Рішення більш складної системи нерівностей. Нерівності. Види нерівностей. II. Повторення і закріплення пройденого матеріалу

Що потрібно знати про значки нерівностей? Нерівності із позначкою більше (> ), Або менше (< ) називаються строгими. зі значками більше чи рівно (≥ ), менше або дорівнює (≤ ) називаються нестрогими. значок не дорівнює (≠ ) Стоїть осібно, але вирішувати приклади з таким значком теж доводиться постійно. І ми повирішуємо.)

Сам значок не надає особливого впливу на процес вирішення. А ось в кінці рішення, при виборі остаточної відповіді, сенс значка проявляється в повну силу! Що ми і побачимо нижче, на прикладах. Є там свої приколи ...

Нерівності, як і рівності, бувають вірні і невірні. Тут все просто, без фокусів. Скажімо, 5 > 2 - правильна нерівність. 5 < 2 - невірне.

Така підготовка працює для нерівностей будь-якого виду і проста до жаху.) Потрібно, всього лише, правильно виконувати два (всього два!) елементарних дії. Ці дії знайомі всім. Але, що характерно, косяки в цих діях - і є основна помилка в рішенні нерівностей, так ... Стало бути, треба повторити ці дії. Називаються ці дії ось як:

Тотожні перетворення нерівностей.

Тотожні перетворення нерівностей дуже схожі на тотожні перетворення рівнянь. Власне, в цьому і є основна проблема. Відмінності проскакують повз голови і ... приїхали.) Тому я особливо виділю ці відмінності. Отже, перше тотожне перетворення нерівностей:

1. До обох частин нерівності можна додати (відняти) одне і те ж число, або вираз. Будь-яке. Знак нерівності від цього не зміниться.

На практиці це правило застосовується як перенесення членів з лівої частини нерівності в праву (і навпаки) зі зміною знака. Зі зміною знака члена, а не нерівності! Правило один в один збігається з правилом для рівнянь. А ось такі тотожні перетворення в нерівностях істотно відрізняється від таких в рівняннях. Тому я виділяю їх червоним кольором:

2. Обидві частини нерівності можна помножити (поділити) на одне і те жпозитивне число. на будь-якийпозитивне не зміниться.

3. Обидві частини нерівності можна помножити (поділити) на одне і те жнегативне число. на будь-якийнегативне число. Знак нерівності від цьогозміниться на протилежний.

Ви пам'ятаєте (сподіваюся ...), що рівняння можна множити / ділити на що попало. І на будь-яке число, і на вираз з іксом. Аби тільки не на нуль. Йому, рівняння, від цього ні жарко, ні холодно.) Чи не змінюється воно. А ось нерівності більш чутливі до множення / ділення.

Наочний приклад на довгу пам'ять. Напишемо нерівність, що не викликає сумнівів:

5 > 2

Помножимо обидві частини на +3, отримаємо:

15 > 6

Заперечення є? Заперечень немає.) А якщо помножимо обидві частини вихідного нерівності на -3, отримаємо:

15 > -6

А це вже відверта брехня.) Повний брехня! Обман народу! Але варто змінити знак нерівності на протилежний, як все стає на свої місця:

15 < -6

Про брехня і обман - це я не просто так лаюся.) "Забув змінити знак нерівності ..." - це головна помилка в рішенні нерівностей. Це дріб'язкове і нескладне правило стількох людей забила! Які забули ...) Ось і лаюся. Може, запам'ятається ...)

Особливо уважні помітять, що нерівність не можна множити на вираз з іксом. Респект уважним!) А чому не можна? Відповідь проста. Ми ж не знаємо знак цього виразу з іксом. Воно може бути позитивне, негативне ... Стало бути, ми не знаємо, який знак нерівності ставити після множення. Міняти його, чи ні? Невідомо. Зрозуміло, це обмеження (заборона множення / ділення нерівності на вираз з іксом) можна обійти. Якщо дуже треба буде. Але це тема для інших уроків.

Ось і все тотожні перетворення нерівностей. Ще раз нагадаю, що вони працюють для будь-яких нерівностей. А тепер можна переходити до конкретних видів.

