Релятивістська механіка. Релятивістська механіка Два стрижня однакової власної довжиною рухаються назустріч

М .: вища школа, 2001. - 669 c.
завантажити (Пряме посилання) : .djvu Попередня 1 .. 260\u003e .. \u003e\u003e Наступна
Рішення. Довжина стержня в системах відліку "Земля" і "ракета" дорівнює
1о \u003d ^ (х2-х]) 2 + (у2-У1) 2 "
/ \u003d V (^ - x, ") 2 + (v" -y;) 2 відповідно (рнс. 16.3).
Так як ефект скорочення дайни проявляється тільки в напрямку
руху, то _________
X, "\u003d X, ^ 1 - U2 / c2 * 2 \u003d Х2 V 1 - U2 / c2
У1 \u003d У ( ", Уг ~ Уг Отже,
До До
Уг |-Уг
У \\ -У
Про Про "
X X "
Мал. 16.3
I \u003d< (Xj-х,)2(1 -и2/с2) + (y2-yf.
З рнс. 16.3 видно, що
x1-xi \u003d l0cos а0, у2 ~ в1 \u003d / 0 sin а0.
тоді
/ \u003d / 0 V (1 - і 2 / с2) cos2 а + sin2 а \u003d / 0 V 1 - і 2 / с2 cos2 а * 0,88 м, а
шуканий кут
. . \u003e 2 ^ 1. * 8 "про
а \u003d arctg ------- \u003d arctg ------- | ** - у, \u003d arctg
* 2 ~ х (* 2 - Xj) \\ 1 - і / с
2 / с2
53,3 °
Відповідь: / \u003d / 0 V 1 - і 2 / с2 cos2 а * 0,88 м; а \u003d arctg -у- ^ I у * 53,3 °.
^ 1-uW
16.3. Космічний корабель, пролітаючи повз спостерігача, має швидкість і \u003d
2,4 108 м / с. За вимірами спостерігача, довжина корабля дорівнює / \u003d 90 м.
Чому дорівнює довжина корабля в стані спокою?
16.4. Довжина катета АВ прямокутного трикутника дорівнює а \u003d 5 м, а кут
між цим катетом і гіпотенузою - а \u003d 30 °. Знайти значення цього кута,
довжину гіпотенузи і її ставлення до власної довжині в системі відліку,
рухається уздовж катета АВ зі швидкістю і \u003d 2,6-108 м / с.
16.5. Скільки часу для земного спостерігача і для космонавтів займе
космічну подорож до зірки і назад на ракеті, що летить зі
швидкістю і \u003d 2,9108 м / с? Відстань до зірки (для земного спостерігача)
дорівнює 40 світловим рокам.
Рішення. Відстань S, яке пролетить космічний корабель в системі
відліку, пов'язаної з Землею, дорівнює 5 \u003d 40 3-108 м / с-365-24-3600 з * 3,8
1017 м. Отже, по годинах земного спостерігача політ корабля
триватиме
Д / \u003d - * 2,62-10 (r) з * 83 роки, і
Час, виміряний по годинах, які знаходяться на борту космічного корабля, в
відповідно до ефекту уповільнення часу
A / 0 \u003d A / V 1-і 2 / с \\
16.6. З якою швидкістю повинен летіти півонія, щоб пролетіти до розпаду
відстань / \u003d 20 м? Середній час життя півонії в стані спокою дорівнює
AtQ \u003d 26 ні.
16.7. на космічному кораблі знаходяться годинник, синхронізовані до польоту
з земними. Наскільки відстануть годинник на кораблі, за вимірюваннями земного
спостерігача, за час Д / 0 \u003d 0,5 року, якщо швидкість корабля дорівнює о \u003d 7,9
км / с?
16.8. В системі відліку До два паралельних стрижня мають однакову
