знати і точне значення експоненти, і дату народження Льва Толстого.

Приклади на логарифми

Прологаріфміровать вираження

Приклад 1.
а). х = 10ас ^ 2 (а> 0, з> 0).

За властивостями 3,5 обчислюємо

2.

3.

Приклад 2. Знайти х, якщо

Приклад 3. Нехай задано значення логарифмів

Обчислити log (x), якщо

Основні властивості логарифмів

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати і всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми - це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати - без них не наважується жодна серйозна логарифмічна завдання. До того ж, їх зовсім небагато - все можна вивчити за один день. Отже, приступимо.

Додавання і віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифма з однаковими підставами: logax і logay. Тоді їх можна додавати і віднімати, причому:

logax + logay = loga (x · y);

logax - logay = loga (x: y).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - логарифму приватного. Зверніть увагу: ключовий момент тут - однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічні вираз навіть тоді, коли окремі його частини не вважаються (див. Урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади - і переконайтеся:

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log2 48 - log2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log3 135 - log3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з «поганих» логарифмів, які окремо не зважають. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті побудовано багато контрольні роботи. Так що контрольні - подібні вирази на повному серйозі (іноді - практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифма

Нескладно помітити, що останнім правило слід їх перших двох. Але краще його все-таки пам'ятати - в деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс при дотриманні ОДЗ логарифма: a> 0, a ≠ 1, x> 0. І ще: вчіться застосовувати всі формули не тільки зліва направо, а й навпаки, тобто можна вносити числа, які стоять перед знаком логарифма, в сам логарифм. Саме це найчастіше і потрібна.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log7 496.

Позбудемося ступеня в аргументі по першій формулі:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що в знаменнику стоїть логарифм, підстава та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 24; 49 = 72. Маємо:

Думаю, до останнього наприклад потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До самого останнього моменту ми працюємо тільки з знаменником.

Формули логарифмів. Логарифми приклади розв'язання.

Представили підставу і аргумент стоїть там логарифма у вигляді ступенів і винесли показники - отримали «триповерхову» дріб.

Тепер подивимося на основну дріб. У чисельнику і знаменнику стоїть одне і те ж число: log2 7. Оскільки log2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб - в знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що і було зроблено. В результаті вийшов відповідь: 2.

Перехід до нового основи

Говорячи про правила додавання і віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють тільки при однакових підставах. А що, якщо підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями одного і того ж числа?

На допомогу приходять формули переходу до нового основи. Сформулюємо їх у вигляді теореми:

Нехай дано логарифм logax. Тоді для будь-якого числа c такого, що c> 0 і c ≠ 1, вірно рівність:

Зокрема, якщо покласти c = x, отримаємо:

З другої формули слід, що можна міняти місцями підставу і аргумент логарифма, але при цьому все вираз «перевертається», тобто логарифм виявляється в знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається в звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна тільки при вирішенні логарифмічних рівнянь і нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нового основи. Розглянемо парочку таких:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log5 16 · log2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступеня. Винесемо показники: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Оскільки від перестановки множників добуток не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку і двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log9 100 · lg 3.

Підстава і аргумент першого логарифма - точні ступеня. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбудемося десяткового логарифма, перейшовши до нового основи:

Основна логарифмічна тотожність

Часто в процесі рішення у Вас можуть запитати число як логарифм по заданому основи. У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть в аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифма.

Друга формула - це фактично перефразований визначення. Вона так і називається:.

Справді, що буде, якщо число b звести в таку ступінь, що число b в цій мірі дає число a? Правильно: вийде це саме число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз - багато на ньому «зависають».

Подібно формулами переходу до нового основи, основне логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що log25 64 = log5 8 - просто винесли квадрат з підстави і аргументи логарифма. З огляду на правила множення ступенів з однаковим підставою, отримуємо:

Якщо хтось не в курсі, це була справжня завдання з ЄДІ 🙂

Логарифмічна одиниця і логарифмічний нуль

На закінчення приведу два тотожності, які складно назвати властивостями - скоріше, це наслідки з визначення логарифма. Вони постійно зустрічаються в задачах і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

logaa = 1 - це. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм по будь-якої підстави a від самого цього підстави дорівнює одиниці.

loga 1 = 0 - це. Підстава a може бути яким завгодно, але якщо в аргументі стоїть одиниця - логарифм дорівнює нулю! Тому що a0 = 1 - це прямий наслідок з визначення.

Ось і все властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Скачайте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її - і вирішуйте завдання.