Лінійні нерівності. Рішення, приклади.

Лінійними нерівностями називаються нерівності, в яких ікс знаходиться в першого ступеня і немає поділу на ікс. типу:

х + 3 > 5х-5

Як вирішуються такі нерівності? Вони вирішуються дуже просто! А саме: за допомогою зводимо саме заморочений лінійне нерівність прямо до відповіді. Ось і все рішення. Головні моменти рішення я буду виділяти. Щоб уникнути безглуздих помилок.)

Вирішуємо це нерівність:

х + 3 > 5х-5

Вирішуємо точно так же, як і лінійне рівняння. З єдиною відмінністю:

Уважно стежимо за знаком нерівності!

Перший крок самий звичайний. З іксами - вліво, без іксів - вправо ... Це перше тотожне перетворення, просте і безвідмовне.) Тільки знаки у переносите членів не забуваємо міняти.

Знак нерівності зберігається:

х-5х > -5-3

Наводимо подібні.

Знак нерівності зберігається:

4х > -8

Залишилося застосувати останнім тотожне перетворення: розділити обидві частини на -4.

ділимо на негативне число.

Знак нерівності зміниться на протилежний:

х < 2

Це відповідь.

Так вирішуються всі лінійні нерівності.

Увага! Точка 2 малюється білої, тобто незафарбовані. Порожній всередині. Це означає, що вона у відповідь не входить! Я її спеціально такою здоровою намалював. Така точка (порожня, а не здорова!)) В математиці називається виколоти точкою.

Решта числа на осі відзначати можна, але не потрібно. Сторонні числа, що не належать до нашого нерівності, можуть і запитати, так ... Потрібно тільки пам'ятати, що збільшення чисел йде по стрілці, тобто числа 3, 4, 5, і т.д. знаходяться правіше двійки, а числа 1, 0, -1 і т.д. - лівіше.

нерівність х < 2 - суворе. Ікс строго менше двох. Якщо виникають сумніви, перевірка проста. Підставляємо сумнівне число в нерівність і розмірковуємо: "Два менше двох? Ні, звичайно!" Саме так. нерівність 2 < 2 невірне. Не годиться двійка у відповідь.

А одиничка годиться? Звісно. Найменше ж ... І нуль годиться, і -17, і 0,34 ... Та все числа, які менше двох - годяться! І навіть 1,9999 .... Хоч чуть чуть, та менше!

Ось і відзначимо всі ці числа на числовій осі. Як? Тут бувають варіанти. Варіант перший - штрихування. Наводимо мишку на малюнок (або торкаємося картинки на планшеті) і бачимо, що заштрихована область всіх іксів, що підходять під умову х < 2 . От і все.

Другий варіант розглянемо на другому прикладі:

х ≥ -0,5

Малюємо вісь, відзначаємо число -0,5. Ось так:

Помітили різницю?) Ну да, важко не помітити ... Ця точка - чорна! Зафарбована. Це означає, що -0,5 входить у відповідь. Тут, до речі, перевірка і збентежити може кого-небудь. підставляємо:

-0,5 ≥ -0,5

Як так? -0,5 ніяк не більше -0,5! А значок більше є ...

Нічого страшного. У нестрогому нерівності годиться все, що підходить під значок. І одно годиться, і більше годиться. Отже, -0,5 у відповідь включається.

Отже, -0,5 ми відзначили на осі, залишилося ще відзначити все числа, які більше -0,5. На цей раз я наголошую область відповідних значень ікси дужкою (Від слова дуга), А не штрихуванням. Наводимо курсор на малюнок і бачимо цю дужку.

Особливої \u200b\u200bрізниці між штрихуванням і дужками немає. Робіть, як учитель сказав. Якщо вчителі немає - малюйте дужки. У більш складних завданнях штрихування менш наочна. Заплутатися можна.

Ось так малюються лінійні нерівності на осі. Переходимо до наступної особливості нерівностей.

Запис відповіді для нерівностей.

У рівняннях було добре.) Знайшли ікс, та й записали відповідь, наприклад: х \u003d 3. У нерівностях існують дві форми запису відповідей. Одна - у вигляді остаточного нерівності. Хороша для простих випадків. наприклад:

х< 2.