власну довжину / 0 \u003d 1 м і рухаються в поздовжньому напрямку назустріч
один одному з рівними швидкостями о \u003d 2-10 * м / с, вимірюваними в цій системі
відліку. Чому дорівнює довжина кожного стрижня в системі відліку, пов'язаної з
іншим стрижнем?
Рішення. Для нерухомого спостерігача при русі протяжних тіл
з великими швидкостями їх розміри в напрямку руху істотно
скорочуються. Зв'яжемо систему відліку К "з одним зі стрижнів, направивши одну
з осей уздовж стрижня (рис. 16.4). Тоді в цій системі стрижень 1 буде
перебувати в спокої і його довжина дорівнюватиме власної довжині / 0. довжина /
стрижня 2 відноси-Рис. 16.4 кові системи відліку К "
/ \u003d / OVi-i4 / ^
де іотн - швидкість стержня 2 щодо системи К ".
Швидкість іотн можна знайти за формулою складання швидкостей
IV + і "
отн ~,. 2
1 + l) 0 їх, / с
Оскільки система відліку К "пов'язана з одним нз стрижнів, то швидкість і0
руху системи відліку До щодо системи К "за величиною буде
дорівнює швидкості і стержня
1 і спрямована в протилежний бік. Швидкість і *. стрижня 2,
рухається щодо системи До ", в системі відліку До також дорівнює і.
Якщо вісь О "Х" спрямована уздовж руху стрижня 1, то проекції швидкостей
і0 і \\\u003e х, на цю вісь будуть негативні (рнс. 16.4). Тому швидкість
стрижня, що рухається щодо системи К \\ дорівнюватиме
- і - і іотн -,. 2 |
1 + і і / с
отже,
, \u003d / V7Тл ^ І-i
1 - "П
I с4 + 2 і 2 с2 + і4 - 4 і 2 с2
/ 2 2Ч2 - "про 2 2 -" 0 2 2 * ^ СМ "
(З + і) C + U C + U
с2-і 2
Відповідь ". I \u003d 10 --- х * 38 см.
16.9. Прискорювач повідомив радіоактивного ядра швидкість і, \u003d 0,4 с (де с \u003d
3-108 м / с). У момент вильоту з прискорювача ядро \u200b\u200bвикинуло в напрямку
свого руху частку зі швидкістю О2 \u003d 0,75 з відносно прискорювача.
Чому дорівнює швидкість частинки відносно ядра?
16.10. Дві частинки рухаються під прямим кутом один до одного зі
швидкостями і, \u003d 0,5 с і О2 \u003d 0,75 с (де с \u003d 3108 м / с), вимірюваними
відноси
596
кові однієї і тієї ж системи відліку К. Чому дорівнює відносна
швидкість частинок?
16.11. При русі тіла його поздовжні розміри зменшилися в п \u003d 2
рази. У скільки разів змінилася маса тіла?
Рішення. Отр русі частинки зі швидкістю і її релятивістська
маса т збільшується в порівнянні з масою спокою т0 в V 1 - і 2 / с2 раз:
т0
"" Vi-u2 / c2 "
Відомо, що прн переході від однієї системи відліку до іншої розміри тіла
змінюються, прн цьому лоренцеве скорочення відбувається тільки в напрямку
руху. Еслн в системі відліку, пов'язаної з тілом, його поздовжні
розміри мають деяке значення / 0, то в системі відліку, щодо
якої тіло рухається зі швидкістю і, вони скорочуються в V 1 - і 2 / с2 раз:

7. Релятивістська МЕХАНІКА

Правило додавання швидкостей:

1 V c2

Швидкості в двох

інерційних системах координат, що рухаються відносно один одного зі швидкістю V.

Лоренцова скорочення довжини і уповільнення ходу рухомих годин:

								де		Власна довжина,

власний час рухомих годин.

Релятивістська маса і релятивістський імпульс:

Маса спокою частинки.

Повна і кінетична енергії релятивістської частинки:

				Т Е Е0
					Де Е 0			Енергія спокою частинки.

7.1. Об'ѐм води в океані становить V \u003d 1,37 · 109 км3. На скільки зміниться маса води в океані, якщо підвищити її температуру на 1о С.

7.2. Ставлення заряду рухомого електрона до його маси, певне з досвіду q / m \u003d 0,88 · 1011 Кл / кг. Визначте релятивістську масу електрона і його швидкість. Відповідь: m \u003d 2m0; v \u003d 0,87c.

7.3. У лабораторній системі відліку одна з двох однакових

частинок з масою m0 спочиває, інша рухається зі швидкістю v \u003d 0,8 с у напрямку до спочиває частці. Визначте релятивістську масу

рухається частинки в лабораторній системі відліку і її кінетичну енергію. Відповідь: m \u003d 1,67 m0; Е \u003d 0,67 m0 с2.

7.4. Електрон рухається зі швидкістю v \u003d 0,6с. Визначте його

релятивістський імпульс і кінетичну енергію Е. Відповідь:

р \u003d 2,05 · 10-22 кг · м / с; Е \u003d 0,128МеВ.

7.5. Імпульс р релятивістської частинки дорівнює m0 c (m0-маса спокою). Визначте швидкість частинки v в частках швидкості світла і

відношення маси рухається частинки до її маси спокою m / m0. Відповідь: v \u003d 0,71с; m / m0 \u003d 1,41.

7.6. Повна енергія α-частинки зросла в процесі прискореного

руху частинки?

Е \u003d 56,4МеВ. На скільки якою швидкістю рухається

при цьому зміниться маса частка? Масою спокою α-

частинки m0 \u003d 4 а.е.м. Відповідь: m \u003d 1,5m0; v \u003d 0,917с.

7.7. Припустимо, що ми можемо виміряти довжину стержня з точністю l \u003d 0,1 мкм. При якій відносної швидкості u двох інерційних систем відліку можна було б виявити релятивістське скорочення довжини стержня, власна довжина якого l 0 \u003d 1 м? У скільки разів зміниться маса стрижня, при русі його з розрахованої швидкістю u відносно нерухомої системи відліку?

Відповідь: u \u003d 134 км / с; m / m0 \u003d 1,114.

7.8. Власний час життя певної нестабільної частки

20нс. Відповідь: v \u003d 0,87c; S \u003d 5,2 м.

7.9. μ- мезон, рождѐнний в верхніх шарах земної атмосфери, рухається зі швидкістю V \u003d 0,99с щодо землі і пролітає від місця свого народження до точки розпаду відстань l \u003d 3 км. Визначити власний час життя цього мезона і відстань, яку він пролетить в цій системі отчѐта «з його точки зору». Відповідь: τ0 \u003d 1,4 мкс; l 0 \u003d 420 м.

7.10. Два стрижня однакової власної довжиниl 0 рухаються в поздовжньому напрямку назустріч один одному паралельно загальної осі з однією і тією ж швидкістю v \u003d 0,8 с щодо лабораторної системи отсчѐта. У скільки разів довжина кожного стрижня l в системі отсчѐта, пов'язаної з іншим стрижнем, відрізняється від власної довжини? Відповідь: l 0 / l \u003d 4,6.

7.11. На космічному кораблі-супутнику знаходиться годинник, синхронізовані до польоту з земними. Швидкість супутника v \u003d 7,9 км / с. На скільки відстануть годинник на супутнику за вимірюваннями земного спостерігача за проміжок часу 0,5 року. Як відрізняються значення кінетичної енергії супутника, якщо розрахунок провести за класичною і

релятивістської формулами? Маса спокою супутника становить 10 тонн. Відповідь: τ \u003d 5,4 · 10-3 с; не відрізняються.

7.12. Яка відносна похибка буде допущена, якщо расчѐт імпульсу частинки, що рухається зі швидкістю: 1) 10 км / с, 2) 103 км / с, 3) 105 км / с, 4) 0,9с. Провести в рамках класичної механіки?

Відповідь: 1) ррел / ркласс \u003d 1; 2) ррел / ркласс \u003d 1; 3) ррел / ркласс \u003d 1,06; 4) ррел / ркласс \u003d

7.13. Яку роботу необхідно зробити, щоб швидкість частинок, з масою спокою m0, змінилася від 0,6с до 0,8 с? Порівняти отриманий результат зі значенням роботи, обчисленим за класичною формулою. Відповідь: Арель \u003d 0,417m0 c2; A клас \u003d 0,14 m0 c2.

7.14. Фотонна ракета рухається відносно землі з такою швидкістю, що по годинах спостерігача на Землі, хід часу в ній уповільнюється в 1,25 раз. Яку частину від швидкості світла складає швидкість руху ракети? На скільки зміняться її лінійні розміри в напрямку руху, якщо спочатку довжина ракети становила

35м? Відповідь: v \u003d 0,6c; l \u003d 7м.