Дивіться також:

Логарифмом числа b по підставі a позначають вираження. Обчислити логарифм значить знайти такий ступінь x (), при якому виконується рівність

Основні властивості логарифма

Наведені властивості необхідно знати, оскільки, на їх основі вирішуються практично всі завдання і приклади пов'язані з логарифмами. Решта екзотичних властивостей можна вивести шляхом математичних маніпуляцій з даними формулами

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При обчисленнях формули суми і різниці логарифмів (3,4) зустрічаються досить часто. Решта кілька складні, але в ряді завдань є незамінними для спрощення складних виразів та обчислення їх значень.

Поширені випадки логарифмів

Одними з найпоширеніших логарифмів такі в яких основа рівна десять, експоненті або двійці.
Логарифм за основою десять прийнято називати десятковим логарифмом і спрощено позначати lg (x).

Із запису видно, що основи в запису не пишуть. Для прикладу

Натуральний логарифм - це логарифм у якого за основу експонента (позначають ln (x)).

Експонента дорівнює 2,718281828 .... Щоб запам'ятати експоненту можете вивчити правило: експонента дорівнює 2,7 і два рази рік народження Льва Миколайовича Толстого. Знаючи це правило будете знати і точне значення експоненти, і дату народження Льва Толстого.

І ще один важливий логарифм за основою два позначають

Похідна від логарифм функції дорівнює одиниці розділеної на змінну

Інтеграл або первісна логарифма визначається залежністю

Наведеного матеріалу Вам достатньо, щоб вирішувати широкий клас задач пов'язаних з логарифмами і логарифмирования. Для засвоєння матеріалу наведу лише кілька поширених прикладів зі шкільної програми і ВНЗ.

Приклади на логарифми

Прологаріфміровать вираження

Приклад 1.
а). х = 10ас ^ 2 (а> 0, з> 0).

За властивостями 3,5 обчислюємо

2.
По властивості різниці логарифмів маємо

3.
Використовуючи властивості 3,5 знаходимо

На вигляд складне вираз з використанням ряду правил спрощується до виду

Знаходження значень логарифмів

Приклад 2. Знайти х, якщо

Рішення. Для обчислення застосуємо до останнього доданка 5 і 13 властивості

Підставляємо в запис і сумуємо

Оскільки основи рівні, то прирівнюємо вираження

Логарифми. Початковий рівень.

Нехай задано значення логарифмів

Обчислити log (x), якщо

Рішення: Прологаріфміруем змінну, щоб розписати логарифм через суму доданків

На цьому знайомство з логарифмами і їх властивостями тільки починається. Виконуйте їх в обчисленнях, збагачуйте практичні навички - отримані знання Вам скоро знадобляться для вирішення логарифмічних рівнянь. Вивчивши основні методи вирішення таких рівнянь ми розширимо Ваші знання для іншої не менш важливої теми - логарифмічні нерівності ...

Основні властивості логарифмів

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати і всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми - це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати - без них не наважується жодна серйозна логарифмічна завдання. До того ж, їх зовсім небагато - все можна вивчити за один день. Отже, приступимо.

Додавання і віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифма з однаковими підставами: logax і logay. Тоді їх можна додавати і віднімати, причому:

logax + logay = loga (x · y);

logax - logay = loga (x: y).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - логарифму приватного. Зверніть увагу: ключовий момент тут - однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічні вираз навіть тоді, коли окремі його частини не вважаються (див. Урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади - і переконайтеся:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log6 4 + log6 9.

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log2 48 - log2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log3 135 - log3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з «поганих» логарифмів, які окремо не зважають. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті побудовано багато контрольні роботи. Так що контрольні - подібні вирази на повному серйозі (іноді - практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифма

Тепер трохи ускладнити завдання. Що, якщо в підставі або аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифма за такими правилами:

Нескладно помітити, що останнім правило слід їх перших двох. Але краще його все-таки пам'ятати - в деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс при дотриманні ОДЗ логарифма: a> 0, a ≠ 1, x> 0. І ще: вчіться застосовувати всі формули не тільки зліва направо, а й навпаки, тобто можна вносити числа, які стоять перед знаком логарифма, в сам логарифм.

Як вирішувати логарифми

Саме це найчастіше і потрібна.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log7 496.

Позбудемося ступеня в аргументі по першій формулі:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що в знаменнику стоїть логарифм, підстава та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 24; 49 = 72. Маємо:

Думаю, до останнього наприклад потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До самого останнього моменту ми працюємо тільки з знаменником. Представили підставу і аргумент стоїть там логарифма у вигляді ступенів і винесли показники - отримали «триповерхову» дріб.