Це повноцінний відповідь.

Іноді потрібно записати те ж саме, але в іншій формі, через числові проміжки. Тоді запис починає виглядати дуже науково):

х ∈ (-∞; 2)

під значком ∈ ховається слово "Належить".

Читається запис так: ікс належить проміжку від мінус нескінченності до двох не включаючи. Цілком логічно. Ікс може бути будь-яким числом з усіх можливих чисел від мінус нескінченності до двох. Двійкою ікс бути не може, про що нам і каже слово "не включаючи".

А де це відповідає видно, що "не включаючи"? Цей факт зазначається у відповіді круглої дужкою відразу після двійки. Якби двійка включалася, дужка була б квадратної. Ось такий: ]. У наступному прикладі така дужка використовується.

Запишемо відповідь: х ≥ -0,5 через проміжки:

х ∈ [-0,5; + ∞)

читається: ікс належить проміжку від мінус 0,5, включаючи, до плюс нескінченності.

Нескінченність не може включатися ніколи. Це не число, це символ. Тому в подібних записах нескінченність завжди є сусідами з круглою дужкою.

Така форма запису зручна для складних відповідей, що складаються з декількох проміжків. Але - саме для остаточних відповідей. У проміжних результатах, де передбачається подальше рішення, краще використовувати звичайну форму, у вигляді простого нерівності. Ми з цим у відповідних темах розберемося.

Популярні завдання з нерівностями.

Самі по собі лінійні нерівності прості. Тому, часто, завдання ускладнюються. Так, щоб подумати треба було. Це, якщо з незвички, не дуже приємно.) Але корисно. Покажу приклади таких завдань. Чи не для того, щоб ви їх вивчили, це зайве. А для того, щоб не боялися при зустрічі з подібними прикладами. Трохи подумати - і все просто!)

1. Знайдіть будь-які два рішення нерівності 3х - 3< 0

Якщо не дуже зрозуміло, що робити, згадуємо головне правило математики:

Не знаєш, що потрібно - роби, що можна!)

х < 1

І що? Та нічого особливого. Що нас просять? Нас просять знайти два конкретних числа, які є рішенням нерівності. Тобто підходять під відповідь. Два будь-яких числа. Власне, це і бентежить.) Підходить парочка 0 і 0,5. Парочка -3 і -8. Так цих парочок безліч! Яку відповідь правильний ?!

Відповідаю: все! Будь-яка парочка чисел, кожне з яких менше одиниці, буде правильною відповіддю. Пишіть, яку хочете. Їдемо далі.

2. Вирішити нерівність:

4х - 3 ≠ 0

Завдання в такому вигляді зустрічаються рідко. Але, як допоміжні нерівності, при знаходженні ОДЗ, наприклад, або при знаходженні області визначення функції, - зустрічаються часто-густо. Таке лінійне нерівність можна вирішувати як звичайне лінійне рівняння. Тільки скрізь, крім знака "\u003d" ( одно) Ставити знак " ≠ " (не дорівнює). Так до відповіді і підійдете, зі знаком нерівності:

х ≠ 0,75

У більш складних прикладах, Краще чинити по-іншому. Зробити з нерівності рівність. Ось так:

4х - 3 = 0

Спокійно вирішити його, як вчили, і отримати відповідь:

х \u003d 0,75

Головне, в самому кінці, під час запису остаточної відповіді, не забути, що ми знайшли ікс, який дає рівність. А нам потрібно - нерівність. Стало бути, цей ікс нам якраз і не потрібний.) І треба записати його з правильним значком:

х ≠ 0,75

При такому підході виходить менше помилок. У тих, хто рівняння на автоматі вирішує. А тим, хто рівняння не вирішує, нерівності, власне, ні до чого ...) Ще приклад популярного завдання:

3. Знайти найменший цілий розв'язок нерівності:

3 (х - 1) < 5х + 9

Спочатку просто вирішуємо нерівність. Ракриваем дужки, переносимо, наводимо подібні ... Отримуємо:

х > - 6

Не так вийшло !? А за знаками стежили !? І за знаками членів, і за знаком нерівності ...