7.15. Частинка з масою спокою m0 в момент часу t \u003d 0 починає рухатися під дією постійної сили F. Знайти залежність швидкості V частки від часу t. Побудувати якісно графік V (t).

7.18. Кінетична енергія прискорюється протона зросла до3 · 10-10 Дж. У скільки разів змінилася при цьому маса протона? Яка швидкість протона? Відповідь: m / m0 \u003d 3; v \u003d 2,8 ∙ 108 м / с.

7.19. Дві релятивістські частинки рухаються в лабораторній

системі відліку зі швидкостями v1 \u003d 0,6с і v2 \u003d 0,9с уздовж однієї прямої. Визначте їх відносну швидкість в двох випадках: 1) частки рухаються в протилежних напрямках, 2) частки рухаються в одному напрямку. Чому дорівнює кінетична енергія першої частки в системі відліку пов'язаної з другої, якщо перша частка - протон?

Відповідь: 1) v \u003d 0,974с, Е1,2 \u003d 510 пдж; 2) v \u003d 0,195с, Е1,2 \u003d 300 пдж.

7.20. З якою швидкістю (в частках від швидкості світла) повинен рухатися електрон, щоб його маса зросла на 6 · 10-31 кг. Яку кінетичну енергію має електрон при такій швидкості? Відповідь: v \u003d 0,8c; E \u003d 0,34 МеВ.

7.21. Кінетична енергія тіла, що рухається в 2 рази перевищує енергію спокою. У скільки разів зменшується при цьому видимий розмір

тіла в напрямку руху? Яка швидкість тіла? Відповідь: l 0 / l \u003d 3; v \u003d 0,94c.

7.22. Маса рухомої частки збільшилася в 1,5 рази. Яку швидкість має частка? Яка відносна помилка буде допущена, якщо кінетичну енергію частинки в цих умовах розраховувати класичним чином? Відповідь: v \u003d 0,75c; E / Eрел \u003d 0,44.

7.23. Електрон прискорений в електричному полі з різницею потенціалів U \u003d 106 В. Обчислити швидкість електрона і його кінетичну енергію методами: 1) класичної механіки, 2)

релятивістської механіки. Оцінити отримані дані. Відповідь: 1) v \u003d 6 · 108 м / с; Е \u003d 106 еВ. 2) v \u003d 0,94c; E \u003d 10 6 еВ.

7.24. Електрон в прискорювачі прошѐл прискорювальну різницю

потенціалів U \u003d 102 кВ. У скільки разів збільшилася маса частинки? Обчисліть його кінетичну енергію. Відповідь: m / m0 \u003d 1,2; 1,6 ∙ 10-14 Дж.

7.25. Спочатку кінетична енергія релятивістської частинки дорівнювала її енергії спокою, а потім при прискореному русі зросла в 4 рази. У скільки зросте при цьому імпульс частинки? З якою швидкістю (в частках швидкості світла) рухалася частинка спочатку? Відповідь: р2 / р 1 \u003d 2,84; v \u003d 0,87c.

1.5.1. є прямокутний трикутник, У якого катет a \u003d 5,00 м і кут між цим катетом і гіпотенузою α \u003d 30 °. Знайти в системі відліку K ", Що рухається відносно цього трикутника зі швидкістю \u003d 0,866 · c вздовж катета а:

а) відповідне значення кута α ";

б) довжину l " гіпотенузи і її ставлення до власної довжині.

1.5.2. Знайти власну довжину стрижня, якщо в K-системі відліку його швидкість \u003d c / 2, довжина l \u003d 1,00 м і кут між ним і напрямком руху \u003d 45 °.

1.5.3. Стрижень пролітає з постійною швидкістю повз мітки, нерухомою в K-системі відліку. Час прольоту \u003d 20 нс в K-системі. У системі ж відліку, пов'язаної зі стрижнем, мітка рухається уздовж нього протягом "\u003d 25 нс. Знайти власну довжину стрижня.

1.5.4. Дві частинки, що рухалися в лабораторній системі відліку по одній прямій з однаковою швидкістю, потрапили в нерухому мішень з проміжком часу \u003d 50 нс. Знайти власне відстань між частинками до потрапляння в мішень.