Тепер подивимося на основну дріб. У чисельнику і знаменнику стоїть одне і те ж число: log2 7. Оскільки log2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб - в знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що і було зроблено. В результаті вийшов відповідь: 2.

Перехід до нового основи

Говорячи про правила додавання і віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють тільки при однакових підставах. А що, якщо підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями одного і того ж числа?

На допомогу приходять формули переходу до нового основи. Сформулюємо їх у вигляді теореми:

Нехай дано логарифм logax. Тоді для будь-якого числа c такого, що c> 0 і c ≠ 1, вірно рівність:

Зокрема, якщо покласти c = x, отримаємо:

З другої формули слід, що можна міняти місцями підставу і аргумент логарифма, але при цьому все вираз «перевертається», тобто логарифм виявляється в знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається в звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна тільки при вирішенні логарифмічних рівнянь і нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нового основи. Розглянемо парочку таких:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log5 16 · log2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступеня. Винесемо показники: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Оскільки від перестановки множників добуток не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку і двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log9 100 · lg 3.

Підстава і аргумент першого логарифма - точні ступеня. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбудемося десяткового логарифма, перейшовши до нового основи:

Основна логарифмічна тотожність

Часто в процесі рішення у Вас можуть запитати число як логарифм по заданому основи. У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть в аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифма.

Друга формула - це фактично перефразований визначення. Вона так і називається:.

Справді, що буде, якщо число b звести в таку ступінь, що число b в цій мірі дає число a? Правильно: вийде це саме число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз - багато на ньому «зависають».

Подібно формулами переходу до нового основи, основне логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що log25 64 = log5 8 - просто винесли квадрат з підстави і аргументи логарифма. З огляду на правила множення ступенів з однаковим підставою, отримуємо:

Якщо хтось не в курсі, це була справжня завдання з ЄДІ 🙂

Логарифмічна одиниця і логарифмічний нуль

На закінчення приведу два тотожності, які складно назвати властивостями - скоріше, це наслідки з визначення логарифма. Вони постійно зустрічаються в задачах і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

logaa = 1 - це. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм по будь-якої підстави a від самого цього підстави дорівнює одиниці.

loga 1 = 0 - це. Підстава a може бути яким завгодно, але якщо в аргументі стоїть одиниця - логарифм дорівнює нулю! Тому що a0 = 1 - це прямий наслідок з визначення.

Ось і все властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Скачайте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її - і вирішуйте завдання.

Схожі статті

Як пробачити себе і до чого веде непрощення?

Прощати важко. Для усвідомлення проблеми і прийняття рішення потрібен час, терпіння і хоробрість. Процес вибачення самого себе за скоєні діяння може виявитися ще складніше. Шлях до прощення дуже нелегкий. Ви навчитеся прощати себе при ...

Питання про Безхребетність

Що таке Безхребетність і як вона лікується? Напевно багато хто чув висловлювання - "Це безхребетний людина", неприємна характеристика, чи не так? Думаю, що будь-якій людині було б дуже боляче чути таке про себе ... І тим не менше, ...

Як заспокоїтися в складній життєвій ситуації

Іноді стрес може застигнути вас зненацька і серйозно зашкодити вашій продуктивності. У своїй книзі «Без стресу. Науковий підхід до боротьби з депресією, тривогою і вигоранням », автор і лікар Мітхо Сторони поділився екстреними ...

Як заспокоїтися в складній життєвій ситуації

Стресова ситуація викликаний проблемами на роботі, труднощами в сім'ї, фінансовою нестабільністю, невмінням правильно організувати день. Заспокоїтися в стресовій ситуації необхідно, т. К. Тривале вплив стресу може перерости в ...

Визначити по нальоту на мові захворювання

У здорової людини мова має м'яку консистенцію, колір його блідо-рожевий, посередині борозну, яка розділяє його на дві половинки. У нормі мова має наліт на язиці, який прозорий і без запаху. Якщо в організмі відбуваються збої ...

Значення сорочка апаш в орфографічному словнику Як отримав свою назву комір апаш

СОРОЧКА апашей руб`ашка ап`аш, руб`ашкі ... СОРОЧКА апашей сорочка апаш, сорочки ... СОРОЧКА апаш, батник, безрукавка, блуза, блузка, водолазка, гімнастерка, Дашик, ковбойка, Колонтар, кольчуга, комбінація, комбинашка, косоворотка, майка , масть, ...