Знову міркуємо. Нам потрібно знайти конкретне число, відповідне і під відповідь, і під умову "Найменше ціле".Якщо відразу не осіняє, можна просто взяти будь-яке число і прикинути. Два більше мінус шести? Звісно! А є відповідне число поменше? Зрозуміло. Наприклад, нуль більше -6. А ще менше? Нам же найменше з можливих треба! Мінус три більше мінус шести! Уже можна вловити закономірність і перестати тупо перебирати числа, правда?)

Беремо число ближче до -6. Наприклад, -5. Відповідь виконується, -5 > - 6. Чи можна знайти ще число, менше -5, але більше -6? Можна, наприклад -5,5 ... Стоп! нам сказано цілерішення! Чи не котить -5,5! А мінус шість? Е-е-е! Нерівність суворе, мінус 6 ніяк не менше мінус 6!

Стало бути, правильна відповідь: -5.

Сподіваюся, з вибором значення з спільного рішення все зрозуміло. Ще приклад:

4. Вирішити нерівність:

7 < 3х + 1 < 13

ВО як! Такий вираз називається потрійним нерівністю. Строго кажучи, це скорочений запис системи нерівностей. Але вирішувати такі потрійні нерівності все одно доводиться в деяких завданнях ... Воно вирішується без жодних систем. За тим же тотожним перетворенням.

Треба спростити, довести це нерівність до чистого ікси. Але ... Що куди переносити !? Ось тут саме час згадати, що перенесення вліво-вправо, це скорочена форма першого тотожного перетворення.

А повна форма звучить ось як: До обох частин рівняння (нерівності) можна додати / відняти будь-яке число, або вираз.

Тут три частини. Ось і будемо застосовувати тотожні перетворення до всіх трьох частинах!

Отже, позбудемося одинички в середній частині нерівності. Віднімемо від всієї середньої частини одиничку. Щоб нерівність не змінилося, віднімемо одиницю і від решти двох частин. Ось так:

7 -1< 3х + 1-1 < 13-1

6 < 3х < 12

Вже краще, правда?) Залишилося розділити всі три частини на трійку:

2 < х < 4

От і все. Це відповідь. Ікс може будь-яким числом від двійки (не включаючи) до четвірки (не включаючи). Ця відповідь теж записується через проміжки, такі записи будуть в квадратних нерівностях. Там вони - саме звичайна справа.

В кінці уроку повторю найголовніше. Успіх у вирішенні лінійних нерівностей залежить від уміння перетворювати і спрощувати лінійні рівняння. Якщо при цьому стежити за знаком нерівності, проблем не буде. Чого я вам і бажаю. Відсутність проблем.)

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.

Наприклад, нерівністю є вираз \\ (x\u003e 5 \\).

Види нерівностей:

Якщо \\ (a \\) і \\ (b \\) - це числа або, то нерівність називається числовим. Фактично це просто порівняння двох чисел. Такі нерівності поділяються на вірні і невірні.

наприклад:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\\ (17 + 3 \\ geq 115 \\) - невірне числове нерівність, так як \\ (17 + 3 \u003d 20 \\), а \\ (20 \\) менше \\ (115 \\) (а не більше або дорівнює).

Якщо ж \\ (a \\) і \\ (b \\) - це вирази, що містять змінну, то у нас нерівність зі змінною. Такі нерівності поділяють за типами залежно від вмісту:

\\ (2x + 1 \\ geq4 (5-x) \\)				Мінлива лише в першого ступеня
\\ (3x ^ 2-x + 5\u003e 0 \\)				Є змінна в другому ступені (квадраті), але немає старших ступенів (третьої, четвертої і т.д.)
\\ (\\ Log_ (4) ((x + 1))<3\)
\\ (2 ^ (x) \\ leq8 ^ (5x-2) \\)

... і так далі.

Що таке рішення нерівності?

Якщо в нерівність замість змінної підставити яке-небудь число, то воно перетвориться в числове.

Якщо дане значення для ікси перетворює вихідне нерівність вірну числову, то воно називається рішенням нерівності. Якщо ж ні - то дане значення рішенням не є. І щоб вирішити нерівність - потрібно знайти всі його рішення (або показати, що їх немає).