1.5.5. Два стрижня однакової власної довжини l 0 рухаються назустріч один одному паралельно загальної горизонтальній осі. В системі відліку, пов'язаної з одним зі стрижнів, проміжок часу між моментами збіги лівих і правих кінців стрижнів виявився рівним. Яка швидкість одного стрижня щодо іншого?

1.5.6. стрижень AB, Орієнтований вздовж осі x K x A, Заднім - точка B. Знайти власну довжину стрижня, якщо в момент t A координата точки A дорівнює x A, а в момент t B координата точки B дорівнює х B.

1.5.7. стрижень AB, Орієнтований вздовж осі x K-системи відліку, рухається з постійною швидкістю в позитивному напрямку осі x. Переднім кінцем стрижня є точка A, Заднім - точка B. Через якийсь проміжок часу треба зафіксувати координати початку і кінця стрижня в K-системі, щоб різниця координат виявилася рівною власній довжині стрижня.

1.5.8. K "-система відліку рухається в позитивному напрямку осі x K-системи зі швидкістю V щодо останньої. Нехай в момент збігу почав координат O і O "свідчення годин обох систем в цих точках дорівнюють нулю. Знайти в K-системі швидкість переміщення точки, в якій показання годин обох систем відліку будуть весь час однакові. Впевнитися, що .

1.5.9. У двох точках K-системи відбулися події, розділені проміжком часу. Показати, що якщо ці події причинно пов'язані в K-системі (наприклад, постріл і попадання в мішень), то вони причинно пов'язані і в будь-який інший інерційної K "-системі відліку.

1.5.10. У площині xy K-системи відліку рухається частка, проекції швидкості якої рівні і. знайти швидкість " цієї частки в K '-системі, яка переміщається зі швидкістю V щодо K-системи в позитивному напрямку її осі x.

1.5.11. Дві частинки рухаються назустріч один одному зі швидкостями \u003d 0,50 c і \u003d 0,75 c по відношенню до лабораторної системі відліку. знайти:

а) швидкість, з якою зменшується відстань між частинками в лабораторній системі відліку;

б) відносну швидкість часток.

1.5.12. Дві релятивістські частинки рухаються під прямим кутом один до одного в лабораторній системі відліку, причому одна зі швидкістю, а інша зі швидкістю. Знайти їх відносну швидкість.

1.5.13. Частка рухається в K-системі зі швидкістю під кутом до осі x. Знайти відповідний кут в K "-системі, що переміщається зі швидкістю V щодо K-системи в позитивному напрямку її осі x, Якщо осі x і x " обох систем збігаються.

1.5.14. K "-система переміщається з постійною швидкістю V щодо K-системи. знайти прискорення a " частинки в K "-системі, якщо в K-системі вона рухається зі швидкістю і прискоренням a по прямій:

а) в напрямку вектора V;

б) перпендикулярно вектору V.

1.5.15. Яку роботу треба зробити, щоб збільшити швидкість частинки з масою m від 0,60 c до 0,80 c? Порівняти отриманий результат зі значенням, обчисленим по нерелятивистской формулою.

1.5.16. Знайти швидкість частинки, кінетична енергія якої T \u003d 500 МеВ і імпульс p \u003d 865 МеВ / c, де c - швидкість світла.

1.5.17. частка маси m рухається уздовж осі x K-системи відліку по закону , де d - деяка постійна, c - швидкість світла, t - час. Знайти силу, що діє на частинку в цій системі відліку.

1.5.18. Нейтрон з кінетичної енергією T = 2mc 2, де m - його маса, налітає на інший, що спочивають нейтрон. Знайти в системі їх центру мас:

а) сумарну кінетичну енергію нейтронів;

б) імпульс кожного нейтрона.

1.5.19. частка маси m у момент t \u003d 0 починає рухатися під дією постійної сили F. Знайти швидкість частинки і пройдений нею шлях в залежності від часу t.

1.5.20. Релятивістська ракета викидає струмінь газу з нерелятивистской швидкістю u, Постійної щодо ракети. Знайти залежність швидкості ракети від її маси m, Якщо в початковий момент маса ракети дорівнює m 0 .