наприклад, якщо ми в лінійне нерівність \\ (x + 6\u003e 10 \\), підставимо замість ікси число \\ (7 \\) -Отримайте вірну числову нерівність: \\ (13\u003e 10 \\). А якщо підставимо \\ (2 \\), буде невірне числове нерівність \\ (8\u003e 10 \\). Тобто \\ (7 \\) - це рішення вихідної нерівності, а \\ (2 \\) - немає.

Однак, нерівність \\ (x + 6\u003e 10 \\) має й інші рішення. Дійсно, ми отримаємо вірні числові нерівності при підстановці і \\ (5 \\), і \\ (12 \\), і \\ (138 \\) ... І як же нам знайти всі можливі рішення? Для цього використовують для нашого випадку маємо:

\\ (X + 6\u003e 10 \\) \\ (| -6 \\)
\\ (X\u003e 4 \\)

Тобто нам підійде будь-яке число більше чотирьох. Тепер потрібно записати відповідь. Рішення нерівностей, як правило, записують числовими, додатково зазначаючи їх на числовій осі штрихуванням. Для нашого випадку маємо:

відповідь: \\ (X \\ in (4; + \\ infty) \\)

Коли в нерівності змінюється знак?

У нерівностях є одна велика пастка, в яку дуже «люблять» попадатися учні:

При множенні (або розподілі) нерівності на негативне число, змінюється на протилежний ( «більше» на «менше», «більше або дорівнює» на «менше або дорівнює» і так далі)

Чому так відбувається? Щоб це зрозуміти, давайте подивимося перетворення числового нерівності \\ (3\u003e 1 \\). Воно вірне, трійка дійсно більше одиниці. Спочатку спробуємо помножити його на будь-яке позитивне число, наприклад, двійку:

\\ (3\u003e 1 \\) \\ (| \\ cdot2 \\)
\(6>2\)

Як бачимо, після множення нерівність залишилося вірним. І на будь-яке позитивне число ми не множили - завжди будемо отримувати вірне нерівність. А тепер спробуємо помножити на від'ємне число, Наприклад, мінус трійку:

\\ (3\u003e 1 \\) \\ (| \\ cdot (-3) \\)
\(-9>-3\)

Вийшло невірне нерівність, адже мінус дев'ять менше, ніж мінус три! Тобто, для того, щоб нерівність стало вірним (а значить, перетворення множення на негативне було «законним»), потрібно перевернути знак порівняння, ось так: \\ (- 9<− 3\).
З поділом вийде аналогічно, можете перевірити самі.

Записане вище правило поширюється на всі види нерівностей, а не тільки на числові.

приклад: Вирішити нерівність \\ (2 (x + 1) -1<7+8x\)
Рішення:

\\ (2x + 2-1<7+8x\)	Перенесемо \\ (8x \\) вліво, а \\ (2 \\) і \\ (- 1 \\) вправо, не забуваючи при цьому міняти знаки
\\ (2x-8x<7-2+1\)
\\ (- 6x<6\) \(|:(-6)\)	Поділимо обидві частини нерівності на \\ (- 6 \\), не забувши поміняти з «менше» на «більше»
	Відзначимо на осі числовий проміжок. Нерівність, тому саме значення \\ (- 1 \\) «виколювали» і у відповідь не беремо
	Запишемо відповідь у вигляді інтервалу

відповідь: \\ (X \\ in (-1; \\ infty) \\)

Нерівності і ОДЗ

Нерівності, також як і рівняння можуть мати обмеження на, тобто на значення ікси. Відповідно, з проміжку рішень повинні бути виключені ті значення, які неприпустимі по ОПЗ.

приклад: Вирішити нерівність \\ (\\ sqrt (x + 1)<3\)

Рішення: Зрозуміло, що для того щоб ліва частина була менше \\ (3 \\), подкоренное вираз має бути менше \\ (9 \\) (адже з \\ (9 \\) якраз \\ (3 \\)). отримуємо:

\\ (X + 1<9\) \(|-1\)
\\ (X<8\)

Усе? Нам підійде будь-яке значення ікси менше \\ (8 \\)? Ні! Тому що якщо ми візьмемо, наприклад, начебто підходить під вимога значення \\ (- 5 \\) - воно рішенням вихідної нерівності не буде, так як призведе нас до обчислення кореня з негативного числа.

\\ (\\ Sqrt (-5 + 1)<3\)
\\ (\\ Sqrt (-4)<3\)

Тому ми повинні ще врахувати обмеження на значення ікси - він не може бути таким, щоб під коренем було негативне число. Таким чином, маємо другу вимогу на ікс:

\\ (X + 1 \\ geq0 \\)
\\ (X \\ geq-1 \\)

І щоб ікс був остаточним рішенням, він повинен задовольняти відразу обом вимогам: він повинен бути менше \\ (8 \\) (щоб бути рішенням) і більше \\ (- 1 \\) (щоб бути допустимим в принципі). Наносячи на числову вісь, маємо остаточну відповідь:

відповідь: \\ (\\ Left [-1; 8 \\ right) \\)

Серед усього різноманіття логарифмічних нерівностей окремо вивчають нерівності зі змінним підставою. Вони вирішуються за спеціальною формулою, яку чомусь рідко розповідають в школі:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) · (k (x) - 1) ∨ 0

Замість галки «∨» можна поставити будь-який знак нерівності: більше чи менше. Головне, щоб в обох нерівностях знаки були однаковими.

Так ми позбавляємося від логарифмів і зводимо задачу до раціонального нерівності. Останнє вирішується набагато простіше, але при відкиданні логарифмів можуть виникнути зайві корені. Щоб їх відсікти, досить знайти область допустимих значень. Якщо ви забули ОДЗ логарифма, настійно рекомендую повторити - см. «Що таке логарифм».

Все, що пов'язано з областю допустимих значень, треба виписати і вирішити окремо:

f (x)\u003e 0; g (x)\u003e 0; k (x)\u003e 0; k (x) ≠ 1.

Ці чотири нерівності становлять систему і повинні виконуватися одночасно. Коли область допустимих значень знайдена, залишається перетнути її з рішенням раціонального нерівності - і відповідь готова.

Завдання. Вирішіть нерівність:

Для початку випишемо ОДЗ логарифма:

Перші два нерівності виконуються автоматично, а останнім доведеться розписати. Оскільки квадрат числа дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли саме число дорівнює нулю, маємо:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Виходить, що ОДЗ логарифма - все числа, крім нуля: x ∈ (-∞ 0) ∪ (0; + ∞). Тепер вирішуємо основне нерівність:

Виконуємо перехід від логарифмічного нерівності до раціонального. У вихідному нерівності стоїть знак «менше», значить отримане нерівність теж має бути зі знаком «менше». маємо:

(10 - (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x 2) · x 2< 0;
(3 - x) · (3 + x) · x 2< 0.

Нулі цього виразу: x \u003d 3; x \u003d -3; x \u003d 0. Причому x \u003d 0 - корінь другого кратності, значить при переході через нього знак функції не змінюється. маємо:

Отримуємо x ∈ (-∞ -3) ∪ (3; + ∞). Дане безліч повністю міститься в ОДЗ логарифма, значить це і є відповідь.

Перетворення логарифмічних нерівностей

Часто вихідне нерівність відрізняється від наведеного вище. Це легко виправити за стандартними правилами роботи з логарифмами - см. «Основні властивості логарифмів». А саме:

1. Будь-яке число можна подати у вигляді логарифма з заданим підставою;
2. Суму і різницю логарифмів з однаковими підставами можна замінити одним логарифмом.

Окремо хочу нагадати про область допустимих значень. Оскільки в вихідному нерівності може бути кілька логарифмів, потрібно знайти ОДЗ кожного з них. Таким чином, загальна схема рішення логарифмічних нерівностей наступна:

1. Знайти ОДЗ кожного логарифма, що входить в нерівність;
2. Звести нерівність до стандартного за формулами додавання і віднімання логарифмів;
3. Вирішити отримане нерівність за схемою, наведеною вище.

Завдання. Вирішіть нерівність:

Знайдемо область визначення (ОДЗ) першого логарифма:

Вирішуємо методом інтервалів. Знаходимо нулі чисельника:

3x - 2 \u003d 0;
x \u003d 2/3.

Потім - нулі знаменника:

x - 1 \u003d 0;
x \u003d 1.

Відзначаємо нулі і знаки на координатної стрілі:

Отримуємо x ∈ (-∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). У другого логарифма ОДЗ буде таким же. Не вірите - можете перевірити. Тепер перетворимо другий логарифм так, щоб в основі стояла двійка:

Як бачите, трійки в підставі і перед логарифмом скоротилися. Отримали два логарифма з однаковим підставою. Складаємо їх:

log 2 (x - 1) 2< 2;
log 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

Отримали стандартне логарифмічна нерівність. Позбавляємося від логарифмів за формулою. Оскільки в вихідному нерівності стоїть знак «менше», отримане раціональне вираз теж має бути менше нуля. маємо:

(F (x) - g (x)) · (k (x) - 1)< 0;
((X - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(X - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

Отримали два безлічі:

1. ОДЗ: x ∈ (-∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
2. Кандидат на відповідь: x ∈ (-1; 3).

Залишилося перетнути ці безлічі - отримаємо справжній відповідь:

Нас цікавить перетин множин, тому вибираємо інтервали, зафарбовані на обох стрілах. Отримуємо x ∈ (-1; 2/3) ∪ (1; 3) - всі крапки виколоті.

Мета уроку: розглянути рішення більш складних нерівностей.

Хід уроку

I. Повідомлення теми і мети уроку.

II. Повторення і закріплення пройденого матеріалу.

1. Відповіді на питання по домашньому завданню (розбір невирішених завдань).

2. Контроль засвоєння матеріалу (тест).

III. Вивчення нового матеріалу.

Рішення складних нерівностей з наявністю в них модулів або параметрів.

Вирішимо нерівність | x - 1 | < 3.

Спочатку вирішимо цю нерівність аналітично, розглянувши два випадки:

а) Якщо х - 1\u003e 0, т. е. х\u003e 1, то | x - 1 | \u003d Х - 1 і нерівність має вигляд х - 1< 3. Решение этого неравенства х < 4. Учитывая условие х > 1, отримуємо в цьому випадку рішення 1< х < 4 или х [ 1; 4).

б) Якщо х - 1< 0, т. е. х < 1, то |x – 1| = – (х – 1) = 1 – х и неравенство имеет вид 1 – х < 3. Решение этого неравенства -2 < х. Учитывая условие х < 1, получаем в этом случае решение -2 <х < 1 или х (-2; 1).

Знаходимо об'єднання отриманих рішень.

Так як в задачах з параметрами дуже важлива запис відповіді (відповідь записується в порядку зростання параметра), то наведемо повну відповідь:

при а< 1 х [ а + 1; +); при а = 1 х (-; + ); при а > 1 х (-; а + 1].

Тепер розглянемо лінійні нерівності з двома змінними. Як правило, подібні завдання зводяться до зображення безлічі точок, координати яких задовольняють нерівності, на координатної площині.

на координатної площини зобразимо безліч точок, координати яких задовольняють нерівності y-2\u003e x-3.

Запишемо таку нерівність у вигляді y\u003e x-1. Спочатку побудуємо графік лінійної функції y \u003d x-1 (пряма лінія). Це лінія розділяє всі точки координатної площини на точки, розташовані на цій прямій, і точки, розташовані під цією прямою. Перевіримо, які точки задовольняють даному нерівності.

З першої області візьмемо, наприклад контрольну точку А (0; 0) - початок координат. Легко перевірити, що тоді нерівність y\u003e -1 виконується. З другої області виберемо, наприклад, контрольну точку В (1; -1). Для такої точки нерівність y\u003e x-1 не виконується. Отже, цього нерівності задовольняють точки, розташовані вище і на прямій y \u003d x-1 (тобто точки, аналогічні точці А). Ці точки заштриховані.

При яких значеннях параметра а рівняння ах 2 + х - 1 \u003d 0 не має рішень?

Так як старший коефіцієнт рівняння залежить від параметра а, то необхідно розглянути два випадки.

а) Якщо а 0, то рівняння ах 2 + х - 1 \u003d 0 є квадратним. Таке рівняння не має рішень, якщо його дискримінант D< 0. Решение этого неравенства а (-; -). Заметим, что в указанный промежуток значение а = 0 не входит.

б) Якщо а \u003d 0, то рівняння ах 2 + х - 1 \u003d 0 є лінійним і має вигляд х - 1 \u003d 0. Очевидно, що рівняння має єдине рішення х \u003d 1.

Отже, при а (-; -) дане рівняння рішень не має.

Вирішимо нерівність | x - 1 | + Х 2 + 2 х + 1< 0.

Запишемо нерівність у вигляді | x - 1 | + (Х + 1) 2< 0 и введем новую переменную, а = х + 1. Тогда неравенство примет вид, |a| + а 2 < 0. Так как |a| > 0 і а 2\u003e 0 при всіх значеннях а, то сума

| A | + А 2\u003e 0 при всіх а. Тому нерівність, | a | + А 2< 0 имеет единственное решение а = 0. теперь вернемся к старой неизвестной х. Получаем линейное уравнение х + 1 = 0, решение которого х = – 1. Итак, решение данного неравенства х = – 1.

Подібного типу нерівності існують і з двома змінними.

На координатної площині зобразимо безліч точок, координати яких задовольняють нерівності y-1< х 2 .

Запишемо нерівність у вигляді y< х 2 + 1 и построим параболу y = х 2 + 1 (этот график получается смещением графика y = х 2 на одну единицу вверх). Парабола разбивает точки плоскости на точки, расположенные под параболой. Взяв в качестве контрольной точки начало координат, получаем верное неравенство 0 < 1. Поэтому данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные ниже параболы и на параболе. Эти точки заштрихованы.

IV. Завдання на уроці і вдома.

1. Аналітично вирішите нерівність:

2. При всіх значеннях а вирішите нерівність:

3. При яких значеннях параметра а рівняння

а) 3х 2 - 2х + а \u003d 0 не має коренів;
б) 2х 2 - 3х + 5а \u003d 0 має два різних кореня;
в) 3ах 2 - 4х + 1 \u003d 0 має два різних кореня;
г) ах 2 - 3х + 2 \u003d 0 має хоча б один корінь.

4. Вирішіть аналітично (а якщо можливо, то і графічно) нерівності:

У статті розглянемо рішення нерівностей. Розповімо є про те, як будуватися рішення нерівностей, На зрозумілих прикладах!

Перед тим, як розглянути рішення нерівностей на прикладах, розберемося з базовими поняттями.

Загальні відомості про нерівностях

нерівністю називається вираз, в якому функції з'єднуються знаками відносини\u003e,. Нерівності бувають як числові, так і літерні.
Нерівності з двома знаками відносини, називаються подвійними, з трьома - потрійними і т.д. наприклад:
a (x)\u003e b (x),
a (x) a (x) b (x),
a (x) b (x).
a (x) Нерівності, що містять знак\u003e або або - нестрогими.
рішенням нерівності є будь-яке значення зміною, при якому ця нерівність буде вірно.
"вирішити нерівність"Означає, що треба знайти безліч всіх його рішень. Існують різні методи вирішення нерівностей. для рішення нерівності користуються числової прямої, яка нескінченна. наприклад, рішенням нерівності x\u003e 3 є проміжок від 3 до +, причому число 3 не входить в цей проміжок, тому точка на прямій позначається порожнім гуртком, тому що нерівність суворе.
+
Відповідь буде таким: x (3; +).
Значення х \u003d 3 не входить в безліч рішень, тому дужка кругла. Знак нескінченності завжди виділяється круглою дужкою. Знак означає «прінадлежанія».
Розглянемо як вирішувати нерівності на іншому прикладі зі знаком:
x 2
-+
Значення х \u003d 2 входить в безліч рішень, тому дужка квадратна і точка на прямій позначається зафарбовані гуртком.
Відповідь буде таким: x)